Users' Mathboxes Mathbox for ML < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  finxp3o Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem finxp3o 33775
Description: The value of Cartesian exponentiation at three. (Contributed by ML, 24-Oct-2020.)
Assertion
Ref Expression
finxp3o (𝑈↑↑3o) = ((𝑈 × 𝑈) × 𝑈)

Proof of Theorem finxp3o
StepHypRef Expression
1 df-3o 7828 . . 3 3o = suc 2o
2 finxpeq2 33762 . . 3 (3o = suc 2o → (𝑈↑↑3o) = (𝑈↑↑suc 2o))
31, 2ax-mp 5 . 2 (𝑈↑↑3o) = (𝑈↑↑suc 2o)
4 2onn 7987 . . 3 2o ∈ ω
5 2on0 7836 . . 3 2o ≠ ∅
6 finxpsuc 33773 . . 3 ((2o ∈ ω ∧ 2o ≠ ∅) → (𝑈↑↑suc 2o) = ((𝑈↑↑2o) × 𝑈))
74, 5, 6mp2an 683 . 2 (𝑈↑↑suc 2o) = ((𝑈↑↑2o) × 𝑈)
8 finxp2o 33774 . . 3 (𝑈↑↑2o) = (𝑈 × 𝑈)
98xpeq1i 5368 . 2 ((𝑈↑↑2o) × 𝑈) = ((𝑈 × 𝑈) × 𝑈)
103, 7, 93eqtri 2853 1 (𝑈↑↑3o) = ((𝑈 × 𝑈) × 𝑈)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1656  wcel 2164  wne 2999  c0 4144   × cxp 5340  suc csuc 5965  ωcom 7326  2oc2o 7820  3oc3o 7821  ↑↑cfinxp 33758
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4994  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-fal 1670  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4659  df-int 4698  df-iun 4742  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-tr 4976  df-id 5250  df-eprel 5255  df-po 5263  df-so 5264  df-fr 5301  df-we 5303  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-pred 5920  df-ord 5966  df-on 5967  df-lim 5968  df-suc 5969  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-riota 6866  df-ov 6908  df-oprab 6909  df-mpt2 6910  df-om 7327  df-1st 7428  df-2nd 7429  df-wrecs 7672  df-recs 7734  df-rdg 7772  df-1o 7826  df-2o 7827  df-3o 7828  df-oadd 7830  df-er 8009  df-en 8223  df-dom 8224  df-sdom 8225  df-fin 8226  df-finxp 33759
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator