Theorem finxp3o 37649

Description: The value of Cartesian exponentiation at three. (Contributed by ML, 24-Oct-2020.)

Assertion

Ref	Expression
finxp3o	⊢ (𝑈↑↑3o) = ((𝑈 × 𝑈) × 𝑈)

Proof of Theorem finxp3o

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-3o 8409	. . 3 ⊢ 3o = suc 2o
2		finxpeq2 37636	. . 3 ⊢ (3o = suc 2o → (𝑈↑↑3o) = (𝑈↑↑suc 2o))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝑈↑↑3o) = (𝑈↑↑suc 2o)
4		2onn 8580	. . 3 ⊢ 2o ∈ ω
5		2on0 8421	. . 3 ⊢ 2o ≠ ∅
6		finxpsuc 37647	. . 3 ⊢ ((2o ∈ ω ∧ 2o ≠ ∅) → (𝑈↑↑suc 2o) = ((𝑈↑↑2o) × 𝑈))
7	4, 5, 6	mp2an 693	. 2 ⊢ (𝑈↑↑suc 2o) = ((𝑈↑↑2o) × 𝑈)
8		finxp2o 37648	. . 3 ⊢ (𝑈↑↑2o) = (𝑈 × 𝑈)
9	8	xpeq1i 5658	. 2 ⊢ ((𝑈↑↑2o) × 𝑈) = ((𝑈 × 𝑈) × 𝑈)
10	3, 7, 9	3eqtri 2764	1 ⊢ (𝑈↑↑3o) = ((𝑈 × 𝑈) × 𝑈)

Syntax hints:   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∅c0 4287   × cxp 5630  suc csuc 6327  ωcom 7818  2_oc2o 8401  3_oc3o 8402  ↑↑cfinxp 37632

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pr 5379  ax-un 7690

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-2o 8408  df-3o 8409  df-oadd 8411  df-en 8896  df-fin 8899  df-finxp 37633

This theorem is referenced by: (None)