Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  aks4d1p7 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem aks4d1p7 40586
Description: Technical step in AKS lemma 4.1 (Contributed by metakunt, 31-Oct-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
aks4d1p7.1 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3))
aks4d1p7.2 ๐ด = ((๐‘โ†‘(โŒŠโ€˜(2 logb ๐ต))) ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))((๐‘โ†‘๐‘˜) โˆ’ 1))
aks4d1p7.3 ๐ต = (โŒˆโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘5))
aks4d1p7.4 ๐‘… = inf({๐‘Ÿ โˆˆ (1...๐ต) โˆฃ ยฌ ๐‘Ÿ โˆฅ ๐ด}, โ„, < )
Assertion
Ref Expression
aks4d1p7 (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ โˆฅ ๐‘… โˆง ยฌ ๐‘ โˆฅ ๐‘))
Distinct variable groups:   ๐ด,๐‘Ÿ   ๐ต,๐‘Ÿ   ๐‘˜,๐‘,๐‘   ๐‘…,๐‘˜,๐‘   ๐‘…,๐‘Ÿ   ๐œ‘,๐‘˜
Allowed substitution hints:   ๐œ‘(๐‘Ÿ,๐‘)   ๐ด(๐‘˜,๐‘)   ๐ต(๐‘˜,๐‘)   ๐‘(๐‘Ÿ)

Proof of Theorem aks4d1p7
Dummy variables ๐‘œ ๐‘ž are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 aks4d1p7.1 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3))
21adantr 482 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ โˆฅ ๐‘… โ†’ ๐‘ โˆฅ ๐‘)) โ†’ ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3))
3 aks4d1p7.2 . . . . 5 ๐ด = ((๐‘โ†‘(โŒŠโ€˜(2 logb ๐ต))) ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))((๐‘โ†‘๐‘˜) โˆ’ 1))
4 aks4d1p7.3 . . . . 5 ๐ต = (โŒˆโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘5))
5 aks4d1p7.4 . . . . 5 ๐‘… = inf({๐‘Ÿ โˆˆ (1...๐ต) โˆฃ ยฌ ๐‘Ÿ โˆฅ ๐ด}, โ„, < )
6 breq1 5109 . . . . . . . . 9 (๐‘ = ๐‘ž โ†’ (๐‘ โˆฅ ๐‘… โ†” ๐‘ž โˆฅ ๐‘…))
7 breq1 5109 . . . . . . . . 9 (๐‘ = ๐‘ž โ†’ (๐‘ โˆฅ ๐‘ โ†” ๐‘ž โˆฅ ๐‘))
86, 7imbi12d 345 . . . . . . . 8 (๐‘ = ๐‘ž โ†’ ((๐‘ โˆฅ ๐‘… โ†’ ๐‘ โˆฅ ๐‘) โ†” (๐‘ž โˆฅ ๐‘… โ†’ ๐‘ž โˆฅ ๐‘)))
98cbvralvw 3224 . . . . . . 7 (โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ โˆฅ ๐‘… โ†’ ๐‘ โˆฅ ๐‘) โ†” โˆ€๐‘ž โˆˆ โ„™ (๐‘ž โˆฅ ๐‘… โ†’ ๐‘ž โˆฅ ๐‘))
109biimpi 215 . . . . . 6 (โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ โˆฅ ๐‘… โ†’ ๐‘ โˆฅ ๐‘) โ†’ โˆ€๐‘ž โˆˆ โ„™ (๐‘ž โˆฅ ๐‘… โ†’ ๐‘ž โˆฅ ๐‘))
1110adantl 483 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ โˆฅ ๐‘… โ†’ ๐‘ โˆฅ ๐‘)) โ†’ โˆ€๐‘ž โˆˆ โ„™ (๐‘ž โˆฅ ๐‘… โ†’ ๐‘ž โˆฅ ๐‘))
122, 3, 4, 5, 11aks4d1p7d1 40585 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ โˆฅ ๐‘… โ†’ ๐‘ โˆฅ ๐‘)) โ†’ ๐‘… โˆฅ (๐‘โ†‘(โŒŠโ€˜(2 logb ๐ต))))
135a1i 11 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… = inf({๐‘Ÿ โˆˆ (1...๐ต) โˆฃ ยฌ ๐‘Ÿ โˆฅ ๐ด}, โ„, < ))
14 ltso 11240 . . . . . . . . . . 11 < Or โ„
1514a1i 11 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ < Or โ„)
16 fzfid 13884 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (1...๐ต) โˆˆ Fin)
17 ssrab2 4038 . . . . . . . . . . . . 13 {๐‘Ÿ โˆˆ (1...๐ต) โˆฃ ยฌ ๐‘Ÿ โˆฅ ๐ด} โŠ† (1...๐ต)
1817a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ {๐‘Ÿ โˆˆ (1...๐ต) โˆฃ ยฌ ๐‘Ÿ โˆฅ ๐ด} โŠ† (1...๐ต))
1916, 18ssfid 9214 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ {๐‘Ÿ โˆˆ (1...๐ต) โˆฃ ยฌ ๐‘Ÿ โˆฅ ๐ด} โˆˆ Fin)
201, 3, 4aks4d1p3 40581 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ (1...๐ต) ยฌ ๐‘Ÿ โˆฅ ๐ด)
21 rabn0 4346 . . . . . . . . . . . 12 ({๐‘Ÿ โˆˆ (1...๐ต) โˆฃ ยฌ ๐‘Ÿ โˆฅ ๐ด} โ‰  โˆ… โ†” โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ (1...๐ต) ยฌ ๐‘Ÿ โˆฅ ๐ด)
2220, 21sylibr 233 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ {๐‘Ÿ โˆˆ (1...๐ต) โˆฃ ยฌ ๐‘Ÿ โˆฅ ๐ด} โ‰  โˆ…)
23 elfznn 13476 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘œ โˆˆ (1...๐ต) โ†’ ๐‘œ โˆˆ โ„•)
2423adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐‘œ โˆˆ (1...๐ต)) โ†’ ๐‘œ โˆˆ โ„•)
2524nnred 12173 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘œ โˆˆ (1...๐ต)) โ†’ ๐‘œ โˆˆ โ„)
2625ex 414 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (๐‘œ โˆˆ (1...๐ต) โ†’ ๐‘œ โˆˆ โ„))
2726ssrdv 3951 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (1...๐ต) โŠ† โ„)
2818, 27sstrd 3955 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ {๐‘Ÿ โˆˆ (1...๐ต) โˆฃ ยฌ ๐‘Ÿ โˆฅ ๐ด} โŠ† โ„)
2919, 22, 283jca 1129 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ({๐‘Ÿ โˆˆ (1...๐ต) โˆฃ ยฌ ๐‘Ÿ โˆฅ ๐ด} โˆˆ Fin โˆง {๐‘Ÿ โˆˆ (1...๐ต) โˆฃ ยฌ ๐‘Ÿ โˆฅ ๐ด} โ‰  โˆ… โˆง {๐‘Ÿ โˆˆ (1...๐ต) โˆฃ ยฌ ๐‘Ÿ โˆฅ ๐ด} โŠ† โ„))
30 fiinfcl 9442 . . . . . . . . . 10 (( < Or โ„ โˆง ({๐‘Ÿ โˆˆ (1...๐ต) โˆฃ ยฌ ๐‘Ÿ โˆฅ ๐ด} โˆˆ Fin โˆง {๐‘Ÿ โˆˆ (1...๐ต) โˆฃ ยฌ ๐‘Ÿ โˆฅ ๐ด} โ‰  โˆ… โˆง {๐‘Ÿ โˆˆ (1...๐ต) โˆฃ ยฌ ๐‘Ÿ โˆฅ ๐ด} โŠ† โ„)) โ†’ inf({๐‘Ÿ โˆˆ (1...๐ต) โˆฃ ยฌ ๐‘Ÿ โˆฅ ๐ด}, โ„, < ) โˆˆ {๐‘Ÿ โˆˆ (1...๐ต) โˆฃ ยฌ ๐‘Ÿ โˆฅ ๐ด})
3115, 29, 30syl2anc 585 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ inf({๐‘Ÿ โˆˆ (1...๐ต) โˆฃ ยฌ ๐‘Ÿ โˆฅ ๐ด}, โ„, < ) โˆˆ {๐‘Ÿ โˆˆ (1...๐ต) โˆฃ ยฌ ๐‘Ÿ โˆฅ ๐ด})
3213, 31eqeltrd 2834 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ {๐‘Ÿ โˆˆ (1...๐ต) โˆฃ ยฌ ๐‘Ÿ โˆฅ ๐ด})
33 breq1 5109 . . . . . . . . . 10 (๐‘Ÿ = ๐‘… โ†’ (๐‘Ÿ โˆฅ ๐ด โ†” ๐‘… โˆฅ ๐ด))
3433notbid 318 . . . . . . . . 9 (๐‘Ÿ = ๐‘… โ†’ (ยฌ ๐‘Ÿ โˆฅ ๐ด โ†” ยฌ ๐‘… โˆฅ ๐ด))
3534elrab 3646 . . . . . . . 8 (๐‘… โˆˆ {๐‘Ÿ โˆˆ (1...๐ต) โˆฃ ยฌ ๐‘Ÿ โˆฅ ๐ด} โ†” (๐‘… โˆˆ (1...๐ต) โˆง ยฌ ๐‘… โˆฅ ๐ด))
3632, 35sylib 217 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘… โˆˆ (1...๐ต) โˆง ยฌ ๐‘… โˆฅ ๐ด))
3736simprd 497 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ยฌ ๐‘… โˆฅ ๐ด)
381, 3, 4, 5aks4d1p4 40582 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (๐‘… โˆˆ (1...๐ต) โˆง ยฌ ๐‘… โˆฅ ๐ด))
3938simpld 496 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ (1...๐ต))
4039elfzelzd 13448 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„ค)
41 eluzelz 12778 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
421, 41syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
43 2re 12232 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 โˆˆ โ„
4443a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ 2 โˆˆ โ„)
45 2pos 12261 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 < 2
