Theorem nnrp 12949

Description: A positive integer is a positive real. (Contributed by NM, 28-Nov-2008.)

Assertion

Ref	Expression
nnrp	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ+)

Proof of Theorem nnrp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnre 12176	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ)
2		nngt0 12203	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 0 < 𝐴)
3		elrp 12939	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
4	1, 2, 3	sylanbrc 590	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2121   class class class wbr 5075  ℝcr 11032  0cc0 11033   < clt 11174  ℕcn 12169  ℝ⁺crp 12937

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-iun 4926  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-tr 5183  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-nn 12170  df-rp 12938

This theorem is referenced by:  nnrpd  12979  nn0ledivnn  13052  adddivflid  13772  divfl0  13778  fldivnn0le  13786  zmodcl  13845  zmodfz  13847  zmodid2  13853  m1modnnsub1  13874  addmodid  13876  modifeq2int  13890  modaddmodup  13891  modaddmodlo  13892  modsumfzodifsn  13901  addmodlteq  13903  nnesq  14184  digit2  14193  digit1  14194  bcrpcl  14265  bcval5  14275  lswccatn0lsw  14549  cshw0  14751  cshwmodn  14752  cshwsublen  14753  cshwidxmod  14760  cshwidxmodr  14761  cshwidxm1  14764  cshwidxm  14765  repswcshw  14769  2cshw  14770  cshweqrep  14778  modfsummods  15751  divcnv  15813  supcvg  15816  harmonic  15819  expcnv  15824  rpnnen2lem11  16186  sqrt2irr  16211  dvdsval3  16220  dvdsmodexp  16224  moddvds  16227  divalgmod  16370  flodddiv4  16379  modgcd  16496  divgcdcoprm0  16629  isprm5  16672  isprm6  16679  nnnn0modprm0  16772  pythagtriplem13  16793  fldivp1  16863  prmreclem5  16886  prmreclem6  16887  4sqlem12  16922  modxai  17034  modsubi  17038  smndex1iidm  18864  smndex1n0mnd  18878  mulgmodid  19084  odmodnn0  19510  gexdvds  19554  sylow1lem1  19568  gexexlem  19822  znf1o  21530  met1stc  24508  lmnn  25252  bcthlem5  25317  minveclem3  25418  vitali  25602  ismbf3d  25643  itg2seq  25731  plyeq0lem  26197  elqaalem3  26309  aalioulem6  26325  aaliou  26326  logtayllem  26645  sqrt2cxp2logb9e3  26785  atan1  26914  leibpi  26928  birthdaylem2  26938  dfef2  26956  divsqrtsumlem  26965  emcllem1  26981  emcllem2  26982  emcllem3  26983  emcllem4  26984  emcllem6  26986  zetacvg  27000  lgam1  27049  ppiub  27189  vmalelog  27190  logfacbnd3  27208  logexprlim  27210  bcmono  27262  bclbnd  27265  bposlem1  27269  bposlem7  27275  bposlem8  27276  bposlem9  27277  gausslemma2dlem1a  27350  gausslemma2dlem4  27354  gausslemma2dlem6  27357  m1lgs  27373  2lgslem1a1  27374  2lgslem3a1  27385  2lgslem3b1  27386  2lgslem3c1  27387  2lgslem3d1  27388  2lgslem4  27391  2lgsoddprmlem2  27394  2sqreultlem  27432  2sqreunnltlem  27435  rplogsumlem1  27469  dchrisumlema  27473  dchrisumlem2  27475  dchrisumlem3  27476  dchrvmasumlem2  27483  dchrvmasumiflem1  27486  dchrisum0lem1b  27500  dchrisum0lem2a  27502  rplogsum  27512  logdivsum  27518  mulog2sumlem2  27520  logsqvma  27527  logsqvma2  27528  log2sumbnd  27529  selberg2lem  27535  logdivbnd  27541  pntrsumo1  27550  pntrsumbnd  27551  pntibndlem1  27574  pntibndlem2  27576  pntibndlem3  27577  pntlemd  27579  pntlema  27581  pntlemb  27582  pntlemr  27587  pntlemj  27588  pntlemf  27590  pntlemo  27592  crctcshwlkn0lem5  29904  crctcshwlkn0lem6  29905  lnconi  32126  rpdp2cl  32964  rpdp2cl2  32965  hgt750lem  34847  hgt750lem2  34848  hgt750leme  34854  circum  35917  bccolsum  35982  faclimlem3  35988  faclim  35989  poimirlem29  38031  poimirlem30  38032  poimirlem31  38033  poimirlem32  38034  mblfinlem3  38041  itg2addnclem2  38054  itg2addnc  38056  3lexlogpow2ineq1  42558  2ap1caineq  42645  pellexlem4  43292  pell1qrgaplem  43333  pellqrex  43339  congrep  43433  acongeq  43443  proot1ex  43656  hashnzfzclim  44781  xrralrecnnle  45841  nnrecrp  45844  xrralrecnnge  45848  iooiinicc  46001  iooiinioc  46015  fprodsubrecnncnvlem  46364  fprodaddrecnncnvlem  46366  wallispilem4  46525  wallispi  46527  wallispi2lem1  46528  wallispi2lem2  46529  stirlinglem1  46531  stirlinglem2  46532  stirlinglem3  46533  stirlinglem4  46534  stirlinglem6  46536  stirlinglem7  46537  stirlinglem10  46540  stirlinglem11  46541  stirlinglem13  46543  stirlinglem14  46544  stirlinglem15  46545  stirlingr  46547  dirkertrigeqlem1  46555  hoicvrrex  47013  ovnsubaddlem2  47028  hoiqssbllem3  47081  iinhoiicc  47131  iunhoiioo  47133  vonioolem1  47137  vonioolem2  47138  vonicclem1  47140  vonicclem2  47141  nnmul2  47807  flmrecm1  47820  addmodne  47827  submodlt  47833  mod0mul  47839  modn0mul  47840  m1modmmod  47841  difmodm1lt  47842  modlt0b  47846  mod2addne  47847  fsummmodsndifre  47859  mod42tp1mod8  48094  lighneallem2  48098  3exp4mod41  48108  41prothprmlem2  48110  perfectALTVlem2  48227  2exp340mod341  48238  8exp8mod9  48241  nfermltl8rev  48247  gpgedgvtx0  48566  gpgedgvtx1  48567  gpgvtxedg0  48568  gpgvtxedg1  48569  gpg3kgrtriexlem1  48588  gpg3kgrtriexlem2  48589  nnlog2ge0lt1  49071  blennnelnn  49081  nnpw2blen  49085  blen1b  49093  blennnt2  49094  blennn0e2  49099  dignn0fr  49106  dignn0ldlem  49107  dignnld  49108  dig2nn1st  49110  dig0  49111