Theorem aks4d1p7 42533

Description: Technical step in AKS lemma 4.1. (Contributed by metakunt, 31-Oct-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
aks4d1p7.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))
aks4d1p7.2	⊢ 𝐴 = ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1))
aks4d1p7.3	⊢ 𝐵 = (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5))
aks4d1p7.4	⊢ 𝑅 = inf({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}, ℝ, < )

Assertion

Ref	Expression
aks4d1p7	⊢ (𝜑 → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑟   𝐵,𝑟   𝑘,𝑁,𝑝   𝑅,𝑘,𝑝   𝑅,𝑟   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑟,𝑝)   𝐴(𝑘,𝑝)   𝐵(𝑘,𝑝)   𝑁(𝑟)

Proof of Theorem aks4d1p7

Dummy variables 𝑜 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		aks4d1p7.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))
2	1	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑅 → 𝑝 ∥ 𝑁)) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))
3		aks4d1p7.2	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1))
4		aks4d1p7.3	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5))
5		aks4d1p7.4	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = inf({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}, ℝ, < )
6		breq1 5089	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 = 𝑞 → (𝑝 ∥ 𝑅 ↔ 𝑞 ∥ 𝑅))
7		breq1 5089	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 = 𝑞 → (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑞 ∥ 𝑁))
8	6, 7	imbi12d 344	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 = 𝑞 → ((𝑝 ∥ 𝑅 → 𝑝 ∥ 𝑁) ↔ (𝑞 ∥ 𝑅 → 𝑞 ∥ 𝑁)))
9	8	cbvralvw 3216	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑅 → 𝑝 ∥ 𝑁) ↔ ∀𝑞 ∈ ℙ (𝑞 ∥ 𝑅 → 𝑞 ∥ 𝑁))
10	9	biimpi 216	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑅 → 𝑝 ∥ 𝑁) → ∀𝑞 ∈ ℙ (𝑞 ∥ 𝑅 → 𝑞 ∥ 𝑁))
11	10	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑅 → 𝑝 ∥ 𝑁)) → ∀𝑞 ∈ ℙ (𝑞 ∥ 𝑅 → 𝑞 ∥ 𝑁))
12	2, 3, 4, 5, 11	aks4d1p7d1 42532	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑅 → 𝑝 ∥ 𝑁)) → 𝑅 ∥ (𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))))
13	5	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = inf({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}, ℝ, < ))
14		ltso 11215	. . . . . . . . . . 11 ⊢ < Or ℝ
15	14	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → < Or ℝ)
16		fzfid 13924	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (1...𝐵) ∈ Fin)
17		ssrab2 4021	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴} ⊆ (1...𝐵)
18	17	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴} ⊆ (1...𝐵))
19	16, 18	ssfid 9170	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴} ∈ Fin)
20	1, 3, 4	aks4d1p3 42528	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ∃𝑟 ∈ (1...𝐵) ¬ 𝑟 ∥ 𝐴)
21		rabn0 4330	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴} ≠ ∅ ↔ ∃𝑟 ∈ (1...𝐵) ¬ 𝑟 ∥ 𝐴)
22	20, 21	sylibr 234	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴} ≠ ∅)
23		elfznn 13496	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑜 ∈ (1...𝐵) → 𝑜 ∈ ℕ)
24	23	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑜 ∈ (1...𝐵)) → 𝑜 ∈ ℕ)
25	24	nnred 12178	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑜 ∈ (1...𝐵)) → 𝑜 ∈ ℝ)
26	25	ex 412	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑜 ∈ (1...𝐵) → 𝑜 ∈ ℝ))
27	26	ssrdv 3928	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (1...𝐵) ⊆ ℝ)
28	18, 27	sstrd 3933	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴} ⊆ ℝ)
29	19, 22, 28	3jca 1129	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴} ∈ Fin ∧ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴} ≠ ∅ ∧ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴} ⊆ ℝ))
30		fiinfcl 9407	. . . . . . . . . 10 ⊢ (( < Or ℝ ∧ ({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴} ∈ Fin ∧ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴} ≠ ∅ ∧ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴} ⊆ ℝ)) → inf({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}, ℝ, < ) ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴})
31	15, 29, 30	syl2anc 585	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → inf({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}, ℝ, < ) ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴})
32	13, 31	eqeltrd 2837	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴})
33		breq1 5089	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (𝑟 ∥ 𝐴 ↔ 𝑅 ∥ 𝐴))
34	33	notbid 318	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (¬ 𝑟 ∥ 𝐴 ↔ ¬ 𝑅 ∥ 𝐴))
35	34	elrab 3635	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴} ↔ (𝑅 ∈ (1...𝐵) ∧ ¬ 𝑅 ∥ 𝐴))
36	32, 35	sylib 218	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∈ (1...𝐵) ∧ ¬ 𝑅 ∥ 𝐴))
37	36	simprd 495	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑅 ∥ 𝐴)
38	1, 3, 4, 5	aks4d1p4 42529	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∈ (1...𝐵) ∧ ¬ 𝑅 ∥ 𝐴))
39	38	simpld 494	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (1...𝐵))
40	39	elfzelzd 13468	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℤ)
41		eluzelz 12787	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑁 ∈ ℤ)
42	1, 41	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
43		2re 12244	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 2 ∈ ℝ
44	43	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
45		2pos 12273	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 0 < 2
46	45	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 0 < 2)
47	4	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)))
48	42	zred 12622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
49		0red 11136	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
50		3re 12250	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ 3 ∈ ℝ
51	50	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → 3 ∈ ℝ)
52		3pos 12275	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ 0 < 3
53	52	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → 0 < 3)
54		eluzle 12790	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 3 ≤ 𝑁)
55	1, 54	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → 3 ≤ 𝑁)
56	49, 51, 48, 53, 55	ltletrd 11295	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑁)
57		1red 11134	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
58		1lt2 12336	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ 1 < 2
59	58	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → 1 < 2)
60	57, 59	ltned 11271	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → 1 ≠ 2)
61	60	necomd 2988	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 2 ≠ 1)
62	44, 46, 48, 56, 61	relogbcld 42424	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (2 logb 𝑁) ∈ ℝ)
63		5nn0 12446	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 5 ∈ ℕ0
64	63	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → 5 ∈ ℕ0)
65	62, 64	reexpcld 14114	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑5) ∈ ℝ)
66	65	ceilcld 13791	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)) ∈ ℤ)
67	66	zred 12622	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)) ∈ ℝ)
68	47, 67	eqeltrd 2837	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
69		9re 12269	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 9 ∈ ℝ
70	69	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 9 ∈ ℝ)
71		9pos 12283	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 0 < 9
72	71	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 0 < 9)
73	48, 55	3lexlogpow5ineq4 42506	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 9 < ((2 logb 𝑁)↑5))
74	65	ceilged 13794	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑5) ≤ (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)))
75	70, 65, 67, 73, 74	ltletrd 11295	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 9 < (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)))
76	75, 47	breqtrrd 5114	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 9 < 𝐵)
77	49, 70, 68, 72, 76	lttrd 11296	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐵)
78	44, 46, 68, 77, 61	relogbcld 42424	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (2 logb 𝐵) ∈ ℝ)
79	78	flcld 13746	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℤ)
80	44	recnd 11162	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
81	49, 46	gtned 11270	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 2 ≠ 0)
82		logb1 26750	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0 ∧ 2 ≠ 1) → (2 logb 1) = 0)
83	80, 81, 61, 82	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (2 logb 1) = 0)
84	83	eqcomd 2743	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 0 = (2 logb 1))
85		2z 12548	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 2 ∈ ℤ
86	85	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℤ)
87	44	leidd 11705	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 2 ≤ 2)
88		0lt1 11661	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 0 < 1
89	88	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 0 < 1)
90		1lt9 12371	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 1 < 9
91	90	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 1 < 9)
92	57, 70, 91	ltled 11283	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ 9)
93	70, 68, 76	ltled 11283	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 9 ≤ 𝐵)
94	57, 70, 68, 92, 93	letrd 11292	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝐵)
95	86, 87, 57, 89, 68, 77, 94	logblebd 42427	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (2 logb 1) ≤ (2 logb 𝐵))
96	84, 95	eqbrtrd 5108	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (2 logb 𝐵))
97		0zd 12525	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
98		flge 13753	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((2 logb 𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℤ) → (0 ≤ (2 logb 𝐵) ↔ 0 ≤ (⌊‘(2 logb 𝐵))))
99	78, 97, 98	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ (2 logb 𝐵) ↔ 0 ≤ (⌊‘(2 logb 𝐵))))
100	96, 99	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (⌊‘(2 logb 𝐵)))
101	79, 100	jca 511	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (⌊‘(2 logb 𝐵))))
102		elnn0z 12526	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℕ0 ↔ ((⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (⌊‘(2 logb 𝐵))))
103	101, 102	sylibr 234	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℕ0)
104	42, 103	zexpcld 14038	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) ∈ ℤ)
105		fzfid 13924	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ∈ Fin)
106	42	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 𝑁 ∈ ℤ)
