Theorem fthepi 17993

Description: A faithful functor reflects epimorphisms. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
fthmon.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
fthmon.h	⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
fthmon.f	⊢ (𝜑 → 𝐹(𝐶 Faith 𝐷)𝐺)
fthmon.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
fthmon.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
fthmon.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (𝑋𝐻𝑌))
fthepi.e	⊢ 𝐸 = (Epi‘𝐶)
fthepi.p	⊢ 𝑃 = (Epi‘𝐷)
fthepi.1	⊢ (𝜑 → ((𝑋𝐺𝑌)‘𝑅) ∈ ((𝐹‘𝑋)𝑃(𝐹‘𝑌)))

Assertion

Ref	Expression
fthepi	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (𝑋𝐸𝑌))

Proof of Theorem fthepi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (oppCat‘𝐶) = (oppCat‘𝐶)
2		fthmon.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
3	1, 2	oppcbas 17780	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘(oppCat‘𝐶))
4		eqid 2762	. . 3 ⊢ (Hom ‘(oppCat‘𝐶)) = (Hom ‘(oppCat‘𝐶))
5		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (oppCat‘𝐷) = (oppCat‘𝐷)
6		fthmon.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹(𝐶 Faith 𝐷)𝐺)
7	1, 5, 6	fthoppc 17988	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹((oppCat‘𝐶) Faith (oppCat‘𝐷))tpos 𝐺)
8		fthmon.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
9		fthmon.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
10		fthmon.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (𝑋𝐻𝑌))
11		fthmon.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
12	11, 1	oppchom 17777	. . . 4 ⊢ (𝑌(Hom ‘(oppCat‘𝐶))𝑋) = (𝑋𝐻𝑌)
13	10, 12	eleqtrrdi 2873	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (𝑌(Hom ‘(oppCat‘𝐶))𝑋))
14		eqid 2762	. . 3 ⊢ (Mono‘(oppCat‘𝐶)) = (Mono‘(oppCat‘𝐶))
15		eqid 2762	. . 3 ⊢ (Mono‘(oppCat‘𝐷)) = (Mono‘(oppCat‘𝐷))
16		ovtpos 8235	. . . . . 6 ⊢ (𝑌tpos 𝐺𝑋) = (𝑋𝐺𝑌)
17	16	fveq1i 6882	. . . . 5 ⊢ ((𝑌tpos 𝐺𝑋)‘𝑅) = ((𝑋𝐺𝑌)‘𝑅)
18		fthepi.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑋𝐺𝑌)‘𝑅) ∈ ((𝐹‘𝑋)𝑃(𝐹‘𝑌)))
19	17, 18	eqeltrid 2866	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑌tpos 𝐺𝑋)‘𝑅) ∈ ((𝐹‘𝑋)𝑃(𝐹‘𝑌)))
20		fthfunc 17972	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 Faith 𝐷) ⊆ (𝐶 Func 𝐷)
21	20	ssbri 5155	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹(𝐶 Faith 𝐷)𝐺 → 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺)
22	6, 21	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺)
23		df-br 5109	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺 ↔ ⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ (𝐶 Func 𝐷))
24	22, 23	sylib 221	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ (𝐶 Func 𝐷))
25		funcrcl 17926	. . . . . . 7 ⊢ (⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ (𝐶 Func 𝐷) → (𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat))
26	24, 25	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat))
27	26	simprd 500	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Cat)
28		fthepi.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Epi‘𝐷)
29	5, 27, 15, 28	oppcmon 17801	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑌)(Mono‘(oppCat‘𝐷))(𝐹‘𝑋)) = ((𝐹‘𝑋)𝑃(𝐹‘𝑌)))
30	19, 29	eleqtrrd 2865	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑌tpos 𝐺𝑋)‘𝑅) ∈ ((𝐹‘𝑌)(Mono‘(oppCat‘𝐷))(𝐹‘𝑋)))
31	3, 4, 7, 8, 9, 13, 14, 15, 30	fthmon 17992	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (𝑌(Mono‘(oppCat‘𝐶))𝑋))
32	26	simpld 499	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
33		fthepi.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = (Epi‘𝐶)
34	1, 32, 14, 33	oppcmon 17801	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑌(Mono‘(oppCat‘𝐶))𝑋) = (𝑋𝐸𝑌))
35	31, 34	eleqtrd 2864	1 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (𝑋𝐸𝑌))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1569   ∈ wcel 2142  ⟨cop 4594   class class class wbr 5108  ‘cfv 6536  (class class class)co 7412  tpos ctpos 8219  Basecbs 17275  Hom chom 17327  Catccat 17726  oppCatcoppc 17773  Monocmon 17791  Epicepi 17792   Func cfunc 17917   Faith cfth 17968

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-tpos 8220  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-er 8692  df-map 8824  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-nn 12240  df-2 12309  df-3 12310  df-4 12311  df-5 12312  df-6 12313  df-7 12314  df-8 12315  df-9 12316  df-n0 12511  df-z 12598  df-dec 12718  df-sets 17230  df-slot 17248  df-ndx 17260  df-base 17276  df-hom 17340  df-cco 17341  df-cat 17730  df-cid 17731  df-oppc 17774  df-mon 17793  df-epi 17794  df-func 17921  df-fth 17970

This theorem is used by: (None)