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Theorem ackbijnn 15780
Description: Translate the Ackermann bijection ackbij1 10235 onto the positive integers. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jan-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ackbijnn.1 𝐹 = (π‘₯ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ π‘₯ (2↑𝑦))
Assertion
Ref Expression
ackbijnn 𝐹:(𝒫 β„•0 ∩ Fin)–1-1-ontoβ†’β„•0
Distinct variable group:   π‘₯,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐹(π‘₯,𝑦)
Proof of Theorem ackbijnn
Dummy variables 𝑀 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hashgval2 14343 . . . 4 (β™― β†Ύ Ο‰) = (rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 0) β†Ύ Ο‰)
21hashgf1o 13942 . . 3 (β™― β†Ύ Ο‰):ω–1-1-ontoβ†’β„•0
3 sneq 4633 . . . . . . . . . 10 (𝑀 = 𝑦 β†’ {𝑀} = {𝑦})
4 pweq 4611 . . . . . . . . . 10 (𝑀 = 𝑦 β†’ 𝒫 𝑀 = 𝒫 𝑦)
53, 4xpeq12d 5700 . . . . . . . . 9 (𝑀 = 𝑦 β†’ ({𝑀} Γ— 𝒫 𝑀) = ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦))
65cbviunv 5036 . . . . . . . 8 βˆͺ 𝑀 ∈ 𝑧 ({𝑀} Γ— 𝒫 𝑀) = βˆͺ 𝑦 ∈ 𝑧 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦)
7 iuneq1 5006 . . . . . . . 8 (𝑧 = π‘₯ β†’ βˆͺ 𝑦 ∈ 𝑧 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦) = βˆͺ 𝑦 ∈ π‘₯ ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦))
86, 7eqtrid 2778 . . . . . . 7 (𝑧 = π‘₯ β†’ βˆͺ 𝑀 ∈ 𝑧 ({𝑀} Γ— 𝒫 𝑀) = βˆͺ 𝑦 ∈ π‘₯ ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦))
98fveq2d 6889 . . . . . 6 (𝑧 = π‘₯ β†’ (cardβ€˜βˆͺ 𝑀 ∈ 𝑧 ({𝑀} Γ— 𝒫 𝑀)) = (cardβ€˜βˆͺ 𝑦 ∈ π‘₯ ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦)))
109cbvmptv 5254 . . . . 5 (𝑧 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ↦ (cardβ€˜βˆͺ 𝑀 ∈ 𝑧 ({𝑀} Γ— 𝒫 𝑀))) = (π‘₯ ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ↦ (cardβ€˜βˆͺ 𝑦 ∈ π‘₯ ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦)))
1110ackbij1 10235 . . . 4 (𝑧 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ↦ (cardβ€˜βˆͺ 𝑀 ∈ 𝑧 ({𝑀} Γ— 𝒫 𝑀))):(𝒫 Ο‰ ∩ Fin)–1-1-ontoβ†’Ο‰
12 f1ocnv 6839 . . . . . 6 ((β™― β†Ύ Ο‰):ω–1-1-ontoβ†’β„•0 β†’ β—‘(β™― β†Ύ Ο‰):β„•0–1-1-ontoβ†’Ο‰)
132, 12ax-mp 5 . . . . 5 β—‘(β™― β†Ύ Ο‰):β„•0–1-1-ontoβ†’Ο‰
14 f1opwfi 9358 . . . . 5 (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰):β„•0–1-1-ontoβ†’Ο‰ β†’ (π‘₯ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↦ (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰) β€œ π‘₯)):(𝒫 β„•0 ∩ Fin)–1-1-ontoβ†’(𝒫 Ο‰ ∩ Fin))
1513, 14ax-mp 5 . . . 4 (π‘₯ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↦ (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰) β€œ π‘₯)):(𝒫 β„•0 ∩ Fin)–1-1-ontoβ†’(𝒫 Ο‰ ∩ Fin)
16 f1oco 6850 . . . 4 (((𝑧 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ↦ (cardβ€˜βˆͺ 𝑀 ∈ 𝑧 ({𝑀} Γ— 𝒫 𝑀))):(𝒫 Ο‰ ∩ Fin)–1-1-ontoβ†’Ο‰ ∧ (π‘₯ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↦ (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰) β€œ π‘₯)):(𝒫 β„•0 ∩ Fin)–1-1-ontoβ†’(𝒫 Ο‰ ∩ Fin)) β†’ ((𝑧 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ↦ (cardβ€˜βˆͺ 𝑀 ∈ 𝑧 ({𝑀} Γ— 𝒫 𝑀))) ∘ (π‘₯ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↦ (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰) β€œ π‘₯))):(𝒫 β„•0 ∩ Fin)–1-1-ontoβ†’Ο‰)
