Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prmgaplem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prmgaplem4 16129
 Description: Lemma for prmgap 16134. (Contributed by AV, 10-Aug-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
prmgaplem4.a 𝐴 = {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝𝑝𝑃)}
Assertion
Ref Expression
prmgaplem4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑃) → ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑥𝑦)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑁,𝑝   𝑃,𝑝
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑝)   𝑃(𝑥,𝑦)   𝑁(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem prmgaplem4
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssrab2 3912 . . . . 5 {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝𝑝𝑃)} ⊆ ℙ
21a1i 11 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑃) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝𝑝𝑃)} ⊆ ℙ)
3 prmssnn 15762 . . . . 5 ℙ ⊆ ℕ
4 nnssre 11354 . . . . 5 ℕ ⊆ ℝ
53, 4sstri 3836 . . . 4 ℙ ⊆ ℝ
62, 5syl6ss 3839 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑃) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝𝑝𝑃)} ⊆ ℝ)
7 fzfid 13067 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑃) → (𝑁...𝑃) ∈ Fin)
8 breq2 4877 . . . . . . . 8 (𝑝 = 𝑖 → (𝑁 < 𝑝𝑁 < 𝑖))
9 breq1 4876 . . . . . . . 8 (𝑝 = 𝑖 → (𝑝𝑃𝑖𝑃))
108, 9anbi12d 624 . . . . . . 7 (𝑝 = 𝑖 → ((𝑁 < 𝑝𝑝𝑃) ↔ (𝑁 < 𝑖𝑖𝑃)))
1110elrab 3585 . . . . . 6 (𝑖 ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝𝑝𝑃)} ↔ (𝑖 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑖𝑖𝑃)))
12 nnz 11727 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
13 prmz 15761 . . . . . . . . . . . 12 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
1412, 13anim12i 606 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ))
15143adant3 1166 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑃) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ))
16 prmz 15761 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 ∈ ℙ → 𝑖 ∈ ℤ)
1716adantr 474 . . . . . . . . . 10 ((𝑖 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑖𝑖𝑃)) → 𝑖 ∈ ℤ)
1815, 17anim12i 606 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑃) ∧ (𝑖 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑖𝑖𝑃))) → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ ℤ))
19 df-3an 1113 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ↔ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ ℤ))
2018, 19sylibr 226 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑃) ∧ (𝑖 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑖𝑖𝑃))) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ))
21 nnre 11358 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
2221adantr 474 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℝ)
235sseli 3823 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 ∈ ℙ → 𝑖 ∈ ℝ)
24 ltle 10445 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑖 ∈ ℝ) → (𝑁 < 𝑖𝑁𝑖))
2522, 23, 24syl2an 589 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑖 ∈ ℙ) → (𝑁 < 𝑖𝑁𝑖))
2625anim1d 604 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑖 ∈ ℙ) → ((𝑁 < 𝑖𝑖𝑃) → (𝑁𝑖𝑖𝑃)))
2726ex 403 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑖 ∈ ℙ → ((𝑁 < 𝑖𝑖𝑃) → (𝑁𝑖𝑖𝑃))))
28273adant3 1166 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑃) → (𝑖 ∈ ℙ → ((𝑁 < 𝑖𝑖𝑃) → (𝑁𝑖𝑖𝑃))))
2928imp32 411 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑃) ∧ (𝑖 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑖𝑖𝑃))) → (𝑁𝑖𝑖𝑃))
30 elfz2 12626 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ (𝑁...𝑃) ↔ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ (𝑁𝑖𝑖𝑃)))
3120, 29, 30sylanbrc 578 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑃) ∧ (𝑖 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑖𝑖𝑃))) → 𝑖 ∈ (𝑁...𝑃))
3231ex 403 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑃) → ((𝑖 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑖𝑖𝑃)) → 𝑖 ∈ (𝑁...𝑃)))
3311, 32syl5bi 234 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑃) → (𝑖 ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝𝑝𝑃)} → 𝑖 ∈ (𝑁...𝑃)))
3433ssrdv 3833 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑃) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝𝑝𝑃)} ⊆ (𝑁...𝑃))
35 ssfi 8449 . . . 4 (((𝑁...𝑃) ∈ Fin ∧ {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝𝑝𝑃)} ⊆ (𝑁...𝑃)) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝𝑝𝑃)} ∈ Fin)
