MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prmgaplem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prmgaplem4 16987
Description: Lemma for prmgap 16992. (Contributed by AV, 10-Aug-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
prmgaplem4.a 𝐴 = {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝𝑝𝑃)}
Assertion
Ref Expression
prmgaplem4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑃) → ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑥𝑦)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑁,𝑝   𝑃,𝑝
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑝)   𝑃(𝑥,𝑦)   𝑁(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem prmgaplem4
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssrab2 4078 . . . . 5 {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝𝑝𝑃)} ⊆ ℙ
21a1i 11 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑃) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝𝑝𝑃)} ⊆ ℙ)
3 prmssnn 16613 . . . . 5 ℙ ⊆ ℕ
4 nnssre 12216 . . . . 5 ℕ ⊆ ℝ
53, 4sstri 3992 . . . 4 ℙ ⊆ ℝ
62, 5sstrdi 3995 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑃) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝𝑝𝑃)} ⊆ ℝ)
7 fzfid 13938 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑃) → (𝑁...𝑃) ∈ Fin)
8 breq2 5153 . . . . . . . 8 (𝑝 = 𝑖 → (𝑁 < 𝑝𝑁 < 𝑖))
9 breq1 5152 . . . . . . . 8 (𝑝 = 𝑖 → (𝑝𝑃𝑖𝑃))
108, 9anbi12d 632 . . . . . . 7 (𝑝 = 𝑖 → ((𝑁 < 𝑝𝑝𝑃) ↔ (𝑁 < 𝑖𝑖𝑃)))
1110elrab 3684 . . . . . 6 (𝑖 ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝𝑝𝑃)} ↔ (𝑖 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑖𝑖𝑃)))
12 nnz 12579 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
13 prmz 16612 . . . . . . . . . . . 12 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
1412, 13anim12i 614 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ))
15143adant3 1133 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑃) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ))
16 prmz 16612 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 ∈ ℙ → 𝑖 ∈ ℤ)
1716adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((𝑖 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑖𝑖𝑃)) → 𝑖 ∈ ℤ)
1815, 17anim12i 614 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑃) ∧ (𝑖 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑖𝑖𝑃))) → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ ℤ))
19 df-3an 1090 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ↔ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ ℤ))
2018, 19sylibr 233 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑃) ∧ (𝑖 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑖𝑖𝑃))) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ))
21 nnre 12219 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
2221adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℝ)
235sseli 3979 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 ∈ ℙ → 𝑖 ∈ ℝ)
24 ltle 11302 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑖 ∈ ℝ) → (𝑁 < 𝑖𝑁𝑖))
2522, 23, 24syl2an 597 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑖 ∈ ℙ) → (𝑁 < 𝑖𝑁𝑖))
2625anim1d 612 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑖 ∈ ℙ) → ((𝑁 < 𝑖𝑖𝑃) → (𝑁𝑖𝑖𝑃)))
2726ex 414 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑖 ∈ ℙ → ((𝑁 < 𝑖𝑖𝑃) → (𝑁𝑖𝑖𝑃))))
28273adant3 1133 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑃) → (𝑖 ∈ ℙ → ((𝑁 < 𝑖𝑖𝑃) → (𝑁𝑖𝑖𝑃))))
2928imp32 420 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑃) ∧ (𝑖 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑖𝑖𝑃))) → (𝑁𝑖𝑖𝑃))
30 elfz2 13491 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ (𝑁...𝑃) ↔ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ (𝑁𝑖𝑖𝑃)))
3120, 29, 30sylanbrc 584 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑃) ∧ (𝑖 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑖𝑖𝑃))) → 𝑖 ∈ (𝑁...𝑃))
3231ex 414 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑃) → ((𝑖 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑖𝑖𝑃)) → 𝑖 ∈ (𝑁...𝑃)))
3311, 32biimtrid 241 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑃) → (𝑖 ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝𝑝𝑃)} → 𝑖 ∈ (𝑁...𝑃)))
3433ssrdv 3989 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑃) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝𝑝𝑃)} ⊆ (𝑁...𝑃))
357, 34ssfid 9267 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑃) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝𝑝𝑃)} ∈ Fin)
36 breq2 5153 . . . . . 6 (𝑝 = 𝑃 → (𝑁 < 𝑝𝑁 < 𝑃))
37 breq1 5152 . . . . . 6 (𝑝 = 𝑃 → (𝑝𝑃𝑃𝑃))
3836, 37anbi12d 632 . . . . 5 (𝑝 = 𝑃 → ((𝑁 < 𝑝𝑝𝑃) ↔ (𝑁 < 𝑃𝑃𝑃)))
39 simp2 1138 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑃) → 𝑃 ∈ ℙ)
40 prmnn 16611 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
4140nnred 12227 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℝ)
4241leidd 11780 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃𝑃)
4342anim1ci 617 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑃) → (𝑁 < 𝑃𝑃𝑃))
44433adant1 1131 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑃) → (𝑁 < 𝑃𝑃𝑃))
4538, 39, 44elrabd 3686 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑃) → 𝑃 ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝𝑝𝑃)})
4645ne0d 4336 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑃) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝𝑝𝑃)} ≠ ∅)
47 prmgaplem4.a . . . 4 𝐴 = {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝𝑝𝑃)}
48 sseq1 4008 . . . . 5 (𝐴 = {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝𝑝𝑃)} → (𝐴 ⊆ ℝ ↔ {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝𝑝𝑃)} ⊆ ℝ))
49 eleq1 2822 . . . . 5 (𝐴 = {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝𝑝𝑃)} → (𝐴 ∈ Fin ↔ {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝𝑝𝑃)} ∈ Fin))
50 neeq1 3004 . . . . 5 (𝐴 = {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝𝑝𝑃)} → (𝐴 ≠ ∅ ↔ {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝𝑝𝑃)} ≠ ∅))
5148, 49, 503anbi123d 1437 . . . 4 (𝐴 = {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝𝑝𝑃)} → ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) ↔ ({𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝𝑝𝑃)} ⊆ ℝ ∧ {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝𝑝𝑃)} ∈ Fin ∧ {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝𝑝𝑃)} ≠ ∅)))
5247, 51ax-mp 5 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) ↔ ({𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝𝑝𝑃)} ⊆ ℝ ∧ {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝𝑝𝑃)} ∈ Fin ∧ {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝𝑝𝑃)} ≠ ∅))
536, 35, 46, 52syl3anbrc 1344 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑃) → (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅))
54 fiminre 12161 . 2 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑥𝑦)
5553, 54syl 17 1 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑃) → ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑥𝑦)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2941  wral 3062  wrex 3071  {crab 3433  wss 3949  c0 4323   class class class wbr 5149  (class class class)co 7409  Fincfn 8939  cr 11109   < clt 11248  cle 11249  cn 12212  cz 12558  ...cfz 13484  cprime 16608
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-fz 13485  df-prm 16609
This theorem is referenced by:  prmgaplem6  16989
  Copyright terms: Public domain W3C validator