Theorem aks4d1p4 42771

Description: There exists a small enough number such that it does not divide 𝐴. (Contributed by metakunt, 28-Oct-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
aks4d1p4.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))
aks4d1p4.2	⊢ 𝐴 = ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1))
aks4d1p4.3	⊢ 𝐵 = (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5))
aks4d1p4.4	⊢ 𝑅 = inf({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}, ℝ, < )

Assertion

Ref	Expression
aks4d1p4	⊢ (𝜑 → (𝑅 ∈ (1...𝐵) ∧ ¬ 𝑅 ∥ 𝐴))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑟   𝐵,𝑟   𝑘,𝑁   𝑅,𝑟   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑟)   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝑅(𝑘)   𝑁(𝑟)

Proof of Theorem aks4d1p4

Dummy variable 𝑜 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		aks4d1p4.4	. . . 4 ⊢ 𝑅 = inf({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}, ℝ, < )
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = inf({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}, ℝ, < ))
3		ltso 11290	. . . . 5 ⊢ < Or ℝ
4	3	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → < Or ℝ)
5		fzfid 14009	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1...𝐵) ∈ Fin)
6		ssrab2 4040	. . . . . . 7 ⊢ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴} ⊆ (1...𝐵)
7	6	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴} ⊆ (1...𝐵))
8	5, 7	ssfid 9229	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴} ∈ Fin)
9		aks4d1p4.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))
10		aks4d1p4.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁↑𝑘) − 1))
11		aks4d1p4.3	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5))
12	9, 10, 11	aks4d1p3 42770	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∃𝑟 ∈ (1...𝐵) ¬ 𝑟 ∥ 𝐴)
13		rabn0 4351	. . . . . 6 ⊢ ({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴} ≠ ∅ ↔ ∃𝑟 ∈ (1...𝐵) ¬ 𝑟 ∥ 𝐴)
14	12, 13	sylibr 237	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴} ≠ ∅)
15		elfznn 13581	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑜 ∈ (1...𝐵) → 𝑜 ∈ ℕ)
16	15	adantl 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑜 ∈ (1...𝐵)) → 𝑜 ∈ ℕ)
17	16	nnred 12248	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑜 ∈ (1...𝐵)) → 𝑜 ∈ ℝ)
18	17	ex 417	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑜 ∈ (1...𝐵) → 𝑜 ∈ ℝ))
19	18	ssrdv 3949	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1...𝐵) ⊆ ℝ)
20	7, 19	sstrd 3953	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴} ⊆ ℝ)
21	8, 14, 20	3jca 1144	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴} ∈ Fin ∧ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴} ≠ ∅ ∧ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴} ⊆ ℝ))
22		fiinfcl 9463	. . . 4 ⊢ (( < Or ℝ ∧ ({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴} ∈ Fin ∧ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴} ≠ ∅ ∧ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴} ⊆ ℝ)) → inf({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}, ℝ, < ) ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴})
23	4, 21, 22	syl2anc 595	. . 3 ⊢ (𝜑 → inf({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴}, ℝ, < ) ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴})
24	2, 23	eqeltrd 2869	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴})
25		breq1 5114	. . . 4 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (𝑟 ∥ 𝐴 ↔ 𝑅 ∥ 𝐴))
26	25	notbid 321	. . 3 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (¬ 𝑟 ∥ 𝐴 ↔ ¬ 𝑅 ∥ 𝐴))
27	26	elrab 3657	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟 ∥ 𝐴} ↔ (𝑅 ∈ (1...𝐵) ∧ ¬ 𝑅 ∥ 𝐴))
28	24, 27	sylib 221	1 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∈ (1...𝐵) ∧ ¬ 𝑅 ∥ 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964  ∃wrex 3095  {crab 3422   ⊆ wss 3911  ∅c0 4292   class class class wbr 5111   Or wor 5569  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  Fincfn 8943  infcinf 9401  ℝcr 11099  1c1 11101   · cmul 11105   < clt 11243   − cmin 11441  ℕcn 12233  2c2 12295  3c3 12296  5c5 12298  ℤ_≥cuz 12862  ...cfz 13535  ⌊cfl 13823  ⌈cceil 13824  ↑cexp 14097  ∏cprod 15957   ∥ cdvds 16310   log_b clogb 26895

