MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cxpaddlelem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cxpaddlelem 26496
Description: Lemma for cxpaddle 26497. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
cxpaddlelem.1 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
cxpaddlelem.2 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค ๐ด)
cxpaddlelem.3 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โ‰ค 1)
cxpaddlelem.4 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„+)
cxpaddlelem.5 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โ‰ค 1)
Assertion
Ref Expression
cxpaddlelem (๐œ‘ โ†’ ๐ด โ‰ค (๐ดโ†‘๐‘๐ต))

Proof of Theorem cxpaddlelem
StepHypRef Expression
1 cxpaddlelem.1 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
2 cxpaddlelem.2 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค ๐ด)
3 1re 11219 . . . . . . 7 1 โˆˆ โ„
4 cxpaddlelem.4 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„+)
54rpred 13021 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
6 resubcl 11529 . . . . . . 7 ((1 โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (1 โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„)
73, 5, 6sylancr 586 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (1 โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„)
81, 2, 7recxpcld 26468 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐ดโ†‘๐‘(1 โˆ’ ๐ต)) โˆˆ โ„)
98adantr 480 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘(1 โˆ’ ๐ต)) โˆˆ โ„)
10 1red 11220 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ 1 โˆˆ โ„)
11 recxpcl 26420 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘๐ต) โˆˆ โ„)
12 cxpge0 26428 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ 0 โ‰ค (๐ดโ†‘๐‘๐ต))
1311, 12jca 511 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘๐ต) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (๐ดโ†‘๐‘๐ต)))
141, 2, 5, 13syl3anc 1370 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘๐ต) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (๐ดโ†‘๐‘๐ต)))
1514adantr 480 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘๐ต) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (๐ดโ†‘๐‘๐ต)))
16 cxpaddlelem.3 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โ‰ค 1)
1716ad2antrr 723 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โˆง ๐ต < 1) โ†’ ๐ด โ‰ค 1)
181ad2antrr 723 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โˆง ๐ต < 1) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
192ad2antrr 723 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โˆง ๐ต < 1) โ†’ 0 โ‰ค ๐ด)
20 1red 11220 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โˆง ๐ต < 1) โ†’ 1 โˆˆ โ„)
21 0le1 11742 . . . . . . . . 9 0 โ‰ค 1
2221a1i 11 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โˆง ๐ต < 1) โ†’ 0 โ‰ค 1)
23 difrp 13017 . . . . . . . . . . 11 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„) โ†’ (๐ต < 1 โ†” (1 โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„+))
245, 3, 23sylancl 585 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐ต < 1 โ†” (1 โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„+))
2524adantr 480 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ (๐ต < 1 โ†” (1 โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„+))
2625biimpa 476 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โˆง ๐ต < 1) โ†’ (1 โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„+)
2718, 19, 20, 22, 26cxple2d 26472 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โˆง ๐ต < 1) โ†’ (๐ด โ‰ค 1 โ†” (๐ดโ†‘๐‘(1 โˆ’ ๐ต)) โ‰ค (1โ†‘๐‘(1 โˆ’ ๐ต))))
2817, 27mpbid 231 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โˆง ๐ต < 1) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘(1 โˆ’ ๐ต)) โ‰ค (1โ†‘๐‘(1 โˆ’ ๐ต)))
297recnd 11247 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (1 โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„‚)
30291cxpd 26452 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (1โ†‘๐‘(1 โˆ’ ๐ต)) = 1)
