Theorem nnrp 12963

Description: A positive integer is a positive real. (Contributed by NM, 28-Nov-2008.)

Assertion

Ref	Expression
nnrp	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ+)

Proof of Theorem nnrp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnre 12193	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ)
2		nngt0 12217	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 0 < 𝐴)
3		elrp 12953	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
4	1, 2, 3	sylanbrc 583	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5107  ℝcr 11067  0cc0 11068   < clt 11208  ℕcn 12186  ℝ⁺crp 12951

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-rp 12952

This theorem is referenced by:  nnrpd  12993  nn0ledivnn  13066  adddivflid  13780  divfl0  13786  fldivnn0le  13794  zmodcl  13853  zmodfz  13855  zmodid2  13861  m1modnnsub1  13882  addmodid  13884  modifeq2int  13898  modaddmodup  13899  modaddmodlo  13900  modsumfzodifsn  13909  addmodlteq  13911  nnesq  14192  digit2  14201  digit1  14202  bcrpcl  14273  bcval5  14283  lswccatn0lsw  14556  cshw0  14759  cshwmodn  14760  cshwsublen  14761  cshwidxmod  14768  cshwidxmodr  14769  cshwidxm1  14772  cshwidxm  14773  repswcshw  14777  2cshw  14778  cshweqrep  14786  modfsummods  15759  divcnv  15819  supcvg  15822  harmonic  15825  expcnv  15830  rpnnen2lem11  16192  sqrt2irr  16217  dvdsval3  16226  dvdsmodexp  16230  moddvds  16233  divalgmod  16376  flodddiv4  16385  modgcd  16502  divgcdcoprm0  16635  isprm5  16677  isprm6  16684  nnnn0modprm0  16777  pythagtriplem13  16798  fldivp1  16868  prmreclem5  16891  prmreclem6  16892  4sqlem12  16927  modxai  17039  modsubi  17043  smndex1iidm  18828  smndex1n0mnd  18839  mulgmodid  19045  odmodnn0  19470  gexdvds  19514  sylow1lem1  19528  gexexlem  19782  znf1o  21461  met1stc  24409  lmnn  25163  bcthlem5  25228  minveclem3  25329  vitali  25514  ismbf3d  25555  itg2seq  25643  plyeq0lem  26115  elqaalem3  26229  aalioulem6  26245  aaliou  26246  logtayllem  26568  sqrt2cxp2logb9e3  26709  atan1  26838  leibpi  26852  birthdaylem2  26862  dfef2  26881  divsqrtsumlem  26890  emcllem1  26906  emcllem2  26907  emcllem3  26908  emcllem4  26909  emcllem6  26911  zetacvg  26925  lgam1  26974  ppiub  27115  vmalelog  27116  logfacbnd3  27134  logexprlim  27136  bcmono  27188  bclbnd  27191  bposlem1  27195  bposlem7  27201  bposlem8  27202  bposlem9  27203  gausslemma2dlem1a  27276  gausslemma2dlem4  27280  gausslemma2dlem6  27283  m1lgs  27299  2lgslem1a1  27300  2lgslem3a1  27311  2lgslem3b1  27312  2lgslem3c1  27313  2lgslem3d1  27314  2lgslem4  27317  2lgsoddprmlem2  27320  2sqreultlem  27358  2sqreunnltlem  27361  rplogsumlem1  27395  dchrisumlema  27399  dchrisumlem2  27401  dchrisumlem3  27402  dchrvmasumlem2  27409  dchrvmasumiflem1  27412  dchrisum0lem1b  27426  dchrisum0lem2a  27428  rplogsum  27438  logdivsum  27444  mulog2sumlem2  27446  logsqvma  27453  logsqvma2  27454  log2sumbnd  27455  selberg2lem  27461  logdivbnd  27467  pntrsumo1  27476  pntrsumbnd  27477  pntibndlem1  27500  pntibndlem2  27502  pntibndlem3  27503  pntlemd  27505  pntlema  27507  pntlemb  27508  pntlemr  27513  pntlemj  27514  pntlemf  27516  pntlemo  27518  crctcshwlkn0lem5  29744  crctcshwlkn0lem6  29745  lnconi  31962  rpdp2cl  32802  rpdp2cl2  32803  hgt750lem  34642  hgt750lem2  34643  hgt750leme  34649  circum  35661  bccolsum  35726  faclimlem3  35732  faclim  35733  poimirlem29  37643  poimirlem30  37644  poimirlem31  37645  poimirlem32  37646  mblfinlem3  37653  itg2addnclem2  37666  itg2addnc  37668  3lexlogpow2ineq1  42046  2ap1caineq  42133  pellexlem4  42820  pell1qrgaplem  42861  pellqrex  42867  congrep  42962  acongeq  42972  proot1ex  43185  hashnzfzclim  44311  xrralrecnnle  45379  nnrecrp  45382  xrralrecnnge  45386  iooiinicc  45540  iooiinioc  45554  fprodsubrecnncnvlem  45905  fprodaddrecnncnvlem  45907  wallispilem4  46066  wallispi  46068  wallispi2lem1  46069  wallispi2lem2  46070  stirlinglem1  46072  stirlinglem2  46073  stirlinglem3  46074  stirlinglem4  46075  stirlinglem6  46077  stirlinglem7  46078  stirlinglem10  46081  stirlinglem11  46082  stirlinglem13  46084  stirlinglem14  46085  stirlinglem15  46086  stirlingr  46088  dirkertrigeqlem1  46096  hoicvrrex  46554  ovnsubaddlem2  46569  hoiqssbllem3  46622  iinhoiicc  46672  iunhoiioo  46674  vonioolem1  46678  vonioolem2  46679  vonicclem1  46681  vonicclem2  46682  preimageiingt  46718  preimaleiinlt  46719  addmodne  47345  submodlt  47351  mod0mul  47357  modn0mul  47358  m1modmmod  47359  difmodm1lt  47360  modlt0b  47364  mod2addne  47365  fsummmodsndifre  47375  mod42tp1mod8  47603  lighneallem2  47607  3exp4mod41  47617  41prothprmlem2  47619  perfectALTVlem2  47723  2exp340mod341  47734  8exp8mod9  47737  nfermltl8rev  47743  gpgedgvtx0  48052  gpgedgvtx1  48053  gpgvtxedg0  48054  gpgvtxedg1  48055  gpg3kgrtriexlem1  48074  gpg3kgrtriexlem2  48075  nnlog2ge0lt1  48555  blennnelnn  48565  nnpw2blen  48569  blen1b  48577  blennnt2  48578  blennn0e2  48583  dignn0fr  48590  dignn0ldlem  48591  dignnld  48592  dig2nn1st  48594  dig0  48595