Theorem aks4d1p7 40091

Description: Technical step in AKS lemma 4.1 (Contributed by metakunt, 31-Oct-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
aks4d1p7.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))
aks4d1p7.2	⊢ 𝐴 = ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1))
aks4d1p7.3	⊢ 𝐵 = (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5))
aks4d1p7.4	⊢ 𝑅 = inf({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}, ℝ, < )

Assertion

Ref	Expression
aks4d1p7	⊢ (𝜑 → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑟   𝐵,𝑟   𝑘,𝑁,𝑝   𝑅,𝑘,𝑝   𝑅,𝑟   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑟,𝑝)   𝐴(𝑘,𝑝)   𝐵(𝑘,𝑝)   𝑁(𝑟)

Proof of Theorem aks4d1p7

Dummy variables 𝑜 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		aks4d1p7.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))
2	1	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑅 → 𝑝 ∥ 𝑁)) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))
3		aks4d1p7.2	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1))
4		aks4d1p7.3	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5))
5		aks4d1p7.4	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = inf({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}, ℝ, < )
6		breq1 5077	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 = 𝑞 → (𝑝 ∥ 𝑅 ↔ 𝑞 ∥ 𝑅))
7		breq1 5077	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 = 𝑞 → (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ 𝑞 ∥ 𝑁))
8	6, 7	imbi12d 345	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 = 𝑞 → ((𝑝 ∥ 𝑅 → 𝑝 ∥ 𝑁) ↔ (𝑞 ∥ 𝑅 → 𝑞 ∥ 𝑁)))
9	8	cbvralvw 3383	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑅 → 𝑝 ∥ 𝑁) ↔ ∀𝑞 ∈ ℙ (𝑞 ∥ 𝑅 → 𝑞 ∥ 𝑁))
10	9	biimpi 215	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑅 → 𝑝 ∥ 𝑁) → ∀𝑞 ∈ ℙ (𝑞 ∥ 𝑅 → 𝑞 ∥ 𝑁))
11	10	adantl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑅 → 𝑝 ∥ 𝑁)) → ∀𝑞 ∈ ℙ (𝑞 ∥ 𝑅 → 𝑞 ∥ 𝑁))
12	2, 3, 4, 5, 11	aks4d1p7d1 40090	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑅 → 𝑝 ∥ 𝑁)) → 𝑅 ∥ (𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))))
13	5	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = inf({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}, ℝ, < ))
14		ltso 11055	. . . . . . . . . . 11 ⊢ < Or ℝ
15	14	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → < Or ℝ)
16		fzfid 13693	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (1...𝐵) ∈ Fin)
17		ssrab2 4013	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴} ⊆ (1...𝐵)
18	17	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴} ⊆ (1...𝐵))
19	16, 18	ssfid 9042	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴} ∈ Fin)
20	1, 3, 4	aks4d1p3 40086	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ∃𝑟 ∈ (1...𝐵) ¬ 𝑟 ∥ 𝐴)
21		rabn0 4319	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴} ≠ ∅ ↔ ∃𝑟 ∈ (1...𝐵) ¬ 𝑟 ∥ 𝐴)
22	20, 21	sylibr 233	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴} ≠ ∅)
23		elfznn 13285	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑜 ∈ (1...𝐵) → 𝑜 ∈ ℕ)
24	23	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑜 ∈ (1...𝐵)) → 𝑜 ∈ ℕ)
25	24	nnred 11988	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑜 ∈ (1...𝐵)) → 𝑜 ∈ ℝ)
26	25	ex 413	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑜 ∈ (1...𝐵) → 𝑜 ∈ ℝ))
27	26	ssrdv 3927	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (1...𝐵) ⊆ ℝ)
28	18, 27	sstrd 3931	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴} ⊆ ℝ)
29	19, 22, 28	3jca 1127	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴} ∈ Fin ∧ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴} ≠ ∅ ∧ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴} ⊆ ℝ))
30		fiinfcl 9260	. . . . . . . . . 10 ⊢ (( < Or ℝ ∧ ({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴} ∈ Fin ∧ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴} ≠ ∅ ∧ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴} ⊆ ℝ)) → inf({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}, ℝ, < ) ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴})
31	15, 29, 30	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → inf({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}, ℝ, < ) ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴})
32	13, 31	eqeltrd 2839	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴})
33		breq1 5077	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (𝑟 ∥ 𝐴 ↔ 𝑅 ∥ 𝐴))
34	33	notbid 318	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (¬ 𝑟 ∥ 𝐴 ↔ ¬ 𝑅 ∥ 𝐴))
35	34	elrab 3624	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴} ↔ (𝑅 ∈ (1...𝐵) ∧ ¬ 𝑅 ∥ 𝐴))
36	32, 35	sylib 217	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∈ (1...𝐵) ∧ ¬ 𝑅 ∥ 𝐴))
37	36	simprd 496	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑅 ∥ 𝐴)
38	1, 3, 4, 5	aks4d1p4 40087	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∈ (1...𝐵) ∧ ¬ 𝑅 ∥ 𝐴))
39	38	simpld 495	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (1...𝐵))
40	39	elfzelzd 13257	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℤ)
41		eluzelz 12592	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑁 ∈ ℤ)
42	1, 41	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
43		2re 12047	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 2 ∈ ℝ
44	43	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
45		2pos 12076	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 0 < 2
