Theorem cxpaddlelem 27061

Description: Lemma for cxpaddle 27062. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
cxpaddlelem.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
cxpaddlelem.2	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
cxpaddlelem.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 1)
cxpaddlelem.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
cxpaddlelem.5	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 1)

Assertion

Ref	Expression
cxpaddlelem	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ (𝐴↑𝑐𝐵))

Proof of Theorem cxpaddlelem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cxpaddlelem.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		cxpaddlelem.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
3		1re 11289	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℝ
4		cxpaddlelem.4	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
5	4	rpred 13145	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
6		resubcl 11603	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (1 − 𝐵) ∈ ℝ)
7	3, 5, 6	sylancr 599	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1 − 𝐵) ∈ ℝ)
8	1, 2, 7	recxpcld 27033	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑐(1 − 𝐵)) ∈ ℝ)
9	8	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴↑𝑐(1 − 𝐵)) ∈ ℝ)
10		1red 11290	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 1 ∈ ℝ)
11		recxpcl 26985	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴↑𝑐𝐵) ∈ ℝ)
12		cxpge0 26993	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 0 ≤ (𝐴↑𝑐𝐵))
13	11, 12	jca 521	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴↑𝑐𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴↑𝑐𝐵)))
14	1, 2, 5, 13	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝑐𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴↑𝑐𝐵)))
15	14	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((𝐴↑𝑐𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴↑𝑐𝐵)))
16		cxpaddlelem.3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 1)
17	16	ad2antrr 739	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 < 1) → 𝐴 ≤ 1)
18	1	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 < 1) → 𝐴 ∈ ℝ)
19	2	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 < 1) → 0 ≤ 𝐴)
20		1red 11290	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 < 1) → 1 ∈ ℝ)
21		0le1 11820	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ≤ 1
22	21	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 < 1) → 0 ≤ 1)
23		difrp 13141	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝐵 < 1 ↔ (1 − 𝐵) ∈ ℝ+))
24	5, 3, 23	sylancl 598	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐵 < 1 ↔ (1 − 𝐵) ∈ ℝ+))
25	24	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (𝐵 < 1 ↔ (1 − 𝐵) ∈ ℝ+))
26	25	biimpa 482	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 < 1) → (1 − 𝐵) ∈ ℝ+)
27	18, 19, 20, 22, 26	cxple2d 27037	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 < 1) → (𝐴 ≤ 1 ↔ (𝐴↑𝑐(1 − 𝐵)) ≤ (1↑𝑐(1 − 𝐵))))
28	17, 27	mpbid 235	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 < 1) → (𝐴↑𝑐(1 − 𝐵)) ≤ (1↑𝑐(1 − 𝐵)))
29	7	recnd 11318	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1 − 𝐵) ∈ ℂ)
30	29	1cxpd 27017	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1↑𝑐(1 − 𝐵)) = 1)
31	30	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 < 1) → (1↑𝑐(1 − 𝐵)) = 1)
32	28, 31	breqtrd 5131	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 < 1) → (𝐴↑𝑐(1 − 𝐵)) ≤ 1)
33		simpr 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 = 1) → 𝐵 = 1)
34	33	oveq2d 7428	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 = 1) → (1 − 𝐵) = (1 − 1))
35		1m1e0 12396	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 − 1) = 0
36	34, 35	eqtrdi 2812	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 = 1) → (1 − 𝐵) = 0)
37	36	oveq2d 7428	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 = 1) → (𝐴↑𝑐(1 − 𝐵)) = (𝐴↑𝑐0))
38	1	recnd 11318	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
39	38	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 = 1) → 𝐴 ∈ ℂ)
40	39	cxp0d 27015	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 = 1) → (𝐴↑𝑐0) = 1)
41	37, 40	eqtrd 2796	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 = 1) → (𝐴↑𝑐(1 − 𝐵)) = 1)
42		1le1 11925	. . . . . 6 ⊢ 1 ≤ 1
43	41, 42	eqbrtrdi 5144	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 = 1) → (𝐴↑𝑐(1 − 𝐵)) ≤ 1)
44		cxpaddlelem.5	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 1)
45		leloe 11377	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝐵 ≤ 1 ↔ (𝐵 < 1 ∨ 𝐵 = 1)))
46	5, 3, 45	sylancl 598	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ≤ 1 ↔ (𝐵 < 1 ∨ 𝐵 = 1)))
47	44, 46	mpbid 235	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 < 1 ∨ 𝐵 = 1))
48	47	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (𝐵 < 1 ∨ 𝐵 = 1))
49	32, 43, 48	mpjaodan 973	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴↑𝑐(1 − 𝐵)) ≤ 1)
50		lemul1a 12152	. . . 4 ⊢ ((((𝐴↑𝑐(1 − 𝐵)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ ((𝐴↑𝑐𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴↑𝑐𝐵))) ∧ (𝐴↑𝑐(1 − 𝐵)) ≤ 1) → ((𝐴↑𝑐(1 − 𝐵)) · (𝐴↑𝑐𝐵)) ≤ (1 · (𝐴↑𝑐𝐵)))
51	9, 10, 15, 49, 50	syl31anc 1400	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((𝐴↑𝑐(1 − 𝐵)) · (𝐴↑𝑐𝐵)) ≤ (1 · (𝐴↑𝑐𝐵)))
52		ax-1cn 11239	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
53	5	recnd 11318	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
54		npcan 11547	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((1 − 𝐵) + 𝐵) = 1)
55	52, 53, 54	sylancr 599	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((1 − 𝐵) + 𝐵) = 1)
56	55	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((1 − 𝐵) + 𝐵) = 1)
57	56	oveq2d 7428	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴↑𝑐((1 − 𝐵) + 𝐵)) = (𝐴↑𝑐1))
58	38	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℂ)
59	1	anim1i 627	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
60		elrp 13103	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
61	59, 60	sylibr 237	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ+)
62	61	rpne0d 13150	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ≠ 0)
63	29	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (1 − 𝐵) ∈ ℂ)
64	53	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
65	58, 62, 63, 64	cxpaddd 27027	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴↑𝑐((1 − 𝐵) + 𝐵)) = ((𝐴↑𝑐(1 − 𝐵)) · (𝐴↑𝑐𝐵)))
66	38	cxp1d 27016	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑐1) = 𝐴)
67	66	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴↑𝑐1) = 𝐴)
68	57, 65, 67	3eqtr3d 2804	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((𝐴↑𝑐(1 − 𝐵)) · (𝐴↑𝑐𝐵)) = 𝐴)
69	38, 53	cxpcld 27018	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑐𝐵) ∈ ℂ)
70	69	mullidd 11308	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1 · (𝐴↑𝑐𝐵)) = (𝐴↑𝑐𝐵))
71	70	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (1 · (𝐴↑𝑐𝐵)) = (𝐴↑𝑐𝐵))
72	51, 68, 71	3brtr3d 5136	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ≤ (𝐴↑𝑐𝐵))
73	1, 2, 5	cxpge0d 27034	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐴↑𝑐𝐵))
74		breq1 5106	. . . 4 ⊢ (0 = 𝐴 → (0 ≤ (𝐴↑𝑐𝐵) ↔ 𝐴 ≤ (𝐴↑𝑐𝐵)))
75	73, 74	syl5ibcom 248	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0 = 𝐴 → 𝐴 ≤ (𝐴↑𝑐𝐵)))
76	75	imp 412	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) → 𝐴 ≤ (𝐴↑𝑐𝐵))
77		0re 11291	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
78		leloe 11377	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝐴 ↔ (0 < 𝐴 ∨ 0 = 𝐴)))
79	77, 1, 78	sylancr 599	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ 𝐴 ↔ (0 < 𝐴 ∨ 0 = 𝐴)))
80	2, 79	mpbid 235	. 2 ⊢ (𝜑 → (0 < 𝐴 ∨ 0 = 𝐴))
81	72, 76, 80	mpjaodan 973	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ (𝐴↑𝑐𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103  (class class class)co 7412  ℂcc 11179  ℝcr 11180  0cc0 11181  1c1 11182   + caddc 11184   · cmul 11186   < clt 11324   ≤ cle 11325   − cmin 11522  ℝ⁺crp 13101  ↑_𝑐ccxp 26865

