Theorem nnrp 13011

Description: A positive integer is a positive real. (Contributed by NM, 28-Nov-2008.)

Assertion

Ref	Expression
nnrp	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ+)

Proof of Theorem nnrp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnre 12243	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ)
2		nngt0 12267	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 0 < 𝐴)
3		elrp 13002	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
4	1, 2, 3	sylanbrc 582	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2099   class class class wbr 5142  ℝcr 11131  0cc0 11132   < clt 11272  ℕcn 12236  ℝ⁺crp 13000

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208  ax-pre-mulgt0 11209

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12237  df-rp 13001

This theorem is referenced by:  nnrpd  13040  nn0ledivnn  13113  adddivflid  13809  divfl0  13815  fldivnn0le  13823  zmodcl  13882  zmodfz  13884  zmodid2  13890  m1modnnsub1  13908  addmodid  13910  modifeq2int  13924  modaddmodup  13925  modaddmodlo  13926  modsumfzodifsn  13935  addmodlteq  13937  nnesq  14215  digit2  14224  digit1  14225  bcrpcl  14293  bcval5  14303  lswccatn0lsw  14567  cshw0  14770  cshwmodn  14771  cshwsublen  14772  cshwidxmod  14779  cshwidxmodr  14780  cshwidxm1  14783  cshwidxm  14784  repswcshw  14788  2cshw  14789  cshweqrep  14797  modfsummods  15765  divcnv  15825  supcvg  15828  harmonic  15831  expcnv  15836  rpnnen2lem11  16194  sqrt2irr  16219  dvdsval3  16228  dvdsmodexp  16232  moddvds  16235  divalgmod  16376  flodddiv4  16383  modgcd  16501  divgcdcoprm0  16629  isprm5  16671  isprm6  16678  nnnn0modprm0  16768  pythagtriplem13  16789  fldivp1  16859  prmreclem5  16882  prmreclem6  16883  4sqlem12  16918  modxai  17030  modsubi  17034  smndex1iidm  18846  smndex1n0mnd  18857  mulgmodid  19061  odmodnn0  19488  gexdvds  19532  sylow1lem1  19546  gexexlem  19800  znf1o  21478  met1stc  24423  lmnn  25184  bcthlem5  25249  minveclem3  25350  vitali  25535  ismbf3d  25576  itg2seq  25665  plyeq0lem  26137  elqaalem3  26249  aalioulem6  26265  aaliou  26266  logtayllem  26586  sqrt2cxp2logb9e3  26724  atan1  26853  leibpi  26867  birthdaylem2  26877  dfef2  26896  divsqrtsumlem  26905  emcllem1  26921  emcllem2  26922  emcllem3  26923  emcllem4  26924  emcllem6  26926  zetacvg  26940  lgam1  26989  ppiub  27130  vmalelog  27131  logfacbnd3  27149  logexprlim  27151  bcmono  27203  bclbnd  27206  bposlem1  27210  bposlem7  27216  bposlem8  27217  bposlem9  27218  gausslemma2dlem1a  27291  gausslemma2dlem4  27295  gausslemma2dlem6  27298  m1lgs  27314  2lgslem1a1  27315  2lgslem3a1  27326  2lgslem3b1  27327  2lgslem3c1  27328  2lgslem3d1  27329  2lgslem4  27332  2lgsoddprmlem2  27335  2sqreultlem  27373  2sqreunnltlem  27376  rplogsumlem1  27410  dchrisumlema  27414  dchrisumlem2  27416  dchrisumlem3  27417  dchrvmasumlem2  27424  dchrvmasumiflem1  27427  dchrisum0lem1b  27441  dchrisum0lem2a  27443  rplogsum  27453  logdivsum  27459  mulog2sumlem2  27461  logsqvma  27468  logsqvma2  27469  log2sumbnd  27470  selberg2lem  27476  logdivbnd  27482  pntrsumo1  27491  pntrsumbnd  27492  pntibndlem1  27515  pntibndlem2  27517  pntibndlem3  27518  pntlemd  27520  pntlema  27522  pntlemb  27523  pntlemr  27528  pntlemj  27529  pntlemf  27531  pntlemo  27533  crctcshwlkn0lem5  29618  crctcshwlkn0lem6  29619  lnconi  31836  rpdp2cl  32599  rpdp2cl2  32600  hgt750lem  34277  hgt750lem2  34278  hgt750leme  34284  circum  35272  bccolsum  35327  faclimlem3  35333  faclim  35334  poimirlem29  37116  poimirlem30  37117  poimirlem31  37118  poimirlem32  37119  mblfinlem3  37126  itg2addnclem2  37139  itg2addnc  37141  3lexlogpow2ineq1  41523  2ap1caineq  41611  pellexlem4  42246  pell1qrgaplem  42287  pellqrex  42293  congrep  42388  acongeq  42398  proot1ex  42618  hashnzfzclim  43753  xrralrecnnle  44759  nnrecrp  44762  xrralrecnnge  44766  iooiinicc  44921  iooiinioc  44935  fprodsubrecnncnvlem  45289  fprodaddrecnncnvlem  45291  wallispilem4  45450  wallispi  45452  wallispi2lem1  45453  wallispi2lem2  45454  stirlinglem1  45456  stirlinglem2  45457  stirlinglem3  45458  stirlinglem4  45459  stirlinglem6  45461  stirlinglem7  45462  stirlinglem10  45465  stirlinglem11  45466  stirlinglem13  45468  stirlinglem14  45469  stirlinglem15  45470  stirlingr  45472  dirkertrigeqlem1  45480  hoicvrrex  45938  ovnsubaddlem2  45953  hoiqssbllem3  46006  iinhoiicc  46056  iunhoiioo  46058  vonioolem1  46062  vonioolem2  46063  vonicclem1  46065  vonicclem2  46066  preimageiingt  46102  preimaleiinlt  46103  fsummmodsndifre  46708  mod42tp1mod8  46936  lighneallem2  46940  3exp4mod41  46950  41prothprmlem2  46952  perfectALTVlem2  47056  2exp340mod341  47067  8exp8mod9  47070  nfermltl8rev  47076  mod0mul  47586  modn0mul  47587  m1modmmod  47588  difmodm1lt  47589  nnlog2ge0lt1  47633  blennnelnn  47643  nnpw2blen  47647  blen1b  47655  blennnt2  47656  blennn0e2  47661  dignn0fr  47668  dignn0ldlem  47669  dignnld  47670  dig2nn1st  47672  dig0  47673