Theorem adjbd1o 32418

Description: The mapping of adjoints of bounded linear operators is one-to-one onto. (Contributed by NM, 19-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
adjbd1o	⊢ (adjℎ ↾ BndLinOp):BndLinOp–1-1-onto→BndLinOp

Proof of Theorem adjbd1o

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		adj1o 32227	. . . 4 ⊢ adjℎ:dom adjℎ–1-1-onto→dom adjℎ
2		f1of1 6821	. . . 4 ⊢ (adjℎ:dom adjℎ–1-1-onto→dom adjℎ → adjℎ:dom adjℎ–1-1→dom adjℎ)
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ adjℎ:dom adjℎ–1-1→dom adjℎ
4		bdopssadj 32414	. . 3 ⊢ BndLinOp ⊆ dom adjℎ
5		f1ores 6837	. . 3 ⊢ ((adjℎ:dom adjℎ–1-1→dom adjℎ ∧ BndLinOp ⊆ dom adjℎ) → (adjℎ ↾ BndLinOp):BndLinOp–1-1-onto→(adjℎ “ BndLinOp))
6	3, 4, 5	mp2an 704	. 2 ⊢ (adjℎ ↾ BndLinOp):BndLinOp–1-1-onto→(adjℎ “ BndLinOp)
7		vex 3459	. . . . . 6 ⊢ 𝑦 ∈ V
8	7	elima 6069	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ (adjℎ “ BndLinOp) ↔ ∃𝑥 ∈ BndLinOp 𝑥adjℎ𝑦)
9		f1ofn 6823	. . . . . . . 8 ⊢ (adjℎ:dom adjℎ–1-1-onto→dom adjℎ → adjℎ Fn dom adjℎ)
10	1, 9	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ adjℎ Fn dom adjℎ
11		bdopadj 32415	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ BndLinOp → 𝑥 ∈ dom adjℎ)
12		fnbrfvb 6933	. . . . . . 7 ⊢ ((adjℎ Fn dom adjℎ ∧ 𝑥 ∈ dom adjℎ) → ((adjℎ‘𝑥) = 𝑦 ↔ 𝑥adjℎ𝑦))
13	10, 11, 12	sylancr 598	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ BndLinOp → ((adjℎ‘𝑥) = 𝑦 ↔ 𝑥adjℎ𝑦))
14	13	rexbiia 3110	. . . . 5 ⊢ (∃𝑥 ∈ BndLinOp (adjℎ‘𝑥) = 𝑦 ↔ ∃𝑥 ∈ BndLinOp 𝑥adjℎ𝑦)
15		adjbdlnb 32417	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ BndLinOp ↔ (adjℎ‘𝑥) ∈ BndLinOp)
16		eleq1 2851	. . . . . . . . 9 ⊢ ((adjℎ‘𝑥) = 𝑦 → ((adjℎ‘𝑥) ∈ BndLinOp ↔ 𝑦 ∈ BndLinOp))
17	15, 16	bitrid 286	. . . . . . . 8 ⊢ ((adjℎ‘𝑥) = 𝑦 → (𝑥 ∈ BndLinOp ↔ 𝑦 ∈ BndLinOp))
18	17	biimpcd 252	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ BndLinOp → ((adjℎ‘𝑥) = 𝑦 → 𝑦 ∈ BndLinOp))
19	18	rexlimiv 3159	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑥 ∈ BndLinOp (adjℎ‘𝑥) = 𝑦 → 𝑦 ∈ BndLinOp)
20		adjbdln 32416	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ BndLinOp → (adjℎ‘𝑦) ∈ BndLinOp)
21		bdopadj 32415	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ BndLinOp → 𝑦 ∈ dom adjℎ)
22		adjadj 32269	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ dom adjℎ → (adjℎ‘(adjℎ‘𝑦)) = 𝑦)
23	21, 22	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ BndLinOp → (adjℎ‘(adjℎ‘𝑦)) = 𝑦)
24		fveqeq2 6892	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (adjℎ‘𝑦) → ((adjℎ‘𝑥) = 𝑦 ↔ (adjℎ‘(adjℎ‘𝑦)) = 𝑦))
25	24	rspcev 3582	. . . . . . 7 ⊢ (((adjℎ‘𝑦) ∈ BndLinOp ∧ (adjℎ‘(adjℎ‘𝑦)) = 𝑦) → ∃𝑥 ∈ BndLinOp (adjℎ‘𝑥) = 𝑦)
26	20, 23, 25	syl2anc 595	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ BndLinOp → ∃𝑥 ∈ BndLinOp (adjℎ‘𝑥) = 𝑦)
27	19, 26	impbii 212	. . . . 5 ⊢ (∃𝑥 ∈ BndLinOp (adjℎ‘𝑥) = 𝑦 ↔ 𝑦 ∈ BndLinOp)
28	8, 14, 27	3bitr2i 302	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ (adjℎ “ BndLinOp) ↔ 𝑦 ∈ BndLinOp)
29	28	eqriv 2760	. . 3 ⊢ (adjℎ “ BndLinOp) = BndLinOp
30		f1oeq3 6812	. . 3 ⊢ ((adjℎ “ BndLinOp) = BndLinOp → ((adjℎ ↾ BndLinOp):BndLinOp–1-1-onto→(adjℎ “ BndLinOp) ↔ (adjℎ ↾ BndLinOp):BndLinOp–1-1-onto→BndLinOp))
31	29, 30	ax-mp 5	. 2 ⊢ ((adjℎ ↾ BndLinOp):BndLinOp–1-1-onto→(adjℎ “ BndLinOp) ↔ (adjℎ ↾ BndLinOp):BndLinOp–1-1-onto→BndLinOp)
32	6, 31	mpbi 233	1 ⊢ (adjℎ ↾ BndLinOp):BndLinOp–1-1-onto→BndLinOp

