Theorem difrp 13055

Description: Two ways to say one number is less than another. (Contributed by Mario Carneiro, 21-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
difrp	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ+))

Proof of Theorem difrp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		posdif 11706	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 − 𝐴)))
2		resubcl 11521	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ)
3	2	ancoms 463	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ)
4		elrp 13017	. . . 4 ⊢ ((𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ+ ↔ ((𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐵 − 𝐴)))
5	4	baib 544	. . 3 ⊢ ((𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ → ((𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ+ ↔ 0 < (𝐵 − 𝐴)))
6	3, 5	syl 18	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ+ ↔ 0 < (𝐵 − 𝐴)))
7	1, 6	bitr4d 285	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ+))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∈ wcel 2149   class class class wbr 5113  (class class class)co 7411  ℝcr 11098  0cc0 11099   < clt 11242   − cmin 11440  ℝ⁺crp 13015

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-id 5557  df-po 5570  df-so 5571  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-ltxr 11247  df-sub 11442  df-neg 11443  df-rp 13016

This theorem is referenced by:  xralrple  13230  lincmb01cmp  13521  iccf1o  13522  expmulnbnd  14270  fsumlt  15851  expcnv  15917  blssps  24549  blss  24550  icchmeo  25068  icopnfcnv  25069  icopnfhmeo  25070  ivthlem2  25579  ivthlem3  25580  c1liplem1  26123  lhop1lem  26140  ftc1lem4  26166  aaliou3lem7  26478  abelthlem7  26566  cosordlem  26660  logdivlti  26750  cxpaddlelem  26881  atantan  27053  birthdaylem3  27083  lgamgulmlem2  27159  lgamgulmlem3  27160  chtppilimlem2  27603  pntrlog2bndlem5  27710  pntlemd  27723  pntlemc  27724  ostth2lem1  27747  ttgcontlem1  29174  lt2addrd  33035  signsplypnf  34881  knoppndvlem20  37008  ftc1cnnclem  38229  fltnltalem  43285  fltnlta  43286  cvgdvgrat  44914  sge0gtfsumgt  47048  hoidmvlelem3  47202  vonioolem1  47285  smfmullem1  47396  smfmullem2  47397  smfmullem3  47398  difmodm1lt  47990