Theorem prmgaplem4 16952

Description: Lemma for prmgap 16957. (Contributed by AV, 10-Aug-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
prmgaplem4.a	⊢ 𝐴 = {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑃)}

Assertion

Ref	Expression
prmgaplem4	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑃) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑁,𝑝   𝑃,𝑝

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑝)   𝑃(𝑥,𝑦)   𝑁(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem prmgaplem4

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssrab2 4057	. . . . 5 ⊢ {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑃)} ⊆ ℙ
2	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑃) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑃)} ⊆ ℙ)
3		prmssnn 16578	. . . . 5 ⊢ ℙ ⊆ ℕ
4		nnssre 12181	. . . . 5 ⊢ ℕ ⊆ ℝ
5	3, 4	sstri 3971	. . . 4 ⊢ ℙ ⊆ ℝ
6	2, 5	sstrdi 3974	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑃) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑃)} ⊆ ℝ)
7		fzfid 13903	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑃) → (𝑁...𝑃) ∈ Fin)
8		breq2 5129	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 = 𝑖 → (𝑁 < 𝑝 ↔ 𝑁 < 𝑖))
9		breq1 5128	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 = 𝑖 → (𝑝 ≤ 𝑃 ↔ 𝑖 ≤ 𝑃))
10	8, 9	anbi12d 631	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = 𝑖 → ((𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑃) ↔ (𝑁 < 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ 𝑃)))
11	10	elrab 3663	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑃)} ↔ (𝑖 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ 𝑃)))
12		nnz 12544	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
13		prmz 16577	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
14	12, 13	anim12i 613	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ))
15	14	3adant3 1132	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑃) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ))
16		prmz 16577	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 ∈ ℙ → 𝑖 ∈ ℤ)
17	16	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑖 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ 𝑃)) → 𝑖 ∈ ℤ)
18	15, 17	anim12i 613	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑃) ∧ (𝑖 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ 𝑃))) → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ ℤ))
19		df-3an 1089	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ↔ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ ℤ))
20	18, 19	sylibr 233	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑃) ∧ (𝑖 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ 𝑃))) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ))
21		nnre 12184	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
22	21	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℝ)
23	5	sseli 3958	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 ∈ ℙ → 𝑖 ∈ ℝ)
24		ltle 11267	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑖 ∈ ℝ) → (𝑁 < 𝑖 → 𝑁 ≤ 𝑖))
25	22, 23, 24	syl2an 596	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑖 ∈ ℙ) → (𝑁 < 𝑖 → 𝑁 ≤ 𝑖))
26	25	anim1d 611	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑖 ∈ ℙ) → ((𝑁 < 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ 𝑃) → (𝑁 ≤ 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ 𝑃)))
27	26	ex 413	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑖 ∈ ℙ → ((𝑁 < 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ 𝑃) → (𝑁 ≤ 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ 𝑃))))
28	27	3adant3 1132	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑃) → (𝑖 ∈ ℙ → ((𝑁 < 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ 𝑃) → (𝑁 ≤ 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ 𝑃))))
29	28	imp32 419	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑃) ∧ (𝑖 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ 𝑃))) → (𝑁 ≤ 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ 𝑃))
30		elfz2 13456	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 ∈ (𝑁...𝑃) ↔ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≤ 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ 𝑃)))
31	20, 29, 30	sylanbrc 583	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑃) ∧ (𝑖 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ 𝑃))) → 𝑖 ∈ (𝑁...𝑃))
32	31	ex 413	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑃) → ((𝑖 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ 𝑃)) → 𝑖 ∈ (𝑁...𝑃)))
33	11, 32	biimtrid 241	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑃) → (𝑖 ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑃)} → 𝑖 ∈ (𝑁...𝑃)))
34	33	ssrdv 3968	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑃) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑃)} ⊆ (𝑁...𝑃))
35	7, 34	ssfid 9233	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑃) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑃)} ∈ Fin)
36		breq2 5129	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = 𝑃 → (𝑁 < 𝑝 ↔ 𝑁 < 𝑃))
37		breq1 5128	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = 𝑃 → (𝑝 ≤ 𝑃 ↔ 𝑃 ≤ 𝑃))
38	36, 37	anbi12d 631	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = 𝑃 → ((𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑃) ↔ (𝑁 < 𝑃 ∧ 𝑃 ≤ 𝑃)))
39		simp2 1137	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑃) → 𝑃 ∈ ℙ)
40		prmnn 16576	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
41	40	nnred 12192	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℝ)
42	41	leidd 11745	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ≤ 𝑃)
43	42	anim1ci 616	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑃) → (𝑁 < 𝑃 ∧ 𝑃 ≤ 𝑃))
44	43	3adant1 1130	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑃) → (𝑁 < 𝑃 ∧ 𝑃 ≤ 𝑃))
45	38, 39, 44	elrabd 3665	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑃) → 𝑃 ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑃)})
46	45	ne0d 4315	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑃) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑃)} ≠ ∅)
47		prmgaplem4.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑃)}
48		sseq1 3987	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑃)} → (𝐴 ⊆ ℝ ↔ {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑃)} ⊆ ℝ))
49		eleq1 2820	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑃)} → (𝐴 ∈ Fin ↔ {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑃)} ∈ Fin))
50		neeq1 3002	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑃)} → (𝐴 ≠ ∅ ↔ {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑃)} ≠ ∅))
51	48, 49, 50	3anbi123d 1436	. . . 4 ⊢ (𝐴 = {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑃)} → ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) ↔ ({𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑃)} ⊆ ℝ ∧ {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑃)} ∈ Fin ∧ {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑃)} ≠ ∅)))
52	47, 51	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) ↔ ({𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑃)} ⊆ ℝ ∧ {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑃)} ∈ Fin ∧ {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑃)} ≠ ∅))
53	6, 35, 46, 52	syl3anbrc 1343	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑃) → (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅))
54		fiminre 12126	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)
55	53, 54	syl 17	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑃) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2939  ∀wral 3060  ∃wrex 3069  {crab 3418   ⊆ wss 3928  ∅c0 4302   class class class wbr 5125  (class class class)co 7377  Fincfn 8905  ℝcr 11074   < clt 11213   ≤ cle 11214  ℕcn 12177  ℤcz 12523  ...cfz 13449  ℙcprime 16573

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5276  ax-nul 5283  ax-pow 5340  ax-pr 5404  ax-un 7692  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3365  df-rab 3419  df-v 3461  df-sbc 3758  df-csb 3874  df-dif 3931  df-un 3933  df-in 3935  df-ss 3945  df-pss 3947  df-nul 4303  df-if 4507  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4886  df-iun 4976  df-br 5126  df-opab 5188  df-mpt 5209  df-tr 5243  df-id 5551  df-eprel 5557  df-po 5565  df-so 5566  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5659  df-rel 5660  df-cnv 5661  df-co 5662  df-dm 5663  df-rn 5664  df-res 5665  df-ima 5666  df-pred 6273  df-ord 6340  df-on 6341  df-lim 6342  df-suc 6343  df-iota 6468  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-riota 7333  df-ov 7380  df-oprab 7381  df-mpo 7382  df-om 7823  df-1st 7941  df-2nd 7942  df-frecs 8232  df-wrecs 8263  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-1o 8432  df-er 8670  df-en 8906  df-dom 8907  df-sdom 8908  df-fin 8909  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11411  df-neg 11412  df-nn 12178  df-n0 12438  df-z 12524  df-uz 12788  df-fz 13450  df-prm 16574

This theorem is referenced by:  prmgaplem6  16954