Theorem prmdvdsfmtnof 47587

Description: The mapping of a Fermat number to its smallest prime factor is a function. (Contributed by AV, 4-Aug-2021.) (Proof shortened by II, 16-Feb-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
prmdvdsfmtnof.1	⊢ 𝐹 = (𝑓 ∈ ran FermatNo ↦ inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑓}, ℝ, < ))

Assertion

Ref	Expression
prmdvdsfmtnof	⊢ 𝐹:ran FermatNo⟶ℙ

Distinct variable group:   𝑓,𝑝

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑓,𝑝)

Proof of Theorem prmdvdsfmtnof

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prmdvdsfmtnof.1	. 2 ⊢ 𝐹 = (𝑓 ∈ ran FermatNo ↦ inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑓}, ℝ, < ))
2		fmtnorn 47535	. . 3 ⊢ (𝑓 ∈ ran FermatNo ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ0 (FermatNo‘𝑛) = 𝑓)
3		ltso 11254	. . . . . 6 ⊢ < Or ℝ
4	3	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (FermatNo‘𝑛) = 𝑓) → < Or ℝ)
5		fmtnoge3 47531	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (FermatNo‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘3))
6	5	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (FermatNo‘𝑛) = 𝑓) → (FermatNo‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘3))
7		eleq1 2816	. . . . . . . . 9 ⊢ ((FermatNo‘𝑛) = 𝑓 → ((FermatNo‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘3) ↔ 𝑓 ∈ (ℤ≥‘3)))
8	7	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (FermatNo‘𝑛) = 𝑓) → ((FermatNo‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘3) ↔ 𝑓 ∈ (ℤ≥‘3)))
9	6, 8	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (FermatNo‘𝑛) = 𝑓) → 𝑓 ∈ (ℤ≥‘3))
10		uzuzle23 12843	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑓 ∈ (ℤ≥‘2))
11	9, 10	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (FermatNo‘𝑛) = 𝑓) → 𝑓 ∈ (ℤ≥‘2))
12		eluz2nn 12847	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑓 ∈ ℕ)
13		prmdvdsfi 27017	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ ℕ → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑓} ∈ Fin)
14	11, 12, 13	3syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (FermatNo‘𝑛) = 𝑓) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑓} ∈ Fin)
15		exprmfct 16674	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ∈ (ℤ≥‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ 𝑓)
16	11, 15	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (FermatNo‘𝑛) = 𝑓) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ 𝑓)
17		rabn0 4352	. . . . . 6 ⊢ ({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑓} ≠ ∅ ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ 𝑓)
18	16, 17	sylibr 234	. . . . 5 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (FermatNo‘𝑛) = 𝑓) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑓} ≠ ∅)
19		ssrab2 4043	. . . . . . 7 ⊢ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑓} ⊆ ℙ
20		prmssnn 16646	. . . . . . . 8 ⊢ ℙ ⊆ ℕ
21		nnssre 12190	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ ⊆ ℝ
22	20, 21	sstri 3956	. . . . . . 7 ⊢ ℙ ⊆ ℝ
23	19, 22	sstri 3956	. . . . . 6 ⊢ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑓} ⊆ ℝ
24	23	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (FermatNo‘𝑛) = 𝑓) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑓} ⊆ ℝ)
25		fiinfcl 9454	. . . . . 6 ⊢ (( < Or ℝ ∧ ({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑓} ∈ Fin ∧ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑓} ≠ ∅ ∧ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑓} ⊆ ℝ)) → inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑓}, ℝ, < ) ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑓})
26	19, 25	sselid 3944	. . . . 5 ⊢ (( < Or ℝ ∧ ({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑓} ∈ Fin ∧ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑓} ≠ ∅ ∧ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑓} ⊆ ℝ)) → inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑓}, ℝ, < ) ∈ ℙ)
27	4, 14, 18, 24, 26	syl13anc 1374	. . . 4 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (FermatNo‘𝑛) = 𝑓) → inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑓}, ℝ, < ) ∈ ℙ)
28	27	rexlimiva 3126	. . 3 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℕ0 (FermatNo‘𝑛) = 𝑓 → inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑓}, ℝ, < ) ∈ ℙ)
29	2, 28	sylbi 217	. 2 ⊢ (𝑓 ∈ ran FermatNo → inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑓}, ℝ, < ) ∈ ℙ)
30	1, 29	fmpti 7084	1 ⊢ 𝐹:ran FermatNo⟶ℙ

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∃wrex 3053  {crab 3405   ⊆ wss 3914  ∅c0 4296   class class class wbr 5107   ↦ cmpt 5188   Or wor 5545  ran crn 5639  ⟶wf 6507  ‘cfv 6511  Fincfn 8918  infcinf 9392  ℝcr 11067   < clt 11208  ℕcn 12186  2c2 12241  3c3 12242  ℕ₀cn0 12442  ℤ_≥cuz 12793   ∥ cdvds 16222  ℙcprime 16641  FermatNocfmtno 47528

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145  ax-pre-sup 11146

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-2o 8435  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-sup 9393  df-inf 9394  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794  df-rp 12952  df-fz 13469  df-seq 13967  df-exp 14027  df-cj 15065  df-re 15066  df-im 15067  df-sqrt 15201  df-abs 15202  df-dvds 16223  df-prm 16642  df-fmtno 47529

This theorem is referenced by:  prmdvdsfmtnof1  47588