Theorem prmgaplem4 17025

Description: Lemma for prmgap 17030. (Contributed by AV, 10-Aug-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
prmgaplem4.a	⊢ 𝐴 = {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑃)}

Assertion

Ref	Expression
prmgaplem4	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑃) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑁,𝑝   𝑃,𝑝

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑝)   𝑃(𝑥,𝑦)   𝑁(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem prmgaplem4

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssrab2 4020	. . . . 5 ⊢ {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑃)} ⊆ ℙ
2	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑃) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑃)} ⊆ ℙ)
3		prmssnn 16645	. . . . 5 ⊢ ℙ ⊆ ℕ
4		nnssre 12178	. . . . 5 ⊢ ℕ ⊆ ℝ
5	3, 4	sstri 3931	. . . 4 ⊢ ℙ ⊆ ℝ
6	2, 5	sstrdi 3934	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑃) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑃)} ⊆ ℝ)
7		fzfid 13935	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑃) → (𝑁...𝑃) ∈ Fin)
8		breq2 5089	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 = 𝑖 → (𝑁 < 𝑝 ↔ 𝑁 < 𝑖))
9		breq1 5088	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 = 𝑖 → (𝑝 ≤ 𝑃 ↔ 𝑖 ≤ 𝑃))
10	8, 9	anbi12d 633	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = 𝑖 → ((𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑃) ↔ (𝑁 < 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ 𝑃)))
11	10	elrab 3634	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑃)} ↔ (𝑖 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ 𝑃)))
12		nnz 12545	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
13		prmz 16644	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
14	12, 13	anim12i 614	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ))
15	14	3adant3 1133	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑃) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ))
16		prmz 16644	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 ∈ ℙ → 𝑖 ∈ ℤ)
17	16	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑖 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ 𝑃)) → 𝑖 ∈ ℤ)
18	15, 17	anim12i 614	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑃) ∧ (𝑖 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ 𝑃))) → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ ℤ))
19		df-3an 1089	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ↔ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ ℤ))
20	18, 19	sylibr 234	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑃) ∧ (𝑖 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ 𝑃))) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ))
21		nnre 12181	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
22	21	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℝ)
23	5	sseli 3917	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 ∈ ℙ → 𝑖 ∈ ℝ)
24		ltle 11234	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑖 ∈ ℝ) → (𝑁 < 𝑖 → 𝑁 ≤ 𝑖))
25	22, 23, 24	syl2an 597	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑖 ∈ ℙ) → (𝑁 < 𝑖 → 𝑁 ≤ 𝑖))
26	25	anim1d 612	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑖 ∈ ℙ) → ((𝑁 < 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ 𝑃) → (𝑁 ≤ 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ 𝑃)))
27	26	ex 412	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑖 ∈ ℙ → ((𝑁 < 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ 𝑃) → (𝑁 ≤ 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ 𝑃))))
28	27	3adant3 1133	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑃) → (𝑖 ∈ ℙ → ((𝑁 < 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ 𝑃) → (𝑁 ≤ 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ 𝑃))))
29	28	imp32 418	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑃) ∧ (𝑖 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ 𝑃))) → (𝑁 ≤ 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ 𝑃))
30		elfz2 13468	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 ∈ (𝑁...𝑃) ↔ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≤ 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ 𝑃)))
31	20, 29, 30	sylanbrc 584	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑃) ∧ (𝑖 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ 𝑃))) → 𝑖 ∈ (𝑁...𝑃))
32	31	ex 412	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑃) → ((𝑖 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ 𝑃)) → 𝑖 ∈ (𝑁...𝑃)))
33	11, 32	biimtrid 242	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑃) → (𝑖 ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑃)} → 𝑖 ∈ (𝑁...𝑃)))
34	33	ssrdv 3927	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑃) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑃)} ⊆ (𝑁...𝑃))
35	7, 34	ssfid 9179	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑃) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑃)} ∈ Fin)
36		breq2 5089	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = 𝑃 → (𝑁 < 𝑝 ↔ 𝑁 < 𝑃))
37		breq1 5088	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = 𝑃 → (𝑝 ≤ 𝑃 ↔ 𝑃 ≤ 𝑃))
38	36, 37	anbi12d 633	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = 𝑃 → ((𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑃) ↔ (𝑁 < 𝑃 ∧ 𝑃 ≤ 𝑃)))
39		simp2 1138	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑃) → 𝑃 ∈ ℙ)
40		prmnn 16643	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
41	40	nnred 12189	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℝ)
42	41	leidd 11716	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ≤ 𝑃)
43	42	anim1ci 617	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑃) → (𝑁 < 𝑃 ∧ 𝑃 ≤ 𝑃))
44	43	3adant1 1131	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑃) → (𝑁 < 𝑃 ∧ 𝑃 ≤ 𝑃))
45	38, 39, 44	elrabd 3636	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑃) → 𝑃 ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑃)})
46	45	ne0d 4282	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑃) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑃)} ≠ ∅)
47		prmgaplem4.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑃)}
48		sseq1 3947	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑃)} → (𝐴 ⊆ ℝ ↔ {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑃)} ⊆ ℝ))
49		eleq1 2824	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑃)} → (𝐴 ∈ Fin ↔ {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑃)} ∈ Fin))
50		neeq1 2994	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑃)} → (𝐴 ≠ ∅ ↔ {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑃)} ≠ ∅))
51	48, 49, 50	3anbi123d 1439	. . . 4 ⊢ (𝐴 = {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑃)} → ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) ↔ ({𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑃)} ⊆ ℝ ∧ {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑃)} ∈ Fin ∧ {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑃)} ≠ ∅)))
52	47, 51	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) ↔ ({𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑃)} ⊆ ℝ ∧ {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑃)} ∈ Fin ∧ {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑃)} ≠ ∅))
53	6, 35, 46, 52	syl3anbrc 1345	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑃) → (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅))
54		fiminre 12103	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)
55	53, 54	syl 17	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑃) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2932  ∀wral 3051  ∃wrex 3061  {crab 3389   ⊆ wss 3889  ∅c0 4273   class class class wbr 5085  (class class class)co 7367  Fincfn 8893  ℝcr 11037   < clt 11179   ≤ cle 11180  ℕcn 12174  ℤcz 12524  ...cfz 13461  ℙcprime 16640

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-fz 13462  df-prm 16641

This theorem is referenced by:  prmgaplem6  17027