Theorem gsumval3lem1 19846

Description: Lemma 1 for gsumval3 19848. (Contributed by AV, 31-May-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumval3.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumval3.0	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
gsumval3.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
gsumval3.z	⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
gsumval3.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
gsumval3.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
gsumval3.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
gsumval3.c	⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ (𝑍‘ran 𝐹))
gsumval3.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
gsumval3.h	⊢ (𝜑 → 𝐻:(1...𝑀)–1-1→𝐴)
gsumval3.n	⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 0 ) ⊆ ran 𝐻)
gsumval3.w	⊢ 𝑊 = ((𝐹 ∘ 𝐻) supp 0 )

Assertion

Ref	Expression
gsumval3lem1	⊢ (((𝜑 ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ (¬ 𝐴 ∈ ran ... ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑊)), 𝑊))) → (𝐻 ∘ 𝑓):(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))

Distinct variable groups:   + ,𝑓   𝐴,𝑓   𝜑,𝑓   𝑓,𝐺   𝑓,𝑀   𝐵,𝑓   𝑓,𝐹   𝑓,𝐻   𝑓,𝑊

Allowed substitution hints:   𝑉(𝑓)   0 (𝑓)   𝑍(𝑓)

Proof of Theorem gsumval3lem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsumval3.h	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐻:(1...𝑀)–1-1→𝐴)
2	1	ad2antrr 727	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ (¬ 𝐴 ∈ ran ... ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑊)), 𝑊))) → 𝐻:(1...𝑀)–1-1→𝐴)
3		gsumval3.w	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑊 = ((𝐹 ∘ 𝐻) supp 0 )
4		suppssdm 8129	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∘ 𝐻) supp 0 ) ⊆ dom (𝐹 ∘ 𝐻)
5	3, 4	eqsstri 3982	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑊 ⊆ dom (𝐹 ∘ 𝐻)
6		gsumval3.f	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
7		f1f 6738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐻:(1...𝑀)–1-1→𝐴 → 𝐻:(1...𝑀)⟶𝐴)
8	1, 7	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐻:(1...𝑀)⟶𝐴)
9		fco 6694	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐻:(1...𝑀)⟶𝐴) → (𝐹 ∘ 𝐻):(1...𝑀)⟶𝐵)
10	6, 8, 9	syl2anc 585	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ 𝐻):(1...𝑀)⟶𝐵)
11	5, 10	fssdm 6689	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ⊆ (1...𝑀))
12	11	ad2antrr 727	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ (¬ 𝐴 ∈ ran ... ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑊)), 𝑊))) → 𝑊 ⊆ (1...𝑀))
13		f1ores 6796	. . . . . 6 ⊢ ((𝐻:(1...𝑀)–1-1→𝐴 ∧ 𝑊 ⊆ (1...𝑀)) → (𝐻 ↾ 𝑊):𝑊–1-1-onto→(𝐻 “ 𝑊))
14	2, 12, 13	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ (¬ 𝐴 ∈ ran ... ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑊)), 𝑊))) → (𝐻 ↾ 𝑊):𝑊–1-1-onto→(𝐻 “ 𝑊))
15	3	imaeq2i 6025	. . . . . . 7 ⊢ (𝐻 “ 𝑊) = (𝐻 “ ((𝐹 ∘ 𝐻) supp 0 ))
16		gsumval3.a	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
17	6, 16	fexd 7183	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
18		ovex 7401	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1...𝑀) ∈ V
19		fex 7182	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐻:(1...𝑀)⟶𝐴 ∧ (1...𝑀) ∈ V) → 𝐻 ∈ V)
20	7, 18, 19	sylancl 587	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐻:(1...𝑀)–1-1→𝐴 → 𝐻 ∈ V)
21	1, 20	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ V)
22		f1fun 6740	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐻:(1...𝑀)–1-1→𝐴 → Fun 𝐻)
23	1, 22	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐻)
24		gsumval3.n	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 0 ) ⊆ ran 𝐻)
25	23, 24	jca 511	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (Fun 𝐻 ∧ (𝐹 supp 0 ) ⊆ ran 𝐻))
26	17, 21, 25	jca31 514	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐻 ∈ V) ∧ (Fun 𝐻 ∧ (𝐹 supp 0 ) ⊆ ran 𝐻)))
27	26	ad2antrr 727	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ (¬ 𝐴 ∈ ran ... ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑊)), 𝑊))) → ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐻 ∈ V) ∧ (Fun 𝐻 ∧ (𝐹 supp 0 ) ⊆ ran 𝐻)))
28		imacosupp 8161	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐻 ∈ V) → ((Fun 𝐻 ∧ (𝐹 supp 0 ) ⊆ ran 𝐻) → (𝐻 “ ((𝐹 ∘ 𝐻) supp 0 )) = (𝐹 supp 0 )))
29	28	imp 406	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹 ∈ V ∧ 𝐻 ∈ V) ∧ (Fun 𝐻 ∧ (𝐹 supp 0 ) ⊆ ran 𝐻)) → (𝐻 “ ((𝐹 ∘ 𝐻) supp 0 )) = (𝐹 supp 0 ))
30	27, 29	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ (¬ 𝐴 ∈ ran ... ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑊)), 𝑊))) → (𝐻 “ ((𝐹 ∘ 𝐻) supp 0 )) = (𝐹 supp 0 ))
31	15, 30	eqtrid 2784	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ (¬ 𝐴 ∈ ran ... ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑊)), 𝑊))) → (𝐻 “ 𝑊) = (𝐹 supp 0 ))
32	31	f1oeq3d 6779	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ (¬ 𝐴 ∈ ran ... ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑊)), 𝑊))) → ((𝐻 ↾ 𝑊):𝑊–1-1-onto→(𝐻 “ 𝑊) ↔ (𝐻 ↾ 𝑊):𝑊–1-1-onto→(𝐹 supp 0 )))
33	14, 32	mpbid 232	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ (¬ 𝐴 ∈ ran ... ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑊)), 𝑊))) → (𝐻 ↾ 𝑊):𝑊–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))
34		isof1o 7279	. . . . 5 ⊢ (𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑊)), 𝑊) → 𝑓:(1...(♯‘𝑊))–1-1-onto→𝑊)
35	34	ad2antll 730	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ (¬ 𝐴 ∈ ran ... ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑊)), 𝑊))) → 𝑓:(1...(♯‘𝑊))–1-1-onto→𝑊)
36		f1oco 6805	. . . 4 ⊢ (((𝐻 ↾ 𝑊):𝑊–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ) ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝑊))–1-1-onto→𝑊) → ((𝐻 ↾ 𝑊) ∘ 𝑓):(1...(♯‘𝑊))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))
37	33, 35, 36	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ (¬ 𝐴 ∈ ran ... ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑊)), 𝑊))) → ((𝐻 ↾ 𝑊) ∘ 𝑓):(1...(♯‘𝑊))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))
38		f1of 6782	. . . . 5 ⊢ (𝑓:(1...(♯‘𝑊))–1-1-onto→𝑊 → 𝑓:(1...(♯‘𝑊))⟶𝑊)
39		frn 6677	. . . . 5 ⊢ (𝑓:(1...(♯‘𝑊))⟶𝑊 → ran 𝑓 ⊆ 𝑊)
40	35, 38, 39	3syl 18	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ (¬ 𝐴 ∈ ran ... ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑊)), 𝑊))) → ran 𝑓 ⊆ 𝑊)
41		cores 6215	. . . 4 ⊢ (ran 𝑓 ⊆ 𝑊 → ((𝐻 ↾ 𝑊) ∘ 𝑓) = (𝐻 ∘ 𝑓))
42		f1oeq1 6770	. . . 4 ⊢ (((𝐻 ↾ 𝑊) ∘ 𝑓) = (𝐻 ∘ 𝑓) → (((𝐻 ↾ 𝑊) ∘ 𝑓):(1...(♯‘𝑊))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ) ↔ (𝐻 ∘ 𝑓):(1...(♯‘𝑊))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 )))
43	40, 41, 42	3syl 18	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ (¬ 𝐴 ∈ ran ... ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑊)), 𝑊))) → (((𝐻 ↾ 𝑊) ∘ 𝑓):(1...(♯‘𝑊))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ) ↔ (𝐻 ∘ 𝑓):(1...(♯‘𝑊))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 )))
44	37, 43	mpbid 232	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ (¬ 𝐴 ∈ ran ... ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑊)), 𝑊))) → (𝐻 ∘ 𝑓):(1...(♯‘𝑊))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))
45		fzfi 13907	. . . . . . 7 ⊢ (1...𝑀) ∈ Fin