1711, 15, 16mp2an 689 . . 3 ((𝑧 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ↦ (cardβ€˜βˆͺ 𝑀 ∈ 𝑧 ({𝑀} Γ— 𝒫 𝑀))) ∘ (π‘₯ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↦ (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰) β€œ π‘₯))):(𝒫 β„•0 ∩ Fin)–1-1-ontoβ†’Ο‰
18 f1oco 6850 . . 3 (((β™― β†Ύ Ο‰):ω–1-1-ontoβ†’β„•0 ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ↦ (cardβ€˜βˆͺ 𝑀 ∈ 𝑧 ({𝑀} Γ— 𝒫 𝑀))) ∘ (π‘₯ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↦ (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰) β€œ π‘₯))):(𝒫 β„•0 ∩ Fin)–1-1-ontoβ†’Ο‰) β†’ ((β™― β†Ύ Ο‰) ∘ ((𝑧 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ↦ (cardβ€˜βˆͺ 𝑀 ∈ 𝑧 ({𝑀} Γ— 𝒫 𝑀))) ∘ (π‘₯ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↦ (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰) β€œ π‘₯)))):(𝒫 β„•0 ∩ Fin)–1-1-ontoβ†’β„•0)
192, 17, 18mp2an 689 . 2 ((β™― β†Ύ Ο‰) ∘ ((𝑧 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ↦ (cardβ€˜βˆͺ 𝑀 ∈ 𝑧 ({𝑀} Γ— 𝒫 𝑀))) ∘ (π‘₯ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↦ (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰) β€œ π‘₯)))):(𝒫 β„•0 ∩ Fin)–1-1-ontoβ†’β„•0
20 inss2 4224 . . . . . . . . . 10 (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) βŠ† Fin
21 f1of 6827 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘₯ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↦ (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰) β€œ π‘₯)):(𝒫 β„•0 ∩ Fin)–1-1-ontoβ†’(𝒫 Ο‰ ∩ Fin) β†’ (π‘₯ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↦ (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰) β€œ π‘₯)):(𝒫 β„•0 ∩ Fin)⟢(𝒫 Ο‰ ∩ Fin))
2215, 21ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↦ (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰) β€œ π‘₯)):(𝒫 β„•0 ∩ Fin)⟢(𝒫 Ο‰ ∩ Fin)
23 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↦ (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰) β€œ π‘₯)) = (π‘₯ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↦ (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰) β€œ π‘₯))
2423fmpt 7105 . . . . . . . . . . . 12 (βˆ€π‘₯ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin)(β—‘(β™― β†Ύ Ο‰) β€œ π‘₯) ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ↔ (π‘₯ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↦ (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰) β€œ π‘₯)):(𝒫 β„•0 ∩ Fin)⟢(𝒫 Ο‰ ∩ Fin))
2522, 24mpbir 230 . . . . . . . . . . 11 βˆ€π‘₯ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin)(β—‘(β™― β†Ύ Ο‰) β€œ π‘₯) ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin)
2625rspec 3241 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) β†’ (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰) β€œ π‘₯) ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin))
2720, 26sselid 3975 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) β†’ (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰) β€œ π‘₯) ∈ Fin)
