MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fin1a2lem12 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fin1a2lem12 10406
Description: Lemma for fin1a2 10410. (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 17-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
fin1a2lem12 (((𝐴 βŠ† 𝒫 𝐡 ∧ [⊊] Or 𝐴 ∧ Β¬ βˆͺ 𝐴 ∈ 𝐴) ∧ (𝐴 βŠ† Fin ∧ 𝐴 β‰  βˆ…)) β†’ Β¬ 𝐡 ∈ FinIII)

Proof of Theorem fin1a2lem12
Dummy variables 𝑑 𝑒 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 486 . . 3 ((((𝐴 βŠ† 𝒫 𝐡 ∧ [⊊] Or 𝐴 ∧ Β¬ βˆͺ 𝐴 ∈ 𝐴) ∧ (𝐴 βŠ† Fin ∧ 𝐴 β‰  βˆ…)) ∧ 𝐡 ∈ FinIII) β†’ 𝐡 ∈ FinIII)
2 simpll1 1213 . . . . . . 7 ((((𝐴 βŠ† 𝒫 𝐡 ∧ [⊊] Or 𝐴 ∧ Β¬ βˆͺ 𝐴 ∈ 𝐴) ∧ (𝐴 βŠ† Fin ∧ 𝐴 β‰  βˆ…)) ∧ 𝐡 ∈ FinIII) β†’ 𝐴 βŠ† 𝒫 𝐡)
32adantr 482 . . . . . 6 (((((𝐴 βŠ† 𝒫 𝐡 ∧ [⊊] Or 𝐴 ∧ Β¬ βˆͺ 𝐴 ∈ 𝐴) ∧ (𝐴 βŠ† Fin ∧ 𝐴 β‰  βˆ…)) ∧ 𝐡 ∈ FinIII) ∧ 𝑒 ∈ Ο‰) β†’ 𝐴 βŠ† 𝒫 𝐡)
4 ssrab2 4078 . . . . . . . 8 {𝑓 ∈ 𝐴 ∣ 𝑓 β‰Ό 𝑒} βŠ† 𝐴
54unissi 4918 . . . . . . 7 βˆͺ {𝑓 ∈ 𝐴 ∣ 𝑓 β‰Ό 𝑒} βŠ† βˆͺ 𝐴
6 sspwuni 5104 . . . . . . . 8 (𝐴 βŠ† 𝒫 𝐡 ↔ βˆͺ 𝐴 βŠ† 𝐡)
76biimpi 215 . . . . . . 7 (𝐴 βŠ† 𝒫 𝐡 β†’ βˆͺ 𝐴 βŠ† 𝐡)
85, 7sstrid 3994 . . . . . 6 (𝐴 βŠ† 𝒫 𝐡 β†’ βˆͺ {𝑓 ∈ 𝐴 ∣ 𝑓 β‰Ό 𝑒} βŠ† 𝐡)
93, 8syl 17 . . . . 5 (((((𝐴 βŠ† 𝒫 𝐡 ∧ [⊊] Or 𝐴 ∧ Β¬ βˆͺ 𝐴 ∈ 𝐴) ∧ (𝐴 βŠ† Fin ∧ 𝐴 β‰  βˆ…)) ∧ 𝐡 ∈ FinIII) ∧ 𝑒 ∈ Ο‰) β†’ βˆͺ {𝑓 ∈ 𝐴 ∣ 𝑓 β‰Ό 𝑒} βŠ† 𝐡)
10 elpw2g 5345 . . . . . 6 (𝐡 ∈ FinIII β†’ (βˆͺ {𝑓 ∈ 𝐴 ∣ 𝑓 β‰Ό 𝑒} ∈ 𝒫 𝐡 ↔ βˆͺ {𝑓 ∈ 𝐴 ∣ 𝑓 β‰Ό 𝑒} βŠ† 𝐡))
1110ad2antlr 726 . . . . 5 (((((𝐴 βŠ† 𝒫 𝐡 ∧ [⊊] Or 𝐴 ∧ Β¬ βˆͺ 𝐴 ∈ 𝐴) ∧ (𝐴 βŠ† Fin ∧ 𝐴 β‰  βˆ…)) ∧ 𝐡 ∈ FinIII) ∧ 𝑒 ∈ Ο‰) β†’ (βˆͺ {𝑓 ∈ 𝐴 ∣ 𝑓 β‰Ό 𝑒} ∈ 𝒫 𝐡 ↔ βˆͺ {𝑓 ∈ 𝐴 ∣ 𝑓 β‰Ό 𝑒} βŠ† 𝐡))