46	45	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 0 < 2)
47	4	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)))
48	42	zred 12426	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
49		0red 10978	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
50		3re 12053	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ 3 ∈ ℝ
51	50	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → 3 ∈ ℝ)
52		3pos 12078	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ 0 < 3
53	52	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → 0 < 3)
54		eluzle 12595	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 3 ≤ 𝑁)
55	1, 54	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → 3 ≤ 𝑁)
56	49, 51, 48, 53, 55	ltletrd 11135	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑁)
57		1red 10976	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
58		1lt2 12144	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ 1 < 2
59	58	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → 1 < 2)
60	57, 59	ltned 11111	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → 1 ≠ 2)
61	60	necomd 2999	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 2 ≠ 1)
62	44, 46, 48, 56, 61	relogbcld 39981	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (2 logb 𝑁) ∈ ℝ)
63		5nn0 12253	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 5 ∈ ℕ0
64	63	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → 5 ∈ ℕ0)
65	62, 64	reexpcld 13881	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑5) ∈ ℝ)
66	65	ceilcld 13563	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)) ∈ ℤ)
67	66	zred 12426	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)) ∈ ℝ)
68	47, 67	eqeltrd 2839	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
69		9re 12072	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 9 ∈ ℝ
70	69	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 9 ∈ ℝ)
71		9pos 12086	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 0 < 9
72	71	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 0 < 9)
73	48, 55	3lexlogpow5ineq4 40064	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 9 < ((2 logb 𝑁)↑5))
74	65	ceilged 13566	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → ((2 logb 𝑁)↑5) ≤ (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)))
75	70, 65, 67, 73, 74	ltletrd 11135	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 9 < (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5)))
76	75, 47	breqtrrd 5102	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 9 < 𝐵)
77	49, 70, 68, 72, 76	lttrd 11136	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐵)
78	44, 46, 68, 77, 61	relogbcld 39981	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (2 logb 𝐵) ∈ ℝ)
79	78	flcld 13518	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℤ)
80	44	recnd 11003	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
81	49, 46	gtned 11110	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 2 ≠ 0)
82		logb1 25919	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0 ∧ 2 ≠ 1) → (2 logb 1) = 0)
83	80, 81, 61, 82	syl3anc 1370	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (2 logb 1) = 0)
84	83	eqcomd 2744	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 0 = (2 logb 1))
85		2z 12352	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 2 ∈ ℤ
86	85	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℤ)
87	44	leidd 11541	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 2 ≤ 2)
88		0lt1 11497	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 0 < 1
89	88	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 0 < 1)
90		1lt9 12179	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 1 < 9
91	90	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 1 < 9)
92	57, 70, 91	ltled 11123	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ 9)
93	70, 68, 76	ltled 11123	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 9 ≤ 𝐵)
94	57, 70, 68, 92, 93	letrd 11132	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ 𝐵)
95	86, 87, 57, 89, 68, 77, 94	logblebd 39984	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (2 logb 1) ≤ (2 logb 𝐵))
96	84, 95	eqbrtrd 5096	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (2 logb 𝐵))
97		0zd 12331	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
98		flge 13525	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((2 logb 𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℤ) → (0 ≤ (2 logb 𝐵) ↔ 0 ≤ (⌊‘(2 logb 𝐵))))
99	78, 97, 98	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ (2 logb 𝐵) ↔ 0 ≤ (⌊‘(2 logb 𝐵))))
100	96, 99	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (⌊‘(2 logb 𝐵)))
101	79, 100	jca 512	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (⌊‘(2 logb 𝐵))))
102		elnn0z 12332	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℕ0 ↔ ((⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (⌊‘(2 logb 𝐵))))
103	101, 102	sylibr 233	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(2 logb 𝐵)) ∈ ℕ0)
104	42, 103	zexpcld 13808	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) ∈ ℤ)
105		fzfid 13693	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) ∈ Fin)
106	42	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 𝑁 ∈ ℤ)
107		elfznn 13285	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2))) → 𝑘 ∈ ℕ)
108	107	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 𝑘 ∈ ℕ)
109	108	nnnn0d 12293	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
110	106, 109	zexpcld 13808	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → (𝑁↑𝑘) ∈ ℤ)
111		1zzd 12351	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → 1 ∈ ℤ)
112	110, 111	zsubcld 12431	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))) → ((𝑁↑𝑘) − 1) ∈ ℤ)
113	105, 112	fprodzcl 15664	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1) ∈ ℤ)
114		dvdsmultr1 16005	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ ℤ ∧ (𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) ∈ ℤ ∧ ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1) ∈ ℤ) → (𝑅 ∥ (𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) → 𝑅 ∥ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1))))
115	40, 104, 113, 114	syl3anc 1370	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∥ (𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) → 𝑅 ∥ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1))))
116	115	imp 407	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∥ (𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵)))) → 𝑅 ∥ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1)))
117	3	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1)))
118	117	breq2d 5086	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∥ 𝐴 ↔ 𝑅 ∥ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1))))
119	118	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∥ (𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵)))) → (𝑅 ∥ 𝐴 ↔ 𝑅 ∥ ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1))))
120	116, 119	mpbird 256	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∥ (𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵)))) → 𝑅 ∥ 𝐴)
121	120	ex 413	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∥ (𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) → 𝑅 ∥ 𝐴))
122	121	con3d 152	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝑅 ∥ 𝐴 → ¬ 𝑅 ∥ (𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵)))))
123	37, 122	mpd 15	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑅 ∥ (𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))))
124	123	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑅 → 𝑝 ∥ 𝑁)) → ¬ 𝑅 ∥ (𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))))
125	12, 124	pm2.65da 814	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑅 → 𝑝 ∥ 𝑁))
126		ianor 979	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁) ↔ (¬ 𝑝 ∥ 𝑅 ∨ ¬ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁))
127		notnotb 315	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑝 ∥ 𝑁 ↔ ¬ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁)
128	127	orbi2i 910	. . . . . . . . 9 ⊢ ((¬ 𝑝 ∥ 𝑅 ∨ 𝑝 ∥ 𝑁) ↔ (¬ 𝑝 ∥ 𝑅 ∨ ¬ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁))
129	128	bicomi 223	. . . . . . . 8 ⊢ ((¬ 𝑝 ∥ 𝑅 ∨ ¬ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁) ↔ (¬ 𝑝 ∥ 𝑅 ∨ 𝑝 ∥ 𝑁))
130	126, 129	bitri 274	. . . . . . 7 ⊢ (¬ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁) ↔ (¬ 𝑝 ∥ 𝑅 ∨ 𝑝 ∥ 𝑁))
131		df-or 845	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ 𝑝 ∥ 𝑅 ∨ 𝑝 ∥ 𝑁) ↔ (¬ ¬ 𝑝 ∥ 𝑅 → 𝑝 ∥ 𝑁))
132	130, 131	bitri 274	. . . . . 6 ⊢ (¬ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁) ↔ (¬ ¬ 𝑝 ∥ 𝑅 → 𝑝 ∥ 𝑁))
133		notnotb 315	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 ∥ 𝑅 ↔ ¬ ¬ 𝑝 ∥ 𝑅)
134	133	imbi1i 350	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑝 ∥ 𝑅 → 𝑝 ∥ 𝑁) ↔ (¬ ¬ 𝑝 ∥ 𝑅 → 𝑝 ∥ 𝑁))
135	134	bicomi 223	. . . . . 6 ⊢ ((¬ ¬ 𝑝 ∥ 𝑅 → 𝑝 ∥ 𝑁) ↔ (𝑝 ∥ 𝑅 → 𝑝 ∥ 𝑁))
136	132, 135	bitri 274	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁) ↔ (𝑝 ∥ 𝑅 → 𝑝 ∥ 𝑁))
137	136	ralbii 3092	. . . 4 ⊢ (∀𝑝 ∈ ℙ ¬ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁) ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑅 → 𝑝 ∥ 𝑁))
138	137	notbii 320	. . 3 ⊢ (¬ ∀𝑝 ∈ ℙ ¬ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁) ↔ ¬ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑅 → 𝑝 ∥ 𝑁))
139	125, 138	sylibr 233	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ ∀𝑝 ∈ ℙ ¬ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁))
140		ralnex 3167	. . . 4 ⊢ (∀𝑝 ∈ ℙ ¬ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁) ↔ ¬ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁))
141	140	con2bii 358	. . 3 ⊢ (∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁) ↔ ¬ ∀𝑝 ∈ ℙ ¬ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁))
142	141	bicomi 223	. 2 ⊢ (¬ ∀𝑝 ∈ ℙ ¬ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁) ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁))
143	139, 142	sylib 217	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 𝑅 ∧ ¬ 𝑝 ∥ 𝑁))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 844   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  ∀wral 3064  ∃wrex 3065  {crab 3068   ⊆ wss 3887  ∅c0 4256   class class class wbr 5074   Or wor 5502  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  Fincfn 8733  infcinf 9200  ℂcc 10869  ℝcr 10870  0cc0 10871  1c1 10872   · cmul 10876   < clt 11009   ≤ cle 11010   − cmin 11205  ℕcn 11973  2c2 12028  3c3 12029  5c5 12031  9c9 12035  ℕ₀cn0 12233  ℤcz 12319  ℤ_≥cuz 12582  ...cfz 13239  ⌊cfl 13510  ⌈cceil 13511  ↑cexp 13782  ∏cprod 15615   ∥ cdvds 15963  ℙcprime 16376   log_b clogb 25914

