Theorem gsumval3lem1 19842

Description: Lemma 1 for gsumval3 19844. (Contributed by AV, 31-May-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumval3.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumval3.0	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
gsumval3.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
gsumval3.z	⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
gsumval3.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
gsumval3.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
gsumval3.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
gsumval3.c	⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ (𝑍‘ran 𝐹))
gsumval3.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
gsumval3.h	⊢ (𝜑 → 𝐻:(1...𝑀)–1-1→𝐴)
gsumval3.n	⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 0 ) ⊆ ran 𝐻)
gsumval3.w	⊢ 𝑊 = ((𝐹 ∘ 𝐻) supp 0 )

Assertion

Ref	Expression
gsumval3lem1	⊢ (((𝜑 ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ (¬ 𝐴 ∈ ran ... ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑊)), 𝑊))) → (𝐻 ∘ 𝑓):(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))

Distinct variable groups:   + ,𝑓   𝐴,𝑓   𝜑,𝑓   𝑓,𝐺   𝑓,𝑀   𝐵,𝑓   𝑓,𝐹   𝑓,𝐻   𝑓,𝑊

Allowed substitution hints:   𝑉(𝑓)   0 (𝑓)   𝑍(𝑓)

Proof of Theorem gsumval3lem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsumval3.h	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐻:(1...𝑀)–1-1→𝐴)
2	1	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ (¬ 𝐴 ∈ ran ... ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑊)), 𝑊))) → 𝐻:(1...𝑀)–1-1→𝐴)
3		gsumval3.w	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑊 = ((𝐹 ∘ 𝐻) supp 0 )
4		suppssdm 8159	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∘ 𝐻) supp 0 ) ⊆ dom (𝐹 ∘ 𝐻)
5	3, 4	eqsstri 3996	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑊 ⊆ dom (𝐹 ∘ 𝐻)
6		gsumval3.f	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
7		f1f 6759	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐻:(1...𝑀)–1-1→𝐴 → 𝐻:(1...𝑀)⟶𝐴)
8	1, 7	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐻:(1...𝑀)⟶𝐴)
9		fco 6715	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐻:(1...𝑀)⟶𝐴) → (𝐹 ∘ 𝐻):(1...𝑀)⟶𝐵)
10	6, 8, 9	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ 𝐻):(1...𝑀)⟶𝐵)
11	5, 10	fssdm 6710	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ⊆ (1...𝑀))
12	11	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ (¬ 𝐴 ∈ ran ... ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑊)), 𝑊))) → 𝑊 ⊆ (1...𝑀))
13		f1ores 6817	. . . . . 6 ⊢ ((𝐻:(1...𝑀)–1-1→𝐴 ∧ 𝑊 ⊆ (1...𝑀)) → (𝐻 ↾ 𝑊):𝑊–1-1-onto→(𝐻 “ 𝑊))
14	2, 12, 13	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ (¬ 𝐴 ∈ ran ... ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑊)), 𝑊))) → (𝐻 ↾ 𝑊):𝑊–1-1-onto→(𝐻 “ 𝑊))
15	3	imaeq2i 6032	. . . . . . 7 ⊢ (𝐻 “ 𝑊) = (𝐻 “ ((𝐹 ∘ 𝐻) supp 0 ))
16		gsumval3.a	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
17	6, 16	fexd 7204	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
18		ovex 7423	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1...𝑀) ∈ V
19		fex 7203	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐻:(1...𝑀)⟶𝐴 ∧ (1...𝑀) ∈ V) → 𝐻 ∈ V)
20	7, 18, 19	sylancl 586	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐻:(1...𝑀)–1-1→𝐴 → 𝐻 ∈ V)
21	1, 20	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ V)
22		f1fun 6761	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐻:(1...𝑀)–1-1→𝐴 → Fun 𝐻)
23	1, 22	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐻)
