Theorem fin34i 10043

Description: Inference from isfin3-4 10044. (Contributed by Mario Carneiro, 17-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fin34i	⊢ ((𝐴 ∈ FinIII ∧ 𝐺:ω⟶𝒫 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ ω (𝐺‘𝑥) ⊆ (𝐺‘suc 𝑥)) → ∪ ran 𝐺 ∈ ran 𝐺)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐺

Proof of Theorem fin34i

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2739	. 2 ⊢ (𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ (𝐴 ∖ 𝑦)) = (𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ (𝐴 ∖ 𝑦))
2	1	isf34lem7 10041	1 ⊢ ((𝐴 ∈ FinIII ∧ 𝐺:ω⟶𝒫 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ ω (𝐺‘𝑥) ⊆ (𝐺‘suc 𝑥)) → ∪ ran 𝐺 ∈ ran 𝐺)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1089   ∈ wcel 2112  ∀wral 3064   ∖ cdif 3881   ⊆ wss 3884  𝒫 cpw 4530  ∪ cuni 4836   ↦ cmpt 5152  ran crn 5580  suc csuc 6250  ⟶wf 6411  ‘cfv 6415  ωcom 7684  Fin^IIIcfin3 9943

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2710  ax-rep 5203  ax-sep 5216  ax-nul 5223  ax-pow 5282  ax-pr 5346  ax-un 7563

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2818  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rmo 3072  df-rab 3073  df-v 3425  df-sbc 3713  df-csb 3830  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4255  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5153  df-tr 5186  df-id 5479  df-eprel 5485  df-po 5493  df-so 5494  df-fr 5534  df-se 5535  df-we 5536  df-xp 5585  df-rel 5586  df-cnv 5587  df-co 5588  df-dm 5589  df-rn 5590  df-res 5591  df-ima 5592  df-pred 6189  df-ord 6251  df-on 6252  df-lim 6253  df-suc 6254  df-iota 6373  df-fun 6417  df-fn 6418  df-f 6419  df-f1 6420  df-fo 6421  df-f1o 6422  df-fv 6423  df-isom 6424  df-riota 7209  df-rpss 7551  df-om 7685  df-wrecs 8089  df-recs 8150  df-rdg 8188  df-1o 8244  df-er 8433  df-en 8669  df-dom 8670  df-sdom 8671  df-fin 8672  df-wdom 9229  df-card 9603  df-fin4 9949  df-fin3 9950

This theorem is referenced by:  fin1a2lem12  10073