129, 11mpbird 257 . . . 4 (((((𝐴 βŠ† 𝒫 𝐡 ∧ [⊊] Or 𝐴 ∧ Β¬ βˆͺ 𝐴 ∈ 𝐴) ∧ (𝐴 βŠ† Fin ∧ 𝐴 β‰  βˆ…)) ∧ 𝐡 ∈ FinIII) ∧ 𝑒 ∈ Ο‰) β†’ βˆͺ {𝑓 ∈ 𝐴 ∣ 𝑓 β‰Ό 𝑒} ∈ 𝒫 𝐡)
1312fmpttd 7115 . . 3 ((((𝐴 βŠ† 𝒫 𝐡 ∧ [⊊] Or 𝐴 ∧ Β¬ βˆͺ 𝐴 ∈ 𝐴) ∧ (𝐴 βŠ† Fin ∧ 𝐴 β‰  βˆ…)) ∧ 𝐡 ∈ FinIII) β†’ (𝑒 ∈ Ο‰ ↦ βˆͺ {𝑓 ∈ 𝐴 ∣ 𝑓 β‰Ό 𝑒}):Ο‰βŸΆπ’« 𝐡)
14 vex 3479 . . . . . . . . . . 11 𝑑 ∈ V
1514sucex 7794 . . . . . . . . . 10 suc 𝑑 ∈ V
16 sssucid 6445 . . . . . . . . . 10 𝑑 βŠ† suc 𝑑
17 ssdomg 8996 . . . . . . . . . 10 (suc 𝑑 ∈ V β†’ (𝑑 βŠ† suc 𝑑 β†’ 𝑑 β‰Ό suc 𝑑))
1815, 16, 17mp2 9 . . . . . . . . 9 𝑑 β‰Ό suc 𝑑
19 domtr 9003 . . . . . . . . 9 ((𝑓 β‰Ό 𝑑 ∧ 𝑑 β‰Ό suc 𝑑) β†’ 𝑓 β‰Ό suc 𝑑)
2018, 19mpan2 690 . . . . . . . 8 (𝑓 β‰Ό 𝑑 β†’ 𝑓 β‰Ό suc 𝑑)
2120a1i 11 . . . . . . 7 (𝑓 ∈ 𝐴 β†’ (𝑓 β‰Ό 𝑑 β†’ 𝑓 β‰Ό suc 𝑑))
2221ss2rabi 4075 . . . . . 6 {𝑓 ∈ 𝐴 ∣ 𝑓 β‰Ό 𝑑} βŠ† {𝑓 ∈ 𝐴 ∣ 𝑓 β‰Ό suc 𝑑}
23 uniss 4917 . . . . . 6 ({𝑓 ∈ 𝐴 ∣ 𝑓 β‰Ό 𝑑} βŠ† {𝑓 ∈ 𝐴 ∣ 𝑓 β‰Ό suc 𝑑} β†’ βˆͺ {𝑓 ∈ 𝐴 ∣ 𝑓 β‰Ό 𝑑} βŠ† βˆͺ {𝑓 ∈ 𝐴 ∣ 𝑓 β‰Ό suc 𝑑})
2422, 23mp1i 13 . . . . 5 (((((𝐴 βŠ† 𝒫 𝐡 ∧ [⊊] Or 𝐴 ∧ Β¬ βˆͺ 𝐴 ∈ 𝐴) ∧ (𝐴 βŠ† Fin ∧ 𝐴 β‰  βˆ…)) ∧ 𝐡 ∈ FinIII) ∧ 𝑑 ∈ Ο‰) β†’ βˆͺ {𝑓 ∈ 𝐴 ∣ 𝑓 β‰Ό 𝑑} βŠ† βˆͺ {𝑓 ∈ 𝐴 ∣ 𝑓 β‰Ό suc 𝑑})
25 id 22 . . . . . 6 (𝑑 ∈ Ο‰ β†’ 𝑑 ∈ Ο‰)
26 pwexg 5377 . . . . . . . . 9 (𝐡 ∈ FinIII β†’ 𝒫 𝐡 ∈ V)
2726adantl 483 . . . . . . . 8 ((((𝐴 βŠ† 𝒫 𝐡 ∧ [⊊] Or 𝐴 ∧ Β¬ βˆͺ 𝐴 ∈ 𝐴) ∧ (𝐴 βŠ† Fin ∧ 𝐴 β‰  βˆ…)) ∧ 𝐡 ∈ FinIII) β†’ 𝒫 𝐡 ∈ V)
