Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coe1mul2lem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem coe1mul2lem2 20904
 Description: An equivalence for coe1mul2 20905. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
coe1mul2lem2.h 𝐻 = {𝑑 ∈ (ℕ0m 1o) ∣ 𝑑r ≤ (1o × {𝑘})}
Assertion
Ref Expression
coe1mul2lem2 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑐𝐻 ↦ (𝑐‘∅)):𝐻1-1-onto→(0...𝑘))
Distinct variable groups:   𝐻,𝑐   𝑐,𝑑,𝑘
Allowed substitution hints:   𝐻(𝑘,𝑑)

Proof of Theorem coe1mul2lem2
StepHypRef Expression
1 df1o2 8112 . . . . 5 1o = {∅}
2 nn0ex 11900 . . . . 5 0 ∈ V
3 0ex 5197 . . . . 5 ∅ ∈ V
4 eqid 2824 . . . . 5 (𝑐 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑐‘∅)) = (𝑐 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑐‘∅))
51, 2, 3, 4mapsnf1o2 8454 . . . 4 (𝑐 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑐‘∅)):(ℕ0m 1o)–1-1-onto→ℕ0
6 f1of1 6605 . . . 4 ((𝑐 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑐‘∅)):(ℕ0m 1o)–1-1-onto→ℕ0 → (𝑐 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑐‘∅)):(ℕ0m 1o)–1-1→ℕ0)
75, 6ax-mp 5 . . 3 (𝑐 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑐‘∅)):(ℕ0m 1o)–1-1→ℕ0
8 coe1mul2lem2.h . . . . 5 𝐻 = {𝑑 ∈ (ℕ0m 1o) ∣ 𝑑r ≤ (1o × {𝑘})}
98ssrab3 4043 . . . 4 𝐻 ⊆ (ℕ0m 1o)
109a1i 11 . . 3 (𝑘 ∈ ℕ0𝐻 ⊆ (ℕ0m 1o))
11 f1ores 6620 . . 3 (((𝑐 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑐‘∅)):(ℕ0m 1o)–1-1→ℕ0𝐻 ⊆ (ℕ0m 1o)) → ((𝑐 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑐‘∅)) ↾ 𝐻):𝐻1-1-onto→((𝑐 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑐‘∅)) “ 𝐻))
127, 10, 11sylancr 590 . 2 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑐 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑐‘∅)) ↾ 𝐻):𝐻1-1-onto→((𝑐 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑐‘∅)) “ 𝐻))
13 coe1mul2lem1 20903 . . . . . . . . 9 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑑 ∈ (ℕ0m 1o)) → (𝑑r ≤ (1o × {𝑘}) ↔ (𝑑‘∅) ∈ (0...𝑘)))
1413rabbidva 3463 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ0 → {𝑑 ∈ (ℕ0m 1o) ∣ 𝑑r ≤ (1o × {𝑘})} = {𝑑 ∈ (ℕ0m 1o) ∣ (𝑑‘∅) ∈ (0...𝑘)})
15 fveq1 6660 . . . . . . . . . 10 (𝑐 = 𝑑 → (𝑐‘∅) = (𝑑‘∅))
1615eleq1d 2900 . . . . . . . . 9 (𝑐 = 𝑑 → ((𝑐‘∅) ∈ (0...𝑘) ↔ (𝑑‘∅) ∈ (0...𝑘)))
1716cbvrabv 3477 . . . . . . . 8 {𝑐 ∈ (ℕ0m 1o) ∣ (𝑐‘∅) ∈ (0...𝑘)} = {𝑑 ∈ (ℕ0m 1o) ∣ (𝑑‘∅) ∈ (0...𝑘)}
1814, 17syl6eqr 2877 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ0 → {𝑑 ∈ (ℕ0m 1o) ∣ 𝑑r ≤ (1o × {𝑘})} = {𝑐 ∈ (ℕ0m 1o) ∣ (𝑐‘∅) ∈ (0...𝑘)})
194mptpreima 6079 . . . . . . 7 ((𝑐 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑐‘∅)) “ (0...𝑘)) = {𝑐 ∈ (ℕ0m 1o) ∣ (𝑐‘∅) ∈ (0...𝑘)}
2018, 8, 193eqtr4g 2884 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ0𝐻 = ((𝑐 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑐‘∅)) “ (0...𝑘)))
2120imaeq2d 5916 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑐 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑐‘∅)) “ 𝐻) = ((𝑐 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑐‘∅)) “ ((𝑐 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑐‘∅)) “ (0...𝑘))))
