Theorem coe1mul2lem2 21349

Description: An equivalence for coe1mul2 21350. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Mar-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
coe1mul2lem2.h	⊢ 𝐻 = {𝑑 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ 𝑑 ∘r ≤ (1o × {𝑘})}

Assertion

Ref	Expression
coe1mul2lem2	⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑐 ∈ 𝐻 ↦ (𝑐‘∅)):𝐻–1-1-onto→(0...𝑘))

Distinct variable groups:   𝐻,𝑐   𝑐,𝑑,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐻(𝑘,𝑑)

Proof of Theorem coe1mul2lem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df1o2 8279	. . . . 5 ⊢ 1o = {∅}
2		nn0ex 12169	. . . . 5 ⊢ ℕ0 ∈ V
3		0ex 5226	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ V
4		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑐‘∅)) = (𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑐‘∅))
5	1, 2, 3, 4	mapsnf1o2 8640	. . . 4 ⊢ (𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑐‘∅)):(ℕ0 ↑m 1o)–1-1-onto→ℕ0
6		f1of1 6699	. . . 4 ⊢ ((𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑐‘∅)):(ℕ0 ↑m 1o)–1-1-onto→ℕ0 → (𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑐‘∅)):(ℕ0 ↑m 1o)–1-1→ℕ0)
7	5, 6	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑐‘∅)):(ℕ0 ↑m 1o)–1-1→ℕ0
8		coe1mul2lem2.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = {𝑑 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ 𝑑 ∘r ≤ (1o × {𝑘})}
9	8	ssrab3 4011	. . . 4 ⊢ 𝐻 ⊆ (ℕ0 ↑m 1o)
10	9	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 𝐻 ⊆ (ℕ0 ↑m 1o))
11		f1ores 6714	. . 3 ⊢ (((𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑐‘∅)):(ℕ0 ↑m 1o)–1-1→ℕ0 ∧ 𝐻 ⊆ (ℕ0 ↑m 1o)) → ((𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑐‘∅)) ↾ 𝐻):𝐻–1-1-onto→((𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑐‘∅)) “ 𝐻))
12	7, 10, 11	sylancr 586	. 2 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑐‘∅)) ↾ 𝐻):𝐻–1-1-onto→((𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑐‘∅)) “ 𝐻))
13		coe1mul2lem1 21348	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑑 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → (𝑑 ∘r ≤ (1o × {𝑘}) ↔ (𝑑‘∅) ∈ (0...𝑘)))
14	13	rabbidva 3402	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → {𝑑 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ 𝑑 ∘r ≤ (1o × {𝑘})} = {𝑑 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ (𝑑‘∅) ∈ (0...𝑘)})
15		fveq1 6755	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑐 = 𝑑 → (𝑐‘∅) = (𝑑‘∅))
16	15	eleq1d 2823	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑐 = 𝑑 → ((𝑐‘∅) ∈ (0...𝑘) ↔ (𝑑‘∅) ∈ (0...𝑘)))
17	16	cbvrabv 3416	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ (𝑐‘∅) ∈ (0...𝑘)} = {𝑑 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ (𝑑‘∅) ∈ (0...𝑘)}
18	14, 17	eqtr4di 2797	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → {𝑑 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ 𝑑 ∘r ≤ (1o × {𝑘})} = {𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ (𝑐‘∅) ∈ (0...𝑘)})
19	4	mptpreima 6130	. . . . . . 7 ⊢ (◡(𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑐‘∅)) “ (0...𝑘)) = {𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ∣ (𝑐‘∅) ∈ (0...𝑘)}
20	18, 8, 19	3eqtr4g 2804	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 𝐻 = (◡(𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑐‘∅)) “ (0...𝑘)))
21	20	imaeq2d 5958	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑐‘∅)) “ 𝐻) = ((𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑐‘∅)) “ (◡(𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑐‘∅)) “ (0...𝑘))))
22		f1ofo 6707	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑐‘∅)):(ℕ0 ↑m 1o)–1-1-onto→ℕ0 → (𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑐‘∅)):(ℕ0 ↑m 1o)–onto→ℕ0)
23	5, 22	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑐‘∅)):(ℕ0 ↑m 1o)–onto→ℕ0
24		fz0ssnn0 13280	. . . . . 6 ⊢ (0...𝑘) ⊆ ℕ0
25		foimacnv 6717	. . . . . 6 ⊢ (((𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑐‘∅)):(ℕ0 ↑m 1o)–onto→ℕ0 ∧ (0...𝑘) ⊆ ℕ0) → ((𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑐‘∅)) “ (◡(𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑐‘∅)) “ (0...𝑘))) = (0...𝑘))
26	23, 24, 25	mp2an 688	. . . . 5 ⊢ ((𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑐‘∅)) “ (◡(𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑐‘∅)) “ (0...𝑘))) = (0...𝑘)
27	21, 26	eqtrdi 2795	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑐‘∅)) “ 𝐻) = (0...𝑘))
28	27	f1oeq3d 6697	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (((𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑐‘∅)) ↾ 𝐻):𝐻–1-1-onto→((𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑐‘∅)) “ 𝐻) ↔ ((𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑐‘∅)) ↾ 𝐻):𝐻–1-1-onto→(0...𝑘)))
29		resmpt 5934	. . . 4 ⊢ (𝐻 ⊆ (ℕ0 ↑m 1o) → ((𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑐‘∅)) ↾ 𝐻) = (𝑐 ∈ 𝐻 ↦ (𝑐‘∅)))
30		f1oeq1 6688	. . . 4 ⊢ (((𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑐‘∅)) ↾ 𝐻) = (𝑐 ∈ 𝐻 ↦ (𝑐‘∅)) → (((𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑐‘∅)) ↾ 𝐻):𝐻–1-1-onto→(0...𝑘) ↔ (𝑐 ∈ 𝐻 ↦ (𝑐‘∅)):𝐻–1-1-onto→(0...𝑘)))
31	10, 29, 30	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (((𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑐‘∅)) ↾ 𝐻):𝐻–1-1-onto→(0...𝑘) ↔ (𝑐 ∈ 𝐻 ↦ (𝑐‘∅)):𝐻–1-1-onto→(0...𝑘)))
32	28, 31	bitrd 278	. 2 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (((𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑐‘∅)) ↾ 𝐻):𝐻–1-1-onto→((𝑐 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) ↦ (𝑐‘∅)) “ 𝐻) ↔ (𝑐 ∈ 𝐻 ↦ (𝑐‘∅)):𝐻–1-1-onto→(0...𝑘)))
33	12, 32	mpbid 231	1 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑐 ∈ 𝐻 ↦ (𝑐‘∅)):𝐻–1-1-onto→(0...𝑘))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  {crab 3067   ⊆ wss 3883  ∅c0 4253  {csn 4558   class class class wbr 5070   ↦ cmpt 5153   × cxp 5578  ^◡ccnv 5579   ↾ cres 5582   “ cima 5583  –1-1→wf1 6415  –onto→wfo 6416  –1-1-onto→wf1o 6417  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255   ∘_r cofr 7510  1_oc1o 8260   ↑_m cmap 8573  0cc0 10802   ≤ cle 10941  ℕ₀cn0 12163  ...cfz 13168

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-ofr 7512  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-map 8575  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-fz 13169

This theorem is referenced by:  coe1mul2  21350