Theorem adjbd1o 32160

Description: The mapping of adjoints of bounded linear operators is one-to-one onto. (Contributed by NM, 19-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
adjbd1o	⊢ (adjℎ ↾ BndLinOp):BndLinOp–1-1-onto→BndLinOp

Proof of Theorem adjbd1o

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		adj1o 31969	. . . 4 ⊢ adjℎ:dom adjℎ–1-1-onto→dom adjℎ
2		f1of1 6773	. . . 4 ⊢ (adjℎ:dom adjℎ–1-1-onto→dom adjℎ → adjℎ:dom adjℎ–1-1→dom adjℎ)
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ adjℎ:dom adjℎ–1-1→dom adjℎ
4		bdopssadj 32156	. . 3 ⊢ BndLinOp ⊆ dom adjℎ
5		f1ores 6788	. . 3 ⊢ ((adjℎ:dom adjℎ–1-1→dom adjℎ ∧ BndLinOp ⊆ dom adjℎ) → (adjℎ ↾ BndLinOp):BndLinOp–1-1-onto→(adjℎ “ BndLinOp))
6	3, 4, 5	mp2an 692	. 2 ⊢ (adjℎ ↾ BndLinOp):BndLinOp–1-1-onto→(adjℎ “ BndLinOp)
7		vex 3444	. . . . . 6 ⊢ 𝑦 ∈ V
8	7	elima 6024	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ (adjℎ “ BndLinOp) ↔ ∃𝑥 ∈ BndLinOp 𝑥adjℎ𝑦)
9		f1ofn 6775	. . . . . . . 8 ⊢ (adjℎ:dom adjℎ–1-1-onto→dom adjℎ → adjℎ Fn dom adjℎ)
10	1, 9	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ adjℎ Fn dom adjℎ
11		bdopadj 32157	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ BndLinOp → 𝑥 ∈ dom adjℎ)
12		fnbrfvb 6884	. . . . . . 7 ⊢ ((adjℎ Fn dom adjℎ ∧ 𝑥 ∈ dom adjℎ) → ((adjℎ‘𝑥) = 𝑦 ↔ 𝑥adjℎ𝑦))
13	10, 11, 12	sylancr 587	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ BndLinOp → ((adjℎ‘𝑥) = 𝑦 ↔ 𝑥adjℎ𝑦))
14	13	rexbiia 3081	. . . . 5 ⊢ (∃𝑥 ∈ BndLinOp (adjℎ‘𝑥) = 𝑦 ↔ ∃𝑥 ∈ BndLinOp 𝑥adjℎ𝑦)
15		adjbdlnb 32159	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ BndLinOp ↔ (adjℎ‘𝑥) ∈ BndLinOp)
16		eleq1 2824	. . . . . . . . 9 ⊢ ((adjℎ‘𝑥) = 𝑦 → ((adjℎ‘𝑥) ∈ BndLinOp ↔ 𝑦 ∈ BndLinOp))
17	15, 16	bitrid 283	. . . . . . . 8 ⊢ ((adjℎ‘𝑥) = 𝑦 → (𝑥 ∈ BndLinOp ↔ 𝑦 ∈ BndLinOp))
18	17	biimpcd 249	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ BndLinOp → ((adjℎ‘𝑥) = 𝑦 → 𝑦 ∈ BndLinOp))
19	18	rexlimiv 3130	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑥 ∈ BndLinOp (adjℎ‘𝑥) = 𝑦 → 𝑦 ∈ BndLinOp)
20		adjbdln 32158	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ BndLinOp → (adjℎ‘𝑦) ∈ BndLinOp)
21		bdopadj 32157	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ BndLinOp → 𝑦 ∈ dom adjℎ)
22		adjadj 32011	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ dom adjℎ → (adjℎ‘(adjℎ‘𝑦)) = 𝑦)
23	21, 22	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ BndLinOp → (adjℎ‘(adjℎ‘𝑦)) = 𝑦)
24		fveqeq2 6843	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (adjℎ‘𝑦) → ((adjℎ‘𝑥) = 𝑦 ↔ (adjℎ‘(adjℎ‘𝑦)) = 𝑦))
25	24	rspcev 3576	. . . . . . 7 ⊢ (((adjℎ‘𝑦) ∈ BndLinOp ∧ (adjℎ‘(adjℎ‘𝑦)) = 𝑦) → ∃𝑥 ∈ BndLinOp (adjℎ‘𝑥) = 𝑦)
26	20, 23, 25	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ BndLinOp → ∃𝑥 ∈ BndLinOp (adjℎ‘𝑥) = 𝑦)
27	19, 26	impbii 209	. . . . 5 ⊢ (∃𝑥 ∈ BndLinOp (adjℎ‘𝑥) = 𝑦 ↔ 𝑦 ∈ BndLinOp)
28	8, 14, 27	3bitr2i 299	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ (adjℎ “ BndLinOp) ↔ 𝑦 ∈ BndLinOp)
29	28	eqriv 2733	. . 3 ⊢ (adjℎ “ BndLinOp) = BndLinOp
30		f1oeq3 6764	. . 3 ⊢ ((adjℎ “ BndLinOp) = BndLinOp → ((adjℎ ↾ BndLinOp):BndLinOp–1-1-onto→(adjℎ “ BndLinOp) ↔ (adjℎ ↾ BndLinOp):BndLinOp–1-1-onto→BndLinOp))
31	29, 30	ax-mp 5	. 2 ⊢ ((adjℎ ↾ BndLinOp):BndLinOp–1-1-onto→(adjℎ “ BndLinOp) ↔ (adjℎ ↾ BndLinOp):BndLinOp–1-1-onto→BndLinOp)
32	6, 31	mpbi 230	1 ⊢ (adjℎ ↾ BndLinOp):BndLinOp–1-1-onto→BndLinOp

