Theorem cxpaddlelem 26794

Description: Lemma for cxpaddle 26795. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
cxpaddlelem.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
cxpaddlelem.2	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
cxpaddlelem.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 1)
cxpaddlelem.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
cxpaddlelem.5	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 1)

Assertion

Ref	Expression
cxpaddlelem	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ (𝐴↑𝑐𝐵))

Proof of Theorem cxpaddlelem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cxpaddlelem.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		cxpaddlelem.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
3		1re 11261	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℝ
4		cxpaddlelem.4	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
5	4	rpred 13077	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
6		resubcl 11573	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (1 − 𝐵) ∈ ℝ)
7	3, 5, 6	sylancr 587	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1 − 𝐵) ∈ ℝ)
8	1, 2, 7	recxpcld 26765	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑐(1 − 𝐵)) ∈ ℝ)
9	8	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴↑𝑐(1 − 𝐵)) ∈ ℝ)
10		1red 11262	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 1 ∈ ℝ)
11		recxpcl 26717	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴↑𝑐𝐵) ∈ ℝ)
12		cxpge0 26725	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 0 ≤ (𝐴↑𝑐𝐵))
13	11, 12	jca 511	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴↑𝑐𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴↑𝑐𝐵)))
14	1, 2, 5, 13	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝑐𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴↑𝑐𝐵)))
15	14	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((𝐴↑𝑐𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴↑𝑐𝐵)))
16		cxpaddlelem.3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 1)
17	16	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 < 1) → 𝐴 ≤ 1)
18	1	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 < 1) → 𝐴 ∈ ℝ)
19	2	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 < 1) → 0 ≤ 𝐴)
20		1red 11262	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 < 1) → 1 ∈ ℝ)
21		0le1 11786	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ≤ 1
22	21	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 < 1) → 0 ≤ 1)
23		difrp 13073	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝐵 < 1 ↔ (1 − 𝐵) ∈ ℝ+))
24	5, 3, 23	sylancl 586	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐵 < 1 ↔ (1 − 𝐵) ∈ ℝ+))
25	24	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (𝐵 < 1 ↔ (1 − 𝐵) ∈ ℝ+))
26	25	biimpa 476	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 < 1) → (1 − 𝐵) ∈ ℝ+)
27	18, 19, 20, 22, 26	cxple2d 26769	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 < 1) → (𝐴 ≤ 1 ↔ (𝐴↑𝑐(1 − 𝐵)) ≤ (1↑𝑐(1 − 𝐵))))
28	17, 27	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 < 1) → (𝐴↑𝑐(1 − 𝐵)) ≤ (1↑𝑐(1 − 𝐵)))
29	7	recnd 11289	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1 − 𝐵) ∈ ℂ)
30	29	1cxpd 26749	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1↑𝑐(1 − 𝐵)) = 1)
31	30	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 < 1) → (1↑𝑐(1 − 𝐵)) = 1)
32	28, 31	breqtrd 5169	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 < 1) → (𝐴↑𝑐(1 − 𝐵)) ≤ 1)
33		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 = 1) → 𝐵 = 1)
34	33	oveq2d 7447	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 = 1) → (1 − 𝐵) = (1 − 1))
35		1m1e0 12338	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 − 1) = 0
36	34, 35	eqtrdi 2793	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 = 1) → (1 − 𝐵) = 0)
37	36	oveq2d 7447	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 = 1) → (𝐴↑𝑐(1 − 𝐵)) = (𝐴↑𝑐0))
38	1	recnd 11289	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
39	38	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 = 1) → 𝐴 ∈ ℂ)
40	39	cxp0d 26747	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 = 1) → (𝐴↑𝑐0) = 1)
41	37, 40	eqtrd 2777	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 = 1) → (𝐴↑𝑐(1 − 𝐵)) = 1)
42		1le1 11891	. . . . . 6 ⊢ 1 ≤ 1
43	41, 42	eqbrtrdi 5182	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) ∧ 𝐵 = 1) → (𝐴↑𝑐(1 − 𝐵)) ≤ 1)
44		cxpaddlelem.5	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 1)
45		leloe 11347	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝐵 ≤ 1 ↔ (𝐵 < 1 ∨ 𝐵 = 1)))
