Theorem aks4d1p7 42405

Description: Technical step in AKS lemma 4.1 (Contributed by metakunt, 31-Oct-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
aks4d1p7.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))
aks4d1p7.2	⊢ 𝐴 = ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1))
aks4d1p7.3	⊢ 𝐵 = (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5))
aks4d1p7.4	⊢ 𝑅 = inf({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}, ℝ, < )

Assertion

Ref	Expression
aks4d1p7	⊢ (𝜑 → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑟   𝐵,𝑟   𝑘,𝑁,𝑝   𝑅,𝑘,𝑝   𝑅,𝑟   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑟,𝑝)   𝐴(𝑘,𝑝)   𝐵(𝑘,𝑝)   𝑁(𝑟)

Proof of Theorem aks4d1p7

Dummy variables 𝑜 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		aks4d1p7.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))
2	1	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑅 → 𝑝 ∥ 𝑁)) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))
3		aks4d1p7.2	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1))
4		aks4d1p7.3	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5))
5		aks4d1p7.4	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = inf({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}, ℝ, < )
6		breq1 5102	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 = 𝑞 → (𝑝 ∥ 𝑅 ↔ 𝑞 ∥ 𝑅))
7		breq1 5102	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 = 𝑞 → (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑞 ∥ 𝑁))
8	6, 7	imbi12d 344	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 = 𝑞 → ((𝑝 ∥ 𝑅 → 𝑝 ∥ 𝑁) ↔ (𝑞 ∥ 𝑅 → 𝑞 ∥ 𝑁)))
9	8	cbvralvw 3215	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑅 → 𝑝 ∥ 𝑁) ↔ ∀𝑞 ∈ ℙ (𝑞 ∥ 𝑅 → 𝑞 ∥ 𝑁))
10	9	biimpi 216	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑅 → 𝑝 ∥ 𝑁) → ∀𝑞 ∈ ℙ (𝑞 ∥ 𝑅 → 𝑞 ∥ 𝑁))
11	10	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑅 → 𝑝 ∥ 𝑁)) → ∀𝑞 ∈ ℙ (𝑞 ∥ 𝑅 → 𝑞 ∥ 𝑁))
12	2, 3, 4, 5, 11	aks4d1p7d1 42404	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑅 → 𝑝 ∥ 𝑁)) → 𝑅 ∥ (𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))))
13	5	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = inf({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}, ℝ, < ))
14		ltso 11217	. . . . . . . . . . 11 ⊢ < Or ℝ
15	14	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → < Or ℝ)
16		fzfid 13900	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (1...𝐵) ∈ Fin)
17		ssrab2 4033	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴} ⊆ (1...𝐵)
18	17	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴} ⊆ (1...𝐵))
19	16, 18	ssfid 9173	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴} ∈ Fin)
20	1, 3, 4	aks4d1p3 42400	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ∃𝑟 ∈ (1...𝐵) ¬ 𝑟 ∥ 𝐴)
21		rabn0 4342	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴} ≠ ∅ ↔ ∃𝑟 ∈ (1...𝐵) ¬ 𝑟 ∥ 𝐴)
22	20, 21	sylibr 234	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴} ≠ ∅)
23		elfznn 13473	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑜 ∈ (1...𝐵) → 𝑜 ∈ ℕ)
24	23	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑜 ∈ (1...𝐵)) → 𝑜 ∈ ℕ)
25	24	nnred 12164	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑜 ∈ (1...𝐵)) → 𝑜 ∈ ℝ)
26	25	ex 412	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑜 ∈ (1...𝐵) → 𝑜 ∈ ℝ))
27	26	ssrdv 3940	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (1...𝐵) ⊆ ℝ)
28	18, 27	sstrd 3945	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴} ⊆ ℝ)
29	19, 22, 28	3jca 1129	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴} ∈ Fin ∧ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴} ≠ ∅ ∧ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴} ⊆ ℝ))
30		fiinfcl 9410	. . . . . . . . . 10 ⊢ (( < Or ℝ ∧ ({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴} ∈ Fin ∧ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴} ≠ ∅ ∧ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴} ⊆ ℝ)) → inf({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}, ℝ, < ) ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴})
31	15, 29, 30	syl2anc 585	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → inf({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}, ℝ, < ) ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴})
32	13, 31	eqeltrd 2837	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴})
33		breq1 5102	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (𝑟 ∥ 𝐴 ↔ 𝑅 ∥ 𝐴))
34	33	notbid 318	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (¬ 𝑟 ∥ 𝐴 ↔ ¬ 𝑅 ∥ 𝐴))
35	34	elrab 3647	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴} ↔ (𝑅 ∈ (1...𝐵) ∧ ¬ 𝑅 ∥ 𝐴))
36	32, 35	sylib 218	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∈ (1...𝐵) ∧ ¬ 𝑅 ∥ 𝐴))
37	36	simprd 495	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑅 ∥ 𝐴)
38	1, 3, 4, 5	aks4d1p4 42401	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∈ (1...𝐵) ∧ ¬ 𝑅 ∥ 𝐴))
39	38	simpld 494	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (1...𝐵))
40	39	elfzelzd 13445	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℤ)
41		eluzelz 12765	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑁 ∈ ℤ)
42	1, 41	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
43		2re 12223	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 2 ∈ ℝ
44	43	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
45		2pos 12252	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 0 < 2
46	45	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 0 < 2)
47	4	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)))
48	42	zred 12600	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
49		0red 11139	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
50		3re 12229	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ 3 ∈ ℝ
51	50	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → 3 ∈ ℝ)
52		3pos 12254	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ 0 < 3
53	52	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → 0 < 3)
54		eluzle 12768	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 3 ≤ 𝑁)
55	1, 54	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → 3 ≤ 𝑁)
56	49, 51, 48, 53, 55	ltletrd 11297	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑁)
57		1red 11137	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
58		1lt2 12315	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ 1 < 2
59	58	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → 1 < 2)
60	57, 59	ltned 11273	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → 1 ≠ 2)
61	60	necomd 2988	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 2 ≠ 1)
62	44, 46, 48, 56, 61	relogbcld 42295	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (2 logb 𝑁) ∈ ℝ)
63		5nn0 12425	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 5 ∈ ℕ0
64	63	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → 5 ∈ ℕ0)
65	62, 64	reexpcld 14090	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑5) ∈ ℝ)
66	65	ceilcld 13767	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)) ∈ ℤ)
67	66	zred 12600	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)) ∈ ℝ)
68	47, 67	eqeltrd 2837	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
69		9re 12248	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 9 ∈ ℝ
70	69	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 9 ∈ ℝ)
71		9pos 12262	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 0 < 9
72	71	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 0 < 9)
73	48, 55	3lexlogpow5ineq4 42378	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 9 < ((2 logb 𝑁)↑5))
74	65	ceilged 13770	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑5) ≤ (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)))
75	70, 65, 67, 73, 74	ltletrd 11297	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 9 < (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)))
76	75, 47	breqtrrd 5127	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 9 < 𝐵)
77	49, 70, 68, 72, 76	lttrd 11298	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐵)
78	44, 46, 68, 77, 61	relogbcld 42295	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (2 logb 𝐵) ∈ ℝ)
79	78	flcld 13722	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℤ)
80	44	recnd 11164	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
81	49, 46	gtned 11272	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 2 ≠ 0)
82		logb1 26739	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0 ∧ 2 ≠ 1) → (2 logb 1) = 0)
83	80, 81, 61, 82	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (2 logb 1) = 0)
84	83	eqcomd 2743	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 0 = (2 logb 1))
85		2z 12527	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 2 ∈ ℤ
86	85	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℤ)
87	44	leidd 11707	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 2 ≤ 2)
88		0lt1 11663	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 0 < 1
89	88	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 0 < 1)
90		1lt9 12350	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 1 < 9
91	90	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 1 < 9)
92	57, 70, 91	ltled 11285	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ 9)
93	70, 68, 76	ltled 11285	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 9 ≤ 𝐵)
94	57, 70, 68, 92, 93	letrd 11294	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝐵)
95	86, 87, 57, 89, 68, 77, 94	logblebd 42298	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (2 logb 1) ≤ (2 logb 𝐵))
96	84, 95	eqbrtrd 5121	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (2 logb 𝐵))
97		0zd 12504	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
98		flge 13729	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((2 logb 𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℤ) → (0 ≤ (2 logb 𝐵) ↔ 0 ≤ (⌊‘(2 logb 𝐵))))
99	78, 97, 98	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ (2 logb 𝐵) ↔ 0 ≤ (⌊‘(2 logb 𝐵))))
100	96, 99	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (⌊‘(2 logb 𝐵)))
101	79, 100	jca 511	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (⌊‘(2 logb 𝐵))))
102		elnn0z 12505	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℕ0 ↔ ((⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (⌊‘(2 logb 𝐵))))
103	101, 102	sylibr 234	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℕ0)
104	42, 103	zexpcld 14014	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) ∈ ℤ)
105		fzfid 13900	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ∈ Fin)
106	42	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 𝑁 ∈ ℤ)
107		elfznn 13473	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → 𝑘 ∈ ℕ)
108	107	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 𝑘 ∈ ℕ)
109	108	nnnn0d 12466	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
110	106, 109	zexpcld 14014	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → (𝑁↑𝑘) ∈ ℤ)
111		1zzd 12526	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 1 ∈ ℤ)
112	110, 111	zsubcld 12605	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → ((𝑁↑𝑘) − 1) ∈ ℤ)
113	105, 112	fprodzcl 15881	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1) ∈ ℤ)
114		dvdsmultr1 16227	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ ℤ ∧ (𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) ∈ ℤ ∧ ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1) ∈ ℤ) → (𝑅 ∥ (𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) → 𝑅 ∥ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1))))
115	40, 104, 113, 114	syl3anc 1374	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∥ (𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) → 𝑅 ∥ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1))))
116	115	imp 406	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∥ (𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵)))) → 𝑅 ∥ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1)))
117	3	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1)))
118	117	breq2d 5111	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∥ 𝐴 ↔ 𝑅 ∥ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1))))
119	118	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∥ (𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵)))) → (𝑅 ∥ 𝐴 ↔ 𝑅 ∥ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1))))
120	116, 119	mpbird 257	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∥ (𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵)))) → 𝑅 ∥ 𝐴)
121	120	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∥ (𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) → 𝑅 ∥ 𝐴))
122	121	con3d 152	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝑅 ∥ 𝐴 → ¬ 𝑅 ∥ (𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵)))))
123	37, 122	mpd 15	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑅 ∥ (𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))))
124	123	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑅 → 𝑝 ∥ 𝑁)) → ¬ 𝑅 ∥ (𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))))
125	12, 124	pm2.65da 817	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑅 → 𝑝 ∥ 𝑁))
126		ianor 984	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁) ↔ (¬ 𝑝 ∥ 𝑅 ∨ ¬ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁))
127		notnotb 315	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ ¬ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)
128	127	orbi2i 913	. . . . . . . . 9 ⊢ ((¬ 𝑝 ∥ 𝑅 ∨ 𝑝 ∥ 𝑁) ↔ (¬ 𝑝 ∥ 𝑅 ∨ ¬ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁))
129	128	bicomi 224	. . . . . . . 8 ⊢ ((¬ 𝑝 ∥ 𝑅 ∨ ¬ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁) ↔ (¬ 𝑝 ∥ 𝑅 ∨ 𝑝 ∥ 𝑁))
130	126, 129	bitri 275	. . . . . . 7 ⊢ (¬ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁) ↔ (¬ 𝑝 ∥ 𝑅 ∨ 𝑝 ∥ 𝑁))
131		df-or 849	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ 𝑝 ∥ 𝑅 ∨ 𝑝 ∥ 𝑁) ↔ (¬ ¬ 𝑝 ∥ 𝑅 → 𝑝 ∥ 𝑁))
132	130, 131	bitri 275	. . . . . 6 ⊢ (¬ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁) ↔ (¬ ¬ 𝑝 ∥ 𝑅 → 𝑝 ∥ 𝑁))
133		notnotb 315	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 ∥ 𝑅 ↔ ¬ ¬ 𝑝 ∥ 𝑅)
134	133	imbi1i 349	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑝 ∥ 𝑅 → 𝑝 ∥ 𝑁) ↔ (¬ ¬ 𝑝 ∥ 𝑅 → 𝑝 ∥ 𝑁))
135	134	bicomi 224	. . . . . 6 ⊢ ((¬ ¬ 𝑝 ∥ 𝑅 → 𝑝 ∥ 𝑁) ↔ (𝑝 ∥ 𝑅 → 𝑝 ∥ 𝑁))
136	132, 135	bitri 275	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁) ↔ (𝑝 ∥ 𝑅 → 𝑝 ∥ 𝑁))
137	136	ralbii 3083	. . . 4 ⊢ (∀𝑝 ∈ ℙ ¬ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁) ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑅 → 𝑝 ∥ 𝑁))
138	137	notbii 320	. . 3 ⊢ (¬ ∀𝑝 ∈ ℙ ¬ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁) ↔ ¬ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑅 → 𝑝 ∥ 𝑁))
139	125, 138	sylibr 234	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ ∀𝑝 ∈ ℙ ¬ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁))
140		ralnex 3063	. . . 4 ⊢ (∀𝑝 ∈ ℙ ¬ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁) ↔ ¬ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁))
141	140	con2bii 357	. . 3 ⊢ (∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁) ↔ ¬ ∀𝑝 ∈ ℙ ¬ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁))
142	141	bicomi 224	. 2 ⊢ (¬ ∀𝑝 ∈ ℙ ¬ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁) ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁))
143	139, 142	sylib 218	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∀wral 3052  ∃wrex 3061  {crab 3400   ⊆ wss 3902  ∅c0 4286   class class class wbr 5099   Or wor 5532  ‘cfv 6493  (class class class)co 7360  Fincfn 8887  infcinf 9348  ℂcc 11028  ℝcr 11029  0cc0 11030  1c1 11031   · cmul 11035   < clt 11170   ≤ cle 11171   − cmin 11368  ℕcn 12149  2c2 12204  3c3 12205  5c5 12207  9c9 12211  ℕ₀cn0 12405  ℤcz 12492  ℤ_≥cuz 12755  ...cfz 13427  ⌊cfl 13714  ⌈cceil 13715  ↑cexp 13988  ∏cprod 15830   ∥ cdvds 16183  ℙcprime 16602   log_b clogb 26734

