Theorem finxp2o 38590

Description: The value of Cartesian exponentiation at two. (Contributed by ML, 19-Oct-2020.)

Assertion

Ref	Expression
finxp2o	⊢ (𝑈↑↑2o) = (𝑈 × 𝑈)

Proof of Theorem finxp2o

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-2o 8515	. . 3 ⊢ 2o = suc 1o
2		finxpeq2 38578	. . 3 ⊢ (2o = suc 1o → (𝑈↑↑2o) = (𝑈↑↑suc 1o))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝑈↑↑2o) = (𝑈↑↑suc 1o)
4		1onn 8687	. . 3 ⊢ 1o ∈ ω
5		1n0 8533	. . 3 ⊢ 1o ≠ ∅
6		finxpsuc 38589	. . 3 ⊢ ((1o ∈ ω ∧ 1o ≠ ∅) → (𝑈↑↑suc 1o) = ((𝑈↑↑1o) × 𝑈))
7	4, 5, 6	mp2an 705	. 2 ⊢ (𝑈↑↑suc 1o) = ((𝑈↑↑1o) × 𝑈)
8		finxp1o 38583	. . 3 ⊢ (𝑈↑↑1o) = 𝑈
9	8	xpeq1i 5684	. 2 ⊢ ((𝑈↑↑1o) × 𝑈) = (𝑈 × 𝑈)
10	3, 7, 9	3eqtri 2790	1 ⊢ (𝑈↑↑2o) = (𝑈 × 𝑈)

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  ∅c0 4281   × cxp 5656  suc csuc 6390  ωcom 7911  1_oc1o 8507  2_oc2o 8508  ↑↑cfinxp 38574

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pr 5398  ax-un 7783

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-2o 8515  df-oadd 8518  df-en 9012  df-fin 9015  df-finxp 38575

This theorem is used by:  finxp3o  38591