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Theorem ackbijnn 15816
Description: Translate the Ackermann bijection ackbij1 10271 onto the positive integers. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jan-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ackbijnn.1 𝐹 = (π‘₯ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ π‘₯ (2↑𝑦))
Assertion
Ref Expression
ackbijnn 𝐹:(𝒫 β„•0 ∩ Fin)–1-1-ontoβ†’β„•0
Distinct variable group:   π‘₯,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐹(π‘₯,𝑦)
Proof of Theorem ackbijnn
Dummy variables 𝑀 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hashgval2 14379 . . . 4 (β™― β†Ύ Ο‰) = (rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 0) β†Ύ Ο‰)
21hashgf1o 13978 . . 3 (β™― β†Ύ Ο‰):ω–1-1-ontoβ†’β„•0
3 sneq 4642 . . . . . . . . . 10 (𝑀 = 𝑦 β†’ {𝑀} = {𝑦})
4 pweq 4620 . . . . . . . . . 10 (𝑀 = 𝑦 β†’ 𝒫 𝑀 = 𝒫 𝑦)
53, 4xpeq12d 5713 . . . . . . . . 9 (𝑀 = 𝑦 β†’ ({𝑀} Γ— 𝒫 𝑀) = ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦))
65cbviunv 5047 . . . . . . . 8 βˆͺ 𝑀 ∈ 𝑧 ({𝑀} Γ— 𝒫 𝑀) = βˆͺ 𝑦 ∈ 𝑧 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦)
7 iuneq1 5016 . . . . . . . 8 (𝑧 = π‘₯ β†’ βˆͺ 𝑦 ∈ 𝑧 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦) = βˆͺ 𝑦 ∈ π‘₯ ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦))
86, 7eqtrid 2780 . . . . . . 7 (𝑧 = π‘₯ β†’ βˆͺ 𝑀 ∈ 𝑧 ({𝑀} Γ— 𝒫 𝑀) = βˆͺ 𝑦 ∈ π‘₯ ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦))
98fveq2d 6906 . . . . . 6 (𝑧 = π‘₯ β†’ (cardβ€˜βˆͺ 𝑀 ∈ 𝑧 ({𝑀} Γ— 𝒫 𝑀)) = (cardβ€˜βˆͺ 𝑦 ∈ π‘₯ ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦)))
109cbvmptv 5265 . . . . 5 (𝑧 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ↦ (cardβ€˜βˆͺ 𝑀 ∈ 𝑧 ({𝑀} Γ— 𝒫 𝑀))) = (π‘₯ ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ↦ (cardβ€˜βˆͺ 𝑦 ∈ π‘₯ ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦)))
1110ackbij1 10271 . . . 4 (𝑧 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ↦ (cardβ€˜βˆͺ 𝑀 ∈ 𝑧 ({𝑀} Γ— 𝒫 𝑀))):(𝒫 Ο‰ ∩ Fin)–1-1-ontoβ†’Ο‰
12 f1ocnv 6856 . . . . . 6 ((β™― β†Ύ Ο‰):ω–1-1-ontoβ†’β„•0 β†’ β—‘(β™― β†Ύ Ο‰):β„•0–1-1-ontoβ†’Ο‰)
132, 12ax-mp 5 . . . . 5 β—‘(β™― β†Ύ Ο‰):β„•0–1-1-ontoβ†’Ο‰
14 f1opwfi 9390 . . . . 5 (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰):β„•0–1-1-ontoβ†’Ο‰ β†’ (π‘₯ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↦ (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰) β€œ π‘₯)):(𝒫 β„•0 ∩ Fin)–1-1-ontoβ†’(𝒫 Ο‰ ∩ Fin))
1513, 14ax-mp 5 . . . 4 (π‘₯ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↦ (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰) β€œ π‘₯)):(𝒫 β„•0 ∩ Fin)–1-1-ontoβ†’(𝒫 Ο‰ ∩ Fin)
16 f1oco 6867 . . . 4 (((𝑧 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ↦ (cardβ€˜βˆͺ 𝑀 ∈ 𝑧 ({𝑀} Γ— 𝒫 𝑀))):(𝒫 Ο‰ ∩ Fin)–1-1-ontoβ†’Ο‰ ∧ (π‘₯ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↦ (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰) β€œ π‘₯)):(𝒫 β„•0 ∩ Fin)–1-1-ontoβ†’(𝒫 Ο‰ ∩ Fin)) β†’ ((𝑧 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ↦ (cardβ€˜βˆͺ 𝑀 ∈ 𝑧 ({𝑀} Γ— 𝒫 𝑀))) ∘ (π‘₯ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↦ (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰) β€œ π‘₯))):(𝒫 β„•0 ∩ Fin)–1-1-ontoβ†’Ο‰)
1711, 15, 16mp2an 690 . . 3 ((𝑧 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ↦ (cardβ€˜βˆͺ 𝑀 ∈ 𝑧 ({𝑀} Γ— 𝒫 𝑀))) ∘ (π‘₯ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↦ (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰) β€œ π‘₯))):(𝒫 β„•0 ∩ Fin)–1-1-ontoβ†’Ο‰
18 f1oco 6867 . . 3 (((β™― β†Ύ Ο‰):ω–1-1-ontoβ†’β„•0 ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ↦ (cardβ€˜βˆͺ 𝑀 ∈ 𝑧 ({𝑀} Γ— 𝒫 𝑀))) ∘ (π‘₯ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↦ (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰) β€œ π‘₯))):(𝒫 β„•0 ∩ Fin)–1-1-ontoβ†’Ο‰) β†’ ((β™― β†Ύ Ο‰) ∘ ((𝑧 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ↦ (cardβ€˜βˆͺ 𝑀 ∈ 𝑧 ({𝑀} Γ— 𝒫 𝑀))) ∘ (π‘₯ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↦ (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰) β€œ π‘₯)))):(𝒫 β„•0 ∩ Fin)–1-1-ontoβ†’β„•0)
192, 17, 18mp2an 690 . 2 ((β™― β†Ύ Ο‰) ∘ ((𝑧 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ↦ (cardβ€˜βˆͺ 𝑀 ∈ 𝑧 ({𝑀} Γ— 𝒫 𝑀))) ∘ (π‘₯ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↦ (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰) β€œ π‘₯)))):(𝒫 β„•0 ∩ Fin)–1-1-ontoβ†’β„•0
20 inss2 4232 . . . . . . . . . 10 (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) βŠ† Fin
21 f1of 6844 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘₯ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↦ (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰) β€œ π‘₯)):(𝒫 β„•0 ∩ Fin)–1-1-ontoβ†’(𝒫 Ο‰ ∩ Fin) β†’ (π‘₯ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↦ (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰) β€œ π‘₯)):(𝒫 β„•0 ∩ Fin)⟢(𝒫 Ο‰ ∩ Fin))
2215, 21ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↦ (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰) β€œ π‘₯)):(𝒫 β„•0 ∩ Fin)⟢(𝒫 Ο‰ ∩ Fin)
23 eqid 2728 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↦ (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰) β€œ π‘₯)) = (π‘₯ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↦ (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰) β€œ π‘₯))
2423fmpt 7125 . . . . . . . . . . . 12 (βˆ€π‘₯ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin)(β—‘(β™― β†Ύ Ο‰) β€œ π‘₯) ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ↔ (π‘₯ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↦ (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰) β€œ π‘₯)):(𝒫 β„•0 ∩ Fin)⟢(𝒫 Ο‰ ∩ Fin))
2522, 24mpbir 230 . . . . . . . . . . 11 βˆ€π‘₯ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin)(β—‘(β™― β†Ύ Ο‰) β€œ π‘₯) ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin)
2625rspec 3245 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) β†’ (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰) β€œ π‘₯) ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin))
2720, 26sselid 3980 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) β†’ (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰) β€œ π‘₯) ∈ Fin)
28 snfi 9077 . . . . . . . . . . 11 {𝑀} ∈ Fin
29 cnvimass 6090 . . . . . . . . . . . . . . 15 (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰) β€œ π‘₯) βŠ† dom (β™― β†Ύ Ο‰)
30 dmhashres 14342 . . . . . . . . . . . . . . 15 dom (β™― β†Ύ Ο‰) = Ο‰
3129, 30sseqtri 4018 . . . . . . . . . . . . . 14 (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰) β€œ π‘₯) βŠ† Ο‰
32 onfin2 9264 . . . . . . . . . . . . . . 15 Ο‰ = (On ∩ Fin)
33 inss2 4232 . . . . . . . . . . . . . . 15 (On ∩ Fin) βŠ† Fin
3432, 33eqsstri 4016 . . . . . . . . . . . . . 14 Ο‰ βŠ† Fin
3531, 34sstri 3991 . . . . . . . . . . . . 13 (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰) β€œ π‘₯) βŠ† Fin
36 simpr 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘₯ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ∧ 𝑀 ∈ (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰) β€œ π‘₯)) β†’ 𝑀 ∈ (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰) β€œ π‘₯))
3735, 36sselid 3980 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘₯ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ∧ 𝑀 ∈ (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰) β€œ π‘₯)) β†’ 𝑀 ∈ Fin)
38 pwfi 9211 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝑀 ∈ Fin)
3937, 38sylib 217 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ∧ 𝑀 ∈ (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰) β€œ π‘₯)) β†’ 𝒫 𝑀 ∈ Fin)
40 xpfi 9351 . . . . . . . . . . 11 (({𝑀} ∈ Fin ∧ 𝒫 𝑀 ∈ Fin) β†’ ({𝑀} Γ— 𝒫 𝑀) ∈ Fin)
4128, 39, 40sylancr 585 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ∧ 𝑀 ∈ (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰) β€œ π‘₯)) β†’ ({𝑀} Γ— 𝒫 𝑀) ∈ Fin)
4241ralrimiva 3143 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) β†’ βˆ€π‘€ ∈ (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰) β€œ π‘₯)({𝑀} Γ— 𝒫 𝑀) ∈ Fin)
43 iunfi 9374 . . . . . . . . 9 (((β—‘(β™― β†Ύ Ο‰) β€œ π‘₯) ∈ Fin ∧ βˆ€π‘€ ∈ (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰) β€œ π‘₯)({𝑀} Γ— 𝒫 𝑀) ∈ Fin) β†’ βˆͺ 𝑀 ∈ (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰) β€œ π‘₯)({𝑀} Γ— 𝒫 𝑀) ∈ Fin)
4427, 42, 43syl2anc 582 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) β†’ βˆͺ 𝑀 ∈ (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰) β€œ π‘₯)({𝑀} Γ— 𝒫 𝑀) ∈ Fin)
45 ficardom 9994 . . . . . . . 8 (βˆͺ 𝑀 ∈ (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰) β€œ π‘₯)({𝑀} Γ— 𝒫 𝑀) ∈ Fin β†’ (cardβ€˜βˆͺ 𝑀 ∈ (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰) β€œ π‘₯)({𝑀} Γ— 𝒫 𝑀)) ∈ Ο‰)
4644, 45syl 17 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) β†’ (cardβ€˜βˆͺ 𝑀 ∈ (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰) β€œ π‘₯)({𝑀} Γ— 𝒫 𝑀)) ∈ Ο‰)
4746fvresd 6922 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) β†’ ((β™― β†Ύ Ο‰)β€˜(cardβ€˜βˆͺ 𝑀 ∈ (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰) β€œ π‘₯)({𝑀} Γ— 𝒫 𝑀))) = (β™―β€˜(cardβ€˜βˆͺ 𝑀 ∈ (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰) β€œ π‘₯)({𝑀} Γ— 𝒫 𝑀))))
48 hashcard 14356 . . . . . . 7 (βˆͺ 𝑀 ∈ (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰) β€œ π‘₯)({𝑀} Γ— 𝒫 𝑀) ∈ Fin β†’ (β™―β€˜(cardβ€˜βˆͺ 𝑀 ∈ (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰) β€œ π‘₯)({𝑀} Γ— 𝒫 𝑀))) = (β™―β€˜βˆͺ 𝑀 ∈ (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰) β€œ π‘₯)({𝑀} Γ— 𝒫 𝑀)))
4944, 48syl 17 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) β†’ (β™―β€˜(cardβ€˜βˆͺ 𝑀 ∈ (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰) β€œ π‘₯)({𝑀} Γ— 𝒫 𝑀))) = (β™―β€˜βˆͺ 𝑀 ∈ (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰) β€œ π‘₯)({𝑀} Γ— 𝒫 𝑀)))
50 xp1st 8033 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ ({𝑀} Γ— 𝒫 𝑀) β†’ (1st β€˜π‘§) ∈ {𝑀})
51 elsni 4649 . . . . . . . . . . . 12 ((1st β€˜π‘§) ∈ {𝑀} β†’ (1st β€˜π‘§) = 𝑀)
5250, 51syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ ({𝑀} Γ— 𝒫 𝑀) β†’ (1st β€˜π‘§) = 𝑀)
5352rgen 3060 . . . . . . . . . 10 βˆ€π‘§ ∈ ({𝑀} Γ— 𝒫 𝑀)(1st β€˜π‘§) = 𝑀
5453rgenw 3062 . . . . . . . . 9 βˆ€π‘€ ∈ (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰) β€œ π‘₯)βˆ€π‘§ ∈ ({𝑀} Γ— 𝒫 𝑀)(1st β€˜π‘§) = 𝑀
55 invdisj 5136 . . . . . . . . 9 (βˆ€π‘€ ∈ (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰) β€œ π‘₯)βˆ€π‘§ ∈ ({𝑀} Γ— 𝒫 𝑀)(1st β€˜π‘§) = 𝑀 β†’ Disj 𝑀 ∈ (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰) β€œ π‘₯)({𝑀} Γ— 𝒫 𝑀))
5654, 55mp1i 13 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) β†’ Disj 𝑀 ∈ (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰) β€œ π‘₯)({𝑀} Γ— 𝒫 𝑀))
5727, 41, 56hashiun 15810 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) β†’ (β™―β€˜βˆͺ 𝑀 ∈ (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰) β€œ π‘₯)({𝑀} Γ— 𝒫 𝑀)) = Σ𝑀 ∈ (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰) β€œ π‘₯)(β™―β€˜({𝑀} Γ— 𝒫 𝑀)))
58 sneq 4642 . . . . . . . . . 10 (𝑀 = (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰)β€˜π‘¦) β†’ {𝑀} = {(β—‘(β™― β†Ύ Ο‰)β€˜π‘¦)})
59 pweq 4620 . . . . . . . . . 10 (𝑀 = (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰)β€˜π‘¦) β†’ 𝒫 𝑀 = 𝒫 (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰)β€˜π‘¦))
6058, 59xpeq12d 5713 . . . . . . . . 9 (𝑀 = (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰)β€˜π‘¦) β†’ ({𝑀} Γ— 𝒫 𝑀) = ({(β—‘(β™― β†Ύ Ο‰)β€˜π‘¦)} Γ— 𝒫 (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰)β€˜π‘¦)))
6160fveq2d 6906 . . . . . . . 8 (𝑀 = (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰)β€˜π‘¦) β†’ (β™―β€˜({𝑀} Γ— 𝒫 𝑀)) = (β™―β€˜({(β—‘(β™― β†Ύ Ο‰)β€˜π‘¦)} Γ— 𝒫 (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰)β€˜π‘¦))))
62 elinel2 4198 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) β†’ π‘₯ ∈ Fin)
63 f1of1 6843 . . . . . . . . . 10 (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰):β„•0–1-1-ontoβ†’Ο‰ β†’ β—‘(β™― β†Ύ Ο‰):β„•0–1-1β†’Ο‰)
6413, 63ax-mp 5 . . . . . . . . 9 β—‘(β™― β†Ύ Ο‰):β„•0–1-1β†’Ο‰
65 elinel1 4197 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) β†’ π‘₯ ∈ 𝒫 β„•0)
6665elpwid 4615 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) β†’ π‘₯ βŠ† β„•0)
67 f1ores 6858 . . . . . . . . 9 ((β—‘(β™― β†Ύ Ο‰):β„•0–1-1β†’Ο‰ ∧ π‘₯ βŠ† β„•0) β†’ (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰) β†Ύ π‘₯):π‘₯–1-1-ontoβ†’(β—‘(β™― β†Ύ Ο‰) β€œ π‘₯))
6864, 66, 67sylancr 585 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) β†’ (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰) β†Ύ π‘₯):π‘₯–1-1-ontoβ†’(β—‘(β™― β†Ύ Ο‰) β€œ π‘₯))
69 fvres 6921 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ π‘₯ β†’ ((β—‘(β™― β†Ύ Ο‰) β†Ύ π‘₯)β€˜π‘¦) = (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰)β€˜π‘¦))
7069adantl 480 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) β†’ ((β—‘(β™― β†Ύ Ο‰) β†Ύ π‘₯)β€˜π‘¦) = (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰)β€˜π‘¦))
71 hashcl 14357 . . . . . . . . 9 (({𝑀} Γ— 𝒫 𝑀) ∈ Fin β†’ (β™―β€˜({𝑀} Γ— 𝒫 𝑀)) ∈ β„•0)
72 nn0cn 12522 . . . . . . . . 9 ((β™―β€˜({𝑀} Γ— 𝒫 𝑀)) ∈ β„•0 β†’ (β™―β€˜({𝑀} Γ— 𝒫 𝑀)) ∈ β„‚)
7341, 71, 723syl 18 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ∧ 𝑀 ∈ (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰) β€œ π‘₯)) β†’ (β™―β€˜({𝑀} Γ— 𝒫 𝑀)) ∈ β„‚)
7461, 62, 68, 70, 73fsumf1o 15711 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) β†’ Σ𝑀 ∈ (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰) β€œ π‘₯)(β™―β€˜({𝑀} Γ— 𝒫 𝑀)) = Σ𝑦 ∈ π‘₯ (β™―β€˜({(β—‘(β™― β†Ύ Ο‰)β€˜π‘¦)} Γ— 𝒫 (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰)β€˜π‘¦))))
75 snfi 9077 . . . . . . . . . 10 {(β—‘(β™― β†Ύ Ο‰)β€˜π‘¦)} ∈ Fin
7666sselda 3982 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘₯ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) β†’ 𝑦 ∈ β„•0)
77 f1of 6844 . . . . . . . . . . . . . . 15 (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰):β„•0–1-1-ontoβ†’Ο‰ β†’ β—‘(β™― β†Ύ Ο‰):β„•0βŸΆΟ‰)
7813, 77ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 β—‘(β™― β†Ύ Ο‰):β„•0βŸΆΟ‰
7978ffvelcdmi 7098 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ β„•0 β†’ (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰)β€˜π‘¦) ∈ Ο‰)
8076, 79syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘₯ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) β†’ (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰)β€˜π‘¦) ∈ Ο‰)
8134, 80sselid 3980 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) β†’ (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰)β€˜π‘¦) ∈ Fin)
82 pwfi 9211 . . . . . . . . . . 11 ((β—‘(β™― β†Ύ Ο‰)β€˜π‘¦) ∈ Fin ↔ 𝒫 (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰)β€˜π‘¦) ∈ Fin)
8381, 82sylib 217 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) β†’ 𝒫 (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰)β€˜π‘¦) ∈ Fin)
84 hashxp 14435 . . . . . . . . . 10 (({(β—‘(β™― β†Ύ Ο‰)β€˜π‘¦)} ∈ Fin ∧ 𝒫 (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰)β€˜π‘¦) ∈ Fin) β†’ (β™―β€˜({(β—‘(β™― β†Ύ Ο‰)β€˜π‘¦)} Γ— 𝒫 (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰)β€˜π‘¦))) = ((β™―β€˜{(β—‘(β™― β†Ύ Ο‰)β€˜π‘¦)}) Β· (β™―β€˜π’« (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰)β€˜π‘¦))))
8575, 83, 84sylancr 585 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) β†’ (β™―β€˜({(β—‘(β™― β†Ύ Ο‰)β€˜π‘¦)} Γ— 𝒫 (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰)β€˜π‘¦))) = ((β™―β€˜{(β—‘(β™― β†Ύ Ο‰)β€˜π‘¦)}) Β· (β™―β€˜π’« (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰)β€˜π‘¦))))
86 hashsng 14370 . . . . . . . . . . 11 ((β—‘(β™― β†Ύ Ο‰)β€˜π‘¦) ∈ Ο‰ β†’ (β™―β€˜{(β—‘(β™― β†Ύ Ο‰)β€˜π‘¦)}) = 1)
8780, 86syl 17 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) β†’ (β™―β€˜{(β—‘(β™― β†Ύ Ο‰)β€˜π‘¦)}) = 1)
88 hashpw 14437 . . . . . . . . . . . 12 ((β—‘(β™― β†Ύ Ο‰)β€˜π‘¦) ∈ Fin β†’ (β™―β€˜π’« (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰)β€˜π‘¦)) = (2↑(β™―β€˜(β—‘(β™― β†Ύ Ο‰)β€˜π‘¦))))
8981, 88syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) β†’ (β™―β€˜π’« (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰)β€˜π‘¦)) = (2↑(β™―β€˜(β—‘(β™― β†Ύ Ο‰)β€˜π‘¦))))
9080fvresd 6922 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘₯ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) β†’ ((β™― β†Ύ Ο‰)β€˜(β—‘(β™― β†Ύ Ο‰)β€˜π‘¦)) = (β™―β€˜(β—‘(β™― β†Ύ Ο‰)β€˜π‘¦)))
91 f1ocnvfv2 7292 . . . . . . . . . . . . . 14 (((β™― β†Ύ Ο‰):ω–1-1-ontoβ†’β„•0 ∧ 𝑦 ∈ β„•0) β†’ ((β™― β†Ύ Ο‰)β€˜(β—‘(β™― β†Ύ Ο‰)β€˜π‘¦)) = 𝑦)
922, 76, 91sylancr 585 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘₯ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) β†’ ((β™― β†Ύ Ο‰)β€˜(β—‘(β™― β†Ύ Ο‰)β€˜π‘¦)) = 𝑦)
9390, 92eqtr3d 2770 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘₯ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) β†’ (β™―β€˜(β—‘(β™― β†Ύ Ο‰)β€˜π‘¦)) = 𝑦)
9493oveq2d 7442 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) β†’ (2↑(β™―β€˜(β—‘(β™― β†Ύ Ο‰)β€˜π‘¦))) = (2↑𝑦))
9589, 94eqtrd 2768 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) β†’ (β™―β€˜π’« (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰)β€˜π‘¦)) = (2↑𝑦))
9687, 95oveq12d 7444 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) β†’ ((β™―β€˜{(β—‘(β™― β†Ύ Ο‰)β€˜π‘¦)}) Β· (β™―β€˜π’« (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰)β€˜π‘¦))) = (1 Β· (2↑𝑦)))
97 2cn 12327 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ β„‚
98 expcl 14086 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) β†’ (2↑𝑦) ∈ β„‚)
9997, 76, 98sylancr 585 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) β†’ (2↑𝑦) ∈ β„‚)
10099mullidd 11272 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) β†’ (1 Β· (2↑𝑦)) = (2↑𝑦))
10185, 96, 1003eqtrd 2772 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) β†’ (β™―β€˜({(β—‘(β™― β†Ύ Ο‰)β€˜π‘¦)} Γ— 𝒫 (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰)β€˜π‘¦))) = (2↑𝑦))
102101sumeq2dv 15691 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) β†’ Σ𝑦 ∈ π‘₯ (β™―β€˜({(β—‘(β™― β†Ύ Ο‰)β€˜π‘¦)} Γ— 𝒫 (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰)β€˜π‘¦))) = Σ𝑦 ∈ π‘₯ (2↑𝑦))
10357, 74, 1023eqtrd 2772 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) β†’ (β™―β€˜βˆͺ 𝑀 ∈ (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰) β€œ π‘₯)({𝑀} Γ— 𝒫 𝑀)) = Σ𝑦 ∈ π‘₯ (2↑𝑦))
10447, 49, 1033eqtrd 2772 . . . . 5 (π‘₯ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) β†’ ((β™― β†Ύ Ο‰)β€˜(cardβ€˜βˆͺ 𝑀 ∈ (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰) β€œ π‘₯)({𝑀} Γ— 𝒫 𝑀))) = Σ𝑦 ∈ π‘₯ (2↑𝑦))
105104mpteq2ia 5255 . . . 4 (π‘₯ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↦ ((β™― β†Ύ Ο‰)β€˜(cardβ€˜βˆͺ 𝑀 ∈ (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰) β€œ π‘₯)({𝑀} Γ— 𝒫 𝑀)))) = (π‘₯ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ π‘₯ (2↑𝑦))
10646adantl 480 . . . . . 6 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin)) β†’ (cardβ€˜βˆͺ 𝑀 ∈ (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰) β€œ π‘₯)({𝑀} Γ— 𝒫 𝑀)) ∈ Ο‰)
10726adantl 480 . . . . . . 7 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin)) β†’ (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰) β€œ π‘₯) ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin))
108 eqidd 2729 . . . . . . 7 (⊀ β†’ (π‘₯ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↦ (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰) β€œ π‘₯)) = (π‘₯ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↦ (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰) β€œ π‘₯)))
109 eqidd 2729 . . . . . . 7 (⊀ β†’ (𝑧 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ↦ (cardβ€˜βˆͺ 𝑀 ∈ 𝑧 ({𝑀} Γ— 𝒫 𝑀))) = (𝑧 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ↦ (cardβ€˜βˆͺ 𝑀 ∈ 𝑧 ({𝑀} Γ— 𝒫 𝑀))))
110 iuneq1 5016 . . . . . . . 8 (𝑧 = (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰) β€œ π‘₯) β†’ βˆͺ 𝑀 ∈ 𝑧 ({𝑀} Γ— 𝒫 𝑀) = βˆͺ 𝑀 ∈ (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰) β€œ π‘₯)({𝑀} Γ— 𝒫 𝑀))
111110fveq2d 6906 . . . . . . 7 (𝑧 = (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰) β€œ π‘₯) β†’ (cardβ€˜βˆͺ 𝑀 ∈ 𝑧 ({𝑀} Γ— 𝒫 𝑀)) = (cardβ€˜βˆͺ 𝑀 ∈ (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰) β€œ π‘₯)({𝑀} Γ— 𝒫 𝑀)))
112107, 108, 109, 111fmptco 7144 . . . . . 6 (⊀ β†’ ((𝑧 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ↦ (cardβ€˜βˆͺ 𝑀 ∈ 𝑧 ({𝑀} Γ— 𝒫 𝑀))) ∘ (π‘₯ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↦ (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰) β€œ π‘₯))) = (π‘₯ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↦ (cardβ€˜βˆͺ 𝑀 ∈ (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰) β€œ π‘₯)({𝑀} Γ— 𝒫 𝑀))))
113 f1of 6844 . . . . . . . 8 ((β™― β†Ύ Ο‰):ω–1-1-ontoβ†’β„•0 β†’ (β™― β†Ύ Ο‰):Ο‰βŸΆβ„•0)
1142, 113mp1i 13 . . . . . . 7 (⊀ β†’ (β™― β†Ύ Ο‰):Ο‰βŸΆβ„•0)
115114feqmptd 6972 . . . . . 6 (⊀ β†’ (β™― β†Ύ Ο‰) = (𝑦 ∈ Ο‰ ↦ ((β™― β†Ύ Ο‰)β€˜π‘¦)))
116 fveq2 6902 . . . . . 6 (𝑦 = (cardβ€˜βˆͺ 𝑀 ∈ (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰) β€œ π‘₯)({𝑀} Γ— 𝒫 𝑀)) β†’ ((β™― β†Ύ Ο‰)β€˜π‘¦) = ((β™― β†Ύ Ο‰)β€˜(cardβ€˜βˆͺ 𝑀 ∈ (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰) β€œ π‘₯)({𝑀} Γ— 𝒫 𝑀))))
117106, 112, 115, 116fmptco 7144 . . . . 5 (⊀ β†’ ((β™― β†Ύ Ο‰) ∘ ((𝑧 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ↦ (cardβ€˜βˆͺ 𝑀 ∈ 𝑧 ({𝑀} Γ— 𝒫 𝑀))) ∘ (π‘₯ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↦ (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰) β€œ π‘₯)))) = (π‘₯ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↦ ((β™― β†Ύ Ο‰)β€˜(cardβ€˜βˆͺ 𝑀 ∈ (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰) β€œ π‘₯)({𝑀} Γ— 𝒫 𝑀)))))
118117mptru 1540 . . . 4 ((β™― β†Ύ Ο‰) ∘ ((𝑧 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ↦ (cardβ€˜βˆͺ 𝑀 ∈ 𝑧 ({𝑀} Γ— 𝒫 𝑀))) ∘ (π‘₯ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↦ (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰) β€œ π‘₯)))) = (π‘₯ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↦ ((β™― β†Ύ Ο‰)β€˜(cardβ€˜βˆͺ 𝑀 ∈ (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰) β€œ π‘₯)({𝑀} Γ— 𝒫 𝑀))))
