Theorem cxpaddlelem 26728

Description: Lemma for cxpaddle 26729. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
cxpaddlelem.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
cxpaddlelem.2	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
cxpaddlelem.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 1)
cxpaddlelem.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
cxpaddlelem.5	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 1)

Assertion

Ref	Expression
cxpaddlelem	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ (𝐴↑𝑐𝐵))

Proof of Theorem cxpaddlelem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cxpaddlelem.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		cxpaddlelem.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
3		1re 11135	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℝ
4		cxpaddlelem.4	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
5	4	rpred 12977	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
6		resubcl 11449	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (1 − 𝐵) ∈ ℝ)
7	3, 5, 6	sylancr 588	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1 − 𝐵) ∈ ℝ)
8	1, 2, 7	recxpcld 26700	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑐(1 − 𝐵)) ∈ ℝ)
9	8	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴↑𝑐(1 − 𝐵)) ∈ ℝ)
10		1red 11136	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 1 ∈ ℝ)
11		recxpcl 26652	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴↑𝑐𝐵) ∈ ℝ)
12		cxpge0 26660	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 0 ≤ (𝐴↑𝑐𝐵))
13	11, 12	jca 511	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴↑𝑐𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴↑𝑐𝐵)))
14	1, 2, 5, 13	syl3anc 1374	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝑐𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴↑𝑐𝐵)))
15	14	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((𝐴↑𝑐𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴↑𝑐𝐵)))
16		cxpaddlelem.3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 1)
17	16	ad2antrr 727	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 < 1) → 𝐴 ≤ 1)
18	1	ad2antrr 727	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 < 1) → 𝐴 ∈ ℝ)
19	2	ad2antrr 727	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 < 1) → 0 ≤ 𝐴)
20		1red 11136	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 < 1) → 1 ∈ ℝ)
21		0le1 11664	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ≤ 1
22	21	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 < 1) → 0 ≤ 1)
23		difrp 12973	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝐵 < 1 ↔ (1 − 𝐵) ∈ ℝ+))
24	5, 3, 23	sylancl 587	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐵 < 1 ↔ (1 − 𝐵) ∈ ℝ+))
25	24	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (𝐵 < 1 ↔ (1 − 𝐵) ∈ ℝ+))
26	25	biimpa 476	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 < 1) → (1 − 𝐵) ∈ ℝ+)
27	18, 19, 20, 22, 26	cxple2d 26704	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 < 1) → (𝐴 ≤ 1 ↔ (𝐴↑𝑐(1 − 𝐵)) ≤ (1↑𝑐(1 − 𝐵))))
28	17, 27	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 < 1) → (𝐴↑𝑐(1 − 𝐵)) ≤ (1↑𝑐(1 − 𝐵)))
29	7	recnd 11164	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1 − 𝐵) ∈ ℂ)
30	29	1cxpd 26684	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1↑𝑐(1 − 𝐵)) = 1)
31	30	ad2antrr 727	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 < 1) → (1↑𝑐(1 − 𝐵)) = 1)
32	28, 31	breqtrd 5112	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 < 1) → (𝐴↑𝑐(1 − 𝐵)) ≤ 1)
33		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 = 1) → 𝐵 = 1)
34	33	oveq2d 7376	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 = 1) → (1 − 𝐵) = (1 − 1))
35		1m1e0 12244	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 − 1) = 0
36	34, 35	eqtrdi 2788	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 = 1) → (1 − 𝐵) = 0)
37	36	oveq2d 7376	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 = 1) → (𝐴↑𝑐(1 − 𝐵)) = (𝐴↑𝑐0))
38	1	recnd 11164	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
39	38	ad2antrr 727	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 = 1) → 𝐴 ∈ ℂ)
40	39	cxp0d 26682	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 = 1) → (𝐴↑𝑐0) = 1)
41	37, 40	eqtrd 2772	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 = 1) → (𝐴↑𝑐(1 − 𝐵)) = 1)
42		1le1 11769	. . . . . 6 ⊢ 1 ≤ 1
43	41, 42	eqbrtrdi 5125	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 = 1) → (𝐴↑𝑐(1 − 𝐵)) ≤ 1)
44		cxpaddlelem.5	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 1)
45		leloe 11223	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝐵 ≤ 1 ↔ (𝐵 < 1 ∨ 𝐵 = 1)))
46	5, 3, 45	sylancl 587	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ≤ 1 ↔ (𝐵 < 1 ∨ 𝐵 = 1)))
47	44, 46	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 < 1 ∨ 𝐵 = 1))
48	47	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (𝐵 < 1 ∨ 𝐵 = 1))
49	32, 43, 48	mpjaodan 961	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴↑𝑐(1 − 𝐵)) ≤ 1)
50		lemul1a 12000	. . . 4 ⊢ ((((𝐴↑𝑐(1 − 𝐵)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ ((𝐴↑𝑐𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴↑𝑐𝐵))) ∧ (𝐴↑𝑐(1 − 𝐵)) ≤ 1) → ((𝐴↑𝑐(1 − 𝐵)) · (𝐴↑𝑐𝐵)) ≤ (1 · (𝐴↑𝑐𝐵)))
51	9, 10, 15, 49, 50	syl31anc 1376	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((𝐴↑𝑐(1 − 𝐵)) · (𝐴↑𝑐𝐵)) ≤ (1 · (𝐴↑𝑐𝐵)))
52		ax-1cn 11087	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
53	5	recnd 11164	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
54		npcan 11393	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((1 − 𝐵) + 𝐵) = 1)
55	52, 53, 54	sylancr 588	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((1 − 𝐵) + 𝐵) = 1)
56	55	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((1 − 𝐵) + 𝐵) = 1)
57	56	oveq2d 7376	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴↑𝑐((1 − 𝐵) + 𝐵)) = (𝐴↑𝑐1))
58	38	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℂ)
59	1	anim1i 616	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
60		elrp 12935	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
61	59, 60	sylibr 234	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ+)
62	61	rpne0d 12982	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ≠ 0)
63	29	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (1 − 𝐵) ∈ ℂ)
64	53	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
65	58, 62, 63, 64	cxpaddd 26694	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴↑𝑐((1 − 𝐵) + 𝐵)) = ((𝐴↑𝑐(1 − 𝐵)) · (𝐴↑𝑐𝐵)))
66	38	cxp1d 26683	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑐1) = 𝐴)
67	66	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴↑𝑐1) = 𝐴)
68	57, 65, 67	3eqtr3d 2780	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((𝐴↑𝑐(1 − 𝐵)) · (𝐴↑𝑐𝐵)) = 𝐴)
69	38, 53	cxpcld 26685	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑐𝐵) ∈ ℂ)
70	69	mullidd 11154	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1 · (𝐴↑𝑐𝐵)) = (𝐴↑𝑐𝐵))
71	70	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (1 · (𝐴↑𝑐𝐵)) = (𝐴↑𝑐𝐵))
72	51, 68, 71	3brtr3d 5117	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ≤ (𝐴↑𝑐𝐵))
73	1, 2, 5	cxpge0d 26701	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐴↑𝑐𝐵))
74		breq1 5089	. . . 4 ⊢ (0 = 𝐴 → (0 ≤ (𝐴↑𝑐𝐵) ↔ 𝐴 ≤ (𝐴↑𝑐𝐵)))
75	73, 74	syl5ibcom 245	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0 = 𝐴 → 𝐴 ≤ (𝐴↑𝑐𝐵)))
76	75	imp 406	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) → 𝐴 ≤ (𝐴↑𝑐𝐵))
77		0re 11137	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
78		leloe 11223	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝐴 ↔ (0 < 𝐴 ∨ 0 = 𝐴)))
79	77, 1, 78	sylancr 588	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ 𝐴 ↔ (0 < 𝐴 ∨ 0 = 𝐴)))
80	2, 79	mpbid 232	. 2 ⊢ (𝜑 → (0 < 𝐴 ∨ 0 = 𝐴))
81	72, 76, 80	mpjaodan 961	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ (𝐴↑𝑐𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5086  (class class class)co 7360  ℂcc 11027  ℝcr 11028  0cc0 11029  1c1 11030   + caddc 11032   · cmul 11034   < clt 11170   ≤ cle 11171   − cmin 11368  ℝ⁺crp 12933  ↑_𝑐ccxp 26532

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-inf2 9553  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107  ax-addf 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-of 7624  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-supp 8104  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-2o 8399  df-er 8636  df-map 8768  df-pm 8769  df-ixp 8839  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fsupp 9268  df-fi 9317  df-sup 9348  df-inf 9349  df-oi 9418  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-z 12516  df-dec 12636  df-uz 12780  df-q 12890  df-rp 12934  df-xneg 13054  df-xadd 13055  df-xmul 13056  df-ioo 13293  df-ioc 13294  df-ico 13295  df-icc 13296  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-fl 13742  df-mod 13820  df-seq 13955  df-exp 14015  df-fac 14227  df-bc 14256  df-hash 14284  df-shft 15020  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-limsup 15424  df-clim 15441  df-rlim 15442  df-sum 15640  df-ef 16023  df-sin 16025  df-cos 16026  df-pi 16028  df-struct 17108  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-mulr 17225  df-starv 17226  df-sca 17227  df-vsca 17228  df-ip 17229  df-tset 17230  df-ple 17231  df-ds 17233  df-unif 17234  df-hom 17235  df-cco 17236  df-rest 17376  df-topn 17377  df-0g 17395  df-gsum 17396  df-topgen 17397  df-pt 17398  df-prds 17401  df-xrs 17457  df-qtop 17462  df-imas 17463  df-xps 17465  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-submnd 18743  df-mulg 19035  df-cntz 19283  df-cmn 19748  df-psmet 21336  df-xmet 21337  df-met 21338  df-bl 21339  df-mopn 21340  df-fbas 21341  df-fg 21342  df-cnfld 21345  df-top 22869  df-topon 22886  df-topsp 22908  df-bases 22921  df-cld 22994  df-ntr 22995  df-cls 22996  df-nei 23073  df-lp 23111  df-perf 23112  df-cn 23202  df-cnp 23203  df-haus 23290  df-tx 23537  df-hmeo 23730  df-fil 23821  df-fm 23913  df-flim 23914  df-flf 23915  df-xms 24295  df-ms 24296  df-tms 24297  df-cncf 24855  df-limc 25843  df-dv 25844  df-log 26533  df-cxp 26534

This theorem is referenced by:  cxpaddle  26729