MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fin1a2lem12 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fin1a2lem12 10408
Description: Lemma for fin1a2 10412. (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 17-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
fin1a2lem12 (((𝐴 βŠ† 𝒫 𝐡 ∧ [⊊] Or 𝐴 ∧ Β¬ βˆͺ 𝐴 ∈ 𝐴) ∧ (𝐴 βŠ† Fin ∧ 𝐴 β‰  βˆ…)) β†’ Β¬ 𝐡 ∈ FinIII)

Proof of Theorem fin1a2lem12
Dummy variables 𝑑 𝑒 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 485 . . 3 ((((𝐴 βŠ† 𝒫 𝐡 ∧ [⊊] Or 𝐴 ∧ Β¬ βˆͺ 𝐴 ∈ 𝐴) ∧ (𝐴 βŠ† Fin ∧ 𝐴 β‰  βˆ…)) ∧ 𝐡 ∈ FinIII) β†’ 𝐡 ∈ FinIII)
2 simpll1 1212 . . . . . . 7 ((((𝐴 βŠ† 𝒫 𝐡 ∧ [⊊] Or 𝐴 ∧ Β¬ βˆͺ 𝐴 ∈ 𝐴) ∧ (𝐴 βŠ† Fin ∧ 𝐴 β‰  βˆ…)) ∧ 𝐡 ∈ FinIII) β†’ 𝐴 βŠ† 𝒫 𝐡)
32adantr 481 . . . . . 6 (((((𝐴 βŠ† 𝒫 𝐡 ∧ [⊊] Or 𝐴 ∧ Β¬ βˆͺ 𝐴 ∈ 𝐴) ∧ (𝐴 βŠ† Fin ∧ 𝐴 β‰  βˆ…)) ∧ 𝐡 ∈ FinIII) ∧ 𝑒 ∈ Ο‰) β†’ 𝐴 βŠ† 𝒫 𝐡)
4 ssrab2 4077 . . . . . . . 8 {𝑓 ∈ 𝐴 ∣ 𝑓 β‰Ό 𝑒} βŠ† 𝐴
54unissi 4917 . . . . . . 7 βˆͺ {𝑓 ∈ 𝐴 ∣ 𝑓 β‰Ό 𝑒} βŠ† βˆͺ 𝐴
6 sspwuni 5103 . . . . . . . 8 (𝐴 βŠ† 𝒫 𝐡 ↔ βˆͺ 𝐴 βŠ† 𝐡)
76biimpi 215 . . . . . . 7 (𝐴 βŠ† 𝒫 𝐡 β†’ βˆͺ 𝐴 βŠ† 𝐡)
85, 7sstrid 3993 . . . . . 6 (𝐴 βŠ† 𝒫 𝐡 β†’ βˆͺ {𝑓 ∈ 𝐴 ∣ 𝑓 β‰Ό 𝑒} βŠ† 𝐡)
93, 8syl 17 . . . . 5 (((((𝐴 βŠ† 𝒫 𝐡 ∧ [⊊] Or 𝐴 ∧ Β¬ βˆͺ 𝐴 ∈ 𝐴) ∧ (𝐴 βŠ† Fin ∧ 𝐴 β‰  βˆ…)) ∧ 𝐡 ∈ FinIII) ∧ 𝑒 ∈ Ο‰) β†’ βˆͺ {𝑓 ∈ 𝐴 ∣ 𝑓 β‰Ό 𝑒} βŠ† 𝐡)
10 elpw2g 5344 . . . . . 6 (𝐡 ∈ FinIII β†’ (βˆͺ {𝑓 ∈ 𝐴 ∣ 𝑓 β‰Ό 𝑒} ∈ 𝒫 𝐡 ↔ βˆͺ {𝑓 ∈ 𝐴 ∣ 𝑓 β‰Ό 𝑒} βŠ† 𝐡))
1110ad2antlr 725 . . . . 5 (((((𝐴 βŠ† 𝒫 𝐡 ∧ [⊊] Or 𝐴 ∧ Β¬ βˆͺ 𝐴 ∈ 𝐴) ∧ (𝐴 βŠ† Fin ∧ 𝐴 β‰  βˆ…)) ∧ 𝐡 ∈ FinIII) ∧ 𝑒 ∈ Ο‰) β†’ (βˆͺ {𝑓 ∈ 𝐴 ∣ 𝑓 β‰Ό 𝑒} ∈ 𝒫 𝐡 ↔ βˆͺ {𝑓 ∈ 𝐴 ∣ 𝑓 β‰Ό 𝑒} βŠ† 𝐡))
129, 11mpbird 256 . . . 4 (((((𝐴 βŠ† 𝒫 𝐡 ∧ [⊊] Or 𝐴 ∧ Β¬ βˆͺ 𝐴 ∈ 𝐴) ∧ (𝐴 βŠ† Fin ∧ 𝐴 β‰  βˆ…)) ∧ 𝐡 ∈ FinIII) ∧ 𝑒 ∈ Ο‰) β†’ βˆͺ {𝑓 ∈ 𝐴 ∣ 𝑓 β‰Ό 𝑒} ∈ 𝒫 𝐡)
1312fmpttd 7116 . . 3 ((((𝐴 βŠ† 𝒫 𝐡 ∧ [⊊] Or 𝐴 ∧ Β¬ βˆͺ 𝐴 ∈ 𝐴) ∧ (𝐴 βŠ† Fin ∧ 𝐴 β‰  βˆ…)) ∧ 𝐡 ∈ FinIII) β†’ (𝑒 ∈ Ο‰ ↦ βˆͺ {𝑓 ∈ 𝐴 ∣ 𝑓 β‰Ό 𝑒}):Ο‰βŸΆπ’« 𝐡)
14 vex 3478 . . . . . . . . . . 11 𝑑 ∈ V
1514sucex 7796 . . . . . . . . . 10 suc 𝑑 ∈ V
16 sssucid 6444 . . . . . . . . . 10 𝑑 βŠ† suc 𝑑
17 ssdomg 8998 . . . . . . . . . 10 (suc 𝑑 ∈ V β†’ (𝑑 βŠ† suc 𝑑 β†’ 𝑑 β‰Ό suc 𝑑))
1815, 16, 17mp2 9 . . . . . . . . 9 𝑑 β‰Ό suc 𝑑
19 domtr 9005 . . . . . . . . 9 ((𝑓 β‰Ό 𝑑 ∧ 𝑑 β‰Ό suc 𝑑) β†’ 𝑓 β‰Ό suc 𝑑)
2018, 19mpan2 689 . . . . . . . 8 (𝑓 β‰Ό 𝑑 β†’ 𝑓 β‰Ό suc 𝑑)
2120a1i 11 . . . . . . 7 (𝑓 ∈ 𝐴 β†’ (𝑓 β‰Ό 𝑑 β†’ 𝑓 β‰Ό suc 𝑑))
2221ss2rabi 4074 . . . . . 6 {𝑓 ∈ 𝐴 ∣ 𝑓 β‰Ό 𝑑} βŠ† {𝑓 ∈ 𝐴 ∣ 𝑓 β‰Ό suc 𝑑}
23 uniss 4916 . . . . . 6 ({𝑓 ∈ 𝐴 ∣ 𝑓 β‰Ό 𝑑} βŠ† {𝑓 ∈ 𝐴 ∣ 𝑓 β‰Ό suc 𝑑} β†’ βˆͺ {𝑓 ∈ 𝐴 ∣ 𝑓 β‰Ό 𝑑} βŠ† βˆͺ {𝑓 ∈ 𝐴 ∣ 𝑓 β‰Ό suc 𝑑})
2422, 23mp1i 13 . . . . 5 (((((𝐴 βŠ† 𝒫 𝐡 ∧ [⊊] Or 𝐴 ∧ Β¬ βˆͺ 𝐴 ∈ 𝐴) ∧ (𝐴 βŠ† Fin ∧ 𝐴 β‰  βˆ…)) ∧ 𝐡 ∈ FinIII) ∧ 𝑑 ∈ Ο‰) β†’ βˆͺ {𝑓 ∈ 𝐴 ∣ 𝑓 β‰Ό 𝑑} βŠ† βˆͺ {𝑓 ∈ 𝐴 ∣ 𝑓 β‰Ό suc 𝑑})
25 id 22 . . . . . 6 (𝑑 ∈ Ο‰ β†’ 𝑑 ∈ Ο‰)
26 pwexg 5376 . . . . . . . . 9 (𝐡 ∈ FinIII β†’ 𝒫 𝐡 ∈ V)
2726adantl 482 . . . . . . . 8 ((((𝐴 βŠ† 𝒫 𝐡 ∧ [⊊] Or 𝐴 ∧ Β¬ βˆͺ 𝐴 ∈ 𝐴) ∧ (𝐴 βŠ† Fin ∧ 𝐴 β‰  βˆ…)) ∧ 𝐡 ∈ FinIII) β†’ 𝒫 𝐡 ∈ V)
2827, 2ssexd 5324 . . . . . . 7 ((((𝐴 βŠ† 𝒫 𝐡 ∧ [⊊] Or 𝐴 ∧ Β¬ βˆͺ 𝐴 ∈ 𝐴) ∧ (𝐴 βŠ† Fin ∧ 𝐴 β‰  βˆ…)) ∧ 𝐡 ∈ FinIII) β†’ 𝐴 ∈ V)
29 rabexg 5331 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ V β†’ {𝑓 ∈ 𝐴 ∣ 𝑓 β‰Ό 𝑑} ∈ V)
30 uniexg 7732 . . . . . . 7 ({𝑓 ∈ 𝐴 ∣ 𝑓 β‰Ό 𝑑} ∈ V β†’ βˆͺ {𝑓 ∈ 𝐴 ∣ 𝑓 β‰Ό 𝑑} ∈ V)
3128, 29, 303syl 18 . . . . . 6 ((((𝐴 βŠ† 𝒫 𝐡 ∧ [⊊] Or 𝐴 ∧ Β¬ βˆͺ 𝐴 ∈ 𝐴) ∧ (𝐴 βŠ† Fin ∧ 𝐴 β‰  βˆ…)) ∧ 𝐡 ∈ FinIII) β†’ βˆͺ {𝑓 ∈ 𝐴 ∣ 𝑓 β‰Ό 𝑑} ∈ V)
32 breq2 5152 . . . . . . . . 9 (𝑒 = 𝑑 β†’ (𝑓 β‰Ό 𝑒 ↔ 𝑓 β‰Ό 𝑑))
3332rabbidv 3440 . . . . . . . 8 (𝑒 = 𝑑 β†’ {𝑓 ∈ 𝐴 ∣ 𝑓 β‰Ό 𝑒} = {𝑓 ∈ 𝐴 ∣ 𝑓 β‰Ό 𝑑})
3433unieqd 4922 . . . . . . 7 (𝑒 = 𝑑 β†’ βˆͺ {𝑓 ∈ 𝐴 ∣ 𝑓 β‰Ό 𝑒} = βˆͺ {𝑓 ∈ 𝐴 ∣ 𝑓 β‰Ό 𝑑})
35 eqid 2732 . . . . . . 7 (𝑒 ∈ Ο‰ ↦ βˆͺ {𝑓 ∈ 𝐴 ∣ 𝑓 β‰Ό 𝑒}) = (𝑒 ∈ Ο‰ ↦ βˆͺ {𝑓 ∈ 𝐴 ∣ 𝑓 β‰Ό 𝑒})
3634, 35fvmptg 6996 . . . . . 6 ((𝑑 ∈ Ο‰ ∧ βˆͺ {𝑓 ∈ 𝐴 ∣ 𝑓 β‰Ό 𝑑} ∈ V) β†’ ((𝑒 ∈ Ο‰ ↦ βˆͺ {𝑓 ∈ 𝐴 ∣ 𝑓 β‰Ό 𝑒})β€˜π‘‘) = βˆͺ {𝑓 ∈ 𝐴 ∣ 𝑓 β‰Ό 𝑑})
3725, 31, 36syl2anr 597 . . . . 5 (((((𝐴 βŠ† 𝒫 𝐡 ∧ [⊊] Or 𝐴 ∧ Β¬ βˆͺ 𝐴 ∈ 𝐴) ∧ (𝐴 βŠ† Fin ∧ 𝐴 β‰  βˆ…)) ∧ 𝐡 ∈ FinIII) ∧ 𝑑 ∈ Ο‰) β†’ ((𝑒 ∈ Ο‰ ↦ βˆͺ {𝑓 ∈ 𝐴 ∣ 𝑓 β‰Ό 𝑒})β€˜π‘‘) = βˆͺ {𝑓 ∈ 𝐴 ∣ 𝑓 β‰Ό 𝑑})
38 peano2 7883 . . . . . 6 (𝑑 ∈ Ο‰ β†’ suc 𝑑 ∈ Ο‰)
39 rabexg 5331 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ V β†’ {𝑓 ∈ 𝐴 ∣ 𝑓 β‰Ό suc 𝑑} ∈ V)
40 uniexg 7732 . . . . . . 7 ({𝑓 ∈ 𝐴 ∣ 𝑓 β‰Ό suc 𝑑} ∈ V β†’ βˆͺ {𝑓 ∈ 𝐴 ∣ 𝑓 β‰Ό suc 𝑑} ∈ V)
4128, 39, 403syl 18 . . . . . 6 ((((𝐴 βŠ† 𝒫 𝐡 ∧ [⊊] Or 𝐴 ∧ Β¬ βˆͺ 𝐴 ∈ 𝐴) ∧ (𝐴 βŠ† Fin ∧ 𝐴 β‰  βˆ…)) ∧ 𝐡 ∈ FinIII) β†’ βˆͺ {𝑓 ∈ 𝐴 ∣ 𝑓 β‰Ό suc 𝑑} ∈ V)
42 breq2 5152 . . . . . . . . 9 (𝑒 = suc 𝑑 β†’ (𝑓 β‰Ό 𝑒 ↔ 𝑓 β‰Ό suc 𝑑))
4342rabbidv 3440 . . . . . . . 8 (𝑒 = suc 𝑑 β†’ {𝑓 ∈ 𝐴 ∣ 𝑓 β‰Ό 𝑒} = {𝑓 ∈ 𝐴 ∣ 𝑓 β‰Ό suc 𝑑})
4443unieqd 4922 . . . . . . 7 (𝑒 = suc 𝑑 β†’ βˆͺ {𝑓 ∈ 𝐴 ∣ 𝑓 β‰Ό 𝑒} = βˆͺ {𝑓 ∈ 𝐴 ∣ 𝑓 β‰Ό suc 𝑑})
4544, 35fvmptg 6996 . . . . . 6 ((suc 𝑑 ∈ Ο‰ ∧ βˆͺ {𝑓 ∈ 𝐴 ∣ 𝑓 β‰Ό suc 𝑑} ∈ V) β†’ ((𝑒 ∈ Ο‰ ↦ βˆͺ {𝑓 ∈ 𝐴 ∣ 𝑓 β‰Ό 𝑒})β€˜suc 𝑑) = βˆͺ {𝑓 ∈ 𝐴 ∣ 𝑓 β‰Ό suc 𝑑})
4638, 41, 45syl2anr 597 . . . . 5 (((((𝐴 βŠ† 𝒫 𝐡 ∧ [⊊] Or 𝐴 ∧ Β¬ βˆͺ 𝐴 ∈ 𝐴) ∧ (𝐴 βŠ† Fin ∧ 𝐴 β‰  βˆ…)) ∧ 𝐡 ∈ FinIII) ∧ 𝑑 ∈ Ο‰) β†’ ((𝑒 ∈ Ο‰ ↦ βˆͺ {𝑓 ∈ 𝐴 ∣ 𝑓 β‰Ό 𝑒})β€˜suc 𝑑) = βˆͺ {𝑓 ∈ 𝐴 ∣ 𝑓 β‰Ό suc 𝑑})
4724, 37, 463sstr4d 4029 . . . 4 (((((𝐴 βŠ† 𝒫 𝐡 ∧ [⊊] Or 𝐴 ∧ Β¬ βˆͺ 𝐴 ∈ 𝐴) ∧ (𝐴 βŠ† Fin ∧ 𝐴 β‰  βˆ…)) ∧ 𝐡 ∈ FinIII) ∧ 𝑑 ∈ Ο‰) β†’ ((𝑒 ∈ Ο‰ ↦ βˆͺ {𝑓 ∈ 𝐴 ∣ 𝑓 β‰Ό 𝑒})β€˜π‘‘) βŠ† ((𝑒 ∈ Ο‰ ↦ βˆͺ {𝑓 ∈ 𝐴 ∣ 𝑓 β‰Ό 𝑒})β€˜suc 𝑑))
4847ralrimiva 3146 . . 3 ((((𝐴 βŠ† 𝒫 𝐡 ∧ [⊊] Or 𝐴 ∧ Β¬ βˆͺ 𝐴 ∈ 𝐴) ∧ (𝐴 βŠ† Fin ∧ 𝐴 β‰  βˆ…)) ∧ 𝐡 ∈ FinIII) β†’ βˆ€π‘‘ ∈ Ο‰ ((𝑒 ∈ Ο‰ ↦ βˆͺ {𝑓 ∈ 𝐴 ∣ 𝑓 β‰Ό 𝑒})β€˜π‘‘) βŠ† ((𝑒 ∈ Ο‰ ↦ βˆͺ {𝑓 ∈ 𝐴 ∣ 𝑓 β‰Ό 𝑒})β€˜suc 𝑑))
49 fin34i 10378 . . 3 ((𝐡 ∈ FinIII ∧ (𝑒 ∈ Ο‰ ↦ βˆͺ {𝑓 ∈ 𝐴 ∣ 𝑓 β‰Ό 𝑒}):Ο‰βŸΆπ’« 𝐡 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ Ο‰ ((𝑒 ∈ Ο‰ ↦ βˆͺ {𝑓 ∈ 𝐴 ∣ 𝑓 β‰Ό 𝑒})β€˜π‘‘) βŠ† ((𝑒 ∈ Ο‰ ↦ βˆͺ {𝑓 ∈ 𝐴 ∣ 𝑓 β‰Ό 𝑒})β€˜suc 𝑑)) β†’ βˆͺ ran (𝑒 ∈ Ο‰ ↦ βˆͺ {𝑓 ∈ 𝐴 ∣ 𝑓 β‰Ό 𝑒}) ∈ ran (𝑒 ∈ Ο‰ ↦ βˆͺ {𝑓 ∈ 𝐴 ∣ 𝑓 β‰Ό 𝑒}))
501, 13, 48, 49syl3anc 1371 . 2 ((((𝐴 βŠ† 𝒫 𝐡 ∧ [⊊] Or 𝐴 ∧ Β¬ βˆͺ 𝐴 ∈ 𝐴) ∧ (𝐴 βŠ† Fin ∧ 𝐴 β‰  βˆ…)) ∧ 𝐡 ∈ FinIII) β†’ βˆͺ ran (𝑒 ∈ Ο‰ ↦ βˆͺ {𝑓 ∈ 𝐴 ∣ 𝑓 β‰Ό 𝑒}) ∈ ran (𝑒 ∈ Ο‰ ↦ βˆͺ {𝑓 ∈ 𝐴 ∣ 𝑓 β‰Ό 𝑒}))
51 fin1a2lem11 10407 . . . . . 6 (( [⊊] Or 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† Fin) β†’ ran (𝑒 ∈ Ο‰ ↦ βˆͺ {𝑓 ∈ 𝐴 ∣ 𝑓 β‰Ό 𝑒}) = (𝐴 βˆͺ {βˆ…}))
5251adantrr 715 . . . . 5 (( [⊊] Or 𝐴 ∧ (𝐴 βŠ† Fin ∧ 𝐴 β‰  βˆ…)) β†’ ran (𝑒 ∈ Ο‰ ↦ βˆͺ {𝑓 ∈ 𝐴 ∣ 𝑓 β‰Ό 𝑒}) = (𝐴 βˆͺ {βˆ…}))
53523ad2antl2 1186 . . . 4 (((𝐴 βŠ† 𝒫 𝐡 ∧ [⊊] Or 𝐴 ∧ Β¬ βˆͺ 𝐴 ∈ 𝐴) ∧ (𝐴 βŠ† Fin ∧ 𝐴 β‰  βˆ…)) β†’ ran (𝑒 ∈ Ο‰ ↦ βˆͺ {𝑓 ∈ 𝐴 ∣ 𝑓 β‰Ό 𝑒}) = (𝐴 βˆͺ {βˆ…}))
5453adantr 481 . . 3 ((((𝐴 βŠ† 𝒫 𝐡 ∧ [⊊] Or 𝐴 ∧ Β¬ βˆͺ 𝐴 ∈ 𝐴) ∧ (𝐴 βŠ† Fin ∧ 𝐴 β‰  βˆ…)) ∧ 𝐡 ∈ FinIII) β†’ ran (𝑒 ∈ Ο‰ ↦ βˆͺ {𝑓 ∈ 𝐴 ∣ 𝑓 β‰Ό 𝑒}) = (𝐴 βˆͺ {βˆ…}))
55 simpll3 1214 . . . . . 6 ((((𝐴 βŠ† 𝒫 𝐡 ∧ [⊊] Or 𝐴 ∧ Β¬ βˆͺ 𝐴 ∈ 𝐴) ∧ (𝐴 βŠ† Fin ∧ 𝐴 β‰  βˆ…)) ∧ 𝐡 ∈ FinIII) β†’ Β¬ βˆͺ 𝐴 ∈ 𝐴)
56 simplrr 776 . . . . . . 7 ((((𝐴 βŠ† 𝒫 𝐡 ∧ [⊊] Or 𝐴 ∧ Β¬ βˆͺ 𝐴 ∈ 𝐴) ∧ (𝐴 βŠ† Fin ∧ 𝐴 β‰  βˆ…)) ∧ 𝐡 ∈ FinIII) β†’ 𝐴 β‰  βˆ…)
57 sspwuni 5103 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 βŠ† 𝒫 βˆ… ↔ βˆͺ 𝐴 βŠ† βˆ…)
58 ss0b 4397 . . . . . . . . . . 11 (βˆͺ 𝐴 βŠ† βˆ… ↔ βˆͺ 𝐴 = βˆ…)
5957, 58bitri 274 . . . . . . . . . 10 (𝐴 βŠ† 𝒫 βˆ… ↔ βˆͺ 𝐴 = βˆ…)
60 pw0 4815 . . . . . . . . . . . . 13 𝒫 βˆ… = {βˆ…}
6160sseq2i 4011 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 βŠ† 𝒫 βˆ… ↔ 𝐴 βŠ† {βˆ…})
62 sssn 4829 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 βŠ† {βˆ…} ↔ (𝐴 = βˆ… ∨ 𝐴 = {βˆ…}))
6361, 62bitri 274 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 βŠ† 𝒫 βˆ… ↔ (𝐴 = βˆ… ∨ 𝐴 = {βˆ…}))
64 df-ne 2941 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 β‰  βˆ… ↔ Β¬ 𝐴 = βˆ…)
65 0ex 5307 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 βˆ… ∈ V
6665unisn 4930 . . . . . . . . . . . . . . . 16 βˆͺ {βˆ…} = βˆ…
6765snid 4664 . . . . . . . . . . . . . . . 16 βˆ… ∈ {βˆ…}
6866, 67eqeltri 2829 . . . . . . . . . . . . . . 15 βˆͺ {βˆ…} ∈ {βˆ…}
69 unieq 4919 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 = {βˆ…} β†’ βˆͺ 𝐴 = βˆͺ {βˆ…})
70 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 = {βˆ…} β†’ 𝐴 = {βˆ…})
7169, 70eleq12d 2827 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 = {βˆ…} β†’ (βˆͺ 𝐴 ∈ 𝐴 ↔ βˆͺ {βˆ…} ∈ {βˆ…}))
7268, 71mpbiri 257 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 = {βˆ…} β†’ βˆͺ 𝐴 ∈ 𝐴)
7372orim2i 909 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 = βˆ… ∨ 𝐴 = {βˆ…}) β†’ (𝐴 = βˆ… ∨ βˆͺ 𝐴 ∈ 𝐴))
7473ord 862 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 = βˆ… ∨ 𝐴 = {βˆ…}) β†’ (Β¬ 𝐴 = βˆ… β†’ βˆͺ 𝐴 ∈ 𝐴))
7564, 74biimtrid 241 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 = βˆ… ∨ 𝐴 = {βˆ…}) β†’ (𝐴 β‰  βˆ… β†’ βˆͺ 𝐴 ∈ 𝐴))
7663, 75sylbi 216 . . . . . . . . . 10 (𝐴 βŠ† 𝒫 βˆ… β†’ (𝐴 β‰  βˆ… β†’ βˆͺ 𝐴 ∈ 𝐴))
7759, 76sylbir 234 . . . . . . . . 9 (βˆͺ 𝐴 = βˆ… β†’ (𝐴 β‰  βˆ… β†’ βˆͺ 𝐴 ∈ 𝐴))
7877com12 32 . . . . . . . 8 (𝐴 β‰  βˆ… β†’ (βˆͺ 𝐴 = βˆ… β†’ βˆͺ 𝐴 ∈ 𝐴))
7978con3d 152 . . . . . . 7 (𝐴 β‰  βˆ… β†’ (Β¬ βˆͺ 𝐴 ∈ 𝐴 β†’ Β¬ βˆͺ 𝐴 = βˆ…))
8056, 55, 79sylc 65 . . . . . 6 ((((𝐴 βŠ† 𝒫 𝐡 ∧ [⊊] Or 𝐴 ∧ Β¬ βˆͺ 𝐴 ∈ 𝐴) ∧ (𝐴 βŠ† Fin ∧ 𝐴 β‰  βˆ…)) ∧ 𝐡 ∈ FinIII) β†’ Β¬ βˆͺ 𝐴 = βˆ…)
