Theorem nnrp 12741

Description: A positive integer is a positive real. (Contributed by NM, 28-Nov-2008.)

Assertion

Ref	Expression
nnrp	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ+)

Proof of Theorem nnrp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnre 11980	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ)
2		nngt0 12004	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 0 < 𝐴)
3		elrp 12732	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
4	1, 2, 3	sylanbrc 583	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5074  ℝcr 10870  0cc0 10871   < clt 11009  ℕcn 11973  ℝ⁺crp 12730

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-rp 12731

This theorem is referenced by:  nnrpd  12770  nn0ledivnn  12843  adddivflid  13538  divfl0  13544  fldivnn0le  13552  zmodcl  13611  zmodfz  13613  zmodid2  13619  m1modnnsub1  13637  addmodid  13639  modifeq2int  13653  modaddmodup  13654  modaddmodlo  13655  modsumfzodifsn  13664  addmodlteq  13666  nnesq  13942  digit2  13951  digit1  13952  bcrpcl  14022  bcval5  14032  lswccatn0lsw  14296  cshw0  14507  cshwmodn  14508  cshwsublen  14509  cshwidxmod  14516  cshwidxmodr  14517  cshwidxm1  14520  cshwidxm  14521  repswcshw  14525  2cshw  14526  cshweqrep  14534  modfsummods  15505  divcnv  15565  supcvg  15568  harmonic  15571  expcnv  15576  rpnnen2lem11  15933  sqrt2irr  15958  dvdsval3  15967  dvdsmodexp  15971  moddvds  15974  divalgmod  16115  flodddiv4  16122  modgcd  16240  divgcdcoprm0  16370  isprm5  16412  isprm6  16419  nnnn0modprm0  16507  pythagtriplem13  16528  fldivp1  16598  prmreclem5  16621  prmreclem6  16622  4sqlem12  16657  modxai  16769  modsubi  16773  smndex1iidm  18540  smndex1n0mnd  18551  mulgmodid  18742  odmodnn0  19148  gexdvds  19189  sylow1lem1  19203  gexexlem  19453  znf1o  20759  met1stc  23677  lmnn  24427  bcthlem5  24492  minveclem3  24593  vitali  24777  ismbf3d  24818  itg2seq  24907  plyeq0lem  25371  elqaalem3  25481  aalioulem6  25497  aaliou  25498  logtayllem  25814  sqrt2cxp2logb9e3  25949  atan1  26078  leibpi  26092  birthdaylem2  26102  dfef2  26120  divsqrtsumlem  26129  emcllem1  26145  emcllem2  26146  emcllem3  26147  emcllem4  26148  emcllem6  26150  zetacvg  26164  lgam1  26213  ppiub  26352  vmalelog  26353  logfacbnd3  26371  logexprlim  26373  bcmono  26425  bclbnd  26428  bposlem1  26432  bposlem7  26438  bposlem8  26439  bposlem9  26440  gausslemma2dlem1a  26513  gausslemma2dlem4  26517  gausslemma2dlem6  26520  m1lgs  26536  2lgslem1a1  26537  2lgslem3a1  26548  2lgslem3b1  26549  2lgslem3c1  26550  2lgslem3d1  26551  2lgslem4  26554  2lgsoddprmlem2  26557  2sqreultlem  26595  2sqreunnltlem  26598  rplogsumlem1  26632  dchrisumlema  26636  dchrisumlem2  26638  dchrisumlem3  26639  dchrvmasumlem2  26646  dchrvmasumiflem1  26649  dchrisum0lem1b  26663  dchrisum0lem2a  26665  rplogsum  26675  logdivsum  26681  mulog2sumlem2  26683  logsqvma  26690  logsqvma2  26691  log2sumbnd  26692  selberg2lem  26698  logdivbnd  26704  pntrsumo1  26713  pntrsumbnd  26714  pntibndlem1  26737  pntibndlem2  26739  pntibndlem3  26740  pntlemd  26742  pntlema  26744  pntlemb  26745  pntlemr  26750  pntlemj  26751  pntlemf  26753  pntlemo  26755  crctcshwlkn0lem5  28179  crctcshwlkn0lem6  28180  lnconi  30395  rpdp2cl  31156  rpdp2cl2  31157  hgt750lem  32631  hgt750lem2  32632  hgt750leme  32638  circum  33632  bccolsum  33705  faclimlem3  33711  faclim  33712  poimirlem29  35806  poimirlem30  35807  poimirlem31  35808  poimirlem32  35809  mblfinlem3  35816  itg2addnclem2  35829  itg2addnc  35831  3lexlogpow2ineq1  40066  2ap1caineq  40101  pellexlem4  40654  pell1qrgaplem  40695  pellqrex  40701  congrep  40795  acongeq  40805  proot1ex  41026  hashnzfzclim  41940  xrralrecnnle  42922  nnrecrp  42925  xrralrecnnge  42930  iooiinicc  43080  iooiinioc  43094  fprodsubrecnncnvlem  43448  fprodaddrecnncnvlem  43450  wallispilem4  43609  wallispi  43611  wallispi2lem1  43612  wallispi2lem2  43613  stirlinglem1  43615  stirlinglem2  43616  stirlinglem3  43617  stirlinglem4  43618  stirlinglem6  43620  stirlinglem7  43621  stirlinglem10  43624  stirlinglem11  43625  stirlinglem13  43627  stirlinglem14  43628  stirlinglem15  43629  stirlingr  43631  dirkertrigeqlem1  43639  hoicvrrex  44094  ovnsubaddlem2  44109  hoiqssbllem3  44162  iinhoiicc  44212  iunhoiioo  44214  vonioolem1  44218  vonioolem2  44219  vonicclem1  44221  vonicclem2  44222  preimageiingt  44257  preimaleiinlt  44258  fsummmodsndifre  44826  mod42tp1mod8  45054  lighneallem2  45058  3exp4mod41  45068  41prothprmlem2  45070  perfectALTVlem2  45174  2exp340mod341  45185  8exp8mod9  45188  nfermltl8rev  45194  mod0mul  45865  modn0mul  45866  m1modmmod  45867  difmodm1lt  45868  nnlog2ge0lt1  45912  blennnelnn  45922  nnpw2blen  45926  blen1b  45934  blennnt2  45935  blennn0e2  45940  dignn0fr  45947  dignn0ldlem  45948  dignnld  45949  dig2nn1st  45951  dig0  45952