119 ackbijnn.1 . . . 4 𝐹 = (π‘₯ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ π‘₯ (2↑𝑦))
120105, 118, 1193eqtr4i 2766 . . 3 ((β™― β†Ύ Ο‰) ∘ ((𝑧 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ↦ (cardβ€˜βˆͺ 𝑀 ∈ 𝑧 ({𝑀} Γ— 𝒫 𝑀))) ∘ (π‘₯ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↦ (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰) β€œ π‘₯)))) = 𝐹
121 f1oeq1 6832 . . 3 (((β™― β†Ύ Ο‰) ∘ ((𝑧 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ↦ (cardβ€˜βˆͺ 𝑀 ∈ 𝑧 ({𝑀} Γ— 𝒫 𝑀))) ∘ (π‘₯ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↦ (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰) β€œ π‘₯)))) = 𝐹 β†’ (((β™― β†Ύ Ο‰) ∘ ((𝑧 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ↦ (cardβ€˜βˆͺ 𝑀 ∈ 𝑧 ({𝑀} Γ— 𝒫 𝑀))) ∘ (π‘₯ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↦ (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰) β€œ π‘₯)))):(𝒫 β„•0 ∩ Fin)–1-1-ontoβ†’β„•0 ↔ 𝐹:(𝒫 β„•0 ∩ Fin)–1-1-ontoβ†’β„•0))
122120, 121ax-mp 5 . 2 (((β™― β†Ύ Ο‰) ∘ ((𝑧 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ↦ (cardβ€˜βˆͺ 𝑀 ∈ 𝑧 ({𝑀} Γ— 𝒫 𝑀))) ∘ (π‘₯ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↦ (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰) β€œ π‘₯)))):(𝒫 β„•0 ∩ Fin)–1-1-ontoβ†’β„•0 ↔ 𝐹:(𝒫 β„•0 ∩ Fin)–1-1-ontoβ†’β„•0)
12319, 122mpbi 229 1 𝐹:(𝒫 β„•0 ∩ Fin)–1-1-ontoβ†’β„•0
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533  βŠ€wtru 1534   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3058   ∩ cin 3948   βŠ† wss 3949  π’« cpw 4606  {csn 4632  βˆͺ ciun 5000  Disj wdisj 5117   ↦ cmpt 5235   Γ— cxp 5680  β—‘ccnv 5681  dom cdm 5682   β†Ύ cres 5684   β€œ cima 5685   ∘ ccom 5686  Oncon0 6374  βŸΆwf 6549  β€“1-1β†’wf1 6550  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6552  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  Ο‰com 7878  1st c1st 7999  Fincfn 8972  cardccrd 9968  β„‚cc 11146  1c1 11149   Β· cmul 11153  2c2 12307  β„•0cn0 12512  β†‘cexp 14068  β™―chash 14331  Ξ£csu 15674
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-inf2 9674  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225  ax-pre-sup 11226
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-disj 5118  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7879  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-1o 8495  df-2o 8496  df-oadd 8499  df-er 8733  df-map 8855  df-pm 8856  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-fin 8976  df-sup 9475  df-oi 9543  df-dju 9934  df-card 9972  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-div 11912  df-nn 12253  df-2 12315  df-3 12316  df-n0 12513  df-xnn0 12585  df-z 12599  df-uz 12863  df-rp 13017  df-fz 13527  df-fzo 13670  df-seq 14009  df-exp 14069  df-hash 14332  df-cj 15088  df-re 15089  df-im 15090  df-sqrt 15224  df-abs 15225  df-clim 15474  df-sum 15675
This theorem is referenced by:  bitsinv2  16427
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