Theorem nnrp 13172

Description: A positive integer is a positive real. (Contributed by NM, 28-Nov-2008.)

Assertion

Ref	Expression
nnrp	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ+)

Proof of Theorem nnrp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnre 12382	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ)
2		nngt0 12409	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 0 < 𝐴)
3		elrp 13162	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
4	1, 2, 3	sylanbrc 595	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ+)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2147   class class class wbr 5108  ℝcr 11238  0cc0 11239   < clt 11382  ℕcn 12375  ℝ⁺crp 13160

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-rp 13161

This theorem is used by:  nnrpd  13202  nn0ledivnn  13275  adddivflid  13998  divfl0  14004  fldivnn0le  14012  zmodcl  14071  zmodfz  14073  zmodid2  14079  m1modnnsub1  14100  addmodid  14102  modifeq2int  14116  modaddmodup  14117  modaddmodlo  14118  modsumfzodifsn  14127  addmodlteq  14129  nnesq  14412  digit2  14421  digit1  14422  bcrpcl  14493  bcval5  14503  lswccatn0lsw  14779  cshw0  14987  cshwmodn  14988  cshwsublen  14989  cshwidxmod  14996  cshwidxmodr  14997  cshwidxm1  15000  cshwidxm  15001  repswcshw  15005  2cshw  15006  cshweqrep  15014  modfsummods  16004  divcnv  16066  supcvg  16069  harmonic  16072  expcnv  16077  rpnnen2lem11  16436  sqrt2irr  16461  dvdsval3  16470  dvdsmodexp  16474  moddvds  16477  divalgmod  16620  flodddiv4  16629  modgcd  16749  divgcdcoprm0  16884  isprm5  16927  isprm6  16934  nnnn0modprm0  17028  pythagtriplem13  17049  fldivp1  17119  prmreclem5  17142  prmreclem6  17143  4sqlem12  17178  modxai  17290  modsubi  17294  smndex1iidm  19147  smndex1n0mnd  19161  mulgmodid  19373  odmodnn0  19805  gexdvds  19849  sylow1lem1  19863  gexexlem  20117  znf1o  21912  met1stc  24895  lmnn  25639  bcthlem5  25704  minveclem3  25805  vitali  25989  ismbf3d  26030  itg2seq  26118  plyeq0lem  26584  elqaalem3  26701  aalioulem6  26721  aaliou  26722  logtayllem  27044  sqrt2cxp2logb9e3  27184  atan1  27313  leibpi  27327  birthdaylem2  27337  dfef2  27355  divsqrtsumlem  27364  emcllem1  27380  emcllem2  27381  emcllem3  27382  emcllem4  27383  emcllem6  27385  zetacvg  27399  lgam1  27448  ppiub  27588  vmalelog  27589  logfacbnd3  27607  logexprlim  27609  bcmono  27661  bclbnd  27664  bposlem1  27668  bposlem7  27674  bposlem8  27675  bposlem9  27676  gausslemma2dlem1a  27749  gausslemma2dlem4  27753  gausslemma2dlem6  27756  m1lgs  27772  2lgslem1a1  27773  2lgslem3a1  27784  2lgslem3b1  27785  2lgslem3c1  27786  2lgslem3d1  27787  2lgslem4  27790  2lgsoddprmlem2  27793  2sqreultlem  27831  2sqreunnltlem  27834  rplogsumlem1  27868  dchrisumlema  27872  dchrisumlem2  27874  dchrisumlem3  27875  dchrvmasumlem2  27882  dchrvmasumiflem1  27885  dchrisum0lem1b  27899  dchrisum0lem2a  27901  rplogsum  27911  logdivsum  27917  mulog2sumlem2  27919  logsqvma  27926  logsqvma2  27927  log2sumbnd  27928  selberg2lem  27934  logdivbnd  27940  pntrsumo1  27949  pntrsumbnd  27950  pntibndlem1  27973  pntibndlem2  27975  pntibndlem3  27976  pntlemd  27978  pntlema  27980  pntlemb  27981  pntlemr  27986  pntlemj  27987  pntlemf  27989  pntlemo  27991  crctcshwlkn0lem5  30460  crctcshwlkn0lem6  30461  lnconi  32692  rpdp2cl  33544  rpdp2cl2  33545  hgt750lem  35391  hgt750lem2  35392  hgt750leme  35398  circum  36647  bccolsum  36719  faclimlem3  36725  faclim  36726  poimirlem29  38835  poimirlem30  38836  poimirlem31  38837  poimirlem32  38838  mblfinlem3  38845  itg2addnclem2  38858  itg2addnc  38860  3lexlogpow2ineq1  43374  2ap1caineq  43461  pellexlem4  44105  pell1qrgaplem  44146  pellqrex  44152  congrep  44246  acongeq  44256  proot1ex  44459  hashnzfzclim  45567  xrralrecnnle  46667  nnrecrp  46670  xrralrecnnge  46674  iooiinicc  46827  iooiinioc  46841  fprodsubrecnncnvlem  47190  fprodaddrecnncnvlem  47192  wallispilem4  47351  wallispi  47353  wallispi2lem1  47354  wallispi2lem2  47355  stirlinglem1  47357  stirlinglem2  47358  stirlinglem3  47359  stirlinglem4  47360  stirlinglem6  47362  stirlinglem7  47363  stirlinglem10  47366  stirlinglem11  47367  stirlinglem13  47369  stirlinglem14  47370  stirlinglem15  47371  stirlingr  47373  dirkertrigeqlem1  47381  hoicvrrex  47839  ovnsubaddlem2  47854  hoiqssbllem3  47907  iinhoiicc  47957  iunhoiioo  47959  vonioolem1  47963  vonioolem2  47964  vonicclem1  47966  vonicclem2  47967  nnmul2  48673  flmrecm1  48686  addmodne  48693  submodlt  48699  mod0mul  48705  modn0mul  48706  m1modmmod  48707  difmodm1lt  48708  modlt0b  48712  mod2addne  48713  fsummmodsndifre  48725  mod42tp1mod8  48960  lighneallem2  48964  3exp4mod41  48974  41prothprmlem2  48976  perfectALTVlem2  49093  2exp340mod341  49104  8exp8mod9  49107  nfermltl8rev  49113  gpgedgvtx0  49432  gpgedgvtx1  49433  gpgvtxedg0  49434  gpgvtxedg1  49435  gpg3kgrtriexlem1  49454  gpg3kgrtriexlem2  49455  nnlog2ge0lt1  50009  blennnelnn  50019  nnpw2blen  50023  blen1b  50031  blennnt2  50032  blennn0e2  50037  dignn0fr  50044  dignn0ldlem  50045  dignnld  50046  dig2nn1st  50048  dig0  50049