Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fthepi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fthepi 17250
 Description: A faithful functor reflects epimorphisms. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
fthmon.b 𝐵 = (Base‘𝐶)
fthmon.h 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
fthmon.f (𝜑𝐹(𝐶 Faith 𝐷)𝐺)
fthmon.x (𝜑𝑋𝐵)
fthmon.y (𝜑𝑌𝐵)
fthmon.r (𝜑𝑅 ∈ (𝑋𝐻𝑌))
fthepi.e 𝐸 = (Epi‘𝐶)
fthepi.p 𝑃 = (Epi‘𝐷)
fthepi.1 (𝜑 → ((𝑋𝐺𝑌)‘𝑅) ∈ ((𝐹𝑋)𝑃(𝐹𝑌)))
Assertion
Ref Expression
fthepi (𝜑𝑅 ∈ (𝑋𝐸𝑌))

Proof of Theorem fthepi
StepHypRef Expression
1 eqid 2759 . . . 4 (oppCat‘𝐶) = (oppCat‘𝐶)
2 fthmon.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐶)
31, 2oppcbas 17039 . . 3 𝐵 = (Base‘(oppCat‘𝐶))
4 eqid 2759 . . 3 (Hom ‘(oppCat‘𝐶)) = (Hom ‘(oppCat‘𝐶))
5 eqid 2759 . . . 4 (oppCat‘𝐷) = (oppCat‘𝐷)
6 fthmon.f . . . 4 (𝜑𝐹(𝐶 Faith 𝐷)𝐺)
71, 5, 6fthoppc 17245 . . 3 (𝜑𝐹((oppCat‘𝐶) Faith (oppCat‘𝐷))tpos 𝐺)
8 fthmon.y . . 3 (𝜑𝑌𝐵)
9 fthmon.x . . 3 (𝜑𝑋𝐵)
10 fthmon.r . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ (𝑋𝐻𝑌))
11 fthmon.h . . . . 5 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
1211, 1oppchom 17036 . . . 4 (𝑌(Hom ‘(oppCat‘𝐶))𝑋) = (𝑋𝐻𝑌)
1310, 12eleqtrrdi 2864 . . 3 (𝜑𝑅 ∈ (𝑌(Hom ‘(oppCat‘𝐶))𝑋))
14 eqid 2759 . . 3 (Mono‘(oppCat‘𝐶)) = (Mono‘(oppCat‘𝐶))
15 eqid 2759 . . 3 (Mono‘(oppCat‘𝐷)) = (Mono‘(oppCat‘𝐷))
16 ovtpos 7918 . . . . . 6 (𝑌tpos 𝐺𝑋) = (𝑋𝐺𝑌)
1716fveq1i 6660 . . . . 5 ((𝑌tpos 𝐺𝑋)‘𝑅) = ((𝑋𝐺𝑌)‘𝑅)
18 fthepi.1 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑋𝐺𝑌)‘𝑅) ∈ ((𝐹𝑋)𝑃(𝐹𝑌)))
1917, 18eqeltrid 2857 . . . 4 (𝜑 → ((𝑌tpos 𝐺𝑋)‘𝑅) ∈ ((𝐹𝑋)𝑃(𝐹𝑌)))
20 fthfunc 17229 . . . . . . . . . 10 (𝐶 Faith 𝐷) ⊆ (𝐶 Func 𝐷)
2120ssbri 5078 . . . . . . . . 9 (𝐹(𝐶 Faith 𝐷)𝐺𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺)
226, 21syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺)
23 df-br 5034 . . . . . . . 8 (𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺 ↔ ⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ (𝐶 Func 𝐷))
2422, 23sylib 221 . . . . . . 7 (𝜑 → ⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ (𝐶 Func 𝐷))
25 funcrcl 17185 . . . . . . 7 (⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ (𝐶 Func 𝐷) → (𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat))
2624, 25syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat))
2726simprd 500 . . . . 5 (𝜑𝐷 ∈ Cat)
28 fthepi.p . . . . 5 𝑃 = (Epi‘𝐷)
295, 27, 15, 28oppcmon 17060 . . . 4 (𝜑 → ((𝐹𝑌)(Mono‘(oppCat‘𝐷))(𝐹𝑋)) = ((𝐹𝑋)𝑃(𝐹𝑌)))
3019, 29eleqtrrd 2856 . . 3 (𝜑 → ((𝑌tpos 𝐺𝑋)‘𝑅) ∈ ((𝐹𝑌)(Mono‘(oppCat‘𝐷))(𝐹𝑋)))
313, 4, 7, 8, 9, 13, 14, 15, 30fthmon 17249 . 2 (𝜑𝑅 ∈ (𝑌(Mono‘(oppCat‘𝐶))𝑋))
3226simpld 499 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ Cat)
33 fthepi.e . . 3 𝐸 = (Epi‘𝐶)
341, 32, 14, 33oppcmon 17060 . 2 (𝜑 → (𝑌(Mono‘(oppCat‘𝐶))𝑋) = (𝑋𝐸𝑌))
3531, 34eleqtrd 2855 1 (𝜑𝑅 ∈ (𝑋𝐸𝑌))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1539   ∈ wcel 2112  ⟨cop 4529   class class class wbr 5033  ‘cfv 6336  (class class class)co 7151  tpos ctpos 7902  Basecbs 16534  Hom chom 16627  Catccat 16986  oppCatcoppc 17032  Monocmon 17050  Epicepi 17051   Func cfunc 17176   Faith cfth 17225 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5235  ax-pr 5299  ax-un 7460  ax-cnex 10624  ax-resscn 10625  ax-1cn 10626  ax-icn 10627  ax-addcl 10628  ax-addrcl 10629  ax-mulcl 10630  ax-mulrcl 10631  ax-mulcom 10632  ax-addass 10633  ax-mulass 10634  ax-distr 10635  ax-i2m1 10636  ax-1ne0 10637  ax-1rid 10638  ax-rnegex 10639  ax-rrecex 10640  ax-cnre 10641  ax-pre-lttri 10642  ax-pre-lttrn 10643  ax-pre-ltadd 10644  ax-pre-mulgt0 10645 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 846  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2902  df-ne 2953  df-nel 3057  df-ral 3076  df-rex 3077  df-reu 3078  df-rmo 3079  df-rab 3080  df-v 3412  df-sbc 3698  df-csb 3807  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3876  df-pss 3878  df-nul 4227  df-if 4422  df-pw 4497  df-sn 4524  df-pr 4526  df-tp 4528  df-op 4530  df-uni 4800  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5431  df-eprel 5436  df-po 5444  df-so 5445  df-fr 5484  df-we 5486  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6127  df-ord 6173  df-on 6174  df-lim 6175  df-suc 6176  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7581  df-1st 7694  df-2nd 7695  df-tpos 7903  df-wrecs 7958  df-recs 8019  df-rdg 8057  df-er 8300  df-map 8419  df-ixp 8481  df-en 8529  df-dom 8530  df-sdom 8531  df-pnf 10708  df-mnf 10709  df-xr 10710  df-ltxr 10711  df-le 10712  df-sub 10903  df-neg 10904  df-nn 11668  df-2 11730  df-3 11731  df-4 11732  df-5 11733  df-6 11734  df-7 11735  df-8 11736  df-9 11737  df-n0 11928  df-z 12014  df-dec 12131  df-ndx 16537  df-slot 16538  df-base 16540  df-sets 16541  df-hom 16640  df-cco 16641  df-cat 16990  df-cid 16991  df-oppc 17033  df-mon 17052  df-epi 17053  df-func 17180  df-fth 17227 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator