MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumval3lem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsumval3lem1 19903
Description: Lemma 1 for gsumval3 19905. (Contributed by AV, 31-May-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumval3.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumval3.0 0 = (0g𝐺)
gsumval3.p + = (+g𝐺)
gsumval3.z 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
gsumval3.g (𝜑𝐺 ∈ Mnd)
gsumval3.a (𝜑𝐴𝑉)
gsumval3.f (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
gsumval3.c (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ (𝑍‘ran 𝐹))
gsumval3.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
gsumval3.h (𝜑𝐻:(1...𝑀)–1-1𝐴)
gsumval3.n (𝜑 → (𝐹 supp 0 ) ⊆ ran 𝐻)
gsumval3.w 𝑊 = ((𝐹𝐻) supp 0 )
Assertion
Ref Expression
gsumval3lem1 (((𝜑𝑊 ≠ ∅) ∧ (¬ 𝐴 ∈ ran ... ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑊)), 𝑊))) → (𝐻𝑓):(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))
Distinct variable groups:   + ,𝑓   𝐴,𝑓   𝜑,𝑓   𝑓,𝐺   𝑓,𝑀   𝐵,𝑓   𝑓,𝐹   𝑓,𝐻   𝑓,𝑊
Allowed substitution hints:   𝑉(𝑓)   0 (𝑓)   𝑍(𝑓)

Proof of Theorem gsumval3lem1
StepHypRef Expression
1 gsumval3.h . . . . . . 7 (𝜑𝐻:(1...𝑀)–1-1𝐴)
21ad2antrr 724 . . . . . 6 (((𝜑𝑊 ≠ ∅) ∧ (¬ 𝐴 ∈ ran ... ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑊)), 𝑊))) → 𝐻:(1...𝑀)–1-1𝐴)
3 gsumval3.w . . . . . . . . 9 𝑊 = ((𝐹𝐻) supp 0 )
4 suppssdm 8191 . . . . . . . . 9 ((𝐹𝐻) supp 0 ) ⊆ dom (𝐹𝐻)
53, 4eqsstri 4014 . . . . . . . 8 𝑊 ⊆ dom (𝐹𝐻)
6 gsumval3.f . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
7 f1f 6798 . . . . . . . . . 10 (𝐻:(1...𝑀)–1-1𝐴𝐻:(1...𝑀)⟶𝐴)
81, 7syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐻:(1...𝑀)⟶𝐴)
9 fco 6752 . . . . . . . . 9 ((𝐹:𝐴𝐵𝐻:(1...𝑀)⟶𝐴) → (𝐹𝐻):(1...𝑀)⟶𝐵)
106, 8, 9syl2anc 582 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹𝐻):(1...𝑀)⟶𝐵)
115, 10fssdm 6747 . . . . . . 7 (𝜑𝑊 ⊆ (1...𝑀))
1211ad2antrr 724 . . . . . 6 (((𝜑𝑊 ≠ ∅) ∧ (¬ 𝐴 ∈ ran ... ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑊)), 𝑊))) → 𝑊 ⊆ (1...𝑀))
13 f1ores 6857 . . . . . 6 ((𝐻:(1...𝑀)–1-1𝐴𝑊 ⊆ (1...𝑀)) → (𝐻𝑊):𝑊1-1-onto→(𝐻𝑊))
142, 12, 13syl2anc 582 . . . . 5 (((𝜑𝑊 ≠ ∅) ∧ (¬ 𝐴 ∈ ran ... ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑊)), 𝑊))) → (𝐻𝑊):𝑊1-1-onto→(𝐻𝑊))
153imaeq2i 6067 . . . . . . 7 (𝐻𝑊) = (𝐻 “ ((𝐹𝐻) supp 0 ))
16 gsumval3.a . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴𝑉)
176, 16fexd 7244 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹 ∈ V)
18 ovex 7457 . . . . . . . . . . . 12 (1...𝑀) ∈ V
19 fex 7243 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐻:(1...𝑀)⟶𝐴 ∧ (1...𝑀) ∈ V) → 𝐻 ∈ V)
207, 18, 19sylancl 584 . . . . . . . . . . 11 (𝐻:(1...𝑀)–1-1𝐴𝐻 ∈ V)
211, 20syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐻 ∈ V)
22 f1fun 6800 . . . . . . . . . . . 12 (𝐻:(1...𝑀)–1-1𝐴 → Fun 𝐻)
231, 22syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → Fun 𝐻)
24 gsumval3.n . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐹 supp 0 ) ⊆ ran 𝐻)
2523, 24jca 510 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (Fun 𝐻 ∧ (𝐹 supp 0 ) ⊆ ran 𝐻))
2617, 21, 25jca31 513 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐻 ∈ V) ∧ (Fun 𝐻 ∧ (𝐹 supp 0 ) ⊆ ran 𝐻)))
2726ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑊 ≠ ∅) ∧ (¬ 𝐴 ∈ ran ... ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑊)), 𝑊))) → ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐻 ∈ V) ∧ (Fun 𝐻 ∧ (𝐹 supp 0 ) ⊆ ran 𝐻)))
28 imacosupp 8224 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐻 ∈ V) → ((Fun 𝐻 ∧ (𝐹 supp 0 ) ⊆ ran 𝐻) → (𝐻 “ ((𝐹𝐻) supp 0 )) = (𝐹 supp 0 )))
2928imp 405 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ V ∧ 𝐻 ∈ V) ∧ (Fun 𝐻 ∧ (𝐹 supp 0 ) ⊆ ran 𝐻)) → (𝐻 “ ((𝐹𝐻) supp 0 )) = (𝐹 supp 0 ))
3027, 29syl 17 . . . . . . 7 (((𝜑𝑊 ≠ ∅) ∧ (¬ 𝐴 ∈ ran ... ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑊)), 𝑊))) → (𝐻 “ ((𝐹𝐻) supp 0 )) = (𝐹 supp 0 ))
3115, 30eqtrid 2778 . . . . . 6 (((𝜑𝑊 ≠ ∅) ∧ (¬ 𝐴 ∈ ran ... ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑊)), 𝑊))) → (𝐻𝑊) = (𝐹 supp 0 ))
3231f1oeq3d 6840 . . . . 5 (((𝜑𝑊 ≠ ∅) ∧ (¬ 𝐴 ∈ ran ... ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑊)), 𝑊))) → ((𝐻𝑊):𝑊1-1-onto→(𝐻𝑊) ↔ (𝐻𝑊):𝑊1-1-onto→(𝐹 supp 0 )))
3314, 32mpbid 231 . . . 4 (((𝜑𝑊 ≠ ∅) ∧ (¬ 𝐴 ∈ ran ... ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑊)), 𝑊))) → (𝐻𝑊):𝑊1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))
34 isof1o 7335 . . . . 5 (𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑊)), 𝑊) → 𝑓:(1...(♯‘𝑊))–1-1-onto𝑊)
3534ad2antll 727 . . . 4 (((𝜑𝑊 ≠ ∅) ∧ (¬ 𝐴 ∈ ran ... ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑊)), 𝑊))) → 𝑓:(1...(♯‘𝑊))–1-1-onto𝑊)
36 f1oco 6866 . . . 4 (((𝐻𝑊):𝑊1-1-onto→(𝐹 supp 0 ) ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝑊))–1-1-onto𝑊) → ((𝐻𝑊) ∘ 𝑓):(1...(♯‘𝑊))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))
3733, 35, 36syl2anc 582 . . 3 (((𝜑𝑊 ≠ ∅) ∧ (¬ 𝐴 ∈ ran ... ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑊)), 𝑊))) → ((𝐻𝑊) ∘ 𝑓):(1...(♯‘𝑊))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))
38 f1of 6843 . . . . 5 (𝑓:(1...(♯‘𝑊))–1-1-onto𝑊𝑓:(1...(♯‘𝑊))⟶𝑊)
39 frn 6735 . . . . 5 (𝑓:(1...(♯‘𝑊))⟶𝑊 → ran 𝑓𝑊)
4035, 38, 393syl 18 . . . 4 (((𝜑𝑊 ≠ ∅) ∧ (¬ 𝐴 ∈ ran ... ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑊)), 𝑊))) → ran 𝑓𝑊)
41 cores 6260 . . . 4 (ran 𝑓𝑊 → ((𝐻𝑊) ∘ 𝑓) = (𝐻𝑓))
42 f1oeq1 6831 . . . 4 (((𝐻𝑊) ∘ 𝑓) = (𝐻𝑓) → (((𝐻𝑊) ∘ 𝑓):(1...(♯‘𝑊))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ) ↔ (𝐻𝑓):(1...(♯‘𝑊))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 )))
4340, 41, 423syl 18 . . 3 (((𝜑𝑊 ≠ ∅) ∧ (¬ 𝐴 ∈ ran ... ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑊)), 𝑊))) → (((𝐻𝑊) ∘ 𝑓):(1...(♯‘𝑊))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ) ↔ (𝐻𝑓):(1...(♯‘𝑊))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 )))
4437, 43mpbid 231 . 2 (((𝜑𝑊 ≠ ∅) ∧ (¬ 𝐴 ∈ ran ... ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑊)), 𝑊))) → (𝐻𝑓):(1...(♯‘𝑊))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))
45 fzfi 13992 . . . . . . 7 (1...𝑀) ∈ Fin
46 ssfi 9211 . . . . . . 7 (((1...𝑀) ∈ Fin ∧ 𝑊 ⊆ (1...𝑀)) → 𝑊 ∈ Fin)
4745, 11, 46sylancr 585 . . . . . 6 (𝜑𝑊 ∈ Fin)
4847ad2antrr 724 . . . . 5 (((𝜑𝑊 ≠ ∅) ∧ (¬ 𝐴 ∈ ran ... ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑊)), 𝑊))) → 𝑊 ∈ Fin)
493a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑊 ≠ ∅) ∧ (¬ 𝐴 ∈ ran ... ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑊)), 𝑊))) → 𝑊 = ((𝐹𝐻) supp 0 ))
5049imaeq2d 6069 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑊 ≠ ∅) ∧ (¬ 𝐴 ∈ ran ... ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑊)), 𝑊))) → (𝐻𝑊) = (𝐻 “ ((𝐹𝐻) supp 0 )))
5145a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (1...𝑀) ∈ Fin)
528, 51fexd 7244 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐻 ∈ V)
5317, 52, 25jca31 513 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐻 ∈ V) ∧ (Fun 𝐻 ∧ (𝐹 supp 0 ) ⊆ ran 𝐻)))
5453ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑊 ≠ ∅) ∧ (¬ 𝐴 ∈ ran ... ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑊)), 𝑊))) → ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐻 ∈ V) ∧ (Fun 𝐻 ∧ (𝐹 supp 0 ) ⊆ ran 𝐻)))
5554, 29syl 17 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑊 ≠ ∅) ∧ (¬ 𝐴 ∈ ran ... ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑊)), 𝑊))) → (𝐻 “ ((𝐹𝐻) supp 0 )) = (𝐹 supp 0 ))
5650, 55eqtrd 2766 . . . . . . 7 (((𝜑𝑊 ≠ ∅) ∧ (¬ 𝐴 ∈ ran ... ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑊)), 𝑊))) → (𝐻𝑊) = (𝐹 supp 0 ))
5756f1oeq3d 6840 . . . . . 6 (((𝜑𝑊 ≠ ∅) ∧ (¬ 𝐴 ∈ ran ... ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑊)), 𝑊))) → ((𝐻𝑊):𝑊1-1-onto→(𝐻𝑊) ↔ (𝐻𝑊):𝑊1-1-onto→(𝐹 supp 0 )))
5814, 57mpbid 231 . . . . 5 (((𝜑𝑊 ≠ ∅) ∧ (¬ 𝐴 ∈ ran ... ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑊)), 𝑊))) → (𝐻𝑊):𝑊1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))
5948, 58hasheqf1od 14370 . . . 4 (((𝜑𝑊 ≠ ∅) ∧ (¬ 𝐴 ∈ ran ... ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑊)), 𝑊))) → (♯‘𝑊) = (♯‘(𝐹 supp 0 )))
6059oveq2d 7440 . . 3 (((𝜑𝑊 ≠ ∅) ∧ (¬ 𝐴 ∈ ran ... ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑊)), 𝑊))) → (1...(♯‘𝑊)) = (1...(♯‘(𝐹 supp 0 ))))
6160f1oeq2d 6839 . 2 (((𝜑𝑊 ≠ ∅) ∧ (¬ 𝐴 ∈ ran ... ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑊)), 𝑊))) → ((𝐻𝑓):(1...(♯‘𝑊))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ) ↔ (𝐻𝑓):(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 )))
6244, 61mpbid 231 1 (((𝜑𝑊 ≠ ∅) ∧ (¬ 𝐴 ∈ ran ... ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑊)), 𝑊))) → (𝐻𝑓):(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 394   = wceq 1534  wcel 2099  wne 2930  Vcvv 3462  wss 3947  c0 4325  dom cdm 5682  ran crn 5683  cres 5684  cima 5685  ccom 5686  Fun wfun 6548  wf 6550  1-1wf1 6551  1-1-ontowf1o 6553  cfv 6554   Isom wiso 6555  (class class class)co 7424   supp csupp 8174  Fincfn 8974  1c1 11159   < clt 11298  cn 12264  ...cfz 13538  chash 14347  Basecbs 17213  +gcplusg 17266  0gc0g 17454  Mndcmnd 18727  Cntzccntz 19309
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5290  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-int 4955  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-isom 6563  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7877  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-supp 8175  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-1o 8496  df-er 8734  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-card 9982  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12611  df-uz 12875  df-fz 13539  df-hash 14348
This theorem is referenced by:  gsumval3lem2  19904
  Copyright terms: Public domain W3C validator