Theorem difrp 12957

Description: Two ways to say one number is less than another. (Contributed by Mario Carneiro, 21-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
difrp	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ+))

Proof of Theorem difrp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		posdif 11642	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 − 𝐴)))
2		resubcl 11457	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ)
3	2	ancoms 458	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ)
4		elrp 12919	. . . 4 ⊢ ((𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ+ ↔ ((𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐵 − 𝐴)))
5	4	baib 535	. . 3 ⊢ ((𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ → ((𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ+ ↔ 0 < (𝐵 − 𝐴)))
6	3, 5	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ+ ↔ 0 < (𝐵 − 𝐴)))
7	1, 6	bitr4d 282	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ+))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5100  (class class class)co 7368  ℝcr 11037  0cc0 11038   < clt 11178   − cmin 11376  ℝ⁺crp 12917

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-po 5540  df-so 5541  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-ltxr 11183  df-sub 11378  df-neg 11379  df-rp 12918

This theorem is referenced by:  xralrple  13132  lincmb01cmp  13423  iccf1o  13424  expmulnbnd  14170  fsumlt  15735  expcnv  15799  blssps  24380  blss  24381  icchmeo  24906  icchmeoOLD  24907  icopnfcnv  24908  icopnfhmeo  24909  ivthlem2  25421  ivthlem3  25422  c1liplem1  25969  lhop1lem  25986  ftc1lem4  26014  aaliou3lem7  26325  abelthlem7  26416  cosordlem  26507  logdivlti  26597  cxpaddlelem  26729  atantan  26901  birthdaylem3  26931  lgamgulmlem2  27008  lgamgulmlem3  27009  chtppilimlem2  27453  pntrlog2bndlem5  27560  pntlemd  27573  pntlemc  27574  ostth2lem1  27597  ttgcontlem1  28969  lt2addrd  32841  signsplypnf  34728  knoppndvlem20  36753  ftc1cnnclem  37942  fltnltalem  43020  fltnlta  43021  cvgdvgrat  44669  sge0gtfsumgt  46801  hoidmvlelem3  46955  vonioolem1  47038  smfmullem1  47149  smfmullem2  47150  smfmullem3  47151  difmodm1lt  47719