Theorem coe1mul2lem2 20436

Description: An equivalence for coe1mul2 20437. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Mar-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
coe1mul2lem2.h	⊢ 𝐻 = {𝑑 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ 𝑑 ∘r ≤ (1o × {𝑘})}

Assertion

Ref	Expression
coe1mul2lem2	⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑐 ∈ 𝐻 ↦ (𝑐‘∅)):𝐻–1-1-onto→(0...𝑘))

Distinct variable groups:   𝐻,𝑐   𝑐,𝑑,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐻(𝑘,𝑑)

Proof of Theorem coe1mul2lem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df1o2 8116	. . . . 5 ⊢ 1o = {∅}
2		nn0ex 11904	. . . . 5 ⊢ ℕ0 ∈ V
3		0ex 5211	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ V
4		eqid 2821	. . . . 5 ⊢ (𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑐‘∅)) = (𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑐‘∅))
5	1, 2, 3, 4	mapsnf1o2 8458	. . . 4 ⊢ (𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑐‘∅)):(ℕ0 ↑m 1o)–1-1-onto→ℕ0
6		f1of1 6614	. . . 4 ⊢ ((𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑐‘∅)):(ℕ0 ↑m 1o)–1-1-onto→ℕ0 → (𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑐‘∅)):(ℕ0 ↑m 1o)–1-1→ℕ0)
7	5, 6	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑐‘∅)):(ℕ0 ↑m 1o)–1-1→ℕ0
8		coe1mul2lem2.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = {𝑑 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ 𝑑 ∘r ≤ (1o × {𝑘})}
9	8	ssrab3 4057	. . . 4 ⊢ 𝐻 ⊆ (ℕ0 ↑m 1o)
10	9	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 𝐻 ⊆ (ℕ0 ↑m 1o))
11		f1ores 6629	. . 3 ⊢ (((𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑐‘∅)):(ℕ0 ↑m 1o)–1-1→ℕ0 ∧ 𝐻 ⊆ (ℕ0 ↑m 1o)) → ((𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑐‘∅)) ↾ 𝐻):𝐻–1-1-onto→((𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑐‘∅)) “ 𝐻))
12	7, 10, 11	sylancr 589	. 2 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑐‘∅)) ↾ 𝐻):𝐻–1-1-onto→((𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑐‘∅)) “ 𝐻))
13		coe1mul2lem1 20435	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑑 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → (𝑑 ∘r ≤ (1o × {𝑘}) ↔ (𝑑‘∅) ∈ (0...𝑘)))
14	13	rabbidva 3478	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → {𝑑 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ 𝑑 ∘r ≤ (1o × {𝑘})} = {𝑑 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ (𝑑‘∅) ∈ (0...𝑘)})
15		fveq1 6669	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑐 = 𝑑 → (𝑐‘∅) = (𝑑‘∅))
16	15	eleq1d 2897	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑐 = 𝑑 → ((𝑐‘∅) ∈ (0...𝑘) ↔ (𝑑‘∅) ∈ (0...𝑘)))
17	16	cbvrabv 3491	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ (𝑐‘∅) ∈ (0...𝑘)} = {𝑑 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ (𝑑‘∅) ∈ (0...𝑘)}
18	14, 17	syl6eqr 2874	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → {𝑑 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ 𝑑 ∘r ≤ (1o × {𝑘})} = {𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ (𝑐‘∅) ∈ (0...𝑘)})
19	4	mptpreima 6092	. . . . . . 7 ⊢ (◡(𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑐‘∅)) “ (0...𝑘)) = {𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ (𝑐‘∅) ∈ (0...𝑘)}
20	18, 8, 19	3eqtr4g 2881	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 𝐻 = (◡(𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑐‘∅)) “ (0...𝑘)))
21	20	imaeq2d 5929	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑐‘∅)) “ 𝐻) = ((𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑐‘∅)) “ (◡(𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑐‘∅)) “ (0...𝑘))))
22		f1ofo 6622	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑐‘∅)):(ℕ0 ↑m 1o)–1-1-onto→ℕ0 → (𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑐‘∅)):(ℕ0 ↑m 1o)–onto→ℕ0)
23	5, 22	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑐‘∅)):(ℕ0 ↑m 1o)–onto→ℕ0
24		fz0ssnn0 13003	. . . . . 6 ⊢ (0...𝑘) ⊆ ℕ0
25		foimacnv 6632	. . . . . 6 ⊢ (((𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑐‘∅)):(ℕ0 ↑m 1o)–onto→ℕ0 ∧ (0...𝑘) ⊆ ℕ0) → ((𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑐‘∅)) “ (◡(𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑐‘∅)) “ (0...𝑘))) = (0...𝑘))
26	23, 24, 25	mp2an 690	. . . . 5 ⊢ ((𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑐‘∅)) “ (◡(𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑐‘∅)) “ (0...𝑘))) = (0...𝑘)
27	21, 26	syl6eq 2872	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑐‘∅)) “ 𝐻) = (0...𝑘))
28	27	f1oeq3d 6612	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (((𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑐‘∅)) ↾ 𝐻):𝐻–1-1-onto→((𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑐‘∅)) “ 𝐻) ↔ ((𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑐‘∅)) ↾ 𝐻):𝐻–1-1-onto→(0...𝑘)))
29		resmpt 5905	. . . 4 ⊢ (𝐻 ⊆ (ℕ0 ↑m 1o) → ((𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑐‘∅)) ↾ 𝐻) = (𝑐 ∈ 𝐻 ↦ (𝑐‘∅)))
30		f1oeq1 6604	. . . 4 ⊢ (((𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑐‘∅)) ↾ 𝐻) = (𝑐 ∈ 𝐻 ↦ (𝑐‘∅)) → (((𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑐‘∅)) ↾ 𝐻):𝐻–1-1-onto→(0...𝑘) ↔ (𝑐 ∈ 𝐻 ↦ (𝑐‘∅)):𝐻–1-1-onto→(0...𝑘)))
31	10, 29, 30	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (((𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑐‘∅)) ↾ 𝐻):𝐻–1-1-onto→(0...𝑘) ↔ (𝑐 ∈ 𝐻 ↦ (𝑐‘∅)):𝐻–1-1-onto→(0...𝑘)))
32	28, 31	bitrd 281	. 2 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (((𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑐‘∅)) ↾ 𝐻):𝐻–1-1-onto→((𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑐‘∅)) “ 𝐻) ↔ (𝑐 ∈ 𝐻 ↦ (𝑐‘∅)):𝐻–1-1-onto→(0...𝑘)))
33	12, 32	mpbid 234	1 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑐 ∈ 𝐻 ↦ (𝑐‘∅)):𝐻–1-1-onto→(0...𝑘))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  {crab 3142   ⊆ wss 3936  ∅c0 4291  {csn 4567   class class class wbr 5066   ↦ cmpt 5146   × cxp 5553  ^◡ccnv 5554   ↾ cres 5557   “ cima 5558  –1-1→wf1 6352  –onto→wfo 6353  –1-1-onto→wf1o 6354  ‘cfv 6355  (class class class)co 7156   ∘_r cofr 7408  1_oc1o 8095   ↑_m cmap 8406  0cc0 10537   ≤ cle 10676  ℕ₀cn0 11898  ...cfz 12893

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-rep 5190  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-ofr 7410  df-om 7581  df-1st 7689  df-2nd 7690  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-1o 8102  df-er 8289  df-map 8408  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-nn 11639  df-n0 11899  df-z 11983  df-uz 12245  df-fz 12894

This theorem is referenced by:  coe1mul2  20437