Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  aks4d1p7 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem aks4d1p7 41034
Description: Technical step in AKS lemma 4.1 (Contributed by metakunt, 31-Oct-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
aks4d1p7.1 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3))
aks4d1p7.2 ๐ด = ((๐‘โ†‘(โŒŠโ€˜(2 logb ๐ต))) ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))((๐‘โ†‘๐‘˜) โˆ’ 1))
aks4d1p7.3 ๐ต = (โŒˆโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘5))
aks4d1p7.4 ๐‘… = inf({๐‘Ÿ โˆˆ (1...๐ต) โˆฃ ยฌ ๐‘Ÿ โˆฅ ๐ด}, โ„, < )
Assertion
Ref Expression
aks4d1p7 (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ โˆฅ ๐‘… โˆง ยฌ ๐‘ โˆฅ ๐‘))
Distinct variable groups:   ๐ด,๐‘Ÿ   ๐ต,๐‘Ÿ   ๐‘˜,๐‘,๐‘   ๐‘…,๐‘˜,๐‘   ๐‘…,๐‘Ÿ   ๐œ‘,๐‘˜
Allowed substitution hints:   ๐œ‘(๐‘Ÿ,๐‘)   ๐ด(๐‘˜,๐‘)   ๐ต(๐‘˜,๐‘)   ๐‘(๐‘Ÿ)

Proof of Theorem aks4d1p7
Dummy variables ๐‘œ ๐‘ž are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 aks4d1p7.1 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3))
21adantr 481 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ โˆฅ ๐‘… โ†’ ๐‘ โˆฅ ๐‘)) โ†’ ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3))
3 aks4d1p7.2 . . . . 5 ๐ด = ((๐‘โ†‘(โŒŠโ€˜(2 logb ๐ต))) ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))((๐‘โ†‘๐‘˜) โˆ’ 1))
4 aks4d1p7.3 . . . . 5 ๐ต = (โŒˆโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘5))
5 aks4d1p7.4 . . . . 5 ๐‘… = inf({๐‘Ÿ โˆˆ (1...๐ต) โˆฃ ยฌ ๐‘Ÿ โˆฅ ๐ด}, โ„, < )
6 breq1 5151 . . . . . . . . 9 (๐‘ = ๐‘ž โ†’ (๐‘ โˆฅ ๐‘… โ†” ๐‘ž โˆฅ ๐‘…))
7 breq1 5151 . . . . . . . . 9 (๐‘ = ๐‘ž โ†’ (๐‘ โˆฅ ๐‘ โ†” ๐‘ž โˆฅ ๐‘))
86, 7imbi12d 344 . . . . . . . 8 (๐‘ = ๐‘ž โ†’ ((๐‘ โˆฅ ๐‘… โ†’ ๐‘ โˆฅ ๐‘) โ†” (๐‘ž โˆฅ ๐‘… โ†’ ๐‘ž โˆฅ ๐‘)))
98cbvralvw 3234 . . . . . . 7 (โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ โˆฅ ๐‘… โ†’ ๐‘ โˆฅ ๐‘) โ†” โˆ€๐‘ž โˆˆ โ„™ (๐‘ž โˆฅ ๐‘… โ†’ ๐‘ž โˆฅ ๐‘))
109biimpi 215 . . . . . 6 (โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ โˆฅ ๐‘… โ†’ ๐‘ โˆฅ ๐‘) โ†’ โˆ€๐‘ž โˆˆ โ„™ (๐‘ž โˆฅ ๐‘… โ†’ ๐‘ž โˆฅ ๐‘))
1110adantl 482 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ โˆฅ ๐‘… โ†’ ๐‘ โˆฅ ๐‘)) โ†’ โˆ€๐‘ž โˆˆ โ„™ (๐‘ž โˆฅ ๐‘… โ†’ ๐‘ž โˆฅ ๐‘))
122, 3, 4, 5, 11aks4d1p7d1 41033 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ โˆฅ ๐‘… โ†’ ๐‘ โˆฅ ๐‘)) โ†’ ๐‘… โˆฅ (๐‘โ†‘(โŒŠโ€˜(2 logb ๐ต))))
135a1i 11 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… = inf({๐‘Ÿ โˆˆ (1...๐ต) โˆฃ ยฌ ๐‘Ÿ โˆฅ ๐ด}, โ„, < ))
14 ltso 11296 . . . . . . . . . . 11 < Or โ„
1514a1i 11 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ < Or โ„)
16 fzfid 13940 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (1...๐ต) โˆˆ Fin)
17 ssrab2 4077 . . . . . . . . . . . . 13 {๐‘Ÿ โˆˆ (1...๐ต) โˆฃ ยฌ ๐‘Ÿ โˆฅ ๐ด} โŠ† (1...๐ต)
1817a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ {๐‘Ÿ โˆˆ (1...๐ต) โˆฃ ยฌ ๐‘Ÿ โˆฅ ๐ด} โŠ† (1...๐ต))
1916, 18ssfid 9269 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ {๐‘Ÿ โˆˆ (1...๐ต) โˆฃ ยฌ ๐‘Ÿ โˆฅ ๐ด} โˆˆ Fin)
201, 3, 4aks4d1p3 41029 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ (1...๐ต) ยฌ ๐‘Ÿ โˆฅ ๐ด)
21 rabn0 4385 . . . . . . . . . . . 12 ({๐‘Ÿ โˆˆ (1...๐ต) โˆฃ ยฌ ๐‘Ÿ โˆฅ ๐ด} โ‰  โˆ… โ†” โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ (1...๐ต) ยฌ ๐‘Ÿ โˆฅ ๐ด)
2220, 21sylibr 233 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ {๐‘Ÿ โˆˆ (1...๐ต) โˆฃ ยฌ ๐‘Ÿ โˆฅ ๐ด} โ‰  โˆ…)
23 elfznn 13532 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘œ โˆˆ (1...๐ต) โ†’ ๐‘œ โˆˆ โ„•)
2423adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐‘œ โˆˆ (1...๐ต)) โ†’ ๐‘œ โˆˆ โ„•)
2524nnred 12229 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘œ โˆˆ (1...๐ต)) โ†’ ๐‘œ โˆˆ โ„)
2625ex 413 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (๐‘œ โˆˆ (1...๐ต) โ†’ ๐‘œ โˆˆ โ„))
2726ssrdv 3988 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (1...๐ต) โŠ† โ„)
2818, 27sstrd 3992 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ {๐‘Ÿ โˆˆ (1...๐ต) โˆฃ ยฌ ๐‘Ÿ โˆฅ ๐ด} โŠ† โ„)
2919, 22, 283jca 1128 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ({๐‘Ÿ โˆˆ (1...๐ต) โˆฃ ยฌ ๐‘Ÿ โˆฅ ๐ด} โˆˆ Fin โˆง {๐‘Ÿ โˆˆ (1...๐ต) โˆฃ ยฌ ๐‘Ÿ โˆฅ ๐ด} โ‰  โˆ… โˆง {๐‘Ÿ โˆˆ (1...๐ต) โˆฃ ยฌ ๐‘Ÿ โˆฅ ๐ด} โŠ† โ„))
30 fiinfcl 9498 . . . . . . . . . 10 (( < Or โ„ โˆง ({๐‘Ÿ โˆˆ (1...๐ต) โˆฃ ยฌ ๐‘Ÿ โˆฅ ๐ด} โˆˆ Fin โˆง {๐‘Ÿ โˆˆ (1...๐ต) โˆฃ ยฌ ๐‘Ÿ โˆฅ ๐ด} โ‰  โˆ… โˆง {๐‘Ÿ โˆˆ (1...๐ต) โˆฃ ยฌ ๐‘Ÿ โˆฅ ๐ด} โŠ† โ„)) โ†’ inf({๐‘Ÿ โˆˆ (1...๐ต) โˆฃ ยฌ ๐‘Ÿ โˆฅ ๐ด}, โ„, < ) โˆˆ {๐‘Ÿ โˆˆ (1...๐ต) โˆฃ ยฌ ๐‘Ÿ โˆฅ ๐ด})
3115, 29, 30syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ inf({๐‘Ÿ โˆˆ (1...๐ต) โˆฃ ยฌ ๐‘Ÿ โˆฅ ๐ด}, โ„, < ) โˆˆ {๐‘Ÿ โˆˆ (1...๐ต) โˆฃ ยฌ ๐‘Ÿ โˆฅ ๐ด})
3213, 31eqeltrd 2833 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ {๐‘Ÿ โˆˆ (1...๐ต) โˆฃ ยฌ ๐‘Ÿ โˆฅ ๐ด})
33 breq1 5151 . . . . . . . . . 10 (๐‘Ÿ = ๐‘… โ†’ (๐‘Ÿ โˆฅ ๐ด โ†” ๐‘… โˆฅ ๐ด))
3433notbid 317 . . . . . . . . 9 (๐‘Ÿ = ๐‘… โ†’ (ยฌ ๐‘Ÿ โˆฅ ๐ด โ†” ยฌ ๐‘… โˆฅ ๐ด))
3534elrab 3683 . . . . . . . 8 (๐‘… โˆˆ {๐‘Ÿ โˆˆ (1...๐ต) โˆฃ ยฌ ๐‘Ÿ โˆฅ ๐ด} โ†” (๐‘… โˆˆ (1...๐ต) โˆง ยฌ ๐‘… โˆฅ ๐ด))
3632, 35sylib 217 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘… โˆˆ (1...๐ต) โˆง ยฌ ๐‘… โˆฅ ๐ด))
3736simprd 496 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ยฌ ๐‘… โˆฅ ๐ด)
381, 3, 4, 5aks4d1p4 41030 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (๐‘… โˆˆ (1...๐ต) โˆง ยฌ ๐‘… โˆฅ ๐ด))
3938simpld 495 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ (1...๐ต))
4039elfzelzd 13504 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„ค)
41 eluzelz 12834 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
421, 41syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
43 2re 12288 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 โˆˆ โ„
4443a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ 2 โˆˆ โ„)
45 2pos 12317 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 < 2
4645a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ 0 < 2)
474a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ ๐ต = (โŒˆโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘5)))
4842zred 12668 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
49 0red 11219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (๐œ‘ โ†’ 0 โˆˆ โ„)
50 3re 12294 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3 โˆˆ โ„
5150a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (๐œ‘ โ†’ 3 โˆˆ โ„)
52 3pos 12319 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 0 < 3
5352a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (๐œ‘ โ†’ 0 < 3)
54 eluzle 12837 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3) โ†’ 3 โ‰ค ๐‘)
551, 54syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (๐œ‘ โ†’ 3 โ‰ค ๐‘)
5649, 51, 48, 53, 55ltletrd 11376 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐œ‘ โ†’ 0 < ๐‘)
57 1red 11217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„)
58 1lt2 12385 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1 < 2
5958a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (๐œ‘ โ†’ 1 < 2)
6057, 59ltned 11352 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (๐œ‘ โ†’ 1 โ‰  2)
6160necomd 2996 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐œ‘ โ†’ 2 โ‰  1)
6244, 46, 48, 56, 61relogbcld 40924 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐œ‘ โ†’ (2 logb ๐‘) โˆˆ โ„)
63 5nn0 12494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 5 โˆˆ โ„•0
6463a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐œ‘ โ†’ 5 โˆˆ โ„•0)
6562, 64reexpcld 14130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐œ‘ โ†’ ((2 logb ๐‘)โ†‘5) โˆˆ โ„)
6665ceilcld 13810 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐œ‘ โ†’ (โŒˆโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘5)) โˆˆ โ„ค)
6766zred 12668 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ (โŒˆโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘5)) โˆˆ โ„)
6847, 67eqeltrd 2833 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
69 9re 12313 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 9 โˆˆ โ„
7069a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ 9 โˆˆ โ„)
71 9pos 12327 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 0 < 9
7271a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ 0 < 9)
7348, 553lexlogpow5ineq4 41007 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐œ‘ โ†’ 9 < ((2 logb ๐‘)โ†‘5))
7465ceilged 13813 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐œ‘ โ†’ ((2 logb ๐‘)โ†‘5) โ‰ค (โŒˆโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘5)))
7570, 65, 67, 73, 74ltletrd 11376 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐œ‘ โ†’ 9 < (โŒˆโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘5)))
7675, 47breqtrrd 5176 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ 9 < ๐ต)
7749, 70, 68, 72, 76lttrd 11377 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ 0 < ๐ต)
7844, 46, 68, 77, 61relogbcld 40924 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ (2 logb ๐ต) โˆˆ โ„)
7978flcld 13765 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (โŒŠโ€˜(2 logb ๐ต)) โˆˆ โ„ค)
8044recnd 11244 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐œ‘ โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
8149, 46gtned 11351 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐œ‘ โ†’ 2 โ‰  0)
82 logb1 26281 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((2 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โ‰  0 โˆง 2 โ‰  1) โ†’ (2 logb 1) = 0)
8380, 81, 61, 82syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ (2 logb 1) = 0)
8483eqcomd 2738 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ 0 = (2 logb 1))
85 2z 12596 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2 โˆˆ โ„ค
8685a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ 2 โˆˆ โ„ค)
8744leidd 11782 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ 2 โ‰ค 2)
88 0lt1 11738 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 0 < 1
8988a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ 0 < 1)
90 1lt9 12420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1 < 9
9190a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐œ‘ โ†’ 1 < 9)
9257, 70, 91ltled 11364 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐œ‘ โ†’ 1 โ‰ค 9)
9370, 68, 76ltled 11364 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐œ‘ โ†’ 9 โ‰ค ๐ต)
9457, 70, 68, 92, 93letrd 11373 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ 1 โ‰ค ๐ต)
9586, 87, 57, 89, 68, 77, 94logblebd 40927 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ (2 logb 1) โ‰ค (2 logb ๐ต))
9684, 95eqbrtrd 5170 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค (2 logb ๐ต))
97 0zd 12572 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ 0 โˆˆ โ„ค)
98 flge 13772 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((2 logb ๐ต) โˆˆ โ„ โˆง 0 โˆˆ โ„ค) โ†’ (0 โ‰ค (2 logb ๐ต) โ†” 0 โ‰ค (โŒŠโ€˜(2 logb ๐ต))))
9978, 97, 98syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ (0 โ‰ค (2 logb ๐ต) โ†” 0 โ‰ค (โŒŠโ€˜(2 logb ๐ต))))
10096, 99mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค (โŒŠโ€˜(2 logb ๐ต)))
10179, 100jca 512 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ((โŒŠโ€˜(2 logb ๐ต)) โˆˆ โ„ค โˆง 0 โ‰ค (โŒŠโ€˜(2 logb ๐ต))))
102 elnn0z 12573 . . . . . . . . . . . . 13 ((โŒŠโ€˜(2 logb ๐ต)) โˆˆ โ„•0 โ†” ((โŒŠโ€˜(2 logb ๐ต)) โˆˆ โ„ค โˆง 0 โ‰ค (โŒŠโ€˜(2 logb ๐ต))))
103101, 102sylibr 233 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (โŒŠโ€˜(2 logb ๐ต)) โˆˆ โ„•0)
10442, 103zexpcld 14055 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐‘โ†‘(โŒŠโ€˜(2 logb ๐ต))) โˆˆ โ„ค)
105 fzfid 13940 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2))) โˆˆ Fin)
10642adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
107 elfznn 13532 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2))) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•)
108107adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•)
109108nnnn0d 12534 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
110106, 109zexpcld 14055 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))) โ†’ (๐‘โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„ค)
111 1zzd 12595 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))) โ†’ 1 โˆˆ โ„ค)
112110, 111zsubcld 12673 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))) โ†’ ((๐‘โ†‘๐‘˜) โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค)
113105, 112fprodzcl 15900 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))((๐‘โ†‘๐‘˜) โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค)
114 dvdsmultr1 16241 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘… โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘โ†‘(โŒŠโ€˜(2 logb ๐ต))) โˆˆ โ„ค โˆง โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))((๐‘โ†‘๐‘˜) โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘… โˆฅ (๐‘โ†‘(โŒŠโ€˜(2 logb ๐ต))) โ†’ ๐‘… โˆฅ ((๐‘โ†‘(โŒŠโ€˜(2 logb ๐ต))) ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))((๐‘โ†‘๐‘˜) โˆ’ 1))))
11540, 104, 113, 114syl3anc 1371 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐‘… โˆฅ (๐‘โ†‘(โŒŠโ€˜(2 logb ๐ต))) โ†’ ๐‘… โˆฅ ((๐‘โ†‘(โŒŠโ€˜(2 logb ๐ต))) ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))((๐‘โ†‘๐‘˜) โˆ’ 1))))
116115imp 407 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘… โˆฅ (๐‘โ†‘(โŒŠโ€˜(2 logb ๐ต)))) โ†’ ๐‘… โˆฅ ((๐‘โ†‘(โŒŠโ€˜(2 logb ๐ต))) ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))((๐‘โ†‘๐‘˜) โˆ’ 1)))
1173a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐ด = ((๐‘โ†‘(โŒŠโ€˜(2 logb ๐ต))) ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))((๐‘โ†‘๐‘˜) โˆ’ 1)))
118117breq2d 5160 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐‘… โˆฅ ๐ด โ†” ๐‘… โˆฅ ((๐‘โ†‘(โŒŠโ€˜(2 logb ๐ต))) ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))((๐‘โ†‘๐‘˜) โˆ’ 1))))
119118adantr 481 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘… โˆฅ (๐‘โ†‘(โŒŠโ€˜(2 logb ๐ต)))) โ†’ (๐‘… โˆฅ ๐ด โ†” ๐‘… โˆฅ ((๐‘โ†‘(โŒŠโ€˜(2 logb ๐ต))) ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))((๐‘โ†‘๐‘˜) โˆ’ 1))))
120116, 119mpbird 256 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘… โˆฅ (๐‘โ†‘(โŒŠโ€˜(2 logb ๐ต)))) โ†’ ๐‘… โˆฅ ๐ด)
121120ex 413 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘… โˆฅ (๐‘โ†‘(โŒŠโ€˜(2 logb ๐ต))) โ†’ ๐‘… โˆฅ ๐ด))
122121con3d 152 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (ยฌ ๐‘… โˆฅ ๐ด โ†’ ยฌ ๐‘… โˆฅ (๐‘โ†‘(โŒŠโ€˜(2 logb ๐ต)))))
12337, 122mpd 15 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ยฌ ๐‘… โˆฅ (๐‘โ†‘(โŒŠโ€˜(2 logb ๐ต))))
124123adantr 481 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ โˆฅ ๐‘… โ†’ ๐‘ โˆฅ ๐‘)) โ†’ ยฌ ๐‘… โˆฅ (๐‘โ†‘(โŒŠโ€˜(2 logb ๐ต))))
12512, 124pm2.65da 815 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ยฌ โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ โˆฅ ๐‘… โ†’ ๐‘ โˆฅ ๐‘))
126 ianor 980 . . . . . . . 8 (ยฌ (๐‘ โˆฅ ๐‘… โˆง ยฌ ๐‘ โˆฅ ๐‘) โ†” (ยฌ ๐‘ โˆฅ ๐‘… โˆจ ยฌ ยฌ ๐‘ โˆฅ ๐‘))
127 notnotb 314 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆฅ ๐‘ โ†” ยฌ ยฌ ๐‘ โˆฅ ๐‘)
128127orbi2i 911 . . . . . . . . 9 ((ยฌ ๐‘ โˆฅ ๐‘… โˆจ ๐‘ โˆฅ ๐‘) โ†” (ยฌ ๐‘ โˆฅ ๐‘… โˆจ ยฌ ยฌ ๐‘ โˆฅ ๐‘))
129128bicomi 223 . . . . . . . 8 ((ยฌ ๐‘ โˆฅ ๐‘… โˆจ ยฌ ยฌ ๐‘ โˆฅ ๐‘) โ†” (ยฌ ๐‘ โˆฅ ๐‘… โˆจ ๐‘ โˆฅ ๐‘))
130126, 129bitri 274 . . . . . . 7 (ยฌ (๐‘ โˆฅ ๐‘… โˆง ยฌ ๐‘ โˆฅ ๐‘) โ†” (ยฌ ๐‘ โˆฅ ๐‘… โˆจ ๐‘ โˆฅ ๐‘))
131 df-or 846 . . . . . . 7 ((ยฌ ๐‘ โˆฅ ๐‘… โˆจ ๐‘ โˆฅ ๐‘) โ†” (ยฌ ยฌ ๐‘ โˆฅ ๐‘… โ†’ ๐‘ โˆฅ ๐‘))
132130, 131bitri 274 . . . . . 6 (ยฌ (๐‘ โˆฅ ๐‘… โˆง ยฌ ๐‘ โˆฅ ๐‘) โ†” (ยฌ ยฌ ๐‘ โˆฅ ๐‘… โ†’ ๐‘ โˆฅ ๐‘))
133 notnotb 314 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆฅ ๐‘… โ†” ยฌ ยฌ ๐‘ โˆฅ ๐‘…)
134133imbi1i 349 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆฅ ๐‘… โ†’ ๐‘ โˆฅ ๐‘) โ†” (ยฌ ยฌ ๐‘ โˆฅ ๐‘… โ†’ ๐‘ โˆฅ ๐‘))
135134bicomi 223 . . . . . 6 ((ยฌ ยฌ ๐‘ โˆฅ ๐‘… โ†’ ๐‘ โˆฅ ๐‘) โ†” (๐‘ โˆฅ ๐‘… โ†’ ๐‘ โˆฅ ๐‘))
136132, 135bitri 274 . . . . 5 (ยฌ (๐‘ โˆฅ ๐‘… โˆง ยฌ ๐‘ โˆฅ ๐‘) โ†” (๐‘ โˆฅ ๐‘… โ†’ ๐‘ โˆฅ ๐‘))
137136ralbii 3093 . . . 4 (โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ ยฌ (๐‘ โˆฅ ๐‘… โˆง ยฌ ๐‘ โˆฅ ๐‘) โ†” โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ โˆฅ ๐‘… โ†’ ๐‘ โˆฅ ๐‘))
138137notbii 319 . . 3 (ยฌ โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ ยฌ (๐‘ โˆฅ ๐‘… โˆง ยฌ ๐‘ โˆฅ ๐‘) โ†” ยฌ โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ โˆฅ ๐‘… โ†’ ๐‘ โˆฅ ๐‘))
139125, 138sylibr 233 . 2 (๐œ‘ โ†’ ยฌ โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ ยฌ (๐‘ โˆฅ ๐‘… โˆง ยฌ ๐‘ โˆฅ ๐‘))
140 ralnex 3072 . . . 4 (โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ ยฌ (๐‘ โˆฅ ๐‘… โˆง ยฌ ๐‘ โˆฅ ๐‘) โ†” ยฌ โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ โˆฅ ๐‘… โˆง ยฌ ๐‘ โˆฅ ๐‘))
141140con2bii 357 . . 3 (โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ โˆฅ ๐‘… โˆง ยฌ ๐‘ โˆฅ ๐‘) โ†” ยฌ โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ ยฌ (๐‘ โˆฅ ๐‘… โˆง ยฌ ๐‘ โˆฅ ๐‘))
142141bicomi 223 . 2 (ยฌ โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ ยฌ (๐‘ โˆฅ ๐‘… โˆง ยฌ ๐‘ โˆฅ ๐‘) โ†” โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ โˆฅ ๐‘… โˆง ยฌ ๐‘ โˆฅ ๐‘))
