Theorem prmgaplem4 17072

Description: Lemma for prmgap 17077. (Contributed by AV, 10-Aug-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
prmgaplem4.a	⊢ 𝐴 = {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑃)}

Assertion

Ref	Expression
prmgaplem4	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑃) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑁,𝑝   𝑃,𝑝

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑝)   𝑃(𝑥,𝑦)   𝑁(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem prmgaplem4

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssrab2 4055	. . . . 5 ⊢ {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑃)} ⊆ ℙ
2	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑃) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑃)} ⊆ ℙ)
3		prmssnn 16693	. . . . 5 ⊢ ℙ ⊆ ℕ
4		nnssre 12242	. . . . 5 ⊢ ℕ ⊆ ℝ
5	3, 4	sstri 3968	. . . 4 ⊢ ℙ ⊆ ℝ
6	2, 5	sstrdi 3971	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑃) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑃)} ⊆ ℝ)
7		fzfid 13989	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑃) → (𝑁...𝑃) ∈ Fin)
8		breq2 5123	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 = 𝑖 → (𝑁 < 𝑝 ↔ 𝑁 < 𝑖))
9		breq1 5122	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 = 𝑖 → (𝑝 ≤ 𝑃 ↔ 𝑖 ≤ 𝑃))
10	8, 9	anbi12d 632	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = 𝑖 → ((𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑃) ↔ (𝑁 < 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ 𝑃)))
11	10	elrab 3671	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑃)} ↔ (𝑖 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ 𝑃)))
12		nnz 12607	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
13		prmz 16692	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
14	12, 13	anim12i 613	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ))
15	14	3adant3 1132	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑃) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ))
16		prmz 16692	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 ∈ ℙ → 𝑖 ∈ ℤ)
17	16	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑖 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ 𝑃)) → 𝑖 ∈ ℤ)
18	15, 17	anim12i 613	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑃) ∧ (𝑖 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ 𝑃))) → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ ℤ))
19		df-3an 1088	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ↔ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ ℤ))
20	18, 19	sylibr 234	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑃) ∧ (𝑖 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ 𝑃))) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ))
21		nnre 12245	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
22	21	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℝ)
23	5	sseli 3954	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 ∈ ℙ → 𝑖 ∈ ℝ)
24		ltle 11321	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑖 ∈ ℝ) → (𝑁 < 𝑖 → 𝑁 ≤ 𝑖))
25	22, 23, 24	syl2an 596	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑖 ∈ ℙ) → (𝑁 < 𝑖 → 𝑁 ≤ 𝑖))
26	25	anim1d 611	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑖 ∈ ℙ) → ((𝑁 < 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ 𝑃) → (𝑁 ≤ 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ 𝑃)))
27	26	ex 412	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑖 ∈ ℙ → ((𝑁 < 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ 𝑃) → (𝑁 ≤ 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ 𝑃))))
28	27	3adant3 1132	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑃) → (𝑖 ∈ ℙ → ((𝑁 < 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ 𝑃) → (𝑁 ≤ 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ 𝑃))))
29	28	imp32 418	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑃) ∧ (𝑖 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ 𝑃))) → (𝑁 ≤ 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ 𝑃))
30		elfz2 13529	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 ∈ (𝑁...𝑃) ↔ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≤ 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ 𝑃)))
31	20, 29, 30	sylanbrc 583	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑃) ∧ (𝑖 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ 𝑃))) → 𝑖 ∈ (𝑁...𝑃))
32	31	ex 412	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑃) → ((𝑖 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑖 ∧ 𝑖 ≤ 𝑃)) → 𝑖 ∈ (𝑁...𝑃)))
33	11, 32	biimtrid 242	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑃) → (𝑖 ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑃)} → 𝑖 ∈ (𝑁...𝑃)))
34	33	ssrdv 3964	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑃) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑃)} ⊆ (𝑁...𝑃))
35	7, 34	ssfid 9271	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑃) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑃)} ∈ Fin)
36		breq2 5123	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = 𝑃 → (𝑁 < 𝑝 ↔ 𝑁 < 𝑃))
37		breq1 5122	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = 𝑃 → (𝑝 ≤ 𝑃 ↔ 𝑃 ≤ 𝑃))
38	36, 37	anbi12d 632	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = 𝑃 → ((𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑃) ↔ (𝑁 < 𝑃 ∧ 𝑃 ≤ 𝑃)))
39		simp2 1137	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑃) → 𝑃 ∈ ℙ)
40		prmnn 16691	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
41	40	nnred 12253	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℝ)
42	41	leidd 11801	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ≤ 𝑃)
43	42	anim1ci 616	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑃) → (𝑁 < 𝑃 ∧ 𝑃 ≤ 𝑃))
44	43	3adant1 1130	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑃) → (𝑁 < 𝑃 ∧ 𝑃 ≤ 𝑃))
45	38, 39, 44	elrabd 3673	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑃) → 𝑃 ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑃)})
46	45	ne0d 4317	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑃) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑃)} ≠ ∅)
47		prmgaplem4.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑃)}
48		sseq1 3984	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑃)} → (𝐴 ⊆ ℝ ↔ {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑃)} ⊆ ℝ))
49		eleq1 2822	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑃)} → (𝐴 ∈ Fin ↔ {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑃)} ∈ Fin))
50		neeq1 2994	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑃)} → (𝐴 ≠ ∅ ↔ {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑃)} ≠ ∅))
51	48, 49, 50	3anbi123d 1438	. . . 4 ⊢ (𝐴 = {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑃)} → ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) ↔ ({𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑃)} ⊆ ℝ ∧ {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑃)} ∈ Fin ∧ {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑃)} ≠ ∅)))
52	47, 51	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) ↔ ({𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑃)} ⊆ ℝ ∧ {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑃)} ∈ Fin ∧ {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝 ∧ 𝑝 ≤ 𝑃)} ≠ ∅))
53	6, 35, 46, 52	syl3anbrc 1344	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑃) → (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅))
54		fiminre 12187	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)
55	53, 54	syl 17	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑃) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2932  ∀wral 3051  ∃wrex 3060  {crab 3415   ⊆ wss 3926  ∅c0 4308   class class class wbr 5119  (class class class)co 7403  Fincfn 8957  ℝcr 11126   < clt 11267   ≤ cle 11268  ℕcn 12238  ℤcz 12586  ...cfz 13522  ℙcprime 16688

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7727  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6483  df-fun 6532  df-fn 6533  df-f 6534  df-f1 6535  df-fo 6536  df-f1o 6537  df-fv 6538  df-riota 7360  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-om 7860  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-er 8717  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11466  df-neg 11467  df-nn 12239  df-n0 12500  df-z 12587  df-uz 12851  df-fz 13523  df-prm 16689

This theorem is referenced by:  prmgaplem6  17074