28 snfi 9046 . . . . . . . . . . 11 {𝑀} ∈ Fin
29 cnvimass 6074 . . . . . . . . . . . . . . 15 (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰) β€œ π‘₯) βŠ† dom (β™― β†Ύ Ο‰)
30 dmhashres 14306 . . . . . . . . . . . . . . 15 dom (β™― β†Ύ Ο‰) = Ο‰
3129, 30sseqtri 4013 . . . . . . . . . . . . . 14 (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰) β€œ π‘₯) βŠ† Ο‰
32 onfin2 9233 . . . . . . . . . . . . . . 15 Ο‰ = (On ∩ Fin)
33 inss2 4224 . . . . . . . . . . . . . . 15 (On ∩ Fin) βŠ† Fin
3432, 33eqsstri 4011 . . . . . . . . . . . . . 14 Ο‰ βŠ† Fin
3531, 34sstri 3986 . . . . . . . . . . . . 13 (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰) β€œ π‘₯) βŠ† Fin
36 simpr 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘₯ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ∧ 𝑀 ∈ (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰) β€œ π‘₯)) β†’ 𝑀 ∈ (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰) β€œ π‘₯))
3735, 36sselid 3975 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘₯ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ∧ 𝑀 ∈ (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰) β€œ π‘₯)) β†’ 𝑀 ∈ Fin)
38 pwfi 9180 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝑀 ∈ Fin)
3937, 38sylib 217 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ∧ 𝑀 ∈ (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰) β€œ π‘₯)) β†’ 𝒫 𝑀 ∈ Fin)
40 xpfi 9319 . . . . . . . . . . 11 (({𝑀} ∈ Fin ∧ 𝒫 𝑀 ∈ Fin) β†’ ({𝑀} Γ— 𝒫 𝑀) ∈ Fin)
4128, 39, 40sylancr 586 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ∧ 𝑀 ∈ (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰) β€œ π‘₯)) β†’ ({𝑀} Γ— 𝒫 𝑀) ∈ Fin)
4241ralrimiva 3140 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) β†’ βˆ€π‘€ ∈ (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰) β€œ π‘₯)({𝑀} Γ— 𝒫 𝑀) ∈ Fin)
43 iunfi 9342 . . . . . . . . 9 (((β—‘(β™― β†Ύ Ο‰) β€œ π‘₯) ∈ Fin ∧ βˆ€π‘€ ∈ (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰) β€œ π‘₯)({𝑀} Γ— 𝒫 𝑀) ∈ Fin) β†’ βˆͺ 𝑀 ∈ (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰) β€œ π‘₯)({𝑀} Γ— 𝒫 𝑀) ∈ Fin)
4427, 42, 43syl2anc 583 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) β†’ βˆͺ 𝑀 ∈ (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰) β€œ π‘₯)({𝑀} Γ— 𝒫 𝑀) ∈ Fin)
45 ficardom 9958 . . . . . . . 8 (βˆͺ 𝑀 ∈ (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰) β€œ π‘₯)({𝑀} Γ— 𝒫 𝑀) ∈ Fin β†’ (cardβ€˜βˆͺ 𝑀 ∈ (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰) β€œ π‘₯)({𝑀} Γ— 𝒫 𝑀)) ∈ Ο‰)
4644, 45syl 17 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) β†’ (cardβ€˜βˆͺ 𝑀 ∈ (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰) β€œ π‘₯)({𝑀} Γ— 𝒫 𝑀)) ∈ Ο‰)
4746fvresd 6905 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) β†’ ((β™― β†Ύ Ο‰)β€˜(cardβ€˜βˆͺ 𝑀 ∈ (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰) β€œ π‘₯)({𝑀} Γ— 𝒫 𝑀))) = (β™―β€˜(cardβ€˜βˆͺ 𝑀 ∈ (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰) β€œ π‘₯)({𝑀} Γ— 𝒫 𝑀))))
