Theorem nnrp 12939

Description: A positive integer is a positive real. (Contributed by NM, 28-Nov-2008.)

Assertion

Ref	Expression
nnrp	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ+)

Proof of Theorem nnrp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnre 12169	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ)
2		nngt0 12193	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 0 < 𝐴)
3		elrp 12929	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
4	1, 2, 3	sylanbrc 583	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5102  ℝcr 11043  0cc0 11044   < clt 11184  ℕcn 12162  ℝ⁺crp 12927

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-rp 12928

This theorem is referenced by:  nnrpd  12969  nn0ledivnn  13042  adddivflid  13756  divfl0  13762  fldivnn0le  13770  zmodcl  13829  zmodfz  13831  zmodid2  13837  m1modnnsub1  13858  addmodid  13860  modifeq2int  13874  modaddmodup  13875  modaddmodlo  13876  modsumfzodifsn  13885  addmodlteq  13887  nnesq  14168  digit2  14177  digit1  14178  bcrpcl  14249  bcval5  14259  lswccatn0lsw  14532  cshw0  14735  cshwmodn  14736  cshwsublen  14737  cshwidxmod  14744  cshwidxmodr  14745  cshwidxm1  14748  cshwidxm  14749  repswcshw  14753  2cshw  14754  cshweqrep  14762  modfsummods  15735  divcnv  15795  supcvg  15798  harmonic  15801  expcnv  15806  rpnnen2lem11  16168  sqrt2irr  16193  dvdsval3  16202  dvdsmodexp  16206  moddvds  16209  divalgmod  16352  flodddiv4  16361  modgcd  16478  divgcdcoprm0  16611  isprm5  16653  isprm6  16660  nnnn0modprm0  16753  pythagtriplem13  16774  fldivp1  16844  prmreclem5  16867  prmreclem6  16868  4sqlem12  16903  modxai  17015  modsubi  17019  smndex1iidm  18810  smndex1n0mnd  18821  mulgmodid  19027  odmodnn0  19454  gexdvds  19498  sylow1lem1  19512  gexexlem  19766  znf1o  21493  met1stc  24442  lmnn  25196  bcthlem5  25261  minveclem3  25362  vitali  25547  ismbf3d  25588  itg2seq  25676  plyeq0lem  26148  elqaalem3  26262  aalioulem6  26278  aaliou  26279  logtayllem  26601  sqrt2cxp2logb9e3  26742  atan1  26871  leibpi  26885  birthdaylem2  26895  dfef2  26914  divsqrtsumlem  26923  emcllem1  26939  emcllem2  26940  emcllem3  26941  emcllem4  26942  emcllem6  26944  zetacvg  26958  lgam1  27007  ppiub  27148  vmalelog  27149  logfacbnd3  27167  logexprlim  27169  bcmono  27221  bclbnd  27224  bposlem1  27228  bposlem7  27234  bposlem8  27235  bposlem9  27236  gausslemma2dlem1a  27309  gausslemma2dlem4  27313  gausslemma2dlem6  27316  m1lgs  27332  2lgslem1a1  27333  2lgslem3a1  27344  2lgslem3b1  27345  2lgslem3c1  27346  2lgslem3d1  27347  2lgslem4  27350  2lgsoddprmlem2  27353  2sqreultlem  27391  2sqreunnltlem  27394  rplogsumlem1  27428  dchrisumlema  27432  dchrisumlem2  27434  dchrisumlem3  27435  dchrvmasumlem2  27442  dchrvmasumiflem1  27445  dchrisum0lem1b  27459  dchrisum0lem2a  27461  rplogsum  27471  logdivsum  27477  mulog2sumlem2  27479  logsqvma  27486  logsqvma2  27487  log2sumbnd  27488  selberg2lem  27494  logdivbnd  27500  pntrsumo1  27509  pntrsumbnd  27510  pntibndlem1  27533  pntibndlem2  27535  pntibndlem3  27536  pntlemd  27538  pntlema  27540  pntlemb  27541  pntlemr  27546  pntlemj  27547  pntlemf  27549  pntlemo  27551  crctcshwlkn0lem5  29794  crctcshwlkn0lem6  29795  lnconi  32012  rpdp2cl  32852  rpdp2cl2  32853  hgt750lem  34635  hgt750lem2  34636  hgt750leme  34642  circum  35654  bccolsum  35719  faclimlem3  35725  faclim  35726  poimirlem29  37636  poimirlem30  37637  poimirlem31  37638  poimirlem32  37639  mblfinlem3  37646  itg2addnclem2  37659  itg2addnc  37661  3lexlogpow2ineq1  42039  2ap1caineq  42126  pellexlem4  42813  pell1qrgaplem  42854  pellqrex  42860  congrep  42955  acongeq  42965  proot1ex  43178  hashnzfzclim  44304  xrralrecnnle  45372  nnrecrp  45375  xrralrecnnge  45379  iooiinicc  45533  iooiinioc  45547  fprodsubrecnncnvlem  45898  fprodaddrecnncnvlem  45900  wallispilem4  46059  wallispi  46061  wallispi2lem1  46062  wallispi2lem2  46063  stirlinglem1  46065  stirlinglem2  46066  stirlinglem3  46067  stirlinglem4  46068  stirlinglem6  46070  stirlinglem7  46071  stirlinglem10  46074  stirlinglem11  46075  stirlinglem13  46077  stirlinglem14  46078  stirlinglem15  46079  stirlingr  46081  dirkertrigeqlem1  46089  hoicvrrex  46547  ovnsubaddlem2  46562  hoiqssbllem3  46615  iinhoiicc  46665  iunhoiioo  46667  vonioolem1  46671  vonioolem2  46672  vonicclem1  46674  vonicclem2  46675  preimageiingt  46711  preimaleiinlt  46712  addmodne  47338  submodlt  47344  mod0mul  47350  modn0mul  47351  m1modmmod  47352  difmodm1lt  47353  modlt0b  47357  mod2addne  47358  fsummmodsndifre  47368  mod42tp1mod8  47596  lighneallem2  47600  3exp4mod41  47610  41prothprmlem2  47612  perfectALTVlem2  47716  2exp340mod341  47727  8exp8mod9  47730  nfermltl8rev  47736  gpgedgvtx0  48045  gpgedgvtx1  48046  gpgvtxedg0  48047  gpgvtxedg1  48048  gpg3kgrtriexlem1  48067  gpg3kgrtriexlem2  48068  nnlog2ge0lt1  48548  blennnelnn  48558  nnpw2blen  48562  blen1b  48570  blennnt2  48571  blennn0e2  48576  dignn0fr  48583  dignn0ldlem  48584  dignnld  48585  dig2nn1st  48587  dig0  48588