MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  txtube Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem txtube 23007
Description: The "tube lemma". If 𝑋 is compact and there is an open set π‘ˆ containing the line 𝑋 Γ— {𝐴}, then there is a "tube" 𝑋 Γ— 𝑒 for some neighborhood 𝑒 of 𝐴 which is entirely contained within π‘ˆ. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
txtube.x 𝑋 = βˆͺ 𝑅
txtube.y π‘Œ = βˆͺ 𝑆
txtube.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Comp)
txtube.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ Top)
txtube.w (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ (𝑅 Γ—t 𝑆))
txtube.u (πœ‘ β†’ (𝑋 Γ— {𝐴}) βŠ† π‘ˆ)
txtube.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ π‘Œ)
Assertion
Ref Expression
txtube (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘’ ∈ 𝑆 (𝐴 ∈ 𝑒 ∧ (𝑋 Γ— 𝑒) βŠ† π‘ˆ))
Distinct variable groups:   𝑒,𝐴   𝑒,𝑅   𝑒,𝑆   𝑒,π‘Œ   πœ‘,𝑒   𝑒,π‘ˆ   𝑒,𝑋

Proof of Theorem txtube
Dummy variables 𝑑 𝑓 𝑣 π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 txtube.r . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Comp)
2 eleq1 2822 . . . . . . . 8 (𝑦 = ⟨π‘₯, 𝐴⟩ β†’ (𝑦 ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ↔ ⟨π‘₯, 𝐴⟩ ∈ (𝑒 Γ— 𝑣)))
32anbi1d 631 . . . . . . 7 (𝑦 = ⟨π‘₯, 𝐴⟩ β†’ ((𝑦 ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† π‘ˆ) ↔ (⟨π‘₯, 𝐴⟩ ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† π‘ˆ)))
432rexbidv 3210 . . . . . 6 (𝑦 = ⟨π‘₯, 𝐴⟩ β†’ (βˆƒπ‘’ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘£ ∈ 𝑆 (𝑦 ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† π‘ˆ) ↔ βˆƒπ‘’ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘£ ∈ 𝑆 (⟨π‘₯, 𝐴⟩ ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† π‘ˆ)))
5 txtube.w . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ (𝑅 Γ—t 𝑆))
6 txtube.s . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ Top)
7 eltx 22935 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Comp ∧ 𝑆 ∈ Top) β†’ (π‘ˆ ∈ (𝑅 Γ—t 𝑆) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ π‘ˆ βˆƒπ‘’ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘£ ∈ 𝑆 (𝑦 ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† π‘ˆ)))
81, 6, 7syl2anc 585 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ ∈ (𝑅 Γ—t 𝑆) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ π‘ˆ βˆƒπ‘’ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘£ ∈ 𝑆 (𝑦 ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† π‘ˆ)))
95, 8mpbid 231 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ π‘ˆ βˆƒπ‘’ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘£ ∈ 𝑆 (𝑦 ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† π‘ˆ))
109adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ π‘ˆ βˆƒπ‘’ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘£ ∈ 𝑆 (𝑦 ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† π‘ˆ))
11 txtube.u . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑋 Γ— {𝐴}) βŠ† π‘ˆ)
1211adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (𝑋 Γ— {𝐴}) βŠ† π‘ˆ)
13 id 22 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ 𝑋 β†’ π‘₯ ∈ 𝑋)
14 txtube.a . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ π‘Œ)
15 snidg 4621 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ π‘Œ β†’ 𝐴 ∈ {𝐴})
1614, 15syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ {𝐴})
17 opelxpi 5671 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ {𝐴}) β†’ ⟨π‘₯, 𝐴⟩ ∈ (𝑋 Γ— {𝐴}))
1813, 16, 17syl2anr 598 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ ⟨π‘₯, 𝐴⟩ ∈ (𝑋 Γ— {𝐴}))
1912, 18sseldd 3946 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ ⟨π‘₯, 𝐴⟩ ∈ π‘ˆ)
204, 10, 19rspcdva 3581 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘£ ∈ 𝑆 (⟨π‘₯, 𝐴⟩ ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† π‘ˆ))
21 opelxp 5670 . . . . . . . . . 10 (⟨π‘₯, 𝐴⟩ ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ↔ (π‘₯ ∈ 𝑒 ∧ 𝐴 ∈ 𝑣))
2221anbi1i 625 . . . . . . . . 9 ((⟨π‘₯, 𝐴⟩ ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† π‘ˆ) ↔ ((π‘₯ ∈ 𝑒 ∧ 𝐴 ∈ 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† π‘ˆ))
23 anass 470 . . . . . . . . 9 (((π‘₯ ∈ 𝑒 ∧ 𝐴 ∈ 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† π‘ˆ) ↔ (π‘₯ ∈ 𝑒 ∧ (𝐴 ∈ 𝑣 ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† π‘ˆ)))
2422, 23bitri 275 . . . . . . . 8 ((⟨π‘₯, 𝐴⟩ ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† π‘ˆ) ↔ (π‘₯ ∈ 𝑒 ∧ (𝐴 ∈ 𝑣 ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† π‘ˆ)))
2524rexbii 3094 . . . . . . 7 (βˆƒπ‘£ ∈ 𝑆 (⟨π‘₯, 𝐴⟩ ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† π‘ˆ) ↔ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑆 (π‘₯ ∈ 𝑒 ∧ (𝐴 ∈ 𝑣 ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† π‘ˆ)))
26 r19.42v 3184 . . . . . . 7 (βˆƒπ‘£ ∈ 𝑆 (π‘₯ ∈ 𝑒 ∧ (𝐴 ∈ 𝑣 ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† π‘ˆ)) ↔ (π‘₯ ∈ 𝑒 ∧ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑆 (𝐴 ∈ 𝑣 ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† π‘ˆ)))
2725, 26bitri 275 . . . . . 6 (βˆƒπ‘£ ∈ 𝑆 (⟨π‘₯, 𝐴⟩ ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† π‘ˆ) ↔ (π‘₯ ∈ 𝑒 ∧ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑆 (𝐴 ∈ 𝑣 ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† π‘ˆ)))
2827rexbii 3094 . . . . 5 (βˆƒπ‘’ ∈ 𝑅 βˆƒπ‘£ ∈ 𝑆 (⟨π‘₯, 𝐴⟩ ∈ (𝑒 Γ— 𝑣) ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† π‘ˆ) ↔ βˆƒπ‘’ ∈ 𝑅 (π‘₯ ∈ 𝑒 ∧ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑆 (𝐴 ∈ 𝑣 ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† π‘ˆ)))
2920, 28sylib 217 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ 𝑅 (π‘₯ ∈ 𝑒 ∧ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑆 (𝐴 ∈ 𝑣 ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† π‘ˆ)))
3029ralrimiva 3140 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘’ ∈ 𝑅 (π‘₯ ∈ 𝑒 ∧ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑆 (𝐴 ∈ 𝑣 ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† π‘ˆ)))
31 txtube.x . . . 4 𝑋 = βˆͺ 𝑅
32 eleq2 2823 . . . . 5 (𝑣 = (π‘“β€˜π‘’) β†’ (𝐴 ∈ 𝑣 ↔ 𝐴 ∈ (π‘“β€˜π‘’)))
33 xpeq2 5655 . . . . . 6 (𝑣 = (π‘“β€˜π‘’) β†’ (𝑒 Γ— 𝑣) = (𝑒 Γ— (π‘“β€˜π‘’)))
3433sseq1d 3976 . . . . 5 (𝑣 = (π‘“β€˜π‘’) β†’ ((𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† π‘ˆ ↔ (𝑒 Γ— (π‘“β€˜π‘’)) βŠ† π‘ˆ))
3532, 34anbi12d 632 . . . 4 (𝑣 = (π‘“β€˜π‘’) β†’ ((𝐴 ∈ 𝑣 ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† π‘ˆ) ↔ (𝐴 ∈ (π‘“β€˜π‘’) ∧ (𝑒 Γ— (π‘“β€˜π‘’)) βŠ† π‘ˆ)))
3631, 35cmpcovf 22758 . . 3 ((𝑅 ∈ Comp ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘’ ∈ 𝑅 (π‘₯ ∈ 𝑒 ∧ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑆 (𝐴 ∈ 𝑣 ∧ (𝑒 Γ— 𝑣) βŠ† π‘ˆ))) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ (𝒫 𝑅 ∩ Fin)(𝑋 = βˆͺ 𝑑 ∧ βˆƒπ‘“(𝑓:π‘‘βŸΆπ‘† ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝑑 (𝐴 ∈ (π‘“β€˜π‘’) ∧ (𝑒 Γ— (π‘“β€˜π‘’)) βŠ† π‘ˆ))))
371, 30, 36syl2anc 585 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ (𝒫 𝑅 ∩ Fin)(𝑋 = βˆͺ 𝑑 ∧ βˆƒπ‘“(𝑓:π‘‘βŸΆπ‘† ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝑑 (𝐴 ∈ (π‘“β€˜π‘’) ∧ (𝑒 Γ— (π‘“β€˜π‘’)) βŠ† π‘ˆ))))
38 rint0 4952 . . . . . . . . . 10 (ran 𝑓 = βˆ… β†’ (π‘Œ ∩ ∩ ran 𝑓) = π‘Œ)
3938adantl 483 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝒫 𝑅 ∩ Fin)) ∧ (𝑋 = βˆͺ 𝑑 ∧ (𝑓:π‘‘βŸΆπ‘† ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝑑 (𝐴 ∈ (π‘“β€˜π‘’) ∧ (𝑒 Γ— (π‘“β€˜π‘’)) βŠ† π‘ˆ)))) ∧ ran 𝑓 = βˆ…) β†’ (π‘Œ ∩ ∩ ran 𝑓) = π‘Œ)
40 txtube.y . . . . . . . . . . . 12 π‘Œ = βˆͺ 𝑆
4140topopn 22271 . . . . . . . . . . 11 (𝑆 ∈ Top β†’ π‘Œ ∈ 𝑆)
426, 41syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑆)
4342ad3antrrr 729 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝒫 𝑅 ∩ Fin)) ∧ (𝑋 = βˆͺ 𝑑 ∧ (𝑓:π‘‘βŸΆπ‘† ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝑑 (𝐴 ∈ (π‘“β€˜π‘’) ∧ (𝑒 Γ— (π‘“β€˜π‘’)) βŠ† π‘ˆ)))) ∧ ran 𝑓 = βˆ…) β†’ π‘Œ ∈ 𝑆)
4439, 43eqeltrd 2834 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝒫 𝑅 ∩ Fin)) ∧ (𝑋 = βˆͺ 𝑑 ∧ (𝑓:π‘‘βŸΆπ‘† ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝑑 (𝐴 ∈ (π‘“β€˜π‘’) ∧ (𝑒 Γ— (π‘“β€˜π‘’)) βŠ† π‘ˆ)))) ∧ ran 𝑓 = βˆ…) β†’ (π‘Œ ∩ ∩ ran 𝑓) ∈ 𝑆)
456ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝒫 𝑅 ∩ Fin)) ∧ (𝑋 = βˆͺ 𝑑 ∧ (𝑓:π‘‘βŸΆπ‘† ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝑑 (𝐴 ∈ (π‘“β€˜π‘’) ∧ (𝑒 Γ— (π‘“β€˜π‘’)) βŠ† π‘ˆ)))) ∧ ran 𝑓 β‰  βˆ…) β†’ 𝑆 ∈ Top)
46 simprrl 780 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝒫 𝑅 ∩ Fin)) ∧ (𝑋 = βˆͺ 𝑑 ∧ (𝑓:π‘‘βŸΆπ‘† ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝑑 (𝐴 ∈ (π‘“β€˜π‘’) ∧ (𝑒 Γ— (π‘“β€˜π‘’)) βŠ† π‘ˆ)))) β†’ 𝑓:π‘‘βŸΆπ‘†)
