Theorem rpneg 13056

Description: Either a nonzero real or its negation is a positive real, but not both. Axiom 8 of [Apostol] p. 20. (Contributed by NM, 7-Nov-2008.)

Assertion

Ref	Expression
rpneg	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴 ∈ ℝ+ ↔ ¬ -𝐴 ∈ ℝ+))

Proof of Theorem rpneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 11216	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		ltle 11304	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 < 𝐴 → 0 ≤ 𝐴))
3	1, 2	mpan 702	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 < 𝐴 → 0 ≤ 𝐴))
4	3	imp 411	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 0 ≤ 𝐴)
5	4	olcd 887	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → (¬ -𝐴 ∈ ℝ ∨ 0 ≤ 𝐴))
6		renegcl 11527	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
7	6	pm2.24d 152	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (¬ -𝐴 ∈ ℝ → 0 < 𝐴))
8	7	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (¬ -𝐴 ∈ ℝ → 0 < 𝐴))
9		ltlen 11317	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 < 𝐴 ↔ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ 0)))
10	1, 9	mpan 702	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 < 𝐴 ↔ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ 0)))
11	10	biimprd 251	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≠ 0) → 0 < 𝐴))
12	11	expcomd 421	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 ≠ 0 → (0 ≤ 𝐴 → 0 < 𝐴)))
13	12	imp 411	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (0 ≤ 𝐴 → 0 < 𝐴))
14	8, 13	jaod 872	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((¬ -𝐴 ∈ ℝ ∨ 0 ≤ 𝐴) → 0 < 𝐴))
15		simpl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
16	14, 15	jctild 534	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((¬ -𝐴 ∈ ℝ ∨ 0 ≤ 𝐴) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴)))
17	5, 16	impbid2 229	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ↔ (¬ -𝐴 ∈ ℝ ∨ 0 ≤ 𝐴)))
18		lenlt 11294	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 0))
19	1, 18	mpan 702	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 ≤ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 0))
20		lt0neg1 11726	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 < 0 ↔ 0 < -𝐴))
21	20	notbid 321	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (¬ 𝐴 < 0 ↔ ¬ 0 < -𝐴))
22	19, 21	bitrd 282	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 ≤ 𝐴 ↔ ¬ 0 < -𝐴))
23	22	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (0 ≤ 𝐴 ↔ ¬ 0 < -𝐴))
24	23	orbi2d 928	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((¬ -𝐴 ∈ ℝ ∨ 0 ≤ 𝐴) ↔ (¬ -𝐴 ∈ ℝ ∨ ¬ 0 < -𝐴)))
25	17, 24	bitrd 282	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ↔ (¬ -𝐴 ∈ ℝ ∨ ¬ 0 < -𝐴)))
26		ianor 996	. . 3 ⊢ (¬ (-𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < -𝐴) ↔ (¬ -𝐴 ∈ ℝ ∨ ¬ 0 < -𝐴))
27	25, 26	bitr4di 292	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ↔ ¬ (-𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < -𝐴)))
28		elrp 13024	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
29		elrp 13024	. . 3 ⊢ (-𝐴 ∈ ℝ+ ↔ (-𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < -𝐴))
30	29	notbii 323	. 2 ⊢ (¬ -𝐴 ∈ ℝ+ ↔ ¬ (-𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < -𝐴))
31	27, 28, 30	3bitr4g 317	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴 ∈ ℝ+ ↔ ¬ -𝐴 ∈ ℝ+))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∨ wo 860   ∈ wcel 2142   ≠ wne 2957   class class class wbr 5108  ℝcr 11105  0cc0 11106   < clt 11249   ≤ cle 11250  -cneg 11448  ℝ⁺crp 13022

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5555  df-po 5568  df-so 5569  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-er 8692  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-rp 13023

This theorem is used by:  cnpart  15298  angpined  27006  argcj  33104  signsply0  34947