4645a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ 0 < 2)
474a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ ๐ต = (โŒˆโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘5)))
4842zred 12612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
49 0red 11163 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (๐œ‘ โ†’ 0 โˆˆ โ„)
50 3re 12238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3 โˆˆ โ„
5150a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (๐œ‘ โ†’ 3 โˆˆ โ„)
52 3pos 12263 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 0 < 3
5352a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (๐œ‘ โ†’ 0 < 3)
54 eluzle 12781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜3) โ†’ 3 โ‰ค ๐‘)
551, 54syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (๐œ‘ โ†’ 3 โ‰ค ๐‘)
5649, 51, 48, 53, 55ltletrd 11320 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐œ‘ โ†’ 0 < ๐‘)
57 1red 11161 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„)
58 1lt2 12329 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1 < 2
5958a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (๐œ‘ โ†’ 1 < 2)
6057, 59ltned 11296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (๐œ‘ โ†’ 1 โ‰  2)
6160necomd 2996 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐œ‘ โ†’ 2 โ‰  1)
6244, 46, 48, 56, 61relogbcld 40476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐œ‘ โ†’ (2 logb ๐‘) โˆˆ โ„)
63 5nn0 12438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 5 โˆˆ โ„•0
6463a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐œ‘ โ†’ 5 โˆˆ โ„•0)
6562, 64reexpcld 14074 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐œ‘ โ†’ ((2 logb ๐‘)โ†‘5) โˆˆ โ„)
6665ceilcld 13754 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐œ‘ โ†’ (โŒˆโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘5)) โˆˆ โ„ค)
6766zred 12612 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ (โŒˆโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘5)) โˆˆ โ„)
6847, 67eqeltrd 2834 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
69 9re 12257 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 9 โˆˆ โ„
7069a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ 9 โˆˆ โ„)
71 9pos 12271 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 0 < 9
7271a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ 0 < 9)
7348, 553lexlogpow5ineq4 40559 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐œ‘ โ†’ 9 < ((2 logb ๐‘)โ†‘5))
7465ceilged 13757 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐œ‘ โ†’ ((2 logb ๐‘)โ†‘5) โ‰ค (โŒˆโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘5)))
7570, 65, 67, 73, 74ltletrd 11320 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐œ‘ โ†’ 9 < (โŒˆโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘5)))
7675, 47breqtrrd 5134 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ 9 < ๐ต)
7749, 70, 68, 72, 76lttrd 11321 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ 0 < ๐ต)
