Theorem coe1mul2lem2 22300

Description: An equivalence for coe1mul2 22301. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Mar-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
coe1mul2lem2.h	⊢ 𝐻 = {𝑑 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ 𝑑 ∘r ≤ (1o × {𝑘})}

Assertion

Ref	Expression
coe1mul2lem2	⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑐 ∈ 𝐻 ↦ (𝑐‘∅)):𝐻–1-1-onto→(0...𝑘))

Distinct variable groups:   𝐻,𝑐   𝑐,𝑑,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐻(𝑘,𝑑)

Proof of Theorem coe1mul2lem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df1o2 8428	. . . . 5 ⊢ 1o = {∅}
2		nn0ex 12473	. . . . 5 ⊢ ℕ0 ∈ V
3		0ex 5247	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ V
4		eqid 2752	. . . . 5 ⊢ (𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑐‘∅)) = (𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑐‘∅))
5	1, 2, 3, 4	mapsnf1o2 8861	. . . 4 ⊢ (𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑐‘∅)):(ℕ0 ↑m 1o)–1-1-onto→ℕ0
6		f1of1 6790	. . . 4 ⊢ ((𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑐‘∅)):(ℕ0 ↑m 1o)–1-1-onto→ℕ0 → (𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑐‘∅)):(ℕ0 ↑m 1o)–1-1→ℕ0)
7	5, 6	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑐‘∅)):(ℕ0 ↑m 1o)–1-1→ℕ0
8		coe1mul2lem2.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = {𝑑 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ 𝑑 ∘r ≤ (1o × {𝑘})}
9	8	ssrab3 4026	. . . 4 ⊢ 𝐻 ⊆ (ℕ0 ↑m 1o)
10	9	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 𝐻 ⊆ (ℕ0 ↑m 1o))
11		f1ores 6806	. . 3 ⊢ (((𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑐‘∅)):(ℕ0 ↑m 1o)–1-1→ℕ0 ∧ 𝐻 ⊆ (ℕ0 ↑m 1o)) → ((𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑐‘∅)) ↾ 𝐻):𝐻–1-1-onto→((𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑐‘∅)) “ 𝐻))
12	7, 10, 11	sylancr 595	. 2 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑐‘∅)) ↾ 𝐻):𝐻–1-1-onto→((𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑐‘∅)) “ 𝐻))
13		coe1mul2lem1 22299	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑑 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → (𝑑 ∘r ≤ (1o × {𝑘}) ↔ (𝑑‘∅) ∈ (0...𝑘)))
14	13	rabbidva 3410	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → {𝑑 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ 𝑑 ∘r ≤ (1o × {𝑘})} = {𝑑 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ (𝑑‘∅) ∈ (0...𝑘)})
15		fveq1 6851	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑐 = 𝑑 → (𝑐‘∅) = (𝑑‘∅))
16	15	eleq1d 2837	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑐 = 𝑑 → ((𝑐‘∅) ∈ (0...𝑘) ↔ (𝑑‘∅) ∈ (0...𝑘)))
17	16	cbvrabv 3414	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ (𝑐‘∅) ∈ (0...𝑘)} = {𝑑 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ (𝑑‘∅) ∈ (0...𝑘)}
18	14, 17	eqtr4di 2805	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → {𝑑 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ 𝑑 ∘r ≤ (1o × {𝑘})} = {𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ (𝑐‘∅) ∈ (0...𝑘)})
19	4	mptpreima 6210	. . . . . . 7 ⊢ (◡(𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑐‘∅)) “ (0...𝑘)) = {𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ (𝑐‘∅) ∈ (0...𝑘)}
20	18, 8, 19	3eqtr4g 2812	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 𝐻 = (◡(𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑐‘∅)) “ (0...𝑘)))
21	20	imaeq2d 6035	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑐‘∅)) “ 𝐻) = ((𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑐‘∅)) “ (◡(𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑐‘∅)) “ (0...𝑘))))
22		f1ofo 6799	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑐‘∅)):(ℕ0 ↑m 1o)–1-1-onto→ℕ0 → (𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑐‘∅)):(ℕ0 ↑m 1o)–onto→ℕ0)
23	5, 22	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑐‘∅)):(ℕ0 ↑m 1o)–onto→ℕ0
24		fz0ssnn0 13613	. . . . . 6 ⊢ (0...𝑘) ⊆ ℕ0
25		foimacnv 6809	. . . . . 6 ⊢ (((𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑐‘∅)):(ℕ0 ↑m 1o)–onto→ℕ0 ∧ (0...𝑘) ⊆ ℕ0) → ((𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑐‘∅)) “ (◡(𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑐‘∅)) “ (0...𝑘))) = (0...𝑘))
26	23, 24, 25	mp2an 700	. . . . 5 ⊢ ((𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑐‘∅)) “ (◡(𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑐‘∅)) “ (0...𝑘))) = (0...𝑘)
27	21, 26	eqtrdi 2803	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑐‘∅)) “ 𝐻) = (0...𝑘))
28	27	f1oeq3d 6788	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (((𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑐‘∅)) ↾ 𝐻):𝐻–1-1-onto→((𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑐‘∅)) “ 𝐻) ↔ ((𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑐‘∅)) ↾ 𝐻):𝐻–1-1-onto→(0...𝑘)))
29		resmpt 6012	. . . 4 ⊢ (𝐻 ⊆ (ℕ0 ↑m 1o) → ((𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑐‘∅)) ↾ 𝐻) = (𝑐 ∈ 𝐻 ↦ (𝑐‘∅)))
30		f1oeq1 6779	. . . 4 ⊢ (((𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑐‘∅)) ↾ 𝐻) = (𝑐 ∈ 𝐻 ↦ (𝑐‘∅)) → (((𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑐‘∅)) ↾ 𝐻):𝐻–1-1-onto→(0...𝑘) ↔ (𝑐 ∈ 𝐻 ↦ (𝑐‘∅)):𝐻–1-1-onto→(0...𝑘)))
31	10, 29, 30	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (((𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑐‘∅)) ↾ 𝐻):𝐻–1-1-onto→(0...𝑘) ↔ (𝑐 ∈ 𝐻 ↦ (𝑐‘∅)):𝐻–1-1-onto→(0...𝑘)))
32	28, 31	bitrd 281	. 2 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (((𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑐‘∅)) ↾ 𝐻):𝐻–1-1-onto→((𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑐‘∅)) “ 𝐻) ↔ (𝑐 ∈ 𝐻 ↦ (𝑐‘∅)):𝐻–1-1-onto→(0...𝑘)))
33	12, 32	mpbid 234	1 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑐 ∈ 𝐻 ↦ (𝑐‘∅)):𝐻–1-1-onto→(0...𝑘))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   = wceq 1550   ∈ wcel 2132  {crab 3404   ⊆ wss 3895  ∅c0 4276  {csn 4572   class class class wbr 5090   ↦ cmpt 5171   × cxp 5634  ^◡ccnv 5635   ↾ cres 5638   “ cima 5639  –1-1→wf1 6503  –onto→wfo 6504  –1-1-onto→wf1o 6505  ‘cfv 6506  (class class class)co 7381   ∘_r cofr 7644  1_oc1o 8414   ↑_m cmap 8792  0cc0 11059   ≤ cle 11203  ℕ₀cn0 12467  ...cfz 13498

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1805  ax-4 1819  ax-5 1920  ax-6 1977  ax-7 2018  ax-8 2134  ax-9 2142  ax-10 2165  ax-11 2181  ax-12 2202  ax-ext 2724  ax-rep 5217  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5312  ax-pr 5380  ax-un 7703  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1553  df-fal 1563  df-ex 1790  df-nf 1794  df-sb 2081  df-mo 2556  df-eu 2586  df-clab 2731  df-cleq 2744  df-clel 2827  df-nfc 2901  df-ne 2948  df-nel 3052  df-ral 3067  df-rex 3077  df-reu 3358  df-rab 3405  df-v 3446  df-sbc 3736  df-csb 3844  df-dif 3898  df-un 3900  df-in 3902  df-ss 3912  df-pss 3915  df-nul 4277  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4573  df-pr 4575  df-op 4579  df-uni 4856  df-iun 4941  df-br 5091  df-opab 5153  df-mpt 5172  df-tr 5198  df-id 5531  df-eprel 5536  df-po 5544  df-so 5545  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5642  df-rel 5643  df-cnv 5644  df-co 5645  df-dm 5646  df-rn 5647  df-res 5648  df-ima 5649  df-pred 6273  df-ord 6334  df-on 6335  df-lim 6336  df-suc 6337  df-iota 6462  df-fun 6508  df-fn 6509  df-f 6510  df-f1 6511  df-fo 6512  df-f1o 6513  df-fv 6514  df-riota 7338  df-ov 7384  df-oprab 7385  df-mpo 7386  df-ofr 7646  df-om 7832  df-1st 7955  df-2nd 7956  df-frecs 8246  df-wrecs 8277  df-recs 8326  df-rdg 8365  df-1o 8421  df-er 8662  df-map 8794  df-en 8913  df-dom 8914  df-sdom 8915  df-pnf 11204  df-mnf 11205  df-xr 11206  df-ltxr 11207  df-le 11208  df-sub 11402  df-neg 11403  df-nn 12197  df-n0 12468  df-z 12555  df-uz 12826  df-fz 13499

This theorem is referenced by:  coe1mul2  22301