Theorem coe1mul2lem2 22243

Description: An equivalence for coe1mul2 22244. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Mar-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
coe1mul2lem2.h	⊢ 𝐻 = {𝑑 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ 𝑑 ∘r ≤ (1o × {𝑘})}

Assertion

Ref	Expression
coe1mul2lem2	⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑐 ∈ 𝐻 ↦ (𝑐‘∅)):𝐻–1-1-onto→(0...𝑘))

Distinct variable groups:   𝐻,𝑐   𝑐,𝑑,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐻(𝑘,𝑑)

Proof of Theorem coe1mul2lem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df1o2 8405	. . . . 5 ⊢ 1o = {∅}
2		nn0ex 12434	. . . . 5 ⊢ ℕ0 ∈ V
3		0ex 5242	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ V
4		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑐‘∅)) = (𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑐‘∅))
5	1, 2, 3, 4	mapsnf1o2 8835	. . . 4 ⊢ (𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑐‘∅)):(ℕ0 ↑m 1o)–1-1-onto→ℕ0
6		f1of1 6773	. . . 4 ⊢ ((𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑐‘∅)):(ℕ0 ↑m 1o)–1-1-onto→ℕ0 → (𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑐‘∅)):(ℕ0 ↑m 1o)–1-1→ℕ0)
7	5, 6	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑐‘∅)):(ℕ0 ↑m 1o)–1-1→ℕ0
8		coe1mul2lem2.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = {𝑑 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ 𝑑 ∘r ≤ (1o × {𝑘})}
9	8	ssrab3 4023	. . . 4 ⊢ 𝐻 ⊆ (ℕ0 ↑m 1o)
10	9	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 𝐻 ⊆ (ℕ0 ↑m 1o))
11		f1ores 6788	. . 3 ⊢ (((𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑐‘∅)):(ℕ0 ↑m 1o)–1-1→ℕ0 ∧ 𝐻 ⊆ (ℕ0 ↑m 1o)) → ((𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑐‘∅)) ↾ 𝐻):𝐻–1-1-onto→((𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑐‘∅)) “ 𝐻))
12	7, 10, 11	sylancr 588	. 2 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑐‘∅)) ↾ 𝐻):𝐻–1-1-onto→((𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑐‘∅)) “ 𝐻))
13		coe1mul2lem1 22242	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑑 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → (𝑑 ∘r ≤ (1o × {𝑘}) ↔ (𝑑‘∅) ∈ (0...𝑘)))
14	13	rabbidva 3396	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → {𝑑 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ 𝑑 ∘r ≤ (1o × {𝑘})} = {𝑑 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ (𝑑‘∅) ∈ (0...𝑘)})
15		fveq1 6833	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑐 = 𝑑 → (𝑐‘∅) = (𝑑‘∅))
16	15	eleq1d 2822	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑐 = 𝑑 → ((𝑐‘∅) ∈ (0...𝑘) ↔ (𝑑‘∅) ∈ (0...𝑘)))
17	16	cbvrabv 3400	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ (𝑐‘∅) ∈ (0...𝑘)} = {𝑑 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ (𝑑‘∅) ∈ (0...𝑘)}
18	14, 17	eqtr4di 2790	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → {𝑑 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ 𝑑 ∘r ≤ (1o × {𝑘})} = {𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ (𝑐‘∅) ∈ (0...𝑘)})
19	4	mptpreima 6196	. . . . . . 7 ⊢ (◡(𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑐‘∅)) “ (0...𝑘)) = {𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ (𝑐‘∅) ∈ (0...𝑘)}
20	18, 8, 19	3eqtr4g 2797	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 𝐻 = (◡(𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑐‘∅)) “ (0...𝑘)))
21	20	imaeq2d 6019	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑐‘∅)) “ 𝐻) = ((𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑐‘∅)) “ (◡(𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑐‘∅)) “ (0...𝑘))))
22		f1ofo 6781	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑐‘∅)):(ℕ0 ↑m 1o)–1-1-onto→ℕ0 → (𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑐‘∅)):(ℕ0 ↑m 1o)–onto→ℕ0)
23	5, 22	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑐‘∅)):(ℕ0 ↑m 1o)–onto→ℕ0
24		fz0ssnn0 13567	. . . . . 6 ⊢ (0...𝑘) ⊆ ℕ0
25		foimacnv 6791	. . . . . 6 ⊢ (((𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑐‘∅)):(ℕ0 ↑m 1o)–onto→ℕ0 ∧ (0...𝑘) ⊆ ℕ0) → ((𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑐‘∅)) “ (◡(𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑐‘∅)) “ (0...𝑘))) = (0...𝑘))
26	23, 24, 25	mp2an 693	. . . . 5 ⊢ ((𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑐‘∅)) “ (◡(𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑐‘∅)) “ (0...𝑘))) = (0...𝑘)
27	21, 26	eqtrdi 2788	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑐‘∅)) “ 𝐻) = (0...𝑘))
28	27	f1oeq3d 6771	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (((𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑐‘∅)) ↾ 𝐻):𝐻–1-1-onto→((𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑐‘∅)) “ 𝐻) ↔ ((𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑐‘∅)) ↾ 𝐻):𝐻–1-1-onto→(0...𝑘)))
29		resmpt 5996	. . . 4 ⊢ (𝐻 ⊆ (ℕ0 ↑m 1o) → ((𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑐‘∅)) ↾ 𝐻) = (𝑐 ∈ 𝐻 ↦ (𝑐‘∅)))
30		f1oeq1 6762	. . . 4 ⊢ (((𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑐‘∅)) ↾ 𝐻) = (𝑐 ∈ 𝐻 ↦ (𝑐‘∅)) → (((𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑐‘∅)) ↾ 𝐻):𝐻–1-1-onto→(0...𝑘) ↔ (𝑐 ∈ 𝐻 ↦ (𝑐‘∅)):𝐻–1-1-onto→(0...𝑘)))
31	10, 29, 30	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (((𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑐‘∅)) ↾ 𝐻):𝐻–1-1-onto→(0...𝑘) ↔ (𝑐 ∈ 𝐻 ↦ (𝑐‘∅)):𝐻–1-1-onto→(0...𝑘)))
32	28, 31	bitrd 279	. 2 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (((𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑐‘∅)) ↾ 𝐻):𝐻–1-1-onto→((𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑐‘∅)) “ 𝐻) ↔ (𝑐 ∈ 𝐻 ↦ (𝑐‘∅)):𝐻–1-1-onto→(0...𝑘)))
33	12, 32	mpbid 232	1 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑐 ∈ 𝐻 ↦ (𝑐‘∅)):𝐻–1-1-onto→(0...𝑘))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {crab 3390   ⊆ wss 3890  ∅c0 4274  {csn 4568   class class class wbr 5086   ↦ cmpt 5167   × cxp 5622  ^◡ccnv 5623   ↾ cres 5626   “ cima 5627  –1-1→wf1 6489  –onto→wfo 6490  –1-1-onto→wf1o 6491  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360   ∘_r cofr 7623  1_oc1o 8391   ↑_m cmap 8766  0cc0 11029   ≤ cle 11171  ℕ₀cn0 12428  ...cfz 13452

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-ofr 7625  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-er 8636  df-map 8768  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-fz 13453

This theorem is referenced by:  coe1mul2  22244