Theorem filssufil 23637

Description: A filter is contained in some ultrafilter. (Requires the Axiom of Choice, via numth3 10468.) (Contributed by Jeff Hankins, 2-Dec-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 29-Jul-2015.)

Assertion

Ref	Expression
filssufil	⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → ∃𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)𝐹 ⊆ 𝑓)

Distinct variable groups:   𝑓,𝐹   𝑓,𝑋

Proof of Theorem filssufil

Step	Hyp	Ref	Expression
1		filtop 23580	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝑋 ∈ 𝐹)
2		pwexg 5377	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐹 → 𝒫 𝑋 ∈ V)
3		pwexg 5377	. . 3 ⊢ (𝒫 𝑋 ∈ V → 𝒫 𝒫 𝑋 ∈ V)
4		numth3 10468	. . 3 ⊢ (𝒫 𝒫 𝑋 ∈ V → 𝒫 𝒫 𝑋 ∈ dom card)
5	1, 2, 3, 4	4syl 19	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝒫 𝒫 𝑋 ∈ dom card)
6		filssufilg 23636	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝒫 𝒫 𝑋 ∈ dom card) → ∃𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)𝐹 ⊆ 𝑓)
7	5, 6	mpdan 684	1 ⊢ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) → ∃𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)𝐹 ⊆ 𝑓)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2105  ∃wrex 3069  Vcvv 3473   ⊆ wss 3949  𝒫 cpw 4603  dom cdm 5677  ‘cfv 6544  cardccrd 9933  Filcfil 23570  UFilcufil 23624

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-ac2 10461

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-rpss 7716  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-1o 8469  df-oadd 8473  df-er 8706  df-en 8943  df-dom 8944  df-fin 8946  df-fi 9409  df-dju 9899  df-card 9937  df-ac 10114  df-fbas 21142  df-fg 21143  df-fil 23571  df-ufil 23626

This theorem is referenced by:  ufileu  23644  filufint  23645  ufinffr  23654  ufilen  23655