Theorem prmgaplem4 17114

Description: Lemma for prmgap 17119. (Contributed by AV, 10-Aug-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
prmgaplem4.a	⊢ 𝐴 = {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑃)}

Assertion

Ref	Expression
prmgaplem4	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑃) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑁,𝑝   𝑃,𝑝

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑝)   𝑃(𝑥,𝑦)   𝑁(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem prmgaplem4

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssrab2 4042	. . . . 5 ⊢ {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑃)} ⊆ ℙ
2	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑃) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑃)} ⊆ ℙ)
3		prmssnn 16734	. . . . 5 ⊢ ℙ ⊆ ℕ
4		nnssre 12237	. . . . 5 ⊢ ℕ ⊆ ℝ
5	3, 4	sstri 3954	. . . 4 ⊢ ℙ ⊆ ℝ
6	2, 5	sstrdi 3957	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑃) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑃)} ⊆ ℝ)
7		fzfid 14009	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑃) → (𝑁...𝑃) ∈ Fin)
8		breq2 5117	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 = 𝑖 → (𝑁 < 𝑝 ↔ 𝑁 < 𝑖))
9		breq1 5116	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 = 𝑖 → (𝑝 ≤ 𝑃 ↔ 𝑖 ≤ 𝑃))
10	8, 9	anbi12d 643	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = 𝑖 → ((𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑃) ↔ (𝑁 < 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ 𝑃)))
11	10	elrab 3659	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑃)} ↔ (𝑖 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ 𝑃)))
12		nnz 12612	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
13		prmz 16733	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
14	12, 13	anim12i 624	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ))
15	14	3adant3 1148	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑃) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ))
16		prmz 16733	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 ∈ ℙ → 𝑖 ∈ ℤ)
17	16	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑖 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ 𝑃)) → 𝑖 ∈ ℤ)
18	15, 17	anim12i 624	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑃) ∧ (𝑖 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ 𝑃))) → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ ℤ))
19		df-3an 1103	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ↔ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ ℤ))
20	18, 19	sylibr 237	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑃) ∧ (𝑖 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ 𝑃))) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ))
21		nnre 12240	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
22	21	adantr 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℝ)
23	5	sseli 3941	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 ∈ ℙ → 𝑖 ∈ ℝ)
24		ltle 11298	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑖 ∈ ℝ) → (𝑁 < 𝑖 → 𝑁 ≤ 𝑖))
25	22, 23, 24	syl2an 607	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑖 ∈ ℙ) → (𝑁 < 𝑖 → 𝑁 ≤ 𝑖))
26	25	anim1d 622	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑖 ∈ ℙ) → ((𝑁 < 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ 𝑃) → (𝑁 ≤ 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ 𝑃)))
27	26	ex 417	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑖 ∈ ℙ → ((𝑁 < 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ 𝑃) → (𝑁 ≤ 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ 𝑃))))
28	27	3adant3 1148	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑃) → (𝑖 ∈ ℙ → ((𝑁 < 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ 𝑃) → (𝑁 ≤ 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ 𝑃))))
29	28	imp32 423	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑃) ∧ (𝑖 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ 𝑃))) → (𝑁 ≤ 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ 𝑃))
30		elfz2 13542	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 ∈ (𝑁...𝑃) ↔ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≤ 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ 𝑃)))
31	20, 29, 30	sylanbrc 594	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑃) ∧ (𝑖 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ 𝑃))) → 𝑖 ∈ (𝑁...𝑃))
32	31	ex 417	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑃) → ((𝑖 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ 𝑃)) → 𝑖 ∈ (𝑁...𝑃)))
33	11, 32	biimtrid 245	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑃) → (𝑖 ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑃)} → 𝑖 ∈ (𝑁...𝑃)))
34	33	ssrdv 3951	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑃) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑃)} ⊆ (𝑁...𝑃))
35	7, 34	ssfid 9229	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑃) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑃)} ∈ Fin)
36		breq2 5117	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = 𝑃 → (𝑁 < 𝑝 ↔ 𝑁 < 𝑃))
37		breq1 5116	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = 𝑃 → (𝑝 ≤ 𝑃 ↔ 𝑃 ≤ 𝑃))
38	36, 37	anbi12d 643	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = 𝑃 → ((𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑃) ↔ (𝑁 < 𝑃 ∧ 𝑃 ≤ 𝑃)))
39		simp2 1153	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑃) → 𝑃 ∈ ℙ)
40		prmnn 16732	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
41	40	nnred 12248	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℝ)
42	41	leidd 11780	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ≤ 𝑃)
43	42	anim1ci 627	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑃) → (𝑁 < 𝑃 ∧ 𝑃 ≤ 𝑃))
44	43	3adant1 1146	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑃) → (𝑁 < 𝑃 ∧ 𝑃 ≤ 𝑃))
45	38, 39, 44	elrabd 3661	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑃) → 𝑃 ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑃)})
46	45	ne0d 4303	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑃) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑃)} ≠ ∅)
47		prmgaplem4.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑃)}
48		sseq1 3970	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑃)} → (𝐴 ⊆ ℝ ↔ {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑃)} ⊆ ℝ))
49		eleq1 2857	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑃)} → (𝐴 ∈ Fin ↔ {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑃)} ∈ Fin))
50		neeq1 3026	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑃)} → (𝐴 ≠ ∅ ↔ {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑃)} ≠ ∅))
51	48, 49, 50	3anbi123d 1462	. . . 4 ⊢ (𝐴 = {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑃)} → ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) ↔ ({𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑃)} ⊆ ℝ ∧ {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑃)} ∈ Fin ∧ {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑃)} ≠ ∅)))
52	47, 51	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) ↔ ({𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑃)} ⊆ ℝ ∧ {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑃)} ∈ Fin ∧ {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑃)} ≠ ∅))
53	6, 35, 46, 52	syl3anbrc 1360	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑃) → (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅))
54		fiminre 12162	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)
55	53, 54	syl 18	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑃) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964  ∀wral 3085  ∃wrex 3095  {crab 3423   ⊆ wss 3913  ∅c0 4294   class class class wbr 5113  (class class class)co 7411  Fincfn 8943  ℝcr 11099   < clt 11243   ≤ cle 11244  ℕcn 12233  ℤcz 12591  ...cfz 13535  ℙcprime 16729

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-er 8694  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12234  df-n0 12505  df-z 12592  df-uz 12863  df-fz 13536  df-prm 16730

This theorem is referenced by:  prmgaplem6  17116