Users' Mathboxes Mathbox for ML < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  finxp3o Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem finxp3o 36912
Description: The value of Cartesian exponentiation at three. (Contributed by ML, 24-Oct-2020.)
Assertion
Ref Expression
finxp3o (𝑈↑↑3o) = ((𝑈 × 𝑈) × 𝑈)

Proof of Theorem finxp3o
StepHypRef Expression
1 df-3o 8495 . . 3 3o = suc 2o
2 finxpeq2 36899 . . 3 (3o = suc 2o → (𝑈↑↑3o) = (𝑈↑↑suc 2o))
31, 2ax-mp 5 . 2 (𝑈↑↑3o) = (𝑈↑↑suc 2o)
4 2onn 8669 . . 3 2o ∈ ω
5 2on0 8509 . . 3 2o ≠ ∅
6 finxpsuc 36910 . . 3 ((2o ∈ ω ∧ 2o ≠ ∅) → (𝑈↑↑suc 2o) = ((𝑈↑↑2o) × 𝑈))
74, 5, 6mp2an 690 . 2 (𝑈↑↑suc 2o) = ((𝑈↑↑2o) × 𝑈)
8 finxp2o 36911 . . 3 (𝑈↑↑2o) = (𝑈 × 𝑈)
98xpeq1i 5708 . 2 ((𝑈↑↑2o) × 𝑈) = ((𝑈 × 𝑈) × 𝑈)
103, 7, 93eqtri 2760 1 (𝑈↑↑3o) = ((𝑈 × 𝑈) × 𝑈)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2937  c0 4326   × cxp 5680  suc csuc 6376  ωcom 7876  2oc2o 8487  3oc3o 8488  ↑↑cfinxp 36895
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pr 5433  ax-un 7746
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-2o 8494  df-3o 8495  df-oadd 8497  df-en 8971  df-fin 8974  df-finxp 36896
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator