Theorem finxp3o 38416

Description: The value of Cartesian exponentiation at three. (Contributed by ML, 24-Oct-2020.)

Assertion

Ref	Expression
finxp3o	⊢ (𝑈↑↑3o) = ((𝑈 × 𝑈) × 𝑈)

Proof of Theorem finxp3o

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-3o 8481	. . 3 ⊢ 3o = suc 2o
2		finxpeq2 38403	. . 3 ⊢ (3o = suc 2o → (𝑈↑↑3o) = (𝑈↑↑suc 2o))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝑈↑↑3o) = (𝑈↑↑suc 2o)
4		2onn 8654	. . 3 ⊢ 2o ∈ ω
5		2on0 8494	. . 3 ⊢ 2o ≠ ∅
6		finxpsuc 38414	. . 3 ⊢ ((2o ∈ ω ∧ 2o ≠ ∅) → (𝑈↑↑suc 2o) = ((𝑈↑↑2o) × 𝑈))
7	4, 5, 6	mp2an 705	. 2 ⊢ (𝑈↑↑suc 2o) = ((𝑈↑↑2o) × 𝑈)
8		finxp2o 38415	. . 3 ⊢ (𝑈↑↑2o) = (𝑈 × 𝑈)
9	8	xpeq1i 5676	. 2 ⊢ ((𝑈↑↑2o) × 𝑈) = ((𝑈 × 𝑈) × 𝑈)
10	3, 7, 9	3eqtri 2787	1 ⊢ (𝑈↑↑3o) = ((𝑈 × 𝑈) × 𝑈)

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ∅c0 4278   × cxp 5648  suc csuc 6364  ωcom 7877  2_oc2o 8473  3_oc3o 8474  ↑↑cfinxp 38399

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pr 5390  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-1o 8479  df-2o 8480  df-3o 8481  df-oadd 8483  df-en 8977  df-fin 8980  df-finxp 38400

This theorem is used by: (None)