107		elfznn 13496	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → 𝑘 ∈ ℕ)
108	107	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 𝑘 ∈ ℕ)
109	108	nnnn0d 12487	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
110	106, 109	zexpcld 14038	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → (𝑁↑𝑘) ∈ ℤ)
111		1zzd 12547	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 1 ∈ ℤ)
112	110, 111	zsubcld 12627	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → ((𝑁↑𝑘) − 1) ∈ ℤ)
113	105, 112	fprodzcl 15908	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1) ∈ ℤ)
114		dvdsmultr1 16254	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ ℤ ∧ (𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) ∈ ℤ ∧ ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1) ∈ ℤ) → (𝑅 ∥ (𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) → 𝑅 ∥ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1))))
115	40, 104, 113, 114	syl3anc 1374	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∥ (𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) → 𝑅 ∥ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1))))
116	115	imp 406	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∥ (𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵)))) → 𝑅 ∥ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1)))
117	3	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1)))
118	117	breq2d 5098	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∥ 𝐴 ↔ 𝑅 ∥ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1))))
119	118	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∥ (𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵)))) → (𝑅 ∥ 𝐴 ↔ 𝑅 ∥ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1))))
120	116, 119	mpbird 257	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∥ (𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵)))) → 𝑅 ∥ 𝐴)
121	120	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∥ (𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) → 𝑅 ∥ 𝐴))
122	121	con3d 152	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝑅 ∥ 𝐴 → ¬ 𝑅 ∥ (𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵)))))
123	37, 122	mpd 15	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑅 ∥ (𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))))
124	123	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑅 → 𝑝 ∥ 𝑁)) → ¬ 𝑅 ∥ (𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))))
125	12, 124	pm2.65da 817	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑅 → 𝑝 ∥ 𝑁))
126		ianor 984	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁) ↔ (¬ 𝑝 ∥ 𝑅 ∨ ¬ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁))
127		notnotb 315	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ ¬ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)
128	127	orbi2i 913	. . . . . . . . 9 ⊢ ((¬ 𝑝 ∥ 𝑅 ∨ 𝑝 ∥ 𝑁) ↔ (¬ 𝑝 ∥ 𝑅 ∨ ¬ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁))
129	128	bicomi 224	. . . . . . . 8 ⊢ ((¬ 𝑝 ∥ 𝑅 ∨ ¬ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁) ↔ (¬ 𝑝 ∥ 𝑅 ∨ 𝑝 ∥ 𝑁))
130	126, 129	bitri 275	. . . . . . 7 ⊢ (¬ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁) ↔ (¬ 𝑝 ∥ 𝑅 ∨ 𝑝 ∥ 𝑁))
131		df-or 849	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ 𝑝 ∥ 𝑅 ∨ 𝑝 ∥ 𝑁) ↔ (¬ ¬ 𝑝 ∥ 𝑅 → 𝑝 ∥ 𝑁))
132	130, 131	bitri 275	. . . . . 6 ⊢ (¬ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁) ↔ (¬ ¬ 𝑝 ∥ 𝑅 → 𝑝 ∥ 𝑁))
133		notnotb 315	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 ∥ 𝑅 ↔ ¬ ¬ 𝑝 ∥ 𝑅)
134	133	imbi1i 349	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑝 ∥ 𝑅 → 𝑝 ∥ 𝑁) ↔ (¬ ¬ 𝑝 ∥ 𝑅 → 𝑝 ∥ 𝑁))
135	134	bicomi 224	. . . . . 6 ⊢ ((¬ ¬ 𝑝 ∥ 𝑅 → 𝑝 ∥ 𝑁) ↔ (𝑝 ∥ 𝑅 → 𝑝 ∥ 𝑁))
136	132, 135	bitri 275	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁) ↔ (𝑝 ∥ 𝑅 → 𝑝 ∥ 𝑁))
137	136	ralbii 3084	. . . 4 ⊢ (∀𝑝 ∈ ℙ ¬ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁) ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑅 → 𝑝 ∥ 𝑁))
138	137	notbii 320	. . 3 ⊢ (¬ ∀𝑝 ∈ ℙ ¬ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁) ↔ ¬ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑅 → 𝑝 ∥ 𝑁))
139	125, 138	sylibr 234	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ ∀𝑝 ∈ ℙ ¬ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁))
140		ralnex 3064	. . . 4 ⊢ (∀𝑝 ∈ ℙ ¬ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁) ↔ ¬ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁))
141	140	con2bii 357	. . 3 ⊢ (∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁) ↔ ¬ ∀𝑝 ∈ ℙ ¬ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁))
142	141	bicomi 224	. 2 ⊢ (¬ ∀𝑝 ∈ ℙ ¬ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁) ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁))
143	139, 142	sylib 218	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∀wral 3052  ∃wrex 3062  {crab 3390   ⊆ wss 3890  ∅c0 4274   class class class wbr 5086   Or wor 5529  ‘cfv 6490  (class class class)co 7358  Fincfn 8884  infcinf 9345  ℂcc 11025  ℝcr 11026  0cc0 11027  1c1 11028   · cmul 11032   < clt 11168   ≤ cle 11169   − cmin 11366  ℕcn 12163  2c2 12225  3c3 12226  5c5 12228  9c9 12232  ℕ₀cn0 12426  ℤcz 12513  ℤ_≥cuz 12777  ...cfz 13450  ⌊cfl 13738  ⌈cceil 13739  ↑cexp 14012  ∏cprod 15857   ∥ cdvds 16210  ℙcprime 16629   log_b clogb 26745

