MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coe1mul2lem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem coe1mul2lem2 21655
Description: An equivalence for coe1mul2 21656. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
coe1mul2lem2.h 𝐻 = {𝑑 ∈ (ℕ0m 1o) ∣ 𝑑r ≤ (1o × {𝑘})}
Assertion
Ref Expression
coe1mul2lem2 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑐𝐻 ↦ (𝑐‘∅)):𝐻1-1-onto→(0...𝑘))
Distinct variable groups:   𝐻,𝑐   𝑐,𝑑,𝑘
Allowed substitution hints:   𝐻(𝑘,𝑑)

Proof of Theorem coe1mul2lem2
StepHypRef Expression
1 df1o2 8420 . . . . 5 1o = {∅}
2 nn0ex 12424 . . . . 5 0 ∈ V
3 0ex 5265 . . . . 5 ∅ ∈ V
4 eqid 2733 . . . . 5 (𝑐 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑐‘∅)) = (𝑐 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑐‘∅))
51, 2, 3, 4mapsnf1o2 8835 . . . 4 (𝑐 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑐‘∅)):(ℕ0m 1o)–1-1-onto→ℕ0
6 f1of1 6784 . . . 4 ((𝑐 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑐‘∅)):(ℕ0m 1o)–1-1-onto→ℕ0 → (𝑐 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑐‘∅)):(ℕ0m 1o)–1-1→ℕ0)
75, 6ax-mp 5 . . 3 (𝑐 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑐‘∅)):(ℕ0m 1o)–1-1→ℕ0
8 coe1mul2lem2.h . . . . 5 𝐻 = {𝑑 ∈ (ℕ0m 1o) ∣ 𝑑r ≤ (1o × {𝑘})}
98ssrab3 4041 . . . 4 𝐻 ⊆ (ℕ0m 1o)
109a1i 11 . . 3 (𝑘 ∈ ℕ0𝐻 ⊆ (ℕ0m 1o))
11 f1ores 6799 . . 3 (((𝑐 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑐‘∅)):(ℕ0m 1o)–1-1→ℕ0𝐻 ⊆ (ℕ0m 1o)) → ((𝑐 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑐‘∅)) ↾ 𝐻):𝐻1-1-onto→((𝑐 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑐‘∅)) “ 𝐻))
127, 10, 11sylancr 588 . 2 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑐 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑐‘∅)) ↾ 𝐻):𝐻1-1-onto→((𝑐 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑐‘∅)) “ 𝐻))
13 coe1mul2lem1 21654 . . . . . . . . 9 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑑 ∈ (ℕ0m 1o)) → (𝑑r ≤ (1o × {𝑘}) ↔ (𝑑‘∅) ∈ (0...𝑘)))
1413rabbidva 3413 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ0 → {𝑑 ∈ (ℕ0m 1o) ∣ 𝑑r ≤ (1o × {𝑘})} = {𝑑 ∈ (ℕ0m 1o) ∣ (𝑑‘∅) ∈ (0...𝑘)})
15 fveq1 6842 . . . . . . . . . 10 (𝑐 = 𝑑 → (𝑐‘∅) = (𝑑‘∅))
1615eleq1d 2819 . . . . . . . . 9 (𝑐 = 𝑑 → ((𝑐‘∅) ∈ (0...𝑘) ↔ (𝑑‘∅) ∈ (0...𝑘)))
1716cbvrabv 3416 . . . . . . . 8 {𝑐 ∈ (ℕ0m 1o) ∣ (𝑐‘∅) ∈ (0...𝑘)} = {𝑑 ∈ (ℕ0m 1o) ∣ (𝑑‘∅) ∈ (0...𝑘)}
1814, 17eqtr4di 2791 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ0 → {𝑑 ∈ (ℕ0m 1o) ∣ 𝑑r ≤ (1o × {𝑘})} = {𝑐 ∈ (ℕ0m 1o) ∣ (𝑐‘∅) ∈ (0...𝑘)})
194mptpreima 6191 . . . . . . 7 ((𝑐 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑐‘∅)) “ (0...𝑘)) = {𝑐 ∈ (ℕ0m 1o) ∣ (𝑐‘∅) ∈ (0...𝑘)}
2018, 8, 193eqtr4g 2798 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ0𝐻 = ((𝑐 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑐‘∅)) “ (0...𝑘)))