7844, 46, 68, 77, 61relogbcld 40476 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ (2 logb ๐ต) โˆˆ โ„)
7978flcld 13709 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (โŒŠโ€˜(2 logb ๐ต)) โˆˆ โ„ค)
8044recnd 11188 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐œ‘ โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
8149, 46gtned 11295 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐œ‘ โ†’ 2 โ‰  0)
82 logb1 26135 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((2 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โ‰  0 โˆง 2 โ‰  1) โ†’ (2 logb 1) = 0)
8380, 81, 61, 82syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ (2 logb 1) = 0)
8483eqcomd 2739 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ 0 = (2 logb 1))
85 2z 12540 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2 โˆˆ โ„ค
8685a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ 2 โˆˆ โ„ค)
8744leidd 11726 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ 2 โ‰ค 2)
88 0lt1 11682 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 0 < 1
8988a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ 0 < 1)
90 1lt9 12364 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1 < 9
9190a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐œ‘ โ†’ 1 < 9)
9257, 70, 91ltled 11308 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐œ‘ โ†’ 1 โ‰ค 9)
9370, 68, 76ltled 11308 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐œ‘ โ†’ 9 โ‰ค ๐ต)
9457, 70, 68, 92, 93letrd 11317 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ 1 โ‰ค ๐ต)
9586, 87, 57, 89, 68, 77, 94logblebd 40479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ (2 logb 1) โ‰ค (2 logb ๐ต))
9684, 95eqbrtrd 5128 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค (2 logb ๐ต))
97 0zd 12516 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ 0 โˆˆ โ„ค)
98 flge 13716 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((2 logb ๐ต) โˆˆ โ„ โˆง 0 โˆˆ โ„ค) โ†’ (0 โ‰ค (2 logb ๐ต) โ†” 0 โ‰ค (โŒŠโ€˜(2 logb ๐ต))))
9978, 97, 98syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ (0 โ‰ค (2 logb ๐ต) โ†” 0 โ‰ค (โŒŠโ€˜(2 logb ๐ต))))
10096, 99mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค (โŒŠโ€˜(2 logb ๐ต)))
10179, 100jca 513 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ((โŒŠโ€˜(2 logb ๐ต)) โˆˆ โ„ค โˆง 0 โ‰ค (โŒŠโ€˜(2 logb ๐ต))))
102 elnn0z 12517 . . . . . . . . . . . . 13 ((โŒŠโ€˜(2 logb ๐ต)) โˆˆ โ„•0 โ†” ((โŒŠโ€˜(2 logb ๐ต)) โˆˆ โ„ค โˆง 0 โ‰ค (โŒŠโ€˜(2 logb ๐ต))))
103101, 102sylibr 233 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (โŒŠโ€˜(2 logb ๐ต)) โˆˆ โ„•0)
10442, 103zexpcld 13999 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐‘โ†‘(โŒŠโ€˜(2 logb ๐ต))) โˆˆ โ„ค)
105 fzfid 13884 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2))) โˆˆ Fin)
10642adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