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-inf2 9554  ax-cc 10349  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107  ax-pre-sup 11108  ax-addf 11109

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-symdif 4206  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-tp 4586  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4904  df-iun 4949  df-iin 4950  df-disj 5067  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-of 7624  df-ofr 7625  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-supp 8105  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-2o 8400  df-oadd 8403  df-omul 8404  df-er 8637  df-map 8769  df-pm 8770  df-ixp 8840  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-fsupp 9269  df-fi 9318  df-sup 9349  df-inf 9350  df-oi 9419  df-dju 9817  df-card 9855  df-acn 9858  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12150  df-2 12212  df-3 12213  df-4 12214  df-5 12215  df-6 12216  df-7 12217  df-8 12218  df-9 12219  df-n0 12406  df-z 12493  df-dec 12612  df-uz 12756  df-q 12866  df-rp 12910  df-xneg 13030  df-xadd 13031  df-xmul 13032  df-ioo 13269  df-ioc 13270  df-ico 13271  df-icc 13272  df-fz 13428  df-fzo 13575  df-fl 13716  df-ceil 13717  df-mod 13794  df-seq 13929  df-exp 13989  df-fac 14201  df-bc 14230  df-hash 14258  df-shft 14994  df-cj 15026  df-re 15027  df-im 15028  df-sqrt 15162  df-abs 15163  df-limsup 15398  df-clim 15415  df-rlim 15416  df-sum 15614  df-prod 15831  df-ef 15994  df-e 15995  df-sin 15996  df-cos 15997  df-pi 15999  df-dvds 16184  df-gcd 16426  df-lcm 16521  df-lcmf 16522  df-prm 16603  df-pc 16769  df-struct 17078  df-sets 17095  df-slot 17113  df-ndx 17125  df-base 17141  df-ress 17162  df-plusg 17194  df-mulr 17195  df-starv 17196  df-sca 17197  df-vsca 17198  df-ip 17199  df-tset 17200  df-ple 17201  df-ds 17203  df-unif 17204  df-hom 17205  df-cco 17206  df-rest 17346  df-topn 17347  df-0g 17365  df-gsum 17366  df-topgen 17367  df-pt 17368  df-prds 17371  df-xrs 17427  df-qtop 17432  df-imas 17433  df-xps 17435  df-mre 17509  df-mrc 17510  df-acs 17512  df-mgm 18569  df-sgrp 18648  df-mnd 18664  df-submnd 18713  df-mulg 19002  df-cntz 19250  df-cmn 19715  df-psmet 21305  df-xmet 21306  df-met 21307  df-bl 21308  df-mopn 21309  df-fbas 21310  df-fg 21311  df-cnfld 21314  df-top 22842  df-topon 22859  df-topsp 22881  df-bases 22894  df-cld 22967  df-ntr 22968  df-cls 22969  df-nei 23046  df-lp 23084  df-perf 23085  df-cn 23175  df-cnp 23176  df-haus 23263  df-cmp 23335  df-tx 23510  df-hmeo 23703  df-fil 23794  df-fm 23886  df-flim 23887  df-flf 23888  df-xms 24268  df-ms 24269  df-tms 24270  df-cncf 24831  df-ovol 25425  df-vol 25426  df-mbf 25580  df-itg1 25581  df-itg2 25582  df-ibl 25583  df-itg 25584  df-0p 25631  df-limc 25827  df-dv 25828  df-log 26525  df-cxp 26526  df-logb 26735

This theorem is referenced by:  aks4d1p8  42409