Theorem nnrp 12905

Description: A positive integer is a positive real. (Contributed by NM, 28-Nov-2008.)

Assertion

Ref	Expression
nnrp	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ+)

Proof of Theorem nnrp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnre 12135	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ)
2		nngt0 12159	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 0 < 𝐴)
3		elrp 12895	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
4	1, 2, 3	sylanbrc 583	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5092  ℝcr 11008  0cc0 11009   < clt 11149  ℕcn 12128  ℝ⁺crp 12893

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-nn 12129  df-rp 12894

This theorem is referenced by:  nnrpd  12935  nn0ledivnn  13008  adddivflid  13722  divfl0  13728  fldivnn0le  13736  zmodcl  13795  zmodfz  13797  zmodid2  13803  m1modnnsub1  13824  addmodid  13826  modifeq2int  13840  modaddmodup  13841  modaddmodlo  13842  modsumfzodifsn  13851  addmodlteq  13853  nnesq  14134  digit2  14143  digit1  14144  bcrpcl  14215  bcval5  14225  lswccatn0lsw  14498  cshw0  14700  cshwmodn  14701  cshwsublen  14702  cshwidxmod  14709  cshwidxmodr  14710  cshwidxm1  14713  cshwidxm  14714  repswcshw  14718  2cshw  14719  cshweqrep  14727  modfsummods  15700  divcnv  15760  supcvg  15763  harmonic  15766  expcnv  15771  rpnnen2lem11  16133  sqrt2irr  16158  dvdsval3  16167  dvdsmodexp  16171  moddvds  16174  divalgmod  16317  flodddiv4  16326  modgcd  16443  divgcdcoprm0  16576  isprm5  16618  isprm6  16625  nnnn0modprm0  16718  pythagtriplem13  16739  fldivp1  16809  prmreclem5  16832  prmreclem6  16833  4sqlem12  16868  modxai  16980  modsubi  16984  smndex1iidm  18775  smndex1n0mnd  18786  mulgmodid  18992  odmodnn0  19419  gexdvds  19463  sylow1lem1  19477  gexexlem  19731  znf1o  21458  met1stc  24407  lmnn  25161  bcthlem5  25226  minveclem3  25327  vitali  25512  ismbf3d  25553  itg2seq  25641  plyeq0lem  26113  elqaalem3  26227  aalioulem6  26243  aaliou  26244  logtayllem  26566  sqrt2cxp2logb9e3  26707  atan1  26836  leibpi  26850  birthdaylem2  26860  dfef2  26879  divsqrtsumlem  26888  emcllem1  26904  emcllem2  26905  emcllem3  26906  emcllem4  26907  emcllem6  26909  zetacvg  26923  lgam1  26972  ppiub  27113  vmalelog  27114  logfacbnd3  27132  logexprlim  27134  bcmono  27186  bclbnd  27189  bposlem1  27193  bposlem7  27199  bposlem8  27200  bposlem9  27201  gausslemma2dlem1a  27274  gausslemma2dlem4  27278  gausslemma2dlem6  27281  m1lgs  27297  2lgslem1a1  27298  2lgslem3a1  27309  2lgslem3b1  27310  2lgslem3c1  27311  2lgslem3d1  27312  2lgslem4  27315  2lgsoddprmlem2  27318  2sqreultlem  27356  2sqreunnltlem  27359  rplogsumlem1  27393  dchrisumlema  27397  dchrisumlem2  27399  dchrisumlem3  27400  dchrvmasumlem2  27407  dchrvmasumiflem1  27410  dchrisum0lem1b  27424  dchrisum0lem2a  27426  rplogsum  27436  logdivsum  27442  mulog2sumlem2  27444  logsqvma  27451  logsqvma2  27452  log2sumbnd  27453  selberg2lem  27459  logdivbnd  27465  pntrsumo1  27474  pntrsumbnd  27475  pntibndlem1  27498  pntibndlem2  27500  pntibndlem3  27501  pntlemd  27503  pntlema  27505  pntlemb  27506  pntlemr  27511  pntlemj  27512  pntlemf  27514  pntlemo  27516  crctcshwlkn0lem5  29759  crctcshwlkn0lem6  29760  lnconi  31977  rpdp2cl  32822  rpdp2cl2  32823  hgt750lem  34619  hgt750lem2  34620  hgt750leme  34626  circum  35647  bccolsum  35712  faclimlem3  35718  faclim  35719  poimirlem29  37629  poimirlem30  37630  poimirlem31  37631  poimirlem32  37632  mblfinlem3  37639  itg2addnclem2  37652  itg2addnc  37654  3lexlogpow2ineq1  42031  2ap1caineq  42118  pellexlem4  42805  pell1qrgaplem  42846  pellqrex  42852  congrep  42946  acongeq  42956  proot1ex  43169  hashnzfzclim  44295  xrralrecnnle  45362  nnrecrp  45365  xrralrecnnge  45369  iooiinicc  45523  iooiinioc  45537  fprodsubrecnncnvlem  45888  fprodaddrecnncnvlem  45890  wallispilem4  46049  wallispi  46051  wallispi2lem1  46052  wallispi2lem2  46053  stirlinglem1  46055  stirlinglem2  46056  stirlinglem3  46057  stirlinglem4  46058  stirlinglem6  46060  stirlinglem7  46061  stirlinglem10  46064  stirlinglem11  46065  stirlinglem13  46067  stirlinglem14  46068  stirlinglem15  46069  stirlingr  46071  dirkertrigeqlem1  46079  hoicvrrex  46537  ovnsubaddlem2  46552  hoiqssbllem3  46605  iinhoiicc  46655  iunhoiioo  46657  vonioolem1  46661  vonioolem2  46662  vonicclem1  46664  vonicclem2  46665  preimageiingt  46701  preimaleiinlt  46702  addmodne  47328  submodlt  47334  mod0mul  47340  modn0mul  47341  m1modmmod  47342  difmodm1lt  47343  modlt0b  47347  mod2addne  47348  fsummmodsndifre  47358  mod42tp1mod8  47586  lighneallem2  47590  3exp4mod41  47600  41prothprmlem2  47602  perfectALTVlem2  47706  2exp340mod341  47717  8exp8mod9  47720  nfermltl8rev  47726  gpgedgvtx0  48045  gpgedgvtx1  48046  gpgvtxedg0  48047  gpgvtxedg1  48048  gpg3kgrtriexlem1  48067  gpg3kgrtriexlem2  48068  nnlog2ge0lt1  48551  blennnelnn  48561  nnpw2blen  48565  blen1b  48573  blennnt2  48574  blennn0e2  48579  dignn0fr  48586  dignn0ldlem  48587  dignnld  48588  dig2nn1st  48590  dig0  48591