107 elfznn 13476 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2))) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•)
108107adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•)
109108nnnn0d 12478 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
110106, 109zexpcld 13999 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))) โ†’ (๐‘โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„ค)
111 1zzd 12539 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))) โ†’ 1 โˆˆ โ„ค)
112110, 111zsubcld 12617 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))) โ†’ ((๐‘โ†‘๐‘˜) โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค)
113105, 112fprodzcl 15842 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))((๐‘โ†‘๐‘˜) โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค)
114 dvdsmultr1 16183 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘… โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘โ†‘(โŒŠโ€˜(2 logb ๐ต))) โˆˆ โ„ค โˆง โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))((๐‘โ†‘๐‘˜) โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘… โˆฅ (๐‘โ†‘(โŒŠโ€˜(2 logb ๐ต))) โ†’ ๐‘… โˆฅ ((๐‘โ†‘(โŒŠโ€˜(2 logb ๐ต))) ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))((๐‘โ†‘๐‘˜) โˆ’ 1))))
11540, 104, 113, 114syl3anc 1372 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐‘… โˆฅ (๐‘โ†‘(โŒŠโ€˜(2 logb ๐ต))) โ†’ ๐‘… โˆฅ ((๐‘โ†‘(โŒŠโ€˜(2 logb ๐ต))) ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))((๐‘โ†‘๐‘˜) โˆ’ 1))))
116115imp 408 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘… โˆฅ (๐‘โ†‘(โŒŠโ€˜(2 logb ๐ต)))) โ†’ ๐‘… โˆฅ ((๐‘โ†‘(โŒŠโ€˜(2 logb ๐ต))) ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))((๐‘โ†‘๐‘˜) โˆ’ 1)))
1173a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐ด = ((๐‘โ†‘(โŒŠโ€˜(2 logb ๐ต))) ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))((๐‘โ†‘๐‘˜) โˆ’ 1)))
118117breq2d 5118 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐‘… โˆฅ ๐ด โ†” ๐‘… โˆฅ ((๐‘โ†‘(โŒŠโ€˜(2 logb ๐ต))) ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))((๐‘โ†‘๐‘˜) โˆ’ 1))))
119118adantr 482 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘… โˆฅ (๐‘โ†‘(โŒŠโ€˜(2 logb ๐ต)))) โ†’ (๐‘… โˆฅ ๐ด โ†” ๐‘… โˆฅ ((๐‘โ†‘(โŒŠโ€˜(2 logb ๐ต))) ยท โˆ๐‘˜ โˆˆ (1...(โŒŠโ€˜((2 logb ๐‘)โ†‘2)))((๐‘โ†‘๐‘˜) โˆ’ 1))))
120116, 119mpbird 257 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘… โˆฅ (๐‘โ†‘(โŒŠโ€˜(2 logb ๐ต)))) โ†’ ๐‘… โˆฅ ๐ด)
121120ex 414 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘… โˆฅ (๐‘โ†‘(โŒŠโ€˜(2 logb ๐ต))) โ†’ ๐‘… โˆฅ ๐ด))
122121con3d 152 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (ยฌ ๐‘… โˆฅ ๐ด โ†’ ยฌ ๐‘… โˆฅ (๐‘โ†‘(โŒŠโ€˜(2 logb ๐ต)))))
12337, 122mpd 15 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ยฌ ๐‘… โˆฅ (๐‘โ†‘(โŒŠโ€˜(2 logb ๐ต))))
124123adantr 482 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ โˆฅ ๐‘… โ†’ ๐‘ โˆฅ ๐‘)) โ†’ ยฌ ๐‘… โˆฅ (๐‘โ†‘(โŒŠโ€˜(2 logb ๐ต))))
12512, 124pm2.65da 816 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ยฌ โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ โˆฅ ๐‘… โ†’ ๐‘ โˆฅ ๐‘))
