Theorem coe1mul2lem2 22222

Description: An equivalence for coe1mul2 22223. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Mar-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
coe1mul2lem2.h	⊢ 𝐻 = {𝑑 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ 𝑑 ∘r ≤ (1o × {𝑘})}

Assertion

Ref	Expression
coe1mul2lem2	⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑐 ∈ 𝐻 ↦ (𝑐‘∅)):𝐻–1-1-onto→(0...𝑘))

Distinct variable groups:   𝐻,𝑐   𝑐,𝑑,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐻(𝑘,𝑑)

Proof of Theorem coe1mul2lem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df1o2 8414	. . . . 5 ⊢ 1o = {∅}
2		nn0ex 12419	. . . . 5 ⊢ ℕ0 ∈ V
3		0ex 5254	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ V
4		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑐‘∅)) = (𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑐‘∅))
5	1, 2, 3, 4	mapsnf1o2 8844	. . . 4 ⊢ (𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑐‘∅)):(ℕ0 ↑m 1o)–1-1-onto→ℕ0
6		f1of1 6781	. . . 4 ⊢ ((𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑐‘∅)):(ℕ0 ↑m 1o)–1-1-onto→ℕ0 → (𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑐‘∅)):(ℕ0 ↑m 1o)–1-1→ℕ0)
7	5, 6	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑐‘∅)):(ℕ0 ↑m 1o)–1-1→ℕ0
8		coe1mul2lem2.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = {𝑑 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ 𝑑 ∘r ≤ (1o × {𝑘})}
9	8	ssrab3 4036	. . . 4 ⊢ 𝐻 ⊆ (ℕ0 ↑m 1o)
10	9	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 𝐻 ⊆ (ℕ0 ↑m 1o))
11		f1ores 6796	. . 3 ⊢ (((𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑐‘∅)):(ℕ0 ↑m 1o)–1-1→ℕ0 ∧ 𝐻 ⊆ (ℕ0 ↑m 1o)) → ((𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑐‘∅)) ↾ 𝐻):𝐻–1-1-onto→((𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑐‘∅)) “ 𝐻))
12	7, 10, 11	sylancr 588	. 2 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑐‘∅)) ↾ 𝐻):𝐻–1-1-onto→((𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑐‘∅)) “ 𝐻))
13		coe1mul2lem1 22221	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑑 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → (𝑑 ∘r ≤ (1o × {𝑘}) ↔ (𝑑‘∅) ∈ (0...𝑘)))
14	13	rabbidva 3407	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → {𝑑 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ 𝑑 ∘r ≤ (1o × {𝑘})} = {𝑑 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ (𝑑‘∅) ∈ (0...𝑘)})
15		fveq1 6841	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑐 = 𝑑 → (𝑐‘∅) = (𝑑‘∅))
16	15	eleq1d 2822	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑐 = 𝑑 → ((𝑐‘∅) ∈ (0...𝑘) ↔ (𝑑‘∅) ∈ (0...𝑘)))
17	16	cbvrabv 3411	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ (𝑐‘∅) ∈ (0...𝑘)} = {𝑑 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ (𝑑‘∅) ∈ (0...𝑘)}
18	14, 17	eqtr4di 2790	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → {𝑑 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ 𝑑 ∘r ≤ (1o × {𝑘})} = {𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ (𝑐‘∅) ∈ (0...𝑘)})
19	4	mptpreima 6204	. . . . . . 7 ⊢ (◡(𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑐‘∅)) “ (0...𝑘)) = {𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ (𝑐‘∅) ∈ (0...𝑘)}
20	18, 8, 19	3eqtr4g 2797	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 𝐻 = (◡(𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑐‘∅)) “ (0...𝑘)))
21	20	imaeq2d 6027	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑐‘∅)) “ 𝐻) = ((𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑐‘∅)) “ (◡(𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑐‘∅)) “ (0...𝑘))))
22		f1ofo 6789	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑐‘∅)):(ℕ0 ↑m 1o)–1-1-onto→ℕ0 → (𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑐‘∅)):(ℕ0 ↑m 1o)–onto→ℕ0)
23	5, 22	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑐‘∅)):(ℕ0 ↑m 1o)–onto→ℕ0
24		fz0ssnn0 13550	. . . . . 6 ⊢ (0...𝑘) ⊆ ℕ0
25		foimacnv 6799	. . . . . 6 ⊢ (((𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑐‘∅)):(ℕ0 ↑m 1o)–onto→ℕ0 ∧ (0...𝑘) ⊆ ℕ0) → ((𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑐‘∅)) “ (◡(𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑐‘∅)) “ (0...𝑘))) = (0...𝑘))
26	23, 24, 25	mp2an 693	. . . . 5 ⊢ ((𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑐‘∅)) “ (◡(𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑐‘∅)) “ (0...𝑘))) = (0...𝑘)
27	21, 26	eqtrdi 2788	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑐‘∅)) “ 𝐻) = (0...𝑘))
28	27	f1oeq3d 6779	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (((𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑐‘∅)) ↾ 𝐻):𝐻–1-1-onto→((𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑐‘∅)) “ 𝐻) ↔ ((𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑐‘∅)) ↾ 𝐻):𝐻–1-1-onto→(0...𝑘)))
29		resmpt 6004	. . . 4 ⊢ (𝐻 ⊆ (ℕ0 ↑m 1o) → ((𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑐‘∅)) ↾ 𝐻) = (𝑐 ∈ 𝐻 ↦ (𝑐‘∅)))
30		f1oeq1 6770	. . . 4 ⊢ (((𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑐‘∅)) ↾ 𝐻) = (𝑐 ∈ 𝐻 ↦ (𝑐‘∅)) → (((𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑐‘∅)) ↾ 𝐻):𝐻–1-1-onto→(0...𝑘) ↔ (𝑐 ∈ 𝐻 ↦ (𝑐‘∅)):𝐻–1-1-onto→(0...𝑘)))
31	10, 29, 30	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (((𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑐‘∅)) ↾ 𝐻):𝐻–1-1-onto→(0...𝑘) ↔ (𝑐 ∈ 𝐻 ↦ (𝑐‘∅)):𝐻–1-1-onto→(0...𝑘)))
32	28, 31	bitrd 279	. 2 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (((𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑐‘∅)) ↾ 𝐻):𝐻–1-1-onto→((𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑐‘∅)) “ 𝐻) ↔ (𝑐 ∈ 𝐻 ↦ (𝑐‘∅)):𝐻–1-1-onto→(0...𝑘)))
33	12, 32	mpbid 232	1 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑐 ∈ 𝐻 ↦ (𝑐‘∅)):𝐻–1-1-onto→(0...𝑘))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {crab 3401   ⊆ wss 3903  ∅c0 4287  {csn 4582   class class class wbr 5100   ↦ cmpt 5181   × cxp 5630  ^◡ccnv 5631   ↾ cres 5634   “ cima 5635  –1-1→wf1 6497  –onto→wfo 6498  –1-1-onto→wf1o 6499  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368   ∘_r cofr 7631  1_oc1o 8400   ↑_m cmap 8775  0cc0 11038   ≤ cle 11179  ℕ₀cn0 12413  ...cfz 13435

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-ofr 7633  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-er 8645  df-map 8777  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-fz 13436

This theorem is referenced by:  coe1mul2  22223