Theorem prmdvdsfmtnof 48615

Description: The mapping of a Fermat number to its smallest prime factor is a function. (Contributed by AV, 4-Aug-2021.) (Proof shortened by II, 16-Feb-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
prmdvdsfmtnof.1	⊢ 𝐹 = (𝑓 ∈ ran FermatNo ↦ inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑓}, ℝ, < ))

Assertion

Ref	Expression
prmdvdsfmtnof	⊢ 𝐹:ran FermatNo⟶ℙ

Distinct variable group:   𝑓,𝑝

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑓, 𝑝)

Proof of Theorem prmdvdsfmtnof

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prmdvdsfmtnof.1	. 2 ⊢ 𝐹 = (𝑓 ∈ ran FermatNo ↦ inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑓}, ℝ, < ))
2		fmtnorn 48563	. . 3 ⊢ (𝑓 ∈ ran FermatNo ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ0 (FermatNo‘𝑛) = 𝑓)
3		ltso 11371	. . . . . 6 ⊢ < Or ℝ
4	3	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (FermatNo‘𝑛) = 𝑓) → < Or ℝ)
5		fmtnoge3 48559	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (FermatNo‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘3))
6	5	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (FermatNo‘𝑛) = 𝑓) → (FermatNo‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘3))
7		eleq1 2849	. . . . . . . . 9 ⊢ ((FermatNo‘𝑛) = 𝑓 → ((FermatNo‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘3) ↔ 𝑓 ∈ (ℤ≥‘3)))
8	7	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (FermatNo‘𝑛) = 𝑓) → ((FermatNo‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘3) ↔ 𝑓 ∈ (ℤ≥‘3)))
9	6, 8	mpbid 235	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (FermatNo‘𝑛) = 𝑓) → 𝑓 ∈ (ℤ≥‘3))
10		uzuzle23 12992	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑓 ∈ (ℤ≥‘2))
11	9, 10	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (FermatNo‘𝑛) = 𝑓) → 𝑓 ∈ (ℤ≥‘2))
12		eluz2nn 12996	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑓 ∈ ℕ)
13		prmdvdsfi 27416	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ ℕ → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑓} ∈ Fin)
14	11, 12, 13	3syl 19	. . . . 5 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (FermatNo‘𝑛) = 𝑓) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑓} ∈ Fin)
15		exprmfct 16860	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ∈ (ℤ≥‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ 𝑓)
16	11, 15	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (FermatNo‘𝑛) = 𝑓) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ 𝑓)
17		rabn0 4339	. . . . . 6 ⊢ ({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑓} ≠ ∅ ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ 𝑓)
18	16, 17	sylibr 237	. . . . 5 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (FermatNo‘𝑛) = 𝑓) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑓} ≠ ∅)
19		ssrab2 4028	. . . . . . 7 ⊢ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑓} ⊆ ℙ
20		prmssnn 16831	. . . . . . . 8 ⊢ ℙ ⊆ ℕ
21		nnssre 12320	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ ⊆ ℝ
22	20, 21	sstri 3940	. . . . . . 7 ⊢ ℙ ⊆ ℝ
23	19, 22	sstri 3940	. . . . . 6 ⊢ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑓} ⊆ ℝ
24	23	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (FermatNo‘𝑛) = 𝑓) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑓} ⊆ ℝ)
25		fiinfcl 9479	. . . . . 6 ⊢ (( < Or ℝ ∧ ({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑓} ∈ Fin ∧ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑓} ≠ ∅ ∧ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑓} ⊆ ℝ)) → inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑓}, ℝ, < ) ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑓})
26	19, 25	sselid 3929	. . . . 5 ⊢ (( < Or ℝ ∧ ({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑓} ∈ Fin ∧ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑓} ≠ ∅ ∧ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑓} ⊆ ℝ)) → inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑓}, ℝ, < ) ∈ ℙ)
27	4, 14, 18, 24, 26	syl13anc 1399	. . . 4 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (FermatNo‘𝑛) = 𝑓) → inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑓}, ℝ, < ) ∈ ℙ)
28	27	rexlimiva 3156	. . 3 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℕ0 (FermatNo‘𝑛) = 𝑓 → inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑓}, ℝ, < ) ∈ ℙ)
29	2, 28	sylbi 220	. 2 ⊢ (𝑓 ∈ ran FermatNo → inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑓}, ℝ, < ) ∈ ℙ)
30	1, 29	fmpti 7104	1 ⊢ 𝐹:ran FermatNo⟶ℙ

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  ∃wrex 3087  {crab 3413   ⊆ wss 3899  ∅c0 4279   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186   Or wor 5558  ran crn 5652  ⟶wf 6527  ‘cfv 6531  Fincfn 8957  infcinf 9417  ℝcr 11180   < clt 11324  ℕcn 12316  2c2 12378  3c3 12379  ℕ₀cn0 12587  ℤ_≥cuz 12946   ∥ cdvds 16402  ℙcprime 16826  FermatNocfmtno 48556

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258  ax-pre-sup 11259

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8460  df-2o 8461  df-er 8701  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-sup 9418  df-inf 9419  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-div 11955  df-nn 12317  df-2 12386  df-3 12387  df-n0 12588  df-z 12675  df-uz 12947  df-rp 13102  df-fz 13621  df-seq 14125  df-exp 14185  df-cj 15246  df-re 15247  df-im 15248  df-sqrt 15382  df-abs 15383  df-dvds 16403  df-prm 16827  df-fmtno 48557

This theorem is used by:  prmdvdsfmtnof1  48616