Theorem prmgaplem4 17020

Description: Lemma for prmgap 17025. (Contributed by AV, 10-Aug-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
prmgaplem4.a	⊢ 𝐴 = {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑃)}

Assertion

Ref	Expression
prmgaplem4	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑃) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑁,𝑝   𝑃,𝑝

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑝)   𝑃(𝑥,𝑦)   𝑁(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem prmgaplem4

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssrab2 4021	. . . . 5 ⊢ {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑃)} ⊆ ℙ
2	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑃) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑃)} ⊆ ℙ)
3		prmssnn 16640	. . . . 5 ⊢ ℙ ⊆ ℕ
4		nnssre 12173	. . . . 5 ⊢ ℕ ⊆ ℝ
5	3, 4	sstri 3932	. . . 4 ⊢ ℙ ⊆ ℝ
6	2, 5	sstrdi 3935	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑃) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑃)} ⊆ ℝ)
7		fzfid 13930	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑃) → (𝑁...𝑃) ∈ Fin)
8		breq2 5090	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 = 𝑖 → (𝑁 < 𝑝 ↔ 𝑁 < 𝑖))
9		breq1 5089	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 = 𝑖 → (𝑝 ≤ 𝑃 ↔ 𝑖 ≤ 𝑃))
10	8, 9	anbi12d 633	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = 𝑖 → ((𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑃) ↔ (𝑁 < 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ 𝑃)))
11	10	elrab 3635	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑃)} ↔ (𝑖 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ 𝑃)))
12		nnz 12540	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
13		prmz 16639	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
14	12, 13	anim12i 614	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ))
15	14	3adant3 1133	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑃) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ))
16		prmz 16639	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 ∈ ℙ → 𝑖 ∈ ℤ)
17	16	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑖 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ 𝑃)) → 𝑖 ∈ ℤ)
18	15, 17	anim12i 614	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑃) ∧ (𝑖 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ 𝑃))) → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ ℤ))
19		df-3an 1089	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ↔ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ ℤ))
20	18, 19	sylibr 234	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑃) ∧ (𝑖 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ 𝑃))) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ))
21		nnre 12176	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
22	21	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℝ)
23	5	sseli 3918	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 ∈ ℙ → 𝑖 ∈ ℝ)
24		ltle 11229	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑖 ∈ ℝ) → (𝑁 < 𝑖 → 𝑁 ≤ 𝑖))
25	22, 23, 24	syl2an 597	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑖 ∈ ℙ) → (𝑁 < 𝑖 → 𝑁 ≤ 𝑖))
26	25	anim1d 612	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑖 ∈ ℙ) → ((𝑁 < 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ 𝑃) → (𝑁 ≤ 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ 𝑃)))
27	26	ex 412	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑖 ∈ ℙ → ((𝑁 < 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ 𝑃) → (𝑁 ≤ 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ 𝑃))))
28	27	3adant3 1133	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑃) → (𝑖 ∈ ℙ → ((𝑁 < 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ 𝑃) → (𝑁 ≤ 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ 𝑃))))
29	28	imp32 418	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑃) ∧ (𝑖 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ 𝑃))) → (𝑁 ≤ 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ 𝑃))
30		elfz2 13463	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 ∈ (𝑁...𝑃) ↔ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≤ 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ 𝑃)))
31	20, 29, 30	sylanbrc 584	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑃) ∧ (𝑖 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ 𝑃))) → 𝑖 ∈ (𝑁...𝑃))
32	31	ex 412	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑃) → ((𝑖 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ 𝑃)) → 𝑖 ∈ (𝑁...𝑃)))
33	11, 32	biimtrid 242	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑃) → (𝑖 ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑃)} → 𝑖 ∈ (𝑁...𝑃)))
34	33	ssrdv 3928	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑃) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑃)} ⊆ (𝑁...𝑃))
35	7, 34	ssfid 9174	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑃) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑃)} ∈ Fin)
36		breq2 5090	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = 𝑃 → (𝑁 < 𝑝 ↔ 𝑁 < 𝑃))
37		breq1 5089	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = 𝑃 → (𝑝 ≤ 𝑃 ↔ 𝑃 ≤ 𝑃))
38	36, 37	anbi12d 633	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = 𝑃 → ((𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑃) ↔ (𝑁 < 𝑃 ∧ 𝑃 ≤ 𝑃)))
39		simp2 1138	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑃) → 𝑃 ∈ ℙ)
40		prmnn 16638	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
41	40	nnred 12184	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℝ)
42	41	leidd 11711	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ≤ 𝑃)
43	42	anim1ci 617	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑃) → (𝑁 < 𝑃 ∧ 𝑃 ≤ 𝑃))
44	43	3adant1 1131	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑃) → (𝑁 < 𝑃 ∧ 𝑃 ≤ 𝑃))
45	38, 39, 44	elrabd 3637	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑃) → 𝑃 ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑃)})
46	45	ne0d 4283	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑃) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑃)} ≠ ∅)
47		prmgaplem4.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑃)}
48		sseq1 3948	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑃)} → (𝐴 ⊆ ℝ ↔ {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑃)} ⊆ ℝ))
49		eleq1 2825	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑃)} → (𝐴 ∈ Fin ↔ {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑃)} ∈ Fin))
50		neeq1 2995	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑃)} → (𝐴 ≠ ∅ ↔ {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑃)} ≠ ∅))
51	48, 49, 50	3anbi123d 1439	. . . 4 ⊢ (𝐴 = {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑃)} → ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) ↔ ({𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑃)} ⊆ ℝ ∧ {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑃)} ∈ Fin ∧ {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑃)} ≠ ∅)))
52	47, 51	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) ↔ ({𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑃)} ⊆ ℝ ∧ {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑃)} ∈ Fin ∧ {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑃)} ≠ ∅))
53	6, 35, 46, 52	syl3anbrc 1345	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑃) → (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅))
54		fiminre 12098	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)
55	53, 54	syl 17	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑃) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∀wral 3052  ∃wrex 3062  {crab 3390   ⊆ wss 3890  ∅c0 4274   class class class wbr 5086  (class class class)co 7362  Fincfn 8888  ℝcr 11032   < clt 11174   ≤ cle 11175  ℕcn 12169  ℤcz 12519  ...cfz 13456  ℙcprime 16635

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5304  ax-pr 5372  ax-un 7684  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5521  df-eprel 5526  df-po 5534  df-so 5535  df-fr 5579  df-we 5581  df-xp 5632  df-rel 5633  df-cnv 5634  df-co 5635  df-dm 5636  df-rn 5637  df-res 5638  df-ima 5639  df-pred 6261  df-ord 6322  df-on 6323  df-lim 6324  df-suc 6325  df-iota 6450  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-riota 7319  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7813  df-1st 7937  df-2nd 7938  df-frecs 8226  df-wrecs 8257  df-recs 8306  df-rdg 8344  df-1o 8400  df-er 8638  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-fin 8892  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-nn 12170  df-n0 12433  df-z 12520  df-uz 12784  df-fz 13457  df-prm 16636

This theorem is referenced by:  prmgaplem6  17022