143139, 142sylib 217 1 (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ โˆฅ ๐‘… โˆง ยฌ ๐‘ โˆฅ ๐‘))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 396   โˆจ wo 845   โˆง w3a 1087   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106   โ‰  wne 2940  โˆ€wral 3061  โˆƒwrex 3070  {crab 3432   โŠ† wss 3948  โˆ…c0 4322   class class class wbr 5148   Or wor 5587  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  Fincfn 8941  infcinf 9438  โ„‚cc 11110  โ„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   ยท cmul 11117   < clt 11250   โ‰ค cle 11251   โˆ’ cmin 11446  โ„•cn 12214  2c2 12269  3c3 12270  5c5 12272  9c9 12276  โ„•0cn0 12474  โ„คcz 12560  โ„คโ‰ฅcuz 12824  ...cfz 13486  โŒŠcfl 13757  โŒˆcceil 13758  โ†‘cexp 14029  โˆcprod 15851   โˆฅ cdvds 16199  โ„™cprime 16610   logb clogb 26276
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cc 10432  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-symdif 4242  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-disj 5114  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-ofr 7673  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-oadd 8472  df-omul 8473  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-dju 9898  df-card 9936  df-acn 9939  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-7 12282  df-8 12283  df-9 12284  df-n0 12475  df-z 12561  df-dec 12680  df-uz 12825  df-q 12935  df-rp 12977  df-xneg 13094  df-xadd 13095  df-xmul 13096  df-ioo 13330  df-ioc 13331  df-ico 13332  df-icc 13333  df-fz 13487  df-fzo 13630  df-fl 13759  df-ceil 13760  df-mod 13837  df-seq 13969  df-exp 14030  df-fac 14236  df-bc 14265  df-hash 14293  df-shft 15016  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-limsup 15417  df-clim 15434  df-rlim 15435  df-sum 15635  df-prod 15852  df-ef 16013  df-e 16014  df-sin 16015  df-cos 16016  df-pi 16018  df-dvds 16200  df-gcd 16438  df-lcm 16529  df-lcmf 16530  df-prm 16611  df-pc 16772  df-struct 17082  df-sets 17099  df-slot 17117  df-ndx 17129  df-base 17147  df-ress 17176  df-plusg 17212  df-mulr 17213  df-starv 17214  df-sca 17215  df-vsca 17216  df-ip 17217  df-tset 17218  df-ple 17219  df-ds 17221  df-unif 17222  df-hom 17223  df-cco 17224  df-rest 17370  df-topn 17371  df-0g 17389  df-gsum 17390  df-topgen 17391  df-pt 17392  df-prds 17395  df-xrs 17450  df-qtop 17455  df-imas 17456  df-xps 17458  df-mre 17532  df-mrc 17533  df-acs 17535  df-mgm 18563  df-sgrp 18612  df-mnd 18628  df-submnd 18674  df-mulg 18953  df-cntz 19183  df-cmn 19652  df-psmet 20942  df-xmet 20943  df-met 20944  df-bl 20945  df-mopn 20946  df-fbas 20947  df-fg 20948  df-cnfld 20951  df-top 22403  df-topon 22420  df-topsp 22442  df-bases 22456  df-cld 22530  df-ntr 22531  df-cls 22532  df-nei 22609  df-lp 22647  df-perf 22648  df-cn 22738  df-cnp 22739  df-haus 22826  df-cmp 22898  df-tx 23073  df-hmeo 23266  df-fil 23357  df-fm 23449  df-flim 23450  df-flf 23451  df-xms 23833  df-ms 23834  df-tms 23835  df-cncf 24401  df-ovol 24988  df-vol 24989  df-mbf 25143  df-itg1 25144  df-itg2 25145  df-ibl 25146  df-itg 25147  df-0p 25194  df-limc 25390  df-dv 25391  df-log 26072  df-cxp 26073  df-logb 26277
This theorem is referenced by:  aks4d1p8  41038
  Copyright terms: Public domain W3C validator