MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fin34i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fin34i 10421
Description: Inference from isfin3-4 10422. (Contributed by Mario Carneiro, 17-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
fin34i ((𝐴 ∈ FinIII𝐺:ω⟶𝒫 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ ω (𝐺𝑥) ⊆ (𝐺‘suc 𝑥)) → ran 𝐺 ∈ ran 𝐺)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐺

Proof of Theorem fin34i
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2737 . 2 (𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ (𝐴𝑦)) = (𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ (𝐴𝑦))
21isf34lem7 10419 1 ((𝐴 ∈ FinIII𝐺:ω⟶𝒫 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ ω (𝐺𝑥) ⊆ (𝐺‘suc 𝑥)) → ran 𝐺 ∈ ran 𝐺)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1087  wcel 2108  wral 3061  cdif 3948  wss 3951  𝒫 cpw 4600   cuni 4907  cmpt 5225  ran crn 5686  suc csuc 6386  wf 6557  cfv 6561  ωcom 7887  FinIIIcfin3 10321
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-rpss 7743  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-wdom 9605  df-card 9979  df-fin4 10327  df-fin3 10328
This theorem is referenced by:  fin1a2lem12  10451
  Copyright terms: Public domain W3C validator