48 hashcard 14320 . . . . . . 7 (βˆͺ 𝑀 ∈ (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰) β€œ π‘₯)({𝑀} Γ— 𝒫 𝑀) ∈ Fin β†’ (β™―β€˜(cardβ€˜βˆͺ 𝑀 ∈ (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰) β€œ π‘₯)({𝑀} Γ— 𝒫 𝑀))) = (β™―β€˜βˆͺ 𝑀 ∈ (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰) β€œ π‘₯)({𝑀} Γ— 𝒫 𝑀)))
4944, 48syl 17 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) β†’ (β™―β€˜(cardβ€˜βˆͺ 𝑀 ∈ (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰) β€œ π‘₯)({𝑀} Γ— 𝒫 𝑀))) = (β™―β€˜βˆͺ 𝑀 ∈ (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰) β€œ π‘₯)({𝑀} Γ— 𝒫 𝑀)))
50 xp1st 8006 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ ({𝑀} Γ— 𝒫 𝑀) β†’ (1st β€˜π‘§) ∈ {𝑀})
51 elsni 4640 . . . . . . . . . . . 12 ((1st β€˜π‘§) ∈ {𝑀} β†’ (1st β€˜π‘§) = 𝑀)
5250, 51syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ ({𝑀} Γ— 𝒫 𝑀) β†’ (1st β€˜π‘§) = 𝑀)
5352rgen 3057 . . . . . . . . . 10 βˆ€π‘§ ∈ ({𝑀} Γ— 𝒫 𝑀)(1st β€˜π‘§) = 𝑀
5453rgenw 3059 . . . . . . . . 9 βˆ€π‘€ ∈ (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰) β€œ π‘₯)βˆ€π‘§ ∈ ({𝑀} Γ— 𝒫 𝑀)(1st β€˜π‘§) = 𝑀
55 invdisj 5125 . . . . . . . . 9 (βˆ€π‘€ ∈ (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰) β€œ π‘₯)βˆ€π‘§ ∈ ({𝑀} Γ— 𝒫 𝑀)(1st β€˜π‘§) = 𝑀 β†’ Disj 𝑀 ∈ (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰) β€œ π‘₯)({𝑀} Γ— 𝒫 𝑀))
5654, 55mp1i 13 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) β†’ Disj 𝑀 ∈ (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰) β€œ π‘₯)({𝑀} Γ— 𝒫 𝑀))
5727, 41, 56hashiun 15774 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) β†’ (β™―β€˜βˆͺ 𝑀 ∈ (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰) β€œ π‘₯)({𝑀} Γ— 𝒫 𝑀)) = Σ𝑀 ∈ (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰) β€œ π‘₯)(β™―β€˜({𝑀} Γ— 𝒫 𝑀)))
58 sneq 4633 . . . . . . . . . 10 (𝑀 = (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰)β€˜π‘¦) β†’ {𝑀} = {(β—‘(β™― β†Ύ Ο‰)β€˜π‘¦)})
59 pweq 4611 . . . . . . . . . 10 (𝑀 = (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰)β€˜π‘¦) β†’ 𝒫 𝑀 = 𝒫 (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰)β€˜π‘¦))
6058, 59xpeq12d 5700 . . . . . . . . 9 (𝑀 = (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰)β€˜π‘¦) β†’ ({𝑀} Γ— 𝒫 𝑀) = ({(β—‘(β™― β†Ύ Ο‰)β€˜π‘¦)} Γ— 𝒫 (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰)β€˜π‘¦)))
6160fveq2d 6889 . . . . . . . 8 (𝑀 = (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰)β€˜π‘¦) β†’ (β™―β€˜({𝑀} Γ— 𝒫 𝑀)) = (β™―β€˜({(β—‘(β™― β†Ύ Ο‰)β€˜π‘¦)} Γ— 𝒫 (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰)β€˜π‘¦))))
62 elinel2 4191 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) β†’ π‘₯ ∈ Fin)
63 f1of1 6826 . . . . . . . . . 10 (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰):β„•0–1-1-ontoβ†’Ο‰ β†’ β—‘(β™― β†Ύ Ο‰):β„•0–1-1β†’Ο‰)
6413, 63ax-mp 5 . . . . . . . . 9 β—‘(β™― β†Ύ Ο‰):β„•0–1-1β†’Ο‰
65 elinel1 4190 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) β†’ π‘₯ ∈ 𝒫 β„•0)
6665elpwid 4606 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) β†’ π‘₯ βŠ† β„•0)
67 f1ores 6841 . . . . . . . . 9 ((β—‘(β™― β†Ύ Ο‰):β„•0–1-1β†’Ο‰ ∧ π‘₯ βŠ† β„•0) β†’ (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰) β†Ύ π‘₯):π‘₯–1-1-ontoβ†’(β—‘(β™― β†Ύ Ο‰) β€œ π‘₯))
6864, 66, 67sylancr 586 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) β†’ (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰) β†Ύ π‘₯):π‘₯–1-1-ontoβ†’(β—‘(β™― β†Ύ Ο‰) β€œ π‘₯))
69 fvres 6904 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ π‘₯ β†’ ((β—‘(β™― β†Ύ Ο‰) β†Ύ π‘₯)β€˜π‘¦) = (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰)β€˜π‘¦))
7069adantl 481 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) β†’ ((β—‘(β™― β†Ύ Ο‰) β†Ύ π‘₯)β€˜π‘¦) = (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰)β€˜π‘¦))
71 hashcl 14321 . . . . . . . . 9 (({𝑀} Γ— 𝒫 𝑀) ∈ Fin β†’ (β™―β€˜({𝑀} Γ— 𝒫 𝑀)) ∈ β„•0)
72 nn0cn 12486 . . . . . . . . 9 ((β™―β€˜({𝑀} Γ— 𝒫 𝑀)) ∈ β„•0 β†’ (β™―β€˜({𝑀} Γ— 𝒫 𝑀)) ∈ β„‚)
7341, 71, 723syl 18 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ∧ 𝑀 ∈ (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰) β€œ π‘₯)) β†’ (β™―β€˜({𝑀} Γ— 𝒫 𝑀)) ∈ β„‚)
7461, 62, 68, 70, 73fsumf1o 15675 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) β†’ Σ𝑀 ∈ (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰) β€œ π‘₯)(β™―β€˜({𝑀} Γ— 𝒫 𝑀)) = Σ𝑦 ∈ π‘₯ (β™―β€˜({(β—‘(β™― β†Ύ Ο‰)β€˜π‘¦)} Γ— 𝒫 (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰)β€˜π‘¦))))
75 snfi 9046 . . . . . . . . . 10 {(β—‘(β™― β†Ύ Ο‰)β€˜π‘¦)} ∈ Fin
7666sselda 3977 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘₯ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) β†’ 𝑦 ∈ β„•0)
77 f1of 6827 . . . . . . . . . . . . . . 15 (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰):β„•0–1-1-ontoβ†’Ο‰ β†’ β—‘(β™― β†Ύ Ο‰):β„•0βŸΆΟ‰)
7813, 77ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 β—‘(β™― β†Ύ Ο‰):β„•0βŸΆΟ‰
7978ffvelcdmi 7079 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ β„•0 β†’ (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰)β€˜π‘¦) ∈ Ο‰)
8076, 79syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘₯ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) β†’ (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰)β€˜π‘¦) ∈ Ο‰)
8134, 80sselid 3975 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) β†’ (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰)β€˜π‘¦) ∈ Fin)
82 pwfi 9180 . . . . . . . . . . 11 ((β—‘(β™― β†Ύ Ο‰)β€˜π‘¦) ∈ Fin ↔ 𝒫 (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰)β€˜π‘¦) ∈ Fin)
8381, 82sylib 217 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) β†’ 𝒫 (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰)β€˜π‘¦) ∈ Fin)
84 hashxp 14399 . . . . . . . . . 10 (({(β—‘(β™― β†Ύ Ο‰)β€˜π‘¦)} ∈ Fin ∧ 𝒫 (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰)β€˜π‘¦) ∈ Fin) β†’ (β™―β€˜({(β—‘(β™― β†Ύ Ο‰)β€˜π‘¦)} Γ— 𝒫 (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰)β€˜π‘¦))) = ((β™―β€˜{(β—‘(β™― β†Ύ Ο‰)β€˜π‘¦)}) Β· (β™―β€˜π’« (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰)β€˜π‘¦))))
8575, 83, 84sylancr 586 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) β†’ (β™―β€˜({(β—‘(β™― β†Ύ Ο‰)β€˜π‘¦)} Γ— 𝒫 (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰)β€˜π‘¦))) = ((β™―β€˜{(β—‘(β™― β†Ύ Ο‰)β€˜π‘¦)}) Β· (β™―β€˜π’« (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰)β€˜π‘¦))))
86 hashsng 14334 . . . . . . . . . . 11 ((β—‘(β™― β†Ύ Ο‰)β€˜π‘¦) ∈ Ο‰ β†’ (β™―β€˜{(β—‘(β™― β†Ύ Ο‰)β€˜π‘¦)}) = 1)
8780, 86syl 17 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) β†’ (β™―β€˜{(β—‘(β™― β†Ύ Ο‰)β€˜π‘¦)}) = 1)
88 hashpw 14401 . . . . . . . . . . . 12 ((β—‘(β™― β†Ύ Ο‰)β€˜π‘¦) ∈ Fin β†’ (β™―β€˜π’« (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰)β€˜π‘¦)) = (2↑(β™―β€˜(β—‘(β™― β†Ύ Ο‰)β€˜π‘¦))))
8981, 88syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) β†’ (β™―β€˜π’« (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰)β€˜π‘¦)) = (2↑(β™―β€˜(β—‘(β™― β†Ύ Ο‰)β€˜π‘¦))))
9080fvresd 6905 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘₯ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) β†’ ((β™― β†Ύ Ο‰)β€˜(β—‘(β™― β†Ύ Ο‰)β€˜π‘¦)) = (β™―β€˜(β—‘(β™― β†Ύ Ο‰)β€˜π‘¦)))
91 f1ocnvfv2 7271 . . . . . . . . . . . . . 14 (((β™― β†Ύ Ο‰):ω–1-1-ontoβ†’β„•0 ∧ 𝑦 ∈ β„•0) β†’ ((β™― β†Ύ Ο‰)β€˜(β—‘(β™― β†Ύ Ο‰)β€˜π‘¦)) = 𝑦)
922, 76, 91sylancr 586 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘₯ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) β†’ ((β™― β†Ύ Ο‰)β€˜(β—‘(β™― β†Ύ Ο‰)β€˜π‘¦)) = 𝑦)
9390, 92eqtr3d 2768 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘₯ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) β†’ (β™―β€˜(β—‘(β™― β†Ύ Ο‰)β€˜π‘¦)) = 𝑦)
9493oveq2d 7421 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) β†’ (2↑(β™―β€˜(β—‘(β™― β†Ύ Ο‰)β€˜π‘¦))) = (2↑𝑦))
9589, 94eqtrd 2766 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) β†’ (β™―β€˜π’« (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰)β€˜π‘¦)) = (2↑𝑦))
9687, 95oveq12d 7423 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) β†’ ((β™―β€˜{(β—‘(β™― β†Ύ Ο‰)β€˜π‘¦)}) Β· (β™―β€˜π’« (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰)β€˜π‘¦))) = (1 Β· (2↑𝑦)))
97 2cn 12291 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ β„‚
98 expcl 14050 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) β†’ (2↑𝑦) ∈ β„‚)
9997, 76, 98sylancr 586 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) β†’ (2↑𝑦) ∈ β„‚)
10099mullidd 11236 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) β†’ (1 Β· (2↑𝑦)) = (2↑𝑦))
10185, 96, 1003eqtrd 2770 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) β†’ (β™―β€˜({(β—‘(β™― β†Ύ Ο‰)β€˜π‘¦)} Γ— 𝒫 (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰)β€˜π‘¦))) = (2↑𝑦))
102101sumeq2dv 15655 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) β†’ Σ𝑦 ∈ π‘₯ (β™―β€˜({(β—‘(β™― β†Ύ Ο‰)β€˜π‘¦)} Γ— 𝒫 (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰)β€˜π‘¦))) = Σ𝑦 ∈ π‘₯ (2↑𝑦))
10357, 74, 1023eqtrd 2770 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) β†’ (β™―β€˜βˆͺ 𝑀 ∈ (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰) β€œ π‘₯)({𝑀} Γ— 𝒫 𝑀)) = Σ𝑦 ∈ π‘₯ (2↑𝑦))
10447, 49, 1033eqtrd 2770 . . . . 5 (π‘₯ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) β†’ ((β™― β†Ύ Ο‰)β€˜(cardβ€˜βˆͺ 𝑀 ∈ (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰) β€œ π‘₯)({𝑀} Γ— 𝒫 𝑀))) = Σ𝑦 ∈ π‘₯ (2↑𝑦))
105104mpteq2ia 5244 . . . 4 (π‘₯ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↦ ((β™― β†Ύ Ο‰)β€˜(cardβ€˜βˆͺ 𝑀 ∈ (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰) β€œ π‘₯)({𝑀} Γ— 𝒫 𝑀)))) = (π‘₯ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ π‘₯ (2↑𝑦))
10646adantl 481 . . . . . 6 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin)) β†’ (cardβ€˜βˆͺ 𝑀 ∈ (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰) β€œ π‘₯)({𝑀} Γ— 𝒫 𝑀)) ∈ Ο‰)
10726adantl 481 . . . . . . 7 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin)) β†’ (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰) β€œ π‘₯) ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin))
108 eqidd 2727 . . . . . . 7 (⊀ β†’ (π‘₯ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↦ (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰) β€œ π‘₯)) = (π‘₯ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↦ (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰) β€œ π‘₯)))
109 eqidd 2727 . . . . . . 7 (⊀ β†’ (𝑧 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ↦ (cardβ€˜βˆͺ 𝑀 ∈ 𝑧 ({𝑀} Γ— 𝒫 𝑀))) = (𝑧 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ↦ (cardβ€˜βˆͺ 𝑀 ∈ 𝑧 ({𝑀} Γ— 𝒫 𝑀))))
110 iuneq1 5006 . . . . . . . 8 (𝑧 = (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰) β€œ π‘₯) β†’ βˆͺ 𝑀 ∈ 𝑧 ({𝑀} Γ— 𝒫 𝑀) = βˆͺ 𝑀 ∈ (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰) β€œ π‘₯)({𝑀} Γ— 𝒫 𝑀))
111110fveq2d 6889 . . . . . . 7 (𝑧 = (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰) β€œ π‘₯) β†’ (cardβ€˜βˆͺ 𝑀 ∈ 𝑧 ({𝑀} Γ— 𝒫 𝑀)) = (cardβ€˜βˆͺ 𝑀 ∈ (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰) β€œ π‘₯)({𝑀} Γ— 𝒫 𝑀)))
112107, 108, 109, 111fmptco 7123 . . . . . 6 (⊀ β†’ ((𝑧 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ↦ (cardβ€˜βˆͺ 𝑀 ∈ 𝑧 ({𝑀} Γ— 𝒫 𝑀))) ∘ (π‘₯ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↦ (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰) β€œ π‘₯))) = (π‘₯ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↦ (cardβ€˜βˆͺ 𝑀 ∈ (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰) β€œ π‘₯)({𝑀} Γ— 𝒫 𝑀))))
113 f1of 6827 . . . . . . . 8 ((β™― β†Ύ Ο‰):ω–1-1-ontoβ†’β„•0 β†’ (β™― β†Ύ Ο‰):Ο‰βŸΆβ„•0)
1142, 113mp1i 13 . . . . . . 7 (⊀ β†’ (β™― β†Ύ Ο‰):Ο‰βŸΆβ„•0)
115114feqmptd 6954 . . . . . 6 (⊀ β†’ (β™― β†Ύ Ο‰) = (𝑦 ∈ Ο‰ ↦ ((β™― β†Ύ Ο‰)β€˜π‘¦)))
116 fveq2 6885 . . . . . 6 (𝑦 = (cardβ€˜βˆͺ 𝑀 ∈ (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰) β€œ π‘₯)({𝑀} Γ— 𝒫 𝑀)) β†’ ((β™― β†Ύ Ο‰)β€˜π‘¦) = ((β™― β†Ύ Ο‰)β€˜(cardβ€˜βˆͺ 𝑀 ∈ (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰) β€œ π‘₯)({𝑀} Γ— 𝒫 𝑀))))
117106, 112, 115, 116fmptco 7123 . . . . 5 (⊀ β†’ ((β™― β†Ύ Ο‰) ∘ ((𝑧 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ↦ (cardβ€˜βˆͺ 𝑀 ∈ 𝑧 ({𝑀} Γ— 𝒫 𝑀))) ∘ (π‘₯ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↦ (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰) β€œ π‘₯)))) = (π‘₯ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↦ ((β™― β†Ύ Ο‰)β€˜(cardβ€˜βˆͺ 𝑀 ∈ (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰) β€œ π‘₯)({𝑀} Γ— 𝒫 𝑀)))))
