Theorem nnrp 12670

Description: A positive integer is a positive real. (Contributed by NM, 28-Nov-2008.)

Assertion

Ref	Expression
nnrp	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ+)

Proof of Theorem nnrp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnre 11910	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ)
2		nngt0 11934	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 0 < 𝐴)
3		elrp 12661	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
4	1, 2, 3	sylanbrc 582	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5070  ℝcr 10801  0cc0 10802   < clt 10940  ℕcn 11903  ℝ⁺crp 12659

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-rp 12660

This theorem is referenced by:  nnrpd  12699  nn0ledivnn  12772  adddivflid  13466  divfl0  13472  fldivnn0le  13480  zmodcl  13539  zmodfz  13541  zmodid2  13547  m1modnnsub1  13565  addmodid  13567  modifeq2int  13581  modaddmodup  13582  modaddmodlo  13583  modsumfzodifsn  13592  addmodlteq  13594  nnesq  13870  digit2  13879  digit1  13880  bcrpcl  13950  bcval5  13960  lswccatn0lsw  14224  cshw0  14435  cshwmodn  14436  cshwsublen  14437  cshwidxmod  14444  cshwidxmodr  14445  cshwidxm1  14448  cshwidxm  14449  repswcshw  14453  2cshw  14454  cshweqrep  14462  modfsummods  15433  divcnv  15493  supcvg  15496  harmonic  15499  expcnv  15504  rpnnen2lem11  15861  sqrt2irr  15886  dvdsval3  15895  dvdsmodexp  15899  moddvds  15902  divalgmod  16043  flodddiv4  16050  modgcd  16168  divgcdcoprm0  16298  isprm5  16340  isprm6  16347  nnnn0modprm0  16435  pythagtriplem13  16456  fldivp1  16526  prmreclem5  16549  prmreclem6  16550  4sqlem12  16585  modxai  16697  modsubi  16701  smndex1iidm  18455  smndex1n0mnd  18466  mulgmodid  18657  odmodnn0  19063  gexdvds  19104  sylow1lem1  19118  gexexlem  19368  znf1o  20671  met1stc  23583  lmnn  24332  bcthlem5  24397  minveclem3  24498  vitali  24682  ismbf3d  24723  itg2seq  24812  plyeq0lem  25276  elqaalem3  25386  aalioulem6  25402  aaliou  25403  logtayllem  25719  sqrt2cxp2logb9e3  25854  atan1  25983  leibpi  25997  birthdaylem2  26007  dfef2  26025  divsqrtsumlem  26034  emcllem1  26050  emcllem2  26051  emcllem3  26052  emcllem4  26053  emcllem6  26055  zetacvg  26069  lgam1  26118  ppiub  26257  vmalelog  26258  logfacbnd3  26276  logexprlim  26278  bcmono  26330  bclbnd  26333  bposlem1  26337  bposlem7  26343  bposlem8  26344  bposlem9  26345  gausslemma2dlem1a  26418  gausslemma2dlem4  26422  gausslemma2dlem6  26425  m1lgs  26441  2lgslem1a1  26442  2lgslem3a1  26453  2lgslem3b1  26454  2lgslem3c1  26455  2lgslem3d1  26456  2lgslem4  26459  2lgsoddprmlem2  26462  2sqreultlem  26500  2sqreunnltlem  26503  rplogsumlem1  26537  dchrisumlema  26541  dchrisumlem2  26543  dchrisumlem3  26544  dchrvmasumlem2  26551  dchrvmasumiflem1  26554  dchrisum0lem1b  26568  dchrisum0lem2a  26570  rplogsum  26580  logdivsum  26586  mulog2sumlem2  26588  logsqvma  26595  logsqvma2  26596  log2sumbnd  26597  selberg2lem  26603  logdivbnd  26609  pntrsumo1  26618  pntrsumbnd  26619  pntibndlem1  26642  pntibndlem2  26644  pntibndlem3  26645  pntlemd  26647  pntlema  26649  pntlemb  26650  pntlemr  26655  pntlemj  26656  pntlemf  26658  pntlemo  26660  crctcshwlkn0lem5  28080  crctcshwlkn0lem6  28081  lnconi  30296  rpdp2cl  31058  rpdp2cl2  31059  hgt750lem  32531  hgt750lem2  32532  hgt750leme  32538  circum  33532  bccolsum  33611  faclimlem3  33617  faclim  33618  poimirlem29  35733  poimirlem30  35734  poimirlem31  35735  poimirlem32  35736  mblfinlem3  35743  itg2addnclem2  35756  itg2addnc  35758  3lexlogpow2ineq1  39994  2ap1caineq  40029  pellexlem4  40570  pell1qrgaplem  40611  pellqrex  40617  congrep  40711  acongeq  40721  proot1ex  40942  hashnzfzclim  41829  xrralrecnnle  42812  nnrecrp  42815  xrralrecnnge  42820  iooiinicc  42970  iooiinioc  42984  fprodsubrecnncnvlem  43338  fprodaddrecnncnvlem  43340  wallispilem4  43499  wallispi  43501  wallispi2lem1  43502  wallispi2lem2  43503  stirlinglem1  43505  stirlinglem2  43506  stirlinglem3  43507  stirlinglem4  43508  stirlinglem6  43510  stirlinglem7  43511  stirlinglem10  43514  stirlinglem11  43515  stirlinglem13  43517  stirlinglem14  43518  stirlinglem15  43519  stirlingr  43521  dirkertrigeqlem1  43529  hoicvrrex  43984  ovnsubaddlem2  43999  hoiqssbllem3  44052  iinhoiicc  44102  iunhoiioo  44104  vonioolem1  44108  vonioolem2  44109  vonicclem1  44111  vonicclem2  44112  preimageiingt  44144  preimaleiinlt  44145  fsummmodsndifre  44714  mod42tp1mod8  44942  lighneallem2  44946  3exp4mod41  44956  41prothprmlem2  44958  perfectALTVlem2  45062  2exp340mod341  45073  8exp8mod9  45076  nfermltl8rev  45082  mod0mul  45753  modn0mul  45754  m1modmmod  45755  difmodm1lt  45756  nnlog2ge0lt1  45800  blennnelnn  45810  nnpw2blen  45814  blen1b  45822  blennnt2  45823  blennn0e2  45828  dignn0fr  45835  dignn0ldlem  45836  dignnld  45837  dig2nn1st  45839  dig0  45840