Theorem rpneg 13029

Description: Either a nonzero real or its negation is a positive real, but not both. Axiom 8 of [Apostol] p. 20. (Contributed by NM, 7-Nov-2008.)

Assertion

Ref	Expression
rpneg	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴 ∈ ℝ+ ↔ ¬ -𝐴 ∈ ℝ+))

Proof of Theorem rpneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 11185	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		ltle 11273	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 < 𝐴 → 0 ≤ 𝐴))
3	1, 2	mpan 700	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 < 𝐴 → 0 ≤ 𝐴))
4	3	imp 410	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 0 ≤ 𝐴)
5	4	olcd 885	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → (¬ -𝐴 ∈ ℝ ∨ 0 ≤ 𝐴))
6		renegcl 11496	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
7	6	pm2.24d 151	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (¬ -𝐴 ∈ ℝ → 0 < 𝐴))
8	7	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (¬ -𝐴 ∈ ℝ → 0 < 𝐴))
9		ltlen 11286	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 < 𝐴 ↔ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ 0)))
10	1, 9	mpan 700	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 < 𝐴 ↔ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ 0)))
11	10	biimprd 250	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ 0) → 0 < 𝐴))
12	11	expcomd 420	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 ≠ 0 → (0 ≤ 𝐴 → 0 < 𝐴)))
13	12	imp 410	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (0 ≤ 𝐴 → 0 < 𝐴))
14	8, 13	jaod 870	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((¬ -𝐴 ∈ ℝ ∨ 0 ≤ 𝐴) → 0 < 𝐴))
15		simpl 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
16	14, 15	jctild 533	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((¬ -𝐴 ∈ ℝ ∨ 0 ≤ 𝐴) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴)))
17	5, 16	impbid2 228	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ↔ (¬ -𝐴 ∈ ℝ ∨ 0 ≤ 𝐴)))
18		lenlt 11263	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 0))
19	1, 18	mpan 700	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 ≤ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 0))
20		lt0neg1 11695	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 < 0 ↔ 0 < -𝐴))
21	20	notbid 320	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (¬ 𝐴 < 0 ↔ ¬ 0 < -𝐴))
22	19, 21	bitrd 281	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 ≤ 𝐴 ↔ ¬ 0 < -𝐴))
23	22	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (0 ≤ 𝐴 ↔ ¬ 0 < -𝐴))
24	23	orbi2d 926	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((¬ -𝐴 ∈ ℝ ∨ 0 ≤ 𝐴) ↔ (¬ -𝐴 ∈ ℝ ∨ ¬ 0 < -𝐴)))
25	17, 24	bitrd 281	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ↔ (¬ -𝐴 ∈ ℝ ∨ ¬ 0 < -𝐴)))
26		ianor 995	. . 3 ⊢ (¬ (-𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < -𝐴) ↔ (¬ -𝐴 ∈ ℝ ∨ ¬ 0 < -𝐴))
27	25, 26	bitr4di 291	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ↔ ¬ (-𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < -𝐴)))
28		elrp 12997	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
29		elrp 12997	. . 3 ⊢ (-𝐴 ∈ ℝ+ ↔ (-𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < -𝐴))
30	29	notbii 322	. 2 ⊢ (¬ -𝐴 ∈ ℝ+ ↔ ¬ (-𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < -𝐴))
31	27, 28, 30	3bitr4g 316	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴 ∈ ℝ+ ↔ ¬ -𝐴 ∈ ℝ+))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∨ wo 858   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2959   class class class wbr 5102  ℝcr 11074  0cc0 11075   < clt 11218   ≤ cle 11219  -cneg 11417  ℝ⁺crp 12995

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pow 5324  ax-pr 5392  ax-un 7720  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3458  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5544  df-po 5557  df-so 5558  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-riota 7355  df-ov 7401  df-oprab 7402  df-mpo 7403  df-er 8680  df-en 8930  df-dom 8931  df-sdom 8932  df-pnf 11220  df-mnf 11221  df-xr 11222  df-ltxr 11223  df-le 11224  df-sub 11418  df-neg 11419  df-rp 12996

This theorem is referenced by:  cnpart  15269  angpined  26897  argcj  32952  signsply0  34847