118117mptru 1540 . . . 4 ((β™― β†Ύ Ο‰) ∘ ((𝑧 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ↦ (cardβ€˜βˆͺ 𝑀 ∈ 𝑧 ({𝑀} Γ— 𝒫 𝑀))) ∘ (π‘₯ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↦ (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰) β€œ π‘₯)))) = (π‘₯ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↦ ((β™― β†Ύ Ο‰)β€˜(cardβ€˜βˆͺ 𝑀 ∈ (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰) β€œ π‘₯)({𝑀} Γ— 𝒫 𝑀))))
119 ackbijnn.1 . . . 4 𝐹 = (π‘₯ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ π‘₯ (2↑𝑦))
120105, 118, 1193eqtr4i 2764 . . 3 ((β™― β†Ύ Ο‰) ∘ ((𝑧 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ↦ (cardβ€˜βˆͺ 𝑀 ∈ 𝑧 ({𝑀} Γ— 𝒫 𝑀))) ∘ (π‘₯ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↦ (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰) β€œ π‘₯)))) = 𝐹
121 f1oeq1 6815 . . 3 (((β™― β†Ύ Ο‰) ∘ ((𝑧 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ↦ (cardβ€˜βˆͺ 𝑀 ∈ 𝑧 ({𝑀} Γ— 𝒫 𝑀))) ∘ (π‘₯ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↦ (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰) β€œ π‘₯)))) = 𝐹 β†’ (((β™― β†Ύ Ο‰) ∘ ((𝑧 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ↦ (cardβ€˜βˆͺ 𝑀 ∈ 𝑧 ({𝑀} Γ— 𝒫 𝑀))) ∘ (π‘₯ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↦ (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰) β€œ π‘₯)))):(𝒫 β„•0 ∩ Fin)–1-1-ontoβ†’β„•0 ↔ 𝐹:(𝒫 β„•0 ∩ Fin)–1-1-ontoβ†’β„•0))
122120, 121ax-mp 5 . 2 (((β™― β†Ύ Ο‰) ∘ ((𝑧 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ↦ (cardβ€˜βˆͺ 𝑀 ∈ 𝑧 ({𝑀} Γ— 𝒫 𝑀))) ∘ (π‘₯ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↦ (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰) β€œ π‘₯)))):(𝒫 β„•0 ∩ Fin)–1-1-ontoβ†’β„•0 ↔ 𝐹:(𝒫 β„•0 ∩ Fin)–1-1-ontoβ†’β„•0)
12319, 122mpbi 229 1 𝐹:(𝒫 β„•0 ∩ Fin)–1-1-ontoβ†’β„•0
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533  βŠ€wtru 1534   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3055   ∩ cin 3942   βŠ† wss 3943  π’« cpw 4597  {csn 4623  βˆͺ ciun 4990  Disj wdisj 5106   ↦ cmpt 5224   Γ— cxp 5667  β—‘ccnv 5668  dom cdm 5669   β†Ύ cres 5671   β€œ cima 5672   ∘ ccom 5673  Oncon0 6358  βŸΆwf 6533  β€“1-1β†’wf1 6534  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6536  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  Ο‰com 7852  1st c1st 7972  Fincfn 8941  cardccrd 9932  β„‚cc 11110  1c1 11113   Β· cmul 11117  2c2 12271  β„•0cn0 12476  β†‘cexp 14032  β™―chash 14295  Ξ£csu 15638
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-disj 5107  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-2o 8468  df-oadd 8471  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-oi 9507  df-dju 9898  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-xnn0 12549  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12981  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-seq 13973  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15438  df-sum 15639
This theorem is referenced by:  bitsinv2  16391
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