81 ioran 982 . . . . . 6 (Β¬ (βˆͺ 𝐴 ∈ 𝐴 ∨ βˆͺ 𝐴 = βˆ…) ↔ (Β¬ βˆͺ 𝐴 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ βˆͺ 𝐴 = βˆ…))
8255, 80, 81sylanbrc 583 . . . . 5 ((((𝐴 βŠ† 𝒫 𝐡 ∧ [⊊] Or 𝐴 ∧ Β¬ βˆͺ 𝐴 ∈ 𝐴) ∧ (𝐴 βŠ† Fin ∧ 𝐴 β‰  βˆ…)) ∧ 𝐡 ∈ FinIII) β†’ Β¬ (βˆͺ 𝐴 ∈ 𝐴 ∨ βˆͺ 𝐴 = βˆ…))
83 uniun 4934 . . . . . . . 8 βˆͺ (𝐴 βˆͺ {βˆ…}) = (βˆͺ 𝐴 βˆͺ βˆͺ {βˆ…})
8466uneq2i 4160 . . . . . . . 8 (βˆͺ 𝐴 βˆͺ βˆͺ {βˆ…}) = (βˆͺ 𝐴 βˆͺ βˆ…)
85 un0 4390 . . . . . . . 8 (βˆͺ 𝐴 βˆͺ βˆ…) = βˆͺ 𝐴
8683, 84, 853eqtri 2764 . . . . . . 7 βˆͺ (𝐴 βˆͺ {βˆ…}) = βˆͺ 𝐴
8786eleq1i 2824 . . . . . 6 (βˆͺ (𝐴 βˆͺ {βˆ…}) ∈ (𝐴 βˆͺ {βˆ…}) ↔ βˆͺ 𝐴 ∈ (𝐴 βˆͺ {βˆ…}))
88 elun 4148 . . . . . 6 (βˆͺ 𝐴 ∈ (𝐴 βˆͺ {βˆ…}) ↔ (βˆͺ 𝐴 ∈ 𝐴 ∨ βˆͺ 𝐴 ∈ {βˆ…}))
8965elsn2 4667 . . . . . . 7 (βˆͺ 𝐴 ∈ {βˆ…} ↔ βˆͺ 𝐴 = βˆ…)
9089orbi2i 911 . . . . . 6 ((βˆͺ 𝐴 ∈ 𝐴 ∨ βˆͺ 𝐴 ∈ {βˆ…}) ↔ (βˆͺ 𝐴 ∈ 𝐴 ∨ βˆͺ 𝐴 = βˆ…))
9187, 88, 903bitri 296 . . . . 5 (βˆͺ (𝐴 βˆͺ {βˆ…}) ∈ (𝐴 βˆͺ {βˆ…}) ↔ (βˆͺ 𝐴 ∈ 𝐴 ∨ βˆͺ 𝐴 = βˆ…))
9282, 91sylnibr 328 . . . 4 ((((𝐴 βŠ† 𝒫 𝐡 ∧ [⊊] Or 𝐴 ∧ Β¬ βˆͺ 𝐴 ∈ 𝐴) ∧ (𝐴 βŠ† Fin ∧ 𝐴 β‰  βˆ…)) ∧ 𝐡 ∈ FinIII) β†’ Β¬ βˆͺ (𝐴 βˆͺ {βˆ…}) ∈ (𝐴 βˆͺ {βˆ…}))
93 unieq 4919 . . . . . 6 (ran (𝑒 ∈ Ο‰ ↦ βˆͺ {𝑓 ∈ 𝐴 ∣ 𝑓 β‰Ό 𝑒}) = (𝐴 βˆͺ {βˆ…}) β†’ βˆͺ ran (𝑒 ∈ Ο‰ ↦ βˆͺ {𝑓 ∈ 𝐴 ∣ 𝑓 β‰Ό 𝑒}) = βˆͺ (𝐴 βˆͺ {βˆ…}))
94 id 22 . . . . . 6 (ran (𝑒 ∈ Ο‰ ↦ βˆͺ {𝑓 ∈ 𝐴 ∣ 𝑓 β‰Ό 𝑒}) = (𝐴 βˆͺ {βˆ…}) β†’ ran (𝑒 ∈ Ο‰ ↦ βˆͺ {𝑓 ∈ 𝐴 ∣ 𝑓 β‰Ό 𝑒}) = (𝐴 βˆͺ {βˆ…}))
9593, 94eleq12d 2827 . . . . 5 (ran (𝑒 ∈ Ο‰ ↦ βˆͺ {𝑓 ∈ 𝐴 ∣ 𝑓 β‰Ό 𝑒}) = (𝐴 βˆͺ {βˆ…}) β†’ (βˆͺ ran (𝑒 ∈ Ο‰ ↦ βˆͺ {𝑓 ∈ 𝐴 ∣ 𝑓 β‰Ό 𝑒}) ∈ ran (𝑒 ∈ Ο‰ ↦ βˆͺ {𝑓 ∈ 𝐴 ∣ 𝑓 β‰Ό 𝑒}) ↔ βˆͺ (𝐴 βˆͺ {βˆ…}) ∈ (𝐴 βˆͺ {βˆ…})))
