Theorem nnrp 13043

Description: A positive integer is a positive real. (Contributed by NM, 28-Nov-2008.)

Assertion

Ref	Expression
nnrp	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ+)

Proof of Theorem nnrp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnre 12270	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ)
2		nngt0 12294	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 0 < 𝐴)
3		elrp 13033	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
4	1, 2, 3	sylanbrc 583	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2105   class class class wbr 5147  ℝcr 11151  0cc0 11152   < clt 11292  ℕcn 12263  ℝ⁺crp 13031

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-nn 12264  df-rp 13032

This theorem is referenced by:  nnrpd  13072  nn0ledivnn  13145  adddivflid  13854  divfl0  13860  fldivnn0le  13868  zmodcl  13927  zmodfz  13929  zmodid2  13935  m1modnnsub1  13954  addmodid  13956  modifeq2int  13970  modaddmodup  13971  modaddmodlo  13972  modsumfzodifsn  13981  addmodlteq  13983  nnesq  14262  digit2  14271  digit1  14272  bcrpcl  14343  bcval5  14353  lswccatn0lsw  14625  cshw0  14828  cshwmodn  14829  cshwsublen  14830  cshwidxmod  14837  cshwidxmodr  14838  cshwidxm1  14841  cshwidxm  14842  repswcshw  14846  2cshw  14847  cshweqrep  14855  modfsummods  15825  divcnv  15885  supcvg  15888  harmonic  15891  expcnv  15896  rpnnen2lem11  16256  sqrt2irr  16281  dvdsval3  16290  dvdsmodexp  16294  moddvds  16297  divalgmod  16439  flodddiv4  16448  modgcd  16565  divgcdcoprm0  16698  isprm5  16740  isprm6  16747  nnnn0modprm0  16839  pythagtriplem13  16860  fldivp1  16930  prmreclem5  16953  prmreclem6  16954  4sqlem12  16989  modxai  17101  modsubi  17105  smndex1iidm  18926  smndex1n0mnd  18937  mulgmodid  19143  odmodnn0  19572  gexdvds  19616  sylow1lem1  19630  gexexlem  19884  znf1o  21587  met1stc  24549  lmnn  25310  bcthlem5  25375  minveclem3  25476  vitali  25661  ismbf3d  25702  itg2seq  25791  plyeq0lem  26263  elqaalem3  26377  aalioulem6  26393  aaliou  26394  logtayllem  26715  sqrt2cxp2logb9e3  26856  atan1  26985  leibpi  26999  birthdaylem2  27009  dfef2  27028  divsqrtsumlem  27037  emcllem1  27053  emcllem2  27054  emcllem3  27055  emcllem4  27056  emcllem6  27058  zetacvg  27072  lgam1  27121  ppiub  27262  vmalelog  27263  logfacbnd3  27281  logexprlim  27283  bcmono  27335  bclbnd  27338  bposlem1  27342  bposlem7  27348  bposlem8  27349  bposlem9  27350  gausslemma2dlem1a  27423  gausslemma2dlem4  27427  gausslemma2dlem6  27430  m1lgs  27446  2lgslem1a1  27447  2lgslem3a1  27458  2lgslem3b1  27459  2lgslem3c1  27460  2lgslem3d1  27461  2lgslem4  27464  2lgsoddprmlem2  27467  2sqreultlem  27505  2sqreunnltlem  27508  rplogsumlem1  27542  dchrisumlema  27546  dchrisumlem2  27548  dchrisumlem3  27549  dchrvmasumlem2  27556  dchrvmasumiflem1  27559  dchrisum0lem1b  27573  dchrisum0lem2a  27575  rplogsum  27585  logdivsum  27591  mulog2sumlem2  27593  logsqvma  27600  logsqvma2  27601  log2sumbnd  27602  selberg2lem  27608  logdivbnd  27614  pntrsumo1  27623  pntrsumbnd  27624  pntibndlem1  27647  pntibndlem2  27649  pntibndlem3  27650  pntlemd  27652  pntlema  27654  pntlemb  27655  pntlemr  27660  pntlemj  27661  pntlemf  27663  pntlemo  27665  crctcshwlkn0lem5  29843  crctcshwlkn0lem6  29844  lnconi  32061  rpdp2cl  32848  rpdp2cl2  32849  hgt750lem  34644  hgt750lem2  34645  hgt750leme  34651  circum  35658  bccolsum  35718  faclimlem3  35724  faclim  35725  poimirlem29  37635  poimirlem30  37636  poimirlem31  37637  poimirlem32  37638  mblfinlem3  37645  itg2addnclem2  37658  itg2addnc  37660  3lexlogpow2ineq1  42039  2ap1caineq  42126  pellexlem4  42819  pell1qrgaplem  42860  pellqrex  42866  congrep  42961  acongeq  42971  proot1ex  43184  hashnzfzclim  44317  xrralrecnnle  45332  nnrecrp  45335  xrralrecnnge  45339  iooiinicc  45494  iooiinioc  45508  fprodsubrecnncnvlem  45862  fprodaddrecnncnvlem  45864  wallispilem4  46023  wallispi  46025  wallispi2lem1  46026  wallispi2lem2  46027  stirlinglem1  46029  stirlinglem2  46030  stirlinglem3  46031  stirlinglem4  46032  stirlinglem6  46034  stirlinglem7  46035  stirlinglem10  46038  stirlinglem11  46039  stirlinglem13  46041  stirlinglem14  46042  stirlinglem15  46043  stirlingr  46045  dirkertrigeqlem1  46053  hoicvrrex  46511  ovnsubaddlem2  46526  hoiqssbllem3  46579  iinhoiicc  46629  iunhoiioo  46631  vonioolem1  46635  vonioolem2  46636  vonicclem1  46638  vonicclem2  46639  preimageiingt  46675  preimaleiinlt  46676  addmodne  47283  submodlt  47289  fsummmodsndifre  47298  mod42tp1mod8  47526  lighneallem2  47530  3exp4mod41  47540  41prothprmlem2  47542  perfectALTVlem2  47646  2exp340mod341  47657  8exp8mod9  47660  nfermltl8rev  47666  gpgedgvtx0  47953  gpgedgvtx1  47954  gpgvtxedg0  47955  gpgvtxedg1  47956  mod0mul  48368  modn0mul  48369  m1modmmod  48370  difmodm1lt  48371  nnlog2ge0lt1  48415  blennnelnn  48425  nnpw2blen  48429  blen1b  48437  blennnt2  48438  blennn0e2  48443  dignn0fr  48450  dignn0ldlem  48451  dignnld  48452  dig2nn1st  48454  dig0  48455