![]() |
Mathbox for metakunt |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > Mathboxes > aks4d1p4 | Structured version Visualization version GIF version |
Description: There exists a small enough number such that it does not divide ๐ด. (Contributed by metakunt, 28-Oct-2024.) |
Ref | Expression |
---|---|
aks4d1p4.1 | โข (๐ โ ๐ โ (โคโฅโ3)) |
aks4d1p4.2 | โข ๐ด = ((๐โ(โโ(2 logb ๐ต))) ยท โ๐ โ (1...(โโ((2 logb ๐)โ2)))((๐โ๐) โ 1)) |
aks4d1p4.3 | โข ๐ต = (โโ((2 logb ๐)โ5)) |
aks4d1p4.4 | โข ๐ = inf({๐ โ (1...๐ต) โฃ ยฌ ๐ โฅ ๐ด}, โ, < ) |
Ref | Expression |
---|---|
aks4d1p4 | โข (๐ โ (๐ โ (1...๐ต) โง ยฌ ๐ โฅ ๐ด)) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | aks4d1p4.4 | . . . 4 โข ๐ = inf({๐ โ (1...๐ต) โฃ ยฌ ๐ โฅ ๐ด}, โ, < ) | |
2 | 1 | a1i 11 | . . 3 โข (๐ โ ๐ = inf({๐ โ (1...๐ต) โฃ ยฌ ๐ โฅ ๐ด}, โ, < )) |
3 | ltso 11334 | . . . . 5 โข < Or โ | |
4 | 3 | a1i 11 | . . . 4 โข (๐ โ < Or โ) |
5 | fzfid 13980 | . . . . . 6 โข (๐ โ (1...๐ต) โ Fin) | |
6 | ssrab2 4077 | . . . . . . 7 โข {๐ โ (1...๐ต) โฃ ยฌ ๐ โฅ ๐ด} โ (1...๐ต) | |
7 | 6 | a1i 11 | . . . . . 6 โข (๐ โ {๐ โ (1...๐ต) โฃ ยฌ ๐ โฅ ๐ด} โ (1...๐ต)) |
8 | 5, 7 | ssfid 9300 | . . . . 5 โข (๐ โ {๐ โ (1...๐ต) โฃ ยฌ ๐ โฅ ๐ด} โ Fin) |
9 | aks4d1p4.1 | . . . . . . 7 โข (๐ โ ๐ โ (โคโฅโ3)) | |
10 | aks4d1p4.2 | . . . . . . 7 โข ๐ด = ((๐โ(โโ(2 logb ๐ต))) ยท โ๐ โ (1...(โโ((2 logb ๐)โ2)))((๐โ๐) โ 1)) | |
11 | aks4d1p4.3 | . . . . . . 7 โข ๐ต = (โโ((2 logb ๐)โ5)) | |
12 | 9, 10, 11 | aks4d1p3 41589 | . . . . . 6 โข (๐ โ โ๐ โ (1...๐ต) ยฌ ๐ โฅ ๐ด) |
13 | rabn0 4389 | . . . . . 6 โข ({๐ โ (1...๐ต) โฃ ยฌ ๐ โฅ ๐ด} โ โ โ โ๐ โ (1...๐ต) ยฌ ๐ โฅ ๐ด) | |
14 | 12, 13 | sylibr 233 | . . . . 5 โข (๐ โ {๐ โ (1...๐ต) โฃ ยฌ ๐ โฅ ๐ด} โ โ ) |
15 | elfznn 13572 | . . . . . . . . . 10 โข (๐ โ (1...๐ต) โ ๐ โ โ) | |
16 | 15 | adantl 480 | . . . . . . . . 9 โข ((๐ โง ๐ โ (1...๐ต)) โ ๐ โ โ) |
17 | 16 | nnred 12267 | . . . . . . . 8 โข ((๐ โง ๐ โ (1...๐ต)) โ ๐ โ โ) |
18 | 17 | ex 411 | . . . . . . 7 โข (๐ โ (๐ โ (1...๐ต) โ ๐ โ โ)) |
19 | 18 | ssrdv 3988 | . . . . . 6 โข (๐ โ (1...๐ต) โ โ) |
20 | 7, 19 | sstrd 3992 | . . . . 5 โข (๐ โ {๐ โ (1...๐ต) โฃ ยฌ ๐ โฅ ๐ด} โ โ) |
21 | 8, 14, 20 | 3jca 1125 | . . . 4 โข (๐ โ ({๐ โ (1...๐ต) โฃ ยฌ ๐ โฅ ๐ด} โ Fin โง {๐ โ (1...๐ต) โฃ ยฌ ๐ โฅ ๐ด} โ โ โง {๐ โ (1...๐ต) โฃ ยฌ ๐ โฅ ๐ด} โ โ)) |
22 | fiinfcl 9534 | . . . 4 โข (( < Or โ โง ({๐ โ (1...๐ต) โฃ ยฌ ๐ โฅ ๐ด} โ Fin โง {๐ โ (1...๐ต) โฃ ยฌ ๐ โฅ ๐ด} โ โ โง {๐ โ (1...๐ต) โฃ ยฌ ๐ โฅ ๐ด} โ โ)) โ inf({๐ โ (1...๐ต) โฃ ยฌ ๐ โฅ ๐ด}, โ, < ) โ {๐ โ (1...๐ต) โฃ ยฌ ๐ โฅ ๐ด}) | |
23 | 4, 21, 22 | syl2anc 582 | . . 3 โข (๐ โ inf({๐ โ (1...๐ต) โฃ ยฌ ๐ โฅ ๐ด}, โ, < ) โ {๐ โ (1...๐ต) โฃ ยฌ ๐ โฅ ๐ด}) |
24 | 2, 23 | eqeltrd 2829 | . 2 โข (๐ โ ๐ โ {๐ โ (1...๐ต) โฃ ยฌ ๐ โฅ ๐ด}) |
25 | breq1 5155 | . . . 4 โข (๐ = ๐ โ (๐ โฅ ๐ด โ ๐ โฅ ๐ด)) | |
26 | 25 | notbid 317 | . . 3 โข (๐ = ๐ โ (ยฌ ๐ โฅ ๐ด โ ยฌ ๐ โฅ ๐ด)) |
27 | 26 | elrab 3684 | . 2 โข (๐ โ {๐ โ (1...๐ต) โฃ ยฌ ๐ โฅ ๐ด} โ (๐ โ (1...๐ต) โง ยฌ ๐ โฅ ๐ด)) |
28 | 24, 27 | sylib 217 | 1 โข (๐ โ (๐ โ (1...๐ต) โง ยฌ ๐ โฅ ๐ด)) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: ยฌ wn 3 โ wi 4 โง wa 394 โง w3a 1084 = wceq 1533 โ wcel 2098 โ wne 2937 โwrex 3067 {crab 3430 โ wss 3949 โ c0 4326 class class class wbr 5152 Or wor 5593 โcfv 6553 (class class class)co 7426 Fincfn 8972 infcinf 9474 โcr 11147 1c1 11149 ยท cmul 11153 < clt 11288 โ cmin 11484 โcn 12252 2c2 12307 3c3 12308 5c5 12310 โคโฅcuz 12862 ...cfz 13526 โcfl 13797 โcceil 13798 โcexp 14068 โcprod 15891 โฅ cdvds 16240 logb clogb 26724 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2166 ax-ext 2699 ax-rep 5289 ax-sep 5303 ax-nul 5310 ax-pow 5369 ax-pr 5433 ax-un 7748 ax-inf2 9674 ax-cc 10468 ax-cnex 11204 ax-resscn 11205 ax-1cn 11206 ax-icn 11207 ax-addcl 11208 ax-addrcl 11209 ax-mulcl 11210 ax-mulrcl 11211 ax-mulcom 11212 ax-addass 11213 ax-mulass 11214 ax-distr 11215 ax-i2m1 11216 ax-1ne0 11217 ax-1rid 11218 ax-rnegex 11219 ax-rrecex 11220 ax-cnre 11221 ax-pre-lttri 11222 ax-pre-lttrn 11223 ax-pre-ltadd 11224 ax-pre-mulgt0 11225 ax-pre-sup 11226 ax-addf 11227 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 395 df-or 846 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2529 df-eu 2558 df-clab 2706 df-cleq 2720 df-clel 2806 df-nfc 2881 df-ne 2938 df-nel 3044 df-ral 3059 df-rex 3068 df-rmo 3374 df-reu 3375 df-rab 3431 df-v 3475 df-sbc 3779 df-csb 3895 df-dif 3952 df-un 3954 df-in 3956 df-ss 3966 df-pss 3968 df-symdif 4245 df-nul 4327 df-if 4533 df-pw 4608 df-sn 4633 df-pr 4635 df-tp 4637 df-op 4639 df-uni 4913 df-int 4954 df-iun 5002 df-iin 5003 df-disj 5118 df-br 5153 df-opab 5215 df-mpt 5236 df-tr 5270 df-id 5580 df-eprel 5586 df-po 5594 df-so 5595 df-fr 5637 df-se 5638 df-we 5639 df-xp 5688 df-rel 5689 df-cnv 5690 df-co 5691 df-dm 5692 df-rn 5693 df-res 5694 df-ima 5695 df-pred 6310 df-ord 6377 df-on 6378 df-lim 6379 df-suc 6380 df-iota 6505 df-fun 6555 df-fn 6556 df-f 6557 df-f1 6558 df-fo 6559 df-f1o 6560 df-fv 6561 df-isom 6562 df-riota 7382 df-ov 7429 df-oprab 