Theorem 1mod 14023

Description: Special case: 1 modulo a real number greater than 1 is 1. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)

Assertion

Ref	Expression
1mod	⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) → (1 mod 𝑁) = 1)

Proof of Theorem 1mod

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0lt1 11819	. . . . . 6 ⊢ 0 < 1
2		0re 11291	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ
3		1re 11289	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℝ
4		lttr 11367	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((0 < 1 ∧ 1 < 𝑁) → 0 < 𝑁))
5	2, 3, 4	mp3an12 1480	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → ((0 < 1 ∧ 1 < 𝑁) → 0 < 𝑁))
6	1, 5	mpani 709	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (1 < 𝑁 → 0 < 𝑁))
7	6	imdistani 579	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁))
8		elrp 13103	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ+ ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁))
9	7, 8	sylibr 237	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ+)
10	9, 3	jctil 529	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) → (1 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+))
11		simpr 490	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) → 1 < 𝑁)
12		0le1 11820	. . 3 ⊢ 0 ≤ 1
13	11, 12	jctil 529	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) → (0 ≤ 1 ∧ 1 < 𝑁))
14		modid 14016	. 2 ⊢ (((1 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 1 ∧ 1 < 𝑁)) → (1 mod 𝑁) = 1)
15	10, 13, 14	syl2anc 596	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) → (1 mod 𝑁) = 1)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103  (class class class)co 7412  ℝcr 11180  0cc0 11181  1c1 11182   < clt 11324   ≤ cle 11325  ℝ⁺crp 13101   mod cmo 13989

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258  ax-pre-sup 11259

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7867  df-2nd 7991  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-er 8701  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-sup 9418  df-inf 9419  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-div 11955  df-nn 12317  df-n0 12588  df-z 12675  df-uz 12947  df-rp 13102  df-fl 13912  df-mod 13990

This theorem is used by:  mulp1mod1  14034  p1modz1  16409  modm1div  16414  mod2eq1n2dvds  16497  vfermltl  16959  pockthlem  17063  pockthi  17065  sylow3lem6  19826  wilthlem1  27377  lgsne0  27644  gausslemma2dlem0i  27673  gausslemma2dlem7  27682  gausslemma2d  27683  numclwwlk5  30971  numclwwlk7  30974  ceil5half3  48360  m1mod0mod1  48374  fmtnoprmfac1lem  48593  fmtnoprmfac2lem1  48595  sfprmdvdsmersenne  48632  modexp2m1d  48641  4fppr1  48777  gpgprismgriedgdmss  49094  gpgprismgr4cycllem3  49139  gpg5edgnedg  49172  digexp  49663