3130ad2antrr 723 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โˆง ๐ต < 1) โ†’ (1โ†‘๐‘(1 โˆ’ ๐ต)) = 1)
3228, 31breqtrd 5174 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โˆง ๐ต < 1) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘(1 โˆ’ ๐ต)) โ‰ค 1)
33 simpr 484 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โˆง ๐ต = 1) โ†’ ๐ต = 1)
3433oveq2d 7428 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โˆง ๐ต = 1) โ†’ (1 โˆ’ ๐ต) = (1 โˆ’ 1))
35 1m1e0 12289 . . . . . . . . 9 (1 โˆ’ 1) = 0
3634, 35eqtrdi 2787 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โˆง ๐ต = 1) โ†’ (1 โˆ’ ๐ต) = 0)
3736oveq2d 7428 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โˆง ๐ต = 1) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘(1 โˆ’ ๐ต)) = (๐ดโ†‘๐‘0))
381recnd 11247 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
3938ad2antrr 723 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โˆง ๐ต = 1) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
4039cxp0d 26450 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โˆง ๐ต = 1) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘0) = 1)
4137, 40eqtrd 2771 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โˆง ๐ต = 1) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘(1 โˆ’ ๐ต)) = 1)
42 1le1 11847 . . . . . 6 1 โ‰ค 1
4341, 42eqbrtrdi 5187 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โˆง ๐ต = 1) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘(1 โˆ’ ๐ต)) โ‰ค 1)
44 cxpaddlelem.5 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โ‰ค 1)
45 leloe 11305 . . . . . . . 8 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„) โ†’ (๐ต โ‰ค 1 โ†” (๐ต < 1 โˆจ ๐ต = 1)))
465, 3, 45sylancl 585 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐ต โ‰ค 1 โ†” (๐ต < 1 โˆจ ๐ต = 1)))
4744, 46mpbid 231 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐ต < 1 โˆจ ๐ต = 1))
4847adantr 480 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ (๐ต < 1 โˆจ ๐ต = 1))
4932, 43, 48mpjaodan 956 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘(1 โˆ’ ๐ต)) โ‰ค 1)
50 lemul1a 12073 . . . 4 ((((๐ดโ†‘๐‘(1 โˆ’ ๐ต)) โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„ โˆง ((๐ดโ†‘๐‘๐ต) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (๐ดโ†‘๐‘๐ต))) โˆง (๐ดโ†‘๐‘(1 โˆ’ ๐ต)) โ‰ค 1) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘(1 โˆ’ ๐ต)) ยท (๐ดโ†‘๐‘๐ต)) โ‰ค (1 ยท (๐ดโ†‘๐‘๐ต)))
519, 10, 15, 49, 50syl31anc 1372 . . 3 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘(1 โˆ’ ๐ต)) ยท (๐ดโ†‘๐‘๐ต)) โ‰ค (1 ยท (๐ดโ†‘๐‘๐ต)))
52 ax-1cn 11172 . . . . . . 7 1 โˆˆ โ„‚
535recnd 11247 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
54 npcan 11474 . . . . . . 7 ((1 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((1 โˆ’ ๐ต) + ๐ต) = 1)
5552, 53, 54sylancr 586 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((1 โˆ’ ๐ต) + ๐ต) = 1)
5655adantr 480 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ ((1 โˆ’ ๐ต) + ๐ต) = 1)
5756oveq2d 7428 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘((1 โˆ’ ๐ต) + ๐ต)) = (๐ดโ†‘๐‘1))
5838adantr 480 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
591anim1i 614 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ (๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด))
60 elrp 12981 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†” (๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด))
6159, 60sylibr 233 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„+)
6261rpne0d 13026 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ ๐ด โ‰  0)
6329adantr 480 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ (1 โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„‚)
6453adantr 480 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
6558, 62, 63, 64cxpaddd 26462 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘((1 โˆ’ ๐ต) + ๐ต)) = ((๐ดโ†‘๐‘(1 โˆ’ ๐ต)) ยท (๐ดโ†‘๐‘๐ต)))
6638cxp1d 26451 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐ดโ†‘๐‘1) = ๐ด)
6766adantr 480 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘1) = ๐ด)
6857, 65, 673eqtr3d 2779 . . 3 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘(1 โˆ’ ๐ต)) ยท (๐ดโ†‘๐‘๐ต)) = ๐ด)
6938, 53cxpcld 26453 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐ดโ†‘๐‘๐ต) โˆˆ โ„‚)
7069mullidd 11237 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (1 ยท (๐ดโ†‘๐‘๐ต)) = (๐ดโ†‘๐‘๐ต))
7170adantr 480 . . 3 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ (1 ยท (๐ดโ†‘๐‘๐ต)) = (๐ดโ†‘๐‘๐ต))
7251, 68, 713brtr3d 5179 . 2 ((๐œ‘ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ ๐ด โ‰ค (๐ดโ†‘๐‘๐ต))
731, 2, 5cxpge0d 26469 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค (๐ดโ†‘๐‘๐ต))
74 breq1 5151 . . . 4 (0 = ๐ด โ†’ (0 โ‰ค (๐ดโ†‘๐‘๐ต) โ†” ๐ด โ‰ค (๐ดโ†‘๐‘๐ต)))
7573, 74syl5ibcom 244 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (0 = ๐ด โ†’ ๐ด โ‰ค (๐ดโ†‘๐‘๐ต)))
7675imp 406 . 2 ((๐œ‘ โˆง 0 = ๐ด) โ†’ ๐ด โ‰ค (๐ดโ†‘๐‘๐ต))
77 0re 11221 . . . 4 0 โˆˆ โ„
78 leloe 11305 . . . 4 ((0 โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โ†’ (0 โ‰ค ๐ด โ†” (0 < ๐ด โˆจ 0 = ๐ด)))
7977, 1, 78sylancr 586 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (0 โ‰ค ๐ด โ†” (0 < ๐ด โˆจ 0 = ๐ด)))
802, 79mpbid 231 . 2 (๐œ‘ โ†’ (0 < ๐ด โˆจ 0 = ๐ด))
8172, 76, 80mpjaodan 956 1 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โ‰ค (๐ดโ†‘๐‘๐ต))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   โˆจ wo 844   โˆง w3a 1086   = wceq 1540   โˆˆ wcel 2105   class class class wbr 5148  (class class class)co 7412  โ„‚cc 11112  โ„cr 11113  0cc0 11114  1c1 11115   + caddc 11117   ยท cmul 11119   < clt 11253   โ‰ค cle 11254   โˆ’ cmin 11449  โ„+crp 12979  โ†‘๐‘ccxp 26301
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-inf2 9640  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191  ax-pre-sup 11192  ax-addf 11193
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7674  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-supp 8151  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-2o 8471  df-er 8707  df-map 8826  df-pm 8827  df-ixp 8896  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-fsupp 9366  df-fi 9410  df-sup 9441  df-inf 9442  df-oi 9509  df-card 9938  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12478  df-z 12564  df-dec 12683  df-uz 12828  df-q 12938  df-rp 12980  df-xneg 13097  df-xadd 13098  df-xmul 13099  df-ioo 13333  df-ioc 13334  df-ico 13335  df-icc 13336  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-fl 13762  df-mod 13840  df-seq 13972  df-exp 14033  df-fac 14239  df-bc 14268  df-hash 14296  df-shft 15019  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188  df-limsup 15420  df-clim 15437  df-rlim 15438  df-sum 15638  df-ef 16016  df-sin 16018  df-cos 16019  df-pi 16021  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-starv 17217  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-ip 17220  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ds 17224  df-unif 17225  df-hom 17226  df-cco 17227  df-rest 17373  df-topn 17374  df-0g 17392  df-gsum 17393  df-topgen 17394  df-pt 17395  df-prds 17398  df-xrs 17453  df-qtop 17458  df-imas 17459  df-xps 17461  df-mre 17535  df-mrc 17536  df-acs 17538  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-submnd 18707  df-mulg 18988  df-cntz 19223  df-cmn 19692  df-psmet 21137  df-xmet 21138  df-met 21139  df-bl 21140  df-mopn 21141  df-fbas 21142  df-fg 21143  df-cnfld 21146  df-top 22617  df-topon 22634  df-topsp 22656  df-bases 22670  df-cld 22744  df-ntr 22745  df-cls 22746  df-nei 22823  df-lp 22861  df-perf 22862  df-cn 22952  df-cnp 22953  df-haus 23040  df-tx 23287  df-hmeo 23480  df-fil 23571  df-fm 23663  df-flim 23664  df-flf 23665  df-xms 24047  df-ms 24048  df-tms 24049  df-cncf 24619  df-limc 25616  df-dv 25617  df-log 26302  df-cxp 26303
This theorem is referenced by:  cxpaddle  26497
  Copyright terms: Public domain W3C validator