Theorem rpneg 12953

Description: Either a nonzero real or its negation is a positive real, but not both. Axiom 8 of [Apostol] p. 20. (Contributed by NM, 7-Nov-2008.)

Assertion

Ref	Expression
rpneg	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴 ∈ ℝ+ ↔ ¬ -𝐴 ∈ ℝ+))

Proof of Theorem rpneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 11148	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		ltle 11235	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 < 𝐴 → 0 ≤ 𝐴))
3	1, 2	mpan 691	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 < 𝐴 → 0 ≤ 𝐴))
4	3	imp 406	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 0 ≤ 𝐴)
5	4	olcd 875	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → (¬ -𝐴 ∈ ℝ ∨ 0 ≤ 𝐴))
6		renegcl 11458	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
7	6	pm2.24d 151	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (¬ -𝐴 ∈ ℝ → 0 < 𝐴))
8	7	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (¬ -𝐴 ∈ ℝ → 0 < 𝐴))
9		ltlen 11248	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 < 𝐴 ↔ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ 0)))
10	1, 9	mpan 691	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 < 𝐴 ↔ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ 0)))
11	10	biimprd 248	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ 0) → 0 < 𝐴))
12	11	expcomd 416	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 ≠ 0 → (0 ≤ 𝐴 → 0 < 𝐴)))
13	12	imp 406	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (0 ≤ 𝐴 → 0 < 𝐴))
14	8, 13	jaod 860	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((¬ -𝐴 ∈ ℝ ∨ 0 ≤ 𝐴) → 0 < 𝐴))
15		simpl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
16	14, 15	jctild 525	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((¬ -𝐴 ∈ ℝ ∨ 0 ≤ 𝐴) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴)))
17	5, 16	impbid2 226	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ↔ (¬ -𝐴 ∈ ℝ ∨ 0 ≤ 𝐴)))
18		lenlt 11225	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 0))
19	1, 18	mpan 691	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 ≤ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 0))
20		lt0neg1 11657	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 < 0 ↔ 0 < -𝐴))
21	20	notbid 318	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (¬ 𝐴 < 0 ↔ ¬ 0 < -𝐴))
22	19, 21	bitrd 279	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 ≤ 𝐴 ↔ ¬ 0 < -𝐴))
23	22	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (0 ≤ 𝐴 ↔ ¬ 0 < -𝐴))
24	23	orbi2d 916	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((¬ -𝐴 ∈ ℝ ∨ 0 ≤ 𝐴) ↔ (¬ -𝐴 ∈ ℝ ∨ ¬ 0 < -𝐴)))
25	17, 24	bitrd 279	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ↔ (¬ -𝐴 ∈ ℝ ∨ ¬ 0 < -𝐴)))
26		ianor 984	. . 3 ⊢ (¬ (-𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < -𝐴) ↔ (¬ -𝐴 ∈ ℝ ∨ ¬ 0 < -𝐴))
27	25, 26	bitr4di 289	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ↔ ¬ (-𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < -𝐴)))
28		elrp 12921	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
29		elrp 12921	. . 3 ⊢ (-𝐴 ∈ ℝ+ ↔ (-𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < -𝐴))
30	29	notbii 320	. 2 ⊢ (¬ -𝐴 ∈ ℝ+ ↔ ¬ (-𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < -𝐴))
31	27, 28, 30	3bitr4g 314	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴 ∈ ℝ+ ↔ ¬ -𝐴 ∈ ℝ+))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933   class class class wbr 5100  ℝcr 11039  0cc0 11040   < clt 11180   ≤ cle 11181  -cneg 11379  ℝ⁺crp 12919

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5314  ax-pr 5381  ax-un 7692  ax-resscn 11097  ax-1cn 11098  ax-icn 11099  ax-addcl 11100  ax-addrcl 11101  ax-mulcl 11102  ax-mulrcl 11103  ax-mulcom 11104  ax-addass 11105  ax-mulass 11106  ax-distr 11107  ax-i2m1 11108  ax-1ne0 11109  ax-1rid 11110  ax-rnegex 11111  ax-rrecex 11112  ax-cnre 11113  ax-pre-lttri 11114  ax-pre-lttrn 11115  ax-pre-ltadd 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5529  df-po 5542  df-so 5543  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-riota 7327  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-er 8647  df-en 8898  df-dom 8899  df-sdom 8900  df-pnf 11182  df-mnf 11183  df-xr 11184  df-ltxr 11185  df-le 11186  df-sub 11380  df-neg 11381  df-rp 12920

This theorem is referenced by:  cnpart  15177  angpined  26813  argcj  32845  signsply0  34735