Syntax hints:   ↔ wb 209   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ∃wrex 3089   ⊆ wss 3906   class class class wbr 5110  dom cdm 5663   ↾ cres 5665   “ cima 5666   Fn wfn 6533  –1-1→wf1 6535  –1-1-onto→wf1o 6537  ‘cfv 6538  BndLinOpcbo 31281  adj_ℎcado 31288

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-inf2 9611  ax-cc 10420  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178  ax-pre-sup 11179  ax-addf 11180  ax-mulf 11181  ax-hilex 31332  ax-hfvadd 31333  ax-hvcom 31334  ax-hvass 31335  ax-hv0cl 31336  ax-hvaddid 31337  ax-hfvmul 31338  ax-hvmulid 31339  ax-hvmulass 31340  ax-hvdistr1 31341  ax-hvdistr2 31342  ax-hvmul0 31343  ax-hfi 31412  ax-his1 31415  ax-his2 31416  ax-his3 31417  ax-his4 31418  ax-hcompl 31535

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-iin 4960  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7676  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8158  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-1o 8454  df-2o 8455  df-oadd 8458  df-omul 8459  df-er 8695  df-map 8827  df-pm 8828  df-ixp 8897  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-fin 8948  df-fsupp 9323  df-fi 9372  df-sup 9403  df-inf 9404  df-oi 9473  df-card 9926  df-acn 9929  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-div 11873  df-nn 12235  df-2 12304  df-3 12305  df-4 12306  df-5 12307  df-6 12308  df-7 12309  df-8 12310  df-9 12311  df-n0 12506  df-z 12593  df-dec 12713  df-uz 12864  df-q 12974  df-rp 13018  df-xneg 13138  df-xadd 13139  df-xmul 13140  df-ioo 13377  df-ico 13379  df-icc 13380  df-fz 13537  df-fzo 13685  df-fl 13827  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14369  df-cj 15152  df-re 15153  df-im 15154  df-sqrt 15288  df-abs 15289  df-clim 15541  df-rlim 15542  df-sum 15740  df-struct 17208  df-sets 17225  df-slot 17243  df-ndx 17255  df-base 17271  df-ress 17292  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-starv 17326  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-ip 17329  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ds 17333  df-unif 17334  df-hom 17335  df-cco 17336  df-rest 17476  df-topn 17477  df-0g 17495  df-gsum 17496  df-topgen 17497  df-pt 17498  df-prds 17501  df-xrs 17557  df-qtop 17562  df-imas 17563  df-xps 17565  df-mre 17639  df-mrc 17640  df-acs 17642  df-mgm 18699  df-sgrp 18778  df-mnd 18794  df-submnd 18843  df-mulg 19135  df-cntz 19388  df-cmn 19853  df-psmet 21495  df-xmet 21496  df-met 21497  df-bl 21498  df-mopn 21499  df-fbas 21500  df-fg 21501  df-cnfld 21504  df-top 23032  df-topon 23049  df-topsp 23071  df-bases 23084  df-cld 23157  df-ntr 23158  df-cls 23159  df-nei 23236  df-cn 23365  df-cnp 23366  df-lm 23367  df-t1 23452  df-haus 23453  df-tx 23700  df-hmeo 23893  df-fil 23984  df-fm 24076  df-flim 24077  df-flf 24078  df-xms 24458  df-ms 24459  df-tms 24460  df-cfil 25395  df-cau 25396  df-cmet 25397  df-grpo 30826  df-gid 30827  df-ginv 30828  df-gdiv 30829  df-ablo 30878  df-vc 30892  df-nv 30925  df-va 30928  df-ba 30929  df-sm 30930  df-0v 30931  df-vs 30932  df-nmcv 30933  df-ims 30934  df-dip 31034  df-ssp 31055  df-ph 31146  df-cbn 31196  df-hnorm 31301  df-hba 31302  df-hvsub 31304  df-hlim 31305  df-hcau 31306  df-sh 31540  df-ch 31554  df-oc 31585  df-ch0 31586  df-shs 31641  df-pjh 31728  df-h0op 32081  df-nmop 32172  df-cnop 32173  df-lnop 32174  df-bdop 32175  df-unop 32176  df-hmop 32177  df-nmfn 32178  df-nlfn 32179  df-cnfn 32180  df-lnfn 32181  df-adjh 32182

This theorem is referenced by: (None)