MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  filssufil Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem filssufil 23921
Description: A filter is contained in some ultrafilter. (Requires the Axiom of Choice, via numth3 10511.) (Contributed by Jeff Hankins, 2-Dec-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 29-Jul-2015.)
Assertion
Ref Expression
filssufil (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → ∃𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)𝐹𝑓)
Distinct variable groups:   𝑓,𝐹   𝑓,𝑋

Proof of Theorem filssufil
StepHypRef Expression
1 filtop 23864 . . 3 (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝑋𝐹)
2 pwexg 5377 . . 3 (𝑋𝐹 → 𝒫 𝑋 ∈ V)
3 pwexg 5377 . . 3 (𝒫 𝑋 ∈ V → 𝒫 𝒫 𝑋 ∈ V)
4 numth3 10511 . . 3 (𝒫 𝒫 𝑋 ∈ V → 𝒫 𝒫 𝑋 ∈ dom card)
51, 2, 3, 44syl 19 . 2 (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝒫 𝒫 𝑋 ∈ dom card)
6 filssufilg 23920 . 2 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝒫 𝒫 𝑋 ∈ dom card) → ∃𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)𝐹𝑓)
75, 6mpdan 687 1 (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → ∃𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)𝐹𝑓)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2107  wrex 3069  Vcvv 3479  wss 3950  𝒫 cpw 4599  dom cdm 5684  cfv 6560  cardccrd 9976  Filcfil 23854  UFilcufil 23908
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-ac2 10504
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-se 5637  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-isom 6569  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-rpss 7744  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-2o 8508  df-oadd 8511  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-fin 8990  df-fi 9452  df-dju 9942  df-card 9980  df-ac 10157  df-fbas 21362  df-fg 21363  df-fil 23855  df-ufil 23910
This theorem is referenced by:  ufileu  23928  filufint  23929  ufinffr  23938  ufilen  23939
  Copyright terms: Public domain W3C validator