Theorem ballotlemiex 33795

Description: Properties of (𝐼‘𝐶). (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Dec-2016.) (Revised by AV, 6-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
ballotth.m	⊢ 𝑀 ∈ ℕ
ballotth.n	⊢ 𝑁 ∈ ℕ
ballotth.o	⊢ 𝑂 = {𝑐 ∈ 𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ (♯‘𝑐) = 𝑀}
ballotth.p	⊢ 𝑃 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ↦ ((♯‘𝑥) / (♯‘𝑂)))
ballotth.f	⊢ 𝐹 = (𝑐 ∈ 𝑂 ↦ (𝑖 ∈ ℤ ↦ ((♯‘((1...𝑖) ∩ 𝑐)) − (♯‘((1...𝑖) ∖ 𝑐)))))
ballotth.e	⊢ 𝐸 = {𝑐 ∈ 𝑂 ∣ ∀𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))0 < ((𝐹‘𝑐)‘𝑖)}
ballotth.mgtn	⊢ 𝑁 < 𝑀
ballotth.i	⊢ 𝐼 = (𝑐 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) ↦ inf({𝑘 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ ((𝐹‘𝑐)‘𝑘) = 0}, ℝ, < ))

Assertion

Ref	Expression
ballotlemiex	⊢ (𝐶 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) → ((𝐼‘𝐶) ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∧ ((𝐹‘𝐶)‘(𝐼‘𝐶)) = 0))

Distinct variable groups:   𝑀,𝑐   𝑁,𝑐   𝑂,𝑐   𝑖,𝑀   𝑖,𝑁   𝑖,𝑂   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝑘,𝑂   𝑖,𝑐,𝐹,𝑘   𝐶,𝑖,𝑘   𝑖,𝐸,𝑘   𝐶,𝑘   𝑘,𝐼   𝑘,𝑐,𝐸

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥,𝑐)   𝑃(𝑥,𝑖,𝑘,𝑐)   𝐸(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐼(𝑥,𝑖,𝑐)   𝑀(𝑥)   𝑁(𝑥)   𝑂(𝑥)