2120imaeq2d 6014 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑐 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑐‘∅)) “ 𝐻) = ((𝑐 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑐‘∅)) “ ((𝑐 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑐‘∅)) “ (0...𝑘))))
22 f1ofo 6792 . . . . . . 7 ((𝑐 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑐‘∅)):(ℕ0m 1o)–1-1-onto→ℕ0 → (𝑐 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑐‘∅)):(ℕ0m 1o)–onto→ℕ0)
235, 22ax-mp 5 . . . . . 6 (𝑐 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑐‘∅)):(ℕ0m 1o)–onto→ℕ0
24 fz0ssnn0 13542 . . . . . 6 (0...𝑘) ⊆ ℕ0
25 foimacnv 6802 . . . . . 6 (((𝑐 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑐‘∅)):(ℕ0m 1o)–onto→ℕ0 ∧ (0...𝑘) ⊆ ℕ0) → ((𝑐 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑐‘∅)) “ ((𝑐 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑐‘∅)) “ (0...𝑘))) = (0...𝑘))
2623, 24, 25mp2an 691 . . . . 5 ((𝑐 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑐‘∅)) “ ((𝑐 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑐‘∅)) “ (0...𝑘))) = (0...𝑘)
2721, 26eqtrdi 2789 . . . 4 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑐 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑐‘∅)) “ 𝐻) = (0...𝑘))
2827f1oeq3d 6782 . . 3 (𝑘 ∈ ℕ0 → (((𝑐 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑐‘∅)) ↾ 𝐻):𝐻1-1-onto→((𝑐 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑐‘∅)) “ 𝐻) ↔ ((𝑐 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑐‘∅)) ↾ 𝐻):𝐻1-1-onto→(0...𝑘)))
29 resmpt 5992 . . . 4 (𝐻 ⊆ (ℕ0m 1o) → ((𝑐 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑐‘∅)) ↾ 𝐻) = (𝑐𝐻 ↦ (𝑐‘∅)))
30 f1oeq1 6773 . . . 4 (((𝑐 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑐‘∅)) ↾ 𝐻) = (𝑐𝐻 ↦ (𝑐‘∅)) → (((𝑐 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑐‘∅)) ↾ 𝐻):𝐻1-1-onto→(0...𝑘) ↔ (𝑐𝐻 ↦ (𝑐‘∅)):𝐻1-1-onto→(0...𝑘)))
3110, 29, 303syl 18 . . 3 (𝑘 ∈ ℕ0 → (((𝑐 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑐‘∅)) ↾ 𝐻):𝐻1-1-onto→(0...𝑘) ↔ (𝑐𝐻 ↦ (𝑐‘∅)):𝐻1-1-onto→(0...𝑘)))
3228, 31bitrd 279 . 2 (𝑘 ∈ ℕ0 → (((𝑐 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑐‘∅)) ↾ 𝐻):𝐻1-1-onto→((𝑐 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑐‘∅)) “ 𝐻) ↔ (𝑐𝐻 ↦ (𝑐‘∅)):𝐻1-1-onto→(0...𝑘)))
3312, 32mpbid 231 1 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑐𝐻 ↦ (𝑐‘∅)):𝐻1-1-onto→(0...𝑘))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205   = wceq 1542  wcel 2107  {crab 3406  wss 3911  c0 4283  {csn 4587   class class class wbr 5106  cmpt 5189   × cxp 5632  ccnv 5633  cres 5636  cima 5637  1-1wf1 6494  ontowfo 6495  1-1-ontowf1o 6496  cfv 6497  (class class class)co 7358  r cofr 7617  1oc1o 8406  m cmap 8768  0cc0 11056  cle 11195  0cn0 12418  ...cfz 13430
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-ofr 7619  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8651  df-map 8770  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-fz 13431
This theorem is referenced by:  coe1mul2  21656
  Copyright terms: Public domain W3C validator