Theorem icccntr 13408

Description: Membership in a contracted interval. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)

Hypotheses

Ref	Expression
icccntr.1	⊢ (𝐴 / 𝑅) = 𝐶
icccntr.2	⊢ (𝐵 / 𝑅) = 𝐷

Assertion

Ref	Expression
icccntr	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+)) → (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑋 / 𝑅) ∈ (𝐶[,]𝐷)))

Proof of Theorem icccntr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → 𝑋 ∈ ℝ)
2		rerpdivcl 12937	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (𝑋 / 𝑅) ∈ ℝ)
3	1, 2	2thd 265	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (𝑋 ∈ ℝ ↔ (𝑋 / 𝑅) ∈ ℝ))
4	3	adantl 481	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+)) → (𝑋 ∈ ℝ ↔ (𝑋 / 𝑅) ∈ ℝ))
5		elrp 12907	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ+ ↔ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑅))
6		lediv1 12007	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑅)) → (𝐴 ≤ 𝑋 ↔ (𝐴 / 𝑅) ≤ (𝑋 / 𝑅)))
7	5, 6	syl3an3b 1407	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (𝐴 ≤ 𝑋 ↔ (𝐴 / 𝑅) ≤ (𝑋 / 𝑅)))
8	7	3expb 1120	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+)) → (𝐴 ≤ 𝑋 ↔ (𝐴 / 𝑅) ≤ (𝑋 / 𝑅)))
9	8	adantlr 715	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+)) → (𝐴 ≤ 𝑋 ↔ (𝐴 / 𝑅) ≤ (𝑋 / 𝑅)))
10		icccntr.1	. . . . 5 ⊢ (𝐴 / 𝑅) = 𝐶
11	10	breq1i 5105	. . . 4 ⊢ ((𝐴 / 𝑅) ≤ (𝑋 / 𝑅) ↔ 𝐶 ≤ (𝑋 / 𝑅))
12	9, 11	bitrdi 287	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+)) → (𝐴 ≤ 𝑋 ↔ 𝐶 ≤ (𝑋 / 𝑅)))
13		lediv1 12007	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑅)) → (𝑋 ≤ 𝐵 ↔ (𝑋 / 𝑅) ≤ (𝐵 / 𝑅)))
14	5, 13	syl3an3b 1407	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (𝑋 ≤ 𝐵 ↔ (𝑋 / 𝑅) ≤ (𝐵 / 𝑅)))
15	14	3expb 1120	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+)) → (𝑋 ≤ 𝐵 ↔ (𝑋 / 𝑅) ≤ (𝐵 / 𝑅)))
16	15	an12s 649	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+)) → (𝑋 ≤ 𝐵 ↔ (𝑋 / 𝑅) ≤ (𝐵 / 𝑅)))
17	16	adantll 714	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+)) → (𝑋 ≤ 𝐵 ↔ (𝑋 / 𝑅) ≤ (𝐵 / 𝑅)))
18		icccntr.2	. . . . 5 ⊢ (𝐵 / 𝑅) = 𝐷
19	18	breq2i 5106	. . . 4 ⊢ ((𝑋 / 𝑅) ≤ (𝐵 / 𝑅) ↔ (𝑋 / 𝑅) ≤ 𝐷)
20	17, 19	bitrdi 287	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+)) → (𝑋 ≤ 𝐵 ↔ (𝑋 / 𝑅) ≤ 𝐷))
21	4, 12, 20	3anbi123d 1438	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+)) → ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝐵) ↔ ((𝑋 / 𝑅) ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ (𝑋 / 𝑅) ∧ (𝑋 / 𝑅) ≤ 𝐷)))
22		elicc2 13327	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝐵)))
23	22	adantr 480	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+)) → (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝐵)))
24		rerpdivcl 12937	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 𝑅) ∈ ℝ)
25	10, 24	eqeltrrid 2841	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → 𝐶 ∈ ℝ)
26		rerpdivcl 12937	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (𝐵 / 𝑅) ∈ ℝ)
27	18, 26	eqeltrrid 2841	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → 𝐷 ∈ ℝ)
28		elicc2 13327	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) → ((𝑋 / 𝑅) ∈ (𝐶[,]𝐷) ↔ ((𝑋 / 𝑅) ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ (𝑋 / 𝑅) ∧ (𝑋 / 𝑅) ≤ 𝐷)))
29	25, 27, 28	syl2an 596	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+)) → ((𝑋 / 𝑅) ∈ (𝐶[,]𝐷) ↔ ((𝑋 / 𝑅) ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ (𝑋 / 𝑅) ∧ (𝑋 / 𝑅) ≤ 𝐷)))
30	29	anandirs 679	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → ((𝑋 / 𝑅) ∈ (𝐶[,]𝐷) ↔ ((𝑋 / 𝑅) ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ (𝑋 / 𝑅) ∧ (𝑋 / 𝑅) ≤ 𝐷)))
31	30	adantrl 716	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+)) → ((𝑋 / 𝑅) ∈ (𝐶[,]𝐷) ↔ ((𝑋 / 𝑅) ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ (𝑋 / 𝑅) ∧ (𝑋 / 𝑅) ≤ 𝐷)))
32	21, 23, 31	3bitr4d 311	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+)) → (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑋 / 𝑅) ∈ (𝐶[,]𝐷)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5098  (class class class)co 7358  ℝcr 11025  0cc0 11026   < clt 11166   ≤ cle 11167   / cdiv 11794  ℝ⁺crp 12905  [,]cicc 13264

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-po 5532  df-so 5533  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-div 11795  df-rp 12906  df-icc 13268

This theorem is referenced by:  icccntri  13409