Theorem nnrp 12902

Description: A positive integer is a positive real. (Contributed by NM, 28-Nov-2008.)

Assertion

Ref	Expression
nnrp	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ+)

Proof of Theorem nnrp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnre 12132	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ)
2		nngt0 12156	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 0 < 𝐴)
3		elrp 12892	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
4	1, 2, 3	sylanbrc 583	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5089  ℝcr 11005  0cc0 11006   < clt 11146  ℕcn 12125  ℝ⁺crp 12890

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-rp 12891

This theorem is referenced by:  nnrpd  12932  nn0ledivnn  13005  adddivflid  13722  divfl0  13728  fldivnn0le  13736  zmodcl  13795  zmodfz  13797  zmodid2  13803  m1modnnsub1  13824  addmodid  13826  modifeq2int  13840  modaddmodup  13841  modaddmodlo  13842  modsumfzodifsn  13851  addmodlteq  13853  nnesq  14134  digit2  14143  digit1  14144  bcrpcl  14215  bcval5  14225  lswccatn0lsw  14499  cshw0  14701  cshwmodn  14702  cshwsublen  14703  cshwidxmod  14710  cshwidxmodr  14711  cshwidxm1  14714  cshwidxm  14715  repswcshw  14719  2cshw  14720  cshweqrep  14728  modfsummods  15700  divcnv  15760  supcvg  15763  harmonic  15766  expcnv  15771  rpnnen2lem11  16133  sqrt2irr  16158  dvdsval3  16167  dvdsmodexp  16171  moddvds  16174  divalgmod  16317  flodddiv4  16326  modgcd  16443  divgcdcoprm0  16576  isprm5  16618  isprm6  16625  nnnn0modprm0  16718  pythagtriplem13  16739  fldivp1  16809  prmreclem5  16832  prmreclem6  16833  4sqlem12  16868  modxai  16980  modsubi  16984  smndex1iidm  18809  smndex1n0mnd  18820  mulgmodid  19026  odmodnn0  19452  gexdvds  19496  sylow1lem1  19510  gexexlem  19764  znf1o  21488  met1stc  24436  lmnn  25190  bcthlem5  25255  minveclem3  25356  vitali  25541  ismbf3d  25582  itg2seq  25670  plyeq0lem  26142  elqaalem3  26256  aalioulem6  26272  aaliou  26273  logtayllem  26595  sqrt2cxp2logb9e3  26736  atan1  26865  leibpi  26879  birthdaylem2  26889  dfef2  26908  divsqrtsumlem  26917  emcllem1  26933  emcllem2  26934  emcllem3  26935  emcllem4  26936  emcllem6  26938  zetacvg  26952  lgam1  27001  ppiub  27142  vmalelog  27143  logfacbnd3  27161  logexprlim  27163  bcmono  27215  bclbnd  27218  bposlem1  27222  bposlem7  27228  bposlem8  27229  bposlem9  27230  gausslemma2dlem1a  27303  gausslemma2dlem4  27307  gausslemma2dlem6  27310  m1lgs  27326  2lgslem1a1  27327  2lgslem3a1  27338  2lgslem3b1  27339  2lgslem3c1  27340  2lgslem3d1  27341  2lgslem4  27344  2lgsoddprmlem2  27347  2sqreultlem  27385  2sqreunnltlem  27388  rplogsumlem1  27422  dchrisumlema  27426  dchrisumlem2  27428  dchrisumlem3  27429  dchrvmasumlem2  27436  dchrvmasumiflem1  27439  dchrisum0lem1b  27453  dchrisum0lem2a  27455  rplogsum  27465  logdivsum  27471  mulog2sumlem2  27473  logsqvma  27480  logsqvma2  27481  log2sumbnd  27482  selberg2lem  27488  logdivbnd  27494  pntrsumo1  27503  pntrsumbnd  27504  pntibndlem1  27527  pntibndlem2  27529  pntibndlem3  27530  pntlemd  27532  pntlema  27534  pntlemb  27535  pntlemr  27540  pntlemj  27541  pntlemf  27543  pntlemo  27545  crctcshwlkn0lem5  29792  crctcshwlkn0lem6  29793  lnconi  32013  rpdp2cl  32862  rpdp2cl2  32863  hgt750lem  34664  hgt750lem2  34665  hgt750leme  34671  circum  35718  bccolsum  35783  faclimlem3  35789  faclim  35790  poimirlem29  37697  poimirlem30  37698  poimirlem31  37699  poimirlem32  37700  mblfinlem3  37707  itg2addnclem2  37720  itg2addnc  37722  3lexlogpow2ineq1  42099  2ap1caineq  42186  pellexlem4  42873  pell1qrgaplem  42914  pellqrex  42920  congrep  43014  acongeq  43024  proot1ex  43237  hashnzfzclim  44363  xrralrecnnle  45429  nnrecrp  45432  xrralrecnnge  45436  iooiinicc  45590  iooiinioc  45604  fprodsubrecnncnvlem  45953  fprodaddrecnncnvlem  45955  wallispilem4  46114  wallispi  46116  wallispi2lem1  46117  wallispi2lem2  46118  stirlinglem1  46120  stirlinglem2  46121  stirlinglem3  46122  stirlinglem4  46123  stirlinglem6  46125  stirlinglem7  46126  stirlinglem10  46129  stirlinglem11  46130  stirlinglem13  46132  stirlinglem14  46133  stirlinglem15  46134  stirlingr  46136  dirkertrigeqlem1  46144  hoicvrrex  46602  ovnsubaddlem2  46617  hoiqssbllem3  46670  iinhoiicc  46720  iunhoiioo  46722  vonioolem1  46726  vonioolem2  46727  vonicclem1  46729  vonicclem2  46730  preimageiingt  46766  preimaleiinlt  46767  addmodne  47383  submodlt  47389  mod0mul  47395  modn0mul  47396  m1modmmod  47397  difmodm1lt  47398  modlt0b  47402  mod2addne  47403  fsummmodsndifre  47413  mod42tp1mod8  47641  lighneallem2  47645  3exp4mod41  47655  41prothprmlem2  47657  perfectALTVlem2  47761  2exp340mod341  47772  8exp8mod9  47775  nfermltl8rev  47781  gpgedgvtx0  48100  gpgedgvtx1  48101  gpgvtxedg0  48102  gpgvtxedg1  48103  gpg3kgrtriexlem1  48122  gpg3kgrtriexlem2  48123  nnlog2ge0lt1  48606  blennnelnn  48616  nnpw2blen  48620  blen1b  48628  blennnt2  48629  blennn0e2  48634  dignn0fr  48641  dignn0ldlem  48642  dignnld  48643  dig2nn1st  48645  dig0  48646