Proof of Theorem ballotlemiex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ballotth.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 ∈ ℕ
2		ballotth.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
3		ballotth.o	. . . 4 ⊢ 𝑂 = {𝑐 ∈ 𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ (♯‘𝑐) = 𝑀}
4		ballotth.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ↦ ((♯‘𝑥) / (♯‘𝑂)))
5		ballotth.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑐 ∈ 𝑂 ↦ (𝑖 ∈ ℤ ↦ ((♯‘((1...𝑖) ∩ 𝑐)) − (♯‘((1...𝑖) ∖ 𝑐)))))
6		ballotth.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = {𝑐 ∈ 𝑂 ∣ ∀𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))0 < ((𝐹‘𝑐)‘𝑖)}
7		ballotth.mgtn	. . . 4 ⊢ 𝑁 < 𝑀
8		ballotth.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (𝑐 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) ↦ inf({𝑘 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ ((𝐹‘𝑐)‘𝑘) = 0}, ℝ, < ))
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	ballotlemi 33794	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) → (𝐼‘𝐶) = inf({𝑘 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ ((𝐹‘𝐶)‘𝑘) = 0}, ℝ, < ))
10		ltso 11299	. . . . 5 ⊢ < Or ℝ
11	10	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) → < Or ℝ)
12		fzfi 13942	. . . . . 6 ⊢ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∈ Fin
13		ssrab2 4078	. . . . . 6 ⊢ {𝑘 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ ((𝐹‘𝐶)‘𝑘) = 0} ⊆ (1...(𝑀 + 𝑁))
14		ssfi 9176	. . . . . 6 ⊢ (((1...(𝑀 + 𝑁)) ∈ Fin ∧ {𝑘 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ ((𝐹‘𝐶)‘𝑘) = 0} ⊆ (1...(𝑀 + 𝑁))) → {𝑘 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ ((𝐹‘𝐶)‘𝑘) = 0} ∈ Fin)
15	12, 13, 14	mp2an 689	. . . . 5 ⊢ {𝑘 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ ((𝐹‘𝐶)‘𝑘) = 0} ∈ Fin
16	15	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) → {𝑘 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ ((𝐹‘𝐶)‘𝑘) = 0} ∈ Fin)
17	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	ballotlem5 33793	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) → ∃𝑘 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))((𝐹‘𝐶)‘𝑘) = 0)
18		rabn0 4386	. . . . 5 ⊢ ({𝑘 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ ((𝐹‘𝐶)‘𝑘) = 0} ≠ ∅ ↔ ∃𝑘 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))((𝐹‘𝐶)‘𝑘) = 0)
19	17, 18	sylibr 233	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) → {𝑘 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ ((𝐹‘𝐶)‘𝑘) = 0} ≠ ∅)
20		fzssuz 13547	. . . . . . . 8 ⊢ (1...(𝑀 + 𝑁)) ⊆ (ℤ≥‘1)
21		uzssz 12848	. . . . . . . 8 ⊢ (ℤ≥‘1) ⊆ ℤ
22	20, 21	sstri 3992	. . . . . . 7 ⊢ (1...(𝑀 + 𝑁)) ⊆ ℤ
23		zssre 12570	. . . . . . 7 ⊢ ℤ ⊆ ℝ
24	22, 23	sstri 3992	. . . . . 6 ⊢ (1...(𝑀 + 𝑁)) ⊆ ℝ
25	13, 24	sstri 3992	. . . . 5 ⊢ {𝑘 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ ((𝐹‘𝐶)‘𝑘) = 0} ⊆ ℝ
26	25	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) → {𝑘 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ ((𝐹‘𝐶)‘𝑘) = 0} ⊆ ℝ)
27		fiinfcl 9499	. . . 4 ⊢ (( < Or ℝ ∧ ({𝑘 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ ((𝐹‘𝐶)‘𝑘) = 0} ∈ Fin ∧ {𝑘 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ ((𝐹‘𝐶)‘𝑘) = 0} ≠ ∅ ∧ {𝑘 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ ((𝐹‘𝐶)‘𝑘) = 0} ⊆ ℝ)) → inf({𝑘 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ ((𝐹‘𝐶)‘𝑘) = 0}, ℝ, < ) ∈ {𝑘 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ ((𝐹‘𝐶)‘𝑘) = 0})
28	11, 16, 19, 26, 27	syl13anc 1371	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) → inf({𝑘 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ ((𝐹‘𝐶)‘𝑘) = 0}, ℝ, < ) ∈ {𝑘 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ ((𝐹‘𝐶)‘𝑘) = 0})
29	9, 28	eqeltrd 2832	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) → (𝐼‘𝐶) ∈ {𝑘 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ ((𝐹‘𝐶)‘𝑘) = 0})
30		fveqeq2 6901	. . 3 ⊢ (𝑘 = (𝐼‘𝐶) → (((𝐹‘𝐶)‘𝑘) = 0 ↔ ((𝐹‘𝐶)‘(𝐼‘𝐶)) = 0))
31	30	elrab 3684	. 2 ⊢ ((𝐼‘𝐶) ∈ {𝑘 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ ((𝐹‘𝐶)‘𝑘) = 0} ↔ ((𝐼‘𝐶) ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∧ ((𝐹‘𝐶)‘(𝐼‘𝐶)) = 0))
32	29, 31	sylib 217	1 ⊢ (𝐶 ∈ (𝑂 ∖ 𝐸) → ((𝐼‘𝐶) ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∧ ((𝐹‘𝐶)‘(𝐼‘𝐶)) = 0))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2939  ∀wral 3060  ∃wrex 3069  {crab 3431   ∖ cdif 3946   ∩ cin 3948   ⊆ wss 3949  ∅c0 4323  𝒫 cpw 4603   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232   Or wor 5588  ‘cfv 6544  (class class class)co 7412  Fincfn 8942  infcinf 9439  ℝcr 11112  0cc0 11113  1c1 11114   + caddc 11116   < clt 11253   − cmin 11449   / cdiv 11876  ℕcn 12217  ℤcz 12563  ℤ_≥cuz 12827  ...cfz 13489  ♯chash 14295

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-1o 8469  df-oadd 8473  df-er 8706  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-sup 9440  df-inf 9441  df-dju 9899  df-card 9937  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-2 12280  df-n0 12478  df-z 12564  df-uz 12828  df-fz 13490  df-hash 14296

This theorem is referenced by:  ballotlemi1  33796  ballotlemii  33797  ballotlemimin  33799  ballotlemic  33800  ballotlem1c  33801  ballotlemsgt1  33804  ballotlemsdom  33805  ballotlemsel1i  33806  ballotlemsf1o  33807  ballotlemsi  33808  ballotlemsima  33809  ballotlemrv2  33815  ballotlemfrc  33820  ballotlemfrci  33821  ballotlemfrceq  33822  ballotlemfrcn0  33823  ballotlemrc  33824  ballotlemirc  33825  ballotlem1ri  33828