9695notbid 317 . . . 4 (ran (𝑒 ∈ Ο‰ ↦ βˆͺ {𝑓 ∈ 𝐴 ∣ 𝑓 β‰Ό 𝑒}) = (𝐴 βˆͺ {βˆ…}) β†’ (Β¬ βˆͺ ran (𝑒 ∈ Ο‰ ↦ βˆͺ {𝑓 ∈ 𝐴 ∣ 𝑓 β‰Ό 𝑒}) ∈ ran (𝑒 ∈ Ο‰ ↦ βˆͺ {𝑓 ∈ 𝐴 ∣ 𝑓 β‰Ό 𝑒}) ↔ Β¬ βˆͺ (𝐴 βˆͺ {βˆ…}) ∈ (𝐴 βˆͺ {βˆ…})))
9792, 96syl5ibrcom 246 . . 3 ((((𝐴 βŠ† 𝒫 𝐡 ∧ [⊊] Or 𝐴 ∧ Β¬ βˆͺ 𝐴 ∈ 𝐴) ∧ (𝐴 βŠ† Fin ∧ 𝐴 β‰  βˆ…)) ∧ 𝐡 ∈ FinIII) β†’ (ran (𝑒 ∈ Ο‰ ↦ βˆͺ {𝑓 ∈ 𝐴 ∣ 𝑓 β‰Ό 𝑒}) = (𝐴 βˆͺ {βˆ…}) β†’ Β¬ βˆͺ ran (𝑒 ∈ Ο‰ ↦ βˆͺ {𝑓 ∈ 𝐴 ∣ 𝑓 β‰Ό 𝑒}) ∈ ran (𝑒 ∈ Ο‰ ↦ βˆͺ {𝑓 ∈ 𝐴 ∣ 𝑓 β‰Ό 𝑒})))
9854, 97mpd 15 . 2 ((((𝐴 βŠ† 𝒫 𝐡 ∧ [⊊] Or 𝐴 ∧ Β¬ βˆͺ 𝐴 ∈ 𝐴) ∧ (𝐴 βŠ† Fin ∧ 𝐴 β‰  βˆ…)) ∧ 𝐡 ∈ FinIII) β†’ Β¬ βˆͺ ran (𝑒 ∈ Ο‰ ↦ βˆͺ {𝑓 ∈ 𝐴 ∣ 𝑓 β‰Ό 𝑒}) ∈ ran (𝑒 ∈ Ο‰ ↦ βˆͺ {𝑓 ∈ 𝐴 ∣ 𝑓 β‰Ό 𝑒}))
9950, 98pm2.65da 815 1 (((𝐴 βŠ† 𝒫 𝐡 ∧ [⊊] Or 𝐴 ∧ Β¬ βˆͺ 𝐴 ∈ 𝐴) ∧ (𝐴 βŠ† Fin ∧ 𝐴 β‰  βˆ…)) β†’ Β¬ 𝐡 ∈ FinIII)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 845   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  {crab 3432  Vcvv 3474   βˆͺ cun 3946   βŠ† wss 3948  βˆ…c0 4322  π’« cpw 4602  {csn 4628  βˆͺ cuni 4908   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231   Or wor 5587  ran crn 5677  suc csuc 6366  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543   [⊊] crpss 7714  Ο‰com 7857   β‰Ό cdom 8939  Fincfn 8941  FinIIIcfin3 10278
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-rpss 7715  df-om 7858  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-wdom 9562  df-card 9936  df-fin4 10284  df-fin3 10285
This theorem is referenced by:  fin1a2s  10411
  Copyright terms: Public domain W3C validator