Theorem finxp2o 37433

Description: The value of Cartesian exponentiation at two. (Contributed by ML, 19-Oct-2020.)

Assertion

Ref	Expression
finxp2o	⊢ (𝑈↑↑2o) = (𝑈 × 𝑈)

Proof of Theorem finxp2o

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-2o 8381	. . 3 ⊢ 2o = suc 1o
2		finxpeq2 37421	. . 3 ⊢ (2o = suc 1o → (𝑈↑↑2o) = (𝑈↑↑suc 1o))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝑈↑↑2o) = (𝑈↑↑suc 1o)
4		1onn 8550	. . 3 ⊢ 1o ∈ ω
5		1n0 8398	. . 3 ⊢ 1o ≠ ∅
6		finxpsuc 37432	. . 3 ⊢ ((1o ∈ ω ∧ 1o ≠ ∅) → (𝑈↑↑suc 1o) = ((𝑈↑↑1o) × 𝑈))
7	4, 5, 6	mp2an 692	. 2 ⊢ (𝑈↑↑suc 1o) = ((𝑈↑↑1o) × 𝑈)
8		finxp1o 37426	. . 3 ⊢ (𝑈↑↑1o) = 𝑈
9	8	xpeq1i 5637	. 2 ⊢ ((𝑈↑↑1o) × 𝑈) = (𝑈 × 𝑈)
10	3, 7, 9	3eqtri 2758	1 ⊢ (𝑈↑↑2o) = (𝑈 × 𝑈)

Syntax hints:   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  ∅c0 4278   × cxp 5609  suc csuc 6303  ωcom 7791  1_oc1o 8373  2_oc2o 8374  ↑↑cfinxp 37417

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5212  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pr 5365  ax-un 7663

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4855  df-int 4893  df-iun 4938  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5506  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5564  df-we 5566  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-2o 8381  df-oadd 8384  df-en 8865  df-fin 8868  df-finxp 37418

This theorem is referenced by:  finxp3o  37434