MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coe1mul2lem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem coe1mul2lem2 20366
Description: An equivalence for coe1mul2 20367. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
coe1mul2lem2.h 𝐻 = {𝑑 ∈ (ℕ0m 1o) ∣ 𝑑r ≤ (1o × {𝑘})}
Assertion
Ref Expression
coe1mul2lem2 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑐𝐻 ↦ (𝑐‘∅)):𝐻1-1-onto→(0...𝑘))
Distinct variable groups:   𝐻,𝑐   𝑐,𝑑,𝑘
Allowed substitution hints:   𝐻(𝑘,𝑑)

Proof of Theorem coe1mul2lem2
StepHypRef Expression
1 df1o2 8107 . . . . 5 1o = {∅}
2 nn0ex 11892 . . . . 5 0 ∈ V
3 0ex 5203 . . . . 5 ∅ ∈ V
4 eqid 2821 . . . . 5 (𝑐 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑐‘∅)) = (𝑐 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑐‘∅))
51, 2, 3, 4mapsnf1o2 8447 . . . 4 (𝑐 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑐‘∅)):(ℕ0m 1o)–1-1-onto→ℕ0
6 f1of1 6608 . . . 4 ((𝑐 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑐‘∅)):(ℕ0m 1o)–1-1-onto→ℕ0 → (𝑐 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑐‘∅)):(ℕ0m 1o)–1-1→ℕ0)
75, 6ax-mp 5 . . 3 (𝑐 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑐‘∅)):(ℕ0m 1o)–1-1→ℕ0
8 coe1mul2lem2.h . . . . 5 𝐻 = {𝑑 ∈ (ℕ0m 1o) ∣ 𝑑r ≤ (1o × {𝑘})}
98ssrab3 4056 . . . 4 𝐻 ⊆ (ℕ0m 1o)
109a1i 11 . . 3 (𝑘 ∈ ℕ0𝐻 ⊆ (ℕ0m 1o))
11 f1ores 6623 . . 3 (((𝑐 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑐‘∅)):(ℕ0m 1o)–1-1→ℕ0𝐻 ⊆ (ℕ0m 1o)) → ((𝑐 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑐‘∅)) ↾ 𝐻):𝐻1-1-onto→((𝑐 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑐‘∅)) “ 𝐻))
127, 10, 11sylancr 587 . 2 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑐 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑐‘∅)) ↾ 𝐻):𝐻1-1-onto→((𝑐 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑐‘∅)) “ 𝐻))
13 coe1mul2lem1 20365 . . . . . . . . 9 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑑 ∈ (ℕ0m 1o)) → (𝑑r ≤ (1o × {𝑘}) ↔ (𝑑‘∅) ∈ (0...𝑘)))
1413rabbidva 3479 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ0 → {𝑑 ∈ (ℕ0m 1o) ∣ 𝑑r ≤ (1o × {𝑘})} = {𝑑 ∈ (ℕ0m 1o) ∣ (𝑑‘∅) ∈ (0...𝑘)})
15 fveq1 6663 . . . . . . . . . 10 (𝑐 = 𝑑 → (𝑐‘∅) = (𝑑‘∅))
1615eleq1d 2897 . . . . . . . . 9 (𝑐 = 𝑑 → ((𝑐‘∅) ∈ (0...𝑘) ↔ (𝑑‘∅) ∈ (0...𝑘)))
1716cbvrabv 3492 . . . . . . . 8 {𝑐 ∈ (ℕ0m 1o) ∣ (𝑐‘∅) ∈ (0...𝑘)} = {𝑑 ∈ (ℕ0m 1o) ∣ (𝑑‘∅) ∈ (0...𝑘)}
1814, 17syl6eqr 2874 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ0 → {𝑑 ∈ (ℕ0m 1o) ∣ 𝑑r ≤ (1o × {𝑘})} = {𝑐 ∈ (ℕ0m 1o) ∣ (𝑐‘∅) ∈ (0...𝑘)})
194mptpreima 6086 . . . . . . 7 ((𝑐 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑐‘∅)) “ (0...𝑘)) = {𝑐 ∈ (ℕ0m 1o) ∣ (𝑐‘∅) ∈ (0...𝑘)}
2018, 8, 193eqtr4g 2881 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ0𝐻 = ((𝑐 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑐‘∅)) “ (0...𝑘)))
2120imaeq2d 5923 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑐 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑐‘∅)) “ 𝐻) = ((𝑐 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑐‘∅)) “ ((𝑐 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑐‘∅)) “ (0...𝑘))))
22 f1ofo 6616 . . . . . . 7 ((𝑐 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑐‘∅)):(ℕ0m 1o)–1-1-onto→ℕ0 → (𝑐 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑐‘∅)):(ℕ0m 1o)–onto→ℕ0)
235, 22ax-mp 5 . . . . . 6 (𝑐 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑐‘∅)):(ℕ0m 1o)–onto→ℕ0
24 fz0ssnn0 12992 . . . . . 6 (0...𝑘) ⊆ ℕ0
25 foimacnv 6626 . . . . . 6 (((𝑐 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑐‘∅)):(ℕ0m 1o)–onto→ℕ0 ∧ (0...𝑘) ⊆ ℕ0) → ((𝑐 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑐‘∅)) “ ((𝑐 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑐‘∅)) “ (0...𝑘))) = (0...𝑘))
2623, 24, 25mp2an 688 . . . . 5 ((𝑐 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑐‘∅)) “ ((𝑐 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑐‘∅)) “ (0...𝑘))) = (0...𝑘)
2721, 26syl6eq 2872 . . . 4 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑐 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑐‘∅)) “ 𝐻) = (0...𝑘))
2827f1oeq3d 6606 . . 3 (𝑘 ∈ ℕ0 → (((𝑐 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑐‘∅)) ↾ 𝐻):𝐻1-1-onto→((𝑐 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑐‘∅)) “ 𝐻) ↔ ((𝑐 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑐‘∅)) ↾ 𝐻):𝐻1-1-onto→(0...𝑘)))
29 resmpt 5899 . . . 4 (𝐻 ⊆ (ℕ0m 1o) → ((𝑐 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑐‘∅)) ↾ 𝐻) = (𝑐𝐻 ↦ (𝑐‘∅)))
30 f1oeq1 6598 . . . 4 (((𝑐 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑐‘∅)) ↾ 𝐻) = (𝑐𝐻 ↦ (𝑐‘∅)) → (((𝑐 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑐‘∅)) ↾ 𝐻):𝐻1-1-onto→(0...𝑘) ↔ (𝑐𝐻 ↦ (𝑐‘∅)):𝐻1-1-onto→(0...𝑘)))
3110, 29, 303syl 18 . . 3 (𝑘 ∈ ℕ0 → (((𝑐 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑐‘∅)) ↾ 𝐻):𝐻1-1-onto→(0...𝑘) ↔ (𝑐𝐻 ↦ (𝑐‘∅)):𝐻1-1-onto→(0...𝑘)))
3228, 31bitrd 280 . 2 (𝑘 ∈ ℕ0 → (((𝑐 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑐‘∅)) ↾ 𝐻):𝐻1-1-onto→((𝑐 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑐‘∅)) “ 𝐻) ↔ (𝑐𝐻 ↦ (𝑐‘∅)):𝐻1-1-onto→(0...𝑘)))
3312, 32mpbid 233 1 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑐𝐻 ↦ (𝑐‘∅)):𝐻1-1-onto→(0...𝑘))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207   = wceq 1528  wcel 2105  {crab 3142  wss 3935  c0 4290  {csn 4559   class class class wbr 5058  cmpt 5138   × cxp 5547  ccnv 5548  cres 5551  cima 5552  1-1wf1 6346  ontowfo 6347  1-1-ontowf1o 6348  cfv 6349  (class class class)co 7145  r cofr 7397  1oc1o 8086  m cmap 8396  0cc0 10526  cle 10665  0cn0 11886  ...cfz 12882
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2793  ax-rep 5182  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7450  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4833  df-iun 4914  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-ofr 7399  df-om 7569  df-1st 7680  df-2nd 7681  df-wrecs 7938  df-recs 7999  df-rdg 8037  df-1o 8093  df-er 8279  df-map 8398  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11628  df-n0 11887  df-z 11971  df-uz 12233  df-fz 12883
This theorem is referenced by:  coe1mul2  20367
  Copyright terms: Public domain W3C validator