MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  filssufil Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem filssufil 23936
Description: A filter is contained in some ultrafilter. (Requires the Axiom of Choice, via numth3 10508.) (Contributed by Jeff Hankins, 2-Dec-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 29-Jul-2015.)
Assertion
Ref Expression
filssufil (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → ∃𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)𝐹𝑓)
Distinct variable groups:   𝑓,𝐹   𝑓,𝑋

Proof of Theorem filssufil
StepHypRef Expression
1 filtop 23879 . . 3 (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝑋𝐹)
2 pwexg 5384 . . 3 (𝑋𝐹 → 𝒫 𝑋 ∈ V)
3 pwexg 5384 . . 3 (𝒫 𝑋 ∈ V → 𝒫 𝒫 𝑋 ∈ V)
4 numth3 10508 . . 3 (𝒫 𝒫 𝑋 ∈ V → 𝒫 𝒫 𝑋 ∈ dom card)
51, 2, 3, 44syl 19 . 2 (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝒫 𝒫 𝑋 ∈ dom card)
6 filssufilg 23935 . 2 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝒫 𝒫 𝑋 ∈ dom card) → ∃𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)𝐹𝑓)
75, 6mpdan 687 1 (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → ∃𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)𝐹𝑓)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2106  wrex 3068  Vcvv 3478  wss 3963  𝒫 cpw 4605  dom cdm 5689  cfv 6563  cardccrd 9973  Filcfil 23869  UFilcufil 23923
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-ac2 10501
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-rpss 7742  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-oadd 8509  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-fin 8988  df-fi 9449  df-dju 9939  df-card 9977  df-ac 10154  df-fbas 21379  df-fg 21380  df-fil 23870  df-ufil 23925
This theorem is referenced by:  ufileu  23943  filufint  23944  ufinffr  23953  ufilen  23954
  Copyright terms: Public domain W3C validator