Theorem prmdvdsfmtnof 48159

Description: The mapping of a Fermat number to its smallest prime factor is a function. (Contributed by AV, 4-Aug-2021.) (Proof shortened by II, 16-Feb-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
prmdvdsfmtnof.1	⊢ 𝐹 = (𝑓 ∈ ran FermatNo ↦ inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑓}, ℝ, < ))

Assertion

Ref	Expression
prmdvdsfmtnof	⊢ 𝐹:ran FermatNo⟶ℙ

Distinct variable group:   𝑓,𝑝

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑓,𝑝)

Proof of Theorem prmdvdsfmtnof

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prmdvdsfmtnof.1	. 2 ⊢ 𝐹 = (𝑓 ∈ ran FermatNo ↦ inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑓}, ℝ, < ))
2		fmtnorn 48107	. . 3 ⊢ (𝑓 ∈ ran FermatNo ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ0 (FermatNo‘𝑛) = 𝑓)
3		ltso 11260	. . . . . 6 ⊢ < Or ℝ
4	3	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (FermatNo‘𝑛) = 𝑓) → < Or ℝ)
5		fmtnoge3 48103	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (FermatNo‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘3))
6	5	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (FermatNo‘𝑛) = 𝑓) → (FermatNo‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘3))
7		eleq1 2849	. . . . . . . . 9 ⊢ ((FermatNo‘𝑛) = 𝑓 → ((FermatNo‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘3) ↔ 𝑓 ∈ (ℤ≥‘3)))
8	7	adantl 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (FermatNo‘𝑛) = 𝑓) → ((FermatNo‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘3) ↔ 𝑓 ∈ (ℤ≥‘3)))
9	6, 8	mpbid 234	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (FermatNo‘𝑛) = 𝑓) → 𝑓 ∈ (ℤ≥‘3))
10		uzuzle23 12882	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑓 ∈ (ℤ≥‘2))
11	9, 10	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (FermatNo‘𝑛) = 𝑓) → 𝑓 ∈ (ℤ≥‘2))
12		eluz2nn 12886	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑓 ∈ ℕ)
13		prmdvdsfi 27148	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ ℕ → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑓} ∈ Fin)
14	11, 12, 13	3syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (FermatNo‘𝑛) = 𝑓) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑓} ∈ Fin)
15		exprmfct 16722	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ∈ (ℤ≥‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ 𝑓)
16	11, 15	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (FermatNo‘𝑛) = 𝑓) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ 𝑓)
17		rabn0 4342	. . . . . 6 ⊢ ({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑓} ≠ ∅ ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ 𝑓)
18	16, 17	sylibr 236	. . . . 5 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (FermatNo‘𝑛) = 𝑓) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑓} ≠ ∅)
19		ssrab2 4033	. . . . . . 7 ⊢ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑓} ⊆ ℙ
20		prmssnn 16693	. . . . . . . 8 ⊢ ℙ ⊆ ℕ
21		nnssre 12211	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ ⊆ ℝ
22	20, 21	sstri 3945	. . . . . . 7 ⊢ ℙ ⊆ ℝ
23	19, 22	sstri 3945	. . . . . 6 ⊢ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑓} ⊆ ℝ
24	23	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (FermatNo‘𝑛) = 𝑓) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑓} ⊆ ℝ)
25		fiinfcl 9446	. . . . . 6 ⊢ (( < Or ℝ ∧ ({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑓} ∈ Fin ∧ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑓} ≠ ∅ ∧ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑓} ⊆ ℝ)) → inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑓}, ℝ, < ) ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑓})
26	19, 25	sselid 3934	. . . . 5 ⊢ (( < Or ℝ ∧ ({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑓} ∈ Fin ∧ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑓} ≠ ∅ ∧ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑓} ⊆ ℝ)) → inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑓}, ℝ, < ) ∈ ℙ)
27	4, 14, 18, 24, 26	syl13anc 1390	. . . 4 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (FermatNo‘𝑛) = 𝑓) → inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑓}, ℝ, < ) ∈ ℙ)
28	27	rexlimiva 3154	. . 3 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℕ0 (FermatNo‘𝑛) = 𝑓 → inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑓}, ℝ, < ) ∈ ℙ)
29	2, 28	sylbi 219	. 2 ⊢ (𝑓 ∈ ran FermatNo → inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑓}, ℝ, < ) ∈ ℙ)
30	1, 29	fmpti 7089	1 ⊢ 𝐹:ran FermatNo⟶ℙ

Syntax hints:   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∧ w3a 1097   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956  ∃wrex 3085  {crab 3413   ⊆ wss 3904  ∅c0 4285   class class class wbr 5099   ↦ cmpt 5180   Or wor 5552  ran crn 5646  ⟶wf 6513  ‘cfv 6517  Fincfn 8923  infcinf 9384  ℝcr 11069   < clt 11213  ℕcn 12207  2c2 12269  3c3 12270  ℕ₀cn0 12478  ℤ_≥cuz 12836   ∥ cdvds 16269  ℙcprime 16688  FermatNocfmtno 48100

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147  ax-pre-sup 11148

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-om 7843  df-1st 7966  df-2nd 7967  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-1o 8432  df-2o 8433  df-er 8673  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-fin 8927  df-sup 9385  df-inf 9386  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-div 11842  df-nn 12208  df-2 12277  df-3 12278  df-n0 12479  df-z 12566  df-uz 12837  df-rp 12991  df-fz 13510  df-seq 14012  df-exp 14072  df-cj 15109  df-re 15110  df-im 15111  df-sqrt 15245  df-abs 15246  df-dvds 16270  df-prm 16689  df-fmtno 48101

This theorem is referenced by:  prmdvdsfmtnof1  48160