22 f1ofo 6613 . . . . . . 7 ((𝑐 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑐‘∅)):(ℕ0m 1o)–1-1-onto→ℕ0 → (𝑐 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑐‘∅)):(ℕ0m 1o)–onto→ℕ0)
235, 22ax-mp 5 . . . . . 6 (𝑐 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑐‘∅)):(ℕ0m 1o)–onto→ℕ0
24 fz0ssnn0 13006 . . . . . 6 (0...𝑘) ⊆ ℕ0
25 foimacnv 6623 . . . . . 6 (((𝑐 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑐‘∅)):(ℕ0m 1o)–onto→ℕ0 ∧ (0...𝑘) ⊆ ℕ0) → ((𝑐 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑐‘∅)) “ ((𝑐 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑐‘∅)) “ (0...𝑘))) = (0...𝑘))
2623, 24, 25mp2an 691 . . . . 5 ((𝑐 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑐‘∅)) “ ((𝑐 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑐‘∅)) “ (0...𝑘))) = (0...𝑘)
2721, 26syl6eq 2875 . . . 4 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑐 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑐‘∅)) “ 𝐻) = (0...𝑘))
2827f1oeq3d 6603 . . 3 (𝑘 ∈ ℕ0 → (((𝑐 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑐‘∅)) ↾ 𝐻):𝐻1-1-onto→((𝑐 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑐‘∅)) “ 𝐻) ↔ ((𝑐 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑐‘∅)) ↾ 𝐻):𝐻1-1-onto→(0...𝑘)))
29 resmpt 5892 . . . 4 (𝐻 ⊆ (ℕ0m 1o) → ((𝑐 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑐‘∅)) ↾ 𝐻) = (𝑐𝐻 ↦ (𝑐‘∅)))
30 f1oeq1 6595 . . . 4 (((𝑐 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑐‘∅)) ↾ 𝐻) = (𝑐𝐻 ↦ (𝑐‘∅)) → (((𝑐 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑐‘∅)) ↾ 𝐻):𝐻1-1-onto→(0...𝑘) ↔ (𝑐𝐻 ↦ (𝑐‘∅)):𝐻1-1-onto→(0...𝑘)))
3110, 29, 303syl 18 . . 3 (𝑘 ∈ ℕ0 → (((𝑐 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑐‘∅)) ↾ 𝐻):𝐻1-1-onto→(0...𝑘) ↔ (𝑐𝐻 ↦ (𝑐‘∅)):𝐻1-1-onto→(0...𝑘)))
3228, 31bitrd 282 . 2 (𝑘 ∈ ℕ0 → (((𝑐 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑐‘∅)) ↾ 𝐻):𝐻1-1-onto→((𝑐 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑐‘∅)) “ 𝐻) ↔ (𝑐𝐻 ↦ (𝑐‘∅)):𝐻1-1-onto→(0...𝑘)))
3312, 32mpbid 235 1 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑐𝐻 ↦ (𝑐‘∅)):𝐻1-1-onto→(0...𝑘))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1538   ∈ wcel 2115  {crab 3137   ⊆ wss 3919  ∅c0 4276  {csn 4550   class class class wbr 5052   ↦ cmpt 5132   × cxp 5540  ◡ccnv 5541   ↾ cres 5544   “ cima 5545  –1-1→wf1 6340  –onto→wfo 6341  –1-1-onto→wf1o 6342  ‘cfv 6343  (class class class)co 7149   ∘r cofr 7402  1oc1o 8091   ↑m cmap 8402  0cc0 10535   ≤ cle 10674  ℕ0cn0 11894  ...cfz 12894 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-ofr 7404  df-om 7575  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-er 8285  df-map 8404  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-nn 11635  df-n0 11895  df-z 11979  df-uz 12241  df-fz 12895 This theorem is referenced by:  coe1mul2  20905
 Copyright terms: Public domain W3C validator