Theorem fthres2b 17894

Description: Condition for a faithful functor to also be a faithful functor into the restriction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
fthres2b.a	⊢ 𝐴 = (Base‘𝐶)
fthres2b.h	⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
fthres2b.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (Subcat‘𝐷))
fthres2b.s	⊢ (𝜑 → 𝑅 Fn (𝑆 × 𝑆))
fthres2b.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝑆)
fthres2b.2	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) → (𝑥𝐺𝑦):𝑌⟶((𝐹‘𝑥)𝑅(𝐹‘𝑦)))

Assertion

Ref	Expression
fthres2b	⊢ (𝜑 → (𝐹(𝐶 Faith 𝐷)𝐺 ↔ 𝐹(𝐶 Faith (𝐷 ↾cat 𝑅))𝐺))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐶,𝑦   𝑥,𝐷,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝐺,𝑦   𝑥,𝐻,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥,𝑦)   𝑌(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem fthres2b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fthres2b.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Base‘𝐶)
2		fthres2b.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
3		fthres2b.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (Subcat‘𝐷))
4		fthres2b.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 Fn (𝑆 × 𝑆))
5		fthres2b.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝑆)
6		fthres2b.2	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) → (𝑥𝐺𝑦):𝑌⟶((𝐹‘𝑥)𝑅(𝐹‘𝑦)))
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	funcres2b 17859	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺 ↔ 𝐹(𝐶 Func (𝐷 ↾cat 𝑅))𝐺))
8	7	anbi1d 631	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 Fun ◡(𝑥𝐺𝑦)) ↔ (𝐹(𝐶 Func (𝐷 ↾cat 𝑅))𝐺 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 Fun ◡(𝑥𝐺𝑦))))
9	1	isfth 17878	. 2 ⊢ (𝐹(𝐶 Faith 𝐷)𝐺 ↔ (𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 Fun ◡(𝑥𝐺𝑦)))
10	1	isfth 17878	. 2 ⊢ (𝐹(𝐶 Faith (𝐷 ↾cat 𝑅))𝐺 ↔ (𝐹(𝐶 Func (𝐷 ↾cat 𝑅))𝐺 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 Fun ◡(𝑥𝐺𝑦)))
11	8, 9, 10	3bitr4g 314	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹(𝐶 Faith 𝐷)𝐺 ↔ 𝐹(𝐶 Faith (𝐷 ↾cat 𝑅))𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044   class class class wbr 5107   × cxp 5636  ^◡ccnv 5637  Fun wfun 6505   Fn wfn 6506  ⟶wf 6507  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  Basecbs 17179  Hom chom 17231   ↾_cat cresc 17770  Subcatcsubc 17771   Func cfunc 17816   Faith cfth 17867

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-er 8671  df-map 8801  df-pm 8802  df-ixp 8871  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-4 12251  df-5 12252  df-6 12253  df-7 12254  df-8 12255  df-9 12256  df-n0 12443  df-z 12530  df-dec 12650  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-hom 17244  df-cco 17245  df-cat 17629  df-cid 17630  df-homf 17631  df-ssc 17772  df-resc 17773  df-subc 17774  df-func 17820  df-fth 17869

This theorem is referenced by: (None)