Theorem filssufil 22239

Description: A filter is contained in some ultrafilter. (Requires the Axiom of Choice, via numth3 9688.) (Contributed by Jeff Hankins, 2-Dec-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 29-Jul-2015.)

Assertion

Ref	Expression
filssufil	⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → ∃𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)𝐹 ⊆ 𝑓)

Distinct variable groups:   𝑓,𝐹   𝑓,𝑋

Proof of Theorem filssufil

Step	Hyp	Ref	Expression
1		filtop 22182	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝑋 ∈ 𝐹)
2		pwexg 5128	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐹 → 𝒫 𝑋 ∈ V)
3		pwexg 5128	. . 3 ⊢ (𝒫 𝑋 ∈ V → 𝒫 𝒫 𝑋 ∈ V)
4		numth3 9688	. . 3 ⊢ (𝒫 𝒫 𝑋 ∈ V → 𝒫 𝒫 𝑋 ∈ dom card)
5	1, 2, 3, 4	4syl 19	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝒫 𝒫 𝑋 ∈ dom card)
6		filssufilg 22238	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝒫 𝒫 𝑋 ∈ dom card) → ∃𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)𝐹 ⊆ 𝑓)
7	5, 6	mpdan 675	1 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → ∃𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)𝐹 ⊆ 𝑓)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2051  ∃wrex 3082  Vcvv 3408   ⊆ wss 3822  𝒫 cpw 4416  dom cdm 5403  ‘cfv 6185  cardccrd 9156  Filcfil 22172  UFilcufil 22226

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1759  ax-4 1773  ax-5 1870  ax-6 1929  ax-7 1966  ax-8 2053  ax-9 2060  ax-10 2080  ax-11 2094  ax-12 2107  ax-13 2302  ax-ext 2743  ax-rep 5045  ax-sep 5056  ax-nul 5063  ax-pow 5115  ax-pr 5182  ax-un 7277  ax-ac2 9681

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 835  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1511  df-ex 1744  df-nf 1748  df-sb 2017  df-mo 2548  df-eu 2585  df-clab 2752  df-cleq 2764  df-clel 2839  df-nfc 2911  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3086  df-rex 3087  df-reu 3088  df-rmo 3089  df-rab 3090  df-v 3410  df-sbc 3675  df-csb 3780  df-dif 3825  df-un 3827  df-in 3829  df-ss 3836  df-pss 3838  df-nul 4173  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4709  df-int 4746  df-iun 4790  df-br 4926  df-opab 4988  df-mpt 5005  df-tr 5027  df-id 5308  df-eprel 5313  df-po 5322  df-so 5323  df-fr 5362  df-se 5363  df-we 5364  df-xp 5409  df-rel 5410  df-cnv 5411  df-co 5412  df-dm 5413  df-rn 5414  df-res 5415  df-ima 5416  df-pred 5983  df-ord 6029  df-on 6030  df-lim 6031  df-suc 6032  df-iota 6149  df-fun 6187  df-fn 6188  df-f 6189  df-f1 6190  df-fo 6191  df-f1o 6192  df-fv 6193  df-isom 6194  df-riota 6935  df-ov 6977  df-oprab 6978  df-mpo 6979  df-rpss 7265  df-om 7395  df-1st 7499  df-2nd 7500  df-wrecs 7748  df-recs 7810  df-rdg 7848  df-1o 7903  df-oadd 7907  df-er 8087  df-en 8305  df-dom 8306  df-fin 8308  df-fi 8668  df-dju 9122  df-card 9160  df-ac 9334  df-fbas 20259  df-fg 20260  df-fil 22173  df-ufil 22228

This theorem is referenced by:  ufileu  22246  filufint  22247  ufinffr  22256  ufilen  22257