Theorem aks4d1p7 40948

Description: Technical step in AKS lemma 4.1 (Contributed by metakunt, 31-Oct-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
aks4d1p7.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))
aks4d1p7.2	⊢ 𝐴 = ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1))
aks4d1p7.3	⊢ 𝐵 = (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5))
aks4d1p7.4	⊢ 𝑅 = inf({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}, ℝ, < )

Assertion

Ref	Expression
aks4d1p7	⊢ (𝜑 → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑟   𝐵,𝑟   𝑘,𝑁,𝑝   𝑅,𝑘,𝑝   𝑅,𝑟   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑟,𝑝)   𝐴(𝑘,𝑝)   𝐵(𝑘,𝑝)   𝑁(𝑟)

Proof of Theorem aks4d1p7

Dummy variables 𝑜 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		aks4d1p7.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))
2	1	adantr 482	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑅 → 𝑝 ∥ 𝑁)) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))
3		aks4d1p7.2	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1))
4		aks4d1p7.3	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5))
5		aks4d1p7.4	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = inf({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}, ℝ, < )
6		breq1 5152	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 = 𝑞 → (𝑝 ∥ 𝑅 ↔ 𝑞 ∥ 𝑅))
7		breq1 5152	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 = 𝑞 → (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑞 ∥ 𝑁))
8	6, 7	imbi12d 345	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 = 𝑞 → ((𝑝 ∥ 𝑅 → 𝑝 ∥ 𝑁) ↔ (𝑞 ∥ 𝑅 → 𝑞 ∥ 𝑁)))
9	8	cbvralvw 3235	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑅 → 𝑝 ∥ 𝑁) ↔ ∀𝑞 ∈ ℙ (𝑞 ∥ 𝑅 → 𝑞 ∥ 𝑁))
10	9	biimpi 215	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑅 → 𝑝 ∥ 𝑁) → ∀𝑞 ∈ ℙ (𝑞 ∥ 𝑅 → 𝑞 ∥ 𝑁))
11	10	adantl 483	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑅 → 𝑝 ∥ 𝑁)) → ∀𝑞 ∈ ℙ (𝑞 ∥ 𝑅 → 𝑞 ∥ 𝑁))
12	2, 3, 4, 5, 11	aks4d1p7d1 40947	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑅 → 𝑝 ∥ 𝑁)) → 𝑅 ∥ (𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))))
13	5	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = inf({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}, ℝ, < ))
14		ltso 11294	. . . . . . . . . . 11 ⊢ < Or ℝ
15	14	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → < Or ℝ)
16		fzfid 13938	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (1...𝐵) ∈ Fin)
17		ssrab2 4078	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴} ⊆ (1...𝐵)
18	17	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴} ⊆ (1...𝐵))
19	16, 18	ssfid 9267	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴} ∈ Fin)
20	1, 3, 4	aks4d1p3 40943	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ∃𝑟 ∈ (1...𝐵) ¬ 𝑟 ∥ 𝐴)
21		rabn0 4386	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴} ≠ ∅ ↔ ∃𝑟 ∈ (1...𝐵) ¬ 𝑟 ∥ 𝐴)
22	20, 21	sylibr 233	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴} ≠ ∅)
23		elfznn 13530	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑜 ∈ (1...𝐵) → 𝑜 ∈ ℕ)
24	23	adantl 483	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑜 ∈ (1...𝐵)) → 𝑜 ∈ ℕ)
25	24	nnred 12227	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑜 ∈ (1...𝐵)) → 𝑜 ∈ ℝ)
26	25	ex 414	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑜 ∈ (1...𝐵) → 𝑜 ∈ ℝ))
27	26	ssrdv 3989	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (1...𝐵) ⊆ ℝ)
28	18, 27	sstrd 3993	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴} ⊆ ℝ)
29	19, 22, 28	3jca 1129	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴} ∈ Fin ∧ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴} ≠ ∅ ∧ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴} ⊆ ℝ))
30		fiinfcl 9496	. . . . . . . . . 10 ⊢ (( < Or ℝ ∧ ({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴} ∈ Fin ∧ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴} ≠ ∅ ∧ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴} ⊆ ℝ)) → inf({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}, ℝ, < ) ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴})
31	15, 29, 30	syl2anc 585	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → inf({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}, ℝ, < ) ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴})
32	13, 31	eqeltrd 2834	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴})
33		breq1 5152	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (𝑟 ∥ 𝐴 ↔ 𝑅 ∥ 𝐴))
34	33	notbid 318	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (¬ 𝑟 ∥ 𝐴 ↔ ¬ 𝑅 ∥ 𝐴))
35	34	elrab 3684	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴} ↔ (𝑅 ∈ (1...𝐵) ∧ ¬ 𝑅 ∥ 𝐴))
36	32, 35	sylib 217	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∈ (1...𝐵) ∧ ¬ 𝑅 ∥ 𝐴))
37	36	simprd 497	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑅 ∥ 𝐴)
38	1, 3, 4, 5	aks4d1p4 40944	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∈ (1...𝐵) ∧ ¬ 𝑅 ∥ 𝐴))
39	38	simpld 496	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (1...𝐵))
40	39	elfzelzd 13502	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℤ)
41		eluzelz 12832	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑁 ∈ ℤ)
42	1, 41	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
43		2re 12286	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 2 ∈ ℝ
44	43	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