46		ssfi 9109	. . . . . . 7 ⊢ (((1...𝑀) ∈ Fin ∧ 𝑊 ⊆ (1...𝑀)) → 𝑊 ∈ Fin)
47	45, 11, 46	sylancr 588	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Fin)
48	47	ad2antrr 727	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ (¬ 𝐴 ∈ ran ... ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑊)), 𝑊))) → 𝑊 ∈ Fin)
49	3	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ (¬ 𝐴 ∈ ran ... ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑊)), 𝑊))) → 𝑊 = ((𝐹 ∘ 𝐻) supp 0 ))
50	49	imaeq2d 6027	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ (¬ 𝐴 ∈ ran ... ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑊)), 𝑊))) → (𝐻 “ 𝑊) = (𝐻 “ ((𝐹 ∘ 𝐻) supp 0 )))
51	45	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (1...𝑀) ∈ Fin)
52	8, 51	fexd 7183	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ V)
53	17, 52, 25	jca31 514	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐻 ∈ V) ∧ (Fun 𝐻 ∧ (𝐹 supp 0 ) ⊆ ran 𝐻)))
54	53	ad2antrr 727	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ (¬ 𝐴 ∈ ran ... ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑊)), 𝑊))) → ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐻 ∈ V) ∧ (Fun 𝐻 ∧ (𝐹 supp 0 ) ⊆ ran 𝐻)))
55	54, 29	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ (¬ 𝐴 ∈ ran ... ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑊)), 𝑊))) → (𝐻 “ ((𝐹 ∘ 𝐻) supp 0 )) = (𝐹 supp 0 ))
56	50, 55	eqtrd 2772	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ (¬ 𝐴 ∈ ran ... ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑊)), 𝑊))) → (𝐻 “ 𝑊) = (𝐹 supp 0 ))
57	56	f1oeq3d 6779	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ (¬ 𝐴 ∈ ran ... ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑊)), 𝑊))) → ((𝐻 ↾ 𝑊):𝑊–1-1-onto→(𝐻 “ 𝑊) ↔ (𝐻 ↾ 𝑊):𝑊–1-1-onto→(𝐹 supp 0 )))
58	14, 57	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ (¬ 𝐴 ∈ ran ... ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑊)), 𝑊))) → (𝐻 ↾ 𝑊):𝑊–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))
59	48, 58	hasheqf1od 14288	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ (¬ 𝐴 ∈ ran ... ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑊)), 𝑊))) → (♯‘𝑊) = (♯‘(𝐹 supp 0 )))
60	59	oveq2d 7384	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ (¬ 𝐴 ∈ ran ... ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑊)), 𝑊))) → (1...(♯‘𝑊)) = (1...(♯‘(𝐹 supp 0 ))))
61	60	f1oeq2d 6778	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ (¬ 𝐴 ∈ ran ... ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑊)), 𝑊))) → ((𝐻 ∘ 𝑓):(1...(♯‘𝑊))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ) ↔ (𝐻 ∘ 𝑓):(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 )))
62	44, 61	mpbid 232	1 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑊 ≠ ∅) ∧ (¬ 𝐴 ∈ ran ... ∧ 𝑓 Isom < , < ((1...(♯‘𝑊)), 𝑊))) → (𝐻 ∘ 𝑓):(1...(♯‘(𝐹 supp 0 )))–1-1-onto→(𝐹 supp 0 ))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  Vcvv 3442   ⊆ wss 3903  ∅c0 4287  dom cdm 5632  ran crn 5633   ↾ cres 5634   “ cima 5635   ∘ ccom 5636  Fun wfun 6494  ⟶wf 6496  –1-1→wf1 6497  –1-1-onto→wf1o 6499  ‘cfv 6500   Isom wiso 6501  (class class class)co 7368   supp csupp 8112  Fincfn 8895  1c1 11039   < clt 11178  ℕcn 12157  ...cfz 13435  ♯chash 14265  Basecbs 17148  +_gcplusg 17189  0_gc0g 17371  Mndcmnd 18671  Cntzccntz 19256

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-supp 8113  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-card 9863  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-fz 13436  df-hash 14266

This theorem is referenced by:  gsumval3lem2  19847