Theorem 1mod 13925

Description: Special case: 1 modulo a real number greater than 1 is 1. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)

Assertion

Ref	Expression
1mod	⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) → (1 mod 𝑁) = 1)

Proof of Theorem 1mod

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0lt1 11764	. . . . . 6 ⊢ 0 < 1
2		0re 11242	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ
3		1re 11240	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℝ
4		lttr 11316	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((0 < 1 ∧ 1 < 𝑁) → 0 < 𝑁))
5	2, 3, 4	mp3an12 1453	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → ((0 < 1 ∧ 1 < 𝑁) → 0 < 𝑁))
6	1, 5	mpani 696	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (1 < 𝑁 → 0 < 𝑁))
7	6	imdistani 568	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁))
8		elrp 13015	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ+ ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁))
9	7, 8	sylibr 234	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ+)
10	9, 3	jctil 519	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) → (1 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+))
11		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) → 1 < 𝑁)
12		0le1 11765	. . 3 ⊢ 0 ≤ 1
13	11, 12	jctil 519	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) → (0 ≤ 1 ∧ 1 < 𝑁))
14		modid 13918	. 2 ⊢ (((1 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 1 ∧ 1 < 𝑁)) → (1 mod 𝑁) = 1)
15	10, 13, 14	syl2anc 584	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) → (1 mod 𝑁) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5124  (class class class)co 7410  ℝcr 11133  0cc0 11134  1c1 11135   < clt 11274   ≤ cle 11275  ℝ⁺crp 13013   mod cmo 13891

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211  ax-pre-sup 11212

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-sup 9459  df-inf 9460  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-div 11900  df-nn 12246  df-n0 12507  df-z 12594  df-uz 12858  df-rp 13014  df-fl 13814  df-mod 13892

This theorem is referenced by:  mulp1mod1  13934  p1modz1  16284  modm1div  16289  mod2eq1n2dvds  16371  vfermltl  16826  pockthlem  16930  pockthi  16932  sylow3lem6  19618  wilthlem1  27035  lgsne0  27303  gausslemma2dlem0i  27332  gausslemma2dlem7  27341  gausslemma2d  27342  numclwwlk5  30374  numclwwlk7  30377  ceil5half3  47336  m1mod0mod1  47350  fmtnoprmfac1lem  47545  fmtnoprmfac2lem1  47547  sfprmdvdsmersenne  47584  modexp2m1d  47593  4fppr1  47716  gpgprismgriedgdmss  48023  gpgprismgr4cycllem3  48063  digexp  48554