Theorem nnrp 13005

Description: A positive integer is a positive real. (Contributed by NM, 28-Nov-2008.)

Assertion

Ref	Expression
nnrp	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ+)

Proof of Theorem nnrp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnre 12217	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ)
2		nngt0 12244	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 0 < 𝐴)
3		elrp 12995	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
4	1, 2, 3	sylanbrc 592	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2142   class class class wbr 5100  ℝcr 11072  0cc0 11073   < clt 11216  ℕcn 12210  ℝ⁺crp 12993

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-er 8678  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-nn 12211  df-rp 12994

This theorem is referenced by:  nnrpd  13035  nn0ledivnn  13108  adddivflid  13828  divfl0  13834  fldivnn0le  13842  zmodcl  13901  zmodfz  13903  zmodid2  13909  m1modnnsub1  13930  addmodid  13932  modifeq2int  13946  modaddmodup  13947  modaddmodlo  13948  modsumfzodifsn  13957  addmodlteq  13959  nnesq  14240  digit2  14249  digit1  14250  bcrpcl  14321  bcval5  14331  lswccatn0lsw  14605  cshw0  14807  cshwmodn  14808  cshwsublen  14809  cshwidxmod  14816  cshwidxmodr  14817  cshwidxm1  14820  cshwidxm  14821  repswcshw  14825  2cshw  14826  cshweqrep  14834  modfsummods  15821  divcnv  15883  supcvg  15886  harmonic  15889  expcnv  15894  rpnnen2lem11  16256  sqrt2irr  16281  dvdsval3  16290  dvdsmodexp  16294  moddvds  16297  divalgmod  16440  flodddiv4  16449  modgcd  16566  divgcdcoprm0  16699  isprm5  16742  isprm6  16749  nnnn0modprm0  16842  pythagtriplem13  16863  fldivp1  16933  prmreclem5  16956  prmreclem6  16957  4sqlem12  16992  modxai  17104  modsubi  17108  smndex1iidm  18935  smndex1n0mnd  18949  mulgmodid  19155  odmodnn0  19580  gexdvds  19624  sylow1lem1  19638  gexexlem  19892  znf1o  21600  met1stc  24578  lmnn  25322  bcthlem5  25387  minveclem3  25488  vitali  25672  ismbf3d  25713  itg2seq  25801  plyeq0lem  26267  elqaalem3  26382  aalioulem6  26398  aaliou  26399  logtayllem  26721  sqrt2cxp2logb9e3  26861  atan1  26990  leibpi  27004  birthdaylem2  27014  dfef2  27032  divsqrtsumlem  27041  emcllem1  27057  emcllem2  27058  emcllem3  27059  emcllem4  27060  emcllem6  27062  zetacvg  27076  lgam1  27125  ppiub  27265  vmalelog  27266  logfacbnd3  27284  logexprlim  27286  bcmono  27338  bclbnd  27341  bposlem1  27345  bposlem7  27351  bposlem8  27352  bposlem9  27353  gausslemma2dlem1a  27426  gausslemma2dlem4  27430  gausslemma2dlem6  27433  m1lgs  27449  2lgslem1a1  27450  2lgslem3a1  27461  2lgslem3b1  27462  2lgslem3c1  27463  2lgslem3d1  27464  2lgslem4  27467  2lgsoddprmlem2  27470  2sqreultlem  27508  2sqreunnltlem  27511  rplogsumlem1  27545  dchrisumlema  27549  dchrisumlem2  27551  dchrisumlem3  27552  dchrvmasumlem2  27559  dchrvmasumiflem1  27562  dchrisum0lem1b  27576  dchrisum0lem2a  27578  rplogsum  27588  logdivsum  27594  mulog2sumlem2  27596  logsqvma  27603  logsqvma2  27604  log2sumbnd  27605  selberg2lem  27611  logdivbnd  27617  pntrsumo1  27626  pntrsumbnd  27627  pntibndlem1  27650  pntibndlem2  27652  pntibndlem3  27653  pntlemd  27655  pntlema  27657  pntlemb  27658  pntlemr  27663  pntlemj  27664  pntlemf  27666  pntlemo  27668  crctcshwlkn0lem5  30011  crctcshwlkn0lem6  30012  lnconi  32233  rpdp2cl  33056  rpdp2cl2  33057  hgt750lem  34942  hgt750lem2  34943  hgt750leme  34949  circum  36021  bccolsum  36086  faclimlem3  36092  faclim  36093  poimirlem29  38145  poimirlem30  38146  poimirlem31  38147  poimirlem32  38148  mblfinlem3  38155  itg2addnclem2  38168  itg2addnc  38170  3lexlogpow2ineq1  42672  2ap1caineq  42759  pellexlem4  43406  pell1qrgaplem  43447  pellqrex  43453  congrep  43547  acongeq  43557  proot1ex  43770  hashnzfzclim  44895  xrralrecnnle  45955  nnrecrp  45958  xrralrecnnge  45962  iooiinicc  46115  iooiinioc  46129  fprodsubrecnncnvlem  46478  fprodaddrecnncnvlem  46480  wallispilem4  46639  wallispi  46641  wallispi2lem1  46642  wallispi2lem2  46643  stirlinglem1  46645  stirlinglem2  46646  stirlinglem3  46647  stirlinglem4  46648  stirlinglem6  46650  stirlinglem7  46651  stirlinglem10  46654  stirlinglem11  46655  stirlinglem13  46657  stirlinglem14  46658  stirlinglem15  46659  stirlingr  46661  dirkertrigeqlem1  46669  hoicvrrex  47127  ovnsubaddlem2  47142  hoiqssbllem3  47195  iinhoiicc  47245  iunhoiioo  47247  vonioolem1  47251  vonioolem2  47252  vonicclem1  47254  vonicclem2  47255  nnmul2  47921  flmrecm1  47934  addmodne  47941  submodlt  47947  mod0mul  47953  modn0mul  47954  m1modmmod  47955  difmodm1lt  47956  modlt0b  47960  mod2addne  47961  fsummmodsndifre  47973  mod42tp1mod8  48208  lighneallem2  48212  3exp4mod41  48222  41prothprmlem2  48224  perfectALTVlem2  48341  2exp340mod341  48352  8exp8mod9  48355  nfermltl8rev  48361  gpgedgvtx0  48680  gpgedgvtx1  48681  gpgvtxedg0  48682  gpgvtxedg1  48683  gpg3kgrtriexlem1  48702  gpg3kgrtriexlem2  48703  nnlog2ge0lt1  49185  blennnelnn  49195  nnpw2blen  49199  blen1b  49207  blennnt2  49208  blennn0e2  49213  dignn0fr  49220  dignn0ldlem  49221  dignnld  49222  dig2nn1st  49224  dig0  49225