4746frnd 6677 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝒫 𝑅 ∩ Fin)) ∧ (𝑋 = βˆͺ 𝑑 ∧ (𝑓:π‘‘βŸΆπ‘† ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝑑 (𝐴 ∈ (π‘“β€˜π‘’) ∧ (𝑒 Γ— (π‘“β€˜π‘’)) βŠ† π‘ˆ)))) β†’ ran 𝑓 βŠ† 𝑆)
4847adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝒫 𝑅 ∩ Fin)) ∧ (𝑋 = βˆͺ 𝑑 ∧ (𝑓:π‘‘βŸΆπ‘† ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝑑 (𝐴 ∈ (π‘“β€˜π‘’) ∧ (𝑒 Γ— (π‘“β€˜π‘’)) βŠ† π‘ˆ)))) ∧ ran 𝑓 β‰  βˆ…) β†’ ran 𝑓 βŠ† 𝑆)
49 simpr 486 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝒫 𝑅 ∩ Fin)) ∧ (𝑋 = βˆͺ 𝑑 ∧ (𝑓:π‘‘βŸΆπ‘† ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝑑 (𝐴 ∈ (π‘“β€˜π‘’) ∧ (𝑒 Γ— (π‘“β€˜π‘’)) βŠ† π‘ˆ)))) ∧ ran 𝑓 β‰  βˆ…) β†’ ran 𝑓 β‰  βˆ…)
50 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝒫 𝑅 ∩ Fin)) ∧ (𝑋 = βˆͺ 𝑑 ∧ (𝑓:π‘‘βŸΆπ‘† ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝑑 (𝐴 ∈ (π‘“β€˜π‘’) ∧ (𝑒 Γ— (π‘“β€˜π‘’)) βŠ† π‘ˆ)))) β†’ 𝑑 ∈ (𝒫 𝑅 ∩ Fin))
5150elin2d 4160 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝒫 𝑅 ∩ Fin)) ∧ (𝑋 = βˆͺ 𝑑 ∧ (𝑓:π‘‘βŸΆπ‘† ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝑑 (𝐴 ∈ (π‘“β€˜π‘’) ∧ (𝑒 Γ— (π‘“β€˜π‘’)) βŠ† π‘ˆ)))) β†’ 𝑑 ∈ Fin)
5246ffnd 6670 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝒫 𝑅 ∩ Fin)) ∧ (𝑋 = βˆͺ 𝑑 ∧ (𝑓:π‘‘βŸΆπ‘† ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝑑 (𝐴 ∈ (π‘“β€˜π‘’) ∧ (𝑒 Γ— (π‘“β€˜π‘’)) βŠ† π‘ˆ)))) β†’ 𝑓 Fn 𝑑)
53 dffn4 6763 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑓 Fn 𝑑 ↔ 𝑓:𝑑–ontoβ†’ran 𝑓)
5452, 53sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝒫 𝑅 ∩ Fin)) ∧ (𝑋 = βˆͺ 𝑑 ∧ (𝑓:π‘‘βŸΆπ‘† ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝑑 (𝐴 ∈ (π‘“β€˜π‘’) ∧ (𝑒 Γ— (π‘“β€˜π‘’)) βŠ† π‘ˆ)))) β†’ 𝑓:𝑑–ontoβ†’ran 𝑓)
55 fofi 9285 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑑 ∈ Fin ∧ 𝑓:𝑑–ontoβ†’ran 𝑓) β†’ ran 𝑓 ∈ Fin)
5651, 54, 55syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝒫 𝑅 ∩ Fin)) ∧ (𝑋 = βˆͺ 𝑑 ∧ (𝑓:π‘‘βŸΆπ‘† ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝑑 (𝐴 ∈ (π‘“β€˜π‘’) ∧ (𝑒 Γ— (π‘“β€˜π‘’)) βŠ† π‘ˆ)))) β†’ ran 𝑓 ∈ Fin)
5756adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝒫 𝑅 ∩ Fin)) ∧ (𝑋 = βˆͺ 𝑑 ∧ (𝑓:π‘‘βŸΆπ‘† ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝑑 (𝐴 ∈ (π‘“β€˜π‘’) ∧ (𝑒 Γ— (π‘“β€˜π‘’)) βŠ† π‘ˆ)))) ∧ ran 𝑓 β‰  βˆ…) β†’ ran 𝑓 ∈ Fin)
58 fiinopn 22266 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑆 ∈ Top β†’ ((ran 𝑓 βŠ† 𝑆 ∧ ran 𝑓 β‰  βˆ… ∧ ran 𝑓 ∈ Fin) β†’ ∩ ran 𝑓 ∈ 𝑆))
5958imp 408 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑆 ∈ Top ∧ (ran 𝑓 βŠ† 𝑆 ∧ ran 𝑓 β‰  βˆ… ∧ ran 𝑓 ∈ Fin)) β†’ ∩ ran 𝑓 ∈ 𝑆)
6045, 48, 49, 57, 59syl13anc 1373 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝒫 𝑅 ∩ Fin)) ∧ (𝑋 = βˆͺ 𝑑 ∧ (𝑓:π‘‘βŸΆπ‘† ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝑑 (𝐴 ∈ (π‘“β€˜π‘’) ∧ (𝑒 Γ— (π‘“β€˜π‘’)) βŠ† π‘ˆ)))) ∧ ran 𝑓 β‰  βˆ…) β†’ ∩ ran 𝑓 ∈ 𝑆)
