Theorem cxpaddlelem 26740

Description: Lemma for cxpaddle 26741. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
cxpaddlelem.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
cxpaddlelem.2	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
cxpaddlelem.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 1)
cxpaddlelem.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
cxpaddlelem.5	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 1)

Assertion

Ref	Expression
cxpaddlelem	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ (𝐴↑𝑐𝐵))

Proof of Theorem cxpaddlelem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cxpaddlelem.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		cxpaddlelem.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
3		1re 11142	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℝ
4		cxpaddlelem.4	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
5	4	rpred 12984	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
6		resubcl 11456	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (1 − 𝐵) ∈ ℝ)
7	3, 5, 6	sylancr 593	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1 − 𝐵) ∈ ℝ)
8	1, 2, 7	recxpcld 26712	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑐(1 − 𝐵)) ∈ ℝ)
9	8	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴↑𝑐(1 − 𝐵)) ∈ ℝ)
10		1red 11143	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 1 ∈ ℝ)
11		recxpcl 26664	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴↑𝑐𝐵) ∈ ℝ)
12		cxpge0 26672	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 0 ≤ (𝐴↑𝑐𝐵))
13	11, 12	jca 516	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴↑𝑐𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴↑𝑐𝐵)))
14	1, 2, 5, 13	syl3anc 1379	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝑐𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴↑𝑐𝐵)))
15	14	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((𝐴↑𝑐𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴↑𝑐𝐵)))
16		cxpaddlelem.3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 1)
17	16	ad2antrr 732	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 < 1) → 𝐴 ≤ 1)
18	1	ad2antrr 732	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 < 1) → 𝐴 ∈ ℝ)
19	2	ad2antrr 732	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 < 1) → 0 ≤ 𝐴)
20		1red 11143	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 < 1) → 1 ∈ ℝ)
21		0le1 11671	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ≤ 1
22	21	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 < 1) → 0 ≤ 1)
23		difrp 12980	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝐵 < 1 ↔ (1 − 𝐵) ∈ ℝ+))
24	5, 3, 23	sylancl 592	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐵 < 1 ↔ (1 − 𝐵) ∈ ℝ+))
25	24	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (𝐵 < 1 ↔ (1 − 𝐵) ∈ ℝ+))
26	25	biimpa 477	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 < 1) → (1 − 𝐵) ∈ ℝ+)
27	18, 19, 20, 22, 26	cxple2d 26716	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 < 1) → (𝐴 ≤ 1 ↔ (𝐴↑𝑐(1 − 𝐵)) ≤ (1↑𝑐(1 − 𝐵))))
28	17, 27	mpbid 233	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 < 1) → (𝐴↑𝑐(1 − 𝐵)) ≤ (1↑𝑐(1 − 𝐵)))
29	7	recnd 11171	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1 − 𝐵) ∈ ℂ)
30	29	1cxpd 26696	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1↑𝑐(1 − 𝐵)) = 1)
31	30	ad2antrr 732	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 < 1) → (1↑𝑐(1 − 𝐵)) = 1)
32	28, 31	breqtrd 5105	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 < 1) → (𝐴↑𝑐(1 − 𝐵)) ≤ 1)
33		simpr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 = 1) → 𝐵 = 1)
34	33	oveq2d 7379	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 = 1) → (1 − 𝐵) = (1 − 1))
35		1m1e0 12251	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 − 1) = 0
36	34, 35	eqtrdi 2791	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 = 1) → (1 − 𝐵) = 0)
37	36	oveq2d 7379	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 = 1) → (𝐴↑𝑐(1 − 𝐵)) = (𝐴↑𝑐0))
38	1	recnd 11171	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
39	38	ad2antrr 732	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 = 1) → 𝐴 ∈ ℂ)
40	39	cxp0d 26694	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 = 1) → (𝐴↑𝑐0) = 1)
41	37, 40	eqtrd 2775	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 = 1) → (𝐴↑𝑐(1 − 𝐵)) = 1)
42		1le1 11776	. . . . . 6 ⊢ 1 ≤ 1
43	41, 42	eqbrtrdi 5118	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 = 1) → (𝐴↑𝑐(1 − 𝐵)) ≤ 1)
44		cxpaddlelem.5	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 1)
45		leloe 11230	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝐵 ≤ 1 ↔ (𝐵 < 1 ∨ 𝐵 = 1)))
46	5, 3, 45	sylancl 592	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ≤ 1 ↔ (𝐵 < 1 ∨ 𝐵 = 1)))
47	44, 46	mpbid 233	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 < 1 ∨ 𝐵 = 1))
48	47	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (𝐵 < 1 ∨ 𝐵 = 1))
49	32, 43, 48	mpjaodan 966	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴↑𝑐(1 − 𝐵)) ≤ 1)
50		lemul1a 12007	. . . 4 ⊢ ((((𝐴↑𝑐(1 − 𝐵)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ ((𝐴↑𝑐𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴↑𝑐𝐵))) ∧ (𝐴↑𝑐(1 − 𝐵)) ≤ 1) → ((𝐴↑𝑐(1 − 𝐵)) · (𝐴↑𝑐𝐵)) ≤ (1 · (𝐴↑𝑐𝐵)))
51	9, 10, 15, 49, 50	syl31anc 1381	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((𝐴↑𝑐(1 − 𝐵)) · (𝐴↑𝑐𝐵)) ≤ (1 · (𝐴↑𝑐𝐵)))
52		ax-1cn 11094	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
53	5	recnd 11171	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
54		npcan 11400	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((1 − 𝐵) + 𝐵) = 1)
55	52, 53, 54	sylancr 593	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((1 − 𝐵) + 𝐵) = 1)
56	55	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((1 − 𝐵) + 𝐵) = 1)
57	56	oveq2d 7379	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴↑𝑐((1 − 𝐵) + 𝐵)) = (𝐴↑𝑐1))
58	38	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℂ)
59	1	anim1i 621	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
60		elrp 12942	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
61	59, 60	sylibr 235	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ+)
62	61	rpne0d 12989	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ≠ 0)
63	29	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (1 − 𝐵) ∈ ℂ)
64	53	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
65	58, 62, 63, 64	cxpaddd 26706	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴↑𝑐((1 − 𝐵) + 𝐵)) = ((𝐴↑𝑐(1 − 𝐵)) · (𝐴↑𝑐𝐵)))
66	38	cxp1d 26695	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑐1) = 𝐴)
67	66	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴↑𝑐1) = 𝐴)
68	57, 65, 67	3eqtr3d 2783	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((𝐴↑𝑐(1 − 𝐵)) · (𝐴↑𝑐𝐵)) = 𝐴)
69	38, 53	cxpcld 26697	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑐𝐵) ∈ ℂ)
70	69	mullidd 11161	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1 · (𝐴↑𝑐𝐵)) = (𝐴↑𝑐𝐵))
71	70	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (1 · (𝐴↑𝑐𝐵)) = (𝐴↑𝑐𝐵))
72	51, 68, 71	3brtr3d 5110	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ≤ (𝐴↑𝑐𝐵))
73	1, 2, 5	cxpge0d 26713	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐴↑𝑐𝐵))
74		breq1 5082	. . . 4 ⊢ (0 = 𝐴 → (0 ≤ (𝐴↑𝑐𝐵) ↔ 𝐴 ≤ (𝐴↑𝑐𝐵)))
75	73, 74	syl5ibcom 246	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0 = 𝐴 → 𝐴 ≤ (𝐴↑𝑐𝐵)))
76	75	imp 407	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) → 𝐴 ≤ (𝐴↑𝑐𝐵))
77		0re 11144	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
78		leloe 11230	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝐴 ↔ (0 < 𝐴 ∨ 0 = 𝐴)))
79	77, 1, 78	sylancr 593	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ 𝐴 ↔ (0 < 𝐴 ∨ 0 = 𝐴)))
80	2, 79	mpbid 233	. 2 ⊢ (𝜑 → (0 < 𝐴 ∨ 0 = 𝐴))
81	72, 76, 80	mpjaodan 966	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ (𝐴↑𝑐𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∨ wo 853   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   class class class wbr 5079  (class class class)co 7363  ℂcc 11034  ℝcr 11035  0cc0 11036  1c1 11037   + caddc 11039   · cmul 11041   < clt 11177   ≤ cle 11178   − cmin 11375  ℝ⁺crp 12940  ↑_𝑐ccxp 26544

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-inf2 9560  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113  ax-pre-sup 11114  ax-addf 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-tp 4567  df-op 4569  df-uni 4846  df-int 4885  df-iun 4930  df-iin 4931  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-of 7627  df-om 7814  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-supp 8108  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-1o 8402  df-2o 8403  df-er 8640  df-map 8772  df-pm 8773  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9272  df-fi 9321  df-sup 9352  df-inf 9353  df-oi 9422  df-card 9861  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-div 11806  df-nn 12173  df-2 12242  df-3 12243  df-4 12244  df-5 12245  df-6 12246  df-7 12247  df-8 12248  df-9 12249  df-n0 12436  df-z 12523  df-dec 12643  df-uz 12787  df-q 12897  df-rp 12941  df-xneg 13061  df-xadd 13062  df-xmul 13063  df-ioo 13300  df-ioc 13301  df-ico 13302  df-icc 13303  df-fz 13460  df-fzo 13607  df-fl 13749  df-mod 13827  df-seq 13962  df-exp 14022  df-fac 14234  df-bc 14263  df-hash 14291  df-shft 15027  df-cj 15059  df-re 15060  df-im 15061  df-sqrt 15195  df-abs 15196  df-limsup 15431  df-clim 15448  df-rlim 15449  df-sum 15647  df-ef 16030  df-sin 16032  df-cos 16033  df-pi 16035  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17178  df-ress 17199  df-plusg 17231  df-mulr 17232  df-starv 17233  df-sca 17234  df-vsca 17235  df-ip 17236  df-tset 17237  df-ple 17238  df-ds 17240  df-unif 17241  df-hom 17242  df-cco 17243  df-rest 17383  df-topn 17384  df-0g 17402  df-gsum 17403  df-topgen 17404  df-pt 17405  df-prds 17408  df-xrs 17464  df-qtop 17469  df-imas 17470  df-xps 17472  df-mre 17546  df-mrc 17547  df-acs 17549  df-mgm 18606  df-sgrp 18685  df-mnd 18701  df-submnd 18750  df-mulg 19042  df-cntz 19290  df-cmn 19755  df-psmet 21346  df-xmet 21347  df-met 21348  df-bl 21349  df-mopn 21350  df-fbas 21351  df-fg 21352  df-cnfld 21355  df-top 22884  df-topon 22901  df-topsp 22923  df-bases 22936  df-cld 23009  df-ntr 23010  df-cls 23011  df-nei 23088  df-lp 23126  df-perf 23127  df-cn 23217  df-cnp 23218  df-haus 23305  df-tx 23552  df-hmeo 23745  df-fil 23836  df-fm 23928  df-flim 23929  df-flf 23930  df-xms 24310  df-ms 24311  df-tms 24312  df-cncf 24870  df-limc 25858  df-dv 25859  df-log 26545  df-cxp 26546

This theorem is referenced by:  cxpaddle  26741