24		gsumval3.n	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 0 ) ⊆ ran 𝐻)
25	23, 24	jca 511	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (Fun 𝐻 ∧ (𝐹 supp 0 ) ⊆ ran 𝐻))
26	17, 21, 25	jca31 514	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐻 ∈ V) ∧ (Fun 𝐻 ∧ (𝐹 supp 0 ) ⊆ ran 𝐻)))
27	26	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ (¬ 𝐴 ∈ ran ... ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑊)), 𝑊))) → ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐻 ∈ V) ∧ (Fun 𝐻 ∧ (𝐹 supp 0 ) ⊆ ran 𝐻)))
28		imacosupp 8191	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐻 ∈ V) → ((Fun 𝐻 ∧ (𝐹 supp 0 ) ⊆ ran 𝐻) → (𝐻 “ ((𝐹 ∘ 𝐻) supp 0 )) = (𝐹 supp 0 )))
29	28	imp 406	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹 ∈ V ∧ 𝐻 ∈ V) ∧ (Fun 𝐻 ∧ (𝐹 supp 0 ) ⊆ ran 𝐻)) → (𝐻 “ ((𝐹 ∘ 𝐻) supp 0 )) = (𝐹 supp 0 ))
30	27, 29	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ (¬ 𝐴 ∈ ran ... ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑊)), 𝑊))) → (𝐻 “ ((𝐹 ∘ 𝐻) supp 0 )) = (𝐹 supp 0 ))
31	15, 30	eqtrid 2777	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ (¬ 𝐴 ∈ ran ... ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑊)), 𝑊))) → (𝐻 “ 𝑊) = (𝐹 supp 0 ))
32	31	f1oeq3d 6800	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ (¬ 𝐴 ∈ ran ... ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑊)), 𝑊))) → ((𝐻 ↾ 𝑊):𝑊–1-1-onto→(𝐻 “ 𝑊) ↔ (𝐻 ↾ 𝑊):𝑊–1-1-onto→(𝐹 supp 0 )))
33	14, 32	mpbid 232	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ (¬ 𝐴 ∈ ran ... ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑊)), 𝑊))) → (𝐻 ↾ 𝑊):𝑊–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))
34		isof1o 7301	. . . . 5 ⊢ (𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑊)), 𝑊) → 𝑓:(1...(♯‘𝑊))–1-1-onto→𝑊)
35	34	ad2antll 729	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ (¬ 𝐴 ∈ ran ... ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑊)), 𝑊))) → 𝑓:(1...(♯‘𝑊))–1-1-onto→𝑊)
36		f1oco 6826	. . . 4 ⊢ (((𝐻 ↾ 𝑊):𝑊–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ) ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝑊))–1-1-onto→𝑊) → ((𝐻 ↾ 𝑊) ∘ 𝑓):(1...(♯‘𝑊))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))
37	33, 35, 36	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ (¬ 𝐴 ∈ ran ... ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑊)), 𝑊))) → ((𝐻 ↾ 𝑊) ∘ 𝑓):(1...(♯‘𝑊))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))
38		f1of 6803	. . . . 5 ⊢ (𝑓:(1...(♯‘𝑊))–1-1-onto→𝑊 → 𝑓:(1...(♯‘𝑊))⟶𝑊)
39		frn 6698	. . . . 5 ⊢ (𝑓:(1...(♯‘𝑊))⟶𝑊 → ran 𝑓 ⊆ 𝑊)
40	35, 38, 39	3syl 18	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ (¬ 𝐴 ∈ ran ... ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑊)), 𝑊))) → ran 𝑓 ⊆ 𝑊)
41		cores 6225	. . . 4 ⊢ (ran 𝑓 ⊆ 𝑊 → ((𝐻 ↾ 𝑊) ∘ 𝑓) = (𝐻 ∘ 𝑓))
42		f1oeq1 6791	. . . 4 ⊢ (((𝐻 ↾ 𝑊) ∘ 𝑓) = (𝐻 ∘ 𝑓) → (((𝐻 ↾ 𝑊) ∘ 𝑓):(1...(♯‘𝑊))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ) ↔ (𝐻 ∘ 𝑓):(1...(♯‘𝑊))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 )))
43	40, 41, 42	3syl 18	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ (¬ 𝐴 ∈ ran ... ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑊)), 𝑊))) → (((𝐻 ↾ 𝑊) ∘ 𝑓):(1...(♯‘𝑊))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ) ↔ (𝐻 ∘ 𝑓):(1...(♯‘𝑊))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 )))
44	37, 43	mpbid 232	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ (¬ 𝐴 ∈ ran ... ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑊)), 𝑊))) → (𝐻 ∘ 𝑓):(1...(♯‘𝑊))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))
45		fzfi 13944	. . . . . . 7 ⊢ (1...𝑀) ∈ Fin