367, 34, 35syl2anc 579 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑃) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝𝑝𝑃)} ∈ Fin)
37 simp2 1171 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑃) → 𝑃 ∈ ℙ)
38 prmnn 15760 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
3938nnred 11367 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℝ)
4039leidd 10918 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃𝑃)
4140anim1i 608 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑃) → (𝑃𝑃𝑁 < 𝑃))
4241ancomd 455 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑃) → (𝑁 < 𝑃𝑃𝑃))
43423adant1 1164 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑃) → (𝑁 < 𝑃𝑃𝑃))
44 breq2 4877 . . . . . . 7 (𝑝 = 𝑃 → (𝑁 < 𝑝𝑁 < 𝑃))
45 breq1 4876 . . . . . . 7 (𝑝 = 𝑃 → (𝑝𝑃𝑃𝑃))
4644, 45anbi12d 624 . . . . . 6 (𝑝 = 𝑃 → ((𝑁 < 𝑝𝑝𝑃) ↔ (𝑁 < 𝑃𝑃𝑃)))
4746elrab 3585 . . . . 5 (𝑃 ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝𝑝𝑃)} ↔ (𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑃𝑃𝑃)))
4837, 43, 47sylanbrc 578 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑃) → 𝑃 ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝𝑝𝑃)})
4948ne0d 4151 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑃) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝𝑝𝑃)} ≠ ∅)
50 prmgaplem4.a . . . 4 𝐴 = {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝𝑝𝑃)}
51 sseq1 3851 . . . . 5 (𝐴 = {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝𝑝𝑃)} → (𝐴 ⊆ ℝ ↔ {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝𝑝𝑃)} ⊆ ℝ))
52 eleq1 2894 . . . . 5 (𝐴 = {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝𝑝𝑃)} → (𝐴 ∈ Fin ↔ {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝𝑝𝑃)} ∈ Fin))
53 neeq1 3061 . . . . 5 (𝐴 = {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝𝑝𝑃)} → (𝐴 ≠ ∅ ↔ {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝𝑝𝑃)} ≠ ∅))
5451, 52, 533anbi123d 1564 . . . 4 (𝐴 = {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝𝑝𝑃)} → ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) ↔ ({𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝𝑝𝑃)} ⊆ ℝ ∧ {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝𝑝𝑃)} ∈ Fin ∧ {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝𝑝𝑃)} ≠ ∅)))
5550, 54ax-mp 5 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) ↔ ({𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝𝑝𝑃)} ⊆ ℝ ∧ {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝𝑝𝑃)} ∈ Fin ∧ {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝𝑝𝑃)} ≠ ∅))
566, 36, 49, 55syl3anbrc 1447 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑃) → (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅))
57 fiminre 11302 . 2 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑥𝑦)
5856, 57syl 17 1 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑃) → ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑥𝑦)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   ∧ w3a 1111   = wceq 1656   ∈ wcel 2164   ≠ wne 2999  ∀wral 3117  ∃wrex 3118  {crab 3121   ⊆ wss 3798  ∅c0 4144   class class class wbr 4873  (class class class)co 6905  Fincfn 8222  ℝcr 10251   < clt 10391   ≤ cle 10392  ℕcn 11350  ℤcz 11704  ...cfz 12619  ℙcprime 15757 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4994  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209  ax-cnex 10308  ax-resscn 10309  ax-1cn 10310  ax-icn 10311  ax-addcl 10312  ax-addrcl 10313  ax-mulcl 10314  ax-mulrcl 10315  ax-mulcom 10316  ax-addass 10317  ax-mulass 10318  ax-distr 10319  ax-i2m1 10320  ax-1ne0 10321  ax-1rid 10322  ax-rnegex 10323  ax-rrecex 10324  ax-cnre 10325  ax-pre-lttri 10326  ax-pre-lttrn 10327  ax-pre-ltadd 10328  ax-pre-mulgt0 10329 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4659  df-int 4698  df-iun 4742  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-tr 4976  df-id 5250  df-eprel 5255  df-po 5263  df-so 5264  df-fr 5301  df-we 5303  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-pred 5920  df-ord 5966  df-on 5967  df-lim 5968  df-suc 5969  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-riota 6866  df-ov 6908  df-oprab 6909  df-mpt2 6910  df-om 7327  df-1st 7428  df-2nd 7429  df-wrecs 7672  df-recs 7734  df-rdg 7772  df-1o 7826  df-oadd 7830  df-er 8009  df-en 8223  df-dom 8224  df-sdom 8225  df-fin 8226  df-pnf 10393  df-mnf 10394  df-xr 10395  df-ltxr 10396  df-le 10397  df-sub 10587  df-neg 10588  df-nn 11351  df-n0 11619  df-z 11705  df-uz 11969  df-fz 12620  df-prm 15758 This theorem is referenced by:  prmgaplem6  16131
 Copyright terms: Public domain W3C validator