45		2pos 12315	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 0 < 2
46	45	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 0 < 2)
47	4	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)))
48	42	zred 12666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
49		0red 11217	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
50		3re 12292	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ 3 ∈ ℝ
51	50	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → 3 ∈ ℝ)
52		3pos 12317	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ 0 < 3
53	52	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → 0 < 3)
54		eluzle 12835	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 3 ≤ 𝑁)
55	1, 54	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → 3 ≤ 𝑁)
56	49, 51, 48, 53, 55	ltletrd 11374	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑁)
57		1red 11215	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
58		1lt2 12383	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ 1 < 2
59	58	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → 1 < 2)
60	57, 59	ltned 11350	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → 1 ≠ 2)
61	60	necomd 2997	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 2 ≠ 1)
62	44, 46, 48, 56, 61	relogbcld 40838	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (2 logb 𝑁) ∈ ℝ)
63		5nn0 12492	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 5 ∈ ℕ0
64	63	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → 5 ∈ ℕ0)
65	62, 64	reexpcld 14128	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑5) ∈ ℝ)
66	65	ceilcld 13808	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)) ∈ ℤ)
67	66	zred 12666	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)) ∈ ℝ)
68	47, 67	eqeltrd 2834	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
69		9re 12311	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 9 ∈ ℝ
70	69	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 9 ∈ ℝ)
71		9pos 12325	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 0 < 9
72	71	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 0 < 9)
73	48, 55	3lexlogpow5ineq4 40921	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 9 < ((2 logb 𝑁)↑5))
74	65	ceilged 13811	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑5) ≤ (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)))
75	70, 65, 67, 73, 74	ltletrd 11374	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 9 < (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)))
76	75, 47	breqtrrd 5177	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 9 < 𝐵)
77	49, 70, 68, 72, 76	lttrd 11375	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐵)
78	44, 46, 68, 77, 61	relogbcld 40838	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (2 logb 𝐵) ∈ ℝ)
79	78	flcld 13763	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℤ)
80	44	recnd 11242	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
81	49, 46	gtned 11349	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 2 ≠ 0)
82		logb1 26274	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0 ∧ 2 ≠ 1) → (2 logb 1) = 0)
83	80, 81, 61, 82	syl3anc 1372	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (2 logb 1) = 0)
84	83	eqcomd 2739	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 0 = (2 logb 1))
85		2z 12594	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 2 ∈ ℤ
86	85	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℤ)
87	44	leidd 11780	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 2 ≤ 2)
88		0lt1 11736	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 0 < 1
89	88	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 0 < 1)
90		1lt9 12418	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 1 < 9
91	90	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 1 < 9)
92	57, 70, 91	ltled 11362	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ 9)
93	70, 68, 76	ltled 11362	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 9 ≤ 𝐵)
94	57, 70, 68, 92, 93	letrd 11371	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝐵)
95	86, 87, 57, 89, 68, 77, 94	logblebd 40841	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (2 logb 1) ≤ (2 logb 𝐵))
96	84, 95	eqbrtrd 5171	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (2 logb 𝐵))
97		0zd 12570	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
98		flge 13770	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((2 logb 𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℤ) → (0 ≤ (2 logb 𝐵) ↔ 0 ≤ (⌊‘(2 logb 𝐵))))
99	78, 97, 98	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ (2 logb 𝐵) ↔ 0 ≤ (⌊‘(2 logb 𝐵))))
100	96, 99	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (⌊‘(2 logb 𝐵)))
101	79, 100	jca 513	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (⌊‘(2 logb 𝐵))))
102		elnn0z 12571	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℕ0 ↔ ((⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (⌊‘(2 logb 𝐵))))
103	101, 102	sylibr 233	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℕ0)
104	42, 103	zexpcld 14053	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) ∈ ℤ)
105		fzfid 13938	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ∈ Fin)
106	42	adantr 482	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 𝑁 ∈ ℤ)
107		elfznn 13530	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → 𝑘 ∈ ℕ)
108	107	adantl 483	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 𝑘 ∈ ℕ)
109	108	nnnn0d 12532	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
110	106, 109	zexpcld 14053	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → (𝑁↑𝑘) ∈ ℤ)
111		1zzd 12593	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 1 ∈ ℤ)
112	110, 111	zsubcld 12671	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → ((𝑁↑𝑘) − 1) ∈ ℤ)
113	105, 112	fprodzcl 15898	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1) ∈ ℤ)
114		dvdsmultr1 16239	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ ℤ ∧ (𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) ∈ ℤ ∧ ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1) ∈ ℤ) → (𝑅 ∥ (𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) → 𝑅 ∥ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1))))
115	40, 104, 113, 114	syl3anc 1372	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∥ (𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) → 𝑅 ∥ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1))))
116	115	imp 408	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∥ (𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵)))) → 𝑅 ∥ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1)))
117	3	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1)))
118	117	breq2d 5161	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∥ 𝐴 ↔ 𝑅 ∥ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1))))
119	118	adantr 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∥ (𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵)))) → (𝑅 ∥ 𝐴 ↔ 𝑅 ∥ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1))))
120	116, 119	mpbird 257	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∥ (𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵)))) → 𝑅 ∥ 𝐴)
121	120	ex 414	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∥ (𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) → 𝑅 ∥ 𝐴))
122	121	con3d 152	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝑅 ∥ 𝐴 → ¬ 𝑅 ∥ (𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵)))))
123	37, 122	mpd 15	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑅 ∥ (𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))))
124	123	adantr 482	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑅 → 𝑝 ∥ 𝑁)) → ¬ 𝑅 ∥ (𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))))
125	12, 124	pm2.65da 816	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑅 → 𝑝 ∥ 𝑁))
126		ianor 981	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁) ↔ (¬ 𝑝 ∥ 𝑅 ∨ ¬ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁))
127		notnotb 315	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ ¬ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)
128	127	orbi2i 912	. . . . . . . . 9 ⊢ ((¬ 𝑝 ∥ 𝑅 ∨ 𝑝 ∥ 𝑁) ↔ (¬ 𝑝 ∥ 𝑅 ∨ ¬ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁))
129	128	bicomi 223	. . . . . . . 8 ⊢ ((¬ 𝑝 ∥ 𝑅 ∨ ¬ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁) ↔ (¬ 𝑝 ∥ 𝑅 ∨ 𝑝 ∥ 𝑁))
130	126, 129	bitri 275	. . . . . . 7 ⊢ (¬ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁) ↔ (¬ 𝑝 ∥ 𝑅 ∨ 𝑝 ∥ 𝑁))
131		df-or 847	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ 𝑝 ∥ 𝑅 ∨ 𝑝 ∥ 𝑁) ↔ (¬ ¬ 𝑝 ∥ 𝑅 → 𝑝 ∥ 𝑁))
132	130, 131	bitri 275	. . . . . 6 ⊢ (¬ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁) ↔ (¬ ¬ 𝑝 ∥ 𝑅 → 𝑝 ∥ 𝑁))
133		notnotb 315	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 ∥ 𝑅 ↔ ¬ ¬ 𝑝 ∥ 𝑅)
134	133	imbi1i 350	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑝 ∥ 𝑅 → 𝑝 ∥ 𝑁) ↔ (¬ ¬ 𝑝 ∥ 𝑅 → 𝑝 ∥ 𝑁))
135	134	bicomi 223	. . . . . 6 ⊢ ((¬ ¬ 𝑝 ∥ 𝑅 → 𝑝 ∥ 𝑁) ↔ (𝑝 ∥ 𝑅 → 𝑝 ∥ 𝑁))
136	132, 135	bitri 275	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁) ↔ (𝑝 ∥ 𝑅 → 𝑝 ∥ 𝑁))
137	136	ralbii 3094	. . . 4 ⊢ (∀𝑝 ∈ ℙ ¬ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁) ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑅 → 𝑝 ∥ 𝑁))
138	137	notbii 320	. . 3 ⊢ (¬ ∀𝑝 ∈ ℙ ¬ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁) ↔ ¬ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑅 → 𝑝 ∥ 𝑁))
139	125, 138	sylibr 233	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ ∀𝑝 ∈ ℙ ¬ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁))
140		ralnex 3073	. . . 4 ⊢ (∀𝑝 ∈ ℙ ¬ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁) ↔ ¬ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁))
141	140	con2bii 358	. . 3 ⊢ (∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁) ↔ ¬ ∀𝑝 ∈ ℙ ¬ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁))
142	141	bicomi 223	. 2 ⊢ (¬ ∀𝑝 ∈ ℙ ¬ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁) ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁))
143	139, 142	sylib 217	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2941  ∀wral 3062  ∃wrex 3071  {crab 3433   ⊆ wss 3949  ∅c0 4323   class class class wbr 5149   Or wor 5588  ‘cfv 6544  (class class class)co 7409  Fincfn 8939  infcinf 9436  ℂcc 11108  ℝcr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   · cmul 11115   < clt 11248   ≤ cle 11249   − cmin 11444  ℕcn 12212  2c2 12267  3c3 12268  5c5 12270  9c9 12274  ℕ₀cn0 12472  ℤcz 12558  ℤ_≥cuz 12822  ...cfz 13484  ⌊cfl 13755  ⌈cceil 13756  ↑cexp 14027  ∏cprod 15849   ∥ cdvds 16197  ℙcprime 16608   log_b clogb 26269

