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Theorem ackbijnn 15720
Description: Translate the Ackermann bijection ackbij1 10181 onto the positive integers. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jan-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ackbijnn.1 𝐹 = (π‘₯ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ π‘₯ (2↑𝑦))
Assertion
Ref Expression
ackbijnn 𝐹:(𝒫 β„•0 ∩ Fin)–1-1-ontoβ†’β„•0
Distinct variable group:   π‘₯,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐹(π‘₯,𝑦)

Proof of Theorem ackbijnn
Dummy variables 𝑀 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hashgval2 14285 . . . 4 (β™― β†Ύ Ο‰) = (rec((π‘₯ ∈ V ↦ (π‘₯ + 1)), 0) β†Ύ Ο‰)
21hashgf1o 13883 . . 3 (β™― β†Ύ Ο‰):ω–1-1-ontoβ†’β„•0
3 sneq 4601 . . . . . . . . . 10 (𝑀 = 𝑦 β†’ {𝑀} = {𝑦})
4 pweq 4579 . . . . . . . . . 10 (𝑀 = 𝑦 β†’ 𝒫 𝑀 = 𝒫 𝑦)
53, 4xpeq12d 5669 . . . . . . . . 9 (𝑀 = 𝑦 β†’ ({𝑀} Γ— 𝒫 𝑀) = ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦))
65cbviunv 5005 . . . . . . . 8 βˆͺ 𝑀 ∈ 𝑧 ({𝑀} Γ— 𝒫 𝑀) = βˆͺ 𝑦 ∈ 𝑧 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦)
7 iuneq1 4975 . . . . . . . 8 (𝑧 = π‘₯ β†’ βˆͺ 𝑦 ∈ 𝑧 ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦) = βˆͺ 𝑦 ∈ π‘₯ ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦))
86, 7eqtrid 2789 . . . . . . 7 (𝑧 = π‘₯ β†’ βˆͺ 𝑀 ∈ 𝑧 ({𝑀} Γ— 𝒫 𝑀) = βˆͺ 𝑦 ∈ π‘₯ ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦))
98fveq2d 6851 . . . . . 6 (𝑧 = π‘₯ β†’ (cardβ€˜βˆͺ 𝑀 ∈ 𝑧 ({𝑀} Γ— 𝒫 𝑀)) = (cardβ€˜βˆͺ 𝑦 ∈ π‘₯ ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦)))
109cbvmptv 5223 . . . . 5 (𝑧 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ↦ (cardβ€˜βˆͺ 𝑀 ∈ 𝑧 ({𝑀} Γ— 𝒫 𝑀))) = (π‘₯ ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ↦ (cardβ€˜βˆͺ 𝑦 ∈ π‘₯ ({𝑦} Γ— 𝒫 𝑦)))
1110ackbij1 10181 . . . 4 (𝑧 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ↦ (cardβ€˜βˆͺ 𝑀 ∈ 𝑧 ({𝑀} Γ— 𝒫 𝑀))):(𝒫 Ο‰ ∩ Fin)–1-1-ontoβ†’Ο‰
12 f1ocnv 6801 . . . . . 6 ((β™― β†Ύ Ο‰):ω–1-1-ontoβ†’β„•0 β†’ β—‘(β™― β†Ύ Ο‰):β„•0–1-1-ontoβ†’Ο‰)
132, 12ax-mp 5 . . . . 5 β—‘(β™― β†Ύ Ο‰):β„•0–1-1-ontoβ†’Ο‰
14 f1opwfi 9307 . . . . 5 (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰):β„•0–1-1-ontoβ†’Ο‰ β†’ (π‘₯ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↦ (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰) β€œ π‘₯)):(𝒫 β„•0 ∩ Fin)–1-1-ontoβ†’(𝒫 Ο‰ ∩ Fin))
1513, 14ax-mp 5 . . . 4 (π‘₯ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↦ (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰) β€œ π‘₯)):(𝒫 β„•0 ∩ Fin)–1-1-ontoβ†’(𝒫 Ο‰ ∩ Fin)
16 f1oco 6812 . . . 4 (((𝑧 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ↦ (cardβ€˜βˆͺ 𝑀 ∈ 𝑧 ({𝑀} Γ— 𝒫 𝑀))):(𝒫 Ο‰ ∩ Fin)–1-1-ontoβ†’Ο‰ ∧ (π‘₯ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↦ (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰) β€œ π‘₯)):(𝒫 β„•0 ∩ Fin)–1-1-ontoβ†’(𝒫 Ο‰ ∩ Fin)) β†’ ((𝑧 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ↦ (cardβ€˜βˆͺ 𝑀 ∈ 𝑧 ({𝑀} Γ— 𝒫 𝑀))) ∘ (π‘₯ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↦ (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰) β€œ π‘₯))):(𝒫 β„•0 ∩ Fin)–1-1-ontoβ†’Ο‰)
1711, 15, 16mp2an 691 . . 3 ((𝑧 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ↦ (cardβ€˜βˆͺ 𝑀 ∈ 𝑧 ({𝑀} Γ— 𝒫 𝑀))) ∘ (π‘₯ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↦ (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰) β€œ π‘₯))):(𝒫 β„•0 ∩ Fin)–1-1-ontoβ†’Ο‰
18 f1oco 6812 . . 3 (((β™― β†Ύ Ο‰):ω–1-1-ontoβ†’β„•0 ∧ ((𝑧 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ↦ (cardβ€˜βˆͺ 𝑀 ∈ 𝑧 ({𝑀} Γ— 𝒫 𝑀))) ∘ (π‘₯ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↦ (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰) β€œ π‘₯))):(𝒫 β„•0 ∩ Fin)–1-1-ontoβ†’Ο‰) β†’ ((β™― β†Ύ Ο‰) ∘ ((𝑧 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ↦ (cardβ€˜βˆͺ 𝑀 ∈ 𝑧 ({𝑀} Γ— 𝒫 𝑀))) ∘ (π‘₯ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↦ (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰) β€œ π‘₯)))):(𝒫 β„•0 ∩ Fin)–1-1-ontoβ†’β„•0)
192, 17, 18mp2an 691 . 2 ((β™― β†Ύ Ο‰) ∘ ((𝑧 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ↦ (cardβ€˜βˆͺ 𝑀 ∈ 𝑧 ({𝑀} Γ— 𝒫 𝑀))) ∘ (π‘₯ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↦ (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰) β€œ π‘₯)))):(𝒫 β„•0 ∩ Fin)–1-1-ontoβ†’β„•0
20 inss2 4194 . . . . . . . . . 10 (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) βŠ† Fin
21 f1of 6789 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘₯ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↦ (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰) β€œ π‘₯)):(𝒫 β„•0 ∩ Fin)–1-1-ontoβ†’(𝒫 Ο‰ ∩ Fin) β†’ (π‘₯ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↦ (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰) β€œ π‘₯)):(𝒫 β„•0 ∩ Fin)⟢(𝒫 Ο‰ ∩ Fin))
2215, 21ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↦ (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰) β€œ π‘₯)):(𝒫 β„•0 ∩ Fin)⟢(𝒫 Ο‰ ∩ Fin)
23 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↦ (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰) β€œ π‘₯)) = (π‘₯ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↦ (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰) β€œ π‘₯))
2423fmpt 7063 . . . . . . . . . . . 12 (βˆ€π‘₯ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin)(β—‘(β™― β†Ύ Ο‰) β€œ π‘₯) ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ↔ (π‘₯ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↦ (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰) β€œ π‘₯)):(𝒫 β„•0 ∩ Fin)⟢(𝒫 Ο‰ ∩ Fin))
2522, 24mpbir 230 . . . . . . . . . . 11 βˆ€π‘₯ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin)(β—‘(β™― β†Ύ Ο‰) β€œ π‘₯) ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin)
2625rspec 3236 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) β†’ (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰) β€œ π‘₯) ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin))
2720, 26sselid 3947 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) β†’ (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰) β€œ π‘₯) ∈ Fin)
28 snfi 8995 . . . . . . . . . . 11 {𝑀} ∈ Fin
29 cnvimass 6038 . . . . . . . . . . . . . . 15 (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰) β€œ π‘₯) βŠ† dom (β™― β†Ύ Ο‰)
30 dmhashres 14248 . . . . . . . . . . . . . . 15 dom (β™― β†Ύ Ο‰) = Ο‰
3129, 30sseqtri 3985 . . . . . . . . . . . . . 14 (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰) β€œ π‘₯) βŠ† Ο‰
32 onfin2 9182 . . . . . . . . . . . . . . 15 Ο‰ = (On ∩ Fin)
33 inss2 4194 . . . . . . . . . . . . . . 15 (On ∩ Fin) βŠ† Fin
3432, 33eqsstri 3983 . . . . . . . . . . . . . 14 Ο‰ βŠ† Fin
3531, 34sstri 3958 . . . . . . . . . . . . 13 (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰) β€œ π‘₯) βŠ† Fin
36 simpr 486 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘₯ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ∧ 𝑀 ∈ (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰) β€œ π‘₯)) β†’ 𝑀 ∈ (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰) β€œ π‘₯))
3735, 36sselid 3947 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘₯ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ∧ 𝑀 ∈ (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰) β€œ π‘₯)) β†’ 𝑀 ∈ Fin)
38 pwfi 9129 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝑀 ∈ Fin)
3937, 38sylib 217 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ∧ 𝑀 ∈ (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰) β€œ π‘₯)) β†’ 𝒫 𝑀 ∈ Fin)
40 xpfi 9268 . . . . . . . . . . 11 (({𝑀} ∈ Fin ∧ 𝒫 𝑀 ∈ Fin) β†’ ({𝑀} Γ— 𝒫 𝑀) ∈ Fin)
4128, 39, 40sylancr 588 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ∧ 𝑀 ∈ (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰) β€œ π‘₯)) β†’ ({𝑀} Γ— 𝒫 𝑀) ∈ Fin)
4241ralrimiva 3144 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) β†’ βˆ€π‘€ ∈ (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰) β€œ π‘₯)({𝑀} Γ— 𝒫 𝑀) ∈ Fin)
43 iunfi 9291 . . . . . . . . 9 (((β—‘(β™― β†Ύ Ο‰) β€œ π‘₯) ∈ Fin ∧ βˆ€π‘€ ∈ (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰) β€œ π‘₯)({𝑀} Γ— 𝒫 𝑀) ∈ Fin) β†’ βˆͺ 𝑀 ∈ (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰) β€œ π‘₯)({𝑀} Γ— 𝒫 𝑀) ∈ Fin)
4427, 42, 43syl2anc 585 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) β†’ βˆͺ 𝑀 ∈ (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰) β€œ π‘₯)({𝑀} Γ— 𝒫 𝑀) ∈ Fin)
45 ficardom 9904 . . . . . . . 8 (βˆͺ 𝑀 ∈ (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰) β€œ π‘₯)({𝑀} Γ— 𝒫 𝑀) ∈ Fin β†’ (cardβ€˜βˆͺ 𝑀 ∈ (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰) β€œ π‘₯)({𝑀} Γ— 𝒫 𝑀)) ∈ Ο‰)
4644, 45syl 17 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) β†’ (cardβ€˜βˆͺ 𝑀 ∈ (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰) β€œ π‘₯)({𝑀} Γ— 𝒫 𝑀)) ∈ Ο‰)
4746fvresd 6867 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) β†’ ((β™― β†Ύ Ο‰)β€˜(cardβ€˜βˆͺ 𝑀 ∈ (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰) β€œ π‘₯)({𝑀} Γ— 𝒫 𝑀))) = (β™―β€˜(cardβ€˜βˆͺ 𝑀 ∈ (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰) β€œ π‘₯)({𝑀} Γ— 𝒫 𝑀))))
48 hashcard 14262 . . . . . . 7 (βˆͺ 𝑀 ∈ (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰) β€œ π‘₯)({𝑀} Γ— 𝒫 𝑀) ∈ Fin β†’ (β™―β€˜(cardβ€˜βˆͺ 𝑀 ∈ (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰) β€œ π‘₯)({𝑀} Γ— 𝒫 𝑀))) = (β™―β€˜βˆͺ 𝑀 ∈ (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰) β€œ π‘₯)({𝑀} Γ— 𝒫 𝑀)))
4944, 48syl 17 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) β†’ (β™―β€˜(cardβ€˜βˆͺ 𝑀 ∈ (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰) β€œ π‘₯)({𝑀} Γ— 𝒫 𝑀))) = (β™―β€˜βˆͺ 𝑀 ∈ (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰) β€œ π‘₯)({𝑀} Γ— 𝒫 𝑀)))
50 xp1st 7958 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ ({𝑀} Γ— 𝒫 𝑀) β†’ (1st β€˜π‘§) ∈ {𝑀})
51 elsni 4608 . . . . . . . . . . . 12 ((1st β€˜π‘§) ∈ {𝑀} β†’ (1st β€˜π‘§) = 𝑀)
5250, 51syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ ({𝑀} Γ— 𝒫 𝑀) β†’ (1st β€˜π‘§) = 𝑀)
5352rgen 3067 . . . . . . . . . 10 βˆ€π‘§ ∈ ({𝑀} Γ— 𝒫 𝑀)(1st β€˜π‘§) = 𝑀
5453rgenw 3069 . . . . . . . . 9 βˆ€π‘€ ∈ (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰) β€œ π‘₯)βˆ€π‘§ ∈ ({𝑀} Γ— 𝒫 𝑀)(1st β€˜π‘§) = 𝑀
55 invdisj 5094 . . . . . . . . 9 (βˆ€π‘€ ∈ (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰) β€œ π‘₯)βˆ€π‘§ ∈ ({𝑀} Γ— 𝒫 𝑀)(1st β€˜π‘§) = 𝑀 β†’ Disj 𝑀 ∈ (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰) β€œ π‘₯)({𝑀} Γ— 𝒫 𝑀))
5654, 55mp1i 13 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) β†’ Disj 𝑀 ∈ (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰) β€œ π‘₯)({𝑀} Γ— 𝒫 𝑀))
5727, 41, 56hashiun 15714 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) β†’ (β™―β€˜βˆͺ 𝑀 ∈ (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰) β€œ π‘₯)({𝑀} Γ— 𝒫 𝑀)) = Σ𝑀 ∈ (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰) β€œ π‘₯)(β™―β€˜({𝑀} Γ— 𝒫 𝑀)))
58 sneq 4601 . . . . . . . . . 10 (𝑀 = (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰)β€˜π‘¦) β†’ {𝑀} = {(β—‘(β™― β†Ύ Ο‰)β€˜π‘¦)})
59 pweq 4579 . . . . . . . . . 10 (𝑀 = (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰)β€˜π‘¦) β†’ 𝒫 𝑀 = 𝒫 (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰)β€˜π‘¦))
6058, 59xpeq12d 5669 . . . . . . . . 9 (𝑀 = (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰)β€˜π‘¦) β†’ ({𝑀} Γ— 𝒫 𝑀) = ({(β—‘(β™― β†Ύ Ο‰)β€˜π‘¦)} Γ— 𝒫 (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰)β€˜π‘¦)))
6160fveq2d 6851 . . . . . . . 8 (𝑀 = (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰)β€˜π‘¦) β†’ (β™―β€˜({𝑀} Γ— 𝒫 𝑀)) = (β™―β€˜({(β—‘(β™― β†Ύ Ο‰)β€˜π‘¦)} Γ— 𝒫 (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰)β€˜π‘¦))))
62 elinel2 4161 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) β†’ π‘₯ ∈ Fin)
63 f1of1 6788 . . . . . . . . . 10 (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰):β„•0–1-1-ontoβ†’Ο‰ β†’ β—‘(β™― β†Ύ Ο‰):β„•0–1-1β†’Ο‰)
6413, 63ax-mp 5 . . . . . . . . 9 β—‘(β™― β†Ύ Ο‰):β„•0–1-1β†’Ο‰
65 elinel1 4160 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) β†’ π‘₯ ∈ 𝒫 β„•0)
6665elpwid 4574 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) β†’ π‘₯ βŠ† β„•0)
67 f1ores 6803 . . . . . . . . 9 ((β—‘(β™― β†Ύ Ο‰):β„•0–1-1β†’Ο‰ ∧ π‘₯ βŠ† β„•0) β†’ (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰) β†Ύ π‘₯):π‘₯–1-1-ontoβ†’(β—‘(β™― β†Ύ Ο‰) β€œ π‘₯))
6864, 66, 67sylancr 588 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) β†’ (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰) β†Ύ π‘₯):π‘₯–1-1-ontoβ†’(β—‘(β™― β†Ύ Ο‰) β€œ π‘₯))
69 fvres 6866 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ π‘₯ β†’ ((β—‘(β™― β†Ύ Ο‰) β†Ύ π‘₯)β€˜π‘¦) = (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰)β€˜π‘¦))
7069adantl 483 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) β†’ ((β—‘(β™― β†Ύ Ο‰) β†Ύ π‘₯)β€˜π‘¦) = (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰)β€˜π‘¦))
71 hashcl 14263 . . . . . . . . 9 (({𝑀} Γ— 𝒫 𝑀) ∈ Fin β†’ (β™―β€˜({𝑀} Γ— 𝒫 𝑀)) ∈ β„•0)
72 nn0cn 12430 . . . . . . . . 9 ((β™―β€˜({𝑀} Γ— 𝒫 𝑀)) ∈ β„•0 β†’ (β™―β€˜({𝑀} Γ— 𝒫 𝑀)) ∈ β„‚)
7341, 71, 723syl 18 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ∧ 𝑀 ∈ (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰) β€œ π‘₯)) β†’ (β™―β€˜({𝑀} Γ— 𝒫 𝑀)) ∈ β„‚)
7461, 62, 68, 70, 73fsumf1o 15615 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) β†’ Σ𝑀 ∈ (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰) β€œ π‘₯)(β™―β€˜({𝑀} Γ— 𝒫 𝑀)) = Σ𝑦 ∈ π‘₯ (β™―β€˜({(β—‘(β™― β†Ύ Ο‰)β€˜π‘¦)} Γ— 𝒫 (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰)β€˜π‘¦))))
75 snfi 8995 . . . . . . . . . 10 {(β—‘(β™― β†Ύ Ο‰)β€˜π‘¦)} ∈ Fin
7666sselda 3949 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘₯ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) β†’ 𝑦 ∈ β„•0)
77 f1of 6789 . . . . . . . . . . . . . . 15 (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰):β„•0–1-1-ontoβ†’Ο‰ β†’ β—‘(β™― β†Ύ Ο‰):β„•0βŸΆΟ‰)
7813, 77ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 β—‘(β™― β†Ύ Ο‰):β„•0βŸΆΟ‰
7978ffvelcdmi 7039 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ β„•0 β†’ (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰)β€˜π‘¦) ∈ Ο‰)
8076, 79syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘₯ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) β†’ (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰)β€˜π‘¦) ∈ Ο‰)
8134, 80sselid 3947 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) β†’ (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰)β€˜π‘¦) ∈ Fin)
82 pwfi 9129 . . . . . . . . . . 11 ((β—‘(β™― β†Ύ Ο‰)β€˜π‘¦) ∈ Fin ↔ 𝒫 (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰)β€˜π‘¦) ∈ Fin)
8381, 82sylib 217 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) β†’ 𝒫 (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰)β€˜π‘¦) ∈ Fin)
84 hashxp 14341 . . . . . . . . . 10 (({(β—‘(β™― β†Ύ Ο‰)β€˜π‘¦)} ∈ Fin ∧ 𝒫 (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰)β€˜π‘¦) ∈ Fin) β†’ (β™―β€˜({(β—‘(β™― β†Ύ Ο‰)β€˜π‘¦)} Γ— 𝒫 (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰)β€˜π‘¦))) = ((β™―β€˜{(β—‘(β™― β†Ύ Ο‰)β€˜π‘¦)}) Β· (β™―β€˜π’« (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰)β€˜π‘¦))))
8575, 83, 84sylancr 588 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) β†’ (β™―β€˜({(β—‘(β™― β†Ύ Ο‰)β€˜π‘¦)} Γ— 𝒫 (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰)β€˜π‘¦))) = ((β™―β€˜{(β—‘(β™― β†Ύ Ο‰)β€˜π‘¦)}) Β· (β™―β€˜π’« (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰)β€˜π‘¦))))