46		ssfi 9143	. . . . . . 7 ⊢ (((1...𝑀) ∈ Fin ∧ 𝑊 ⊆ (1...𝑀)) → 𝑊 ∈ Fin)
47	45, 11, 46	sylancr 587	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Fin)
48	47	ad2antrr 726	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ (¬ 𝐴 ∈ ran ... ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑊)), 𝑊))) → 𝑊 ∈ Fin)
49	3	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ (¬ 𝐴 ∈ ran ... ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑊)), 𝑊))) → 𝑊 = ((𝐹 ∘ 𝐻) supp 0 ))
50	49	imaeq2d 6034	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ (¬ 𝐴 ∈ ran ... ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑊)), 𝑊))) → (𝐻 “ 𝑊) = (𝐻 “ ((𝐹 ∘ 𝐻) supp 0 )))
51	45	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (1...𝑀) ∈ Fin)
52	8, 51	fexd 7204	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ V)
53	17, 52, 25	jca31 514	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐻 ∈ V) ∧ (Fun 𝐻 ∧ (𝐹 supp 0 ) ⊆ ran 𝐻)))
54	53	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ (¬ 𝐴 ∈ ran ... ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑊)), 𝑊))) → ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐻 ∈ V) ∧ (Fun 𝐻 ∧ (𝐹 supp 0 ) ⊆ ran 𝐻)))
55	54, 29	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ (¬ 𝐴 ∈ ran ... ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑊)), 𝑊))) → (𝐻 “ ((𝐹 ∘ 𝐻) supp 0 )) = (𝐹 supp 0 ))
56	50, 55	eqtrd 2765	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ (¬ 𝐴 ∈ ran ... ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑊)), 𝑊))) → (𝐻 “ 𝑊) = (𝐹 supp 0 ))
57	56	f1oeq3d 6800	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ (¬ 𝐴 ∈ ran ... ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑊)), 𝑊))) → ((𝐻 ↾ 𝑊):𝑊–1-1-onto→(𝐻 “ 𝑊) ↔ (𝐻 ↾ 𝑊):𝑊–1-1-onto→(𝐹 supp 0 )))
58	14, 57	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ (¬ 𝐴 ∈ ran ... ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑊)), 𝑊))) → (𝐻 ↾ 𝑊):𝑊–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))
59	48, 58	hasheqf1od 14325	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ (¬ 𝐴 ∈ ran ... ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑊)), 𝑊))) → (♯‘𝑊) = (♯‘(𝐹 supp 0 )))
60	59	oveq2d 7406	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ (¬ 𝐴 ∈ ran ... ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑊)), 𝑊))) → (1...(♯‘𝑊)) = (1...(♯‘(𝐹 supp 0 ))))
61	60	f1oeq2d 6799	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ (¬ 𝐴 ∈ ran ... ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑊)), 𝑊))) → ((𝐻 ∘ 𝑓):(1...(♯‘𝑊))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ) ↔ (𝐻 ∘ 𝑓):(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 )))
62	44, 61	mpbid 232	1 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ (¬ 𝐴 ∈ ran ... ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑊)), 𝑊))) → (𝐻 ∘ 𝑓):(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926  Vcvv 3450   ⊆ wss 3917  ∅c0 4299  dom cdm 5641  ran crn 5642   ↾ cres 5643   “ cima 5644   ∘ ccom 5645  Fun wfun 6508  ⟶wf 6510  –1-1→wf1 6511  –1-1-onto→wf1o 6513  ‘cfv 6514   Isom wiso 6515  (class class class)co 7390   supp csupp 8142  Fincfn 8921  1c1 11076   < clt 11215  ℕcn 12193  ...cfz 13475  ♯chash 14302  Basecbs 17186  +_gcplusg 17227  0_gc0g 17409  Mndcmnd 18668  Cntzccntz 19254

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-isom 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-card 9899  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-fz 13476  df-hash 14303

This theorem is referenced by:  gsumval3lem2  19843