Theorem aks4d1p7 43047

Description: Technical step in AKS lemma 4.1. (Contributed by metakunt, 31-Oct-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
aks4d1p7.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))
aks4d1p7.2	⊢ 𝐴 = ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1))
aks4d1p7.3	⊢ 𝐵 = (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5))
aks4d1p7.4	⊢ 𝑅 = inf({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}, ℝ, < )

Assertion

Ref	Expression
aks4d1p7	⊢ (𝜑 → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑟   𝐵,𝑟   𝑘,𝑁,𝑝   𝑅,𝑘,𝑝   𝑅,𝑟   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑟, 𝑝)   𝐴(𝑘, 𝑝)   𝐵(𝑘, 𝑝)   𝑁(𝑟)

Proof of Theorem aks4d1p7

Dummy variables 𝑜 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		aks4d1p7.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))
2	1	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑅 → 𝑝 ∥ 𝑁)) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))
3		aks4d1p7.2	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1))
4		aks4d1p7.3	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5))
5		aks4d1p7.4	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = inf({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}, ℝ, < )
6		breq1 5106	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 = 𝑞 → (𝑝 ∥ 𝑅 ↔ 𝑞 ∥ 𝑅))
7		breq1 5106	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 = 𝑞 → (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑞 ∥ 𝑁))
8	6, 7	imbi12d 347	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = 𝑞 → ((𝑝 ∥ 𝑅 → 𝑝 ∥ 𝑁) ↔ (𝑞 ∥ 𝑅 → 𝑞 ∥ 𝑁)))
9	8	cbvralvw 3240	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑅 → 𝑝 ∥ 𝑁) ↔ ∀𝑞 ∈ ℙ (𝑞 ∥ 𝑅 → 𝑞 ∥ 𝑁))
10	9	bilani 510	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑅 → 𝑝 ∥ 𝑁)) → ∀𝑞 ∈ ℙ (𝑞 ∥ 𝑅 → 𝑞 ∥ 𝑁))
11	2, 3, 4, 5, 10	aks4d1p7d1 43046	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑅 → 𝑝 ∥ 𝑁)) → 𝑅 ∥ (𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))))
12	5	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = inf({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}, ℝ, < ))
13		ltso 11347	. . . . . . . . . . 11 ⊢ < Or ℝ
14	13	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → < Or ℝ)
15		fzfid 14070	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (1...𝐵) ∈ Fin)
16		ssrab2 4028	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴} ⊆ (1...𝐵)
17	16	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴} ⊆ (1...𝐵))
18	15, 17	ssfid 9239	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴} ∈ Fin)
19	1, 3, 4	aks4d1p3 43042	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ∃𝑟 ∈ (1...𝐵) ¬ 𝑟 ∥ 𝐴)
20		rabn0 4339	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴} ≠ ∅ ↔ ∃𝑟 ∈ (1...𝐵) ¬ 𝑟 ∥ 𝐴)
21	19, 20	sylibr 237	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴} ≠ ∅)
22		elfznn 13641	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑜 ∈ (1...𝐵) → 𝑜 ∈ ℕ)
23	22	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑜 ∈ (1...𝐵)) → 𝑜 ∈ ℕ)
24	23	nnred 12305	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑜 ∈ (1...𝐵)) → 𝑜 ∈ ℝ)
25	24	ex 418	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑜 ∈ (1...𝐵) → 𝑜 ∈ ℝ))
26	25	ssrdv 3937	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (1...𝐵) ⊆ ℝ)
27	17, 26	sstrd 3941	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴} ⊆ ℝ)
28	18, 21, 27	3jca 1146	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴} ∈ Fin ∧ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴} ≠ ∅ ∧ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴} ⊆ ℝ))
29		fiinfcl 9473	. . . . . . . . . 10 ⊢ (( < Or ℝ ∧ ({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴} ∈ Fin ∧ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴} ≠ ∅ ∧ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴} ⊆ ℝ)) → inf({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}, ℝ, < ) ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴})
30	14, 28, 29	syl2anc 596	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → inf({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}, ℝ, < ) ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴})
31	12, 30	eqeltrd 2860	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴})
32		breq1 5106	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (𝑟 ∥ 𝐴 ↔ 𝑅 ∥ 𝐴))
33	32	notbid 321	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (¬ 𝑟 ∥ 𝐴 ↔ ¬ 𝑅 ∥ 𝐴))
34	33	elrab 3645	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴} ↔ (𝑅 ∈ (1...𝐵) ∧ ¬ 𝑅 ∥ 𝐴))
35	31, 34	sylib 221	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∈ (1...𝐵) ∧ ¬ 𝑅 ∥ 𝐴))
36	35	simprd 501	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑅 ∥ 𝐴)
37	1, 3, 4, 5	aks4d1p4 43043	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∈ (1...𝐵) ∧ ¬ 𝑅 ∥ 𝐴))
38	37	simpld 500	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (1...𝐵))
39	38	elfzelzd 13612	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℤ)
40		eluzelz 12930	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑁 ∈ ℤ)
41	1, 40	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
42		2re 12372	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 2 ∈ ℝ
43	42	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
44		2pos 12402	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 0 < 2
45	44	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 0 < 2)
46	4	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)))
47	41	zred 12758	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
48		0red 11268	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
49		3re 12378	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ 3 ∈ ℝ
50	49	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → 3 ∈ ℝ)
51		3pos 12406	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ 0 < 3
52	51	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → 0 < 3)
53		eluzle 12933	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 3 ≤ 𝑁)
54	1, 53	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → 3 ≤ 𝑁)
55	48, 50, 47, 52, 54	ltletrd 11427	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑁)
56		1red 11266	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
57		1lt2 12470	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ 1 < 2
58	57	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → 1 < 2)
59	56, 58	ltned 11403	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → 1 ≠ 2)
60	59	necomd 3010	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 2 ≠ 1)
61	43, 45, 47, 55, 60	relogbcld 42938	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (2 logb 𝑁) ∈ ℝ)
62		5nn0 12581	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 5 ∈ ℕ0
63	62	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → 5 ∈ ℕ0)
64	61, 63	reexpcld 14260	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑5) ∈ ℝ)
65	64	ceilcld 13937	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)) ∈ ℤ)
66	65	zred 12758	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)) ∈ ℝ)
67	46, 66	eqeltrd 2860	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
68		9re 12397	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 9 ∈ ℝ
69	68	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 9 ∈ ℝ)
70		9pos 12414	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 0 < 9
71	70	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 0 < 9)
72	47, 54	3lexlogpow5ineq4 43020	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 9 < ((2 logb 𝑁)↑5))
73	64	ceilged 13940	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑5) ≤ (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)))
74	69, 64, 66, 72, 73	ltletrd 11427	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 9 < (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)))
75	74, 46	breqtrrd 5133	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 9 < 𝐵)
76	48, 69, 67, 71, 75	lttrd 11428	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐵)
77	43, 45, 67, 76, 60	relogbcld 42938	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (2 logb 𝐵) ∈ ℝ)
78	77	flcld 13892	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℤ)
79	43	recnd 11294	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
80	48, 45	gtned 11402	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 2 ≠ 0)
81		logb1 27046	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0 ∧ 2 ≠ 1) → (2 logb 1) = 0)
82	79, 80, 60, 81	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (2 logb 1) = 0)
83	82	eqcomd 2766	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 0 = (2 logb 1))
84		2z 12683	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 2 ∈ ℤ
85	84	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℤ)
86	43	leidd 11837	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 2 ≤ 2)
87		0lt1 11793	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 0 < 1
88	87	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 0 < 1)
89		1lt9 12506	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 1 < 9
90	89	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 1 < 9)
91	56, 69, 90	ltled 11415	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ 9)
92	69, 67, 75	ltled 11415	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 9 ≤ 𝐵)
93	56, 69, 67, 91, 92	letrd 11424	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝐵)
94	85, 86, 56, 88, 67, 76, 93	logblebd 42941	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (2 logb 1) ≤ (2 logb 𝐵))
95	83, 94	eqbrtrd 5127	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (2 logb 𝐵))
96		0zd 12660	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
97		flge 13899	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((2 logb 𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℤ) → (0 ≤ (2 logb 𝐵) ↔ 0 ≤ (⌊‘(2 logb 𝐵))))
98	77, 96, 97	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ (2 logb 𝐵) ↔ 0 ≤ (⌊‘(2 logb 𝐵))))
99	95, 98	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (⌊‘(2 logb 𝐵)))
100	78, 99	jca 521	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (⌊‘(2 logb 𝐵))))
101		elnn0z 12661	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℕ0 ↔ ((⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (⌊‘(2 logb 𝐵))))
102	100, 101	sylibr 237	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℕ0)
103	41, 102	zexpcld 14184	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) ∈ ℤ)
104		fzfid 14070	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ∈ Fin)
105	41	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 𝑁 ∈ ℤ)
106		elfznn 13641	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → 𝑘 ∈ ℕ)
107	106	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 𝑘 ∈ ℕ)
108	107	nnnn0d 12622	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
109	105, 108	zexpcld 14184	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → (𝑁↑𝑘) ∈ ℤ)
110		1zzd 12682	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 1 ∈ ℤ)
111	109, 110	zsubcld 12763	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → ((𝑁↑𝑘) − 1) ∈ ℤ)
112	104, 111	fprodzcl 16074	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1) ∈ ℤ)
113		dvdsmultr1 16419	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ ℤ ∧ (𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) ∈ ℤ ∧ ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1) ∈ ℤ) → (𝑅 ∥ (𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) → 𝑅 ∥ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1))))
114	39, 103, 112, 113	syl3anc 1398	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∥ (𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) → 𝑅 ∥ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1))))
115	114	imp 412	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∥ (𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵)))) → 𝑅 ∥ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1)))
116	3	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1)))
117	116	breq2d 5115	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∥ 𝐴 ↔ 𝑅 ∥ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1))))
118	117	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∥ (𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵)))) → (𝑅 ∥ 𝐴 ↔ 𝑅 ∥ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1))))
119	115, 118	mpbird 260	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∥ (𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵)))) → 𝑅 ∥ 𝐴)
120	119	ex 418	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∥ (𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) → 𝑅 ∥ 𝐴))
121	120	con3d 153	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝑅 ∥ 𝐴 → ¬ 𝑅 ∥ (𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵)))))
122	36, 121	mpd 16	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑅 ∥ (𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))))
123	122	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑅 → 𝑝 ∥ 𝑁)) → ¬ 𝑅 ∥ (𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))))
124	11, 123	pm2.65da 829	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑅 → 𝑝 ∥ 𝑁))
125		ianor 997	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁) ↔ (¬ 𝑝 ∥ 𝑅 ∨ ¬ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁))
126		notnotb 318	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ ¬ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)
127	126	orbi2i 926	. . . . . . . . 9 ⊢ ((¬ 𝑝 ∥ 𝑅 ∨ 𝑝 ∥ 𝑁) ↔ (¬ 𝑝 ∥ 𝑅 ∨ ¬ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁))
128	127	bicomi 227	. . . . . . . 8 ⊢ ((¬ 𝑝 ∥ 𝑅 ∨ ¬ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁) ↔ (¬ 𝑝 ∥ 𝑅 ∨ 𝑝 ∥ 𝑁))
129	125, 128	bitri 278	. . . . . . 7 ⊢ (¬ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁) ↔ (¬ 𝑝 ∥ 𝑅 ∨ 𝑝 ∥ 𝑁))
130		df-or 862	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ 𝑝 ∥ 𝑅 ∨ 𝑝 ∥ 𝑁) ↔ (¬ ¬ 𝑝 ∥ 𝑅 → 𝑝 ∥ 𝑁))
131	129, 130	bitri 278	. . . . . 6 ⊢ (¬ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁) ↔ (¬ ¬ 𝑝 ∥ 𝑅 → 𝑝 ∥ 𝑁))
132		notnotb 318	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 ∥ 𝑅 ↔ ¬ ¬ 𝑝 ∥ 𝑅)
133	132	imbi1i 352	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑝 ∥ 𝑅 → 𝑝 ∥ 𝑁) ↔ (¬ ¬ 𝑝 ∥ 𝑅 → 𝑝 ∥ 𝑁))
134	133	bicomi 227	. . . . . 6 ⊢ ((¬ ¬ 𝑝 ∥ 𝑅 → 𝑝 ∥ 𝑁) ↔ (𝑝 ∥ 𝑅 → 𝑝 ∥ 𝑁))
135	131, 134	bitri 278	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁) ↔ (𝑝 ∥ 𝑅 → 𝑝 ∥ 𝑁))
136	135	ralbii 3108	. . . 4 ⊢ (∀𝑝 ∈ ℙ ¬ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁) ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑅 → 𝑝 ∥ 𝑁))
137	136	notbii 323	. . 3 ⊢ (¬ ∀𝑝 ∈ ℙ ¬ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁) ↔ ¬ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑅 → 𝑝 ∥ 𝑁))
138	124, 137	sylibr 237	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ ∀𝑝 ∈ ℙ ¬ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁))
139		ralnex 3088	. . . 4 ⊢ (∀𝑝 ∈ ℙ ¬ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁) ↔ ¬ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁))
140	139	con2bii 360	. . 3 ⊢ (∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁) ↔ ¬ ∀𝑝 ∈ ℙ ¬ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁))
141	140	bicomi 227	. 2 ⊢ (¬ ∀𝑝 ∈ ℙ ¬ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁) ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁))
142	138, 141	sylib 221	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  ∀wral 3076  ∃wrex 3086  {crab 3412   ⊆ wss 3899  ∅c0 4279   class class class wbr 5103   Or wor 5555  ‘cfv 6528  (class class class)co 7409  Fincfn 8952  infcinf 9411  ℂcc 11155  ℝcr 11156  0cc0 11157  1c1 11158   · cmul 11162   < clt 11300   ≤ cle 11301   − cmin 11498  ℕcn 12290  2c2 12352  3c3 12353  5c5 12355  9c9 12359  ℕ₀cn0 12561  ℤcz 12648  ℤ_≥cuz 12920  ...cfz 13594  ⌊cfl 13884  ⌈cceil 13885  ↑cexp 14158  ∏cprod 16025   ∥ cdvds 16375  ℙcprime 16794   log_b clogb 27041

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7735  ax-inf2 9620  ax-cc 10470  ax-cnex 11213  ax-resscn 11214  ax-1cn 11215  ax-icn 11216  ax-addcl 11217  ax-addrcl 11218  ax-mulcl 11219  ax-mulrcl 11220  ax-mulcom 11221  ax-addass 11222  ax-mulass 11223  ax-distr 11224  ax-i2m1 11225  ax-1ne0 11226  ax-1rid 11227  ax-rnegex 11228  ax-rrecex 11229  ax-cnre 11230  ax-pre-lttri 11231  ax-pre-lttrn 11232  ax-pre-ltadd 11233  ax-pre-mulgt0 11234  ax-pre-sup 11235  ax-addf 11236

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-symdif 4199  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-disj 5071  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-se 5602  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6294  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6530  df-fn 6531  df-f 6532  df-f1 6533  df-fo 6534  df-f1o 6535  df-fv 6536  df-isom 6537  df-riota 7366  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7677  df-ofr 7678  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-supp 8157  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8455  df-2o 8456  df-oadd 8459  df-omul 8460  df-er 8696  df-map 8828  df-pm 8829  df-ixp 8905  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-fsupp 9332  df-fi 9381  df-sup 9412  df-inf 9413  df-oi 9482  df-dju 9939  df-card 9977  df-acn 9980  df-pnf 11302  df-mnf 11303  df-xr 11304  df-ltxr 11305  df-le 11306  df-sub 11500  df-neg 11501  df-div 11929  df-nn 12291  df-2 12360  df-3 12361  df-4 12362  df-5 12363  df-6 12364  df-7 12365  df-8 12366  df-9 12367  df-n0 12562  df-z 12649  df-dec 12770  df-uz 12921  df-q 13031  df-rp 13076  df-xneg 13196  df-xadd 13197  df-xmul 13198  df-ioo 13435  df-ioc 13436  df-ico 13437  df-icc 13438  df-fz 13595  df-fzo 13743  df-fl 13886  df-ceil 13887  df-mod 13964  df-seq 14099  df-exp 14159  df-fac 14371  df-bc 14400  df-hash 14428  df-shft 15173  df-cj 15219  df-re 15220  df-im 15221  df-sqrt 15355  df-abs 15356  df-limsup 15591  df-clim 15608  df-rlim 15609  df-sum 15807  df-prod 16026  df-ef 16186  df-e 16187  df-sin 16188  df-cos 16189  df-pi 16191  df-dvds 16376  df-gcd 16618  df-lcm 16713  df-lcmf 16714  df-prm 16795  df-pc 16962  df-struct 17272  df-sets 17289  df-slot 17307  df-ndx 17319  df-base 17335  df-ress 17356  df-plusg 17388  df-mulr 17389  df-starv 17390  df-sca 17391  df-vsca 17392  df-ip 17393  df-tset 17394  df-ple 17395  df-ds 17397  df-unif 17398  df-hom 17399  df-cco 17400  df-rest 17540  df-topn 17541  df-0g 17559  df-gsum 17560  df-topgen 17561  df-pt 17562  df-prds 17565  df-xrs 17621  df-qtop 17626  df-imas 17627  df-xps 17629  df-mre 17703  df-mrc 17704  df-acs 17706  df-mgm 18763  df-sgrp 18855  df-mnd 18871  df-submnd 18926  df-mulg 19225  df-cntz 19478  df-cmn 19943  df-psmet 21617  df-xmet 21618  df-met 21619  df-bl 21620  df-mopn 21621  df-fbas 21622  df-fg 21623  df-cnfld 21626  df-top 23159  df-topon 23176  df-topsp 23198  df-bases 23211  df-cld 23284  df-ntr 23285  df-cls 23286  df-nei 23363  df-lp 23401  df-perf 23402  df-cn 23492  df-cnp 23493  df-haus 23580  df-cmp 23652  df-tx 23828  df-hmeo 24021  df-fil 24112  df-fm 24204  df-flim 24205  df-flf 24206  df-xms 24586  df-ms 24587  df-tms 24588  df-cncf 25146  df-ovol 25732  df-vol 25733  df-mbf 25887  df-itg1 25888  df-itg2 25889  df-ibl 25890  df-itg 25891  df-0p 25938  df-limc 26133  df-dv 26134  df-log 26833  df-cxp 26834  df-logb 27042

This theorem is used by:  aks4d1p8  43051