7430 df-mpo 7431 df-of 7692 df-ofr 7693 df-om 7879 df-1st 8001 df-2nd 8002 df-supp 8174 df-frecs 8295 df-wrecs 8326 df-recs 8400 df-rdg 8439 df-1o 8495 df-2o 8496 df-oadd 8499 df-omul 8500 df-er 8733 df-map 8855 df-pm 8856 df-ixp 8925 df-en 8973 df-dom 8974 df-sdom 8975 df-fin 8976 df-fsupp 9396 df-fi 9444 df-sup 9475 df-inf 9476 df-oi 9543 df-dju 9934 df-card 9972 df-acn 9975 df-pnf 11290 df-mnf 11291 df-xr 11292 df-ltxr 11293 df-le 11294 df-sub 11486 df-neg 11487 df-div 11912 df-nn 12253 df-2 12315 df-3 12316 df-4 12317 df-5 12318 df-6 12319 df-7 12320 df-8 12321 df-9 12322 df-n0 12513 df-z 12599 df-dec 12718 df-uz 12863 df-q 12973 df-rp 13017 df-xneg 13134 df-xadd 13135 df-xmul 13136 df-ioo 13370 df-ioc 13371 df-ico 13372 df-icc 13373 df-fz 13527 df-fzo 13670 df-fl 13799 df-ceil 13800 df-mod 13877 df-seq 14009 df-exp 14069 df-fac 14275 df-bc 14304 df-hash 14332 df-shft 15056 df-cj 15088 df-re 15089 df-im 15090 df-sqrt 15224 df-abs 15225 df-limsup 15457 df-clim 15474 df-rlim 15475 df-sum 15675 df-prod 15892 df-ef 16053 df-e 16054 df-sin 16055 df-cos 16056 df-pi 16058 df-dvds 16241 df-gcd 16479 df-lcm 16570 df-lcmf 16571 df-prm 16652 df-struct 17125 df-sets 17142 df-slot 17160 df-ndx 17172 df-base 17190 df-ress 17219 df-plusg 17255 df-mulr 17256 df-starv 17257 df-sca 17258 df-vsca 17259 df-ip 17260 df-tset 17261 df-ple 17262 df-ds 17264 df-unif 17265 df-hom 17266 df-cco 17267 df-rest 17413 df-topn 17414 df-0g 17432 df-gsum 17433 df-topgen 17434 df-pt 17435 df-prds 17438 df-xrs 17493 df-qtop 17498 df-imas 17499 df-xps 17501 df-mre 17575 df-mrc 17576 df-acs 17578 df-mgm 18609 df-sgrp 18688 df-mnd 18704 df-submnd 18750 df-mulg 19038 df-cntz 19282 df-cmn 19751 df-psmet 21285 df-xmet 21286 df-met 21287 df-bl 21288 df-mopn 21289 df-fbas 21290 df-fg 21291 df-cnfld 21294 df-top 22824 df-topon 22841 df-topsp 22863 df-bases 22877 df-cld 22951 df-ntr 22952 df-cls 22953 df-nei 23030 df-lp 23068 df-perf 23069 df-cn 23159 df-cnp 23160 df-haus 23247 df-cmp 23319 df-tx 23494 df-hmeo 23687 df-fil 23778 df-fm 23870 df-flim 23871 df-flf 23872 df-xms 24254 df-ms 24255 df-tms 24256 df-cncf 24826 df-ovol 25421 df-vol 25422 df-mbf 25576 df-itg1 25577 df-itg2 25578 df-ibl 25579 df-itg 25580 df-0p 25627 df-limc 25823 df-dv 25824 df-log 26518 df-cxp 26519 df-logb 26725 |
This theorem is referenced by: aks4d1p5 41591 aks4d1p6 41592 aks4d1p7d1 41593 aks4d1p7 41594 aks4d1p8 41598 aks4d1p9 41599 aks4d1 41600 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |