Theorem nnrp 13044

Description: A positive integer is a positive real. (Contributed by NM, 28-Nov-2008.)

Assertion

Ref	Expression
nnrp	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ+)

Proof of Theorem nnrp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnre 12255	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ)
2		nngt0 12282	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 0 < 𝐴)
3		elrp 13034	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
4	1, 2, 3	sylanbrc 595	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ+)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2146   class class class wbr 5111  ℝcr 11114  0cc0 11115   < clt 11258  ℕcn 12248  ℝ⁺crp 13032

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-resscn 11172  ax-1cn 11173  ax-icn 11174  ax-addcl 11175  ax-addrcl 11176  ax-mulcl 11177  ax-mulrcl 11178  ax-mulcom 11179  ax-addass 11180  ax-mulass 11181  ax-distr 11182  ax-i2m1 11183  ax-1ne0 11184  ax-1rid 11185  ax-rnegex 11186  ax-rrecex 11187  ax-cnre 11188  ax-pre-lttri 11189  ax-pre-lttrn 11190  ax-pre-ltadd 11191  ax-pre-mulgt0 11192

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-pnf 11260  df-mnf 11261  df-xr 11262  df-ltxr 11263  df-le 11264  df-sub 11458  df-neg 11459  df-nn 12249  df-rp 13033

This theorem is used by:  nnrpd  13074  nn0ledivnn  13147  adddivflid  13869  divfl0  13875  fldivnn0le  13883  zmodcl  13942  zmodfz  13944  zmodid2  13950  m1modnnsub1  13971  addmodid  13973  modifeq2int  13987  modaddmodup  13988  modaddmodlo  13989  modsumfzodifsn  13998  addmodlteq  14000  nnesq  14281  digit2  14290  digit1  14291  bcrpcl  14362  bcval5  14372  lswccatn0lsw  14648  cshw0  14855  cshwmodn  14856  cshwsublen  14857  cshwidxmod  14864  cshwidxmodr  14865  cshwidxm1  14868  cshwidxm  14869  repswcshw  14873  2cshw  14874  cshweqrep  14882  modfsummods  15868  divcnv  15930  supcvg  15933  harmonic  15936  expcnv  15941  rpnnen2lem11  16302  sqrt2irr  16327  dvdsval3  16336  dvdsmodexp  16340  moddvds  16343  divalgmod  16486  flodddiv4  16495  modgcd  16612  divgcdcoprm0  16745  isprm5  16788  isprm6  16795  nnnn0modprm0  16888  pythagtriplem13  16909  fldivp1  16979  prmreclem5  17002  prmreclem6  17003  4sqlem12  17038  modxai  17150  modsubi  17154  smndex1iidm  18997  smndex1n0mnd  19011  mulgmodid  19223  odmodnn0  19654  gexdvds  19698  sylow1lem1  19712  gexexlem  19966  znf1o  21751  met1stc  24729  lmnn  25473  bcthlem5  25538  minveclem3  25639  vitali  25823  ismbf3d  25864  itg2seq  25952  plyeq0lem  26418  elqaalem3  26533  aalioulem6  26551  aaliou  26552  logtayllem  26875  sqrt2cxp2logb9e3  27015  atan1  27144  leibpi  27158  birthdaylem2  27168  dfef2  27186  divsqrtsumlem  27195  emcllem1  27211  emcllem2  27212  emcllem3  27213  emcllem4  27214  emcllem6  27216  zetacvg  27230  lgam1  27279  ppiub  27419  vmalelog  27420  logfacbnd3  27438  logexprlim  27440  bcmono  27492  bclbnd  27495  bposlem1  27499  bposlem7  27505  bposlem8  27506  bposlem9  27507  gausslemma2dlem1a  27580  gausslemma2dlem4  27584  gausslemma2dlem6  27587  m1lgs  27603  2lgslem1a1  27604  2lgslem3a1  27615  2lgslem3b1  27616  2lgslem3c1  27617  2lgslem3d1  27618  2lgslem4  27621  2lgsoddprmlem2  27624  2sqreultlem  27662  2sqreunnltlem  27665  rplogsumlem1  27699  dchrisumlema  27703  dchrisumlem2  27705  dchrisumlem3  27706  dchrvmasumlem2  27713  dchrvmasumiflem1  27716  dchrisum0lem1b  27730  dchrisum0lem2a  27732  rplogsum  27742  logdivsum  27748  mulog2sumlem2  27750  logsqvma  27757  logsqvma2  27758  log2sumbnd  27759  selberg2lem  27765  logdivbnd  27771  pntrsumo1  27780  pntrsumbnd  27781  pntibndlem1  27804  pntibndlem2  27806  pntibndlem3  27807  pntlemd  27809  pntlema  27811  pntlemb  27812  pntlemr  27817  pntlemj  27818  pntlemf  27820  pntlemo  27822  crctcshwlkn0lem5  30230  crctcshwlkn0lem6  30231  lnconi  32456  rpdp2cl  33271  rpdp2cl2  33272  hgt750lem  35103  hgt750lem2  35104  hgt750leme  35110  circum  36203  bccolsum  36268  faclimlem3  36274  faclim  36275  poimirlem29  38357  poimirlem30  38358  poimirlem31  38359  poimirlem32  38360  mblfinlem3  38367  itg2addnclem2  38380  itg2addnc  38382  3lexlogpow2ineq1  42883  2ap1caineq  42970  pellexlem4  43617  pell1qrgaplem  43658  pellqrex  43664  congrep  43758  acongeq  43768  proot1ex  43981  hashnzfzclim  45090  xrralrecnnle  46156  nnrecrp  46159  xrralrecnnge  46163  iooiinicc  46316  iooiinioc  46330  fprodsubrecnncnvlem  46679  fprodaddrecnncnvlem  46681  wallispilem4  46840  wallispi  46842  wallispi2lem1  46843  wallispi2lem2  46844  stirlinglem1  46846  stirlinglem2  46847  stirlinglem3  46848  stirlinglem4  46849  stirlinglem6  46851  stirlinglem7  46852  stirlinglem10  46855  stirlinglem11  46856  stirlinglem13  46858  stirlinglem14  46859  stirlinglem15  46860  stirlingr  46862  dirkertrigeqlem1  46870  hoicvrrex  47328  ovnsubaddlem2  47343  hoiqssbllem3  47396  iinhoiicc  47446  iunhoiioo  47448  vonioolem1  47452  vonioolem2  47453  vonicclem1  47455  vonicclem2  47456  nnmul2  48125  flmrecm1  48138  addmodne  48145  submodlt  48151  mod0mul  48157  modn0mul  48158  m1modmmod  48159  difmodm1lt  48160  modlt0b  48164  mod2addne  48165  fsummmodsndifre  48177  mod42tp1mod8  48412  lighneallem2  48416  3exp4mod41  48426  41prothprmlem2  48428  perfectALTVlem2  48545  2exp340mod341  48556  8exp8mod9  48559  nfermltl8rev  48565  gpgedgvtx0  48884  gpgedgvtx1  48885  gpgvtxedg0  48886  gpgvtxedg1  48887  gpg3kgrtriexlem1  48906  gpg3kgrtriexlem2  48907  nnlog2ge0lt1  49403  blennnelnn  49413  nnpw2blen  49417  blen1b  49425  blennnt2  49426  blennn0e2  49431  dignn0fr  49438  dignn0ldlem  49439  dignnld  49440  dig2nn1st  49442  dig0  49443