Theorem nnrp 12388

Description: A positive integer is a positive real. (Contributed by NM, 28-Nov-2008.)

Assertion

Ref	Expression
nnrp	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ+)

Proof of Theorem nnrp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnre 11632	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ)
2		nngt0 11656	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 0 < 𝐴)
3		elrp 12379	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
4	1, 2, 3	sylanbrc 586	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5030  ℝcr 10525  0cc0 10526   < clt 10664  ℕcn 11625  ℝ⁺crp 12377

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-rp 12378

This theorem is referenced by:  nnrpd  12417  nn0ledivnn  12490  adddivflid  13183  divfl0  13189  fldivnn0le  13197  zmodcl  13254  zmodfz  13256  zmodid2  13262  m1modnnsub1  13280  addmodid  13282  modifeq2int  13296  modaddmodup  13297  modaddmodlo  13298  modsumfzodifsn  13307  addmodlteq  13309  nnesq  13584  digit2  13593  digit1  13594  bcrpcl  13664  bcval5  13674  lswccatn0lsw  13936  cshw0  14147  cshwmodn  14148  cshwsublen  14149  cshwidxmod  14156  cshwidxmodr  14157  cshwidxm1  14160  cshwidxm  14161  repswcshw  14165  2cshw  14166  cshweqrep  14174  modfsummods  15140  divcnv  15200  supcvg  15203  harmonic  15206  expcnv  15211  rpnnen2lem11  15569  sqrt2irr  15594  dvdsval3  15603  dvdsmodexp  15607  moddvds  15610  divalgmod  15747  flodddiv4  15754  modgcd  15870  divgcdcoprm0  15999  isprm5  16041  isprm6  16048  nnnn0modprm0  16133  pythagtriplem13  16154  fldivp1  16223  prmreclem5  16246  prmreclem6  16247  4sqlem12  16282  modxai  16394  modsubi  16398  smndex1iidm  18058  smndex1n0mnd  18069  mulgmodid  18258  odmodnn0  18660  gexdvds  18701  sylow1lem1  18715  gexexlem  18965  znf1o  20243  met1stc  23128  lmnn  23867  bcthlem5  23932  minveclem3  24033  vitali  24217  ismbf3d  24258  itg2seq  24346  plyeq0lem  24807  elqaalem3  24917  aalioulem6  24933  aaliou  24934  logtayllem  25250  sqrt2cxp2logb9e3  25385  atan1  25514  leibpi  25528  birthdaylem2  25538  dfef2  25556  divsqrtsumlem  25565  emcllem1  25581  emcllem2  25582  emcllem3  25583  emcllem4  25584  emcllem6  25586  zetacvg  25600  lgam1  25649  ppiub  25788  vmalelog  25789  logfacbnd3  25807  logexprlim  25809  bcmono  25861  bclbnd  25864  bposlem1  25868  bposlem7  25874  bposlem8  25875  bposlem9  25876  gausslemma2dlem1a  25949  gausslemma2dlem4  25953  gausslemma2dlem6  25956  m1lgs  25972  2lgslem1a1  25973  2lgslem3a1  25984  2lgslem3b1  25985  2lgslem3c1  25986  2lgslem3d1  25987  2lgslem4  25990  2lgsoddprmlem2  25993  2sqreultlem  26031  2sqreunnltlem  26034  rplogsumlem1  26068  dchrisumlema  26072  dchrisumlem2  26074  dchrisumlem3  26075  dchrvmasumlem2  26082  dchrvmasumiflem1  26085  dchrisum0lem1b  26099  dchrisum0lem2a  26101  rplogsum  26111  logdivsum  26117  mulog2sumlem2  26119  logsqvma  26126  logsqvma2  26127  log2sumbnd  26128  selberg2lem  26134  logdivbnd  26140  pntrsumo1  26149  pntrsumbnd  26150  pntibndlem1  26173  pntibndlem2  26175  pntibndlem3  26176  pntlemd  26178  pntlema  26180  pntlemb  26181  pntlemr  26186  pntlemj  26187  pntlemf  26189  pntlemo  26191  crctcshwlkn0lem5  27600  crctcshwlkn0lem6  27601  lnconi  29816  rpdp2cl  30584  rpdp2cl2  30585  hgt750lem  32032  hgt750lem2  32033  hgt750leme  32039  circum  33030  bccolsum  33084  faclimlem3  33090  faclim  33091  poimirlem29  35086  poimirlem30  35087  poimirlem31  35088  poimirlem32  35089  mblfinlem3  35096  itg2addnclem2  35109  itg2addnc  35111  2ap1caineq  39349  pellexlem4  39773  pell1qrgaplem  39814  pellqrex  39820  congrep  39914  acongeq  39924  proot1ex  40145  hashnzfzclim  41026  xrralrecnnle  42017  nnrecrp  42020  xrralrecnnge  42026  iooiinicc  42179  iooiinioc  42193  fprodsubrecnncnvlem  42549  fprodaddrecnncnvlem  42551  wallispilem4  42710  wallispi  42712  wallispi2lem1  42713  wallispi2lem2  42714  stirlinglem1  42716  stirlinglem2  42717  stirlinglem3  42718  stirlinglem4  42719  stirlinglem6  42721  stirlinglem7  42722  stirlinglem10  42725  stirlinglem11  42726  stirlinglem13  42728  stirlinglem14  42729  stirlinglem15  42730  stirlingr  42732  dirkertrigeqlem1  42740  hoicvrrex  43195  ovnsubaddlem2  43210  hoiqssbllem3  43263  iinhoiicc  43313  iunhoiioo  43315  vonioolem1  43319  vonioolem2  43320  vonicclem1  43322  vonicclem2  43323  preimageiingt  43355  preimaleiinlt  43356  fsummmodsndifre  43891  mod42tp1mod8  44120  lighneallem2  44124  3exp4mod41  44134  41prothprmlem2  44136  perfectALTVlem2  44240  2exp340mod341  44251  8exp8mod9  44254  nfermltl8rev  44260  mod0mul  44933  modn0mul  44934  m1modmmod  44935  difmodm1lt  44936  nnlog2ge0lt1  44980  blennnelnn  44990  nnpw2blen  44994  blen1b  45002  blennnt2  45003  blennn0e2  45008  dignn0fr  45015  dignn0ldlem  45016  dignnld  45017  dig2nn1st  45019  dig0  45020