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-inf2 9551  ax-cc 10346  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104  ax-pre-sup 11105  ax-addf 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-symdif 4194  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-disj 5054  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-se 5576  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-isom 6499  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7622  df-ofr 7623  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-supp 8102  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-1o 8396  df-2o 8397  df-oadd 8400  df-omul 8401  df-er 8634  df-map 8766  df-pm 8767  df-ixp 8837  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-fsupp 9266  df-fi 9315  df-sup 9346  df-inf 9347  df-oi 9416  df-dju 9814  df-card 9852  df-acn 9855  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-div 11797  df-nn 12164  df-2 12233  df-3 12234  df-4 12235  df-5 12236  df-6 12237  df-7 12238  df-8 12239  df-9 12240  df-n0 12427  df-z 12514  df-dec 12634  df-uz 12778  df-q 12888  df-rp 12932  df-xneg 13052  df-xadd 13053  df-xmul 13054  df-ioo 13291  df-ioc 13292  df-ico 13293  df-icc 13294  df-fz 13451  df-fzo 13598  df-fl 13740  df-ceil 13741  df-mod 13818  df-seq 13953  df-exp 14013  df-fac 14225  df-bc 14254  df-hash 14282  df-shft 15018  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-limsup 15422  df-clim 15439  df-rlim 15440  df-sum 15638  df-prod 15858  df-ef 16021  df-e 16022  df-sin 16023  df-cos 16024  df-pi 16026  df-dvds 16211  df-gcd 16453  df-lcm 16548  df-lcmf 16549  df-prm 16630  df-pc 16797  df-struct 17106  df-sets 17123  df-slot 17141  df-ndx 17153  df-base 17169  df-ress 17190  df-plusg 17222  df-mulr 17223  df-starv 17224  df-sca 17225  df-vsca 17226  df-ip 17227  df-tset 17228  df-ple 17229  df-ds 17231  df-unif 17232  df-hom 17233  df-cco 17234  df-rest 17374  df-topn 17375  df-0g 17393  df-gsum 17394  df-topgen 17395  df-pt 17396  df-prds 17399  df-xrs 17455  df-qtop 17460  df-imas 17461  df-xps 17463  df-mre 17537  df-mrc 17538  df-acs 17540  df-mgm 18597  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-submnd 18741  df-mulg 19033  df-cntz 19281  df-cmn 19746  df-psmet 21334  df-xmet 21335  df-met 21336  df-bl 21337  df-mopn 21338  df-fbas 21339  df-fg 21340  df-cnfld 21343  df-top 22868  df-topon 22885  df-topsp 22907  df-bases 22920  df-cld 22993  df-ntr 22994  df-cls 22995  df-nei 23072  df-lp 23110  df-perf 23111  df-cn 23201  df-cnp 23202  df-haus 23289  df-cmp 23361  df-tx 23536  df-hmeo 23729  df-fil 23820  df-fm 23912  df-flim 23913  df-flf 23914  df-xms 24294  df-ms 24295  df-tms 24296  df-cncf 24854  df-ovol 25440  df-vol 25441  df-mbf 25595  df-itg1 25596  df-itg2 25597  df-ibl 25598  df-itg 25599  df-0p 25646  df-limc 25842  df-dv 25843  df-log 26536  df-cxp 26537  df-logb 26746

This theorem is referenced by:  aks4d1p8  42537