Theorem difrp 12945

Description: Two ways to say one number is less than another. (Contributed by Mario Carneiro, 21-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
difrp	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ+))

Proof of Theorem difrp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		posdif 11630	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 − 𝐴)))
2		resubcl 11445	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ)
3	2	ancoms 458	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ)
4		elrp 12907	. . . 4 ⊢ ((𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ+ ↔ ((𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐵 − 𝐴)))
5	4	baib 535	. . 3 ⊢ ((𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ → ((𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ+ ↔ 0 < (𝐵 − 𝐴)))
6	3, 5	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ+ ↔ 0 < (𝐵 − 𝐴)))
7	1, 6	bitr4d 282	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ+))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5098  (class class class)co 7358  ℝcr 11025  0cc0 11026   < clt 11166   − cmin 11364  ℝ⁺crp 12905

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-po 5532  df-so 5533  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-ltxr 11171  df-sub 11366  df-neg 11367  df-rp 12906

This theorem is referenced by:  xralrple  13120  lincmb01cmp  13411  iccf1o  13412  expmulnbnd  14158  fsumlt  15723  expcnv  15787  blssps  24368  blss  24369  icchmeo  24894  icchmeoOLD  24895  icopnfcnv  24896  icopnfhmeo  24897  ivthlem2  25409  ivthlem3  25410  c1liplem1  25957  lhop1lem  25974  ftc1lem4  26002  aaliou3lem7  26313  abelthlem7  26404  cosordlem  26495  logdivlti  26585  cxpaddlelem  26717  atantan  26889  birthdaylem3  26919  lgamgulmlem2  26996  lgamgulmlem3  26997  chtppilimlem2  27441  pntrlog2bndlem5  27548  pntlemd  27561  pntlemc  27562  ostth2lem1  27585  ttgcontlem1  28957  lt2addrd  32830  signsplypnf  34707  knoppndvlem20  36731  ftc1cnnclem  37892  fltnltalem  42905  fltnlta  42906  cvgdvgrat  44554  sge0gtfsumgt  46687  hoidmvlelem3  46841  vonioolem1  46924  smfmullem1  47035  smfmullem2  47036  smfmullem3  47037  difmodm1lt  47605