Syntax hints:   ↔ wb 206   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∃wrex 3060   ⊆ wss 3901   class class class wbr 5098  dom cdm 5624   ↾ cres 5626   “ cima 5627   Fn wfn 6487  –1-1→wf1 6489  –1-1-onto→wf1o 6491  ‘cfv 6492  BndLinOpcbo 31023  adj_ℎcado 31030

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-inf2 9550  ax-cc 10345  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103  ax-pre-sup 11104  ax-addf 11105  ax-mulf 11106  ax-hilex 31074  ax-hfvadd 31075  ax-hvcom 31076  ax-hvass 31077  ax-hv0cl 31078  ax-hvaddid 31079  ax-hfvmul 31080  ax-hvmulid 31081  ax-hvmulass 31082  ax-hvdistr1 31083  ax-hvdistr2 31084  ax-hvmul0 31085  ax-hfi 31154  ax-his1 31157  ax-his2 31158  ax-his3 31159  ax-his4 31160  ax-hcompl 31277

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-tp 4585  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-iin 4949  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7622  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-supp 8103  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-2o 8398  df-oadd 8401  df-omul 8402  df-er 8635  df-map 8765  df-pm 8766  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9265  df-fi 9314  df-sup 9345  df-inf 9346  df-oi 9415  df-card 9851  df-acn 9854  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-div 11795  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-4 12210  df-5 12211  df-6 12212  df-7 12213  df-8 12214  df-9 12215  df-n0 12402  df-z 12489  df-dec 12608  df-uz 12752  df-q 12862  df-rp 12906  df-xneg 13026  df-xadd 13027  df-xmul 13028  df-ioo 13265  df-ico 13267  df-icc 13268  df-fz 13424  df-fzo 13571  df-fl 13712  df-seq 13925  df-exp 13985  df-hash 14254  df-cj 15022  df-re 15023  df-im 15024  df-sqrt 15158  df-abs 15159  df-clim 15411  df-rlim 15412  df-sum 15610  df-struct 17074  df-sets 17091  df-slot 17109  df-ndx 17121  df-base 17137  df-ress 17158  df-plusg 17190  df-mulr 17191  df-starv 17192  df-sca 17193  df-vsca 17194  df-ip 17195  df-tset 17196  df-ple 17197  df-ds 17199  df-unif 17200  df-hom 17201  df-cco 17202  df-rest 17342  df-topn 17343  df-0g 17361  df-gsum 17362  df-topgen 17363  df-pt 17364  df-prds 17367  df-xrs 17423  df-qtop 17428  df-imas 17429  df-xps 17431  df-mre 17505  df-mrc 17506  df-acs 17508  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18709  df-mulg 18998  df-cntz 19246  df-cmn 19711  df-psmet 21301  df-xmet 21302  df-met 21303  df-bl 21304  df-mopn 21305  df-fbas 21306  df-fg 21307  df-cnfld 21310  df-top 22838  df-topon 22855  df-topsp 22877  df-bases 22890  df-cld 22963  df-ntr 22964  df-cls 22965  df-nei 23042  df-cn 23171  df-cnp 23172  df-lm 23173  df-t1 23258  df-haus 23259  df-tx 23506  df-hmeo 23699  df-fil 23790  df-fm 23882  df-flim 23883  df-flf 23884  df-xms 24264  df-ms 24265  df-tms 24266  df-cfil 25211  df-cau 25212  df-cmet 25213  df-grpo 30568  df-gid 30569  df-ginv 30570  df-gdiv 30571  df-ablo 30620  df-vc 30634  df-nv 30667  df-va 30670  df-ba 30671  df-sm 30672  df-0v 30673  df-vs 30674  df-nmcv 30675  df-ims 30676  df-dip 30776  df-ssp 30797  df-ph 30888  df-cbn 30938  df-hnorm 31043  df-hba 31044  df-hvsub 31046  df-hlim 31047  df-hcau 31048  df-sh 31282  df-ch 31296  df-oc 31327  df-ch0 31328  df-shs 31383  df-pjh 31470  df-h0op 31823  df-nmop 31914  df-cnop 31915  df-lnop 31916  df-bdop 31917  df-unop 31918  df-hmop 31919  df-nmfn 31920  df-nlfn 31921  df-cnfn 31922  df-lnfn 31923  df-adjh 31924

This theorem is referenced by: (None)