MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coe1mul2lem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem coe1mul2lem2 19853
Description: An equivalence for coe1mul2 19854. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
coe1mul2lem2.h 𝐻 = {𝑑 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ∣ 𝑑𝑟 ≤ (1𝑜 × {𝑘})}
Assertion
Ref Expression
coe1mul2lem2 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑐𝐻 ↦ (𝑐‘∅)):𝐻1-1-onto→(0...𝑘))
Distinct variable groups:   𝐻,𝑐   𝑐,𝑑,𝑘
Allowed substitution hints:   𝐻(𝑘,𝑑)

Proof of Theorem coe1mul2lem2
StepHypRef Expression
1 df1o2 7726 . . . . 5 1𝑜 = {∅}
2 nn0ex 11500 . . . . 5 0 ∈ V
3 0ex 4924 . . . . 5 ∅ ∈ V
4 eqid 2771 . . . . 5 (𝑐 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑐‘∅)) = (𝑐 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑐‘∅))
51, 2, 3, 4mapsnf1o2 8059 . . . 4 (𝑐 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑐‘∅)):(ℕ0𝑚 1𝑜)–1-1-onto→ℕ0
6 f1of1 6277 . . . 4 ((𝑐 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑐‘∅)):(ℕ0𝑚 1𝑜)–1-1-onto→ℕ0 → (𝑐 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑐‘∅)):(ℕ0𝑚 1𝑜)–1-1→ℕ0)
75, 6ax-mp 5 . . 3 (𝑐 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑐‘∅)):(ℕ0𝑚 1𝑜)–1-1→ℕ0
8 coe1mul2lem2.h . . . . 5 𝐻 = {𝑑 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ∣ 𝑑𝑟 ≤ (1𝑜 × {𝑘})}
9 ssrab2 3836 . . . . 5 {𝑑 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ∣ 𝑑𝑟 ≤ (1𝑜 × {𝑘})} ⊆ (ℕ0𝑚 1𝑜)
108, 9eqsstri 3784 . . . 4 𝐻 ⊆ (ℕ0𝑚 1𝑜)
1110a1i 11 . . 3 (𝑘 ∈ ℕ0𝐻 ⊆ (ℕ0𝑚 1𝑜))
12 f1ores 6292 . . 3 (((𝑐 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑐‘∅)):(ℕ0𝑚 1𝑜)–1-1→ℕ0𝐻 ⊆ (ℕ0𝑚 1𝑜)) → ((𝑐 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑐‘∅)) ↾ 𝐻):𝐻1-1-onto→((𝑐 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑐‘∅)) “ 𝐻))
137, 11, 12sylancr 575 . 2 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑐 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑐‘∅)) ↾ 𝐻):𝐻1-1-onto→((𝑐 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑐‘∅)) “ 𝐻))
14 coe1mul2lem1 19852 . . . . . . . . 9 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑑 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜)) → (𝑑𝑟 ≤ (1𝑜 × {𝑘}) ↔ (𝑑‘∅) ∈ (0...𝑘)))
1514rabbidva 3338 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ0 → {𝑑 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ∣ 𝑑𝑟 ≤ (1𝑜 × {𝑘})} = {𝑑 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ∣ (𝑑‘∅) ∈ (0...𝑘)})
16 fveq1 6331 . . . . . . . . . 10 (𝑐 = 𝑑 → (𝑐‘∅) = (𝑑‘∅))
1716eleq1d 2835 . . . . . . . . 9 (𝑐 = 𝑑 → ((𝑐‘∅) ∈ (0...𝑘) ↔ (𝑑‘∅) ∈ (0...𝑘)))
1817cbvrabv 3349 . . . . . . . 8 {𝑐 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ∣ (𝑐‘∅) ∈ (0...𝑘)} = {𝑑 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ∣ (𝑑‘∅) ∈ (0...𝑘)}
1915, 18syl6eqr 2823 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ0 → {𝑑 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ∣ 𝑑𝑟 ≤ (1𝑜 × {𝑘})} = {𝑐 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ∣ (𝑐‘∅) ∈ (0...𝑘)})
204mptpreima 5772 . . . . . . 7 ((𝑐 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑐‘∅)) “ (0...𝑘)) = {𝑐 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ∣ (𝑐‘∅) ∈ (0...𝑘)}
2119, 8, 203eqtr4g 2830 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ0𝐻 = ((𝑐 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑐‘∅)) “ (0...𝑘)))
2221imaeq2d 5607 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑐 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑐‘∅)) “ 𝐻) = ((𝑐 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑐‘∅)) “ ((𝑐 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑐‘∅)) “ (0...𝑘))))
23 f1ofo 6285 . . . . . . 7 ((𝑐 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑐‘∅)):(ℕ0𝑚 1𝑜)–1-1-onto→ℕ0 → (𝑐 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑐‘∅)):(ℕ0𝑚 1𝑜)–onto→ℕ0)
245, 23ax-mp 5 . . . . . 6 (𝑐 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑐‘∅)):(ℕ0𝑚 1𝑜)–onto→ℕ0
25 fz0ssnn0 12642 . . . . . 6 (0...𝑘) ⊆ ℕ0
26 foimacnv 6295 . . . . . 6 (((𝑐 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑐‘∅)):(ℕ0𝑚 1𝑜)–onto→ℕ0 ∧ (0...𝑘) ⊆ ℕ0) → ((𝑐 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑐‘∅)) “ ((𝑐 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑐‘∅)) “ (0...𝑘))) = (0...𝑘))
2724, 25, 26mp2an 672 . . . . 5 ((𝑐 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑐‘∅)) “ ((𝑐 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑐‘∅)) “ (0...𝑘))) = (0...𝑘)
2822, 27syl6eq 2821 . . . 4 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑐 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑐‘∅)) “ 𝐻) = (0...𝑘))
2928f1oeq3d 6275 . . 3 (𝑘 ∈ ℕ0 → (((𝑐 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑐‘∅)) ↾ 𝐻):𝐻1-1-onto→((𝑐 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑐‘∅)) “ 𝐻) ↔ ((𝑐 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑐‘∅)) ↾ 𝐻):𝐻1-1-onto→(0...𝑘)))
30 resmpt 5590 . . . 4 (𝐻 ⊆ (ℕ0𝑚 1𝑜) → ((𝑐 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑐‘∅)) ↾ 𝐻) = (𝑐𝐻 ↦ (𝑐‘∅)))
31 f1oeq1 6268 . . . 4 (((𝑐 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑐‘∅)) ↾ 𝐻) = (𝑐𝐻 ↦ (𝑐‘∅)) → (((𝑐 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑐‘∅)) ↾ 𝐻):𝐻1-1-onto→(0...𝑘) ↔ (𝑐𝐻 ↦ (𝑐‘∅)):𝐻1-1-onto→(0...𝑘)))
3211, 30, 313syl 18 . . 3 (𝑘 ∈ ℕ0 → (((𝑐 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑐‘∅)) ↾ 𝐻):𝐻1-1-onto→(0...𝑘) ↔ (𝑐𝐻 ↦ (𝑐‘∅)):𝐻1-1-onto→(0...𝑘)))
3329, 32bitrd 268 . 2 (𝑘 ∈ ℕ0 → (((𝑐 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑐‘∅)) ↾ 𝐻):𝐻1-1-onto→((𝑐 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑐‘∅)) “ 𝐻) ↔ (𝑐𝐻 ↦ (𝑐‘∅)):𝐻1-1-onto→(0...𝑘)))
3413, 33mpbid 222 1 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑐𝐻 ↦ (𝑐‘∅)):𝐻1-1-onto→(0...𝑘))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196   = wceq 1631  wcel 2145  {crab 3065  wss 3723  c0 4063  {csn 4316   class class class wbr 4786  cmpt 4863   × cxp 5247  ccnv 5248  cres 5251  cima 5252  1-1wf1 6028  ontowfo 6029  1-1-ontowf1o 6030  cfv 6031  (class class class)co 6793  𝑟 cofr 7043  1𝑜c1o 7706  𝑚 cmap 8009  0cc0 10138  cle 10277  0cn0 11494  ...cfz 12533
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 835  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-ofr 7045  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-er 7896  df-map 8011  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-nn 11223  df-n0 11495  df-z 11580  df-uz 11889  df-fz 12534
This theorem is referenced by:  coe1mul2  19854
  Copyright terms: Public domain W3C validator