2827, 2ssexd 5325 . . . . . . 7 ((((𝐴 βŠ† 𝒫 𝐡 ∧ [⊊] Or 𝐴 ∧ Β¬ βˆͺ 𝐴 ∈ 𝐴) ∧ (𝐴 βŠ† Fin ∧ 𝐴 β‰  βˆ…)) ∧ 𝐡 ∈ FinIII) β†’ 𝐴 ∈ V)
29 rabexg 5332 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ V β†’ {𝑓 ∈ 𝐴 ∣ 𝑓 β‰Ό 𝑑} ∈ V)
30 uniexg 7730 . . . . . . 7 ({𝑓 ∈ 𝐴 ∣ 𝑓 β‰Ό 𝑑} ∈ V β†’ βˆͺ {𝑓 ∈ 𝐴 ∣ 𝑓 β‰Ό 𝑑} ∈ V)
3128, 29, 303syl 18 . . . . . 6 ((((𝐴 βŠ† 𝒫 𝐡 ∧ [⊊] Or 𝐴 ∧ Β¬ βˆͺ 𝐴 ∈ 𝐴) ∧ (𝐴 βŠ† Fin ∧ 𝐴 β‰  βˆ…)) ∧ 𝐡 ∈ FinIII) β†’ βˆͺ {𝑓 ∈ 𝐴 ∣ 𝑓 β‰Ό 𝑑} ∈ V)
32 breq2 5153 . . . . . . . . 9 (𝑒 = 𝑑 β†’ (𝑓 β‰Ό 𝑒 ↔ 𝑓 β‰Ό 𝑑))
3332rabbidv 3441 . . . . . . . 8 (𝑒 = 𝑑 β†’ {𝑓 ∈ 𝐴 ∣ 𝑓 β‰Ό 𝑒} = {𝑓 ∈ 𝐴 ∣ 𝑓 β‰Ό 𝑑})
3433unieqd 4923 . . . . . . 7 (𝑒 = 𝑑 β†’ βˆͺ {𝑓 ∈ 𝐴 ∣ 𝑓 β‰Ό 𝑒} = βˆͺ {𝑓 ∈ 𝐴 ∣ 𝑓 β‰Ό 𝑑})
35 eqid 2733 . . . . . . 7 (𝑒 ∈ Ο‰ ↦ βˆͺ {𝑓 ∈ 𝐴 ∣ 𝑓 β‰Ό 𝑒}) = (𝑒 ∈ Ο‰ ↦ βˆͺ {𝑓 ∈ 𝐴 ∣ 𝑓 β‰Ό 𝑒})
3634, 35fvmptg 6997 . . . . . 6 ((𝑑 ∈ Ο‰ ∧ βˆͺ {𝑓 ∈ 𝐴 ∣ 𝑓 β‰Ό 𝑑} ∈ V) β†’ ((𝑒 ∈ Ο‰ ↦ βˆͺ {𝑓 ∈ 𝐴 ∣ 𝑓 β‰Ό 𝑒})β€˜π‘‘) = βˆͺ {𝑓 ∈ 𝐴 ∣ 𝑓 β‰Ό 𝑑})
3725, 31, 36syl2anr 598 . . . . 5 (((((𝐴 βŠ† 𝒫 𝐡 ∧ [⊊] Or 𝐴 ∧ Β¬ βˆͺ 𝐴 ∈ 𝐴) ∧ (𝐴 βŠ† Fin ∧ 𝐴 β‰  βˆ…)) ∧ 𝐡 ∈ FinIII) ∧ 𝑑 ∈ Ο‰) β†’ ((𝑒 ∈ Ο‰ ↦ βˆͺ {𝑓 ∈ 𝐴 ∣ 𝑓 β‰Ό 𝑒})β€˜π‘‘) = βˆͺ {𝑓 ∈ 𝐴 ∣ 𝑓 β‰Ό 𝑑})
38 peano2 7881 . . . . . 6 (𝑑 ∈ Ο‰ β†’ suc 𝑑 ∈ Ο‰)
39 rabexg 5332 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ V β†’ {𝑓 ∈ 𝐴 ∣ 𝑓 β‰Ό suc 𝑑} ∈ V)
40 uniexg 7730 . . . . . . 7 ({𝑓 ∈ 𝐴 ∣ 𝑓 β‰Ό suc 𝑑} ∈ V β†’ βˆͺ {𝑓 ∈ 𝐴 ∣ 𝑓 β‰Ό suc 𝑑} ∈ V)
4128, 39, 403syl 18 . . . . . 6 ((((𝐴 βŠ† 𝒫 𝐡 ∧ [⊊] Or 𝐴 ∧ Β¬ βˆͺ 𝐴 ∈ 𝐴) ∧ (𝐴 βŠ† Fin ∧ 𝐴 β‰  βˆ…)) ∧ 𝐡 ∈ FinIII) β†’ βˆͺ {𝑓 ∈ 𝐴 ∣ 𝑓 β‰Ό suc 𝑑} ∈ V)
42 breq2 5153 . . . . . . . . 9 (𝑒 = suc 𝑑 β†’ (𝑓 β‰Ό 𝑒 ↔ 𝑓 β‰Ό suc 𝑑))
