MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  filssufil Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem filssufil 22448
Description: A filter is contained in some ultrafilter. (Requires the Axiom of Choice, via numth3 9880.) (Contributed by Jeff Hankins, 2-Dec-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 29-Jul-2015.)
Assertion
Ref Expression
filssufil (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → ∃𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)𝐹𝑓)
Distinct variable groups:   𝑓,𝐹   𝑓,𝑋

Proof of Theorem filssufil
StepHypRef Expression
1 filtop 22391 . . 3 (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝑋𝐹)
2 pwexg 5270 . . 3 (𝑋𝐹 → 𝒫 𝑋 ∈ V)
3 pwexg 5270 . . 3 (𝒫 𝑋 ∈ V → 𝒫 𝒫 𝑋 ∈ V)
4 numth3 9880 . . 3 (𝒫 𝒫 𝑋 ∈ V → 𝒫 𝒫 𝑋 ∈ dom card)
51, 2, 3, 44syl 19 . 2 (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝒫 𝒫 𝑋 ∈ dom card)
6 filssufilg 22447 . 2 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝒫 𝒫 𝑋 ∈ dom card) → ∃𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)𝐹𝑓)
75, 6mpdan 683 1 (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → ∃𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)𝐹𝑓)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2105  wrex 3136  Vcvv 3492  wss 3933  𝒫 cpw 4535  dom cdm 5548  cfv 6348  cardccrd 9352  Filcfil 22381  UFilcufil 22435
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-ac2 9873
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-rpss 7438  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-oadd 8095  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-fin 8501  df-fi 8863  df-dju 9318  df-card 9356  df-ac 9530  df-fbas 20470  df-fg 20471  df-fil 22382  df-ufil 22437
This theorem is referenced by:  ufileu  22455  filufint  22456  ufinffr  22465  ufilen  22466
  Copyright terms: Public domain W3C validator