86 hashsng 14276 . . . . . . . . . . 11 ((β—‘(β™― β†Ύ Ο‰)β€˜π‘¦) ∈ Ο‰ β†’ (β™―β€˜{(β—‘(β™― β†Ύ Ο‰)β€˜π‘¦)}) = 1)
8780, 86syl 17 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) β†’ (β™―β€˜{(β—‘(β™― β†Ύ Ο‰)β€˜π‘¦)}) = 1)
88 hashpw 14343 . . . . . . . . . . . 12 ((β—‘(β™― β†Ύ Ο‰)β€˜π‘¦) ∈ Fin β†’ (β™―β€˜π’« (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰)β€˜π‘¦)) = (2↑(β™―β€˜(β—‘(β™― β†Ύ Ο‰)β€˜π‘¦))))
8981, 88syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) β†’ (β™―β€˜π’« (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰)β€˜π‘¦)) = (2↑(β™―β€˜(β—‘(β™― β†Ύ Ο‰)β€˜π‘¦))))
9080fvresd 6867 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘₯ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) β†’ ((β™― β†Ύ Ο‰)β€˜(β—‘(β™― β†Ύ Ο‰)β€˜π‘¦)) = (β™―β€˜(β—‘(β™― β†Ύ Ο‰)β€˜π‘¦)))
91 f1ocnvfv2 7228 . . . . . . . . . . . . . 14 (((β™― β†Ύ Ο‰):ω–1-1-ontoβ†’β„•0 ∧ 𝑦 ∈ β„•0) β†’ ((β™― β†Ύ Ο‰)β€˜(β—‘(β™― β†Ύ Ο‰)β€˜π‘¦)) = 𝑦)
922, 76, 91sylancr 588 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘₯ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) β†’ ((β™― β†Ύ Ο‰)β€˜(β—‘(β™― β†Ύ Ο‰)β€˜π‘¦)) = 𝑦)
9390, 92eqtr3d 2779 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘₯ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) β†’ (β™―β€˜(β—‘(β™― β†Ύ Ο‰)β€˜π‘¦)) = 𝑦)
9493oveq2d 7378 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) β†’ (2↑(β™―β€˜(β—‘(β™― β†Ύ Ο‰)β€˜π‘¦))) = (2↑𝑦))
9589, 94eqtrd 2777 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) β†’ (β™―β€˜π’« (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰)β€˜π‘¦)) = (2↑𝑦))
9687, 95oveq12d 7380 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) β†’ ((β™―β€˜{(β—‘(β™― β†Ύ Ο‰)β€˜π‘¦)}) Β· (β™―β€˜π’« (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰)β€˜π‘¦))) = (1 Β· (2↑𝑦)))
97 2cn 12235 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ β„‚
98 expcl 13992 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) β†’ (2↑𝑦) ∈ β„‚)
9997, 76, 98sylancr 588 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) β†’ (2↑𝑦) ∈ β„‚)
10099mulid2d 11180 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) β†’ (1 Β· (2↑𝑦)) = (2↑𝑦))
10185, 96, 1003eqtrd 2781 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) β†’ (β™―β€˜({(β—‘(β™― β†Ύ Ο‰)β€˜π‘¦)} Γ— 𝒫 (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰)β€˜π‘¦))) = (2↑𝑦))
102101sumeq2dv 15595 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) β†’ Σ𝑦 ∈ π‘₯ (β™―β€˜({(β—‘(β™― β†Ύ Ο‰)β€˜π‘¦)} Γ— 𝒫 (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰)β€˜π‘¦))) = Σ𝑦 ∈ π‘₯ (2↑𝑦))
10357, 74, 1023eqtrd 2781 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) β†’ (β™―β€˜βˆͺ 𝑀 ∈ (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰) β€œ π‘₯)({𝑀} Γ— 𝒫 𝑀)) = Σ𝑦 ∈ π‘₯ (2↑𝑦))
10447, 49, 1033eqtrd 2781 . . . . 5 (π‘₯ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) β†’ ((β™― β†Ύ Ο‰)β€˜(cardβ€˜βˆͺ 𝑀 ∈ (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰) β€œ π‘₯)({𝑀} Γ— 𝒫 𝑀))) = Σ𝑦 ∈ π‘₯ (2↑𝑦))
105104mpteq2ia 5213 . . . 4 (π‘₯ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↦ ((β™― β†Ύ Ο‰)β€˜(cardβ€˜βˆͺ 𝑀 ∈ (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰) β€œ π‘₯)({𝑀} Γ— 𝒫 𝑀)))) = (π‘₯ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ π‘₯ (2↑𝑦))
10646adantl 483 . . . . . 6 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin)) β†’ (cardβ€˜βˆͺ 𝑀 ∈ (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰) β€œ π‘₯)({𝑀} Γ— 𝒫 𝑀)) ∈ Ο‰)
10726adantl 483 . . . . . . 7 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin)) β†’ (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰) β€œ π‘₯) ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin))
108 eqidd 2738 . . . . . . 7 (⊀ β†’ (π‘₯ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↦ (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰) β€œ π‘₯)) = (π‘₯ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↦ (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰) β€œ π‘₯)))
109 eqidd 2738 . . . . . . 7 (⊀ β†’ (𝑧 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ↦ (cardβ€˜βˆͺ 𝑀 ∈ 𝑧 ({𝑀} Γ— 𝒫 𝑀))) = (𝑧 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ↦ (cardβ€˜βˆͺ 𝑀 ∈ 𝑧 ({𝑀} Γ— 𝒫 𝑀))))
110 iuneq1 4975 . . . . . . . 8 (𝑧 = (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰) β€œ π‘₯) β†’ βˆͺ 𝑀 ∈ 𝑧 ({𝑀} Γ— 𝒫 𝑀) = βˆͺ 𝑀 ∈ (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰) β€œ π‘₯)({𝑀} Γ— 𝒫 𝑀))
111110fveq2d 6851 . . . . . . 7 (𝑧 = (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰) β€œ π‘₯) β†’ (cardβ€˜βˆͺ 𝑀 ∈ 𝑧 ({𝑀} Γ— 𝒫 𝑀)) = (cardβ€˜βˆͺ 𝑀 ∈ (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰) β€œ π‘₯)({𝑀} Γ— 𝒫 𝑀)))
112107, 108, 109, 111fmptco 7080 . . . . . 6 (⊀ β†’ ((𝑧 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ↦ (cardβ€˜βˆͺ 𝑀 ∈ 𝑧 ({𝑀} Γ— 𝒫 𝑀))) ∘ (π‘₯ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↦ (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰) β€œ π‘₯))) = (π‘₯ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↦ (cardβ€˜βˆͺ 𝑀 ∈ (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰) β€œ π‘₯)({𝑀} Γ— 𝒫 𝑀))))
113 f1of 6789 . . . . . . . 8 ((β™― β†Ύ Ο‰):ω–1-1-ontoβ†’β„•0 β†’ (β™― β†Ύ Ο‰):Ο‰βŸΆβ„•0)
1142, 113mp1i 13 . . . . . . 7 (⊀ β†’ (β™― β†Ύ Ο‰):Ο‰βŸΆβ„•0)
115114feqmptd 6915 . . . . . 6 (⊀ β†’ (β™― β†Ύ Ο‰) = (𝑦 ∈ Ο‰ ↦ ((β™― β†Ύ Ο‰)β€˜π‘¦)))
116 fveq2 6847 . . . . . 6 (𝑦 = (cardβ€˜βˆͺ 𝑀 ∈ (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰) β€œ π‘₯)({𝑀} Γ— 𝒫 𝑀)) β†’ ((β™― β†Ύ Ο‰)β€˜π‘¦) = ((β™― β†Ύ Ο‰)β€˜(cardβ€˜βˆͺ 𝑀 ∈ (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰) β€œ π‘₯)({𝑀} Γ— 𝒫 𝑀))))
117106, 112, 115, 116fmptco 7080 . . . . 5 (⊀ β†’ ((β™― β†Ύ Ο‰) ∘ ((𝑧 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ↦ (cardβ€˜βˆͺ 𝑀 ∈ 𝑧 ({𝑀} Γ— 𝒫 𝑀))) ∘ (π‘₯ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↦ (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰) β€œ π‘₯)))) = (π‘₯ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↦ ((β™― β†Ύ Ο‰)β€˜(cardβ€˜βˆͺ 𝑀 ∈ (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰) β€œ π‘₯)({𝑀} Γ— 𝒫 𝑀)))))
118117mptru 1549 . . . 4 ((β™― β†Ύ Ο‰) ∘ ((𝑧 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ↦ (cardβ€˜βˆͺ 𝑀 ∈ 𝑧 ({𝑀} Γ— 𝒫 𝑀))) ∘ (π‘₯ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↦ (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰) β€œ π‘₯)))) = (π‘₯ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↦ ((β™― β†Ύ Ο‰)β€˜(cardβ€˜βˆͺ 𝑀 ∈ (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰) β€œ π‘₯)({𝑀} Γ— 𝒫 𝑀))))
119 ackbijnn.1 . . . 4 𝐹 = (π‘₯ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ π‘₯ (2↑𝑦))
120105, 118, 1193eqtr4i 2775 . . 3 ((β™― β†Ύ Ο‰) ∘ ((𝑧 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ↦ (cardβ€˜βˆͺ 𝑀 ∈ 𝑧 ({𝑀} Γ— 𝒫 𝑀))) ∘ (π‘₯ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↦ (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰) β€œ π‘₯)))) = 𝐹
121 f1oeq1 6777 . . 3 (((β™― β†Ύ Ο‰) ∘ ((𝑧 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ↦ (cardβ€˜βˆͺ 𝑀 ∈ 𝑧 ({𝑀} Γ— 𝒫 𝑀))) ∘ (π‘₯ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↦ (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰) β€œ π‘₯)))) = 𝐹 β†’ (((β™― β†Ύ Ο‰) ∘ ((𝑧 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ↦ (cardβ€˜βˆͺ 𝑀 ∈ 𝑧 ({𝑀} Γ— 𝒫 𝑀))) ∘ (π‘₯ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↦ (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰) β€œ π‘₯)))):(𝒫 β„•0 ∩ Fin)–1-1-ontoβ†’β„•0 ↔ 𝐹:(𝒫 β„•0 ∩ Fin)–1-1-ontoβ†’β„•0))
122120, 121ax-mp 5 . 2 (((β™― β†Ύ Ο‰) ∘ ((𝑧 ∈ (𝒫 Ο‰ ∩ Fin) ↦ (cardβ€˜βˆͺ 𝑀 ∈ 𝑧 ({𝑀} Γ— 𝒫 𝑀))) ∘ (π‘₯ ∈ (𝒫 β„•0 ∩ Fin) ↦ (β—‘(β™― β†Ύ Ο‰) β€œ π‘₯)))):(𝒫 β„•0 ∩ Fin)–1-1-ontoβ†’β„•0 ↔ 𝐹:(𝒫 β„•0 ∩ Fin)–1-1-ontoβ†’β„•0)
12319, 122mpbi 229 1 𝐹:(𝒫 β„•0 ∩ Fin)–1-1-ontoβ†’β„•0
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542  βŠ€wtru 1543   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3065   ∩ cin 3914   βŠ† wss 3915  π’« cpw 4565  {csn 4591  βˆͺ ciun 4959  Disj wdisj 5075   ↦ cmpt 5193   Γ— cxp 5636  β—‘ccnv 5637  dom cdm 5638   β†Ύ cres 5640   β€œ cima 5641   ∘ ccom 5642  Oncon0 6322  βŸΆwf 6497  β€“1-1β†’wf1 6498  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6500  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  Ο‰com 7807  1st c1st 7924  Fincfn 8890  cardccrd 9878  β„‚cc 11056  1c1 11059   Β· cmul 11063  2c2 12215  β„•0cn0 12420  β†‘cexp 13974  β™―chash 14237  Ξ£csu 15577
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-disj 5076  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-oadd 8421  df-er 8655  df-map 8774  df-pm 8775  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9385  df-oi 9453  df-dju 9844  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-n0 12421  df-xnn0 12493  df-z 12507  df-uz 12771  df-rp 12923  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-seq 13914  df-exp 13975  df-hash 14238  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-clim 15377  df-sum 15578
This theorem is referenced by:  bitsinv2  16330
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