MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  binomfallfac Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem binomfallfac 16003
Description: A version of the binomial theorem using falling factorials instead of exponentials. (Contributed by Scott Fenton, 13-Mar-2018.)
Assertion
Ref Expression
binomfallfac ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐ด + ๐ต) FallFac ๐‘) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)((๐‘C๐‘˜) ยท ((๐ด FallFac (๐‘ โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ต FallFac ๐‘˜))))
Distinct variable groups:   ๐ด,๐‘˜   ๐ต,๐‘˜   ๐‘˜,๐‘

Proof of Theorem binomfallfac
Dummy variables ๐‘š ๐‘› are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 7422 . . . . . 6 (๐‘š = 0 โ†’ ((๐ด + ๐ต) FallFac ๐‘š) = ((๐ด + ๐ต) FallFac 0))
2 oveq2 7422 . . . . . . . 8 (๐‘š = 0 โ†’ (0...๐‘š) = (0...0))
3 fz0sn 13619 . . . . . . . 8 (0...0) = {0}
42, 3eqtrdi 2783 . . . . . . 7 (๐‘š = 0 โ†’ (0...๐‘š) = {0})
5 oveq1 7421 . . . . . . . . 9 (๐‘š = 0 โ†’ (๐‘šC๐‘˜) = (0C๐‘˜))
6 oveq1 7421 . . . . . . . . . . 11 (๐‘š = 0 โ†’ (๐‘š โˆ’ ๐‘˜) = (0 โˆ’ ๐‘˜))
76oveq2d 7430 . . . . . . . . . 10 (๐‘š = 0 โ†’ (๐ด FallFac (๐‘š โˆ’ ๐‘˜)) = (๐ด FallFac (0 โˆ’ ๐‘˜)))
87oveq1d 7429 . . . . . . . . 9 (๐‘š = 0 โ†’ ((๐ด FallFac (๐‘š โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ต FallFac ๐‘˜)) = ((๐ด FallFac (0 โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ต FallFac ๐‘˜)))
95, 8oveq12d 7432 . . . . . . . 8 (๐‘š = 0 โ†’ ((๐‘šC๐‘˜) ยท ((๐ด FallFac (๐‘š โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ต FallFac ๐‘˜))) = ((0C๐‘˜) ยท ((๐ด FallFac (0 โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ต FallFac ๐‘˜))))
109adantr 480 . . . . . . 7 ((๐‘š = 0 โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)) โ†’ ((๐‘šC๐‘˜) ยท ((๐ด FallFac (๐‘š โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ต FallFac ๐‘˜))) = ((0C๐‘˜) ยท ((๐ด FallFac (0 โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ต FallFac ๐‘˜))))
114, 10sumeq12dv 15670 . . . . . 6 (๐‘š = 0 โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((๐‘šC๐‘˜) ยท ((๐ด FallFac (๐‘š โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ต FallFac ๐‘˜))) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ {0} ((0C๐‘˜) ยท ((๐ด FallFac (0 โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ต FallFac ๐‘˜))))
121, 11eqeq12d 2743 . . . . 5 (๐‘š = 0 โ†’ (((๐ด + ๐ต) FallFac ๐‘š) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((๐‘šC๐‘˜) ยท ((๐ด FallFac (๐‘š โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ต FallFac ๐‘˜))) โ†” ((๐ด + ๐ต) FallFac 0) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ {0} ((0C๐‘˜) ยท ((๐ด FallFac (0 โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ต FallFac ๐‘˜)))))
1312imbi2d 340 . . . 4 (๐‘š = 0 โ†’ (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด + ๐ต) FallFac ๐‘š) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((๐‘šC๐‘˜) ยท ((๐ด FallFac (๐‘š โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ต FallFac ๐‘˜)))) โ†” ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด + ๐ต) FallFac 0) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ {0} ((0C๐‘˜) ยท ((๐ด FallFac (0 โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ต FallFac ๐‘˜))))))
