Users' Mathboxes Mathbox for ML < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  finxp3o Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem finxp3o 36788
Description: The value of Cartesian exponentiation at three. (Contributed by ML, 24-Oct-2020.)
Assertion
Ref Expression
finxp3o (𝑈↑↑3o) = ((𝑈 × 𝑈) × 𝑈)

Proof of Theorem finxp3o
StepHypRef Expression
1 df-3o 8469 . . 3 3o = suc 2o
2 finxpeq2 36775 . . 3 (3o = suc 2o → (𝑈↑↑3o) = (𝑈↑↑suc 2o))
31, 2ax-mp 5 . 2 (𝑈↑↑3o) = (𝑈↑↑suc 2o)
4 2onn 8643 . . 3 2o ∈ ω
5 2on0 8483 . . 3 2o ≠ ∅
6 finxpsuc 36786 . . 3 ((2o ∈ ω ∧ 2o ≠ ∅) → (𝑈↑↑suc 2o) = ((𝑈↑↑2o) × 𝑈))
74, 5, 6mp2an 689 . 2 (𝑈↑↑suc 2o) = ((𝑈↑↑2o) × 𝑈)
8 finxp2o 36787 . . 3 (𝑈↑↑2o) = (𝑈 × 𝑈)
98xpeq1i 5695 . 2 ((𝑈↑↑2o) × 𝑈) = ((𝑈 × 𝑈) × 𝑈)
103, 7, 93eqtri 2758 1 (𝑈↑↑3o) = ((𝑈 × 𝑈) × 𝑈)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2934  c0 4317   × cxp 5667  suc csuc 6360  ωcom 7852  2oc2o 8461  3oc3o 8462  ↑↑cfinxp 36771
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pr 5420  ax-un 7722
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-2o 8468  df-3o 8469  df-oadd 8471  df-en 8942  df-fin 8945  df-finxp 36772
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator