MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fin34i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fin34i 9806
Description: Inference from isfin3-4 9807. (Contributed by Mario Carneiro, 17-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
fin34i ((𝐴 ∈ FinIII𝐺:ω⟶𝒫 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ ω (𝐺𝑥) ⊆ (𝐺‘suc 𝑥)) → ran 𝐺 ∈ ran 𝐺)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐺

Proof of Theorem fin34i
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2824 . 2 (𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ (𝐴𝑦)) = (𝑦 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ (𝐴𝑦))
21isf34lem7 9804 1 ((𝐴 ∈ FinIII𝐺:ω⟶𝒫 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ ω (𝐺𝑥) ⊆ (𝐺‘suc 𝑥)) → ran 𝐺 ∈ ran 𝐺)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1083  wcel 2113  wral 3141  cdif 3936  wss 3939  𝒫 cpw 4542   cuni 4841  cmpt 5149  ran crn 5559  suc csuc 6196  wf 6354  cfv 6358  ωcom 7583  FinIIIcfin3 9706
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-rep 5193  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333  ax-un 7464
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-ral 3146  df-rex 3147  df-reu 3148  df-rmo 3149  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-tp 4575  df-op 4577  df-uni 4842  df-int 4880  df-iun 4924  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-tr 5176  df-id 5463  df-eprel 5468  df-po 5477  df-so 5478  df-fr 5517  df-se 5518  df-we 5519  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-pred 6151  df-ord 6197  df-on 6198  df-lim 6199  df-suc 6200  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-isom 6367  df-riota 7117  df-rpss 7452  df-om 7584  df-wrecs 7950  df-recs 8011  df-rdg 8049  df-1o 8105  df-er 8292  df-en 8513  df-dom 8514  df-sdom 8515  df-fin 8516  df-wdom 9026  df-card 9371  df-fin4 9712  df-fin3 9713
This theorem is referenced by:  fin1a2lem12  9836
  Copyright terms: Public domain W3C validator