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cc 10430  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189  ax-mulf 11190

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-symdif 4243  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-disj 5115  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-ofr 7671  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-oadd 8470  df-omul 8471  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-dju 9896  df-card 9934  df-acn 9937  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ioo 13328  df-ioc 13329  df-ico 13330  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-ceil 13758  df-mod 13835  df-seq 13967  df-exp 14028  df-fac 14234  df-bc 14263  df-hash 14291  df-shft 15014  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-limsup 15415  df-clim 15432  df-rlim 15433  df-sum 15633  df-prod 15850  df-ef 16011  df-e 16012  df-sin 16013  df-cos 16014  df-pi 16016  df-dvds 16198  df-gcd 16436  df-lcm 16527  df-lcmf 16528  df-prm 16609  df-pc 16770  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-hom 17221  df-cco 17222  df-rest 17368  df-topn 17369  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-topgen 17389  df-pt 17390  df-prds 17393  df-xrs 17448  df-qtop 17453  df-imas 17454  df-xps 17456  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-submnd 18672  df-mulg 18951  df-cntz 19181  df-cmn 19650  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-fbas 20941  df-fg 20942  df-cnfld 20945  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-cld 22523  df-ntr 22524  df-cls 22525  df-nei 22602  df-lp 22640  df-perf 22641  df-cn 22731  df-cnp 22732  df-haus 22819  df-cmp 22891  df-tx 23066  df-hmeo 23259  df-fil 23350  df-fm 23442  df-flim 23443  df-flf 23444  df-xms 23826  df-ms 23827  df-tms 23828  df-cncf 24394  df-ovol 24981  df-vol 24982  df-mbf 25136  df-itg1 25137  df-itg2 25138  df-ibl 25139  df-itg 25140  df-0p 25187  df-limc 25383  df-dv 25384  df-log 26065  df-cxp 26066  df-logb 26270

This theorem is referenced by:  aks4d1p8  40952