Theorem cxpaddlelem 26668

Description: Lemma for cxpaddle 26669. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
cxpaddlelem.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
cxpaddlelem.2	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
cxpaddlelem.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 1)
cxpaddlelem.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
cxpaddlelem.5	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 1)

Assertion

Ref	Expression
cxpaddlelem	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ (𝐴↑𝑐𝐵))

Proof of Theorem cxpaddlelem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cxpaddlelem.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		cxpaddlelem.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
3		1re 11181	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℝ
4		cxpaddlelem.4	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
5	4	rpred 13002	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
6		resubcl 11493	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (1 − 𝐵) ∈ ℝ)
7	3, 5, 6	sylancr 587	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1 − 𝐵) ∈ ℝ)
8	1, 2, 7	recxpcld 26639	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑐(1 − 𝐵)) ∈ ℝ)
9	8	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴↑𝑐(1 − 𝐵)) ∈ ℝ)
10		1red 11182	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 1 ∈ ℝ)
11		recxpcl 26591	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴↑𝑐𝐵) ∈ ℝ)
12		cxpge0 26599	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 0 ≤ (𝐴↑𝑐𝐵))
13	11, 12	jca 511	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴↑𝑐𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴↑𝑐𝐵)))
14	1, 2, 5, 13	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝑐𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴↑𝑐𝐵)))
15	14	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((𝐴↑𝑐𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴↑𝑐𝐵)))
16		cxpaddlelem.3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 1)
17	16	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 < 1) → 𝐴 ≤ 1)
18	1	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 < 1) → 𝐴 ∈ ℝ)
19	2	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 < 1) → 0 ≤ 𝐴)
20		1red 11182	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 < 1) → 1 ∈ ℝ)
21		0le1 11708	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ≤ 1
22	21	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 < 1) → 0 ≤ 1)
23		difrp 12998	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝐵 < 1 ↔ (1 − 𝐵) ∈ ℝ+))
24	5, 3, 23	sylancl 586	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐵 < 1 ↔ (1 − 𝐵) ∈ ℝ+))
25	24	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (𝐵 < 1 ↔ (1 − 𝐵) ∈ ℝ+))
26	25	biimpa 476	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 < 1) → (1 − 𝐵) ∈ ℝ+)
27	18, 19, 20, 22, 26	cxple2d 26643	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 < 1) → (𝐴 ≤ 1 ↔ (𝐴↑𝑐(1 − 𝐵)) ≤ (1↑𝑐(1 − 𝐵))))
28	17, 27	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 < 1) → (𝐴↑𝑐(1 − 𝐵)) ≤ (1↑𝑐(1 − 𝐵)))
29	7	recnd 11209	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1 − 𝐵) ∈ ℂ)
30	29	1cxpd 26623	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1↑𝑐(1 − 𝐵)) = 1)
31	30	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 < 1) → (1↑𝑐(1 − 𝐵)) = 1)
32	28, 31	breqtrd 5136	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 < 1) → (𝐴↑𝑐(1 − 𝐵)) ≤ 1)
33		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 = 1) → 𝐵 = 1)
34	33	oveq2d 7406	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 = 1) → (1 − 𝐵) = (1 − 1))
35		1m1e0 12265	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 − 1) = 0
36	34, 35	eqtrdi 2781	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 = 1) → (1 − 𝐵) = 0)
37	36	oveq2d 7406	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 = 1) → (𝐴↑𝑐(1 − 𝐵)) = (𝐴↑𝑐0))
38	1	recnd 11209	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
39	38	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 = 1) → 𝐴 ∈ ℂ)
40	39	cxp0d 26621	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 = 1) → (𝐴↑𝑐0) = 1)
41	37, 40	eqtrd 2765	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 = 1) → (𝐴↑𝑐(1 − 𝐵)) = 1)
42		1le1 11813	. . . . . 6 ⊢ 1 ≤ 1
43	41, 42	eqbrtrdi 5149	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 = 1) → (𝐴↑𝑐(1 − 𝐵)) ≤ 1)
44		cxpaddlelem.5	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 1)
45		leloe 11267	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝐵 ≤ 1 ↔ (𝐵 < 1 ∨ 𝐵 = 1)))
46	5, 3, 45	sylancl 586	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ≤ 1 ↔ (𝐵 < 1 ∨ 𝐵 = 1)))
47	44, 46	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 < 1 ∨ 𝐵 = 1))
48	47	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (𝐵 < 1 ∨ 𝐵 = 1))
49	32, 43, 48	mpjaodan 960	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴↑𝑐(1 − 𝐵)) ≤ 1)
50		lemul1a 12043	. . . 4 ⊢ ((((𝐴↑𝑐(1 − 𝐵)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ ((𝐴↑𝑐𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴↑𝑐𝐵))) ∧ (𝐴↑𝑐(1 − 𝐵)) ≤ 1) → ((𝐴↑𝑐(1 − 𝐵)) · (𝐴↑𝑐𝐵)) ≤ (1 · (𝐴↑𝑐𝐵)))
51	9, 10, 15, 49, 50	syl31anc 1375	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((𝐴↑𝑐(1 − 𝐵)) · (𝐴↑𝑐𝐵)) ≤ (1 · (𝐴↑𝑐𝐵)))
52		ax-1cn 11133	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
53	5	recnd 11209	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
54		npcan 11437	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((1 − 𝐵) + 𝐵) = 1)
55	52, 53, 54	sylancr 587	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((1 − 𝐵) + 𝐵) = 1)
56	55	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((1 − 𝐵) + 𝐵) = 1)
57	56	oveq2d 7406	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴↑𝑐((1 − 𝐵) + 𝐵)) = (𝐴↑𝑐1))
58	38	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℂ)
59	1	anim1i 615	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
60		elrp 12960	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
61	59, 60	sylibr 234	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ+)
62	61	rpne0d 13007	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ≠ 0)
63	29	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (1 − 𝐵) ∈ ℂ)
64	53	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
65	58, 62, 63, 64	cxpaddd 26633	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴↑𝑐((1 − 𝐵) + 𝐵)) = ((𝐴↑𝑐(1 − 𝐵)) · (𝐴↑𝑐𝐵)))
66	38	cxp1d 26622	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑐1) = 𝐴)
67	66	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴↑𝑐1) = 𝐴)
68	57, 65, 67	3eqtr3d 2773	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((𝐴↑𝑐(1 − 𝐵)) · (𝐴↑𝑐𝐵)) = 𝐴)
69	38, 53	cxpcld 26624	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑐𝐵) ∈ ℂ)
70	69	mullidd 11199	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1 · (𝐴↑𝑐𝐵)) = (𝐴↑𝑐𝐵))
71	70	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (1 · (𝐴↑𝑐𝐵)) = (𝐴↑𝑐𝐵))
72	51, 68, 71	3brtr3d 5141	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ≤ (𝐴↑𝑐𝐵))
73	1, 2, 5	cxpge0d 26640	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐴↑𝑐𝐵))
74		breq1 5113	. . . 4 ⊢ (0 = 𝐴 → (0 ≤ (𝐴↑𝑐𝐵) ↔ 𝐴 ≤ (𝐴↑𝑐𝐵)))
75	73, 74	syl5ibcom 245	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0 = 𝐴 → 𝐴 ≤ (𝐴↑𝑐𝐵)))
76	75	imp 406	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) → 𝐴 ≤ (𝐴↑𝑐𝐵))
77		0re 11183	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
78		leloe 11267	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝐴 ↔ (0 < 𝐴 ∨ 0 = 𝐴)))
79	77, 1, 78	sylancr 587	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ 𝐴 ↔ (0 < 𝐴 ∨ 0 = 𝐴)))
80	2, 79	mpbid 232	. 2 ⊢ (𝜑 → (0 < 𝐴 ∨ 0 = 𝐴))
81	72, 76, 80	mpjaodan 960	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ (𝐴↑𝑐𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5110  (class class class)co 7390  ℂcc 11073  ℝcr 11074  0cc0 11075  1c1 11076   + caddc 11078   · cmul 11080   < clt 11215   ≤ cle 11216   − cmin 11412  ℝ⁺crp 12958  ↑_𝑐ccxp 26471