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-inf2 9399  ax-cc 10191  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949  ax-addf 10950  ax-mulf 10951

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-symdif 4176  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-iin 4927  df-disj 5040  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-of 7533  df-ofr 7534  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-supp 7978  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-2o 8298  df-oadd 8301  df-omul 8302  df-er 8498  df-map 8617  df-pm 8618  df-ixp 8686  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-fsupp 9129  df-fi 9170  df-sup 9201  df-inf 9202  df-oi 9269  df-dju 9659  df-card 9697  df-acn 9700  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-q 12689  df-rp 12731  df-xneg 12848  df-xadd 12849  df-xmul 12850  df-ioo 13083  df-ioc 13084  df-ico 13085  df-icc 13086  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-fl 13512  df-ceil 13513  df-mod 13590  df-seq 13722  df-exp 13783  df-fac 13988  df-bc 14017  df-hash 14045  df-shft 14778  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-limsup 15180  df-clim 15197  df-rlim 15198  df-sum 15398  df-prod 15616  df-ef 15777  df-e 15778  df-sin 15779  df-cos 15780  df-pi 15782  df-dvds 15964  df-gcd 16202  df-lcm 16295  df-lcmf 16296  df-prm 16377  df-pc 16538  df-struct 16848  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-starv 16977  df-sca 16978  df-vsca 16979  df-ip 16980  df-tset 16981  df-ple 16982  df-ds 16984  df-unif 16985  df-hom 16986  df-cco 16987  df-rest 17133  df-topn 17134  df-0g 17152  df-gsum 17153  df-topgen 17154  df-pt 17155  df-prds 17158  df-xrs 17213  df-qtop 17218  df-imas 17219  df-xps 17221  df-mre 17295  df-mrc 17296  df-acs 17298  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-submnd 18431  df-mulg 18701  df-cntz 18923  df-cmn 19388  df-psmet 20589  df-xmet 20590  df-met 20591  df-bl 20592  df-mopn 20593  df-fbas 20594  df-fg 20595  df-cnfld 20598  df-top 22043  df-topon 22060  df-topsp 22082  df-bases 22096  df-cld 22170  df-ntr 22171  df-cls 22172  df-nei 22249  df-lp 22287  df-perf 22288  df-cn 22378  df-cnp 22379  df-haus 22466  df-cmp 22538  df-tx 22713  df-hmeo 22906  df-fil 22997  df-fm 23089  df-flim 23090  df-flf 23091  df-xms 23473  df-ms 23474  df-tms 23475  df-cncf 24041  df-ovol 24628  df-vol 24629  df-mbf 24783  df-itg1 24784  df-itg2 24785  df-ibl 24786  df-itg 24787  df-0p 24834  df-limc 25030  df-dv 25031  df-log 25712  df-cxp 25713  df-logb 25915

This theorem is referenced by:  aks4d1p8  40095