MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coe1mul2lem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem coe1mul2lem2 19956
Description: An equivalence for coe1mul2 19957. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
coe1mul2lem2.h 𝐻 = {𝑑 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ∣ 𝑑𝑟 ≤ (1𝑜 × {𝑘})}
Assertion
Ref Expression
coe1mul2lem2 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑐𝐻 ↦ (𝑐‘∅)):𝐻1-1-onto→(0...𝑘))
Distinct variable groups:   𝐻,𝑐   𝑐,𝑑,𝑘
Allowed substitution hints:   𝐻(𝑘,𝑑)

Proof of Theorem coe1mul2lem2
StepHypRef Expression
1 df1o2 7810 . . . . 5 1𝑜 = {∅}
2 nn0ex 11583 . . . . 5 0 ∈ V
3 0ex 4982 . . . . 5 ∅ ∈ V
4 eqid 2797 . . . . 5 (𝑐 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑐‘∅)) = (𝑐 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑐‘∅))
51, 2, 3, 4mapsnf1o2 8143 . . . 4 (𝑐 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑐‘∅)):(ℕ0𝑚 1𝑜)–1-1-onto→ℕ0
6 f1of1 6353 . . . 4 ((𝑐 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑐‘∅)):(ℕ0𝑚 1𝑜)–1-1-onto→ℕ0 → (𝑐 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑐‘∅)):(ℕ0𝑚 1𝑜)–1-1→ℕ0)
75, 6ax-mp 5 . . 3 (𝑐 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑐‘∅)):(ℕ0𝑚 1𝑜)–1-1→ℕ0
8 coe1mul2lem2.h . . . . 5 𝐻 = {𝑑 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ∣ 𝑑𝑟 ≤ (1𝑜 × {𝑘})}
9 ssrab2 3881 . . . . 5 {𝑑 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ∣ 𝑑𝑟 ≤ (1𝑜 × {𝑘})} ⊆ (ℕ0𝑚 1𝑜)
108, 9eqsstri 3829 . . . 4 𝐻 ⊆ (ℕ0𝑚 1𝑜)
1110a1i 11 . . 3 (𝑘 ∈ ℕ0𝐻 ⊆ (ℕ0𝑚 1𝑜))
12 f1ores 6368 . . 3 (((𝑐 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑐‘∅)):(ℕ0𝑚 1𝑜)–1-1→ℕ0𝐻 ⊆ (ℕ0𝑚 1𝑜)) → ((𝑐 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑐‘∅)) ↾ 𝐻):𝐻1-1-onto→((𝑐 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑐‘∅)) “ 𝐻))
137, 11, 12sylancr 582 . 2 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑐 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑐‘∅)) ↾ 𝐻):𝐻1-1-onto→((𝑐 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑐‘∅)) “ 𝐻))
14 coe1mul2lem1 19955 . . . . . . . . 9 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑑 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜)) → (𝑑𝑟 ≤ (1𝑜 × {𝑘}) ↔ (𝑑‘∅) ∈ (0...𝑘)))
1514rabbidva 3370 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ0 → {𝑑 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ∣ 𝑑𝑟 ≤ (1𝑜 × {𝑘})} = {𝑑 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ∣ (𝑑‘∅) ∈ (0...𝑘)})
16 fveq1 6408 . . . . . . . . . 10 (𝑐 = 𝑑 → (𝑐‘∅) = (𝑑‘∅))
1716eleq1d 2861 . . . . . . . . 9 (𝑐 = 𝑑 → ((𝑐‘∅) ∈ (0...𝑘) ↔ (𝑑‘∅) ∈ (0...𝑘)))
1817cbvrabv 3381 . . . . . . . 8 {𝑐 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ∣ (𝑐‘∅) ∈ (0...𝑘)} = {𝑑 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ∣ (𝑑‘∅) ∈ (0...𝑘)}
1915, 18syl6eqr 2849 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ0 → {𝑑 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ∣ 𝑑𝑟 ≤ (1𝑜 × {𝑘})} = {𝑐 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ∣ (𝑐‘∅) ∈ (0...𝑘)})
204mptpreima 5845 . . . . . . 7 ((𝑐 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑐‘∅)) “ (0...𝑘)) = {𝑐 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ∣ (𝑐‘∅) ∈ (0...𝑘)}
2119, 8, 203eqtr4g 2856 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ0𝐻 = ((𝑐 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑐‘∅)) “ (0...𝑘)))
2221imaeq2d 5681 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑐 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑐‘∅)) “ 𝐻) = ((𝑐 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑐‘∅)) “ ((𝑐 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑐‘∅)) “ (0...𝑘))))
23 f1ofo 6361 . . . . . . 7 ((𝑐 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑐‘∅)):(ℕ0𝑚 1𝑜)–1-1-onto→ℕ0 → (𝑐 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑐‘∅)):(ℕ0𝑚 1𝑜)–onto→ℕ0)
245, 23ax-mp 5 . . . . . 6 (𝑐 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑐‘∅)):(ℕ0𝑚 1𝑜)–onto→ℕ0
25 fz0ssnn0 12685 . . . . . 6 (0...𝑘) ⊆ ℕ0
26 foimacnv 6371 . . . . . 6 (((𝑐 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑐‘∅)):(ℕ0𝑚 1𝑜)–onto→ℕ0 ∧ (0...𝑘) ⊆ ℕ0) → ((𝑐 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑐‘∅)) “ ((𝑐 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑐‘∅)) “ (0...𝑘))) = (0...𝑘))
2724, 25, 26mp2an 684 . . . . 5 ((𝑐 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑐‘∅)) “ ((𝑐 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑐‘∅)) “ (0...𝑘))) = (0...𝑘)
2822, 27syl6eq 2847 . . . 4 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑐 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑐‘∅)) “ 𝐻) = (0...𝑘))
2928f1oeq3d 6351 . . 3 (𝑘 ∈ ℕ0 → (((𝑐 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑐‘∅)) ↾ 𝐻):𝐻1-1-onto→((𝑐 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑐‘∅)) “ 𝐻) ↔ ((𝑐 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑐‘∅)) ↾ 𝐻):𝐻1-1-onto→(0...𝑘)))
30 resmpt 5659 . . . 4 (𝐻 ⊆ (ℕ0𝑚 1𝑜) → ((𝑐 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑐‘∅)) ↾ 𝐻) = (𝑐𝐻 ↦ (𝑐‘∅)))
31 f1oeq1 6343 . . . 4 (((𝑐 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑐‘∅)) ↾ 𝐻) = (𝑐𝐻 ↦ (𝑐‘∅)) → (((𝑐 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑐‘∅)) ↾ 𝐻):𝐻1-1-onto→(0...𝑘) ↔ (𝑐𝐻 ↦ (𝑐‘∅)):𝐻1-1-onto→(0...𝑘)))
3211, 30, 313syl 18 . . 3 (𝑘 ∈ ℕ0 → (((𝑐 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑐‘∅)) ↾ 𝐻):𝐻1-1-onto→(0...𝑘) ↔ (𝑐𝐻 ↦ (𝑐‘∅)):𝐻1-1-onto→(0...𝑘)))
3329, 32bitrd 271 . 2 (𝑘 ∈ ℕ0 → (((𝑐 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑐‘∅)) ↾ 𝐻):𝐻1-1-onto→((𝑐 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) ↦ (𝑐‘∅)) “ 𝐻) ↔ (𝑐𝐻 ↦ (𝑐‘∅)):𝐻1-1-onto→(0...𝑘)))
3413, 33mpbid 224 1 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑐𝐻 ↦ (𝑐‘∅)):𝐻1-1-onto→(0...𝑘))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198   = wceq 1653  wcel 2157  {crab 3091  wss 3767  c0 4113  {csn 4366   class class class wbr 4841  cmpt 4920   × cxp 5308  ccnv 5309  cres 5312  cima 5313  1-1wf1 6096  ontowfo 6097  1-1-ontowf1o 6098  cfv 6099  (class class class)co 6876  𝑟 cofr 7128  1𝑜c1o 7790  𝑚 cmap 8093  0cc0 10222  cle 10362  0cn0 11576  ...cfz 12576
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2375  ax-ext 2775  ax-rep 4962  ax-sep 4973  ax-nul 4981  ax-pow 5033  ax-pr 5095  ax-un 7181  ax-cnex 10278  ax-resscn 10279  ax-1cn 10280  ax-icn 10281  ax-addcl 10282  ax-addrcl 10283  ax-mulcl 10284  ax-mulrcl 10285  ax-mulcom 10286  ax-addass 10287  ax-mulass 10288  ax-distr 10289  ax-i2m1 10290  ax-1ne0 10291  ax-1rid 10292  ax-rnegex 10293  ax-rrecex 10294  ax-cnre 10295  ax-pre-lttri 10296  ax-pre-lttrn 10297  ax-pre-ltadd 10298  ax-pre-mulgt0 10299
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2590  df-eu 2607  df-clab 2784  df-cleq 2790  df-clel 2793  df-nfc 2928  df-ne 2970  df-nel 3073  df-ral 3092  df-rex 3093  df-reu 3094  df-rab 3096  df-v 3385  df-sbc 3632  df-csb 3727  df-dif 3770  df-un 3772  df-in 3774  df-ss 3781  df-pss 3783  df-nul 4114  df-if 4276  df-pw 4349  df-sn 4367  df-pr 4369  df-tp 4371  df-op 4373  df-uni 4627  df-iun 4710  df-br 4842  df-opab 4904  df-mpt 4921  df-tr 4944  df-id 5218  df-eprel 5223  df-po 5231  df-so 5232  df-fr 5269  df-we 5271  df-xp 5316  df-rel 5317  df-cnv 5318  df-co 5319  df-dm 5320  df-rn 5321  df-res 5322  df-ima 5323  df-pred 5896  df-ord 5942  df-on 5943  df-lim 5944  df-suc 5945  df-iota 6062  df-fun 6101  df-fn 6102  df-f 6103  df-f1 6104  df-fo 6105  df-f1o 6106  df-fv 6107  df-riota 6837  df-ov 6879  df-oprab 6880  df-mpt2 6881  df-ofr 7130  df-om 7298  df-1st 7399  df-2nd 7400  df-wrecs 7643  df-recs 7705  df-rdg 7743  df-1o 7797  df-er 7980  df-map 8095  df-en 8194  df-dom 8195  df-sdom 8196  df-pnf 10363  df-mnf 10364  df-xr 10365  df-ltxr 10366  df-le 10367  df-sub 10556  df-neg 10557  df-nn 11311  df-n0 11577  df-z 11663  df-uz 11927  df-fz 12577
This theorem is referenced by:  coe1mul2  19957
  Copyright terms: Public domain W3C validator