Theorem finxp3o 37730

Description: The value of Cartesian exponentiation at three. (Contributed by ML, 24-Oct-2020.)

Assertion

Ref	Expression
finxp3o	⊢ (𝑈↑↑3o) = ((𝑈 × 𝑈) × 𝑈)

Proof of Theorem finxp3o

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-3o 8400	. . 3 ⊢ 3o = suc 2o
2		finxpeq2 37717	. . 3 ⊢ (3o = suc 2o → (𝑈↑↑3o) = (𝑈↑↑suc 2o))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝑈↑↑3o) = (𝑈↑↑suc 2o)
4		2onn 8571	. . 3 ⊢ 2o ∈ ω
5		2on0 8412	. . 3 ⊢ 2o ≠ ∅
6		finxpsuc 37728	. . 3 ⊢ ((2o ∈ ω ∧ 2o ≠ ∅) → (𝑈↑↑suc 2o) = ((𝑈↑↑2o) × 𝑈))
7	4, 5, 6	mp2an 693	. 2 ⊢ (𝑈↑↑suc 2o) = ((𝑈↑↑2o) × 𝑈)
8		finxp2o 37729	. . 3 ⊢ (𝑈↑↑2o) = (𝑈 × 𝑈)
9	8	xpeq1i 5650	. 2 ⊢ ((𝑈↑↑2o) × 𝑈) = ((𝑈 × 𝑈) × 𝑈)
10	3, 7, 9	3eqtri 2764	1 ⊢ (𝑈↑↑3o) = ((𝑈 × 𝑈) × 𝑈)

Syntax hints:   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∅c0 4274   × cxp 5622  suc csuc 6319  ωcom 7810  2_oc2o 8392  3_oc3o 8393  ↑↑cfinxp 37713

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pr 5370  ax-un 7682

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-2o 8399  df-3o 8400  df-oadd 8402  df-en 8887  df-fin 8890  df-finxp 37714

This theorem is referenced by: (None)