Theorem prmdvdsfmtnof 48497

Description: The mapping of a Fermat number to its smallest prime factor is a function. (Contributed by AV, 4-Aug-2021.) (Proof shortened by II, 16-Feb-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
prmdvdsfmtnof.1	⊢ 𝐹 = (𝑓 ∈ ran FermatNo ↦ inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑓}, ℝ, < ))

Assertion

Ref	Expression
prmdvdsfmtnof	⊢ 𝐹:ran FermatNo⟶ℙ

Distinct variable group:   𝑓,𝑝

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑓, 𝑝)

Proof of Theorem prmdvdsfmtnof

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prmdvdsfmtnof.1	. 2 ⊢ 𝐹 = (𝑓 ∈ ran FermatNo ↦ inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑓}, ℝ, < ))
2		fmtnorn 48445	. . 3 ⊢ (𝑓 ∈ ran FermatNo ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ0 (FermatNo‘𝑛) = 𝑓)
3		ltso 11318	. . . . . 6 ⊢ < Or ℝ
4	3	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (FermatNo‘𝑛) = 𝑓) → < Or ℝ)
5		fmtnoge3 48441	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (FermatNo‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘3))
6	5	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (FermatNo‘𝑛) = 𝑓) → (FermatNo‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘3))
7		eleq1 2850	. . . . . . . . 9 ⊢ ((FermatNo‘𝑛) = 𝑓 → ((FermatNo‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘3) ↔ 𝑓 ∈ (ℤ≥‘3)))
8	7	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (FermatNo‘𝑛) = 𝑓) → ((FermatNo‘𝑛) ∈ (ℤ≥‘3) ↔ 𝑓 ∈ (ℤ≥‘3)))
9	6, 8	mpbid 235	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (FermatNo‘𝑛) = 𝑓) → 𝑓 ∈ (ℤ≥‘3))
10		uzuzle23 12937	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑓 ∈ (ℤ≥‘2))
11	9, 10	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (FermatNo‘𝑛) = 𝑓) → 𝑓 ∈ (ℤ≥‘2))
12		eluz2nn 12941	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑓 ∈ ℕ)
13		prmdvdsfi 27351	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ ℕ → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑓} ∈ Fin)
14	11, 12, 13	3syl 19	. . . . 5 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (FermatNo‘𝑛) = 𝑓) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑓} ∈ Fin)
15		exprmfct 16801	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ∈ (ℤ≥‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ 𝑓)
16	11, 15	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (FermatNo‘𝑛) = 𝑓) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ 𝑓)
17		rabn0 4342	. . . . . 6 ⊢ ({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑓} ≠ ∅ ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ 𝑓)
18	16, 17	sylibr 237	. . . . 5 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (FermatNo‘𝑛) = 𝑓) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑓} ≠ ∅)
19		ssrab2 4031	. . . . . . 7 ⊢ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑓} ⊆ ℙ
20		prmssnn 16772	. . . . . . . 8 ⊢ ℙ ⊆ ℕ
21		nnssre 12265	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ ⊆ ℝ
22	20, 21	sstri 3943	. . . . . . 7 ⊢ ℙ ⊆ ℝ
23	19, 22	sstri 3943	. . . . . 6 ⊢ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑓} ⊆ ℝ
24	23	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (FermatNo‘𝑛) = 𝑓) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑓} ⊆ ℝ)
25		fiinfcl 9477	. . . . . 6 ⊢ (( < Or ℝ ∧ ({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑓} ∈ Fin ∧ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑓} ≠ ∅ ∧ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑓} ⊆ ℝ)) → inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑓}, ℝ, < ) ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑓})
26	19, 25	sselid 3932	. . . . 5 ⊢ (( < Or ℝ ∧ ({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑓} ∈ Fin ∧ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑓} ≠ ∅ ∧ {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑓} ⊆ ℝ)) → inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑓}, ℝ, < ) ∈ ℙ)
27	4, 14, 18, 24, 26	syl13anc 1399	. . . 4 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (FermatNo‘𝑛) = 𝑓) → inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑓}, ℝ, < ) ∈ ℙ)
28	27	rexlimiva 3157	. . 3 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℕ0 (FermatNo‘𝑛) = 𝑓 → inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑓}, ℝ, < ) ∈ ℙ)
29	2, 28	sylbi 220	. 2 ⊢ (𝑓 ∈ ran FermatNo → inf({𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑝 ∥ 𝑓}, ℝ, < ) ∈ ℙ)
30	1, 29	fmpti 7109	1 ⊢ 𝐹:ran FermatNo⟶ℙ

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957  ∃wrex 3088  {crab 3414   ⊆ wss 3902  ∅c0 4282   class class class wbr 5107   ↦ cmpt 5190   Or wor 5566  ran crn 5660  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  Fincfn 8956  infcinf 9415  ℝcr 11127   < clt 11271  ℕcn 12261  2c2 12323  3c3 12324  ℕ₀cn0 12532  ℤ_≥cuz 12891   ∥ cdvds 16348  ℙcprime 16767  FermatNocfmtno 48438

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205  ax-pre-sup 11206

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-2o 8460  df-er 8700  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-fin 8960  df-sup 9416  df-inf 9417  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11900  df-nn 12262  df-2 12331  df-3 12332  df-n0 12533  df-z 12620  df-uz 12892  df-rp 13047  df-fz 13566  df-seq 14070  df-exp 14130  df-cj 15190  df-re 15191  df-im 15192  df-sqrt 15326  df-abs 15327  df-dvds 16349  df-prm 16768  df-fmtno 48439

This theorem is used by:  prmdvdsfmtnof1  48498