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-inf2 9626  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258  ax-pre-sup 11259  ax-addf 11260

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-isom 6540  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7682  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-supp 8162  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8460  df-2o 8461  df-er 8701  df-map 8833  df-pm 8834  df-ixp 8910  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-fsupp 9338  df-fi 9387  df-sup 9418  df-inf 9419  df-oi 9488  df-card 10001  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-div 11955  df-nn 12317  df-2 12386  df-3 12387  df-4 12388  df-5 12389  df-6 12390  df-7 12391  df-8 12392  df-9 12393  df-n0 12588  df-z 12675  df-dec 12796  df-uz 12947  df-q 13057  df-rp 13102  df-xneg 13222  df-xadd 13223  df-xmul 13224  df-ioo 13461  df-ioc 13462  df-ico 13463  df-icc 13464  df-fz 13621  df-fzo 13769  df-fl 13912  df-mod 13990  df-seq 14125  df-exp 14185  df-fac 14398  df-bc 14427  df-hash 14455  df-shft 15200  df-cj 15246  df-re 15247  df-im 15248  df-sqrt 15382  df-abs 15383  df-limsup 15618  df-clim 15635  df-rlim 15636  df-sum 15834  df-ef 16213  df-sin 16215  df-cos 16216  df-pi 16218  df-struct 17305  df-sets 17322  df-slot 17340  df-ndx 17352  df-base 17368  df-ress 17389  df-plusg 17421  df-mulr 17422  df-starv 17423  df-sca 17424  df-vsca 17425  df-ip 17426  df-tset 17427  df-ple 17428  df-ds 17430  df-unif 17431  df-hom 17432  df-cco 17433  df-rest 17573  df-topn 17574  df-0g 17592  df-gsum 17593  df-topgen 17594  df-pt 17595  df-prds 17598  df-xrs 17654  df-qtop 17659  df-imas 17660  df-xps 17662  df-mre 17736  df-mrc 17737  df-acs 17739  df-mgm 18796  df-sgrp 18888  df-mnd 18904  df-submnd 18959  df-mulg 19258  df-cntz 19511  df-cmn 19976  df-psmet 21650  df-xmet 21651  df-met 21652  df-bl 21653  df-mopn 21654  df-fbas 21655  df-fg 21656  df-cnfld 21659  df-top 23192  df-topon 23209  df-topsp 23231  df-bases 23244  df-cld 23317  df-ntr 23318  df-cls 23319  df-nei 23396  df-lp 23434  df-perf 23435  df-cn 23525  df-cnp 23526  df-haus 23613  df-tx 23861  df-hmeo 24054  df-fil 24145  df-fm 24237  df-flim 24238  df-flf 24239  df-xms 24619  df-ms 24620  df-tms 24621  df-cncf 25179  df-limc 26166  df-dv 26167  df-log 26866  df-cxp 26867

This theorem is used by:  cxpaddle  27062