Theorem nnrp 13054

Description: A positive integer is a positive real. (Contributed by NM, 28-Nov-2008.)

Assertion

Ref	Expression
nnrp	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ+)

Proof of Theorem nnrp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnre 12264	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ)
2		nngt0 12291	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 0 < 𝐴)
3		elrp 13044	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
4	1, 2, 3	sylanbrc 595	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ+)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103  ℝcr 11123  0cc0 11124   < clt 11267  ℕcn 12257  ℝ⁺crp 13042

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7863  df-2nd 7987  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-nn 12258  df-rp 13043

This theorem is used by:  nnrpd  13084  nn0ledivnn  13157  adddivflid  13879  divfl0  13885  fldivnn0le  13893  zmodcl  13952  zmodfz  13954  zmodid2  13960  m1modnnsub1  13981  addmodid  13983  modifeq2int  13997  modaddmodup  13998  modaddmodlo  13999  modsumfzodifsn  14008  addmodlteq  14010  nnesq  14291  digit2  14300  digit1  14301  bcrpcl  14372  bcval5  14382  lswccatn0lsw  14658  cshw0  14865  cshwmodn  14866  cshwsublen  14867  cshwidxmod  14874  cshwidxmodr  14875  cshwidxm1  14878  cshwidxm  14879  repswcshw  14883  2cshw  14884  cshweqrep  14892  modfsummods  15880  divcnv  15942  supcvg  15945  harmonic  15948  expcnv  15953  rpnnen2lem11  16312  sqrt2irr  16337  dvdsval3  16346  dvdsmodexp  16350  moddvds  16353  divalgmod  16496  flodddiv4  16505  modgcd  16622  divgcdcoprm0  16755  isprm5  16798  isprm6  16805  nnnn0modprm0  16898  pythagtriplem13  16919  fldivp1  16989  prmreclem5  17012  prmreclem6  17013  4sqlem12  17048  modxai  17160  modsubi  17164  smndex1iidm  19010  smndex1n0mnd  19024  mulgmodid  19236  odmodnn0  19667  gexdvds  19711  sylow1lem1  19725  gexexlem  19979  znf1o  21764  met1stc  24747  lmnn  25491  bcthlem5  25556  minveclem3  25657  vitali  25841  ismbf3d  25882  itg2seq  25970  plyeq0lem  26436  elqaalem3  26553  aalioulem6  26573  aaliou  26574  logtayllem  26896  sqrt2cxp2logb9e3  27036  atan1  27165  leibpi  27179  birthdaylem2  27189  dfef2  27207  divsqrtsumlem  27216  emcllem1  27232  emcllem2  27233  emcllem3  27234  emcllem4  27235  emcllem6  27237  zetacvg  27251  lgam1  27300  ppiub  27440  vmalelog  27441  logfacbnd3  27459  logexprlim  27461  bcmono  27513  bclbnd  27516  bposlem1  27520  bposlem7  27526  bposlem8  27527  bposlem9  27528  gausslemma2dlem1a  27601  gausslemma2dlem4  27605  gausslemma2dlem6  27608  m1lgs  27624  2lgslem1a1  27625  2lgslem3a1  27636  2lgslem3b1  27637  2lgslem3c1  27638  2lgslem3d1  27639  2lgslem4  27642  2lgsoddprmlem2  27645  2sqreultlem  27683  2sqreunnltlem  27686  rplogsumlem1  27720  dchrisumlema  27724  dchrisumlem2  27726  dchrisumlem3  27727  dchrvmasumlem2  27734  dchrvmasumiflem1  27737  dchrisum0lem1b  27751  dchrisum0lem2a  27753  rplogsum  27763  logdivsum  27769  mulog2sumlem2  27771  logsqvma  27778  logsqvma2  27779  log2sumbnd  27780  selberg2lem  27786  logdivbnd  27792  pntrsumo1  27801  pntrsumbnd  27802  pntibndlem1  27825  pntibndlem2  27827  pntibndlem3  27828  pntlemd  27830  pntlema  27832  pntlemb  27833  pntlemr  27838  pntlemj  27839  pntlemf  27841  pntlemo  27843  crctcshwlkn0lem5  30282  crctcshwlkn0lem6  30283  lnconi  32514  rpdp2cl  33327  rpdp2cl2  33328  hgt750lem  35159  hgt750lem2  35160  hgt750leme  35166  circum  36253  bccolsum  36318  faclimlem3  36324  faclim  36325  poimirlem29  38398  poimirlem30  38399  poimirlem31  38400  poimirlem32  38401  mblfinlem3  38408  itg2addnclem2  38421  itg2addnc  38423  3lexlogpow2ineq1  42924  2ap1caineq  43011  pellexlem4  43673  pell1qrgaplem  43714  pellqrex  43720  congrep  43814  acongeq  43824  proot1ex  44037  hashnzfzclim  45146  xrralrecnnle  46212  nnrecrp  46215  xrralrecnnge  46219  iooiinicc  46372  iooiinioc  46386  fprodsubrecnncnvlem  46735  fprodaddrecnncnvlem  46737  wallispilem4  46896  wallispi  46898  wallispi2lem1  46899  wallispi2lem2  46900  stirlinglem1  46902  stirlinglem2  46903  stirlinglem3  46904  stirlinglem4  46905  stirlinglem6  46907  stirlinglem7  46908  stirlinglem10  46911  stirlinglem11  46912  stirlinglem13  46914  stirlinglem14  46915  stirlinglem15  46916  stirlingr  46918  dirkertrigeqlem1  46926  hoicvrrex  47384  ovnsubaddlem2  47399  hoiqssbllem3  47452  iinhoiicc  47502  iunhoiioo  47504  vonioolem1  47508  vonioolem2  47509  vonicclem1  47511  vonicclem2  47512  nnmul2  48218  flmrecm1  48231  addmodne  48238  submodlt  48244  mod0mul  48250  modn0mul  48251  m1modmmod  48252  difmodm1lt  48253  modlt0b  48257  mod2addne  48258  fsummmodsndifre  48270  mod42tp1mod8  48505  lighneallem2  48509  3exp4mod41  48519  41prothprmlem2  48521  perfectALTVlem2  48638  2exp340mod341  48649  8exp8mod9  48652  nfermltl8rev  48658  gpgedgvtx0  48977  gpgedgvtx1  48978  gpgvtxedg0  48979  gpgvtxedg1  48980  gpg3kgrtriexlem1  48999  gpg3kgrtriexlem2  49000  nnlog2ge0lt1  49496  blennnelnn  49506  nnpw2blen  49510  blen1b  49518  blennnt2  49519  blennn0e2  49524  dignn0fr  49531  dignn0ldlem  49532  dignnld  49533  dig2nn1st  49535  dig0  49536