Theorem finxp2o 37516

Description: The value of Cartesian exponentiation at two. (Contributed by ML, 19-Oct-2020.)

Assertion

Ref	Expression
finxp2o	⊢ (𝑈↑↑2o) = (𝑈 × 𝑈)

Proof of Theorem finxp2o

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-2o 8395	. . 3 ⊢ 2o = suc 1o
2		finxpeq2 37504	. . 3 ⊢ (2o = suc 1o → (𝑈↑↑2o) = (𝑈↑↑suc 1o))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝑈↑↑2o) = (𝑈↑↑suc 1o)
4		1onn 8564	. . 3 ⊢ 1o ∈ ω
5		1n0 8412	. . 3 ⊢ 1o ≠ ∅
6		finxpsuc 37515	. . 3 ⊢ ((1o ∈ ω ∧ 1o ≠ ∅) → (𝑈↑↑suc 1o) = ((𝑈↑↑1o) × 𝑈))
7	4, 5, 6	mp2an 692	. 2 ⊢ (𝑈↑↑suc 1o) = ((𝑈↑↑1o) × 𝑈)
8		finxp1o 37509	. . 3 ⊢ (𝑈↑↑1o) = 𝑈
9	8	xpeq1i 5647	. 2 ⊢ ((𝑈↑↑1o) × 𝑈) = (𝑈 × 𝑈)
10	3, 7, 9	3eqtri 2760	1 ⊢ (𝑈↑↑2o) = (𝑈 × 𝑈)

Syntax hints:   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2929  ∅c0 4282   × cxp 5619  suc csuc 6316  ωcom 7805  1_oc1o 8387  2_oc2o 8388  ↑↑cfinxp 37500

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pr 5374  ax-un 7677

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-int 4900  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-om 7806  df-1st 7930  df-2nd 7931  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-1o 8394  df-2o 8395  df-oadd 8398  df-en 8880  df-fin 8883  df-finxp 37501

This theorem is referenced by:  finxp3o  37517