Theorem finxp3o 37402

Description: The value of Cartesian exponentiation at three. (Contributed by ML, 24-Oct-2020.)

Assertion

Ref	Expression
finxp3o	⊢ (𝑈↑↑3o) = ((𝑈 × 𝑈) × 𝑈)

Proof of Theorem finxp3o

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-3o 8509	. . 3 ⊢ 3o = suc 2o
2		finxpeq2 37389	. . 3 ⊢ (3o = suc 2o → (𝑈↑↑3o) = (𝑈↑↑suc 2o))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝑈↑↑3o) = (𝑈↑↑suc 2o)
4		2onn 8681	. . 3 ⊢ 2o ∈ ω
5		2on0 8523	. . 3 ⊢ 2o ≠ ∅
6		finxpsuc 37400	. . 3 ⊢ ((2o ∈ ω ∧ 2o ≠ ∅) → (𝑈↑↑suc 2o) = ((𝑈↑↑2o) × 𝑈))
7	4, 5, 6	mp2an 692	. 2 ⊢ (𝑈↑↑suc 2o) = ((𝑈↑↑2o) × 𝑈)
8		finxp2o 37401	. . 3 ⊢ (𝑈↑↑2o) = (𝑈 × 𝑈)
9	8	xpeq1i 5710	. 2 ⊢ ((𝑈↑↑2o) × 𝑈) = ((𝑈 × 𝑈) × 𝑈)
10	3, 7, 9	3eqtri 2768	1 ⊢ (𝑈↑↑3o) = ((𝑈 × 𝑈) × 𝑈)

Syntax hints:   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2939  ∅c0 4332   × cxp 5682  suc csuc 6385  ωcom 7888  2_oc2o 8501  3_oc3o 8502  ↑↑cfinxp 37385

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pr 5431  ax-un 7756

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-2o 8508  df-3o 8509  df-oadd 8511  df-en 8987  df-fin 8990  df-finxp 37386

This theorem is referenced by: (None)