4342rabbidv 3441 . . . . . . . 8 (𝑒 = suc 𝑑 β†’ {𝑓 ∈ 𝐴 ∣ 𝑓 β‰Ό 𝑒} = {𝑓 ∈ 𝐴 ∣ 𝑓 β‰Ό suc 𝑑})
4443unieqd 4923 . . . . . . 7 (𝑒 = suc 𝑑 β†’ βˆͺ {𝑓 ∈ 𝐴 ∣ 𝑓 β‰Ό 𝑒} = βˆͺ {𝑓 ∈ 𝐴 ∣ 𝑓 β‰Ό suc 𝑑})
4544, 35fvmptg 6997 . . . . . 6 ((suc 𝑑 ∈ Ο‰ ∧ βˆͺ {𝑓 ∈ 𝐴 ∣ 𝑓 β‰Ό suc 𝑑} ∈ V) β†’ ((𝑒 ∈ Ο‰ ↦ βˆͺ {𝑓 ∈ 𝐴 ∣ 𝑓 β‰Ό 𝑒})β€˜suc 𝑑) = βˆͺ {𝑓 ∈ 𝐴 ∣ 𝑓 β‰Ό suc 𝑑})
4638, 41, 45syl2anr 598 . . . . 5 (((((𝐴 βŠ† 𝒫 𝐡 ∧ [⊊] Or 𝐴 ∧ Β¬ βˆͺ 𝐴 ∈ 𝐴) ∧ (𝐴 βŠ† Fin ∧ 𝐴 β‰  βˆ…)) ∧ 𝐡 ∈ FinIII) ∧ 𝑑 ∈ Ο‰) β†’ ((𝑒 ∈ Ο‰ ↦ βˆͺ {𝑓 ∈ 𝐴 ∣ 𝑓 β‰Ό 𝑒})β€˜suc 𝑑) = βˆͺ {𝑓 ∈ 𝐴 ∣ 𝑓 β‰Ό suc 𝑑})
4724, 37, 463sstr4d 4030 . . . 4 (((((𝐴 βŠ† 𝒫 𝐡 ∧ [⊊] Or 𝐴 ∧ Β¬ βˆͺ 𝐴 ∈ 𝐴) ∧ (𝐴 βŠ† Fin ∧ 𝐴 β‰  βˆ…)) ∧ 𝐡 ∈ FinIII) ∧ 𝑑 ∈ Ο‰) β†’ ((𝑒 ∈ Ο‰ ↦ βˆͺ {𝑓 ∈ 𝐴 ∣ 𝑓 β‰Ό 𝑒})β€˜π‘‘) βŠ† ((𝑒 ∈ Ο‰ ↦ βˆͺ {𝑓 ∈ 𝐴 ∣ 𝑓 β‰Ό 𝑒})β€˜suc 𝑑))
4847ralrimiva 3147 . . 3 ((((𝐴 βŠ† 𝒫 𝐡 ∧ [⊊] Or 𝐴 ∧ Β¬ βˆͺ 𝐴 ∈ 𝐴) ∧ (𝐴 βŠ† Fin ∧ 𝐴 β‰  βˆ…)) ∧ 𝐡 ∈ FinIII) β†’ βˆ€π‘‘ ∈ Ο‰ ((𝑒 ∈ Ο‰ ↦ βˆͺ {𝑓 ∈ 𝐴 ∣ 𝑓 β‰Ό 𝑒})β€˜π‘‘) βŠ† ((𝑒 ∈ Ο‰ ↦ βˆͺ {𝑓 ∈ 𝐴 ∣ 𝑓 β‰Ό 𝑒})β€˜suc 𝑑))
49 fin34i 10376 . . 3 ((𝐡 ∈ FinIII ∧ (𝑒 ∈ Ο‰ ↦ βˆͺ {𝑓 ∈ 𝐴 ∣ 𝑓 β‰Ό 𝑒}):Ο‰βŸΆπ’« 𝐡 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ Ο‰ ((𝑒 ∈ Ο‰ ↦ βˆͺ {𝑓 ∈ 𝐴 ∣ 𝑓 β‰Ό 𝑒})β€˜π‘‘) βŠ† ((𝑒 ∈ Ο‰ ↦ βˆͺ {𝑓 ∈ 𝐴 ∣ 𝑓 β‰Ό 𝑒})β€˜suc 𝑑)) β†’ βˆͺ ran (𝑒 ∈ Ο‰ ↦ βˆͺ {𝑓 ∈ 𝐴 ∣ 𝑓 β‰Ό 𝑒}) ∈ ran (𝑒 ∈ Ο‰ ↦ βˆͺ {𝑓 ∈ 𝐴 ∣ 𝑓 β‰Ό 𝑒}))
501, 13, 48, 49syl3anc 1372 . 2 ((((𝐴 βŠ† 𝒫 𝐡 ∧ [⊊] Or 𝐴 ∧ Β¬ βˆͺ 𝐴 ∈ 𝐴) ∧ (𝐴 βŠ† Fin ∧ 𝐴 β‰  βˆ…)) ∧ 𝐡 ∈ FinIII) β†’ βˆͺ ran (𝑒 ∈ Ο‰ ↦ βˆͺ {𝑓 ∈ 𝐴 ∣ 𝑓 β‰Ό 𝑒}) ∈ ran (𝑒 ∈ Ο‰ ↦ βˆͺ {𝑓 ∈ 𝐴 ∣ 𝑓 β‰Ό 𝑒}))
51 fin1a2lem11 10405 . . . . . 6 (( [⊊] Or 𝐴 ∧ 𝐴 βŠ† Fin) β†’ ran (𝑒 ∈ Ο‰ ↦ βˆͺ {𝑓 ∈ 𝐴 ∣ 𝑓 β‰Ό 𝑒}) = (𝐴 βˆͺ {βˆ…}))
5251adantrr 716 . . . . 5 (( [⊊] Or 𝐴 ∧ (𝐴 βŠ† Fin ∧ 𝐴 β‰  βˆ…)) β†’ ran (𝑒 ∈ Ο‰ ↦ βˆͺ {𝑓 ∈ 𝐴 ∣ 𝑓 β‰Ό 𝑒}) = (𝐴 βˆͺ {βˆ…}))
53523ad2antl2 1187 . . . 4 (((𝐴 βŠ† 𝒫 𝐡 ∧ [⊊] Or 𝐴 ∧ Β¬ βˆͺ 𝐴 ∈ 𝐴) ∧ (𝐴 βŠ† Fin ∧ 𝐴 β‰  βˆ…)) β†’ ran (𝑒 ∈ Ο‰ ↦ βˆͺ {𝑓 ∈ 𝐴 ∣ 𝑓 β‰Ό 𝑒}) = (𝐴 βˆͺ {βˆ…}))
5453adantr 482 . . 3 ((((𝐴 βŠ† 𝒫 𝐡 ∧ [⊊] Or 𝐴 ∧ Β¬ βˆͺ 𝐴 ∈ 𝐴) ∧ (𝐴 βŠ† Fin ∧ 𝐴 β‰  βˆ…)) ∧ 𝐡 ∈ FinIII) β†’ ran (𝑒 ∈ Ο‰ ↦ βˆͺ {𝑓 ∈ 𝐴 ∣ 𝑓 β‰Ό 𝑒}) = (𝐴 βˆͺ {βˆ…}))
55 simpll3 1215 . . . . . 6 ((((𝐴 βŠ† 𝒫 𝐡 ∧ [⊊] Or 𝐴 ∧ Β¬ βˆͺ 𝐴 ∈ 𝐴) ∧ (𝐴 βŠ† Fin ∧ 𝐴 β‰  βˆ…)) ∧ 𝐡 ∈ FinIII) β†’ Β¬ βˆͺ 𝐴 ∈ 𝐴)
56 simplrr 777 . . . . . . 7 ((((𝐴 βŠ† 𝒫 𝐡 ∧ [⊊] Or 𝐴 ∧ Β¬ βˆͺ 𝐴 ∈ 𝐴) ∧ (𝐴 βŠ† Fin ∧ 𝐴 β‰  βˆ…)) ∧ 𝐡 ∈ FinIII) β†’ 𝐴 β‰  βˆ…)
57 sspwuni 5104 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 βŠ† 𝒫 βˆ… ↔ βˆͺ 𝐴 βŠ† βˆ…)
58 ss0b 4398 . . . . . . . . . . 11 (βˆͺ 𝐴 βŠ† βˆ… ↔ βˆͺ 𝐴 = βˆ…)
5957, 58bitri 275 . . . . . . . . . 10 (𝐴 βŠ† 𝒫 βˆ… ↔ βˆͺ 𝐴 = βˆ…)
60 pw0 4816 . . . . . . . . . . . . 13 𝒫 βˆ… = {βˆ…}
6160sseq2i 4012 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 βŠ† 𝒫 βˆ… ↔ 𝐴 βŠ† {βˆ…})
62 sssn 4830 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 βŠ† {βˆ…} ↔ (𝐴 = βˆ… ∨ 𝐴 = {βˆ…}))
6361, 62bitri 275 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 βŠ† 𝒫 βˆ… ↔ (𝐴 = βˆ… ∨ 𝐴 = {βˆ…}))
64 df-ne 2942 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 β‰  βˆ… ↔ Β¬ 𝐴 = βˆ…)
65 0ex 5308 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 βˆ… ∈ V
6665unisn 4931 . . . . . . . . . . . . . . . 16 βˆͺ {βˆ…} = βˆ…
6765snid 4665 . . . . . . . . . . . . . . . 16 βˆ… ∈ {βˆ…}
6866, 67eqeltri 2830 . . . . . . . . . . . . . . 15 βˆͺ {βˆ…} ∈ {βˆ…}
69 unieq 4920 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 = {βˆ…} β†’ βˆͺ 𝐴 = βˆͺ {βˆ…})
70 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 = {βˆ…} β†’ 𝐴 = {βˆ…})
7169, 70eleq12d 2828 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 = {βˆ…} β†’ (βˆͺ 𝐴 ∈ 𝐴 ↔ βˆͺ {βˆ…} ∈ {βˆ…}))
7268, 71mpbiri 258 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 = {βˆ…} β†’ βˆͺ 𝐴 ∈ 𝐴)
7372orim2i 910 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 = βˆ… ∨ 𝐴 = {βˆ…}) β†’ (𝐴 = βˆ… ∨ βˆͺ 𝐴 ∈ 𝐴))
7473ord 863 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 = βˆ… ∨ 𝐴 = {βˆ…}) β†’ (Β¬ 𝐴 = βˆ… β†’ βˆͺ 𝐴 ∈ 𝐴))
7564, 74biimtrid 241 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 = βˆ… ∨ 𝐴 = {βˆ…}) β†’ (𝐴 β‰  βˆ… β†’ βˆͺ 𝐴 ∈ 𝐴))
7663, 75sylbi 216 . . . . . . . . . 10 (𝐴 βŠ† 𝒫 βˆ… β†’ (𝐴 β‰  βˆ… β†’ βˆͺ 𝐴 ∈ 𝐴))
7759, 76sylbir 234 . . . . . . . . 9 (βˆͺ 𝐴 = βˆ… β†’ (𝐴 β‰  βˆ… β†’ βˆͺ 𝐴 ∈ 𝐴))
7877com12 32 . . . . . . . 8 (𝐴 β‰  βˆ… β†’ (βˆͺ 𝐴 = βˆ… β†’ βˆͺ 𝐴 ∈ 𝐴))
7978con3d 152 . . . . . . 7 (𝐴 β‰  βˆ… β†’ (Β¬ βˆͺ 𝐴 ∈ 𝐴 β†’ Β¬ βˆͺ 𝐴 = βˆ…))
8056, 55, 79sylc 65 . . . . . 6 ((((𝐴 βŠ† 𝒫 𝐡 ∧ [⊊] Or 𝐴 ∧ Β¬ βˆͺ 𝐴 ∈ 𝐴) ∧ (𝐴 βŠ† Fin ∧ 𝐴 β‰  βˆ…)) ∧ 𝐡 ∈ FinIII) β†’ Β¬ βˆͺ 𝐴 = βˆ…)
81 ioran 983 . . . . . 6 (Β¬ (βˆͺ 𝐴 ∈ 𝐴 ∨ βˆͺ 𝐴 = βˆ…) ↔ (Β¬ βˆͺ 𝐴 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ βˆͺ 𝐴 = βˆ…))
8255, 80, 81sylanbrc 584 . . . . 5 ((((𝐴 βŠ† 𝒫 𝐡 ∧ [⊊] Or 𝐴 ∧ Β¬ βˆͺ 𝐴 ∈ 𝐴) ∧ (𝐴 βŠ† Fin ∧ 𝐴 β‰  βˆ…)) ∧ 𝐡 ∈ FinIII) β†’ Β¬ (βˆͺ 𝐴 ∈ 𝐴 ∨ βˆͺ 𝐴 = βˆ…))
83 uniun 4935 . . . . . . . 8 βˆͺ (𝐴 βˆͺ {βˆ…}) = (βˆͺ 𝐴 βˆͺ βˆͺ {βˆ…})
8466uneq2i 4161 . . . . . . . 8 (βˆͺ 𝐴 βˆͺ βˆͺ {βˆ…}) = (βˆͺ 𝐴 βˆͺ βˆ…)
85 un0 4391 . . . . . . . 8 (βˆͺ 𝐴 βˆͺ βˆ…) = βˆͺ 𝐴
8683, 84, 853eqtri 2765 . . . . . . 7 βˆͺ (𝐴 βˆͺ {βˆ…}) = βˆͺ 𝐴
8786eleq1i 2825 . . . . . 6 (βˆͺ (𝐴 βˆͺ {βˆ…}) ∈ (𝐴 βˆͺ {βˆ…}) ↔ βˆͺ 𝐴 ∈ (𝐴 βˆͺ {βˆ…}))
88 elun 4149 . . . . . 6 (βˆͺ 𝐴 ∈ (𝐴 βˆͺ {βˆ…}) ↔ (βˆͺ 𝐴 ∈ 𝐴 ∨ βˆͺ 𝐴 ∈ {βˆ…}))
8965elsn2 4668 . . . . . . 7 (βˆͺ 𝐴 ∈ {βˆ…} ↔ βˆͺ 𝐴 = βˆ…)
9089orbi2i 912 . . . . . 6 ((βˆͺ 𝐴 ∈ 𝐴 ∨ βˆͺ 𝐴 ∈ {βˆ…}) ↔ (βˆͺ 𝐴 ∈ 𝐴 ∨ βˆͺ 𝐴 = βˆ…))
9187, 88, 903bitri 297 . . . . 5 (βˆͺ (𝐴 βˆͺ {βˆ…}) ∈ (𝐴 βˆͺ {βˆ…}) ↔ (βˆͺ 𝐴 ∈ 𝐴 ∨ βˆͺ 𝐴 = βˆ…))
9282, 91sylnibr 329 . . . 4 ((((𝐴 βŠ† 𝒫 𝐡 ∧ [⊊] Or 𝐴 ∧ Β¬ βˆͺ 𝐴 ∈ 𝐴) ∧ (𝐴 βŠ† Fin ∧ 𝐴 β‰  βˆ…)) ∧ 𝐡 ∈ FinIII) β†’ Β¬ βˆͺ (𝐴 βˆͺ {βˆ…}) ∈ (𝐴 βˆͺ {βˆ…}))
93 unieq 4920 . . . . . 6 (ran (𝑒 ∈ Ο‰ ↦ βˆͺ {𝑓 ∈ 𝐴 ∣ 𝑓 β‰Ό 𝑒}) = (𝐴 βˆͺ {βˆ…}) β†’ βˆͺ ran (𝑒 ∈ Ο‰ ↦ βˆͺ {𝑓 ∈ 𝐴 ∣ 𝑓 β‰Ό 𝑒}) = βˆͺ (𝐴 βˆͺ {βˆ…}))
94 id 22 . . . . . 6 (ran (𝑒 ∈ Ο‰ ↦ βˆͺ {𝑓 ∈ 𝐴 ∣ 𝑓 β‰Ό 𝑒}) = (𝐴 βˆͺ {βˆ…}) β†’ ran (𝑒 ∈ Ο‰ ↦ βˆͺ {𝑓 ∈ 𝐴 ∣ 𝑓 β‰Ό 𝑒}) = (𝐴 βˆͺ {βˆ…}))
9593, 94eleq12d 2828 . . . . 5 (ran (𝑒 ∈ Ο‰ ↦ βˆͺ {𝑓 ∈ 𝐴 ∣ 𝑓 β‰Ό 𝑒}) = (𝐴 βˆͺ {βˆ…}) β†’ (βˆͺ ran (𝑒 ∈ Ο‰ ↦ βˆͺ {𝑓 ∈ 𝐴 ∣ 𝑓 β‰Ό 𝑒}) ∈ ran (𝑒 ∈ Ο‰ ↦ βˆͺ {𝑓 ∈ 𝐴 ∣ 𝑓 β‰Ό 𝑒}) ↔ βˆͺ (𝐴 βˆͺ {βˆ…}) ∈ (𝐴 βˆͺ {βˆ…})))
9695notbid 318 . . . 4 (ran (𝑒 ∈ Ο‰ ↦ βˆͺ {𝑓 ∈ 𝐴 ∣ 𝑓 β‰Ό 𝑒}) = (𝐴 βˆͺ {βˆ…}) β†’ (Β¬ βˆͺ ran (𝑒 ∈ Ο‰ ↦ βˆͺ {𝑓 ∈ 𝐴 ∣ 𝑓 β‰Ό 𝑒}) ∈ ran (𝑒 ∈ Ο‰ ↦ βˆͺ {𝑓 ∈ 𝐴 ∣ 𝑓 β‰Ό 𝑒}) ↔ Β¬ βˆͺ (𝐴 βˆͺ {βˆ…}) ∈ (𝐴 βˆͺ {βˆ…})))
9792, 96syl5ibrcom 246 . . 3 ((((𝐴 βŠ† 𝒫 𝐡 ∧ [⊊] Or 𝐴 ∧ Β¬ βˆͺ 𝐴 ∈ 𝐴) ∧ (𝐴 βŠ† Fin ∧ 𝐴 β‰  βˆ…)) ∧ 𝐡 ∈ FinIII) β†’ (ran (𝑒 ∈ Ο‰ ↦ βˆͺ {𝑓 ∈ 𝐴 ∣ 𝑓 β‰Ό 𝑒}) = (𝐴 βˆͺ {βˆ…}) β†’ Β¬ βˆͺ ran (𝑒 ∈ Ο‰ ↦ βˆͺ {𝑓 ∈ 𝐴 ∣ 𝑓 β‰Ό 𝑒}) ∈ ran (𝑒 ∈ Ο‰ ↦ βˆͺ {𝑓 ∈ 𝐴 ∣ 𝑓 β‰Ό 𝑒})))
9854, 97mpd 15 . 2 ((((𝐴 βŠ† 𝒫 𝐡 ∧ [⊊] Or 𝐴 ∧ Β¬ βˆͺ 𝐴 ∈ 𝐴) ∧ (𝐴 βŠ† Fin ∧ 𝐴 β‰  βˆ…)) ∧ 𝐡 ∈ FinIII) β†’ Β¬ βˆͺ ran (𝑒 ∈ Ο‰ ↦ βˆͺ {𝑓 ∈ 𝐴 ∣ 𝑓 β‰Ό 𝑒}) ∈ ran (𝑒 ∈ Ο‰ ↦ βˆͺ {𝑓 ∈ 𝐴 ∣ 𝑓 β‰Ό 𝑒}))
9950, 98pm2.65da 816 1 (((𝐴 βŠ† 𝒫 𝐡 ∧ [⊊] Or 𝐴 ∧ Β¬ βˆͺ 𝐴 ∈ 𝐴) ∧ (𝐴 βŠ† Fin ∧ 𝐴 β‰  βˆ…)) β†’ Β¬ 𝐡 ∈ FinIII)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  βˆ€wral 3062  {crab 3433  Vcvv 3475   βˆͺ cun 3947   βŠ† wss 3949  βˆ…c0 4323  π’« cpw 4603  {csn 4629  βˆͺ cuni 4909   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232   Or wor 5588  ran crn 5678  suc csuc 6367  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544   [⊊] crpss 7712  Ο‰com 7855   β‰Ό cdom 8937  Fincfn 8939  FinIIIcfin3 10276
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-rpss 7713  df-om 7856  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-wdom 9560  df-card 9934  df-fin4 10282  df-fin3 10283
This theorem is referenced by:  fin1a2s  10409
  Copyright terms: Public domain W3C validator