Theorem nnrp 13025

Description: A positive integer is a positive real. (Contributed by NM, 28-Nov-2008.)

Assertion

Ref	Expression
nnrp	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ+)

Proof of Theorem nnrp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnre 12257	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ)
2		nngt0 12281	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 0 < 𝐴)
3		elrp 13016	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
4	1, 2, 3	sylanbrc 581	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5152  ℝcr 11145  0cc0 11146   < clt 11286  ℕcn 12250  ℝ⁺crp 13014

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-rp 13015

This theorem is referenced by:  nnrpd  13054  nn0ledivnn  13127  adddivflid  13823  divfl0  13829  fldivnn0le  13837  zmodcl  13896  zmodfz  13898  zmodid2  13904  m1modnnsub1  13922  addmodid  13924  modifeq2int  13938  modaddmodup  13939  modaddmodlo  13940  modsumfzodifsn  13949  addmodlteq  13951  nnesq  14229  digit2  14238  digit1  14239  bcrpcl  14307  bcval5  14317  lswccatn0lsw  14581  cshw0  14784  cshwmodn  14785  cshwsublen  14786  cshwidxmod  14793  cshwidxmodr  14794  cshwidxm1  14797  cshwidxm  14798  repswcshw  14802  2cshw  14803  cshweqrep  14811  modfsummods  15779  divcnv  15839  supcvg  15842  harmonic  15845  expcnv  15850  rpnnen2lem11  16208  sqrt2irr  16233  dvdsval3  16242  dvdsmodexp  16246  moddvds  16249  divalgmod  16390  flodddiv4  16397  modgcd  16515  divgcdcoprm0  16643  isprm5  16685  isprm6  16692  nnnn0modprm0  16782  pythagtriplem13  16803  fldivp1  16873  prmreclem5  16896  prmreclem6  16897  4sqlem12  16932  modxai  17044  modsubi  17048  smndex1iidm  18860  smndex1n0mnd  18871  mulgmodid  19075  odmodnn0  19502  gexdvds  19546  sylow1lem1  19560  gexexlem  19814  znf1o  21492  met1stc  24450  lmnn  25211  bcthlem5  25276  minveclem3  25377  vitali  25562  ismbf3d  25603  itg2seq  25692  plyeq0lem  26164  elqaalem3  26276  aalioulem6  26292  aaliou  26293  logtayllem  26613  sqrt2cxp2logb9e3  26751  atan1  26880  leibpi  26894  birthdaylem2  26904  dfef2  26923  divsqrtsumlem  26932  emcllem1  26948  emcllem2  26949  emcllem3  26950  emcllem4  26951  emcllem6  26953  zetacvg  26967  lgam1  27016  ppiub  27157  vmalelog  27158  logfacbnd3  27176  logexprlim  27178  bcmono  27230  bclbnd  27233  bposlem1  27237  bposlem7  27243  bposlem8  27244  bposlem9  27245  gausslemma2dlem1a  27318  gausslemma2dlem4  27322  gausslemma2dlem6  27325  m1lgs  27341  2lgslem1a1  27342  2lgslem3a1  27353  2lgslem3b1  27354  2lgslem3c1  27355  2lgslem3d1  27356  2lgslem4  27359  2lgsoddprmlem2  27362  2sqreultlem  27400  2sqreunnltlem  27403  rplogsumlem1  27437  dchrisumlema  27441  dchrisumlem2  27443  dchrisumlem3  27444  dchrvmasumlem2  27451  dchrvmasumiflem1  27454  dchrisum0lem1b  27468  dchrisum0lem2a  27470  rplogsum  27480  logdivsum  27486  mulog2sumlem2  27488  logsqvma  27495  logsqvma2  27496  log2sumbnd  27497  selberg2lem  27503  logdivbnd  27509  pntrsumo1  27518  pntrsumbnd  27519  pntibndlem1  27542  pntibndlem2  27544  pntibndlem3  27545  pntlemd  27547  pntlema  27549  pntlemb  27550  pntlemr  27555  pntlemj  27556  pntlemf  27558  pntlemo  27560  crctcshwlkn0lem5  29645  crctcshwlkn0lem6  29646  lnconi  31863  rpdp2cl  32626  rpdp2cl2  32627  hgt750lem  34316  hgt750lem2  34317  hgt750leme  34323  circum  35311  bccolsum  35366  faclimlem3  35372  faclim  35373  poimirlem29  37155  poimirlem30  37156  poimirlem31  37157  poimirlem32  37158  mblfinlem3  37165  itg2addnclem2  37178  itg2addnc  37180  3lexlogpow2ineq1  41561  2ap1caineq  41649  pellexlem4  42283  pell1qrgaplem  42324  pellqrex  42330  congrep  42425  acongeq  42435  proot1ex  42655  hashnzfzclim  43790  xrralrecnnle  44794  nnrecrp  44797  xrralrecnnge  44801  iooiinicc  44956  iooiinioc  44970  fprodsubrecnncnvlem  45324  fprodaddrecnncnvlem  45326  wallispilem4  45485  wallispi  45487  wallispi2lem1  45488  wallispi2lem2  45489  stirlinglem1  45491  stirlinglem2  45492  stirlinglem3  45493  stirlinglem4  45494  stirlinglem6  45496  stirlinglem7  45497  stirlinglem10  45500  stirlinglem11  45501  stirlinglem13  45503  stirlinglem14  45504  stirlinglem15  45505  stirlingr  45507  dirkertrigeqlem1  45515  hoicvrrex  45973  ovnsubaddlem2  45988  hoiqssbllem3  46041  iinhoiicc  46091  iunhoiioo  46093  vonioolem1  46097  vonioolem2  46098  vonicclem1  46100  vonicclem2  46101  preimageiingt  46137  preimaleiinlt  46138  fsummmodsndifre  46743  mod42tp1mod8  46971  lighneallem2  46975  3exp4mod41  46985  41prothprmlem2  46987  perfectALTVlem2  47091  2exp340mod341  47102  8exp8mod9  47105  nfermltl8rev  47111  mod0mul  47670  modn0mul  47671  m1modmmod  47672  difmodm1lt  47673  nnlog2ge0lt1  47717  blennnelnn  47727  nnpw2blen  47731  blen1b  47739  blennnt2  47740  blennn0e2  47745  dignn0fr  47752  dignn0ldlem  47753  dignnld  47754  dig2nn1st  47756  dig0  47757