126 ianor 981 . . . . . . . 8 (ยฌ (๐‘ โˆฅ ๐‘… โˆง ยฌ ๐‘ โˆฅ ๐‘) โ†” (ยฌ ๐‘ โˆฅ ๐‘… โˆจ ยฌ ยฌ ๐‘ โˆฅ ๐‘))
127 notnotb 315 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆฅ ๐‘ โ†” ยฌ ยฌ ๐‘ โˆฅ ๐‘)
128127orbi2i 912 . . . . . . . . 9 ((ยฌ ๐‘ โˆฅ ๐‘… โˆจ ๐‘ โˆฅ ๐‘) โ†” (ยฌ ๐‘ โˆฅ ๐‘… โˆจ ยฌ ยฌ ๐‘ โˆฅ ๐‘))
129128bicomi 223 . . . . . . . 8 ((ยฌ ๐‘ โˆฅ ๐‘… โˆจ ยฌ ยฌ ๐‘ โˆฅ ๐‘) โ†” (ยฌ ๐‘ โˆฅ ๐‘… โˆจ ๐‘ โˆฅ ๐‘))
130126, 129bitri 275 . . . . . . 7 (ยฌ (๐‘ โˆฅ ๐‘… โˆง ยฌ ๐‘ โˆฅ ๐‘) โ†” (ยฌ ๐‘ โˆฅ ๐‘… โˆจ ๐‘ โˆฅ ๐‘))
131 df-or 847 . . . . . . 7 ((ยฌ ๐‘ โˆฅ ๐‘… โˆจ ๐‘ โˆฅ ๐‘) โ†” (ยฌ ยฌ ๐‘ โˆฅ ๐‘… โ†’ ๐‘ โˆฅ ๐‘))
132130, 131bitri 275 . . . . . 6 (ยฌ (๐‘ โˆฅ ๐‘… โˆง ยฌ ๐‘ โˆฅ ๐‘) โ†” (ยฌ ยฌ ๐‘ โˆฅ ๐‘… โ†’ ๐‘ โˆฅ ๐‘))
133 notnotb 315 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆฅ ๐‘… โ†” ยฌ ยฌ ๐‘ โˆฅ ๐‘…)
134133imbi1i 350 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆฅ ๐‘… โ†’ ๐‘ โˆฅ ๐‘) โ†” (ยฌ ยฌ ๐‘ โˆฅ ๐‘… โ†’ ๐‘ โˆฅ ๐‘))
135134bicomi 223 . . . . . 6 ((ยฌ ยฌ ๐‘ โˆฅ ๐‘… โ†’ ๐‘ โˆฅ ๐‘) โ†” (๐‘ โˆฅ ๐‘… โ†’ ๐‘ โˆฅ ๐‘))
136132, 135bitri 275 . . . . 5 (ยฌ (๐‘ โˆฅ ๐‘… โˆง ยฌ ๐‘ โˆฅ ๐‘) โ†” (๐‘ โˆฅ ๐‘… โ†’ ๐‘ โˆฅ ๐‘))
137136ralbii 3093 . . . 4 (โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ ยฌ (๐‘ โˆฅ ๐‘… โˆง ยฌ ๐‘ โˆฅ ๐‘) โ†” โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ โˆฅ ๐‘… โ†’ ๐‘ โˆฅ ๐‘))
138137notbii 320 . . 3 (ยฌ โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ ยฌ (๐‘ โˆฅ ๐‘… โˆง ยฌ ๐‘ โˆฅ ๐‘) โ†” ยฌ โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ โˆฅ ๐‘… โ†’ ๐‘ โˆฅ ๐‘))
139125, 138sylibr 233 . 2 (๐œ‘ โ†’ ยฌ โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ ยฌ (๐‘ โˆฅ ๐‘… โˆง ยฌ ๐‘ โˆฅ ๐‘))
140 ralnex 3072 . . . 4 (โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ ยฌ (๐‘ โˆฅ ๐‘… โˆง ยฌ ๐‘ โˆฅ ๐‘) โ†” ยฌ โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ โˆฅ ๐‘… โˆง ยฌ ๐‘ โˆฅ ๐‘))
141140con2bii 358 . . 3 (โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ โˆฅ ๐‘… โˆง ยฌ ๐‘ โˆฅ ๐‘) โ†” ยฌ โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ ยฌ (๐‘ โˆฅ ๐‘… โˆง ยฌ ๐‘ โˆฅ ๐‘))
142141bicomi 223 . 2 (ยฌ โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ ยฌ (๐‘ โˆฅ ๐‘… โˆง ยฌ ๐‘ โˆฅ ๐‘) โ†” โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ โˆฅ ๐‘… โˆง ยฌ ๐‘ โˆฅ ๐‘))
143139, 142sylib 217 1 (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„™ (๐‘ โˆฅ ๐‘… โˆง ยฌ ๐‘ โˆฅ ๐‘))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆจ wo 846   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2940  โˆ€wral 3061  โˆƒwrex 3070  {crab 3406   โŠ† wss 3911  โˆ…c0 4283   class class class wbr 5106   Or wor 5545  โ€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  Fincfn 8886  infcinf 9382  โ„‚cc 11054  โ„cr 11055  0cc0 11056  1c1 11057   ยท cmul 11061   < clt 11194   โ‰ค cle 11195   โˆ’ cmin 11390  โ„•cn 12158  2c2 12213  3c3 12214  5c5 12216  9c9 12220  โ„•0cn0 12418  โ„คcz 12504  โ„คโ‰ฅcuz 12768  ...cfz 13430  โŒŠcfl 13701  โŒˆcceil 13702  โ†‘cexp 13973  โˆcprod 15793   โˆฅ cdvds 16141  โ„™cprime 16552   logb clogb 26130