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-inf2 9601  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153  ax-addf 11154

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-se 5595  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-isom 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-of 7656  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-er 8674  df-map 8804  df-pm 8805  df-ixp 8874  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-fsupp 9320  df-fi 9369  df-sup 9400  df-inf 9401  df-oi 9470  df-card 9899  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-7 12261  df-8 12262  df-9 12263  df-n0 12450  df-z 12537  df-dec 12657  df-uz 12801  df-q 12915  df-rp 12959  df-xneg 13079  df-xadd 13080  df-xmul 13081  df-ioo 13317  df-ioc 13318  df-ico 13319  df-icc 13320  df-fz 13476  df-fzo 13623  df-fl 13761  df-mod 13839  df-seq 13974  df-exp 14034  df-fac 14246  df-bc 14275  df-hash 14303  df-shft 15040  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209  df-limsup 15444  df-clim 15461  df-rlim 15462  df-sum 15660  df-ef 16040  df-sin 16042  df-cos 16043  df-pi 16045  df-struct 17124  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-ress 17208  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-starv 17242  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-ip 17245  df-tset 17246  df-ple 17247  df-ds 17249  df-unif 17250  df-hom 17251  df-cco 17252  df-rest 17392  df-topn 17393  df-0g 17411  df-gsum 17412  df-topgen 17413  df-pt 17414  df-prds 17417  df-xrs 17472  df-qtop 17477  df-imas 17478  df-xps 17480  df-mre 17554  df-mrc 17555  df-acs 17557  df-mgm 18574  df-sgrp 18653  df-mnd 18669  df-submnd 18718  df-mulg 19007  df-cntz 19256  df-cmn 19719  df-psmet 21263  df-xmet 21264  df-met 21265  df-bl 21266  df-mopn 21267  df-fbas 21268  df-fg 21269  df-cnfld 21272  df-top 22788  df-topon 22805  df-topsp 22827  df-bases 22840  df-cld 22913  df-ntr 22914  df-cls 22915  df-nei 22992  df-lp 23030  df-perf 23031  df-cn 23121  df-cnp 23122  df-haus 23209  df-tx 23456  df-hmeo 23649  df-fil 23740  df-fm 23832  df-flim 23833  df-flf 23834  df-xms 24215  df-ms 24216  df-tms 24217  df-cncf 24778  df-limc 25774  df-dv 25775  df-log 26472  df-cxp 26473

This theorem is referenced by:  cxpaddle  26669