Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  prmdvdsfmtnof Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prmdvdsfmtnof 44164
 Description: The mapping of a Fermat number to its smallest prime factor is a function. (Contributed by AV, 4-Aug-2021.) (Proof shortened by II, 16-Feb-2023.)
Hypothesis
Ref Expression
prmdvdsfmtnof.1 𝐹 = (𝑓 ∈ ran FermatNo ↦ inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑓}, ℝ, < ))
Assertion
Ref Expression
prmdvdsfmtnof 𝐹:ran FermatNo⟶ℙ
Distinct variable group:   𝑓,𝑝
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑓,𝑝)

Proof of Theorem prmdvdsfmtnof
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prmdvdsfmtnof.1 . 2 𝐹 = (𝑓 ∈ ran FermatNo ↦ inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑓}, ℝ, < ))
2 fmtnorn 44112 . . 3 (𝑓 ∈ ran FermatNo ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ0 (FermatNo‘𝑛) = 𝑓)
3 ltso 10717 . . . . . 6 < Or ℝ
43a1i 11 . . . . 5 ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (FermatNo‘𝑛) = 𝑓) → < Or ℝ)
5 fmtnoge3 44108 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ0 → (FermatNo‘𝑛) ∈ (ℤ‘3))
65adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (FermatNo‘𝑛) = 𝑓) → (FermatNo‘𝑛) ∈ (ℤ‘3))
7 eleq1 2877 . . . . . . . . 9 ((FermatNo‘𝑛) = 𝑓 → ((FermatNo‘𝑛) ∈ (ℤ‘3) ↔ 𝑓 ∈ (ℤ‘3)))
87adantl 485 . . . . . . . 8 ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (FermatNo‘𝑛) = 𝑓) → ((FermatNo‘𝑛) ∈ (ℤ‘3) ↔ 𝑓 ∈ (ℤ‘3)))
96, 8mpbid 235 . . . . . . 7 ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (FermatNo‘𝑛) = 𝑓) → 𝑓 ∈ (ℤ‘3))
10 uzuzle23 12284 . . . . . . 7 (𝑓 ∈ (ℤ‘3) → 𝑓 ∈ (ℤ‘2))
119, 10syl 17 . . . . . 6 ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (FermatNo‘𝑛) = 𝑓) → 𝑓 ∈ (ℤ‘2))
12 eluz2nn 12279 . . . . . 6 (𝑓 ∈ (ℤ‘2) → 𝑓 ∈ ℕ)
13 prmdvdsfi 25706 . . . . . 6 (𝑓 ∈ ℕ → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑓} ∈ Fin)
1411, 12, 133syl 18 . . . . 5 ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (FermatNo‘𝑛) = 𝑓) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑓} ∈ Fin)
15 exprmfct 16045 . . . . . . 7 (𝑓 ∈ (ℤ‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝𝑓)
1611, 15syl 17 . . . . . 6 ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (FermatNo‘𝑛) = 𝑓) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝𝑓)
17 rabn0 4293 . . . . . 6 ({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑓} ≠ ∅ ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝𝑓)
1816, 17sylibr 237 . . . . 5 ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (FermatNo‘𝑛) = 𝑓) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑓} ≠ ∅)
19 ssrab2 4007 . . . . . . 7 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑓} ⊆ ℙ
20 prmssnn 16017 . . . . . . . 8 ℙ ⊆ ℕ
21 nnssre 11636 . . . . . . . 8 ℕ ⊆ ℝ
2220, 21sstri 3924 . . . . . . 7 ℙ ⊆ ℝ
2319, 22sstri 3924 . . . . . 6 {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑓} ⊆ ℝ
2423a1i 11 . . . . 5 ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (FermatNo‘𝑛) = 𝑓) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑓} ⊆ ℝ)
25 fiinfcl 8956 . . . . . 6 (( < Or ℝ ∧ ({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑓} ∈ Fin ∧ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑓} ≠ ∅ ∧ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑓} ⊆ ℝ)) → inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑓}, ℝ, < ) ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑓})
2619, 25sseldi 3913 . . . . 5 (( < Or ℝ ∧ ({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑓} ∈ Fin ∧ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑓} ≠ ∅ ∧ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑓} ⊆ ℝ)) → inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑓}, ℝ, < ) ∈ ℙ)
274, 14, 18, 24, 26syl13anc 1369 . . . 4 ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (FermatNo‘𝑛) = 𝑓) → inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑓}, ℝ, < ) ∈ ℙ)
2827rexlimiva 3240 . . 3 (∃𝑛 ∈ ℕ0 (FermatNo‘𝑛) = 𝑓 → inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑓}, ℝ, < ) ∈ ℙ)
292, 28sylbi 220 . 2 (𝑓 ∈ ran FermatNo → inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝𝑓}, ℝ, < ) ∈ ℙ)
301, 29fmpti 6858 1 𝐹:ran FermatNo⟶ℙ
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987  ∃wrex 3107  {crab 3110   ⊆ wss 3881  ∅c0 4243   class class class wbr 5031   ↦ cmpt 5111   Or wor 5438  ran crn 5521  ⟶wf 6323  ‘cfv 6327  Fincfn 8499  infcinf 8896  ℝcr 10532   < clt 10671  ℕcn 11632  2c2 11687  3c3 11688  ℕ0cn0 11892  ℤ≥cuz 12238   ∥ cdvds 15606  ℙcprime 16012  FermatNocfmtno 44105 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7448  ax-cnex 10589  ax-resscn 10590  ax-1cn 10591  ax-icn 10592  ax-addcl 10593  ax-addrcl 10594  ax-mulcl 10595  ax-mulrcl 10596  ax-mulcom 10597  ax-addass 10598  ax-mulass 10599  ax-distr 10600  ax-i2m1 10601  ax-1ne0 10602  ax-1rid 10603  ax-rnegex 10604  ax-rrecex 10605  ax-cnre 10606  ax-pre-lttri 10607  ax-pre-lttrn 10608  ax-pre-ltadd 10609  ax-pre-mulgt0 10610  ax-pre-sup 10611 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-iun 4884  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-tr 5138  df-id 5426  df-eprel 5431  df-po 5439  df-so 5440  df-fr 5479  df-we 5481  df-xp 5526  df-rel 5527  df-cnv 5528  df-co 5529  df-dm 5530  df-rn 5531  df-res 5532  df-ima 5533  df-pred 6119  df-ord 6165  df-on 6166  df-lim 6167  df-suc 6168  df-iota 6286  df-fun 6329  df-fn 6330  df-f 6331  df-f1 6332  df-fo 6333  df-f1o 6334  df-fv 6335  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-om 7568  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7937  df-recs 7998  df-rdg 8036  df-1o 8092  df-2o 8093  df-er 8279  df-en 8500  df-dom 8501  df-sdom 8502  df-fin 8503  df-sup 8897  df-inf 8898  df-pnf 10673  df-mnf 10674  df-xr 10675  df-ltxr 10676  df-le 10677  df-sub 10868  df-neg 10869  df-div 11294  df-nn 11633  df-2 11695  df-3 11696  df-n0 11893  df-z 11977  df-uz 12239  df-rp 12385  df-fz 12893  df-seq 13372  df-exp 13433  df-cj 14457  df-re 14458  df-im 14459  df-sqrt 14593  df-abs 14594  df-dvds 15607  df-prm 16013  df-fmtno 44106 This theorem is referenced by:  prmdvdsfmtnof1  44165
 Copyright terms: Public domain W3C validator