Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  aks4d1p4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem aks4d1p4 40096
Description: There exists a small enough number such that it does not divide 𝐴. (Contributed by metakunt, 28-Oct-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
aks4d1p4.1 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘3))
aks4d1p4.2 𝐴 = ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁𝑘) − 1))
aks4d1p4.3 𝐵 = (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5))
aks4d1p4.4 𝑅 = inf({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴}, ℝ, < )
Assertion
Ref Expression
aks4d1p4 (𝜑 → (𝑅 ∈ (1...𝐵) ∧ ¬ 𝑅𝐴))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑟   𝐵,𝑟   𝑘,𝑁   𝑅,𝑟   𝜑,𝑘
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑟)   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝑅(𝑘)   𝑁(𝑟)

Proof of Theorem aks4d1p4
Dummy variable 𝑜 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 aks4d1p4.4 . . . 4 𝑅 = inf({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴}, ℝ, < )
21a1i 11 . . 3 (𝜑𝑅 = inf({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴}, ℝ, < ))
3 ltso 11066 . . . . 5 < Or ℝ
43a1i 11 . . . 4 (𝜑 → < Or ℝ)
5 fzfid 13704 . . . . . 6 (𝜑 → (1...𝐵) ∈ Fin)
6 ssrab2 4018 . . . . . . 7 {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴} ⊆ (1...𝐵)
76a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴} ⊆ (1...𝐵))
85, 7ssfid 9030 . . . . 5 (𝜑 → {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴} ∈ Fin)
9 aks4d1p4.1 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘3))
10 aks4d1p4.2 . . . . . . 7 𝐴 = ((𝑁↑(⌊‘(2 logb 𝐵))) · ∏𝑘 ∈ (1...(⌊‘((2 logb 𝑁)↑2)))((𝑁𝑘) − 1))
11 aks4d1p4.3 . . . . . . 7 𝐵 = (⌈‘((2 logb 𝑁)↑5))
129, 10, 11aks4d1p3 40095 . . . . . 6 (𝜑 → ∃𝑟 ∈ (1...𝐵) ¬ 𝑟𝐴)
13 rabn0 4325 . . . . . 6 ({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴} ≠ ∅ ↔ ∃𝑟 ∈ (1...𝐵) ¬ 𝑟𝐴)
1412, 13sylibr 233 . . . . 5 (𝜑 → {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴} ≠ ∅)
15 elfznn 13296 . . . . . . . . . 10 (𝑜 ∈ (1...𝐵) → 𝑜 ∈ ℕ)
1615adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑜 ∈ (1...𝐵)) → 𝑜 ∈ ℕ)
1716nnred 11999 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑜 ∈ (1...𝐵)) → 𝑜 ∈ ℝ)
1817ex 413 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑜 ∈ (1...𝐵) → 𝑜 ∈ ℝ))
1918ssrdv 3932 . . . . . 6 (𝜑 → (1...𝐵) ⊆ ℝ)
207, 19sstrd 3936 . . . . 5 (𝜑 → {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴} ⊆ ℝ)
218, 14, 203jca 1127 . . . 4 (𝜑 → ({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴} ∈ Fin ∧ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴} ≠ ∅ ∧ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴} ⊆ ℝ))
22 fiinfcl 9248 . . . 4 (( < Or ℝ ∧ ({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴} ∈ Fin ∧ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴} ≠ ∅ ∧ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴} ⊆ ℝ)) → inf({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴}, ℝ, < ) ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴})
234, 21, 22syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → inf({𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴}, ℝ, < ) ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴})
242, 23eqeltrd 2841 . 2 (𝜑𝑅 ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴})
25 breq1 5082 . . . 4 (𝑟 = 𝑅 → (𝑟𝐴𝑅𝐴))
2625notbid 318 . . 3 (𝑟 = 𝑅 → (¬ 𝑟𝐴 ↔ ¬ 𝑅𝐴))
2726elrab 3626 . 2 (𝑅 ∈ {𝑟 ∈ (1...𝐵) ∣ ¬ 𝑟𝐴} ↔ (𝑅 ∈ (1...𝐵) ∧ ¬ 𝑅𝐴))
2824, 27sylib 217 1 (𝜑 → (𝑅 ∈ (1...𝐵) ∧ ¬ 𝑅𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396  w3a 1086   = wceq 1542  wcel 2110  wne 2945  wrex 3067  {crab 3070  wss 3892  c0 4262   class class class wbr 5079   Or wor 5503  cfv 6432  (class class class)co 7272  Fincfn 8725  infcinf 9188  cr 10881  1c1 10883   · cmul 10887   < clt 11020  cmin 11216  cn 11984  2c2 12039  3c3 12040  5c5 12042  cuz 12593  ...cfz 13250  cfl 13521  cceil 13522  cexp 13793  cprod 15626  cdvds 15974   logb clogb 25925
