MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prmgaplem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prmgaplem4 16490
Description: Lemma for prmgap 16495. (Contributed by AV, 10-Aug-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
prmgaplem4.a 𝐴 = {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝𝑝𝑃)}
Assertion
Ref Expression
prmgaplem4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑃) → ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑥𝑦)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑁,𝑝   𝑃,𝑝
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑝)   𝑃(𝑥,𝑦)   𝑁(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem prmgaplem4
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssrab2 3969 . . . . 5 {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝𝑝𝑃)} ⊆ ℙ
21a1i 11 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑃) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝𝑝𝑃)} ⊆ ℙ)
3 prmssnn 16117 . . . . 5 ℙ ⊆ ℕ
4 nnssre 11720 . . . . 5 ℕ ⊆ ℝ
53, 4sstri 3886 . . . 4 ℙ ⊆ ℝ
62, 5sstrdi 3889 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑃) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝𝑝𝑃)} ⊆ ℝ)
7 fzfid 13432 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑃) → (𝑁...𝑃) ∈ Fin)
8 breq2 5034 . . . . . . . 8 (𝑝 = 𝑖 → (𝑁 < 𝑝𝑁 < 𝑖))
9 breq1 5033 . . . . . . . 8 (𝑝 = 𝑖 → (𝑝𝑃𝑖𝑃))
108, 9anbi12d 634 . . . . . . 7 (𝑝 = 𝑖 → ((𝑁 < 𝑝𝑝𝑃) ↔ (𝑁 < 𝑖𝑖𝑃)))
1110elrab 3588 . . . . . 6 (𝑖 ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝𝑝𝑃)} ↔ (𝑖 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑖𝑖𝑃)))
12 nnz 12085 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
13 prmz 16116 . . . . . . . . . . . 12 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
1412, 13anim12i 616 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ))
15143adant3 1133 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑃) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ))
16 prmz 16116 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 ∈ ℙ → 𝑖 ∈ ℤ)
1716adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝑖 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑖𝑖𝑃)) → 𝑖 ∈ ℤ)
1815, 17anim12i 616 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑃) ∧ (𝑖 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑖𝑖𝑃))) → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ ℤ))
19 df-3an 1090 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ↔ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) ∧ 𝑖 ∈ ℤ))
2018, 19sylibr 237 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑃) ∧ (𝑖 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑖𝑖𝑃))) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ))
21 nnre 11723 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
2221adantr 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℝ)
235sseli 3873 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 ∈ ℙ → 𝑖 ∈ ℝ)
24 ltle 10807 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑖 ∈ ℝ) → (𝑁 < 𝑖𝑁𝑖))
2522, 23, 24syl2an 599 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑖 ∈ ℙ) → (𝑁 < 𝑖𝑁𝑖))
2625anim1d 614 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑖 ∈ ℙ) → ((𝑁 < 𝑖𝑖𝑃) → (𝑁𝑖𝑖𝑃)))
2726ex 416 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑖 ∈ ℙ → ((𝑁 < 𝑖𝑖𝑃) → (𝑁𝑖𝑖𝑃))))
28273adant3 1133 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑃) → (𝑖 ∈ ℙ → ((𝑁 < 𝑖𝑖𝑃) → (𝑁𝑖𝑖𝑃))))
2928imp32 422 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑃) ∧ (𝑖 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑖𝑖𝑃))) → (𝑁𝑖𝑖𝑃))
30 elfz2 12988 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ (𝑁...𝑃) ↔ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ ℤ) ∧ (𝑁𝑖𝑖𝑃)))
3120, 29, 30sylanbrc 586 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑃) ∧ (𝑖 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑖𝑖𝑃))) → 𝑖 ∈ (𝑁...𝑃))
3231ex 416 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑃) → ((𝑖 ∈ ℙ ∧ (𝑁 < 𝑖𝑖𝑃)) → 𝑖 ∈ (𝑁...𝑃)))
3311, 32syl5bi 245 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑃) → (𝑖 ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝𝑝𝑃)} → 𝑖 ∈ (𝑁...𝑃)))
3433ssrdv 3883 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑃) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝𝑝𝑃)} ⊆ (𝑁...𝑃))
357, 34ssfid 8819 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑃) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝𝑝𝑃)} ∈ Fin)
36 breq2 5034 . . . . . 6 (𝑝 = 𝑃 → (𝑁 < 𝑝𝑁 < 𝑃))
37 breq1 5033 . . . . . 6 (𝑝 = 𝑃 → (𝑝𝑃𝑃𝑃))
3836, 37anbi12d 634 . . . . 5 (𝑝 = 𝑃 → ((𝑁 < 𝑝𝑝𝑃) ↔ (𝑁 < 𝑃𝑃𝑃)))
39 simp2 1138 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑃) → 𝑃 ∈ ℙ)
40 prmnn 16115 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
4140nnred 11731 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℝ)
4241leidd 11284 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃𝑃)
4342anim1ci 619 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑃) → (𝑁 < 𝑃𝑃𝑃))
44433adant1 1131 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑃) → (𝑁 < 𝑃𝑃𝑃))
4538, 39, 44elrabd 3590 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑃) → 𝑃 ∈ {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝𝑝𝑃)})
4645ne0d 4224 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑃) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝𝑝𝑃)} ≠ ∅)
47 prmgaplem4.a . . . 4 𝐴 = {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝𝑝𝑃)}
48 sseq1 3902 . . . . 5 (𝐴 = {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝𝑝𝑃)} → (𝐴 ⊆ ℝ ↔ {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝𝑝𝑃)} ⊆ ℝ))
49 eleq1 2820 . . . . 5 (𝐴 = {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝𝑝𝑃)} → (𝐴 ∈ Fin ↔ {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝𝑝𝑃)} ∈ Fin))
50 neeq1 2996 . . . . 5 (𝐴 = {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝𝑝𝑃)} → (𝐴 ≠ ∅ ↔ {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝𝑝𝑃)} ≠ ∅))
5148, 49, 503anbi123d 1437 . . . 4 (𝐴 = {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝𝑝𝑃)} → ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) ↔ ({𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝𝑝𝑃)} ⊆ ℝ ∧ {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝𝑝𝑃)} ∈ Fin ∧ {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝𝑝𝑃)} ≠ ∅)))
5247, 51ax-mp 5 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) ↔ ({𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝𝑝𝑃)} ⊆ ℝ ∧ {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝𝑝𝑃)} ∈ Fin ∧ {𝑝 ∈ ℙ ∣ (𝑁 < 𝑝𝑝𝑃)} ≠ ∅))
536, 35, 46, 52syl3anbrc 1344 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑃) → (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅))
54 fiminre 11665 . 2 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑥𝑦)
5553, 54syl 17 1 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 < 𝑃) → ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑥𝑦)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2114  wne 2934  wral 3053  wrex 3054  {crab 3057  wss 3843  c0 4211   class class class wbr 5030  (class class class)co 7170  Fincfn 8555  cr 10614   < clt 10753  cle 10754  cn 11716  cz 12062  ...cfz 12981  cprime 16112
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7479  ax-cnex 10671  ax-resscn 10672  ax-1cn 10673  ax-icn 10674  ax-addcl 10675  ax-addrcl 10676  ax-mulcl 10677  ax-mulrcl 10678  ax-mulcom 10679  ax-addass 10680  ax-mulass 10681  ax-distr 10682  ax-i2m1 10683  ax-1ne0 10684  ax-1rid 10685  ax-rnegex 10686  ax-rrecex 10687  ax-cnre 10688  ax-pre-lttri 10689  ax-pre-lttrn 10690  ax-pre-ltadd 10691  ax-pre-mulgt0 10692
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-pss 3862  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-tp 4521  df-op 4523  df-uni 4797  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-riota 7127  df-ov 7173  df-oprab 7174  df-mpo 7175  df-om 7600  df-1st 7714  df-2nd 7715  df-wrecs 7976  df-recs 8037  df-rdg 8075  df-1o 8131  df-er 8320  df-en 8556  df-dom 8557  df-sdom 8558  df-fin 8559  df-pnf 10755  df-mnf 10756  df-xr 10757  df-ltxr 10758  df-le 10759  df-sub 10950  df-neg 10951  df-nn 11717  df-n0 11977  df-z 12063  df-uz 12325  df-fz 12982  df-prm 16113
This theorem is referenced by:  prmgaplem6  16492
  Copyright terms: Public domain W3C validator