Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ballotlemiex Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ballotlemiex 34504
Description: Properties of (𝐼𝐶). (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Dec-2016.) (Revised by AV, 6-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
ballotth.m 𝑀 ∈ ℕ
ballotth.n 𝑁 ∈ ℕ
ballotth.o 𝑂 = {𝑐 ∈ 𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ (♯‘𝑐) = 𝑀}
ballotth.p 𝑃 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ↦ ((♯‘𝑥) / (♯‘𝑂)))
ballotth.f 𝐹 = (𝑐𝑂 ↦ (𝑖 ∈ ℤ ↦ ((♯‘((1...𝑖) ∩ 𝑐)) − (♯‘((1...𝑖) ∖ 𝑐)))))
ballotth.e 𝐸 = {𝑐𝑂 ∣ ∀𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))0 < ((𝐹𝑐)‘𝑖)}
ballotth.mgtn 𝑁 < 𝑀
ballotth.i 𝐼 = (𝑐 ∈ (𝑂𝐸) ↦ inf({𝑘 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ ((𝐹𝑐)‘𝑘) = 0}, ℝ, < ))
Assertion
Ref Expression
ballotlemiex (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → ((𝐼𝐶) ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∧ ((𝐹𝐶)‘(𝐼𝐶)) = 0))
Distinct variable groups:   𝑀,𝑐   𝑁,𝑐   𝑂,𝑐   𝑖,𝑀   𝑖,𝑁   𝑖,𝑂   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝑘,𝑂   𝑖,𝑐,𝐹,𝑘   𝐶,𝑖,𝑘   𝑖,𝐸,𝑘   𝐶,𝑘   𝑘,𝐼   𝑘,𝑐,𝐸
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥,𝑐)   𝑃(𝑥,𝑖,𝑘,𝑐)   𝐸(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐼(𝑥,𝑖,𝑐)   𝑀(𝑥)   𝑁(𝑥)   𝑂(𝑥)

Proof of Theorem ballotlemiex
StepHypRef Expression
1 ballotth.m . . . 4 𝑀 ∈ ℕ
2 ballotth.n . . . 4 𝑁 ∈ ℕ
3 ballotth.o . . . 4 𝑂 = {𝑐 ∈ 𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ (♯‘𝑐) = 𝑀}
4 ballotth.p . . . 4 𝑃 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ↦ ((♯‘𝑥) / (♯‘𝑂)))
5 ballotth.f . . . 4 𝐹 = (𝑐𝑂 ↦ (𝑖 ∈ ℤ ↦ ((♯‘((1...𝑖) ∩ 𝑐)) − (♯‘((1...𝑖) ∖ 𝑐)))))
6 ballotth.e . . . 4 𝐸 = {𝑐𝑂 ∣ ∀𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))0 < ((𝐹𝑐)‘𝑖)}
7 ballotth.mgtn . . . 4 𝑁 < 𝑀
8 ballotth.i . . . 4 𝐼 = (𝑐 ∈ (𝑂𝐸) ↦ inf({𝑘 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ ((𝐹𝑐)‘𝑘) = 0}, ℝ, < ))
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8ballotlemi 34503 . . 3 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → (𝐼𝐶) = inf({𝑘 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ ((𝐹𝐶)‘𝑘) = 0}, ℝ, < ))
10 ltso 11341 . . . . 5 < Or ℝ
1110a1i 11 . . . 4 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → < Or ℝ)
12 fzfi 14013 . . . . . 6 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∈ Fin
13 ssrab2 4080 . . . . . 6 {𝑘 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ ((𝐹𝐶)‘𝑘) = 0} ⊆ (1...(𝑀 + 𝑁))
14 ssfi 9213 . . . . . 6 (((1...(𝑀 + 𝑁)) ∈ Fin ∧ {𝑘 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ ((𝐹𝐶)‘𝑘) = 0} ⊆ (1...(𝑀 + 𝑁))) → {𝑘 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ ((𝐹𝐶)‘𝑘) = 0} ∈ Fin)
1512, 13, 14mp2an 692 . . . . 5 {𝑘 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ ((𝐹𝐶)‘𝑘) = 0} ∈ Fin
1615a1i 11 . . . 4 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → {𝑘 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ ((𝐹𝐶)‘𝑘) = 0} ∈ Fin)
171, 2, 3, 4, 5, 6, 7ballotlem5 34502 . . . . 5 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → ∃𝑘 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))((𝐹𝐶)‘𝑘) = 0)
18 rabn0 4389 . . . . 5 ({𝑘 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ ((𝐹𝐶)‘𝑘) = 0} ≠ ∅ ↔ ∃𝑘 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))((𝐹𝐶)‘𝑘) = 0)
1917, 18sylibr 234 . . . 4 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → {𝑘 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ ((𝐹𝐶)‘𝑘) = 0} ≠ ∅)
20 fzssuz 13605 . . . . . . . 8 (1...(𝑀 + 𝑁)) ⊆ (ℤ‘1)
21 uzssz 12899 . . . . . . . 8 (ℤ‘1) ⊆ ℤ
2220, 21sstri 3993 . . . . . . 7 (1...(𝑀 + 𝑁)) ⊆ ℤ
23 zssre 12620 . . . . . . 7 ℤ ⊆ ℝ
2422, 23sstri 3993 . . . . . 6 (1...(𝑀 + 𝑁)) ⊆ ℝ
2513, 24sstri 3993 . . . . 5 {𝑘 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ ((𝐹𝐶)‘𝑘) = 0} ⊆ ℝ
2625a1i 11 . . . 4 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → {𝑘 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ ((𝐹𝐶)‘𝑘) = 0} ⊆ ℝ)
27 fiinfcl 9541 . . . 4 (( < Or ℝ ∧ ({𝑘 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ ((𝐹𝐶)‘𝑘) = 0} ∈ Fin ∧ {𝑘 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ ((𝐹𝐶)‘𝑘) = 0} ≠ ∅ ∧ {𝑘 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ ((𝐹𝐶)‘𝑘) = 0} ⊆ ℝ)) → inf({𝑘 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ ((𝐹𝐶)‘𝑘) = 0}, ℝ, < ) ∈ {𝑘 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ ((𝐹𝐶)‘𝑘) = 0})
2811, 16, 19, 26, 27syl13anc 1374 . . 3 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → inf({𝑘 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ ((𝐹𝐶)‘𝑘) = 0}, ℝ, < ) ∈ {𝑘 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ ((𝐹𝐶)‘𝑘) = 0})
299, 28eqeltrd 2841 . 2 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → (𝐼𝐶) ∈ {𝑘 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ ((𝐹𝐶)‘𝑘) = 0})
30 fveqeq2 6915 . . 3 (𝑘 = (𝐼𝐶) → (((𝐹𝐶)‘𝑘) = 0 ↔ ((𝐹𝐶)‘(𝐼𝐶)) = 0))
3130elrab 3692 . 2 ((𝐼𝐶) ∈ {𝑘 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ ((𝐹𝐶)‘𝑘) = 0} ↔ ((𝐼𝐶) ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∧ ((𝐹𝐶)‘(𝐼𝐶)) = 0))
3229, 31sylib 218 1 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → ((𝐼𝐶) ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∧ ((𝐹𝐶)‘(𝐼𝐶)) = 0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  wral 3061  wrex 3070  {crab 3436  cdif 3948  cin 3950  wss 3951  c0 4333  𝒫 cpw 4600   class class class wbr 5143  cmpt 5225   Or wor 5591  cfv 6561  (class class class)co 7431  Fincfn 8985  infcinf 9481  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   < clt 11295  cmin 11492   / cdiv 11920  cn 12266  cz 12613  cuz 12878  ...cfz 13547  chash 14369
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-oadd 8510  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-inf 9483  df-dju 9941  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-hash 14370
This theorem is referenced by:  ballotlemi1  34505  ballotlemii  34506  ballotlemimin  34508  ballotlemic  34509  ballotlem1c  34510  ballotlemsgt1  34513  ballotlemsdom  34514  ballotlemsel1i  34515  ballotlemsf1o  34516  ballotlemsi  34517  ballotlemsima  34518  ballotlemrv2  34524  ballotlemfrc  34529  ballotlemfrci  34530  ballotlemfrceq  34531  ballotlemfrcn0  34532  ballotlemrc  34533  ballotlemirc  34534  ballotlem1ri  34537
  Copyright terms: Public domain W3C validator