46	5, 3, 45	sylancl 586	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ≤ 1 ↔ (𝐵 < 1 ∨ 𝐵 = 1)))
47	44, 46	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 < 1 ∨ 𝐵 = 1))
48	47	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (𝐵 < 1 ∨ 𝐵 = 1))
49	32, 43, 48	mpjaodan 961	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴↑𝑐(1 − 𝐵)) ≤ 1)
50		lemul1a 12121	. . . 4 ⊢ ((((𝐴↑𝑐(1 − 𝐵)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ ((𝐴↑𝑐𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴↑𝑐𝐵))) ∧ (𝐴↑𝑐(1 − 𝐵)) ≤ 1) → ((𝐴↑𝑐(1 − 𝐵)) · (𝐴↑𝑐𝐵)) ≤ (1 · (𝐴↑𝑐𝐵)))
51	9, 10, 15, 49, 50	syl31anc 1375	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((𝐴↑𝑐(1 − 𝐵)) · (𝐴↑𝑐𝐵)) ≤ (1 · (𝐴↑𝑐𝐵)))
52		ax-1cn 11213	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
53	5	recnd 11289	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
54		npcan 11517	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((1 − 𝐵) + 𝐵) = 1)
55	52, 53, 54	sylancr 587	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((1 − 𝐵) + 𝐵) = 1)
56	55	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((1 − 𝐵) + 𝐵) = 1)
57	56	oveq2d 7447	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴↑𝑐((1 − 𝐵) + 𝐵)) = (𝐴↑𝑐1))
58	38	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℂ)
59	1	anim1i 615	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
60		elrp 13036	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
61	59, 60	sylibr 234	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ+)
62	61	rpne0d 13082	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ≠ 0)
63	29	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (1 − 𝐵) ∈ ℂ)
64	53	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
65	58, 62, 63, 64	cxpaddd 26759	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴↑𝑐((1 − 𝐵) + 𝐵)) = ((𝐴↑𝑐(1 − 𝐵)) · (𝐴↑𝑐𝐵)))
66	38	cxp1d 26748	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑐1) = 𝐴)
67	66	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴↑𝑐1) = 𝐴)
68	57, 65, 67	3eqtr3d 2785	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → ((𝐴↑𝑐(1 − 𝐵)) · (𝐴↑𝑐𝐵)) = 𝐴)
69	38, 53	cxpcld 26750	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑐𝐵) ∈ ℂ)
70	69	mullidd 11279	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1 · (𝐴↑𝑐𝐵)) = (𝐴↑𝑐𝐵))
71	70	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → (1 · (𝐴↑𝑐𝐵)) = (𝐴↑𝑐𝐵))
72	51, 68, 71	3brtr3d 5174	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ≤ (𝐴↑𝑐𝐵))
73	1, 2, 5	cxpge0d 26766	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐴↑𝑐𝐵))
74		breq1 5146	. . . 4 ⊢ (0 = 𝐴 → (0 ≤ (𝐴↑𝑐𝐵) ↔ 𝐴 ≤ (𝐴↑𝑐𝐵)))
75	73, 74	syl5ibcom 245	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0 = 𝐴 → 𝐴 ≤ (𝐴↑𝑐𝐵)))
76	75	imp 406	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 = 𝐴) → 𝐴 ≤ (𝐴↑𝑐𝐵))
77		0re 11263	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
78		leloe 11347	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝐴 ↔ (0 < 𝐴 ∨ 0 = 𝐴)))
79	77, 1, 78	sylancr 587	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ 𝐴 ↔ (0 < 𝐴 ∨ 0 = 𝐴)))
80	2, 79	mpbid 232	. 2 ⊢ (𝜑 → (0 < 𝐴 ∨ 0 = 𝐴))
81	72, 76, 80	mpjaodan 961	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ (𝐴↑𝑐𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5143  (class class class)co 7431  ℂcc 11153  ℝcr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160   < clt 11295   ≤ cle 11296   − cmin 11492  ℝ⁺crp 13034  ↑_𝑐ccxp 26597

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ioo 13391  df-ioc 13392  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14043  df-exp 14103  df-fac 14313  df-bc 14342  df-hash 14370  df-shft 15106  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-limsup 15507  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-sum 15723  df-ef 16103  df-sin 16105  df-cos 16106  df-pi 16108  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17467  df-topn 17468  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-topgen 17488  df-pt 17489  df-prds 17492  df-xrs 17547  df-qtop 17552  df-imas 17553  df-xps 17555  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-mulg 19086  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-fbas 21361  df-fg 21362  df-cnfld 21365  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-cld 23027  df-ntr 23028  df-cls 23029  df-nei 23106  df-lp 23144  df-perf 23145  df-cn 23235  df-cnp 23236  df-haus 23323  df-tx 23570  df-hmeo 23763  df-fil 23854  df-fm 23946  df-flim 23947  df-flf 23948  df-xms 24330  df-ms 24331  df-tms 24332  df-cncf 24904  df-limc 25901  df-dv 25902  df-log 26598  df-cxp 26599

This theorem is referenced by:  cxpaddle  26795