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9582  ax-cc 10376  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134  ax-addf 11135  ax-mulf 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-symdif 4203  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-iin 4958  df-disj 5072  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7618  df-ofr 7619  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-supp 8094  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-2o 8414  df-oadd 8417  df-omul 8418  df-er 8651  df-map 8770  df-pm 8771  df-ixp 8839  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fsupp 9309  df-fi 9352  df-sup 9383  df-inf 9384  df-oi 9451  df-dju 9842  df-card 9880  df-acn 9883  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-5 12224  df-6 12225  df-7 12226  df-8 12227  df-9 12228  df-n0 12419  df-z 12505  df-dec 12624  df-uz 12769  df-q 12879  df-rp 12921  df-xneg 13038  df-xadd 13039  df-xmul 13040  df-ioo 13274  df-ioc 13275  df-ico 13276  df-icc 13277  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-fl 13703  df-ceil 13704  df-mod 13781  df-seq 13913  df-exp 13974  df-fac 14180  df-bc 14209  df-hash 14237  df-shft 14958  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127  df-limsup 15359  df-clim 15376  df-rlim 15377  df-sum 15577  df-prod 15794  df-ef 15955  df-e 15956  df-sin 15957  df-cos 15958  df-pi 15960  df-dvds 16142  df-gcd 16380  df-lcm 16471  df-lcmf 16472  df-prm 16553  df-pc 16714  df-struct 17024  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-ress 17118  df-plusg 17151  df-mulr 17152  df-starv 17153  df-sca 17154  df-vsca 17155  df-ip 17156  df-tset 17157  df-ple 17158  df-ds 17160  df-unif 17161  df-hom 17162  df-cco 17163  df-rest 17309  df-topn 17310  df-0g 17328  df-gsum 17329  df-topgen 17330  df-pt 17331  df-prds 17334  df-xrs 17389  df-qtop 17394  df-imas 17395  df-xps 17397  df-mre 17471  df-mrc 17472  df-acs 17474  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-submnd 18607  df-mulg 18878  df-cntz 19102  df-cmn 19569  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-fbas 20809  df-fg 20810  df-cnfld 20813  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-bases 22312  df-cld 22386  df-ntr 22387  df-cls 22388  df-nei 22465  df-lp 22503  df-perf 22504  df-cn 22594  df-cnp 22595  df-haus 22682  df-cmp 22754  df-tx 22929  df-hmeo 23122  df-fil 23213  df-fm 23305  df-flim 23306  df-flf 23307  df-xms 23689  df-ms 23690  df-tms 23691  df-cncf 24257  df-ovol 24844  df-vol 24845  df-mbf 24999  df-itg1 25000  df-itg2 25001  df-ibl 25002  df-itg 25003  df-0p 25050  df-limc 25246  df-dv 25247  df-log 25928  df-cxp 25929  df-logb 26131
This theorem is referenced by:  aks4d1p8  40590
  Copyright terms: Public domain W3C validator