MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coe1mul2lem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem coe1mul2lem2 21789
Description: An equivalence for coe1mul2 21790. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
coe1mul2lem2.h 𝐻 = {𝑑 ∈ (ℕ0m 1o) ∣ 𝑑r ≤ (1o × {𝑘})}
Assertion
Ref Expression
coe1mul2lem2 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑐𝐻 ↦ (𝑐‘∅)):𝐻1-1-onto→(0...𝑘))
Distinct variable groups:   𝐻,𝑐   𝑐,𝑑,𝑘
Allowed substitution hints:   𝐻(𝑘,𝑑)

Proof of Theorem coe1mul2lem2
StepHypRef Expression
1 df1o2 8472 . . . . 5 1o = {∅}
2 nn0ex 12477 . . . . 5 0 ∈ V
3 0ex 5307 . . . . 5 ∅ ∈ V
4 eqid 2732 . . . . 5 (𝑐 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑐‘∅)) = (𝑐 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑐‘∅))
51, 2, 3, 4mapsnf1o2 8887 . . . 4 (𝑐 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑐‘∅)):(ℕ0m 1o)–1-1-onto→ℕ0
6 f1of1 6832 . . . 4 ((𝑐 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑐‘∅)):(ℕ0m 1o)–1-1-onto→ℕ0 → (𝑐 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑐‘∅)):(ℕ0m 1o)–1-1→ℕ0)
75, 6ax-mp 5 . . 3 (𝑐 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑐‘∅)):(ℕ0m 1o)–1-1→ℕ0
8 coe1mul2lem2.h . . . . 5 𝐻 = {𝑑 ∈ (ℕ0m 1o) ∣ 𝑑r ≤ (1o × {𝑘})}
98ssrab3 4080 . . . 4 𝐻 ⊆ (ℕ0m 1o)
109a1i 11 . . 3 (𝑘 ∈ ℕ0𝐻 ⊆ (ℕ0m 1o))
11 f1ores 6847 . . 3 (((𝑐 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑐‘∅)):(ℕ0m 1o)–1-1→ℕ0𝐻 ⊆ (ℕ0m 1o)) → ((𝑐 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑐‘∅)) ↾ 𝐻):𝐻1-1-onto→((𝑐 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑐‘∅)) “ 𝐻))
127, 10, 11sylancr 587 . 2 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑐 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑐‘∅)) ↾ 𝐻):𝐻1-1-onto→((𝑐 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑐‘∅)) “ 𝐻))
13 coe1mul2lem1 21788 . . . . . . . . 9 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑑 ∈ (ℕ0m 1o)) → (𝑑r ≤ (1o × {𝑘}) ↔ (𝑑‘∅) ∈ (0...𝑘)))
1413rabbidva 3439 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ0 → {𝑑 ∈ (ℕ0m 1o) ∣ 𝑑r ≤ (1o × {𝑘})} = {𝑑 ∈ (ℕ0m 1o) ∣ (𝑑‘∅) ∈ (0...𝑘)})
15 fveq1 6890 . . . . . . . . . 10 (𝑐 = 𝑑 → (𝑐‘∅) = (𝑑‘∅))
1615eleq1d 2818 . . . . . . . . 9 (𝑐 = 𝑑 → ((𝑐‘∅) ∈ (0...𝑘) ↔ (𝑑‘∅) ∈ (0...𝑘)))
1716cbvrabv 3442 . . . . . . . 8 {𝑐 ∈ (ℕ0m 1o) ∣ (𝑐‘∅) ∈ (0...𝑘)} = {𝑑 ∈ (ℕ0m 1o) ∣ (𝑑‘∅) ∈ (0...𝑘)}
1814, 17eqtr4di 2790 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ0 → {𝑑 ∈ (ℕ0m 1o) ∣ 𝑑r ≤ (1o × {𝑘})} = {𝑐 ∈ (ℕ0m 1o) ∣ (𝑐‘∅) ∈ (0...𝑘)})
194mptpreima 6237 . . . . . . 7 ((𝑐 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑐‘∅)) “ (0...𝑘)) = {𝑐 ∈ (ℕ0m 1o) ∣ (𝑐‘∅) ∈ (0...𝑘)}
2018, 8, 193eqtr4g 2797 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ0𝐻 = ((𝑐 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑐‘∅)) “ (0...𝑘)))
2120imaeq2d 6059 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑐 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑐‘∅)) “ 𝐻) = ((𝑐 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑐‘∅)) “ ((𝑐 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑐‘∅)) “ (0...𝑘))))
22 f1ofo 6840 . . . . . . 7 ((𝑐 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑐‘∅)):(ℕ0m 1o)–1-1-onto→ℕ0 → (𝑐 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑐‘∅)):(ℕ0m 1o)–onto→ℕ0)
235, 22ax-mp 5 . . . . . 6 (𝑐 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑐‘∅)):(ℕ0m 1o)–onto→ℕ0
24 fz0ssnn0 13595 . . . . . 6 (0...𝑘) ⊆ ℕ0
25 foimacnv 6850 . . . . . 6 (((𝑐 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑐‘∅)):(ℕ0m 1o)–onto→ℕ0 ∧ (0...𝑘) ⊆ ℕ0) → ((𝑐 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑐‘∅)) “ ((𝑐 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑐‘∅)) “ (0...𝑘))) = (0...𝑘))
2623, 24, 25mp2an 690 . . . . 5 ((𝑐 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑐‘∅)) “ ((𝑐 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑐‘∅)) “ (0...𝑘))) = (0...𝑘)
2721, 26eqtrdi 2788 . . . 4 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑐 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑐‘∅)) “ 𝐻) = (0...𝑘))
2827f1oeq3d 6830 . . 3 (𝑘 ∈ ℕ0 → (((𝑐 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑐‘∅)) ↾ 𝐻):𝐻1-1-onto→((𝑐 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑐‘∅)) “ 𝐻) ↔ ((𝑐 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑐‘∅)) ↾ 𝐻):𝐻1-1-onto→(0...𝑘)))
29 resmpt 6037 . . . 4 (𝐻 ⊆ (ℕ0m 1o) → ((𝑐 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑐‘∅)) ↾ 𝐻) = (𝑐𝐻 ↦ (𝑐‘∅)))
30 f1oeq1 6821 . . . 4 (((𝑐 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑐‘∅)) ↾ 𝐻) = (𝑐𝐻 ↦ (𝑐‘∅)) → (((𝑐 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑐‘∅)) ↾ 𝐻):𝐻1-1-onto→(0...𝑘) ↔ (𝑐𝐻 ↦ (𝑐‘∅)):𝐻1-1-onto→(0...𝑘)))
3110, 29, 303syl 18 . . 3 (𝑘 ∈ ℕ0 → (((𝑐 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑐‘∅)) ↾ 𝐻):𝐻1-1-onto→(0...𝑘) ↔ (𝑐𝐻 ↦ (𝑐‘∅)):𝐻1-1-onto→(0...𝑘)))
3228, 31bitrd 278 . 2 (𝑘 ∈ ℕ0 → (((𝑐 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑐‘∅)) ↾ 𝐻):𝐻1-1-onto→((𝑐 ∈ (ℕ0m 1o) ↦ (𝑐‘∅)) “ 𝐻) ↔ (𝑐𝐻 ↦ (𝑐‘∅)):𝐻1-1-onto→(0...𝑘)))
3312, 32mpbid 231 1 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑐𝐻 ↦ (𝑐‘∅)):𝐻1-1-onto→(0...𝑘))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205   = wceq 1541  wcel 2106  {crab 3432  wss 3948  c0 4322  {csn 4628   class class class wbr 5148  cmpt 5231   × cxp 5674  ccnv 5675  cres 5678  cima 5679  1-1wf1 6540  ontowfo 6541  1-1-ontowf1o 6542  cfv 6543  (class class class)co 7408  r cofr 7668  1oc1o 8458  m cmap 8819  0cc0 11109  cle 11248  0cn0 12471  ...cfz 13483
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-ofr 7670  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-fz 13484
This theorem is referenced by:  coe1mul2  21790
  Copyright terms: Public domain W3C validator