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-rep 5214  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7583  ax-inf2 9387  ax-cc 10202  ax-cnex 10938  ax-resscn 10939  ax-1cn 10940  ax-icn 10941  ax-addcl 10942  ax-addrcl 10943  ax-mulcl 10944  ax-mulrcl 10945  ax-mulcom 10946  ax-addass 10947  ax-mulass 10948  ax-distr 10949  ax-i2m1 10950  ax-1ne0 10951  ax-1rid 10952  ax-rnegex 10953  ax-rrecex 10954  ax-cnre 10955  ax-pre-lttri 10956  ax-pre-lttrn 10957  ax-pre-ltadd 10958  ax-pre-mulgt0 10959  ax-pre-sup 10960  ax-addf 10961  ax-mulf 10962
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rmo 3074  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-symdif 4182  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4846  df-int 4886  df-iun 4932  df-iin 4933  df-disj 5045  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-se 5546  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6201  df-ord 6268  df-on 6269  df-lim 6270  df-suc 6271  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-isom 6441  df-riota 7229  df-ov 7275  df-oprab 7276  df-mpo 7277  df-of 7528  df-ofr 7529  df-om 7708  df-1st 7825  df-2nd 7826  df-supp 7970  df-frecs 8089  df-wrecs 8120  df-recs 8194  df-rdg 8233  df-1o 8289  df-2o 8290  df-oadd 8293  df-omul 8294  df-er 8490  df-map 8609  df-pm 8610  df-ixp 8678  df-en 8726  df-dom 8727  df-sdom 8728  df-fin 8729  df-fsupp 9117  df-fi 9158  df-sup 9189  df-inf 9190  df-oi 9257  df-dju 9670  df-card 9708  df-acn 9711  df-pnf 11022  df-mnf 11023  df-xr 11024  df-ltxr 11025  df-le 11026  df-sub 11218  df-neg 11219  df-div 11644  df-nn 11985  df-2 12047  df-3 12048  df-4 12049  df-5 12050  df-6 12051  df-7 12052  df-8 12053  df-9 12054  df-n0 12245  df-z 12331  df-dec 12449  df-uz 12594  df-q 12700  df-rp 12742  df-xneg 12859  df-xadd 12860  df-xmul 12861  df-ioo 13094  df-ioc 13095  df-ico 13096  df-icc 13097  df-fz 13251  df-fzo 13394  df-fl 13523  df-ceil 13524  df-mod 13601  df-seq 13733  df-exp 13794  df-fac 13999  df-bc 14028  df-hash 14056  df-shft 14789  df-cj 14821  df-re 14822  df-im 14823  df-sqrt 14957  df-abs 14958  df-limsup 15191  df-clim 15208  df-rlim 15209  df-sum 15409  df-prod 15627  df-ef 15788  df-e 15789  df-sin 15790  df-cos 15791  df-pi 15793  df-dvds 15975  df-gcd 16213  df-lcm 16306  df-lcmf 16307  df-prm 16388  df-struct 16859  df-sets 16876  df-slot 16894  df-ndx 16906  df-base 16924  df-ress 16953  df-plusg 16986  df-mulr 16987  df-starv 16988  df-sca 16989  df-vsca 16990  df-ip 16991  df-tset 16992  df-ple 16993  df-ds 16995  df-unif 16996  df-hom 16997  df-cco 16998  df-rest 17144  df-topn 17145  df-0g 17163  df-gsum 17164  df-topgen 17165  df-pt 17166  df-prds 17169  df-xrs 17224  df-qtop 17229  df-imas 17230  df-xps 17232  df-mre 17306  df-mrc 17307  df-acs 17309  df-mgm 18337  df-sgrp 18386  df-mnd 18397  df-submnd 18442  df-mulg 18712  df-cntz 18934  df-cmn 19399  df-psmet 20600  df-xmet 20601  df-met 20602  df-bl 20603  df-mopn 20604  df-fbas 20605  df-fg 20606  df-cnfld 20609  df-top 22054  df-topon 22071  df-topsp 22093  df-bases 22107  df-cld 22181  df-ntr 22182  df-cls 22183  df-nei 22260  df-lp 22298  df-perf 22299  df-cn 22389  df-cnp 22390  df-haus 22477  df-cmp 22549  df-tx 22724  df-hmeo 22917  df-fil 23008  df-fm 23100  df-flim 23101  df-flf 23102  df-xms 23484  df-ms 23485  df-tms 23486  df-cncf 24052  df-ovol 24639  df-vol 24640  df-mbf 24794  df-itg1 24795  df-itg2 24796  df-ibl 24797  df-itg 24798  df-0p 24845  df-limc 25041  df-dv 25042  df-log 25723  df-cxp 25724  df-logb 25926
This theorem is referenced by:  aks4d1p5  40097  aks4d1p6  40098  aks4d1p7d1  40099  aks4d1p7  40100  aks4d1p8  40104  aks4d1p9  40105  aks4d1  40106
  Copyright terms: Public domain W3C validator