Theorem nnrp 13068

Description: A positive integer is a positive real. (Contributed by NM, 28-Nov-2008.)

Assertion

Ref	Expression
nnrp	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ+)

Proof of Theorem nnrp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnre 12300	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ)
2		nngt0 12324	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 0 < 𝐴)
3		elrp 13059	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
4	1, 2, 3	sylanbrc 582	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5166  ℝcr 11183  0cc0 11184   < clt 11324  ℕcn 12293  ℝ⁺crp 13057

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-rp 13058

This theorem is referenced by:  nnrpd  13097  nn0ledivnn  13170  adddivflid  13869  divfl0  13875  fldivnn0le  13883  zmodcl  13942  zmodfz  13944  zmodid2  13950  m1modnnsub1  13968  addmodid  13970  modifeq2int  13984  modaddmodup  13985  modaddmodlo  13986  modsumfzodifsn  13995  addmodlteq  13997  nnesq  14276  digit2  14285  digit1  14286  bcrpcl  14357  bcval5  14367  lswccatn0lsw  14639  cshw0  14842  cshwmodn  14843  cshwsublen  14844  cshwidxmod  14851  cshwidxmodr  14852  cshwidxm1  14855  cshwidxm  14856  repswcshw  14860  2cshw  14861  cshweqrep  14869  modfsummods  15841  divcnv  15901  supcvg  15904  harmonic  15907  expcnv  15912  rpnnen2lem11  16272  sqrt2irr  16297  dvdsval3  16306  dvdsmodexp  16310  moddvds  16313  divalgmod  16454  flodddiv4  16461  modgcd  16579  divgcdcoprm0  16712  isprm5  16754  isprm6  16761  nnnn0modprm0  16853  pythagtriplem13  16874  fldivp1  16944  prmreclem5  16967  prmreclem6  16968  4sqlem12  17003  modxai  17115  modsubi  17119  smndex1iidm  18936  smndex1n0mnd  18947  mulgmodid  19153  odmodnn0  19582  gexdvds  19626  sylow1lem1  19640  gexexlem  19894  znf1o  21593  met1stc  24555  lmnn  25316  bcthlem5  25381  minveclem3  25482  vitali  25667  ismbf3d  25708  itg2seq  25797  plyeq0lem  26269  elqaalem3  26381  aalioulem6  26397  aaliou  26398  logtayllem  26719  sqrt2cxp2logb9e3  26860  atan1  26989  leibpi  27003  birthdaylem2  27013  dfef2  27032  divsqrtsumlem  27041  emcllem1  27057  emcllem2  27058  emcllem3  27059  emcllem4  27060  emcllem6  27062  zetacvg  27076  lgam1  27125  ppiub  27266  vmalelog  27267  logfacbnd3  27285  logexprlim  27287  bcmono  27339  bclbnd  27342  bposlem1  27346  bposlem7  27352  bposlem8  27353  bposlem9  27354  gausslemma2dlem1a  27427  gausslemma2dlem4  27431  gausslemma2dlem6  27434  m1lgs  27450  2lgslem1a1  27451  2lgslem3a1  27462  2lgslem3b1  27463  2lgslem3c1  27464  2lgslem3d1  27465  2lgslem4  27468  2lgsoddprmlem2  27471  2sqreultlem  27509  2sqreunnltlem  27512  rplogsumlem1  27546  dchrisumlema  27550  dchrisumlem2  27552  dchrisumlem3  27553  dchrvmasumlem2  27560  dchrvmasumiflem1  27563  dchrisum0lem1b  27577  dchrisum0lem2a  27579  rplogsum  27589  logdivsum  27595  mulog2sumlem2  27597  logsqvma  27604  logsqvma2  27605  log2sumbnd  27606  selberg2lem  27612  logdivbnd  27618  pntrsumo1  27627  pntrsumbnd  27628  pntibndlem1  27651  pntibndlem2  27653  pntibndlem3  27654  pntlemd  27656  pntlema  27658  pntlemb  27659  pntlemr  27664  pntlemj  27665  pntlemf  27667  pntlemo  27669  crctcshwlkn0lem5  29847  crctcshwlkn0lem6  29848  lnconi  32065  rpdp2cl  32846  rpdp2cl2  32847  hgt750lem  34628  hgt750lem2  34629  hgt750leme  34635  circum  35642  bccolsum  35701  faclimlem3  35707  faclim  35708  poimirlem29  37609  poimirlem30  37610  poimirlem31  37611  poimirlem32  37612  mblfinlem3  37619  itg2addnclem2  37632  itg2addnc  37634  3lexlogpow2ineq1  42015  2ap1caineq  42102  pellexlem4  42788  pell1qrgaplem  42829  pellqrex  42835  congrep  42930  acongeq  42940  proot1ex  43157  hashnzfzclim  44291  xrralrecnnle  45298  nnrecrp  45301  xrralrecnnge  45305  iooiinicc  45460  iooiinioc  45474  fprodsubrecnncnvlem  45828  fprodaddrecnncnvlem  45830  wallispilem4  45989  wallispi  45991  wallispi2lem1  45992  wallispi2lem2  45993  stirlinglem1  45995  stirlinglem2  45996  stirlinglem3  45997  stirlinglem4  45998  stirlinglem6  46000  stirlinglem7  46001  stirlinglem10  46004  stirlinglem11  46005  stirlinglem13  46007  stirlinglem14  46008  stirlinglem15  46009  stirlingr  46011  dirkertrigeqlem1  46019  hoicvrrex  46477  ovnsubaddlem2  46492  hoiqssbllem3  46545  iinhoiicc  46595  iunhoiioo  46597  vonioolem1  46601  vonioolem2  46602  vonicclem1  46604  vonicclem2  46605  preimageiingt  46641  preimaleiinlt  46642  fsummmodsndifre  47248  mod42tp1mod8  47476  lighneallem2  47480  3exp4mod41  47490  41prothprmlem2  47492  perfectALTVlem2  47596  2exp340mod341  47607  8exp8mod9  47610  nfermltl8rev  47616  mod0mul  48253  modn0mul  48254  m1modmmod  48255  difmodm1lt  48256  nnlog2ge0lt1  48300  blennnelnn  48310  nnpw2blen  48314  blen1b  48322  blennnt2  48323  blennn0e2  48328  dignn0fr  48335  dignn0ldlem  48336  dignnld  48337  dig2nn1st  48339  dig0  48340