Theorem gsumval3lem1 19827

Description: Lemma 1 for gsumval3 19829. (Contributed by AV, 31-May-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumval3.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumval3.0	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
gsumval3.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
gsumval3.z	⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
gsumval3.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
gsumval3.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
gsumval3.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
gsumval3.c	⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ (𝑍‘ran 𝐹))
gsumval3.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
gsumval3.h	⊢ (𝜑 → 𝐻:(1...𝑀)–1-1→𝐴)
gsumval3.n	⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 0 ) ⊆ ran 𝐻)
gsumval3.w	⊢ 𝑊 = ((𝐹 ∘ 𝐻) supp 0 )

Assertion

Ref	Expression
gsumval3lem1	⊢ (((𝜑 ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ (¬ 𝐴 ∈ ran ... ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑊)), 𝑊))) → (𝐻 ∘ 𝑓):(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))

Distinct variable groups:   + ,𝑓   𝐴,𝑓   𝜑,𝑓   𝑓,𝐺   𝑓,𝑀   𝐵,𝑓   𝑓,𝐹   𝑓,𝐻   𝑓,𝑊

Allowed substitution hints:   𝑉(𝑓)   0 (𝑓)   𝑍(𝑓)

Proof of Theorem gsumval3lem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsumval3.h	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐻:(1...𝑀)–1-1→𝐴)
2	1	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ (¬ 𝐴 ∈ ran ... ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑊)), 𝑊))) → 𝐻:(1...𝑀)–1-1→𝐴)
3		gsumval3.w	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑊 = ((𝐹 ∘ 𝐻) supp 0 )
4		suppssdm 8116	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∘ 𝐻) supp 0 ) ⊆ dom (𝐹 ∘ 𝐻)
5	3, 4	eqsstri 3978	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑊 ⊆ dom (𝐹 ∘ 𝐻)
6		gsumval3.f	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
7		f1f 6727	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐻:(1...𝑀)–1-1→𝐴 → 𝐻:(1...𝑀)⟶𝐴)
8	1, 7	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐻:(1...𝑀)⟶𝐴)
9		fco 6683	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐻:(1...𝑀)⟶𝐴) → (𝐹 ∘ 𝐻):(1...𝑀)⟶𝐵)
10	6, 8, 9	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ 𝐻):(1...𝑀)⟶𝐵)
11	5, 10	fssdm 6678	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ⊆ (1...𝑀))
12	11	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ (¬ 𝐴 ∈ ran ... ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑊)), 𝑊))) → 𝑊 ⊆ (1...𝑀))
13		f1ores 6785	. . . . . 6 ⊢ ((𝐻:(1...𝑀)–1-1→𝐴 ∧ 𝑊 ⊆ (1...𝑀)) → (𝐻 ↾ 𝑊):𝑊–1-1-onto→(𝐻 “ 𝑊))
14	2, 12, 13	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ (¬ 𝐴 ∈ ran ... ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑊)), 𝑊))) → (𝐻 ↾ 𝑊):𝑊–1-1-onto→(𝐻 “ 𝑊))
15	3	imaeq2i 6014	. . . . . . 7 ⊢ (𝐻 “ 𝑊) = (𝐻 “ ((𝐹 ∘ 𝐻) supp 0 ))
16		gsumval3.a	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
17	6, 16	fexd 7170	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
18		ovex 7388	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1...𝑀) ∈ V
19		fex 7169	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐻:(1...𝑀)⟶𝐴 ∧ (1...𝑀) ∈ V) → 𝐻 ∈ V)
20	7, 18, 19	sylancl 586	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐻:(1...𝑀)–1-1→𝐴 → 𝐻 ∈ V)
21	1, 20	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ V)
22		f1fun 6729	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐻:(1...𝑀)–1-1→𝐴 → Fun 𝐻)
23	1, 22	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐻)
24		gsumval3.n	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 0 ) ⊆ ran 𝐻)
25	23, 24	jca 511	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (Fun 𝐻 ∧ (𝐹 supp 0 ) ⊆ ran 𝐻))
26	17, 21, 25	jca31 514	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐻 ∈ V) ∧ (Fun 𝐻 ∧ (𝐹 supp 0 ) ⊆ ran 𝐻)))
