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Theorem alexsubALTlem3 23774
Description: Lemma for alexsubALT 23776. If a point is covered by a collection taken from the base with no finite subcover, a set from the subbase can be added that covers the point so that the resulting collection has no finite subcover. (Contributed by Jeff Hankins, 28-Jan-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Dec-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
alexsubALT.1 𝑋 = βˆͺ 𝐽
Assertion
Ref Expression
alexsubALTlem3 (((((𝐽 = (topGenβ€˜(fiβ€˜π‘₯)) ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝒫 π‘₯(𝑋 = βˆͺ 𝑐 β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑑) ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 (fiβ€˜π‘₯)) ∧ (𝑒 ∈ 𝒫 (fiβ€˜π‘₯) ∧ (π‘Ž βŠ† 𝑒 ∧ βˆ€π‘ ∈ (𝒫 𝑒 ∩ Fin) Β¬ 𝑋 = βˆͺ 𝑏))) ∧ 𝑀 ∈ 𝑒) ∧ ((𝑑 ∈ (𝒫 π‘₯ ∩ Fin) ∧ 𝑀 = ∩ 𝑑) ∧ (𝑦 ∈ 𝑀 ∧ Β¬ 𝑦 ∈ βˆͺ (π‘₯ ∩ 𝑒)))) β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝑑 βˆ€π‘› ∈ (𝒫 (𝑒 βˆͺ {𝑠}) ∩ Fin) Β¬ 𝑋 = βˆͺ 𝑛)
Distinct variable groups:   π‘Ž,𝑏,𝑐,𝑑,𝑛,𝑠,𝑑,𝑒,𝑀,π‘₯,𝑦,𝐽   𝑋,π‘Ž,𝑏,𝑐,𝑑,𝑛,𝑠,𝑑,𝑒,𝑀,π‘₯,𝑦
Proof of Theorem alexsubALTlem3
Dummy variables 𝑓 π‘š 𝑣 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfrex2 3072 . . . . . . . . . . 11 (βˆƒπ‘› ∈ (𝒫 (𝑒 βˆͺ {𝑠}) ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑛 ↔ Β¬ βˆ€π‘› ∈ (𝒫 (𝑒 βˆͺ {𝑠}) ∩ Fin) Β¬ 𝑋 = βˆͺ 𝑛)
21ralbii 3092 . . . . . . . . . 10 (βˆ€π‘  ∈ 𝑑 βˆƒπ‘› ∈ (𝒫 (𝑒 βˆͺ {𝑠}) ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑛 ↔ βˆ€π‘  ∈ 𝑑 Β¬ βˆ€π‘› ∈ (𝒫 (𝑒 βˆͺ {𝑠}) ∩ Fin) Β¬ 𝑋 = βˆͺ 𝑛)
3 ralnex 3071 . . . . . . . . . 10 (βˆ€π‘  ∈ 𝑑 Β¬ βˆ€π‘› ∈ (𝒫 (𝑒 βˆͺ {𝑠}) ∩ Fin) Β¬ 𝑋 = βˆͺ 𝑛 ↔ Β¬ βˆƒπ‘  ∈ 𝑑 βˆ€π‘› ∈ (𝒫 (𝑒 βˆͺ {𝑠}) ∩ Fin) Β¬ 𝑋 = βˆͺ 𝑛)
42, 3bitr2i 276 . . . . . . . . 9 (Β¬ βˆƒπ‘  ∈ 𝑑 βˆ€π‘› ∈ (𝒫 (𝑒 βˆͺ {𝑠}) ∩ Fin) Β¬ 𝑋 = βˆͺ 𝑛 ↔ βˆ€π‘  ∈ 𝑑 βˆƒπ‘› ∈ (𝒫 (𝑒 βˆͺ {𝑠}) ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑛)
5 elin 3964 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 ∈ (𝒫 (𝑒 βˆͺ {𝑠}) ∩ Fin) ↔ (𝑛 ∈ 𝒫 (𝑒 βˆͺ {𝑠}) ∧ 𝑛 ∈ Fin))
6 elpwi 4609 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑛 ∈ 𝒫 (𝑒 βˆͺ {𝑠}) β†’ 𝑛 βŠ† (𝑒 βˆͺ {𝑠}))
76adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑛 ∈ 𝒫 (𝑒 βˆͺ {𝑠}) ∧ 𝑛 ∈ Fin) β†’ 𝑛 βŠ† (𝑒 βˆͺ {𝑠}))
8 uncom 4153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑒 βˆͺ {𝑠}) = ({𝑠} βˆͺ 𝑒)
97, 8sseqtrdi 4032 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑛 ∈ 𝒫 (𝑒 βˆͺ {𝑠}) ∧ 𝑛 ∈ Fin) β†’ 𝑛 βŠ† ({𝑠} βˆͺ 𝑒))
10 ssundif 4487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑛 βŠ† ({𝑠} βˆͺ 𝑒) ↔ (𝑛 βˆ– {𝑠}) βŠ† 𝑒)
119, 10sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑛 ∈ 𝒫 (𝑒 βˆͺ {𝑠}) ∧ 𝑛 ∈ Fin) β†’ (𝑛 βˆ– {𝑠}) βŠ† 𝑒)
12 diffi 9183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑛 ∈ Fin β†’ (𝑛 βˆ– {𝑠}) ∈ Fin)
1312adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑛 ∈ 𝒫 (𝑒 βˆͺ {𝑠}) ∧ 𝑛 ∈ Fin) β†’ (𝑛 βˆ– {𝑠}) ∈ Fin)
1411, 13jca 511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑛 ∈ 𝒫 (𝑒 βˆͺ {𝑠}) ∧ 𝑛 ∈ Fin) β†’ ((𝑛 βˆ– {𝑠}) βŠ† 𝑒 ∧ (𝑛 βˆ– {𝑠}) ∈ Fin))
155, 14sylbi 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 ∈ (𝒫 (𝑒 βˆͺ {𝑠}) ∩ Fin) β†’ ((𝑛 βˆ– {𝑠}) βŠ† 𝑒 ∧ (𝑛 βˆ– {𝑠}) ∈ Fin))
1615adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑛 ∈ (𝒫 (𝑒 βˆͺ {𝑠}) ∩ Fin) ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝑛) β†’ ((𝑛 βˆ– {𝑠}) βŠ† 𝑒 ∧ (𝑛 βˆ– {𝑠}) ∈ Fin))
1716ad2antll 726 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐽 = (topGenβ€˜(fiβ€˜π‘₯)) ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝒫 π‘₯(𝑋 = βˆͺ 𝑐 β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑑) ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 (fiβ€˜π‘₯)) ∧ (𝑒 ∈ 𝒫 (fiβ€˜π‘₯) ∧ π‘Ž βŠ† 𝑒)) ∧ (((𝑑 ∈ (𝒫 π‘₯ ∩ Fin) ∧ 𝑀 = ∩ 𝑑) ∧ (𝑦 ∈ 𝑀 ∧ Β¬ 𝑦 ∈ βˆͺ (π‘₯ ∩ 𝑒))) ∧ 𝑀 ∈ 𝑒)) ∧ (𝑠 ∈ 𝑑 ∧ (𝑛 ∈ (𝒫 (𝑒 βˆͺ {𝑠}) ∩ Fin) ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝑛))) β†’ ((𝑛 βˆ– {𝑠}) βŠ† 𝑒 ∧ (𝑛 βˆ– {𝑠}) ∈ Fin))
18 elin 3964 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑛 βˆ– {𝑠}) ∈ (𝒫 𝑒 ∩ Fin) ↔ ((𝑛 βˆ– {𝑠}) ∈ 𝒫 𝑒 ∧ (𝑛 βˆ– {𝑠}) ∈ Fin))
19 vex 3477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑒 ∈ V
2019elpw2 5345 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑛 βˆ– {𝑠}) ∈ 𝒫 𝑒 ↔ (𝑛 βˆ– {𝑠}) βŠ† 𝑒)
2120anbi1i 623 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑛 βˆ– {𝑠}) ∈ 𝒫 𝑒 ∧ (𝑛 βˆ– {𝑠}) ∈ Fin) ↔ ((𝑛 βˆ– {𝑠}) βŠ† 𝑒 ∧ (𝑛 βˆ– {𝑠}) ∈ Fin))
2218, 21bitr2i 276 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑛 βˆ– {𝑠}) βŠ† 𝑒 ∧ (𝑛 βˆ– {𝑠}) ∈ Fin) ↔ (𝑛 βˆ– {𝑠}) ∈ (𝒫 𝑒 ∩ Fin))
2317, 22sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐽 = (topGenβ€˜(fiβ€˜π‘₯)) ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝒫 π‘₯(𝑋 = βˆͺ 𝑐 β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑑) ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 (fiβ€˜π‘₯)) ∧ (𝑒 ∈ 𝒫 (fiβ€˜π‘₯) ∧ π‘Ž βŠ† 𝑒)) ∧ (((𝑑 ∈ (𝒫 π‘₯ ∩ Fin) ∧ 𝑀 = ∩ 𝑑) ∧ (𝑦 ∈ 𝑀 ∧ Β¬ 𝑦 ∈ βˆͺ (π‘₯ ∩ 𝑒))) ∧ 𝑀 ∈ 𝑒)) ∧ (𝑠 ∈ 𝑑 ∧ (𝑛 ∈ (𝒫 (𝑒 βˆͺ {𝑠}) ∩ Fin) ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝑛))) β†’ (𝑛 βˆ– {𝑠}) ∈ (𝒫 𝑒 ∩ Fin))
24 simprrr 779 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝐽 = (topGenβ€˜(fiβ€˜π‘₯)) ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝒫 π‘₯(𝑋 = βˆͺ 𝑐 β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑑) ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 (fiβ€˜π‘₯)) ∧ (𝑒 ∈ 𝒫 (fiβ€˜π‘₯) ∧ π‘Ž βŠ† 𝑒)) ∧ (((𝑑 ∈ (𝒫 π‘₯ ∩ Fin) ∧ 𝑀 = ∩ 𝑑) ∧ (𝑦 ∈ 𝑀 ∧ Β¬ 𝑦 ∈ βˆͺ (π‘₯ ∩ 𝑒))) ∧ 𝑀 ∈ 𝑒)) ∧ (𝑠 ∈ 𝑑 ∧ (𝑛 ∈ (𝒫 (𝑒 βˆͺ {𝑠}) ∩ Fin) ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝑛))) β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝑛)
25 eldif 3958 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (π‘₯ ∈ (𝑛 βˆ– {𝑠}) ↔ (π‘₯ ∈ 𝑛 ∧ Β¬ π‘₯ ∈ {𝑠}))
2625simplbi2 500 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (π‘₯ ∈ 𝑛 β†’ (Β¬ π‘₯ ∈ {𝑠} β†’ π‘₯ ∈ (𝑛 βˆ– {𝑠})))
27 elun 4148 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (π‘₯ ∈ ((𝑛 βˆ– {𝑠}) βˆͺ {𝑠}) ↔ (π‘₯ ∈ (𝑛 βˆ– {𝑠}) ∨ π‘₯ ∈ {𝑠}))
28 orcom 867 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((π‘₯ ∈ {𝑠} ∨ π‘₯ ∈ (𝑛 βˆ– {𝑠})) ↔ (π‘₯ ∈ (𝑛 βˆ– {𝑠}) ∨ π‘₯ ∈ {𝑠}))
2927, 28bitr4i 278 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (π‘₯ ∈ ((𝑛 βˆ– {𝑠}) βˆͺ {𝑠}) ↔ (π‘₯ ∈ {𝑠} ∨ π‘₯ ∈ (𝑛 βˆ– {𝑠})))
30 df-or 845 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((π‘₯ ∈ {𝑠} ∨ π‘₯ ∈ (𝑛 βˆ– {𝑠})) ↔ (Β¬ π‘₯ ∈ {𝑠} β†’ π‘₯ ∈ (𝑛 βˆ– {𝑠})))
3129, 30bitr2i 276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((Β¬ π‘₯ ∈ {𝑠} β†’ π‘₯ ∈ (𝑛 βˆ– {𝑠})) ↔ π‘₯ ∈ ((𝑛 βˆ– {𝑠}) βˆͺ {𝑠}))
3226, 31sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘₯ ∈ 𝑛 β†’ π‘₯ ∈ ((𝑛 βˆ– {𝑠}) βˆͺ {𝑠}))
3332ssriv 3986 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑛 βŠ† ((𝑛 βˆ– {𝑠}) βˆͺ {𝑠})
34 uniss 4916 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 βŠ† ((𝑛 βˆ– {𝑠}) βˆͺ {𝑠}) β†’ βˆͺ 𝑛 βŠ† βˆͺ ((𝑛 βˆ– {𝑠}) βˆͺ {𝑠}))
3533, 34mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝐽 = (topGenβ€˜(fiβ€˜π‘₯)) ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝒫 π‘₯(𝑋 = βˆͺ 𝑐 β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑑) ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 (fiβ€˜π‘₯)) ∧ (𝑒 ∈ 𝒫 (fiβ€˜π‘₯) ∧ π‘Ž βŠ† 𝑒)) ∧ (((𝑑 ∈ (𝒫 π‘₯ ∩ Fin) ∧ 𝑀 = ∩ 𝑑) ∧ (𝑦 ∈ 𝑀 ∧ Β¬ 𝑦 ∈ βˆͺ (π‘₯ ∩ 𝑒))) ∧ 𝑀 ∈ 𝑒)) ∧ (𝑠 ∈ 𝑑 ∧ (𝑛 ∈ (𝒫 (𝑒 βˆͺ {𝑠}) ∩ Fin) ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝑛))) β†’ βˆͺ 𝑛 βŠ† βˆͺ ((𝑛 βˆ– {𝑠}) βˆͺ {𝑠}))
36 uniun 4934 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 βˆͺ ((𝑛 βˆ– {𝑠}) βˆͺ {𝑠}) = (βˆͺ (𝑛 βˆ– {𝑠}) βˆͺ βˆͺ {𝑠})
37 unisnv 4931 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 βˆͺ {𝑠} = 𝑠
3837uneq2i 4160 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (βˆͺ (𝑛 βˆ– {𝑠}) βˆͺ βˆͺ {𝑠}) = (βˆͺ (𝑛 βˆ– {𝑠}) βˆͺ 𝑠)
3936, 38eqtri 2759 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 βˆͺ ((𝑛 βˆ– {𝑠}) βˆͺ {𝑠}) = (βˆͺ (𝑛 βˆ– {𝑠}) βˆͺ 𝑠)
4035, 39sseqtrdi 4032 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝐽 = (topGenβ€˜(fiβ€˜π‘₯)) ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝒫 π‘₯(𝑋 = βˆͺ 𝑐 β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑑) ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 (fiβ€˜π‘₯)) ∧ (𝑒 ∈ 𝒫 (fiβ€˜π‘₯) ∧ π‘Ž βŠ† 𝑒)) ∧ (((𝑑 ∈ (𝒫 π‘₯ ∩ Fin) ∧ 𝑀 = ∩ 𝑑) ∧ (𝑦 ∈ 𝑀 ∧ Β¬ 𝑦 ∈ βˆͺ (π‘₯ ∩ 𝑒))) ∧ 𝑀 ∈ 𝑒)) ∧ (𝑠 ∈ 𝑑 ∧ (𝑛 ∈ (𝒫 (𝑒 βˆͺ {𝑠}) ∩ Fin) ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝑛))) β†’ βˆͺ 𝑛 βŠ† (βˆͺ (𝑛 βˆ– {𝑠}) βˆͺ 𝑠))
4124, 40eqsstrd 4020 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐽 = (topGenβ€˜(fiβ€˜π‘₯)) ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝒫 π‘₯(𝑋 = βˆͺ 𝑐 β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑑) ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 (fiβ€˜π‘₯)) ∧ (𝑒 ∈ 𝒫 (fiβ€˜π‘₯) ∧ π‘Ž βŠ† 𝑒)) ∧ (((𝑑 ∈ (𝒫 π‘₯ ∩ Fin) ∧ 𝑀 = ∩ 𝑑) ∧ (𝑦 ∈ 𝑀 ∧ Β¬ 𝑦 ∈ βˆͺ (π‘₯ ∩ 𝑒))) ∧ 𝑀 ∈ 𝑒)) ∧ (𝑠 ∈ 𝑑 ∧ (𝑛 ∈ (𝒫 (𝑒 βˆͺ {𝑠}) ∩ Fin) ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝑛))) β†’ 𝑋 βŠ† (βˆͺ (𝑛 βˆ– {𝑠}) βˆͺ 𝑠))
42 difss 4131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑛 βˆ– {𝑠}) βŠ† 𝑛
4342unissi 4917 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 βˆͺ (𝑛 βˆ– {𝑠}) βŠ† βˆͺ 𝑛
44 sseq2 4008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑋 = βˆͺ 𝑛 β†’ (βˆͺ (𝑛 βˆ– {𝑠}) βŠ† 𝑋 ↔ βˆͺ (𝑛 βˆ– {𝑠}) βŠ† βˆͺ 𝑛))
4543, 44mpbiri 258 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑋 = βˆͺ 𝑛 β†’ βˆͺ (𝑛 βˆ– {𝑠}) βŠ† 𝑋)
4645adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑛 ∈ (𝒫 (𝑒 βˆͺ {𝑠}) ∩ Fin) ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝑛) β†’ βˆͺ (𝑛 βˆ– {𝑠}) βŠ† 𝑋)
4746ad2antll 726 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝐽 = (topGenβ€˜(fiβ€˜π‘₯)) ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝒫 π‘₯(𝑋 = βˆͺ 𝑐 β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑑) ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 (fiβ€˜π‘₯)) ∧ (𝑒 ∈ 𝒫 (fiβ€˜π‘₯) ∧ π‘Ž βŠ† 𝑒)) ∧ (((𝑑 ∈ (𝒫 π‘₯ ∩ Fin) ∧ 𝑀 = ∩ 𝑑) ∧ (𝑦 ∈ 𝑀 ∧ Β¬ 𝑦 ∈ βˆͺ (π‘₯ ∩ 𝑒))) ∧ 𝑀 ∈ 𝑒)) ∧ (𝑠 ∈ 𝑑 ∧ (𝑛 ∈ (𝒫 (𝑒 βˆͺ {𝑠}) ∩ Fin) ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝑛))) β†’ βˆͺ (𝑛 βˆ– {𝑠}) βŠ† 𝑋)
48 elinel1 4195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑑 ∈ (𝒫 π‘₯ ∩ Fin) β†’ 𝑑 ∈ 𝒫 π‘₯)
4948elpwid 4611 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑑 ∈ (𝒫 π‘₯ ∩ Fin) β†’ 𝑑 βŠ† π‘₯)
5049ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝑑 ∈ (𝒫 π‘₯ ∩ Fin) ∧ 𝑀 = ∩ 𝑑) ∧ (𝑦 ∈ 𝑀 ∧ Β¬ 𝑦 ∈ βˆͺ (π‘₯ ∩ 𝑒))) ∧ 𝑀 ∈ 𝑒) β†’ 𝑑 βŠ† π‘₯)
5150ad2antlr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝐽 = (topGenβ€˜(fiβ€˜π‘₯)) ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝒫 π‘₯(𝑋 = βˆͺ 𝑐 β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑑) ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 (fiβ€˜π‘₯)) ∧ (𝑒 ∈ 𝒫 (fiβ€˜π‘₯) ∧ π‘Ž βŠ† 𝑒)) ∧ (((𝑑 ∈ (𝒫 π‘₯ ∩ Fin) ∧ 𝑀 = ∩ 𝑑) ∧ (𝑦 ∈ 𝑀 ∧ Β¬ 𝑦 ∈ βˆͺ (π‘₯ ∩ 𝑒))) ∧ 𝑀 ∈ 𝑒)) ∧ (𝑠 ∈ 𝑑 ∧ (𝑛 ∈ (𝒫 (𝑒 βˆͺ {𝑠}) ∩ Fin) ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝑛))) β†’ 𝑑 βŠ† π‘₯)
52 simprl 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝐽 = (topGenβ€˜(fiβ€˜π‘₯)) ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝒫 π‘₯(𝑋 = βˆͺ 𝑐 β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑑) ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 (fiβ€˜π‘₯)) ∧ (𝑒 ∈ 𝒫 (fiβ€˜π‘₯) ∧ π‘Ž βŠ† 𝑒)) ∧ (((𝑑 ∈ (𝒫 π‘₯ ∩ Fin) ∧ 𝑀 = ∩ 𝑑) ∧ (𝑦 ∈ 𝑀 ∧ Β¬ 𝑦 ∈ βˆͺ (π‘₯ ∩ 𝑒))) ∧ 𝑀 ∈ 𝑒)) ∧ (𝑠 ∈ 𝑑 ∧ (𝑛 ∈ (𝒫 (𝑒 βˆͺ {𝑠}) ∩ Fin) ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝑛))) β†’ 𝑠 ∈ 𝑑)
5351, 52sseldd 3983 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝐽 = (topGenβ€˜(fiβ€˜π‘₯)) ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝒫 π‘₯(𝑋 = βˆͺ 𝑐 β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑑) ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 (fiβ€˜π‘₯)) ∧ (𝑒 ∈ 𝒫 (fiβ€˜π‘₯) ∧ π‘Ž βŠ† 𝑒)) ∧ (((𝑑 ∈ (𝒫 π‘₯ ∩ Fin) ∧ 𝑀 = ∩ 𝑑) ∧ (𝑦 ∈ 𝑀 ∧ Β¬ 𝑦 ∈ βˆͺ (π‘₯ ∩ 𝑒))) ∧ 𝑀 ∈ 𝑒)) ∧ (𝑠 ∈ 𝑑 ∧ (𝑛 ∈ (𝒫 (𝑒 βˆͺ {𝑠}) ∩ Fin) ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝑛))) β†’ 𝑠 ∈ π‘₯)
54 elssuni 4941 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑠 ∈ π‘₯ β†’ 𝑠 βŠ† βˆͺ π‘₯)
5553, 54syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝐽 = (topGenβ€˜(fiβ€˜π‘₯)) ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝒫 π‘₯(𝑋 = βˆͺ 𝑐 β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑑) ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 (fiβ€˜π‘₯)) ∧ (𝑒 ∈ 𝒫 (fiβ€˜π‘₯) ∧ π‘Ž βŠ† 𝑒)) ∧ (((𝑑 ∈ (𝒫 π‘₯ ∩ Fin) ∧ 𝑀 = ∩ 𝑑) ∧ (𝑦 ∈ 𝑀 ∧ Β¬ 𝑦 ∈ βˆͺ (π‘₯ ∩ 𝑒))) ∧ 𝑀 ∈ 𝑒)) ∧ (𝑠 ∈ 𝑑 ∧ (𝑛 ∈ (𝒫 (𝑒 βˆͺ {𝑠}) ∩ Fin) ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝑛))) β†’ 𝑠 βŠ† βˆͺ π‘₯)
56 fibas 22701 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (fiβ€˜π‘₯) ∈ TopBases
57 unitg 22691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((fiβ€˜π‘₯) ∈ TopBases β†’ βˆͺ (topGenβ€˜(fiβ€˜π‘₯)) = βˆͺ (fiβ€˜π‘₯))
5856, 57mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝐽 = (topGenβ€˜(fiβ€˜π‘₯)) ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝒫 π‘₯(𝑋 = βˆͺ 𝑐 β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑑) ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 (fiβ€˜π‘₯)) ∧ (𝑒 ∈ 𝒫 (fiβ€˜π‘₯) ∧ π‘Ž βŠ† 𝑒)) ∧ (((𝑑 ∈ (𝒫 π‘₯ ∩ Fin) ∧ 𝑀 = ∩ 𝑑) ∧ (𝑦 ∈ 𝑀 ∧ Β¬ 𝑦 ∈ βˆͺ (π‘₯ ∩ 𝑒))) ∧ 𝑀 ∈ 𝑒)) ∧ (𝑠 ∈ 𝑑 ∧ (𝑛 ∈ (𝒫 (𝑒 βˆͺ {𝑠}) ∩ Fin) ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝑛))) β†’ βˆͺ (topGenβ€˜(fiβ€˜π‘₯)) = βˆͺ (fiβ€˜π‘₯))
59 unieq 4919 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐽 = (topGenβ€˜(fiβ€˜π‘₯)) β†’ βˆͺ 𝐽 = βˆͺ (topGenβ€˜(fiβ€˜π‘₯)))
60593ad2ant1 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐽 = (topGenβ€˜(fiβ€˜π‘₯)) ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝒫 π‘₯(𝑋 = βˆͺ 𝑐 β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑑) ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 (fiβ€˜π‘₯)) β†’ βˆͺ 𝐽 = βˆͺ (topGenβ€˜(fiβ€˜π‘₯)))
6160ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝐽 = (topGenβ€˜(fiβ€˜π‘₯)) ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝒫 π‘₯(𝑋 = βˆͺ 𝑐 β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑑) ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 (fiβ€˜π‘₯)) ∧ (𝑒 ∈ 𝒫 (fiβ€˜π‘₯) ∧ π‘Ž βŠ† 𝑒)) ∧ (((𝑑 ∈ (𝒫 π‘₯ ∩ Fin) ∧ 𝑀 = ∩ 𝑑) ∧ (𝑦 ∈ 𝑀 ∧ Β¬ 𝑦 ∈ βˆͺ (π‘₯ ∩ 𝑒))) ∧ 𝑀 ∈ 𝑒)) ∧ (𝑠 ∈ 𝑑 ∧ (𝑛 ∈ (𝒫 (𝑒 βˆͺ {𝑠}) ∩ Fin) ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝑛))) β†’ βˆͺ 𝐽 = βˆͺ (topGenβ€˜(fiβ€˜π‘₯)))
62 vex 3477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 π‘₯ ∈ V
63 fiuni 9427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (π‘₯ ∈ V β†’ βˆͺ π‘₯ = βˆͺ (fiβ€˜π‘₯))
6462, 63mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝐽 = (topGenβ€˜(fiβ€˜π‘₯)) ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝒫 π‘₯(𝑋 = βˆͺ 𝑐 β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑑) ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 (fiβ€˜π‘₯)) ∧ (𝑒 ∈ 𝒫 (fiβ€˜π‘₯) ∧ π‘Ž βŠ† 𝑒)) ∧ (((𝑑 ∈ (𝒫 π‘₯ ∩ Fin) ∧ 𝑀 = ∩ 𝑑) ∧ (𝑦 ∈ 𝑀 ∧ Β¬ 𝑦 ∈ βˆͺ (π‘₯ ∩ 𝑒))) ∧ 𝑀 ∈ 𝑒)) ∧ (𝑠 ∈ 𝑑 ∧ (𝑛 ∈ (𝒫 (𝑒 βˆͺ {𝑠}) ∩ Fin) ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝑛))) β†’ βˆͺ π‘₯ = βˆͺ (fiβ€˜π‘₯))
6558, 61, 643eqtr4rd 2782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝐽 = (topGenβ€˜(fiβ€˜π‘₯)) ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝒫 π‘₯(𝑋 = βˆͺ 𝑐 β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑑) ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 (fiβ€˜π‘₯)) ∧ (𝑒 ∈ 𝒫 (fiβ€˜π‘₯) ∧ π‘Ž βŠ† 𝑒)) ∧ (((𝑑 ∈ (𝒫 π‘₯ ∩ Fin) ∧ 𝑀 = ∩ 𝑑) ∧ (𝑦 ∈ 𝑀 ∧ Β¬ 𝑦 ∈ βˆͺ (π‘₯ ∩ 𝑒))) ∧ 𝑀 ∈ 𝑒)) ∧ (𝑠 ∈ 𝑑 ∧ (𝑛 ∈ (𝒫 (𝑒 βˆͺ {𝑠}) ∩ Fin) ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝑛))) β†’ βˆͺ π‘₯ = βˆͺ 𝐽)
66 alexsubALT.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑋 = βˆͺ 𝐽
6765, 66eqtr4di 2789 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝐽 = (topGenβ€˜(fiβ€˜π‘₯)) ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝒫 π‘₯(𝑋 = βˆͺ 𝑐 β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑑) ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 (fiβ€˜π‘₯)) ∧ (𝑒 ∈ 𝒫 (fiβ€˜π‘₯) ∧ π‘Ž βŠ† 𝑒)) ∧ (((𝑑 ∈ (𝒫 π‘₯ ∩ Fin) ∧ 𝑀 = ∩ 𝑑) ∧ (𝑦 ∈ 𝑀 ∧ Β¬ 𝑦 ∈ βˆͺ (π‘₯ ∩ 𝑒))) ∧ 𝑀 ∈ 𝑒)) ∧ (𝑠 ∈ 𝑑 ∧ (𝑛 ∈ (𝒫 (𝑒 βˆͺ {𝑠}) ∩ Fin) ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝑛))) β†’ βˆͺ π‘₯ = 𝑋)
6855, 67sseqtrd 4022 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝐽 = (topGenβ€˜(fiβ€˜π‘₯)) ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝒫 π‘₯(𝑋 = βˆͺ 𝑐 β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑑) ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 (fiβ€˜π‘₯)) ∧ (𝑒 ∈ 𝒫 (fiβ€˜π‘₯) ∧ π‘Ž βŠ† 𝑒)) ∧ (((𝑑 ∈ (𝒫 π‘₯ ∩ Fin) ∧ 𝑀 = ∩ 𝑑) ∧ (𝑦 ∈ 𝑀 ∧ Β¬ 𝑦 ∈ βˆͺ (π‘₯ ∩ 𝑒))) ∧ 𝑀 ∈ 𝑒)) ∧ (𝑠 ∈ 𝑑 ∧ (𝑛 ∈ (𝒫 (𝑒 βˆͺ {𝑠}) ∩ Fin) ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝑛))) β†’ 𝑠 βŠ† 𝑋)
6947, 68unssd 4186 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐽 = (topGenβ€˜(fiβ€˜π‘₯)) ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝒫 π‘₯(𝑋 = βˆͺ 𝑐 β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑑) ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 (fiβ€˜π‘₯)) ∧ (𝑒 ∈ 𝒫 (fiβ€˜π‘₯) ∧ π‘Ž βŠ† 𝑒)) ∧ (((𝑑 ∈ (𝒫 π‘₯ ∩ Fin) ∧ 𝑀 = ∩ 𝑑) ∧ (𝑦 ∈ 𝑀 ∧ Β¬ 𝑦 ∈ βˆͺ (π‘₯ ∩ 𝑒))) ∧ 𝑀 ∈ 𝑒)) ∧ (𝑠 ∈ 𝑑 ∧ (𝑛 ∈ (𝒫 (𝑒 βˆͺ {𝑠}) ∩ Fin) ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝑛))) β†’ (βˆͺ (𝑛 βˆ– {𝑠}) βˆͺ 𝑠) βŠ† 𝑋)
7041, 69eqssd 3999 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐽 = (topGenβ€˜(fiβ€˜π‘₯)) ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝒫 π‘₯(𝑋 = βˆͺ 𝑐 β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑑) ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 (fiβ€˜π‘₯)) ∧ (𝑒 ∈ 𝒫 (fiβ€˜π‘₯) ∧ π‘Ž βŠ† 𝑒)) ∧ (((𝑑 ∈ (𝒫 π‘₯ ∩ Fin) ∧ 𝑀 = ∩ 𝑑) ∧ (𝑦 ∈ 𝑀 ∧ Β¬ 𝑦 ∈ βˆͺ (π‘₯ ∩ 𝑒))) ∧ 𝑀 ∈ 𝑒)) ∧ (𝑠 ∈ 𝑑 ∧ (𝑛 ∈ (𝒫 (𝑒 βˆͺ {𝑠}) ∩ Fin) ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝑛))) β†’ 𝑋 = (βˆͺ (𝑛 βˆ– {𝑠}) βˆͺ 𝑠))
71 unieq 4919 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘š = (𝑛 βˆ– {𝑠}) β†’ βˆͺ π‘š = βˆͺ (𝑛 βˆ– {𝑠}))
7271uneq1d 4162 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘š = (𝑛 βˆ– {𝑠}) β†’ (βˆͺ π‘š βˆͺ 𝑠) = (βˆͺ (𝑛 βˆ– {𝑠}) βˆͺ 𝑠))
7372rspceeqv 3633 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑛 βˆ– {𝑠}) ∈ (𝒫 𝑒 ∩ Fin) ∧ 𝑋 = (βˆͺ (𝑛 βˆ– {𝑠}) βˆͺ 𝑠)) β†’ βˆƒπ‘š ∈ (𝒫 𝑒 ∩ Fin)𝑋 = (βˆͺ π‘š βˆͺ 𝑠))
7423, 70, 73syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐽 = (topGenβ€˜(fiβ€˜π‘₯)) ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝒫 π‘₯(𝑋 = βˆͺ 𝑐 β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑑) ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 (fiβ€˜π‘₯)) ∧ (𝑒 ∈ 𝒫 (fiβ€˜π‘₯) ∧ π‘Ž βŠ† 𝑒)) ∧ (((𝑑 ∈ (𝒫 π‘₯ ∩ Fin) ∧ 𝑀 = ∩ 𝑑) ∧ (𝑦 ∈ 𝑀 ∧ Β¬ 𝑦 ∈ βˆͺ (π‘₯ ∩ 𝑒))) ∧ 𝑀 ∈ 𝑒)) ∧ (𝑠 ∈ 𝑑 ∧ (𝑛 ∈ (𝒫 (𝑒 βˆͺ {𝑠}) ∩ Fin) ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝑛))) β†’ βˆƒπ‘š ∈ (𝒫 𝑒 ∩ Fin)𝑋 = (βˆͺ π‘š βˆͺ 𝑠))
7574expr 456 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐽 = (topGenβ€˜(fiβ€˜π‘₯)) ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝒫 π‘₯(𝑋 = βˆͺ 𝑐 β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑑) ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 (fiβ€˜π‘₯)) ∧ (𝑒 ∈ 𝒫 (fiβ€˜π‘₯) ∧ π‘Ž βŠ† 𝑒)) ∧ (((𝑑 ∈ (𝒫 π‘₯ ∩ Fin) ∧ 𝑀 = ∩ 𝑑) ∧ (𝑦 ∈ 𝑀 ∧ Β¬ 𝑦 ∈ βˆͺ (π‘₯ ∩ 𝑒))) ∧ 𝑀 ∈ 𝑒)) ∧ 𝑠 ∈ 𝑑) β†’ ((𝑛 ∈ (𝒫 (𝑒 βˆͺ {𝑠}) ∩ Fin) ∧ 𝑋 = βˆͺ 𝑛) β†’ βˆƒπ‘š ∈ (𝒫 𝑒 ∩ Fin)𝑋 = (βˆͺ π‘š βˆͺ 𝑠)))
7675expd 415 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐽 = (topGenβ€˜(fiβ€˜π‘₯)) ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝒫 π‘₯(𝑋 = βˆͺ 𝑐 β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑑) ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 (fiβ€˜π‘₯)) ∧ (𝑒 ∈ 𝒫 (fiβ€˜π‘₯) ∧ π‘Ž βŠ† 𝑒)) ∧ (((𝑑 ∈ (𝒫 π‘₯ ∩ Fin) ∧ 𝑀 = ∩ 𝑑) ∧ (𝑦 ∈ 𝑀 ∧ Β¬ 𝑦 ∈ βˆͺ (π‘₯ ∩ 𝑒))) ∧ 𝑀 ∈ 𝑒)) ∧ 𝑠 ∈ 𝑑) β†’ (𝑛 ∈ (𝒫 (𝑒 βˆͺ {𝑠}) ∩ Fin) β†’ (𝑋 = βˆͺ 𝑛 β†’ βˆƒπ‘š ∈ (𝒫 𝑒 ∩ Fin)𝑋 = (βˆͺ π‘š βˆͺ 𝑠))))
7776rexlimdv 3152 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐽 = (topGenβ€˜(fiβ€˜π‘₯)) ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝒫 π‘₯(𝑋 = βˆͺ 𝑐 β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑑) ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 (fiβ€˜π‘₯)) ∧ (𝑒 ∈ 𝒫 (fiβ€˜π‘₯) ∧ π‘Ž βŠ† 𝑒)) ∧ (((𝑑 ∈ (𝒫 π‘₯ ∩ Fin) ∧ 𝑀 = ∩ 𝑑) ∧ (𝑦 ∈ 𝑀 ∧ Β¬ 𝑦 ∈ βˆͺ (π‘₯ ∩ 𝑒))) ∧ 𝑀 ∈ 𝑒)) ∧ 𝑠 ∈ 𝑑) β†’ (βˆƒπ‘› ∈ (𝒫 (𝑒 βˆͺ {𝑠}) ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑛 β†’ βˆƒπ‘š ∈ (𝒫 𝑒 ∩ Fin)𝑋 = (βˆͺ π‘š βˆͺ 𝑠)))
7877ralimdva 3166 . . . . . . . . . 10 ((((𝐽 = (topGenβ€˜(fiβ€˜π‘₯)) ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝒫 π‘₯(𝑋 = βˆͺ 𝑐 β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑑) ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 (fiβ€˜π‘₯)) ∧ (𝑒 ∈ 𝒫 (fiβ€˜π‘₯) ∧ π‘Ž βŠ† 𝑒)) ∧ (((𝑑 ∈ (𝒫 π‘₯ ∩ Fin) ∧ 𝑀 = ∩ 𝑑) ∧ (𝑦 ∈ 𝑀 ∧ Β¬ 𝑦 ∈ βˆͺ (π‘₯ ∩ 𝑒))) ∧ 𝑀 ∈ 𝑒)) β†’ (βˆ€π‘  ∈ 𝑑 βˆƒπ‘› ∈ (𝒫 (𝑒 βˆͺ {𝑠}) ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑛 β†’ βˆ€π‘  ∈ 𝑑 βˆƒπ‘š ∈ (𝒫 𝑒 ∩ Fin)𝑋 = (βˆͺ π‘š βˆͺ 𝑠)))
79 elinel2 4196 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑑 ∈ (𝒫 π‘₯ ∩ Fin) β†’ 𝑑 ∈ Fin)
8079adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑑 ∈ (𝒫 π‘₯ ∩ Fin) ∧ 𝑀 = ∩ 𝑑) β†’ 𝑑 ∈ Fin)
81 unieq 4919 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘š = (π‘“β€˜π‘ ) β†’ βˆͺ π‘š = βˆͺ (π‘“β€˜π‘ ))
8281uneq1d 4162 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘š = (π‘“β€˜π‘ ) β†’ (βˆͺ π‘š βˆͺ 𝑠) = (βˆͺ (π‘“β€˜π‘ ) βˆͺ 𝑠))
8382eqeq2d 2742 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘š = (π‘“β€˜π‘ ) β†’ (𝑋 = (βˆͺ π‘š βˆͺ 𝑠) ↔ 𝑋 = (βˆͺ (π‘“β€˜π‘ ) βˆͺ 𝑠)))
8483ac6sfi 9291 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑑 ∈ Fin ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝑑 βˆƒπ‘š ∈ (𝒫 𝑒 ∩ Fin)𝑋 = (βˆͺ π‘š βˆͺ 𝑠)) β†’ βˆƒπ‘“(𝑓:π‘‘βŸΆ(𝒫 𝑒 ∩ Fin) ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝑑 𝑋 = (βˆͺ (π‘“β€˜π‘ ) βˆͺ 𝑠)))
8584ex 412 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑑 ∈ Fin β†’ (βˆ€π‘  ∈ 𝑑 βˆƒπ‘š ∈ (𝒫 𝑒 ∩ Fin)𝑋 = (βˆͺ π‘š βˆͺ 𝑠) β†’ βˆƒπ‘“(𝑓:π‘‘βŸΆ(𝒫 𝑒 ∩ Fin) ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝑑 𝑋 = (βˆͺ (π‘“β€˜π‘ ) βˆͺ 𝑠))))
8680, 85syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑑 ∈ (𝒫 π‘₯ ∩ Fin) ∧ 𝑀 = ∩ 𝑑) β†’ (βˆ€π‘  ∈ 𝑑 βˆƒπ‘š ∈ (𝒫 𝑒 ∩ Fin)𝑋 = (βˆͺ π‘š βˆͺ 𝑠) β†’ βˆƒπ‘“(𝑓:π‘‘βŸΆ(𝒫 𝑒 ∩ Fin) ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝑑 𝑋 = (βˆͺ (π‘“β€˜π‘ ) βˆͺ 𝑠))))
8786adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝑑 ∈ (𝒫 π‘₯ ∩ Fin) ∧ 𝑀 = ∩ 𝑑) ∧ (𝑦 ∈ 𝑀 ∧ Β¬ 𝑦 ∈ βˆͺ (π‘₯ ∩ 𝑒))) β†’ (βˆ€π‘  ∈ 𝑑 βˆƒπ‘š ∈ (𝒫 𝑒 ∩ Fin)𝑋 = (βˆͺ π‘š βˆͺ 𝑠) β†’ βˆƒπ‘“(𝑓:π‘‘βŸΆ(𝒫 𝑒 ∩ Fin) ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝑑 𝑋 = (βˆͺ (π‘“β€˜π‘ ) βˆͺ 𝑠))))
8887ad2antrl 725 . . . . . . . . . 10 ((((𝐽 = (topGenβ€˜(fiβ€˜π‘₯)) ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝒫 π‘₯(𝑋 = βˆͺ 𝑐 β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑑) ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 (fiβ€˜π‘₯)) ∧ (𝑒 ∈ 𝒫 (fiβ€˜π‘₯) ∧ π‘Ž βŠ† 𝑒)) ∧ (((𝑑 ∈ (𝒫 π‘₯ ∩ Fin) ∧ 𝑀 = ∩ 𝑑) ∧ (𝑦 ∈ 𝑀 ∧ Β¬ 𝑦 ∈ βˆͺ (π‘₯ ∩ 𝑒))) ∧ 𝑀 ∈ 𝑒)) β†’ (βˆ€π‘  ∈ 𝑑 βˆƒπ‘š ∈ (𝒫 𝑒 ∩ Fin)𝑋 = (βˆͺ π‘š βˆͺ 𝑠) β†’ βˆƒπ‘“(𝑓:π‘‘βŸΆ(𝒫 𝑒 ∩ Fin) ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝑑 𝑋 = (βˆͺ (π‘“β€˜π‘ ) βˆͺ 𝑠))))
89 ffvelcdm 7083 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑓:π‘‘βŸΆ(𝒫 𝑒 ∩ Fin) ∧ 𝑠 ∈ 𝑑) β†’ (π‘“β€˜π‘ ) ∈ (𝒫 𝑒 ∩ Fin))
90 elin 3964 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((π‘“β€˜π‘ ) ∈ (𝒫 𝑒 ∩ Fin) ↔ ((π‘“β€˜π‘ ) ∈ 𝒫 𝑒 ∧ (π‘“β€˜π‘ ) ∈ Fin))
91 elpwi 4609 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((π‘“β€˜π‘ ) ∈ 𝒫 𝑒 β†’ (π‘“β€˜π‘ ) βŠ† 𝑒)
9291adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((π‘“β€˜π‘ ) ∈ 𝒫 𝑒 ∧ (π‘“β€˜π‘ ) ∈ Fin) β†’ (π‘“β€˜π‘ ) βŠ† 𝑒)
9390, 92sylbi 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((π‘“β€˜π‘ ) ∈ (𝒫 𝑒 ∩ Fin) β†’ (π‘“β€˜π‘ ) βŠ† 𝑒)
9489, 93syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑓:π‘‘βŸΆ(𝒫 𝑒 ∩ Fin) ∧ 𝑠 ∈ 𝑑) β†’ (π‘“β€˜π‘ ) βŠ† 𝑒)
9594ralrimiva 3145 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑓:π‘‘βŸΆ(𝒫 𝑒 ∩ Fin) β†’ βˆ€π‘  ∈ 𝑑 (π‘“β€˜π‘ ) βŠ† 𝑒)
96 iunss 5048 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (βˆͺ 𝑠 ∈ 𝑑 (π‘“β€˜π‘ ) βŠ† 𝑒 ↔ βˆ€π‘  ∈ 𝑑 (π‘“β€˜π‘ ) βŠ† 𝑒)
9795, 96sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑓:π‘‘βŸΆ(𝒫 𝑒 ∩ Fin) β†’ βˆͺ 𝑠 ∈ 𝑑 (π‘“β€˜π‘ ) βŠ† 𝑒)
9897ad2antrl 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐽 = (topGenβ€˜(fiβ€˜π‘₯)) ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝒫 π‘₯(𝑋 = βˆͺ 𝑐 β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑑) ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 (fiβ€˜π‘₯)) ∧ (𝑒 ∈ 𝒫 (fiβ€˜π‘₯) ∧ π‘Ž βŠ† 𝑒)) ∧ (((𝑑 ∈ (𝒫 π‘₯ ∩ Fin) ∧ 𝑀 = ∩ 𝑑) ∧ (𝑦 ∈ 𝑀 ∧ Β¬ 𝑦 ∈ βˆͺ (π‘₯ ∩ 𝑒))) ∧ 𝑀 ∈ 𝑒)) ∧ (𝑓:π‘‘βŸΆ(𝒫 𝑒 ∩ Fin) ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝑑 𝑋 = (βˆͺ (π‘“β€˜π‘ ) βˆͺ 𝑠))) β†’ βˆͺ 𝑠 ∈ 𝑑 (π‘“β€˜π‘ ) βŠ† 𝑒)
99 simplrr 775 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝐽 = (topGenβ€˜(fiβ€˜π‘₯)) ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝒫 π‘₯(𝑋 = βˆͺ 𝑐 β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑑) ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 (fiβ€˜π‘₯)) ∧ (𝑒 ∈ 𝒫 (fiβ€˜π‘₯) ∧ π‘Ž βŠ† 𝑒)) ∧ (((𝑑 ∈ (𝒫 π‘₯ ∩ Fin) ∧ 𝑀 = ∩ 𝑑) ∧ (𝑦 ∈ 𝑀 ∧ Β¬ 𝑦 ∈ βˆͺ (π‘₯ ∩ 𝑒))) ∧ 𝑀 ∈ 𝑒)) ∧ (𝑓:π‘‘βŸΆ(𝒫 𝑒 ∩ Fin) ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝑑 𝑋 = (βˆͺ (π‘“β€˜π‘ ) βˆͺ 𝑠))) β†’ 𝑀 ∈ 𝑒)
10099snssd 4812 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐽 = (topGenβ€˜(fiβ€˜π‘₯)) ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝒫 π‘₯(𝑋 = βˆͺ 𝑐 β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑑) ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 (fiβ€˜π‘₯)) ∧ (𝑒 ∈ 𝒫 (fiβ€˜π‘₯) ∧ π‘Ž βŠ† 𝑒)) ∧ (((𝑑 ∈ (𝒫 π‘₯ ∩ Fin) ∧ 𝑀 = ∩ 𝑑) ∧ (𝑦 ∈ 𝑀 ∧ Β¬ 𝑦 ∈ βˆͺ (π‘₯ ∩ 𝑒))) ∧ 𝑀 ∈ 𝑒)) ∧ (𝑓:π‘‘βŸΆ(𝒫 𝑒 ∩ Fin) ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝑑 𝑋 = (βˆͺ (π‘“β€˜π‘ ) βˆͺ 𝑠))) β†’ {𝑀} βŠ† 𝑒)
10198, 100unssd 4186 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐽 = (topGenβ€˜(fiβ€˜π‘₯)) ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝒫 π‘₯(𝑋 = βˆͺ 𝑐 β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑑) ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 (fiβ€˜π‘₯)) ∧ (𝑒 ∈ 𝒫 (fiβ€˜π‘₯) ∧ π‘Ž βŠ† 𝑒)) ∧ (((𝑑 ∈ (𝒫 π‘₯ ∩ Fin) ∧ 𝑀 = ∩ 𝑑) ∧ (𝑦 ∈ 𝑀 ∧ Β¬ 𝑦 ∈ βˆͺ (π‘₯ ∩ 𝑒))) ∧ 𝑀 ∈ 𝑒)) ∧ (𝑓:π‘‘βŸΆ(𝒫 𝑒 ∩ Fin) ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝑑 𝑋 = (βˆͺ (π‘“β€˜π‘ ) βˆͺ 𝑠))) β†’ (βˆͺ 𝑠 ∈ 𝑑 (π‘“β€˜π‘ ) βˆͺ {𝑀}) βŠ† 𝑒)
10289elin2d 4199 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑓:π‘‘βŸΆ(𝒫 𝑒 ∩ Fin) ∧ 𝑠 ∈ 𝑑) β†’ (π‘“β€˜π‘ ) ∈ Fin)
103102ralrimiva 3145 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑓:π‘‘βŸΆ(𝒫 𝑒 ∩ Fin) β†’ βˆ€π‘  ∈ 𝑑 (π‘“β€˜π‘ ) ∈ Fin)
104 iunfi 9344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑑 ∈ Fin ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝑑 (π‘“β€˜π‘ ) ∈ Fin) β†’ βˆͺ 𝑠 ∈ 𝑑 (π‘“β€˜π‘ ) ∈ Fin)
10580, 103, 104syl2an 595 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑑 ∈ (𝒫 π‘₯ ∩ Fin) ∧ 𝑀 = ∩ 𝑑) ∧ 𝑓:π‘‘βŸΆ(𝒫 𝑒 ∩ Fin)) β†’ βˆͺ 𝑠 ∈ 𝑑 (π‘“β€˜π‘ ) ∈ Fin)
106105ad4ant14 749 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝑑 ∈ (𝒫 π‘₯ ∩ Fin) ∧ 𝑀 = ∩ 𝑑) ∧ (𝑦 ∈ 𝑀 ∧ Β¬ 𝑦 ∈ βˆͺ (π‘₯ ∩ 𝑒))) ∧ 𝑀 ∈ 𝑒) ∧ 𝑓:π‘‘βŸΆ(𝒫 𝑒 ∩ Fin)) β†’ βˆͺ 𝑠 ∈ 𝑑 (π‘“β€˜π‘ ) ∈ Fin)
107106ad2ant2lr 745 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐽 = (topGenβ€˜(fiβ€˜π‘₯)) ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝒫 π‘₯(𝑋 = βˆͺ 𝑐 β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑑) ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 (fiβ€˜π‘₯)) ∧ (𝑒 ∈ 𝒫 (fiβ€˜π‘₯) ∧ π‘Ž βŠ† 𝑒)) ∧ (((𝑑 ∈ (𝒫 π‘₯ ∩ Fin) ∧ 𝑀 = ∩ 𝑑) ∧ (𝑦 ∈ 𝑀 ∧ Β¬ 𝑦 ∈ βˆͺ (π‘₯ ∩ 𝑒))) ∧ 𝑀 ∈ 𝑒)) ∧ (𝑓:π‘‘βŸΆ(𝒫 𝑒 ∩ Fin) ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝑑 𝑋 = (βˆͺ (π‘“β€˜π‘ ) βˆͺ 𝑠))) β†’ βˆͺ 𝑠 ∈ 𝑑 (π‘“β€˜π‘ ) ∈ Fin)
108 snfi 9048 . . . . . . . . . . . . . . . 16 {𝑀} ∈ Fin
109 unfi 9176 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((βˆͺ 𝑠 ∈ 𝑑 (π‘“β€˜π‘ ) ∈ Fin ∧ {𝑀} ∈ Fin) β†’ (βˆͺ 𝑠 ∈ 𝑑 (π‘“β€˜π‘ ) βˆͺ {𝑀}) ∈ Fin)
110107, 108, 109sylancl 585 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐽 = (topGenβ€˜(fiβ€˜π‘₯)) ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝒫 π‘₯(𝑋 = βˆͺ 𝑐 β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑑) ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 (fiβ€˜π‘₯)) ∧ (𝑒 ∈ 𝒫 (fiβ€˜π‘₯) ∧ π‘Ž βŠ† 𝑒)) ∧ (((𝑑 ∈ (𝒫 π‘₯ ∩ Fin) ∧ 𝑀 = ∩ 𝑑) ∧ (𝑦 ∈ 𝑀 ∧ Β¬ 𝑦 ∈ βˆͺ (π‘₯ ∩ 𝑒))) ∧ 𝑀 ∈ 𝑒)) ∧ (𝑓:π‘‘βŸΆ(𝒫 𝑒 ∩ Fin) ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝑑 𝑋 = (βˆͺ (π‘“β€˜π‘ ) βˆͺ 𝑠))) β†’ (βˆͺ 𝑠 ∈ 𝑑 (π‘“β€˜π‘ ) βˆͺ {𝑀}) ∈ Fin)
111101, 110jca 511 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐽 = (topGenβ€˜(fiβ€˜π‘₯)) ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝒫 π‘₯(𝑋 = βˆͺ 𝑐 β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑑) ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 (fiβ€˜π‘₯)) ∧ (𝑒 ∈ 𝒫 (fiβ€˜π‘₯) ∧ π‘Ž βŠ† 𝑒)) ∧ (((𝑑 ∈ (𝒫 π‘₯ ∩ Fin) ∧ 𝑀 = ∩ 𝑑) ∧ (𝑦 ∈ 𝑀 ∧ Β¬ 𝑦 ∈ βˆͺ (π‘₯ ∩ 𝑒))) ∧ 𝑀 ∈ 𝑒)) ∧ (𝑓:π‘‘βŸΆ(𝒫 𝑒 ∩ Fin) ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝑑 𝑋 = (βˆͺ (π‘“β€˜π‘ ) βˆͺ 𝑠))) β†’ ((βˆͺ 𝑠 ∈ 𝑑 (π‘“β€˜π‘ ) βˆͺ {𝑀}) βŠ† 𝑒 ∧ (βˆͺ 𝑠 ∈ 𝑑 (π‘“β€˜π‘ ) βˆͺ {𝑀}) ∈ Fin))
112 elin 3964 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((βˆͺ 𝑠 ∈ 𝑑 (π‘“β€˜π‘ ) βˆͺ {𝑀}) ∈ (𝒫 𝑒 ∩ Fin) ↔ ((βˆͺ 𝑠 ∈ 𝑑 (π‘“β€˜π‘ ) βˆͺ {𝑀}) ∈ 𝒫 𝑒 ∧ (βˆͺ 𝑠 ∈ 𝑑 (π‘“β€˜π‘ ) βˆͺ {𝑀}) ∈ Fin))
11319elpw2 5345 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((βˆͺ 𝑠 ∈ 𝑑 (π‘“β€˜π‘ ) βˆͺ {𝑀}) ∈ 𝒫 𝑒 ↔ (βˆͺ 𝑠 ∈ 𝑑 (π‘“β€˜π‘ ) βˆͺ {𝑀}) βŠ† 𝑒)
114113anbi1i 623 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((βˆͺ 𝑠 ∈ 𝑑 (π‘“β€˜π‘ ) βˆͺ {𝑀}) ∈ 𝒫 𝑒 ∧ (βˆͺ 𝑠 ∈ 𝑑 (π‘“β€˜π‘ ) βˆͺ {𝑀}) ∈ Fin) ↔ ((βˆͺ 𝑠 ∈ 𝑑 (π‘“β€˜π‘ ) βˆͺ {𝑀}) βŠ† 𝑒 ∧ (βˆͺ 𝑠 ∈ 𝑑 (π‘“β€˜π‘ ) βˆͺ {𝑀}) ∈ Fin))
115112, 114bitr2i 276 . . . . . . . . . . . . . 14 (((βˆͺ 𝑠 ∈ 𝑑 (π‘“β€˜π‘ ) βˆͺ {𝑀}) βŠ† 𝑒 ∧ (βˆͺ 𝑠 ∈ 𝑑 (π‘“β€˜π‘ ) βˆͺ {𝑀}) ∈ Fin) ↔ (βˆͺ 𝑠 ∈ 𝑑 (π‘“β€˜π‘ ) βˆͺ {𝑀}) ∈ (𝒫 𝑒 ∩ Fin))
116111, 115sylib 217 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐽 = (topGenβ€˜(fiβ€˜π‘₯)) ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝒫 π‘₯(𝑋 = βˆͺ 𝑐 β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑑) ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 (fiβ€˜π‘₯)) ∧ (𝑒 ∈ 𝒫 (fiβ€˜π‘₯) ∧ π‘Ž βŠ† 𝑒)) ∧ (((𝑑 ∈ (𝒫 π‘₯ ∩ Fin) ∧ 𝑀 = ∩ 𝑑) ∧ (𝑦 ∈ 𝑀 ∧ Β¬ 𝑦 ∈ βˆͺ (π‘₯ ∩ 𝑒))) ∧ 𝑀 ∈ 𝑒)) ∧ (𝑓:π‘‘βŸΆ(𝒫 𝑒 ∩ Fin) ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝑑 𝑋 = (βˆͺ (π‘“β€˜π‘ ) βˆͺ 𝑠))) β†’ (βˆͺ 𝑠 ∈ 𝑑 (π‘“β€˜π‘ ) βˆͺ {𝑀}) ∈ (𝒫 𝑒 ∩ Fin))
117 ralnex 3071 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (βˆ€π‘  ∈ 𝑑 Β¬ 𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘ ) ↔ Β¬ βˆƒπ‘  ∈ 𝑑 𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘ ))
118117imbi2i 336 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑣 ∈ 𝑦 β†’ βˆ€π‘  ∈ 𝑑 Β¬ 𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘ )) ↔ (𝑣 ∈ 𝑦 β†’ Β¬ βˆƒπ‘  ∈ 𝑑 𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘ )))
119118albii 1820 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (βˆ€π‘¦(𝑣 ∈ 𝑦 β†’ βˆ€π‘  ∈ 𝑑 Β¬ 𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘ )) ↔ βˆ€π‘¦(𝑣 ∈ 𝑦 β†’ Β¬ βˆƒπ‘  ∈ 𝑑 𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘ )))
120 alinexa 1844 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (βˆ€π‘¦(𝑣 ∈ 𝑦 β†’ Β¬ βˆƒπ‘  ∈ 𝑑 𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘ )) ↔ Β¬ βˆƒπ‘¦(𝑣 ∈ 𝑦 ∧ βˆƒπ‘  ∈ 𝑑 𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘ )))
121119, 120bitr2i 276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (Β¬ βˆƒπ‘¦(𝑣 ∈ 𝑦 ∧ βˆƒπ‘  ∈ 𝑑 𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘ )) ↔ βˆ€π‘¦(𝑣 ∈ 𝑦 β†’ βˆ€π‘  ∈ 𝑑 Β¬ 𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘ )))
122 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑠 = 𝑧 β†’ (π‘“β€˜π‘ ) = (π‘“β€˜π‘§))
123122unieqd 4922 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑠 = 𝑧 β†’ βˆͺ (π‘“β€˜π‘ ) = βˆͺ (π‘“β€˜π‘§))
124 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑠 = 𝑧 β†’ 𝑠 = 𝑧)
125123, 124uneq12d 4164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑠 = 𝑧 β†’ (βˆͺ (π‘“β€˜π‘ ) βˆͺ 𝑠) = (βˆͺ (π‘“β€˜π‘§) βˆͺ 𝑧))
126125eqeq2d 2742 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑠 = 𝑧 β†’ (𝑋 = (βˆͺ (π‘“β€˜π‘ ) βˆͺ 𝑠) ↔ 𝑋 = (βˆͺ (π‘“β€˜π‘§) βˆͺ 𝑧)))
127126rspcv 3608 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑧 ∈ 𝑑 β†’ (βˆ€π‘  ∈ 𝑑 𝑋 = (βˆͺ (π‘“β€˜π‘ ) βˆͺ 𝑠) β†’ 𝑋 = (βˆͺ (π‘“β€˜π‘§) βˆͺ 𝑧)))
128 eleq2 2821 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑋 = (βˆͺ (π‘“β€˜π‘§) βˆͺ 𝑧) β†’ (𝑣 ∈ 𝑋 ↔ 𝑣 ∈ (βˆͺ (π‘“β€˜π‘§) βˆͺ 𝑧)))
129128biimpd 228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑋 = (βˆͺ (π‘“β€˜π‘§) βˆͺ 𝑧) β†’ (𝑣 ∈ 𝑋 β†’ 𝑣 ∈ (βˆͺ (π‘“β€˜π‘§) βˆͺ 𝑧)))
130 elun 4148 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑣 ∈ (βˆͺ (π‘“β€˜π‘§) βˆͺ 𝑧) ↔ (𝑣 ∈ βˆͺ (π‘“β€˜π‘§) ∨ 𝑣 ∈ 𝑧))
131 eluni 4911 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑣 ∈ βˆͺ (π‘“β€˜π‘§) ↔ βˆƒπ‘€(𝑣 ∈ 𝑀 ∧ 𝑀 ∈ (π‘“β€˜π‘§)))
132131orbi1i 911 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑣 ∈ βˆͺ (π‘“β€˜π‘§) ∨ 𝑣 ∈ 𝑧) ↔ (βˆƒπ‘€(𝑣 ∈ 𝑀 ∧ 𝑀 ∈ (π‘“β€˜π‘§)) ∨ 𝑣 ∈ 𝑧))
133 df-or 845 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((βˆƒπ‘€(𝑣 ∈ 𝑀 ∧ 𝑀 ∈ (π‘“β€˜π‘§)) ∨ 𝑣 ∈ 𝑧) ↔ (Β¬ βˆƒπ‘€(𝑣 ∈ 𝑀 ∧ 𝑀 ∈ (π‘“β€˜π‘§)) β†’ 𝑣 ∈ 𝑧))
134 alinexa 1844 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (βˆ€π‘€(𝑣 ∈ 𝑀 β†’ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘“β€˜π‘§)) ↔ Β¬ βˆƒπ‘€(𝑣 ∈ 𝑀 ∧ 𝑀 ∈ (π‘“β€˜π‘§)))
135134imbi1i 349 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((βˆ€π‘€(𝑣 ∈ 𝑀 β†’ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘“β€˜π‘§)) β†’ 𝑣 ∈ 𝑧) ↔ (Β¬ βˆƒπ‘€(𝑣 ∈ 𝑀 ∧ 𝑀 ∈ (π‘“β€˜π‘§)) β†’ 𝑣 ∈ 𝑧))
136133, 135bitr4i 278 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((βˆƒπ‘€(𝑣 ∈ 𝑀 ∧ 𝑀 ∈ (π‘“β€˜π‘§)) ∨ 𝑣 ∈ 𝑧) ↔ (βˆ€π‘€(𝑣 ∈ 𝑀 β†’ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘“β€˜π‘§)) β†’ 𝑣 ∈ 𝑧))
137130, 132, 1363bitri 297 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑣 ∈ (βˆͺ (π‘“β€˜π‘§) βˆͺ 𝑧) ↔ (βˆ€π‘€(𝑣 ∈ 𝑀 β†’ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘“β€˜π‘§)) β†’ 𝑣 ∈ 𝑧))
138 eleq2 2821 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑦 = 𝑀 β†’ (𝑣 ∈ 𝑦 ↔ 𝑣 ∈ 𝑀))
139 eleq1w 2815 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑦 = 𝑀 β†’ (𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘ ) ↔ 𝑀 ∈ (π‘“β€˜π‘ )))
140139notbid 318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑦 = 𝑀 β†’ (Β¬ 𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘ ) ↔ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘“β€˜π‘ )))
141140ralbidv 3176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑦 = 𝑀 β†’ (βˆ€π‘  ∈ 𝑑 Β¬ 𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘ ) ↔ βˆ€π‘  ∈ 𝑑 Β¬ 𝑀 ∈ (π‘“β€˜π‘ )))
142138, 141imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑦 = 𝑀 β†’ ((𝑣 ∈ 𝑦 β†’ βˆ€π‘  ∈ 𝑑 Β¬ 𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘ )) ↔ (𝑣 ∈ 𝑀 β†’ βˆ€π‘  ∈ 𝑑 Β¬ 𝑀 ∈ (π‘“β€˜π‘ ))))
143142spvv 1999 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (βˆ€π‘¦(𝑣 ∈ 𝑦 β†’ βˆ€π‘  ∈ 𝑑 Β¬ 𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘ )) β†’ (𝑣 ∈ 𝑀 β†’ βˆ€π‘  ∈ 𝑑 Β¬ 𝑀 ∈ (π‘“β€˜π‘ )))
144122eleq2d 2818 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑠 = 𝑧 β†’ (𝑀 ∈ (π‘“β€˜π‘ ) ↔ 𝑀 ∈ (π‘“β€˜π‘§)))
145144notbid 318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑠 = 𝑧 β†’ (Β¬ 𝑀 ∈ (π‘“β€˜π‘ ) ↔ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘“β€˜π‘§)))
146145rspcv 3608 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑧 ∈ 𝑑 β†’ (βˆ€π‘  ∈ 𝑑 Β¬ 𝑀 ∈ (π‘“β€˜π‘ ) β†’ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘“β€˜π‘§)))
147143, 146syl9r 78 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑧 ∈ 𝑑 β†’ (βˆ€π‘¦(𝑣 ∈ 𝑦 β†’ βˆ€π‘  ∈ 𝑑 Β¬ 𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘ )) β†’ (𝑣 ∈ 𝑀 β†’ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘“β€˜π‘§))))
148147alrimdv 1931 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑧 ∈ 𝑑 β†’ (βˆ€π‘¦(𝑣 ∈ 𝑦 β†’ βˆ€π‘  ∈ 𝑑 Β¬ 𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘ )) β†’ βˆ€π‘€(𝑣 ∈ 𝑀 β†’ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘“β€˜π‘§))))
149148imim1d 82 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑧 ∈ 𝑑 β†’ ((βˆ€π‘€(𝑣 ∈ 𝑀 β†’ Β¬ 𝑀 ∈ (π‘“β€˜π‘§)) β†’ 𝑣 ∈ 𝑧) β†’ (βˆ€π‘¦(𝑣 ∈ 𝑦 β†’ βˆ€π‘  ∈ 𝑑 Β¬ 𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘ )) β†’ 𝑣 ∈ 𝑧)))
150137, 149biimtrid 241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑧 ∈ 𝑑 β†’ (𝑣 ∈ (βˆͺ (π‘“β€˜π‘§) βˆͺ 𝑧) β†’ (βˆ€π‘¦(𝑣 ∈ 𝑦 β†’ βˆ€π‘  ∈ 𝑑 Β¬ 𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘ )) β†’ 𝑣 ∈ 𝑧)))
151150a1dd 50 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑧 ∈ 𝑑 β†’ (𝑣 ∈ (βˆͺ (π‘“β€˜π‘§) βˆͺ 𝑧) β†’ (𝑀 = ∩ 𝑑 β†’ (βˆ€π‘¦(𝑣 ∈ 𝑦 β†’ βˆ€π‘  ∈ 𝑑 Β¬ 𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘ )) β†’ 𝑣 ∈ 𝑧))))
152129, 151syl9r 78 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑧 ∈ 𝑑 β†’ (𝑋 = (βˆͺ (π‘“β€˜π‘§) βˆͺ 𝑧) β†’ (𝑣 ∈ 𝑋 β†’ (𝑀 = ∩ 𝑑 β†’ (βˆ€π‘¦(𝑣 ∈ 𝑦 β†’ βˆ€π‘  ∈ 𝑑 Β¬ 𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘ )) β†’ 𝑣 ∈ 𝑧)))))
153127, 152syld 47 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑧 ∈ 𝑑 β†’ (βˆ€π‘  ∈ 𝑑 𝑋 = (βˆͺ (π‘“β€˜π‘ ) βˆͺ 𝑠) β†’ (𝑣 ∈ 𝑋 β†’ (𝑀 = ∩ 𝑑 β†’ (βˆ€π‘¦(𝑣 ∈ 𝑦 β†’ βˆ€π‘  ∈ 𝑑 Β¬ 𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘ )) β†’ 𝑣 ∈ 𝑧)))))
154153com14 96 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑀 = ∩ 𝑑 β†’ (βˆ€π‘  ∈ 𝑑 𝑋 = (βˆͺ (π‘“β€˜π‘ ) βˆͺ 𝑠) β†’ (𝑣 ∈ 𝑋 β†’ (𝑧 ∈ 𝑑 β†’ (βˆ€π‘¦(𝑣 ∈ 𝑦 β†’ βˆ€π‘  ∈ 𝑑 Β¬ 𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘ )) β†’ 𝑣 ∈ 𝑧)))))
155154imp31 417 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑀 = ∩ 𝑑 ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝑑 𝑋 = (βˆͺ (π‘“β€˜π‘ ) βˆͺ 𝑠)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑋) β†’ (𝑧 ∈ 𝑑 β†’ (βˆ€π‘¦(𝑣 ∈ 𝑦 β†’ βˆ€π‘  ∈ 𝑑 Β¬ 𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘ )) β†’ 𝑣 ∈ 𝑧)))
156155com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑀 = ∩ 𝑑 ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝑑 𝑋 = (βˆͺ (π‘“β€˜π‘ ) βˆͺ 𝑠)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑋) β†’ (βˆ€π‘¦(𝑣 ∈ 𝑦 β†’ βˆ€π‘  ∈ 𝑑 Β¬ 𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘ )) β†’ (𝑧 ∈ 𝑑 β†’ 𝑣 ∈ 𝑧)))
157156ralrimdv 3151 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑀 = ∩ 𝑑 ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝑑 𝑋 = (βˆͺ (π‘“β€˜π‘ ) βˆͺ 𝑠)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑋) β†’ (βˆ€π‘¦(𝑣 ∈ 𝑦 β†’ βˆ€π‘  ∈ 𝑑 Β¬ 𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘ )) β†’ βˆ€π‘§ ∈ 𝑑 𝑣 ∈ 𝑧))
158 vex 3477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 𝑣 ∈ V
159158elint2 4957 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑣 ∈ ∩ 𝑑 ↔ βˆ€π‘§ ∈ 𝑑 𝑣 ∈ 𝑧)
160157, 159imbitrrdi 251 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑀 = ∩ 𝑑 ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝑑 𝑋 = (βˆͺ (π‘“β€˜π‘ ) βˆͺ 𝑠)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑋) β†’ (βˆ€π‘¦(𝑣 ∈ 𝑦 β†’ βˆ€π‘  ∈ 𝑑 Β¬ 𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘ )) β†’ 𝑣 ∈ ∩ 𝑑))
161 eleq2 2821 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑀 = ∩ 𝑑 β†’ (𝑣 ∈ 𝑀 ↔ 𝑣 ∈ ∩ 𝑑))
162161ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑀 = ∩ 𝑑 ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝑑 𝑋 = (βˆͺ (π‘“β€˜π‘ ) βˆͺ 𝑠)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑋) β†’ (𝑣 ∈ 𝑀 ↔ 𝑣 ∈ ∩ 𝑑))
163160, 162sylibrd 259 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑀 = ∩ 𝑑 ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝑑 𝑋 = (βˆͺ (π‘“β€˜π‘ ) βˆͺ 𝑠)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑋) β†’ (βˆ€π‘¦(𝑣 ∈ 𝑦 β†’ βˆ€π‘  ∈ 𝑑 Β¬ 𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘ )) β†’ 𝑣 ∈ 𝑀))
164121, 163biimtrid 241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑀 = ∩ 𝑑 ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝑑 𝑋 = (βˆͺ (π‘“β€˜π‘ ) βˆͺ 𝑠)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑋) β†’ (Β¬ βˆƒπ‘¦(𝑣 ∈ 𝑦 ∧ βˆƒπ‘  ∈ 𝑑 𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘ )) β†’ 𝑣 ∈ 𝑀))
165164orrd 860 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑀 = ∩ 𝑑 ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝑑 𝑋 = (βˆͺ (π‘“β€˜π‘ ) βˆͺ 𝑠)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑋) β†’ (βˆƒπ‘¦(𝑣 ∈ 𝑦 ∧ βˆƒπ‘  ∈ 𝑑 𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘ )) ∨ 𝑣 ∈ 𝑀))
166165ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑀 = ∩ 𝑑 ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝑑 𝑋 = (βˆͺ (π‘“β€˜π‘ ) βˆͺ 𝑠)) β†’ (𝑣 ∈ 𝑋 β†’ (βˆƒπ‘¦(𝑣 ∈ 𝑦 ∧ βˆƒπ‘  ∈ 𝑑 𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘ )) ∨ 𝑣 ∈ 𝑀)))
167 orc 864 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (βˆƒπ‘  ∈ 𝑑 𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘ ) β†’ (βˆƒπ‘  ∈ 𝑑 𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘ ) ∨ 𝑦 = 𝑀))
168167anim2i 616 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑣 ∈ 𝑦 ∧ βˆƒπ‘  ∈ 𝑑 𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘ )) β†’ (𝑣 ∈ 𝑦 ∧ (βˆƒπ‘  ∈ 𝑑 𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘ ) ∨ 𝑦 = 𝑀)))
169168eximi 1836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (βˆƒπ‘¦(𝑣 ∈ 𝑦 ∧ βˆƒπ‘  ∈ 𝑑 𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘ )) β†’ βˆƒπ‘¦(𝑣 ∈ 𝑦 ∧ (βˆƒπ‘  ∈ 𝑑 𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘ ) ∨ 𝑦 = 𝑀)))
170 equid 2014 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑀 = 𝑀
171 vex 3477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝑀 ∈ V
172 equequ1 2027 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑦 = 𝑀 β†’ (𝑦 = 𝑀 ↔ 𝑀 = 𝑀))
173138, 172anbi12d 630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑦 = 𝑀 β†’ ((𝑣 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 = 𝑀) ↔ (𝑣 ∈ 𝑀 ∧ 𝑀 = 𝑀)))
174171, 173spcev 3596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑣 ∈ 𝑀 ∧ 𝑀 = 𝑀) β†’ βˆƒπ‘¦(𝑣 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 = 𝑀))
175170, 174mpan2 688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑣 ∈ 𝑀 β†’ βˆƒπ‘¦(𝑣 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 = 𝑀))
176 olc 865 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑦 = 𝑀 β†’ (βˆƒπ‘  ∈ 𝑑 𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘ ) ∨ 𝑦 = 𝑀))
177176anim2i 616 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑣 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 = 𝑀) β†’ (𝑣 ∈ 𝑦 ∧ (βˆƒπ‘  ∈ 𝑑 𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘ ) ∨ 𝑦 = 𝑀)))
178177eximi 1836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (βˆƒπ‘¦(𝑣 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 = 𝑀) β†’ βˆƒπ‘¦(𝑣 ∈ 𝑦 ∧ (βˆƒπ‘  ∈ 𝑑 𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘ ) ∨ 𝑦 = 𝑀)))
179175, 178syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑣 ∈ 𝑀 β†’ βˆƒπ‘¦(𝑣 ∈ 𝑦 ∧ (βˆƒπ‘  ∈ 𝑑 𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘ ) ∨ 𝑦 = 𝑀)))
180169, 179jaoi 854 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((βˆƒπ‘¦(𝑣 ∈ 𝑦 ∧ βˆƒπ‘  ∈ 𝑑 𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘ )) ∨ 𝑣 ∈ 𝑀) β†’ βˆƒπ‘¦(𝑣 ∈ 𝑦 ∧ (βˆƒπ‘  ∈ 𝑑 𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘ ) ∨ 𝑦 = 𝑀)))
181 eluni 4911 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑣 ∈ βˆͺ (βˆͺ 𝑠 ∈ 𝑑 (π‘“β€˜π‘ ) βˆͺ {𝑀}) ↔ βˆƒπ‘¦(𝑣 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (βˆͺ 𝑠 ∈ 𝑑 (π‘“β€˜π‘ ) βˆͺ {𝑀})))
182 elun 4148 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑦 ∈ (βˆͺ 𝑠 ∈ 𝑑 (π‘“β€˜π‘ ) βˆͺ {𝑀}) ↔ (𝑦 ∈ βˆͺ 𝑠 ∈ 𝑑 (π‘“β€˜π‘ ) ∨ 𝑦 ∈ {𝑀}))
183 eliun 5001 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑦 ∈ βˆͺ 𝑠 ∈ 𝑑 (π‘“β€˜π‘ ) ↔ βˆƒπ‘  ∈ 𝑑 𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘ ))
184 velsn 4644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑦 ∈ {𝑀} ↔ 𝑦 = 𝑀)
185183, 184orbi12i 912 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑦 ∈ βˆͺ 𝑠 ∈ 𝑑 (π‘“β€˜π‘ ) ∨ 𝑦 ∈ {𝑀}) ↔ (βˆƒπ‘  ∈ 𝑑 𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘ ) ∨ 𝑦 = 𝑀))
186182, 185bitri 275 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦 ∈ (βˆͺ 𝑠 ∈ 𝑑 (π‘“β€˜π‘ ) βˆͺ {𝑀}) ↔ (βˆƒπ‘  ∈ 𝑑 𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘ ) ∨ 𝑦 = 𝑀))
187186anbi2i 622 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑣 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (βˆͺ 𝑠 ∈ 𝑑 (π‘“β€˜π‘ ) βˆͺ {𝑀})) ↔ (𝑣 ∈ 𝑦 ∧ (βˆƒπ‘  ∈ 𝑑 𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘ ) ∨ 𝑦 = 𝑀)))
188187exbii 1849 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (βˆƒπ‘¦(𝑣 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ (βˆͺ 𝑠 ∈ 𝑑 (π‘“β€˜π‘ ) βˆͺ {𝑀})) ↔ βˆƒπ‘¦(𝑣 ∈ 𝑦 ∧ (βˆƒπ‘  ∈ 𝑑 𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘ ) ∨ 𝑦 = 𝑀)))
189181, 188bitr2i 276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (βˆƒπ‘¦(𝑣 ∈ 𝑦 ∧ (βˆƒπ‘  ∈ 𝑑 𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘ ) ∨ 𝑦 = 𝑀)) ↔ 𝑣 ∈ βˆͺ (βˆͺ 𝑠 ∈ 𝑑 (π‘“β€˜π‘ ) βˆͺ {𝑀}))
190180, 189sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((βˆƒπ‘¦(𝑣 ∈ 𝑦 ∧ βˆƒπ‘  ∈ 𝑑 𝑦 ∈ (π‘“β€˜π‘ )) ∨ 𝑣 ∈ 𝑀) β†’ 𝑣 ∈ βˆͺ (βˆͺ 𝑠 ∈ 𝑑 (π‘“β€˜π‘ ) βˆͺ {𝑀}))
191166, 190syl6 35 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑀 = ∩ 𝑑 ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝑑 𝑋 = (βˆͺ (π‘“β€˜π‘ ) βˆͺ 𝑠)) β†’ (𝑣 ∈ 𝑋 β†’ 𝑣 ∈ βˆͺ (βˆͺ 𝑠 ∈ 𝑑 (π‘“β€˜π‘ ) βˆͺ {𝑀})))
192191ad5ant25 759 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑑 ∈ (𝒫 π‘₯ ∩ Fin) ∧ 𝑀 = ∩ 𝑑) ∧ (𝑦 ∈ 𝑀 ∧ Β¬ 𝑦 ∈ βˆͺ (π‘₯ ∩ 𝑒))) ∧ 𝑀 ∈ 𝑒) ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝑑 𝑋 = (βˆͺ (π‘“β€˜π‘ ) βˆͺ 𝑠)) β†’ (𝑣 ∈ 𝑋 β†’ 𝑣 ∈ βˆͺ (βˆͺ 𝑠 ∈ 𝑑 (π‘“β€˜π‘ ) βˆͺ {𝑀})))
193192ad2ant2l 743 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐽 = (topGenβ€˜(fiβ€˜π‘₯)) ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝒫 π‘₯(𝑋 = βˆͺ 𝑐 β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑑) ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 (fiβ€˜π‘₯)) ∧ (𝑒 ∈ 𝒫 (fiβ€˜π‘₯) ∧ π‘Ž βŠ† 𝑒)) ∧ (((𝑑 ∈ (𝒫 π‘₯ ∩ Fin) ∧ 𝑀 = ∩ 𝑑) ∧ (𝑦 ∈ 𝑀 ∧ Β¬ 𝑦 ∈ βˆͺ (π‘₯ ∩ 𝑒))) ∧ 𝑀 ∈ 𝑒)) ∧ (𝑓:π‘‘βŸΆ(𝒫 𝑒 ∩ Fin) ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝑑 𝑋 = (βˆͺ (π‘“β€˜π‘ ) βˆͺ 𝑠))) β†’ (𝑣 ∈ 𝑋 β†’ 𝑣 ∈ βˆͺ (βˆͺ 𝑠 ∈ 𝑑 (π‘“β€˜π‘ ) βˆͺ {𝑀})))
194193ssrdv 3988 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐽 = (topGenβ€˜(fiβ€˜π‘₯)) ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝒫 π‘₯(𝑋 = βˆͺ 𝑐 β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑑) ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 (fiβ€˜π‘₯)) ∧ (𝑒 ∈ 𝒫 (fiβ€˜π‘₯) ∧ π‘Ž βŠ† 𝑒)) ∧ (((𝑑 ∈ (𝒫 π‘₯ ∩ Fin) ∧ 𝑀 = ∩ 𝑑) ∧ (𝑦 ∈ 𝑀 ∧ Β¬ 𝑦 ∈ βˆͺ (π‘₯ ∩ 𝑒))) ∧ 𝑀 ∈ 𝑒)) ∧ (𝑓:π‘‘βŸΆ(𝒫 𝑒 ∩ Fin) ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝑑 𝑋 = (βˆͺ (π‘“β€˜π‘ ) βˆͺ 𝑠))) β†’ 𝑋 βŠ† βˆͺ (βˆͺ 𝑠 ∈ 𝑑 (π‘“β€˜π‘ ) βˆͺ {𝑀}))
195 elun 4148 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑣 ∈ (βˆͺ 𝑠 ∈ 𝑑 (π‘“β€˜π‘ ) βˆͺ {𝑀}) ↔ (𝑣 ∈ βˆͺ 𝑠 ∈ 𝑑 (π‘“β€˜π‘ ) ∨ 𝑣 ∈ {𝑀}))
196 eliun 5001 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑣 ∈ βˆͺ 𝑠 ∈ 𝑑 (π‘“β€˜π‘ ) ↔ βˆƒπ‘  ∈ 𝑑 𝑣 ∈ (π‘“β€˜π‘ ))
197 velsn 4644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑣 ∈ {𝑀} ↔ 𝑣 = 𝑀)
198196, 197orbi12i 912 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑣 ∈ βˆͺ 𝑠 ∈ 𝑑 (π‘“β€˜π‘ ) ∨ 𝑣 ∈ {𝑀}) ↔ (βˆƒπ‘  ∈ 𝑑 𝑣 ∈ (π‘“β€˜π‘ ) ∨ 𝑣 = 𝑀))
199195, 198bitri 275 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑣 ∈ (βˆͺ 𝑠 ∈ 𝑑 (π‘“β€˜π‘ ) βˆͺ {𝑀}) ↔ (βˆƒπ‘  ∈ 𝑑 𝑣 ∈ (π‘“β€˜π‘ ) ∨ 𝑣 = 𝑀))
200 nfra1 3280 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 β„²π‘ βˆ€π‘  ∈ 𝑑 𝑋 = (βˆͺ (π‘“β€˜π‘ ) βˆͺ 𝑠)
201 nfv 1916 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Ⅎ𝑠 𝑣 βŠ† 𝑋
202 rsp 3243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (βˆ€π‘  ∈ 𝑑 𝑋 = (βˆͺ (π‘“β€˜π‘ ) βˆͺ 𝑠) β†’ (𝑠 ∈ 𝑑 β†’ 𝑋 = (βˆͺ (π‘“β€˜π‘ ) βˆͺ 𝑠)))
203 eqimss2 4041 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑋 = (βˆͺ (π‘“β€˜π‘ ) βˆͺ 𝑠) β†’ (βˆͺ (π‘“β€˜π‘ ) βˆͺ 𝑠) βŠ† 𝑋)
204 elssuni 4941 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑣 ∈ (π‘“β€˜π‘ ) β†’ 𝑣 βŠ† βˆͺ (π‘“β€˜π‘ ))
205 ssun3 4174 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑣 βŠ† βˆͺ (π‘“β€˜π‘ ) β†’ 𝑣 βŠ† (βˆͺ (π‘“β€˜π‘ ) βˆͺ 𝑠))
206204, 205syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑣 ∈ (π‘“β€˜π‘ ) β†’ 𝑣 βŠ† (βˆͺ (π‘“β€˜π‘ ) βˆͺ 𝑠))
207 sstr 3990 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑣 βŠ† (βˆͺ (π‘“β€˜π‘ ) βˆͺ 𝑠) ∧ (βˆͺ (π‘“β€˜π‘ ) βˆͺ 𝑠) βŠ† 𝑋) β†’ 𝑣 βŠ† 𝑋)
208207expcom 413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((βˆͺ (π‘“β€˜π‘ ) βˆͺ 𝑠) βŠ† 𝑋 β†’ (𝑣 βŠ† (βˆͺ (π‘“β€˜π‘ ) βˆͺ 𝑠) β†’ 𝑣 βŠ† 𝑋))
209203, 206, 208syl2im 40 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑋 = (βˆͺ (π‘“β€˜π‘ ) βˆͺ 𝑠) β†’ (𝑣 ∈ (π‘“β€˜π‘ ) β†’ 𝑣 βŠ† 𝑋))
210202, 209syl6 35 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (βˆ€π‘  ∈ 𝑑 𝑋 = (βˆͺ (π‘“β€˜π‘ ) βˆͺ 𝑠) β†’ (𝑠 ∈ 𝑑 β†’ (𝑣 ∈ (π‘“β€˜π‘ ) β†’ 𝑣 βŠ† 𝑋)))
211200, 201, 210rexlimd 3262 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (βˆ€π‘  ∈ 𝑑 𝑋 = (βˆͺ (π‘“β€˜π‘ ) βˆͺ 𝑠) β†’ (βˆƒπ‘  ∈ 𝑑 𝑣 ∈ (π‘“β€˜π‘ ) β†’ 𝑣 βŠ† 𝑋))
212211ad2antll 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝐽 = (topGenβ€˜(fiβ€˜π‘₯)) ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝒫 π‘₯(𝑋 = βˆͺ 𝑐 β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑑) ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 (fiβ€˜π‘₯)) ∧ (𝑒 ∈ 𝒫 (fiβ€˜π‘₯) ∧ π‘Ž βŠ† 𝑒)) ∧ (((𝑑 ∈ (𝒫 π‘₯ ∩ Fin) ∧ 𝑀 = ∩ 𝑑) ∧ (𝑦 ∈ 𝑀 ∧ Β¬ 𝑦 ∈ βˆͺ (π‘₯ ∩ 𝑒))) ∧ 𝑀 ∈ 𝑒)) ∧ (𝑓:π‘‘βŸΆ(𝒫 𝑒 ∩ Fin) ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝑑 𝑋 = (βˆͺ (π‘“β€˜π‘ ) βˆͺ 𝑠))) β†’ (βˆƒπ‘  ∈ 𝑑 𝑣 ∈ (π‘“β€˜π‘ ) β†’ 𝑣 βŠ† 𝑋))
213 elpwi 4609 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑒 ∈ 𝒫 (fiβ€˜π‘₯) β†’ 𝑒 βŠ† (fiβ€˜π‘₯))
214213ad2antrl 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝐽 = (topGenβ€˜(fiβ€˜π‘₯)) ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝒫 π‘₯(𝑋 = βˆͺ 𝑐 β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑑) ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 (fiβ€˜π‘₯)) ∧ (𝑒 ∈ 𝒫 (fiβ€˜π‘₯) ∧ π‘Ž βŠ† 𝑒)) β†’ 𝑒 βŠ† (fiβ€˜π‘₯))
215214ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝐽 = (topGenβ€˜(fiβ€˜π‘₯)) ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝒫 π‘₯(𝑋 = βˆͺ 𝑐 β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑑) ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 (fiβ€˜π‘₯)) ∧ (𝑒 ∈ 𝒫 (fiβ€˜π‘₯) ∧ π‘Ž βŠ† 𝑒)) ∧ (((𝑑 ∈ (𝒫 π‘₯ ∩ Fin) ∧ 𝑀 = ∩ 𝑑) ∧ (𝑦 ∈ 𝑀 ∧ Β¬ 𝑦 ∈ βˆͺ (π‘₯ ∩ 𝑒))) ∧ 𝑀 ∈ 𝑒)) ∧ (𝑓:π‘‘βŸΆ(𝒫 𝑒 ∩ Fin) ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝑑 𝑋 = (βˆͺ (π‘“β€˜π‘ ) βˆͺ 𝑠))) β†’ 𝑒 βŠ† (fiβ€˜π‘₯))
216215, 99sseldd 3983 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝐽 = (topGenβ€˜(fiβ€˜π‘₯)) ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝒫 π‘₯(𝑋 = βˆͺ 𝑐 β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑑) ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 (fiβ€˜π‘₯)) ∧ (𝑒 ∈ 𝒫 (fiβ€˜π‘₯) ∧ π‘Ž βŠ† 𝑒)) ∧ (((𝑑 ∈ (𝒫 π‘₯ ∩ Fin) ∧ 𝑀 = ∩ 𝑑) ∧ (𝑦 ∈ 𝑀 ∧ Β¬ 𝑦 ∈ βˆͺ (π‘₯ ∩ 𝑒))) ∧ 𝑀 ∈ 𝑒)) ∧ (𝑓:π‘‘βŸΆ(𝒫 𝑒 ∩ Fin) ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝑑 𝑋 = (βˆͺ (π‘“β€˜π‘ ) βˆͺ 𝑠))) β†’ 𝑀 ∈ (fiβ€˜π‘₯))
217 elssuni 4941 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑀 ∈ (fiβ€˜π‘₯) β†’ 𝑀 βŠ† βˆͺ (fiβ€˜π‘₯))
218216, 217syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝐽 = (topGenβ€˜(fiβ€˜π‘₯)) ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝒫 π‘₯(𝑋 = βˆͺ 𝑐 β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑑) ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 (fiβ€˜π‘₯)) ∧ (𝑒 ∈ 𝒫 (fiβ€˜π‘₯) ∧ π‘Ž βŠ† 𝑒)) ∧ (((𝑑 ∈ (𝒫 π‘₯ ∩ Fin) ∧ 𝑀 = ∩ 𝑑) ∧ (𝑦 ∈ 𝑀 ∧ Β¬ 𝑦 ∈ βˆͺ (π‘₯ ∩ 𝑒))) ∧ 𝑀 ∈ 𝑒)) ∧ (𝑓:π‘‘βŸΆ(𝒫 𝑒 ∩ Fin) ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝑑 𝑋 = (βˆͺ (π‘“β€˜π‘ ) βˆͺ 𝑠))) β†’ 𝑀 βŠ† βˆͺ (fiβ€˜π‘₯))
21956, 57ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 βˆͺ (topGenβ€˜(fiβ€˜π‘₯)) = βˆͺ (fiβ€˜π‘₯)
22059, 219eqtr2di 2788 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝐽 = (topGenβ€˜(fiβ€˜π‘₯)) β†’ βˆͺ (fiβ€˜π‘₯) = βˆͺ 𝐽)
221220, 66eqtr4di 2789 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐽 = (topGenβ€˜(fiβ€˜π‘₯)) β†’ βˆͺ (fiβ€˜π‘₯) = 𝑋)
2222213ad2ant1 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐽 = (topGenβ€˜(fiβ€˜π‘₯)) ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝒫 π‘₯(𝑋 = βˆͺ 𝑐 β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑑) ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 (fiβ€˜π‘₯)) β†’ βˆͺ (fiβ€˜π‘₯) = 𝑋)
223222ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝐽 = (topGenβ€˜(fiβ€˜π‘₯)) ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝒫 π‘₯(𝑋 = βˆͺ 𝑐 β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑑) ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 (fiβ€˜π‘₯)) ∧ (𝑒 ∈ 𝒫 (fiβ€˜π‘₯) ∧ π‘Ž βŠ† 𝑒)) ∧ (((𝑑 ∈ (𝒫 π‘₯ ∩ Fin) ∧ 𝑀 = ∩ 𝑑) ∧ (𝑦 ∈ 𝑀 ∧ Β¬ 𝑦 ∈ βˆͺ (π‘₯ ∩ 𝑒))) ∧ 𝑀 ∈ 𝑒)) ∧ (𝑓:π‘‘βŸΆ(𝒫 𝑒 ∩ Fin) ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝑑 𝑋 = (βˆͺ (π‘“β€˜π‘ ) βˆͺ 𝑠))) β†’ βˆͺ (fiβ€˜π‘₯) = 𝑋)
224218, 223sseqtrd 4022 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝐽 = (topGenβ€˜(fiβ€˜π‘₯)) ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝒫 π‘₯(𝑋 = βˆͺ 𝑐 β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑑) ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 (fiβ€˜π‘₯)) ∧ (𝑒 ∈ 𝒫 (fiβ€˜π‘₯) ∧ π‘Ž βŠ† 𝑒)) ∧ (((𝑑 ∈ (𝒫 π‘₯ ∩ Fin) ∧ 𝑀 = ∩ 𝑑) ∧ (𝑦 ∈ 𝑀 ∧ Β¬ 𝑦 ∈ βˆͺ (π‘₯ ∩ 𝑒))) ∧ 𝑀 ∈ 𝑒)) ∧ (𝑓:π‘‘βŸΆ(𝒫 𝑒 ∩ Fin) ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝑑 𝑋 = (βˆͺ (π‘“β€˜π‘ ) βˆͺ 𝑠))) β†’ 𝑀 βŠ† 𝑋)
225 sseq1 4007 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑣 = 𝑀 β†’ (𝑣 βŠ† 𝑋 ↔ 𝑀 βŠ† 𝑋))
226224, 225syl5ibrcom 246 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝐽 = (topGenβ€˜(fiβ€˜π‘₯)) ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝒫 π‘₯(𝑋 = βˆͺ 𝑐 β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑑) ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 (fiβ€˜π‘₯)) ∧ (𝑒 ∈ 𝒫 (fiβ€˜π‘₯) ∧ π‘Ž βŠ† 𝑒)) ∧ (((𝑑 ∈ (𝒫 π‘₯ ∩ Fin) ∧ 𝑀 = ∩ 𝑑) ∧ (𝑦 ∈ 𝑀 ∧ Β¬ 𝑦 ∈ βˆͺ (π‘₯ ∩ 𝑒))) ∧ 𝑀 ∈ 𝑒)) ∧ (𝑓:π‘‘βŸΆ(𝒫 𝑒 ∩ Fin) ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝑑 𝑋 = (βˆͺ (π‘“β€˜π‘ ) βˆͺ 𝑠))) β†’ (𝑣 = 𝑀 β†’ 𝑣 βŠ† 𝑋))
227212, 226jaod 856 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝐽 = (topGenβ€˜(fiβ€˜π‘₯)) ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝒫 π‘₯(𝑋 = βˆͺ 𝑐 β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑑) ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 (fiβ€˜π‘₯)) ∧ (𝑒 ∈ 𝒫 (fiβ€˜π‘₯) ∧ π‘Ž βŠ† 𝑒)) ∧ (((𝑑 ∈ (𝒫 π‘₯ ∩ Fin) ∧ 𝑀 = ∩ 𝑑) ∧ (𝑦 ∈ 𝑀 ∧ Β¬ 𝑦 ∈ βˆͺ (π‘₯ ∩ 𝑒))) ∧ 𝑀 ∈ 𝑒)) ∧ (𝑓:π‘‘βŸΆ(𝒫 𝑒 ∩ Fin) ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝑑 𝑋 = (βˆͺ (π‘“β€˜π‘ ) βˆͺ 𝑠))) β†’ ((βˆƒπ‘  ∈ 𝑑 𝑣 ∈ (π‘“β€˜π‘ ) ∨ 𝑣 = 𝑀) β†’ 𝑣 βŠ† 𝑋))
228199, 227biimtrid 241 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐽 = (topGenβ€˜(fiβ€˜π‘₯)) ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝒫 π‘₯(𝑋 = βˆͺ 𝑐 β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑑) ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 (fiβ€˜π‘₯)) ∧ (𝑒 ∈ 𝒫 (fiβ€˜π‘₯) ∧ π‘Ž βŠ† 𝑒)) ∧ (((𝑑 ∈ (𝒫 π‘₯ ∩ Fin) ∧ 𝑀 = ∩ 𝑑) ∧ (𝑦 ∈ 𝑀 ∧ Β¬ 𝑦 ∈ βˆͺ (π‘₯ ∩ 𝑒))) ∧ 𝑀 ∈ 𝑒)) ∧ (𝑓:π‘‘βŸΆ(𝒫 𝑒 ∩ Fin) ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝑑 𝑋 = (βˆͺ (π‘“β€˜π‘ ) βˆͺ 𝑠))) β†’ (𝑣 ∈ (βˆͺ 𝑠 ∈ 𝑑 (π‘“β€˜π‘ ) βˆͺ {𝑀}) β†’ 𝑣 βŠ† 𝑋))
229228ralrimiv 3144 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐽 = (topGenβ€˜(fiβ€˜π‘₯)) ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝒫 π‘₯(𝑋 = βˆͺ 𝑐 β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑑) ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 (fiβ€˜π‘₯)) ∧ (𝑒 ∈ 𝒫 (fiβ€˜π‘₯) ∧ π‘Ž βŠ† 𝑒)) ∧ (((𝑑 ∈ (𝒫 π‘₯ ∩ Fin) ∧ 𝑀 = ∩ 𝑑) ∧ (𝑦 ∈ 𝑀 ∧ Β¬ 𝑦 ∈ βˆͺ (π‘₯ ∩ 𝑒))) ∧ 𝑀 ∈ 𝑒)) ∧ (𝑓:π‘‘βŸΆ(𝒫 𝑒 ∩ Fin) ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝑑 𝑋 = (βˆͺ (π‘“β€˜π‘ ) βˆͺ 𝑠))) β†’ βˆ€π‘£ ∈ (βˆͺ 𝑠 ∈ 𝑑 (π‘“β€˜π‘ ) βˆͺ {𝑀})𝑣 βŠ† 𝑋)
230 unissb 4943 . . . . . . . . . . . . . . 15 (βˆͺ (βˆͺ 𝑠 ∈ 𝑑 (π‘“β€˜π‘ ) βˆͺ {𝑀}) βŠ† 𝑋 ↔ βˆ€π‘£ ∈ (βˆͺ 𝑠 ∈ 𝑑 (π‘“β€˜π‘ ) βˆͺ {𝑀})𝑣 βŠ† 𝑋)
231229, 230sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐽 = (topGenβ€˜(fiβ€˜π‘₯)) ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝒫 π‘₯(𝑋 = βˆͺ 𝑐 β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑑) ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 (fiβ€˜π‘₯)) ∧ (𝑒 ∈ 𝒫 (fiβ€˜π‘₯) ∧ π‘Ž βŠ† 𝑒)) ∧ (((𝑑 ∈ (𝒫 π‘₯ ∩ Fin) ∧ 𝑀 = ∩ 𝑑) ∧ (𝑦 ∈ 𝑀 ∧ Β¬ 𝑦 ∈ βˆͺ (π‘₯ ∩ 𝑒))) ∧ 𝑀 ∈ 𝑒)) ∧ (𝑓:π‘‘βŸΆ(𝒫 𝑒 ∩ Fin) ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝑑 𝑋 = (βˆͺ (π‘“β€˜π‘ ) βˆͺ 𝑠))) β†’ βˆͺ (βˆͺ 𝑠 ∈ 𝑑 (π‘“β€˜π‘ ) βˆͺ {𝑀}) βŠ† 𝑋)