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-inf2 9610  ax-cc 10419  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177  ax-pre-sup 11178  ax-addf 11179

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3423  df-v 3463  df-sbc 3752  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-symdif 4212  df-nul 4293  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-iin 4961  df-disj 5079  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-se 5616  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7675  df-ofr 7676  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-supp 8157  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-2o 8454  df-oadd 8457  df-omul 8458  df-er 8694  df-map 8826  df-pm 8827  df-ixp 8896  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-fsupp 9322  df-fi 9371  df-sup 9402  df-inf 9403  df-oi 9472  df-dju 9887  df-card 9925  df-acn 9928  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11872  df-nn 12234  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12505  df-z 12592  df-dec 12712  df-uz 12863  df-q 12973  df-rp 13017  df-xneg 13137  df-xadd 13138  df-xmul 13139  df-ioo 13376  df-ioc 13377  df-ico 13378  df-icc 13379  df-fz 13536  df-fzo 13683  df-fl 13825  df-ceil 13826  df-mod 13903  df-seq 14038  df-exp 14098  df-fac 14310  df-bc 14339  df-hash 14367  df-shft 15104  df-cj 15150  df-re 15151  df-im 15152  df-sqrt 15286  df-abs 15287  df-limsup 15522  df-clim 15539  df-rlim 15540  df-sum 15738  df-prod 15958  df-ef 16121  df-e 16122  df-sin 16123  df-cos 16124  df-pi 16126  df-dvds 16311  df-gcd 16553  df-lcm 16648  df-lcmf 16649  df-prm 16730  df-struct 17207  df-sets 17224  df-slot 17242  df-ndx 17254  df-base 17270  df-ress 17291  df-plusg 17323  df-mulr 17324  df-starv 17325  df-sca 17326  df-vsca 17327  df-ip 17328  df-tset 17329  df-ple 17330  df-ds 17332  df-unif 17333  df-hom 17334  df-cco 17335  df-rest 17475  df-topn 17476  df-0g 17494  df-gsum 17495  df-topgen 17496  df-pt 17497  df-prds 17500  df-xrs 17556  df-qtop 17561  df-imas 17562  df-xps 17564  df-mre 17638  df-mrc 17639  df-acs 17641  df-mgm 18698  df-sgrp 18777  df-mnd 18793  df-submnd 18842  df-mulg 19134  df-cntz 19387  df-cmn 19852  df-psmet 21483  df-xmet 21484  df-met 21485  df-bl 21486  df-mopn 21487  df-fbas 21488  df-fg 21489  df-cnfld 21492  df-top 23020  df-topon 23037  df-topsp 23059  df-bases 23072  df-cld 23145  df-ntr 23146  df-cls 23147  df-nei 23224  df-lp 23262  df-perf 23263  df-cn 23353  df-cnp 23354  df-haus 23441  df-cmp 23513  df-tx 23688  df-hmeo 23881  df-fil 23972  df-fm 24064  df-flim 24065  df-flf 24066  df-xms 24446  df-ms 24447  df-tms 24448  df-cncf 25006  df-ovol 25592  df-vol 25593  df-mbf 25747  df-itg1 25748  df-itg2 25749  df-ibl 25750  df-itg 25751  df-0p 25798  df-limc 25994  df-dv 25995  df-log 26687  df-cxp 26688  df-logb 26896

This theorem is referenced by:  aks4d1p5  42772  aks4d1p6  42773  aks4d1p7d1  42774  aks4d1p7  42775  aks4d1p8  42779  aks4d1p9  42780  aks4d1  42781