27	26	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ (¬ 𝐴 ∈ ran ... ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑊)), 𝑊))) → ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐻 ∈ V) ∧ (Fun 𝐻 ∧ (𝐹 supp 0 ) ⊆ ran 𝐻)))
28		imacosupp 8148	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐻 ∈ V) → ((Fun 𝐻 ∧ (𝐹 supp 0 ) ⊆ ran 𝐻) → (𝐻 “ ((𝐹 ∘ 𝐻) supp 0 )) = (𝐹 supp 0 )))
29	28	imp 406	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹 ∈ V ∧ 𝐻 ∈ V) ∧ (Fun 𝐻 ∧ (𝐹 supp 0 ) ⊆ ran 𝐻)) → (𝐻 “ ((𝐹 ∘ 𝐻) supp 0 )) = (𝐹 supp 0 ))
30	27, 29	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ (¬ 𝐴 ∈ ran ... ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑊)), 𝑊))) → (𝐻 “ ((𝐹 ∘ 𝐻) supp 0 )) = (𝐹 supp 0 ))
31	15, 30	eqtrid 2780	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ (¬ 𝐴 ∈ ran ... ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑊)), 𝑊))) → (𝐻 “ 𝑊) = (𝐹 supp 0 ))
32	31	f1oeq3d 6768	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ (¬ 𝐴 ∈ ran ... ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑊)), 𝑊))) → ((𝐻 ↾ 𝑊):𝑊–1-1-onto→(𝐻 “ 𝑊) ↔ (𝐻 ↾ 𝑊):𝑊–1-1-onto→(𝐹 supp 0 )))
33	14, 32	mpbid 232	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ (¬ 𝐴 ∈ ran ... ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑊)), 𝑊))) → (𝐻 ↾ 𝑊):𝑊–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))
34		isof1o 7266	. . . . 5 ⊢ (𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑊)), 𝑊) → 𝑓:(1...(♯‘𝑊))–1-1-onto→𝑊)
35	34	ad2antll 729	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ (¬ 𝐴 ∈ ran ... ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑊)), 𝑊))) → 𝑓:(1...(♯‘𝑊))–1-1-onto→𝑊)
36		f1oco 6794	. . . 4 ⊢ (((𝐻 ↾ 𝑊):𝑊–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ) ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝑊))–1-1-onto→𝑊) → ((𝐻 ↾ 𝑊) ∘ 𝑓):(1...(♯‘𝑊))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))
37	33, 35, 36	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ (¬ 𝐴 ∈ ran ... ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑊)), 𝑊))) → ((𝐻 ↾ 𝑊) ∘ 𝑓):(1...(♯‘𝑊))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))
38		f1of 6771	. . . . 5 ⊢ (𝑓:(1...(♯‘𝑊))–1-1-onto→𝑊 → 𝑓:(1...(♯‘𝑊))⟶𝑊)
39		frn 6666	. . . . 5 ⊢ (𝑓:(1...(♯‘𝑊))⟶𝑊 → ran 𝑓 ⊆ 𝑊)
40	35, 38, 39	3syl 18	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ (¬ 𝐴 ∈ ran ... ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑊)), 𝑊))) → ran 𝑓 ⊆ 𝑊)
41		cores 6204	. . . 4 ⊢ (ran 𝑓 ⊆ 𝑊 → ((𝐻 ↾ 𝑊) ∘ 𝑓) = (𝐻 ∘ 𝑓))
42		f1oeq1 6759	. . . 4 ⊢ (((𝐻 ↾ 𝑊) ∘ 𝑓) = (𝐻 ∘ 𝑓) → (((𝐻 ↾ 𝑊) ∘ 𝑓):(1...(♯‘𝑊))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ) ↔ (𝐻 ∘ 𝑓):(1...(♯‘𝑊))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 )))
43	40, 41, 42	3syl 18	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ (¬ 𝐴 ∈ ran ... ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑊)), 𝑊))) → (((𝐻 ↾ 𝑊) ∘ 𝑓):(1...(♯‘𝑊))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ) ↔ (𝐻 ∘ 𝑓):(1...(♯‘𝑊))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 )))
44	37, 43	mpbid 232	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ (¬ 𝐴 ∈ ran ... ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑊)), 𝑊))) → (𝐻 ∘ 𝑓):(1...(♯‘𝑊))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))
45		fzfi 13889	. . . . . . 7 ⊢ (1...𝑀) ∈ Fin
46		ssfi 9092	. . . . . . 7 ⊢ (((1...𝑀) ∈ Fin ∧ 𝑊 ⊆ (1...𝑀)) → 𝑊 ∈ Fin)
47	45, 11, 46	sylancr 587	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Fin)
48	47	ad2antrr 726	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ (¬ 𝐴 ∈ ran ... ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑊)), 𝑊))) → 𝑊 ∈ Fin)
49	3	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ (¬ 𝐴 ∈ ran ... ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑊)), 𝑊))) → 𝑊 = ((𝐹 ∘ 𝐻) supp 0 ))
50	49	imaeq2d 6016	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ (¬ 𝐴 ∈ ran ... ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑊)), 𝑊))) → (𝐻 “ 𝑊) = (𝐻 “ ((𝐹 ∘ 𝐻) supp 0 )))
51	45	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (1...𝑀) ∈ Fin)
52	8, 51	fexd 7170	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ V)
53	17, 52, 25	jca31 514	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐻 ∈ V) ∧ (Fun 𝐻 ∧ (𝐹 supp 0 ) ⊆ ran 𝐻)))
54	53	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ (¬ 𝐴 ∈ ran ... ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑊)), 𝑊))) → ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐻 ∈ V) ∧ (Fun 𝐻 ∧ (𝐹 supp 0 ) ⊆ ran 𝐻)))
55	54, 29	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ (¬ 𝐴 ∈ ran ... ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑊)), 𝑊))) → (𝐻 “ ((𝐹 ∘ 𝐻) supp 0 )) = (𝐹 supp 0 ))
56	50, 55	eqtrd 2768	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ (¬ 𝐴 ∈ ran ... ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑊)), 𝑊))) → (𝐻 “ 𝑊) = (𝐹 supp 0 ))
57	56	f1oeq3d 6768	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ (¬ 𝐴 ∈ ran ... ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑊)), 𝑊))) → ((𝐻 ↾ 𝑊):𝑊–1-1-onto→(𝐻 “ 𝑊) ↔ (𝐻 ↾ 𝑊):𝑊–1-1-onto→(𝐹 supp 0 )))
58	14, 57	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ (¬ 𝐴 ∈ ran ... ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑊)), 𝑊))) → (𝐻 ↾ 𝑊):𝑊–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))
59	48, 58	hasheqf1od 14270	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ (¬ 𝐴 ∈ ran ... ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑊)), 𝑊))) → (♯‘𝑊) = (♯‘(𝐹 supp 0 )))
60	59	oveq2d 7371	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ (¬ 𝐴 ∈ ran ... ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑊)), 𝑊))) → (1...(♯‘𝑊)) = (1...(♯‘(𝐹 supp 0 ))))
61	60	f1oeq2d 6767	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ (¬ 𝐴 ∈ ran ... ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑊)), 𝑊))) → ((𝐻 ∘ 𝑓):(1...(♯‘𝑊))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ) ↔ (𝐻 ∘ 𝑓):(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 )))
62	44, 61	mpbid 232	1 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ (¬ 𝐴 ∈ ran ... ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑊)), 𝑊))) → (𝐻 ∘ 𝑓):(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2930  Vcvv 3438   ⊆ wss 3899  ∅c0 4284  dom cdm 5621  ran crn 5622   ↾ cres 5623   “ cima 5624   ∘ ccom 5625  Fun wfun 6483  ⟶wf 6485  –1-1→wf1 6486  –1-1-onto→wf1o 6488  ‘cfv 6489   Isom wiso 6490  (class class class)co 7355   supp csupp 8099  Fincfn 8878  1c1 11017   < clt 11156  ℕcn 12135  ...cfz 13417  ♯chash 14247  Basecbs 17130  +_gcplusg 17171  0_gc0g 17353  Mndcmnd 18652  Cntzccntz 19237

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-cnex 11072  ax-resscn 11073  ax-1cn 11074  ax-icn 11075  ax-addcl 11076  ax-addrcl 11077  ax-mulcl 11078  ax-mulrcl 11079  ax-mulcom 11080  ax-addass 11081  ax-mulass 11082  ax-distr 11083  ax-i2m1 11084  ax-1ne0 11085  ax-1rid 11086  ax-rnegex 11087  ax-rrecex 11088  ax-cnre 11089  ax-pre-lttri 11090  ax-pre-lttrn 11091  ax-pre-ltadd 11092  ax-pre-mulgt0 11093

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-int 4900  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-isom 6498  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-om 7806  df-1st 7930  df-2nd 7931  df-supp 8100  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-1o 8394  df-er 8631  df-en 8879  df-dom 8880  df-sdom 8881  df-fin 8882  df-card 9842  df-pnf 11158  df-mnf 11159  df-xr 11160  df-ltxr 11161  df-le 11162  df-sub 11356  df-neg 11357  df-nn 12136  df-n0 12392  df-z 12479  df-uz 12743  df-fz 13418  df-hash 14248

This theorem is referenced by:  gsumval3lem2  19828