Theorem fthres2b 17890

Description: Condition for a faithful functor to also be a faithful functor into the restriction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
fthres2b.a	⊢ 𝐴 = (Base‘𝐶)
fthres2b.h	⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
fthres2b.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (Subcat‘𝐷))
fthres2b.s	⊢ (𝜑 → 𝑅 Fn (𝑆 × 𝑆))
fthres2b.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝑆)
fthres2b.2	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) → (𝑥𝐺𝑦):𝑌⟶((𝐹‘𝑥)𝑅(𝐹‘𝑦)))

Assertion

Ref	Expression
fthres2b	⊢ (𝜑 → (𝐹(𝐶 Faith 𝐷)𝐺 ↔ 𝐹(𝐶 Faith (𝐷 ↾cat 𝑅))𝐺))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐶,𝑦   𝑥,𝐷,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝐺,𝑦   𝑥,𝐻,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥,𝑦)   𝑌(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem fthres2b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fthres2b.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Base‘𝐶)
2		fthres2b.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
3		fthres2b.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (Subcat‘𝐷))
4		fthres2b.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 Fn (𝑆 × 𝑆))
5		fthres2b.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝑆)
6		fthres2b.2	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) → (𝑥𝐺𝑦):𝑌⟶((𝐹‘𝑥)𝑅(𝐹‘𝑦)))
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	funcres2b 17854	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺 ↔ 𝐹(𝐶 Func (𝐷 ↾cat 𝑅))𝐺))
8	7	anbi1d 629	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 Fun ◡(𝑥𝐺𝑦)) ↔ (𝐹(𝐶 Func (𝐷 ↾cat 𝑅))𝐺 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 Fun ◡(𝑥𝐺𝑦))))
9	1	isfth 17874	. 2 ⊢ (𝐹(𝐶 Faith 𝐷)𝐺 ↔ (𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 Fun ◡(𝑥𝐺𝑦)))
10	1	isfth 17874	. 2 ⊢ (𝐹(𝐶 Faith (𝐷 ↾cat 𝑅))𝐺 ↔ (𝐹(𝐶 Func (𝐷 ↾cat 𝑅))𝐺 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 Fun ◡(𝑥𝐺𝑦)))
11	8, 9, 10	3bitr4g 314	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹(𝐶 Faith 𝐷)𝐺 ↔ 𝐹(𝐶 Faith (𝐷 ↾cat 𝑅))𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  ∀wral 3060   class class class wbr 5148   × cxp 5674  ^◡ccnv 5675  Fun wfun 6537   Fn wfn 6538  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  (class class class)co 7412  Basecbs 17151  Hom chom 17215   ↾_cat cresc 17762  Subcatcsubc 17763   Func cfunc 17811   Faith cfth 17863

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-er 8709  df-map 8828  df-pm 8829  df-ixp 8898  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-5 12285  df-6 12286  df-7 12287  df-8 12288  df-9 12289  df-n0 12480  df-z 12566  df-dec 12685  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-hom 17228  df-cco 17229  df-cat 17619  df-cid 17620  df-homf 17621  df-ssc 17764  df-resc 17765  df-subc 17766  df-func 17815  df-fth 17865

This theorem is referenced by: (None)