MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  filssufil Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem filssufil 23170
Description: A filter is contained in some ultrafilter. (Requires the Axiom of Choice, via numth3 10328.) (Contributed by Jeff Hankins, 2-Dec-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 29-Jul-2015.)
Assertion
Ref Expression
filssufil (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → ∃𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)𝐹𝑓)
Distinct variable groups:   𝑓,𝐹   𝑓,𝑋

Proof of Theorem filssufil
StepHypRef Expression
1 filtop 23113 . . 3 (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝑋𝐹)
2 pwexg 5322 . . 3 (𝑋𝐹 → 𝒫 𝑋 ∈ V)
3 pwexg 5322 . . 3 (𝒫 𝑋 ∈ V → 𝒫 𝒫 𝑋 ∈ V)
4 numth3 10328 . . 3 (𝒫 𝒫 𝑋 ∈ V → 𝒫 𝒫 𝑋 ∈ dom card)
51, 2, 3, 44syl 19 . 2 (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝒫 𝒫 𝑋 ∈ dom card)
6 filssufilg 23169 . 2 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝒫 𝒫 𝑋 ∈ dom card) → ∃𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)𝐹𝑓)
75, 6mpdan 684 1 (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → ∃𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)𝐹𝑓)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2105  wrex 3070  Vcvv 3441  wss 3898  𝒫 cpw 4548  dom cdm 5621  cfv 6480  cardccrd 9793  Filcfil 23103  UFilcufil 23157
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5230  ax-sep 5244  ax-nul 5251  ax-pow 5309  ax-pr 5373  ax-un 7651  ax-ac2 10321
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3917  df-nul 4271  df-if 4475  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-op 4581  df-uni 4854  df-int 4896  df-iun 4944  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5177  df-tr 5211  df-id 5519  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5576  df-se 5577  df-we 5578  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6239  df-ord 6306  df-on 6307  df-lim 6308  df-suc 6309  df-iota 6432  df-fun 6482  df-fn 6483  df-f 6484  df-f1 6485  df-fo 6486  df-f1o 6487  df-fv 6488  df-isom 6489  df-riota 7294  df-ov 7341  df-oprab 7342  df-mpo 7343  df-rpss 7639  df-om 7782  df-1st 7900  df-2nd 7901  df-frecs 8168  df-wrecs 8199  df-recs 8273  df-rdg 8312  df-1o 8368  df-oadd 8372  df-er 8570  df-en 8806  df-dom 8807  df-fin 8809  df-fi 9269  df-dju 9759  df-card 9797  df-ac 9974  df-fbas 20701  df-fg 20702  df-fil 23104  df-ufil 23159
This theorem is referenced by:  ufileu  23177  filufint  23178  ufinffr  23187  ufilen  23188
  Copyright terms: Public domain W3C validator