Hilbert Space Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  adjbd1o Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem adjbd1o 29912
 Description: The mapping of adjoints of bounded linear operators is one-to-one onto. (Contributed by NM, 19-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
adjbd1o (adj ↾ BndLinOp):BndLinOp–1-1-onto→BndLinOp

Proof of Theorem adjbd1o
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 adj1o 29721 . . . 4 adj:dom adj1-1-onto→dom adj
2 f1of1 6598 . . . 4 (adj:dom adj1-1-onto→dom adj → adj:dom adj1-1→dom adj)
31, 2ax-mp 5 . . 3 adj:dom adj1-1→dom adj
4 bdopssadj 29908 . . 3 BndLinOp ⊆ dom adj
5 f1ores 6613 . . 3 ((adj:dom adj1-1→dom adj ∧ BndLinOp ⊆ dom adj) → (adj ↾ BndLinOp):BndLinOp–1-1-onto→(adj “ BndLinOp))
63, 4, 5mp2an 691 . 2 (adj ↾ BndLinOp):BndLinOp–1-1-onto→(adj “ BndLinOp)
7 vex 3445 . . . . . 6 𝑦 ∈ V
87elima 5905 . . . . 5 (𝑦 ∈ (adj “ BndLinOp) ↔ ∃𝑥 ∈ BndLinOp 𝑥adj𝑦)
9 f1ofn 6600 . . . . . . . 8 (adj:dom adj1-1-onto→dom adj → adj Fn dom adj)
101, 9ax-mp 5 . . . . . . 7 adj Fn dom adj
11 bdopadj 29909 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ BndLinOp → 𝑥 ∈ dom adj)
12 fnbrfvb 6703 . . . . . . 7 ((adj Fn dom adj𝑥 ∈ dom adj) → ((adj𝑥) = 𝑦𝑥adj𝑦))
1310, 11, 12sylancr 590 . . . . . 6 (𝑥 ∈ BndLinOp → ((adj𝑥) = 𝑦𝑥adj𝑦))
1413rexbiia 3210 . . . . 5 (∃𝑥 ∈ BndLinOp (adj𝑥) = 𝑦 ↔ ∃𝑥 ∈ BndLinOp 𝑥adj𝑦)
15 adjbdlnb 29911 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ BndLinOp ↔ (adj𝑥) ∈ BndLinOp)
16 eleq1 2877 . . . . . . . . 9 ((adj𝑥) = 𝑦 → ((adj𝑥) ∈ BndLinOp ↔ 𝑦 ∈ BndLinOp))
1715, 16syl5bb 286 . . . . . . . 8 ((adj𝑥) = 𝑦 → (𝑥 ∈ BndLinOp ↔ 𝑦 ∈ BndLinOp))
1817biimpcd 252 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ BndLinOp → ((adj𝑥) = 𝑦𝑦 ∈ BndLinOp))
1918rexlimiv 3240 . . . . . 6 (∃𝑥 ∈ BndLinOp (adj𝑥) = 𝑦𝑦 ∈ BndLinOp)
20 adjbdln 29910 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ BndLinOp → (adj𝑦) ∈ BndLinOp)
21 bdopadj 29909 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ BndLinOp → 𝑦 ∈ dom adj)
22 adjadj 29763 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ dom adj → (adj‘(adj𝑦)) = 𝑦)
2321, 22syl 17 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ BndLinOp → (adj‘(adj𝑦)) = 𝑦)
24 fveqeq2 6664 . . . . . . . 8 (𝑥 = (adj𝑦) → ((adj𝑥) = 𝑦 ↔ (adj‘(adj𝑦)) = 𝑦))
2524rspcev 3572 . . . . . . 7 (((adj𝑦) ∈ BndLinOp ∧ (adj‘(adj𝑦)) = 𝑦) → ∃𝑥 ∈ BndLinOp (adj𝑥) = 𝑦)
2620, 23, 25syl2anc 587 . . . . . 6 (𝑦 ∈ BndLinOp → ∃𝑥 ∈ BndLinOp (adj𝑥) = 𝑦)
2719, 26impbii 212 . . . . 5 (∃𝑥 ∈ BndLinOp (adj𝑥) = 𝑦𝑦 ∈ BndLinOp)
288, 14, 273bitr2i 302 . . . 4 (𝑦 ∈ (adj “ BndLinOp) ↔ 𝑦 ∈ BndLinOp)
2928eqriv 2795 . . 3 (adj “ BndLinOp) = BndLinOp
30 f1oeq3 6589 . . 3 ((adj “ BndLinOp) = BndLinOp → ((adj ↾ BndLinOp):BndLinOp–1-1-onto→(adj “ BndLinOp) ↔ (adj ↾ BndLinOp):BndLinOp–1-1-onto→BndLinOp))
3129, 30ax-mp 5 . 2 ((adj ↾ BndLinOp):BndLinOp–1-1-onto→(adj “ BndLinOp) ↔ (adj ↾ BndLinOp):BndLinOp–1-1-onto→BndLinOp)
326, 31mpbi 233 1 (adj ↾ BndLinOp):BndLinOp–1-1-onto→BndLinOp
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ↔ wb 209   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∃wrex 3107   ⊆ wss 3883   class class class wbr 5034  dom cdm 5523   ↾ cres 5525   “ cima 5526   Fn wfn 6327  –1-1→wf1 6329  –1-1-onto→wf1o 6331  ‘cfv 6332  BndLinOpcbo 28775  adjℎcado 28782 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5158  ax-sep 5171  ax-nul 5178  ax-pow 5235  ax-pr 5299  ax-un 7454  ax-inf2 9106  ax-cc 9864  ax-cnex 10600  ax-resscn 10601  ax-1cn 10602  ax-icn 10603  ax-addcl 10604  ax-addrcl 10605  ax-mulcl 10606  ax-mulrcl 10607  ax-mulcom 10608  ax-addass 10609  ax-mulass 10610  ax-distr 10611  ax-i2m1 10612  ax-1ne0 10613  ax-1rid 10614  ax-rnegex 10615  ax-rrecex 10616  ax-cnre 10617  ax-pre-lttri 10618  ax-pre-lttrn 10619  ax-pre-ltadd 10620  ax-pre-mulgt0 10621  ax-pre-sup 10622  ax-addf 10623  ax-mulf 10624  ax-hilex 28826  ax-hfvadd 28827  ax-hvcom 28828  ax-hvass 28829  ax-hv0cl 28830  ax-hvaddid 28831  ax-hfvmul 28832  ax-hvmulid 28833  ax-hvmulass 28834  ax-hvdistr1 28835  ax-hvdistr2 28836  ax-hvmul0 28837  ax-hfi 28906  ax-his1 28909  ax-his2 28910  ax-his3 28911  ax-his4 28912  ax-hcompl 29029 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3444  df-sbc 3723  df-csb 3831  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4805  df-int 4843  df-iun 4887  df-iin 4888  df-br 5035  df-opab 5097  df-mpt 5115  df-tr 5141  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-se 5483  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6123  df-ord 6169  df-on 6170  df-lim 6171  df-suc 6172  df-iota 6291  df-fun 6334  df-fn 6335  df-f 6336  df-f1 6337  df-fo 6338  df-f1o 6339  df-fv 6340  df-isom 6341  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-of 7400  df-om 7574  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-supp 7827  df-wrecs 7948  df-recs 8009  df-rdg 8047  df-1o 8103  df-2o 8104  df-oadd 8107  df-omul 8108  df-er 8290  df-map 8409  df-pm 8410  df-ixp 8463  df-en 8511  df-dom 8512  df-sdom 8513  df-fin 8514  df-fsupp 8836  df-fi 8877  df-sup 8908  df-inf 8909  df-oi 8976  df-card 9370  df-acn 9373  df-pnf 10684  df-mnf 10685  df-xr 10686  df-ltxr 10687  df-le 10688  df-sub 10879  df-neg 10880  df-div 11305  df-nn 11644  df-2 11706  df-3 11707  df-4 11708  df-5 11709  df-6 11710  df-7 11711  df-8 11712  df-9 11713  df-n0 11904  df-z 11990  df-dec 12107  df-uz 12252  df-q 12357  df-rp 12398  df-xneg 12515  df-xadd 12516  df-xmul 12517  df-ioo 12750  df-ico 12752  df-icc 12753  df-fz 12906  df-fzo 13049  df-fl 13177  df-seq 13385  df-exp 13446  df-hash 13707  df-cj 14470  df-re 14471  df-im 14472  df-sqrt 14606  df-abs 14607  df-clim 14857  df-rlim 14858  df-sum 15055  df-struct 16497  df-ndx 16498  df-slot 16499  df-base 16501  df-sets 16502  df-ress 16503  df-plusg 16590  df-mulr 16591  df-starv 16592  df-sca 16593  df-vsca 16594  df-ip 16595  df-tset 16596  df-ple 16597  df-ds 16599  df-unif 16600  df-hom 16601  df-cco 16602  df-rest 16708  df-topn 16709  df-0g 16727  df-gsum 16728  df-topgen 16729  df-pt 16730  df-prds 16733  df-xrs 16787  df-qtop 16792  df-imas 16793  df-xps 16795  df-mre 16869  df-mrc 16870  df-acs 16872  df-mgm 17864  df-sgrp 17913  df-mnd 17924  df-submnd 17969  df-mulg 18238  df-cntz 18460  df-cmn 18921  df-psmet 20104  df-xmet 20105  df-met 20106  df-bl 20107  df-mopn 20108  df-fbas 20109  df-fg 20110  df-cnfld 20113  df-top 21540  df-topon 21557  df-topsp 21579  df-bases 21592  df-cld 21665  df-ntr 21666  df-cls 21667  df-nei 21744  df-cn 21873  df-cnp 21874  df-lm 21875  df-t1 21960  df-haus 21961  df-tx 22208  df-hmeo 22401  df-fil 22492  df-fm 22584  df-flim 22585  df-flf 22586  df-xms 22968  df-ms 22969  df-tms 22970  df-cfil 23900  df-cau 23901  df-cmet 23902  df-grpo 28320  df-gid 28321  df-ginv 28322  df-gdiv 28323  df-ablo 28372  df-vc 28386  df-nv 28419  df-va 28422  df-ba 28423  df-sm 28424  df-0v 28425  df-vs 28426  df-nmcv 28427  df-ims 28428  df-dip 28528  df-ssp 28549  df-ph 28640  df-cbn 28690  df-hnorm 28795  df-hba 28796  df-hvsub 28798  df-hlim 28799  df-hcau 28800  df-sh 29034  df-ch 29048  df-oc 29079  df-ch0 29080  df-shs 29135  df-pjh 29222  df-h0op 29575  df-nmop 29666  df-cnop 29667  df-lnop 29668  df-bdop 29669  df-unop 29670  df-hmop 29671  df-nmfn 29672  df-nlfn 29673  df-cnfn 29674  df-lnfn 29675  df-adjh 29676 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator