Theorem finxp2o 37761

Description: The value of Cartesian exponentiation at two. (Contributed by ML, 19-Oct-2020.)

Assertion

Ref	Expression
finxp2o	⊢ (𝑈↑↑2o) = (𝑈 × 𝑈)

Proof of Theorem finxp2o

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-2o 8396	. . 3 ⊢ 2o = suc 1o
2		finxpeq2 37749	. . 3 ⊢ (2o = suc 1o → (𝑈↑↑2o) = (𝑈↑↑suc 1o))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝑈↑↑2o) = (𝑈↑↑suc 1o)
4		1onn 8566	. . 3 ⊢ 1o ∈ ω
5		1n0 8413	. . 3 ⊢ 1o ≠ ∅
6		finxpsuc 37760	. . 3 ⊢ ((1o ∈ ω ∧ 1o ≠ ∅) → (𝑈↑↑suc 1o) = ((𝑈↑↑1o) × 𝑈))
7	4, 5, 6	mp2an 698	. 2 ⊢ (𝑈↑↑suc 1o) = ((𝑈↑↑1o) × 𝑈)
8		finxp1o 37754	. . 3 ⊢ (𝑈↑↑1o) = 𝑈
9	8	xpeq1i 5644	. 2 ⊢ ((𝑈↑↑1o) × 𝑈) = (𝑈 × 𝑈)
10	3, 7, 9	3eqtri 2766	1 ⊢ (𝑈↑↑2o) = (𝑈 × 𝑈)

Syntax hints:   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2934  ∅c0 4261   × cxp 5616  suc csuc 6312  ωcom 7806  1_oc1o 8388  2_oc2o 8389  ↑↑cfinxp 37745

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pr 5362  ax-un 7678

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-int 4878  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-oadd 8399  df-en 8884  df-fin 8887  df-finxp 37746

This theorem is referenced by:  finxp3o  37762