Theorem difrp 13095

Description: Two ways to say one number is less than another. (Contributed by Mario Carneiro, 21-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
difrp	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ+))

Proof of Theorem difrp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		posdif 11783	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 − 𝐴)))
2		resubcl 11600	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ)
3	2	ancoms 458	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ)
4		elrp 13059	. . . 4 ⊢ ((𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ+ ↔ ((𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐵 − 𝐴)))
5	4	baib 535	. . 3 ⊢ ((𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ → ((𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ+ ↔ 0 < (𝐵 − 𝐴)))
6	3, 5	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ+ ↔ 0 < (𝐵 − 𝐴)))
7	1, 6	bitr4d 282	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ+))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5166  (class class class)co 7448  ℝcr 11183  0cc0 11184   < clt 11324   − cmin 11520  ℝ⁺crp 13057

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-po 5607  df-so 5608  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-ltxr 11329  df-sub 11522  df-neg 11523  df-rp 13058

This theorem is referenced by:  xralrple  13267  lincmb01cmp  13555  iccf1o  13556  expmulnbnd  14284  fsumlt  15848  expcnv  15912  blssps  24455  blss  24456  icchmeo  24990  icchmeoOLD  24991  icopnfcnv  24992  icopnfhmeo  24993  ivthlem2  25506  ivthlem3  25507  c1liplem1  26055  lhop1lem  26072  ftc1lem4  26100  aaliou3lem7  26409  abelthlem7  26500  cosordlem  26590  logdivlti  26680  cxpaddlelem  26812  atantan  26984  birthdaylem3  27014  lgamgulmlem2  27091  lgamgulmlem3  27092  chtppilimlem2  27536  pntrlog2bndlem5  27643  pntlemd  27656  pntlemc  27657  ostth2lem1  27680  ttgcontlem1  28917  lt2addrd  32758  signsplypnf  34527  knoppndvlem20  36497  ftc1cnnclem  37651  fltnltalem  42617  fltnlta  42618  cvgdvgrat  44282  sge0gtfsumgt  46364  hoidmvlelem3  46518  vonioolem1  46601  smfmullem1  46712  smfmullem2  46713  smfmullem3  46714