61 elssuni 4899 . . . . . . . . . . . 12 (∩ ran 𝑓 ∈ 𝑆 β†’ ∩ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ 𝑆)
6260, 61syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝒫 𝑅 ∩ Fin)) ∧ (𝑋 = βˆͺ 𝑑 ∧ (𝑓:π‘‘βŸΆπ‘† ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝑑 (𝐴 ∈ (π‘“β€˜π‘’) ∧ (𝑒 Γ— (π‘“β€˜π‘’)) βŠ† π‘ˆ)))) ∧ ran 𝑓 β‰  βˆ…) β†’ ∩ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ 𝑆)
6362, 40sseqtrrdi 3996 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝒫 𝑅 ∩ Fin)) ∧ (𝑋 = βˆͺ 𝑑 ∧ (𝑓:π‘‘βŸΆπ‘† ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝑑 (𝐴 ∈ (π‘“β€˜π‘’) ∧ (𝑒 Γ— (π‘“β€˜π‘’)) βŠ† π‘ˆ)))) ∧ ran 𝑓 β‰  βˆ…) β†’ ∩ ran 𝑓 βŠ† π‘Œ)
64 sseqin2 4176 . . . . . . . . . 10 (∩ ran 𝑓 βŠ† π‘Œ ↔ (π‘Œ ∩ ∩ ran 𝑓) = ∩ ran 𝑓)
6563, 64sylib 217 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝒫 𝑅 ∩ Fin)) ∧ (𝑋 = βˆͺ 𝑑 ∧ (𝑓:π‘‘βŸΆπ‘† ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝑑 (𝐴 ∈ (π‘“β€˜π‘’) ∧ (𝑒 Γ— (π‘“β€˜π‘’)) βŠ† π‘ˆ)))) ∧ ran 𝑓 β‰  βˆ…) β†’ (π‘Œ ∩ ∩ ran 𝑓) = ∩ ran 𝑓)
6665, 60eqeltrd 2834 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝒫 𝑅 ∩ Fin)) ∧ (𝑋 = βˆͺ 𝑑 ∧ (𝑓:π‘‘βŸΆπ‘† ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝑑 (𝐴 ∈ (π‘“β€˜π‘’) ∧ (𝑒 Γ— (π‘“β€˜π‘’)) βŠ† π‘ˆ)))) ∧ ran 𝑓 β‰  βˆ…) β†’ (π‘Œ ∩ ∩ ran 𝑓) ∈ 𝑆)
6744, 66pm2.61dane 3029 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝒫 𝑅 ∩ Fin)) ∧ (𝑋 = βˆͺ 𝑑 ∧ (𝑓:π‘‘βŸΆπ‘† ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝑑 (𝐴 ∈ (π‘“β€˜π‘’) ∧ (𝑒 Γ— (π‘“β€˜π‘’)) βŠ† π‘ˆ)))) β†’ (π‘Œ ∩ ∩ ran 𝑓) ∈ 𝑆)
6814ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝒫 𝑅 ∩ Fin)) ∧ (𝑋 = βˆͺ 𝑑 ∧ (𝑓:π‘‘βŸΆπ‘† ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝑑 (𝐴 ∈ (π‘“β€˜π‘’) ∧ (𝑒 Γ— (π‘“β€˜π‘’)) βŠ† π‘ˆ)))) β†’ 𝐴 ∈ π‘Œ)
69 simprrr 781 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝒫 𝑅 ∩ Fin)) ∧ (𝑋 = βˆͺ 𝑑 ∧ (𝑓:π‘‘βŸΆπ‘† ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝑑 (𝐴 ∈ (π‘“β€˜π‘’) ∧ (𝑒 Γ— (π‘“β€˜π‘’)) βŠ† π‘ˆ)))) β†’ βˆ€π‘’ ∈ 𝑑 (𝐴 ∈ (π‘“β€˜π‘’) ∧ (𝑒 Γ— (π‘“β€˜π‘’)) βŠ† π‘ˆ))
70 simpl 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ (π‘“β€˜π‘’) ∧ (𝑒 Γ— (π‘“β€˜π‘’)) βŠ† π‘ˆ) β†’ 𝐴 ∈ (π‘“β€˜π‘’))
7170ralimi 3083 . . . . . . . . . . 11 (βˆ€π‘’ ∈ 𝑑 (𝐴 ∈ (π‘“β€˜π‘’) ∧ (𝑒 Γ— (π‘“β€˜π‘’)) βŠ† π‘ˆ) β†’ βˆ€π‘’ ∈ 𝑑 𝐴 ∈ (π‘“β€˜π‘’))
7269, 71syl 17 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝒫 𝑅 ∩ Fin)) ∧ (𝑋 = βˆͺ 𝑑 ∧ (𝑓:π‘‘βŸΆπ‘† ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝑑 (𝐴 ∈ (π‘“β€˜π‘’) ∧ (𝑒 Γ— (π‘“β€˜π‘’)) βŠ† π‘ˆ)))) β†’ βˆ€π‘’ ∈ 𝑑 𝐴 ∈ (π‘“β€˜π‘’))
73 eliin 4960 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ π‘Œ β†’ (𝐴 ∈ ∩ 𝑒 ∈ 𝑑 (π‘“β€˜π‘’) ↔ βˆ€π‘’ ∈ 𝑑 𝐴 ∈ (π‘“β€˜π‘’)))
7468, 73syl 17 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝒫 𝑅 ∩ Fin)) ∧ (𝑋 = βˆͺ 𝑑 ∧ (𝑓:π‘‘βŸΆπ‘† ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝑑 (𝐴 ∈ (π‘“β€˜π‘’) ∧ (𝑒 Γ— (π‘“β€˜π‘’)) βŠ† π‘ˆ)))) β†’ (𝐴 ∈ ∩ 𝑒 ∈ 𝑑 (π‘“β€˜π‘’) ↔ βˆ€π‘’ ∈ 𝑑 𝐴 ∈ (π‘“β€˜π‘’)))
7572, 74mpbird 257 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝒫 𝑅 ∩ Fin)) ∧ (𝑋 = βˆͺ 𝑑 ∧ (𝑓:π‘‘βŸΆπ‘† ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝑑 (𝐴 ∈ (π‘“β€˜π‘’) ∧ (𝑒 Γ— (π‘“β€˜π‘’)) βŠ† π‘ˆ)))) β†’ 𝐴 ∈ ∩ 𝑒 ∈ 𝑑 (π‘“β€˜π‘’))
76 fniinfv 6920 . . . . . . . . . 10 (𝑓 Fn 𝑑 β†’ ∩ 𝑒 ∈ 𝑑 (π‘“β€˜π‘’) = ∩ ran 𝑓)
7752, 76syl 17 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝒫 𝑅 ∩ Fin)) ∧ (𝑋 = βˆͺ 𝑑 ∧ (𝑓:π‘‘βŸΆπ‘† ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝑑 (𝐴 ∈ (π‘“β€˜π‘’) ∧ (𝑒 Γ— (π‘“β€˜π‘’)) βŠ† π‘ˆ)))) β†’ ∩ 𝑒 ∈ 𝑑 (π‘“β€˜π‘’) = ∩ ran 𝑓)
7875, 77eleqtrd 2836 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝒫 𝑅 ∩ Fin)) ∧ (𝑋 = βˆͺ 𝑑 ∧ (𝑓:π‘‘βŸΆπ‘† ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝑑 (𝐴 ∈ (π‘“β€˜π‘’) ∧ (𝑒 Γ— (π‘“β€˜π‘’)) βŠ† π‘ˆ)))) β†’ 𝐴 ∈ ∩ ran 𝑓)
7968, 78elind 4155 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝒫 𝑅 ∩ Fin)) ∧ (𝑋 = βˆͺ 𝑑 ∧ (𝑓:π‘‘βŸΆπ‘† ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝑑 (𝐴 ∈ (π‘“β€˜π‘’) ∧ (𝑒 Γ— (π‘“β€˜π‘’)) βŠ† π‘ˆ)))) β†’ 𝐴 ∈ (π‘Œ ∩ ∩ ran 𝑓))
80 simprl 770 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝒫 𝑅 ∩ Fin)) ∧ (𝑋 = βˆͺ 𝑑 ∧ (𝑓:π‘‘βŸΆπ‘† ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝑑 (𝐴 ∈ (π‘“β€˜π‘’) ∧ (𝑒 Γ— (π‘“β€˜π‘’)) βŠ† π‘ˆ)))) β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝑑)
81 uniiun 5019 . . . . . . . . . . 11 βˆͺ 𝑑 = βˆͺ 𝑒 ∈ 𝑑 𝑒
8280, 81eqtrdi 2789 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝒫 𝑅 ∩ Fin)) ∧ (𝑋 = βˆͺ 𝑑 ∧ (𝑓:π‘‘βŸΆπ‘† ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝑑 (𝐴 ∈ (π‘“β€˜π‘’) ∧ (𝑒 Γ— (π‘“β€˜π‘’)) βŠ† π‘ˆ)))) β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝑒 ∈ 𝑑 𝑒)
8382xpeq1d 5663 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝒫 𝑅 ∩ Fin)) ∧ (𝑋 = βˆͺ 𝑑 ∧ (𝑓:π‘‘βŸΆπ‘† ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝑑 (𝐴 ∈ (π‘“β€˜π‘’) ∧ (𝑒 Γ— (π‘“β€˜π‘’)) βŠ† π‘ˆ)))) β†’ (𝑋 Γ— (π‘Œ ∩ ∩ ran 𝑓)) = (βˆͺ 𝑒 ∈ 𝑑 𝑒 Γ— (π‘Œ ∩ ∩ ran 𝑓)))
84 xpiundir 5704 . . . . . . . . 9 (βˆͺ 𝑒 ∈ 𝑑 𝑒 Γ— (π‘Œ ∩ ∩ ran 𝑓)) = βˆͺ 𝑒 ∈ 𝑑 (𝑒 Γ— (π‘Œ ∩ ∩ ran 𝑓))
8583, 84eqtrdi 2789 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝒫 𝑅 ∩ Fin)) ∧ (𝑋 = βˆͺ 𝑑 ∧ (𝑓:π‘‘βŸΆπ‘† ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝑑 (𝐴 ∈ (π‘“β€˜π‘’) ∧ (𝑒 Γ— (π‘“β€˜π‘’)) βŠ† π‘ˆ)))) β†’ (𝑋 Γ— (π‘Œ ∩ ∩ ran 𝑓)) = βˆͺ 𝑒 ∈ 𝑑 (𝑒 Γ— (π‘Œ ∩ ∩ ran 𝑓)))
86 simpr 486 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ (π‘“β€˜π‘’) ∧ (𝑒 Γ— (π‘“β€˜π‘’)) βŠ† π‘ˆ) β†’ (𝑒 Γ— (π‘“β€˜π‘’)) βŠ† π‘ˆ)
8786ralimi 3083 . . . . . . . . . . 11 (βˆ€π‘’ ∈ 𝑑 (𝐴 ∈ (π‘“β€˜π‘’) ∧ (𝑒 Γ— (π‘“β€˜π‘’)) βŠ† π‘ˆ) β†’ βˆ€π‘’ ∈ 𝑑 (𝑒 Γ— (π‘“β€˜π‘’)) βŠ† π‘ˆ)
8869, 87syl 17 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝒫 𝑅 ∩ Fin)) ∧ (𝑋 = βˆͺ 𝑑 ∧ (𝑓:π‘‘βŸΆπ‘† ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝑑 (𝐴 ∈ (π‘“β€˜π‘’) ∧ (𝑒 Γ— (π‘“β€˜π‘’)) βŠ† π‘ˆ)))) β†’ βˆ€π‘’ ∈ 𝑑 (𝑒 Γ— (π‘“β€˜π‘’)) βŠ† π‘ˆ)
89 inss2 4190 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘Œ ∩ ∩ ran 𝑓) βŠ† ∩ ran 𝑓
9076adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑓 Fn 𝑑 ∧ 𝑒 ∈ 𝑑) β†’ ∩ 𝑒 ∈ 𝑑 (π‘“β€˜π‘’) = ∩ ran 𝑓)
91 iinss2 5018 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑒 ∈ 𝑑 β†’ ∩ 𝑒 ∈ 𝑑 (π‘“β€˜π‘’) βŠ† (π‘“β€˜π‘’))
9291adantl 483 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑓 Fn 𝑑 ∧ 𝑒 ∈ 𝑑) β†’ ∩ 𝑒 ∈ 𝑑 (π‘“β€˜π‘’) βŠ† (π‘“β€˜π‘’))
9390, 92eqsstrrd 3984 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑓 Fn 𝑑 ∧ 𝑒 ∈ 𝑑) β†’ ∩ ran 𝑓 βŠ† (π‘“β€˜π‘’))
9489, 93sstrid 3956 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑓 Fn 𝑑 ∧ 𝑒 ∈ 𝑑) β†’ (π‘Œ ∩ ∩ ran 𝑓) βŠ† (π‘“β€˜π‘’))
95 xpss2 5654 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘Œ ∩ ∩ ran 𝑓) βŠ† (π‘“β€˜π‘’) β†’ (𝑒 Γ— (π‘Œ ∩ ∩ ran 𝑓)) βŠ† (𝑒 Γ— (π‘“β€˜π‘’)))
96 sstr2 3952 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑒 Γ— (π‘Œ ∩ ∩ ran 𝑓)) βŠ† (𝑒 Γ— (π‘“β€˜π‘’)) β†’ ((𝑒 Γ— (π‘“β€˜π‘’)) βŠ† π‘ˆ β†’ (𝑒 Γ— (π‘Œ ∩ ∩ ran 𝑓)) βŠ† π‘ˆ))
9794, 95, 963syl 18 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓 Fn 𝑑 ∧ 𝑒 ∈ 𝑑) β†’ ((𝑒 Γ— (π‘“β€˜π‘’)) βŠ† π‘ˆ β†’ (𝑒 Γ— (π‘Œ ∩ ∩ ran 𝑓)) βŠ† π‘ˆ))
9897ralimdva 3161 . . . . . . . . . 10 (𝑓 Fn 𝑑 β†’ (βˆ€π‘’ ∈ 𝑑 (𝑒 Γ— (π‘“β€˜π‘’)) βŠ† π‘ˆ β†’ βˆ€π‘’ ∈ 𝑑 (𝑒 Γ— (π‘Œ ∩ ∩ ran 𝑓)) βŠ† π‘ˆ))
9952, 88, 98sylc 65 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝒫 𝑅 ∩ Fin)) ∧ (𝑋 = βˆͺ 𝑑 ∧ (𝑓:π‘‘βŸΆπ‘† ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝑑 (𝐴 ∈ (π‘“β€˜π‘’) ∧ (𝑒 Γ— (π‘“β€˜π‘’)) βŠ† π‘ˆ)))) β†’ βˆ€π‘’ ∈ 𝑑 (𝑒 Γ— (π‘Œ ∩ ∩ ran 𝑓)) βŠ† π‘ˆ)
100 iunss 5006 . . . . . . . . 9 (βˆͺ 𝑒 ∈ 𝑑 (𝑒 Γ— (π‘Œ ∩ ∩ ran 𝑓)) βŠ† π‘ˆ ↔ βˆ€π‘’ ∈ 𝑑 (𝑒 Γ— (π‘Œ ∩ ∩ ran 𝑓)) βŠ† π‘ˆ)
10199, 100sylibr 233 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝒫 𝑅 ∩ Fin)) ∧ (𝑋 = βˆͺ 𝑑 ∧ (𝑓:π‘‘βŸΆπ‘† ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝑑 (𝐴 ∈ (π‘“β€˜π‘’) ∧ (𝑒 Γ— (π‘“β€˜π‘’)) βŠ† π‘ˆ)))) β†’ βˆͺ 𝑒 ∈ 𝑑 (𝑒 Γ— (π‘Œ ∩ ∩ ran 𝑓)) βŠ† π‘ˆ)
10285, 101eqsstrd 3983 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝒫 𝑅 ∩ Fin)) ∧ (𝑋 = βˆͺ 𝑑 ∧ (𝑓:π‘‘βŸΆπ‘† ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝑑 (𝐴 ∈ (π‘“β€˜π‘’) ∧ (𝑒 Γ— (π‘“β€˜π‘’)) βŠ† π‘ˆ)))) β†’ (𝑋 Γ— (π‘Œ ∩ ∩ ran 𝑓)) βŠ† π‘ˆ)
103 eleq2 2823 . . . . . . . . 9 (𝑒 = (π‘Œ ∩ ∩ ran 𝑓) β†’ (𝐴 ∈ 𝑒 ↔ 𝐴 ∈ (π‘Œ ∩ ∩ ran 𝑓)))
104 xpeq2 5655 . . . . . . . . . 10 (𝑒 = (π‘Œ ∩ ∩ ran 𝑓) β†’ (𝑋 Γ— 𝑒) = (𝑋 Γ— (π‘Œ ∩ ∩ ran 𝑓)))
105104sseq1d 3976 . . . . . . . . 9 (𝑒 = (π‘Œ ∩ ∩ ran 𝑓) β†’ ((𝑋 Γ— 𝑒) βŠ† π‘ˆ ↔ (𝑋 Γ— (π‘Œ ∩ ∩ ran 𝑓)) βŠ† π‘ˆ))
106103, 105anbi12d 632 . . . . . . . 8 (𝑒 = (π‘Œ ∩ ∩ ran 𝑓) β†’ ((𝐴 ∈ 𝑒 ∧ (𝑋 Γ— 𝑒) βŠ† π‘ˆ) ↔ (𝐴 ∈ (π‘Œ ∩ ∩ ran 𝑓) ∧ (𝑋 Γ— (π‘Œ ∩ ∩ ran 𝑓)) βŠ† π‘ˆ)))
107106rspcev 3580 . . . . . . 7 (((π‘Œ ∩ ∩ ran 𝑓) ∈ 𝑆 ∧ (𝐴 ∈ (π‘Œ ∩ ∩ ran 𝑓) ∧ (𝑋 Γ— (π‘Œ ∩ ∩ ran 𝑓)) βŠ† π‘ˆ)) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ 𝑆 (𝐴 ∈ 𝑒 ∧ (𝑋 Γ— 𝑒) βŠ† π‘ˆ))
10867, 79, 102, 107syl12anc 836 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝒫 𝑅 ∩ Fin)) ∧ (𝑋 = βˆͺ 𝑑 ∧ (𝑓:π‘‘βŸΆπ‘† ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝑑 (𝐴 ∈ (π‘“β€˜π‘’) ∧ (𝑒 Γ— (π‘“β€˜π‘’)) βŠ† π‘ˆ)))) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ 𝑆 (𝐴 ∈ 𝑒 ∧ (𝑋 Γ— 𝑒) βŠ† π‘ˆ))
109108expr 458 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝒫 𝑅 ∩ Fin)) ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝑑) β†’ ((𝑓:π‘‘βŸΆπ‘† ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝑑 (𝐴 ∈ (π‘“β€˜π‘’) ∧ (𝑒 Γ— (π‘“β€˜π‘’)) βŠ† π‘ˆ)) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ 𝑆 (𝐴 ∈ 𝑒 ∧ (𝑋 Γ— 𝑒) βŠ† π‘ˆ)))
110109exlimdv 1937 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝒫 𝑅 ∩ Fin)) ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝑑) β†’ (βˆƒπ‘“(𝑓:π‘‘βŸΆπ‘† ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝑑 (𝐴 ∈ (π‘“β€˜π‘’) ∧ (𝑒 Γ— (π‘“β€˜π‘’)) βŠ† π‘ˆ)) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ 𝑆 (𝐴 ∈ 𝑒 ∧ (𝑋 Γ— 𝑒) βŠ† π‘ˆ)))
111110expimpd 455 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝒫 𝑅 ∩ Fin)) β†’ ((𝑋 = βˆͺ 𝑑 ∧ βˆƒπ‘“(𝑓:π‘‘βŸΆπ‘† ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝑑 (𝐴 ∈ (π‘“β€˜π‘’) ∧ (𝑒 Γ— (π‘“β€˜π‘’)) βŠ† π‘ˆ))) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ 𝑆 (𝐴 ∈ 𝑒 ∧ (𝑋 Γ— 𝑒) βŠ† π‘ˆ)))
112111rexlimdva 3149 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘‘ ∈ (𝒫 𝑅 ∩ Fin)(𝑋 = βˆͺ 𝑑 ∧ βˆƒπ‘“(𝑓:π‘‘βŸΆπ‘† ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝑑 (𝐴 ∈ (π‘“β€˜π‘’) ∧ (𝑒 Γ— (π‘“β€˜π‘’)) βŠ† π‘ˆ))) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ 𝑆 (𝐴 ∈ 𝑒 ∧ (𝑋 Γ— 𝑒) βŠ† π‘ˆ)))
11337, 112mpd 15 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘’ ∈ 𝑆 (𝐴 ∈ 𝑒 ∧ (𝑋 Γ— 𝑒) βŠ† π‘ˆ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542  βˆƒwex 1782   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070   ∩ cin 3910   βŠ† wss 3911  βˆ…c0 4283  π’« cpw 4561  {csn 4587  βŸ¨cop 4593  βˆͺ cuni 4866  βˆ© cint 4908  βˆͺ ciun 4955  βˆ© ciin 4956   Γ— cxp 5632  ran crn 5635   Fn wfn 6492  βŸΆwf 6493  β€“ontoβ†’wfo 6495  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  Fincfn 8886  Topctop 22258  Compccmp 22753   Γ—t ctx 22927
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-1o 8413  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-fin 8890  df-topgen 17330  df-top 22259  df-cmp 22754  df-tx 22929
This theorem is referenced by:  txcmplem1  23008  xkoinjcn  23054  cvmlift2lem12  33965
  Copyright terms: Public domain W3C validator