232194, 231eqssd 3999 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐽 = (topGenβ€˜(fiβ€˜π‘₯)) ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝒫 π‘₯(𝑋 = βˆͺ 𝑐 β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑑) ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 (fiβ€˜π‘₯)) ∧ (𝑒 ∈ 𝒫 (fiβ€˜π‘₯) ∧ π‘Ž βŠ† 𝑒)) ∧ (((𝑑 ∈ (𝒫 π‘₯ ∩ Fin) ∧ 𝑀 = ∩ 𝑑) ∧ (𝑦 ∈ 𝑀 ∧ Β¬ 𝑦 ∈ βˆͺ (π‘₯ ∩ 𝑒))) ∧ 𝑀 ∈ 𝑒)) ∧ (𝑓:π‘‘βŸΆ(𝒫 𝑒 ∩ Fin) ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝑑 𝑋 = (βˆͺ (π‘“β€˜π‘ ) βˆͺ 𝑠))) β†’ 𝑋 = βˆͺ (βˆͺ 𝑠 ∈ 𝑑 (π‘“β€˜π‘ ) βˆͺ {𝑀}))
233 unieq 4919 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏 = (βˆͺ 𝑠 ∈ 𝑑 (π‘“β€˜π‘ ) βˆͺ {𝑀}) β†’ βˆͺ 𝑏 = βˆͺ (βˆͺ 𝑠 ∈ 𝑑 (π‘“β€˜π‘ ) βˆͺ {𝑀}))
234233rspceeqv 3633 . . . . . . . . . . . . 13 (((βˆͺ 𝑠 ∈ 𝑑 (π‘“β€˜π‘ ) βˆͺ {𝑀}) ∈ (𝒫 𝑒 ∩ Fin) ∧ 𝑋 = βˆͺ (βˆͺ 𝑠 ∈ 𝑑 (π‘“β€˜π‘ ) βˆͺ {𝑀})) β†’ βˆƒπ‘ ∈ (𝒫 𝑒 ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑏)
235116, 232, 234syl2anc 583 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐽 = (topGenβ€˜(fiβ€˜π‘₯)) ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝒫 π‘₯(𝑋 = βˆͺ 𝑐 β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑑) ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 (fiβ€˜π‘₯)) ∧ (𝑒 ∈ 𝒫 (fiβ€˜π‘₯) ∧ π‘Ž βŠ† 𝑒)) ∧ (((𝑑 ∈ (𝒫 π‘₯ ∩ Fin) ∧ 𝑀 = ∩ 𝑑) ∧ (𝑦 ∈ 𝑀 ∧ Β¬ 𝑦 ∈ βˆͺ (π‘₯ ∩ 𝑒))) ∧ 𝑀 ∈ 𝑒)) ∧ (𝑓:π‘‘βŸΆ(𝒫 𝑒 ∩ Fin) ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝑑 𝑋 = (βˆͺ (π‘“β€˜π‘ ) βˆͺ 𝑠))) β†’ βˆƒπ‘ ∈ (𝒫 𝑒 ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑏)
236235ex 412 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐽 = (topGenβ€˜(fiβ€˜π‘₯)) ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝒫 π‘₯(𝑋 = βˆͺ 𝑐 β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑑) ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 (fiβ€˜π‘₯)) ∧ (𝑒 ∈ 𝒫 (fiβ€˜π‘₯) ∧ π‘Ž βŠ† 𝑒)) ∧ (((𝑑 ∈ (𝒫 π‘₯ ∩ Fin) ∧ 𝑀 = ∩ 𝑑) ∧ (𝑦 ∈ 𝑀 ∧ Β¬ 𝑦 ∈ βˆͺ (π‘₯ ∩ 𝑒))) ∧ 𝑀 ∈ 𝑒)) β†’ ((𝑓:π‘‘βŸΆ(𝒫 𝑒 ∩ Fin) ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝑑 𝑋 = (βˆͺ (π‘“β€˜π‘ ) βˆͺ 𝑠)) β†’ βˆƒπ‘ ∈ (𝒫 𝑒 ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑏))
237236exlimdv 1935 . . . . . . . . . 10 ((((𝐽 = (topGenβ€˜(fiβ€˜π‘₯)) ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝒫 π‘₯(𝑋 = βˆͺ 𝑐 β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑑) ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 (fiβ€˜π‘₯)) ∧ (𝑒 ∈ 𝒫 (fiβ€˜π‘₯) ∧ π‘Ž βŠ† 𝑒)) ∧ (((𝑑 ∈ (𝒫 π‘₯ ∩ Fin) ∧ 𝑀 = ∩ 𝑑) ∧ (𝑦 ∈ 𝑀 ∧ Β¬ 𝑦 ∈ βˆͺ (π‘₯ ∩ 𝑒))) ∧ 𝑀 ∈ 𝑒)) β†’ (βˆƒπ‘“(𝑓:π‘‘βŸΆ(𝒫 𝑒 ∩ Fin) ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝑑 𝑋 = (βˆͺ (π‘“β€˜π‘ ) βˆͺ 𝑠)) β†’ βˆƒπ‘ ∈ (𝒫 𝑒 ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑏))
23878, 88, 2373syld 60 . . . . . . . . 9 ((((𝐽 = (topGenβ€˜(fiβ€˜π‘₯)) ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝒫 π‘₯(𝑋 = βˆͺ 𝑐 β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑑) ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 (fiβ€˜π‘₯)) ∧ (𝑒 ∈ 𝒫 (fiβ€˜π‘₯) ∧ π‘Ž βŠ† 𝑒)) ∧ (((𝑑 ∈ (𝒫 π‘₯ ∩ Fin) ∧ 𝑀 = ∩ 𝑑) ∧ (𝑦 ∈ 𝑀 ∧ Β¬ 𝑦 ∈ βˆͺ (π‘₯ ∩ 𝑒))) ∧ 𝑀 ∈ 𝑒)) β†’ (βˆ€π‘  ∈ 𝑑 βˆƒπ‘› ∈ (𝒫 (𝑒 βˆͺ {𝑠}) ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑛 β†’ βˆƒπ‘ ∈ (𝒫 𝑒 ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑏))
2394, 238biimtrid 241 . . . . . . . 8 ((((𝐽 = (topGenβ€˜(fiβ€˜π‘₯)) ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝒫 π‘₯(𝑋 = βˆͺ 𝑐 β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑑) ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 (fiβ€˜π‘₯)) ∧ (𝑒 ∈ 𝒫 (fiβ€˜π‘₯) ∧ π‘Ž βŠ† 𝑒)) ∧ (((𝑑 ∈ (𝒫 π‘₯ ∩ Fin) ∧ 𝑀 = ∩ 𝑑) ∧ (𝑦 ∈ 𝑀 ∧ Β¬ 𝑦 ∈ βˆͺ (π‘₯ ∩ 𝑒))) ∧ 𝑀 ∈ 𝑒)) β†’ (Β¬ βˆƒπ‘  ∈ 𝑑 βˆ€π‘› ∈ (𝒫 (𝑒 βˆͺ {𝑠}) ∩ Fin) Β¬ 𝑋 = βˆͺ 𝑛 β†’ βˆƒπ‘ ∈ (𝒫 𝑒 ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑏))
240 dfrex2 3072 . . . . . . . 8 (βˆƒπ‘ ∈ (𝒫 𝑒 ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑏 ↔ Β¬ βˆ€π‘ ∈ (𝒫 𝑒 ∩ Fin) Β¬ 𝑋 = βˆͺ 𝑏)
241239, 240imbitrdi 250 . . . . . . 7 ((((𝐽 = (topGenβ€˜(fiβ€˜π‘₯)) ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝒫 π‘₯(𝑋 = βˆͺ 𝑐 β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑑) ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 (fiβ€˜π‘₯)) ∧ (𝑒 ∈ 𝒫 (fiβ€˜π‘₯) ∧ π‘Ž βŠ† 𝑒)) ∧ (((𝑑 ∈ (𝒫 π‘₯ ∩ Fin) ∧ 𝑀 = ∩ 𝑑) ∧ (𝑦 ∈ 𝑀 ∧ Β¬ 𝑦 ∈ βˆͺ (π‘₯ ∩ 𝑒))) ∧ 𝑀 ∈ 𝑒)) β†’ (Β¬ βˆƒπ‘  ∈ 𝑑 βˆ€π‘› ∈ (𝒫 (𝑒 βˆͺ {𝑠}) ∩ Fin) Β¬ 𝑋 = βˆͺ 𝑛 β†’ Β¬ βˆ€π‘ ∈ (𝒫 𝑒 ∩ Fin) Β¬ 𝑋 = βˆͺ 𝑏))
242241con4d 115 . . . . . 6 ((((𝐽 = (topGenβ€˜(fiβ€˜π‘₯)) ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝒫 π‘₯(𝑋 = βˆͺ 𝑐 β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑑) ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 (fiβ€˜π‘₯)) ∧ (𝑒 ∈ 𝒫 (fiβ€˜π‘₯) ∧ π‘Ž βŠ† 𝑒)) ∧ (((𝑑 ∈ (𝒫 π‘₯ ∩ Fin) ∧ 𝑀 = ∩ 𝑑) ∧ (𝑦 ∈ 𝑀 ∧ Β¬ 𝑦 ∈ βˆͺ (π‘₯ ∩ 𝑒))) ∧ 𝑀 ∈ 𝑒)) β†’ (βˆ€π‘ ∈ (𝒫 𝑒 ∩ Fin) Β¬ 𝑋 = βˆͺ 𝑏 β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝑑 βˆ€π‘› ∈ (𝒫 (𝑒 βˆͺ {𝑠}) ∩ Fin) Β¬ 𝑋 = βˆͺ 𝑛))
243242exp32 420 . . . . 5 (((𝐽 = (topGenβ€˜(fiβ€˜π‘₯)) ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝒫 π‘₯(𝑋 = βˆͺ 𝑐 β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑑) ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 (fiβ€˜π‘₯)) ∧ (𝑒 ∈ 𝒫 (fiβ€˜π‘₯) ∧ π‘Ž βŠ† 𝑒)) β†’ (((𝑑 ∈ (𝒫 π‘₯ ∩ Fin) ∧ 𝑀 = ∩ 𝑑) ∧ (𝑦 ∈ 𝑀 ∧ Β¬ 𝑦 ∈ βˆͺ (π‘₯ ∩ 𝑒))) β†’ (𝑀 ∈ 𝑒 β†’ (βˆ€π‘ ∈ (𝒫 𝑒 ∩ Fin) Β¬ 𝑋 = βˆͺ 𝑏 β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝑑 βˆ€π‘› ∈ (𝒫 (𝑒 βˆͺ {𝑠}) ∩ Fin) Β¬ 𝑋 = βˆͺ 𝑛))))
244243com24 95 . . . 4 (((𝐽 = (topGenβ€˜(fiβ€˜π‘₯)) ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝒫 π‘₯(𝑋 = βˆͺ 𝑐 β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑑) ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 (fiβ€˜π‘₯)) ∧ (𝑒 ∈ 𝒫 (fiβ€˜π‘₯) ∧ π‘Ž βŠ† 𝑒)) β†’ (βˆ€π‘ ∈ (𝒫 𝑒 ∩ Fin) Β¬ 𝑋 = βˆͺ 𝑏 β†’ (𝑀 ∈ 𝑒 β†’ (((𝑑 ∈ (𝒫 π‘₯ ∩ Fin) ∧ 𝑀 = ∩ 𝑑) ∧ (𝑦 ∈ 𝑀 ∧ Β¬ 𝑦 ∈ βˆͺ (π‘₯ ∩ 𝑒))) β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝑑 βˆ€π‘› ∈ (𝒫 (𝑒 βˆͺ {𝑠}) ∩ Fin) Β¬ 𝑋 = βˆͺ 𝑛))))
245244exp32 420 . . 3 ((𝐽 = (topGenβ€˜(fiβ€˜π‘₯)) ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝒫 π‘₯(𝑋 = βˆͺ 𝑐 β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑑) ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 (fiβ€˜π‘₯)) β†’ (𝑒 ∈ 𝒫 (fiβ€˜π‘₯) β†’ (π‘Ž βŠ† 𝑒 β†’ (βˆ€π‘ ∈ (𝒫 𝑒 ∩ Fin) Β¬ 𝑋 = βˆͺ 𝑏 β†’ (𝑀 ∈ 𝑒 β†’ (((𝑑 ∈ (𝒫 π‘₯ ∩ Fin) ∧ 𝑀 = ∩ 𝑑) ∧ (𝑦 ∈ 𝑀 ∧ Β¬ 𝑦 ∈ βˆͺ (π‘₯ ∩ 𝑒))) β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝑑 βˆ€π‘› ∈ (𝒫 (𝑒 βˆͺ {𝑠}) ∩ Fin) Β¬ 𝑋 = βˆͺ 𝑛))))))
246245imp45 429 . 2 (((𝐽 = (topGenβ€˜(fiβ€˜π‘₯)) ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝒫 π‘₯(𝑋 = βˆͺ 𝑐 β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑑) ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 (fiβ€˜π‘₯)) ∧ (𝑒 ∈ 𝒫 (fiβ€˜π‘₯) ∧ (π‘Ž βŠ† 𝑒 ∧ βˆ€π‘ ∈ (𝒫 𝑒 ∩ Fin) Β¬ 𝑋 = βˆͺ 𝑏))) β†’ (𝑀 ∈ 𝑒 β†’ (((𝑑 ∈ (𝒫 π‘₯ ∩ Fin) ∧ 𝑀 = ∩ 𝑑) ∧ (𝑦 ∈ 𝑀 ∧ Β¬ 𝑦 ∈ βˆͺ (π‘₯ ∩ 𝑒))) β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝑑 βˆ€π‘› ∈ (𝒫 (𝑒 βˆͺ {𝑠}) ∩ Fin) Β¬ 𝑋 = βˆͺ 𝑛)))
247246imp31 417 1 (((((𝐽 = (topGenβ€˜(fiβ€˜π‘₯)) ∧ βˆ€π‘ ∈ 𝒫 π‘₯(𝑋 = βˆͺ 𝑐 β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ (𝒫 𝑐 ∩ Fin)𝑋 = βˆͺ 𝑑) ∧ π‘Ž ∈ 𝒫 (fiβ€˜π‘₯)) ∧ (𝑒 ∈ 𝒫 (fiβ€˜π‘₯) ∧ (π‘Ž βŠ† 𝑒 ∧ βˆ€π‘ ∈ (𝒫 𝑒 ∩ Fin) Β¬ 𝑋 = βˆͺ 𝑏))) ∧ 𝑀 ∈ 𝑒) ∧ ((𝑑 ∈ (𝒫 π‘₯ ∩ Fin) ∧ 𝑀 = ∩ 𝑑) ∧ (𝑦 ∈ 𝑀 ∧ Β¬ 𝑦 ∈ βˆͺ (π‘₯ ∩ 𝑒)))) β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝑑 βˆ€π‘› ∈ (𝒫 (𝑒 βˆͺ {𝑠}) ∩ Fin) Β¬ 𝑋 = βˆͺ 𝑛)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 844   ∧ w3a 1086  βˆ€wal 1538   = wceq 1540  βˆƒwex 1780   ∈ wcel 2105  βˆ€wral 3060  βˆƒwrex 3069  Vcvv 3473   βˆ– cdif 3945   βˆͺ cun 3946   ∩ cin 3947   βŠ† wss 3948  π’« cpw 4602  {csn 4628  βˆͺ cuni 4908  βˆ© cint 4950  βˆͺ ciun 4997  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  Fincfn 8943  ficfi 9409  topGenctg 17388  TopBasesctb 22669
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-om 7860  df-1o 8470  df-er 8707  df-en 8944  df-fin 8947  df-fi 9410  df-topgen 17394  df-bases 22670
This theorem is referenced by:  alexsubALTlem4  23775
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