14 oveq2 7422 . . . . . 6 (๐‘š = ๐‘› โ†’ ((๐ด + ๐ต) FallFac ๐‘š) = ((๐ด + ๐ต) FallFac ๐‘›))
15 oveq2 7422 . . . . . . 7 (๐‘š = ๐‘› โ†’ (0...๐‘š) = (0...๐‘›))
16 oveq1 7421 . . . . . . . . 9 (๐‘š = ๐‘› โ†’ (๐‘šC๐‘˜) = (๐‘›C๐‘˜))
17 oveq1 7421 . . . . . . . . . . 11 (๐‘š = ๐‘› โ†’ (๐‘š โˆ’ ๐‘˜) = (๐‘› โˆ’ ๐‘˜))
1817oveq2d 7430 . . . . . . . . . 10 (๐‘š = ๐‘› โ†’ (๐ด FallFac (๐‘š โˆ’ ๐‘˜)) = (๐ด FallFac (๐‘› โˆ’ ๐‘˜)))
1918oveq1d 7429 . . . . . . . . 9 (๐‘š = ๐‘› โ†’ ((๐ด FallFac (๐‘š โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ต FallFac ๐‘˜)) = ((๐ด FallFac (๐‘› โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ต FallFac ๐‘˜)))
2016, 19oveq12d 7432 . . . . . . . 8 (๐‘š = ๐‘› โ†’ ((๐‘šC๐‘˜) ยท ((๐ด FallFac (๐‘š โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ต FallFac ๐‘˜))) = ((๐‘›C๐‘˜) ยท ((๐ด FallFac (๐‘› โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ต FallFac ๐‘˜))))
2120adantr 480 . . . . . . 7 ((๐‘š = ๐‘› โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)) โ†’ ((๐‘šC๐‘˜) ยท ((๐ด FallFac (๐‘š โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ต FallFac ๐‘˜))) = ((๐‘›C๐‘˜) ยท ((๐ด FallFac (๐‘› โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ต FallFac ๐‘˜))))
2215, 21sumeq12dv 15670 . . . . . 6 (๐‘š = ๐‘› โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((๐‘šC๐‘˜) ยท ((๐ด FallFac (๐‘š โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ต FallFac ๐‘˜))) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘›C๐‘˜) ยท ((๐ด FallFac (๐‘› โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ต FallFac ๐‘˜))))
2314, 22eqeq12d 2743 . . . . 5 (๐‘š = ๐‘› โ†’ (((๐ด + ๐ต) FallFac ๐‘š) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((๐‘šC๐‘˜) ยท ((๐ด FallFac (๐‘š โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ต FallFac ๐‘˜))) โ†” ((๐ด + ๐ต) FallFac ๐‘›) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘›C๐‘˜) ยท ((๐ด FallFac (๐‘› โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ต FallFac ๐‘˜)))))
2423imbi2d 340 . . . 4 (๐‘š = ๐‘› โ†’ (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด + ๐ต) FallFac ๐‘š) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((๐‘šC๐‘˜) ยท ((๐ด FallFac (๐‘š โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ต FallFac ๐‘˜)))) โ†” ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด + ๐ต) FallFac ๐‘›) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘›C๐‘˜) ยท ((๐ด FallFac (๐‘› โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ต FallFac ๐‘˜))))))
25 oveq2 7422 . . . . . 6 (๐‘š = (๐‘› + 1) โ†’ ((๐ด + ๐ต) FallFac ๐‘š) = ((๐ด + ๐ต) FallFac (๐‘› + 1)))
26 oveq2 7422 . . . . . . 7 (๐‘š = (๐‘› + 1) โ†’ (0...๐‘š) = (0...(๐‘› + 1)))
27 oveq1 7421 . . . . . . . . 9 (๐‘š = (๐‘› + 1) โ†’ (๐‘šC๐‘˜) = ((๐‘› + 1)C๐‘˜))
28 oveq1 7421 . . . . . . . . . . 11 (๐‘š = (๐‘› + 1) โ†’ (๐‘š โˆ’ ๐‘˜) = ((๐‘› + 1) โˆ’ ๐‘˜))
2928oveq2d 7430 . . . . . . . . . 10 (๐‘š = (๐‘› + 1) โ†’ (๐ด FallFac (๐‘š โˆ’ ๐‘˜)) = (๐ด FallFac ((๐‘› + 1) โˆ’ ๐‘˜)))
3029oveq1d 7429 . . . . . . . . 9 (๐‘š = (๐‘› + 1) โ†’ ((๐ด FallFac (๐‘š โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ต FallFac ๐‘˜)) = ((๐ด FallFac ((๐‘› + 1) โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ต FallFac ๐‘˜)))
3127, 30oveq12d 7432 . . . . . . . 8 (๐‘š = (๐‘› + 1) โ†’ ((๐‘šC๐‘˜) ยท ((๐ด FallFac (๐‘š โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ต FallFac ๐‘˜))) = (((๐‘› + 1)C๐‘˜) ยท ((๐ด FallFac ((๐‘› + 1) โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ต FallFac ๐‘˜))))
3231adantr 480 . . . . . . 7 ((๐‘š = (๐‘› + 1) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)) โ†’ ((๐‘šC๐‘˜) ยท ((๐ด FallFac (๐‘š โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ต FallFac ๐‘˜))) = (((๐‘› + 1)C๐‘˜) ยท ((๐ด FallFac ((๐‘› + 1) โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ต FallFac ๐‘˜))))
3326, 32sumeq12dv 15670 . . . . . 6 (๐‘š = (๐‘› + 1) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((๐‘šC๐‘˜) ยท ((๐ด FallFac (๐‘š โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ต FallFac ๐‘˜))) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘› + 1))(((๐‘› + 1)C๐‘˜) ยท ((๐ด FallFac ((๐‘› + 1) โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ต FallFac ๐‘˜))))
3425, 33eqeq12d 2743 . . . . 5 (๐‘š = (๐‘› + 1) โ†’ (((๐ด + ๐ต) FallFac ๐‘š) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((๐‘šC๐‘˜) ยท ((๐ด FallFac (๐‘š โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ต FallFac ๐‘˜))) โ†” ((๐ด + ๐ต) FallFac (๐‘› + 1)) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘› + 1))(((๐‘› + 1)C๐‘˜) ยท ((๐ด FallFac ((๐‘› + 1) โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ต FallFac ๐‘˜)))))
3534imbi2d 340 . . . 4 (๐‘š = (๐‘› + 1) โ†’ (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด + ๐ต) FallFac ๐‘š) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((๐‘šC๐‘˜) ยท ((๐ด FallFac (๐‘š โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ต FallFac ๐‘˜)))) โ†” ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด + ๐ต) FallFac (๐‘› + 1)) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘› + 1))(((๐‘› + 1)C๐‘˜) ยท ((๐ด FallFac ((๐‘› + 1) โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ต FallFac ๐‘˜))))))
36 oveq2 7422 . . . . . 6 (๐‘š = ๐‘ โ†’ ((๐ด + ๐ต) FallFac ๐‘š) = ((๐ด + ๐ต) FallFac ๐‘))
37 oveq2 7422 . . . . . . 7 (๐‘š = ๐‘ โ†’ (0...๐‘š) = (0...๐‘))
38 oveq1 7421 . . . . . . . . 9 (๐‘š = ๐‘ โ†’ (๐‘šC๐‘˜) = (๐‘C๐‘˜))
39 oveq1 7421 . . . . . . . . . . 11 (๐‘š = ๐‘ โ†’ (๐‘š โˆ’ ๐‘˜) = (๐‘ โˆ’ ๐‘˜))
4039oveq2d 7430 . . . . . . . . . 10 (๐‘š = ๐‘ โ†’ (๐ด FallFac (๐‘š โˆ’ ๐‘˜)) = (๐ด FallFac (๐‘ โˆ’ ๐‘˜)))
4140oveq1d 7429 . . . . . . . . 9 (๐‘š = ๐‘ โ†’ ((๐ด FallFac (๐‘š โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ต FallFac ๐‘˜)) = ((๐ด FallFac (๐‘ โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ต FallFac ๐‘˜)))
4238, 41oveq12d 7432 . . . . . . . 8 (๐‘š = ๐‘ โ†’ ((๐‘šC๐‘˜) ยท ((๐ด FallFac (๐‘š โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ต FallFac ๐‘˜))) = ((๐‘C๐‘˜) ยท ((๐ด FallFac (๐‘ โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ต FallFac ๐‘˜))))
4342adantr 480 . . . . . . 7 ((๐‘š = ๐‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)) โ†’ ((๐‘šC๐‘˜) ยท ((๐ด FallFac (๐‘š โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ต FallFac ๐‘˜))) = ((๐‘C๐‘˜) ยท ((๐ด FallFac (๐‘ โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ต FallFac ๐‘˜))))
4437, 43sumeq12dv 15670 . . . . . 6 (๐‘š = ๐‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((๐‘šC๐‘˜) ยท ((๐ด FallFac (๐‘š โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ต FallFac ๐‘˜))) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)((๐‘C๐‘˜) ยท ((๐ด FallFac (๐‘ โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ต FallFac ๐‘˜))))
4536, 44eqeq12d 2743 . . . . 5 (๐‘š = ๐‘ โ†’ (((๐ด + ๐ต) FallFac ๐‘š) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((๐‘šC๐‘˜) ยท ((๐ด FallFac (๐‘š โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ต FallFac ๐‘˜))) โ†” ((๐ด + ๐ต) FallFac ๐‘) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)((๐‘C๐‘˜) ยท ((๐ด FallFac (๐‘ โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ต FallFac ๐‘˜)))))
4645imbi2d 340 . . . 4 (๐‘š = ๐‘ โ†’ (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด + ๐ต) FallFac ๐‘š) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((๐‘šC๐‘˜) ยท ((๐ด FallFac (๐‘š โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ต FallFac ๐‘˜)))) โ†” ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด + ๐ต) FallFac ๐‘) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)((๐‘C๐‘˜) ยท ((๐ด FallFac (๐‘ โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ต FallFac ๐‘˜))))))
47 fallfac0 15990 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ด FallFac 0) = 1)
48 fallfac0 15990 . . . . . . . . 9 (๐ต โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ต FallFac 0) = 1)
4947, 48oveqan12d 7433 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด FallFac 0) ยท (๐ต FallFac 0)) = (1 ยท 1))
50 1t1e1 12390 . . . . . . . 8 (1 ยท 1) = 1
5149, 50eqtrdi 2783 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด FallFac 0) ยท (๐ต FallFac 0)) = 1)
5251oveq2d 7430 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (1 ยท ((๐ด FallFac 0) ยท (๐ต FallFac 0))) = (1 ยท 1))
5352, 50eqtrdi 2783 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (1 ยท ((๐ด FallFac 0) ยท (๐ต FallFac 0))) = 1)
54 0cn 11222 . . . . . 6 0 โˆˆ โ„‚
55 ax-1cn 11182 . . . . . . 7 1 โˆˆ โ„‚
5653, 55eqeltrdi 2836 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (1 ยท ((๐ด FallFac 0) ยท (๐ต FallFac 0))) โˆˆ โ„‚)
57 oveq2 7422 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ = 0 โ†’ (0C๐‘˜) = (0C0))
58 0nn0 12503 . . . . . . . . . 10 0 โˆˆ โ„•0
59 bcnn 14289 . . . . . . . . . 10 (0 โˆˆ โ„•0 โ†’ (0C0) = 1)
6058, 59ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (0C0) = 1
6157, 60eqtrdi 2783 . . . . . . . 8 (๐‘˜ = 0 โ†’ (0C๐‘˜) = 1)
62 oveq2 7422 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ = 0 โ†’ (0 โˆ’ ๐‘˜) = (0 โˆ’ 0))
63 0m0e0 12348 . . . . . . . . . . 11 (0 โˆ’ 0) = 0
6462, 63eqtrdi 2783 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ = 0 โ†’ (0 โˆ’ ๐‘˜) = 0)
6564oveq2d 7430 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ = 0 โ†’ (๐ด FallFac (0 โˆ’ ๐‘˜)) = (๐ด FallFac 0))
66 oveq2 7422 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ = 0 โ†’ (๐ต FallFac ๐‘˜) = (๐ต FallFac 0))
6765, 66oveq12d 7432 . . . . . . . 8 (๐‘˜ = 0 โ†’ ((๐ด FallFac (0 โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ต FallFac ๐‘˜)) = ((๐ด FallFac 0) ยท (๐ต FallFac 0)))
6861, 67oveq12d 7432 . . . . . . 7 (๐‘˜ = 0 โ†’ ((0C๐‘˜) ยท ((๐ด FallFac (0 โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ต FallFac ๐‘˜))) = (1 ยท ((๐ด FallFac 0) ยท (๐ต FallFac 0))))
6968sumsn 15710 . . . . . 6 ((0 โˆˆ โ„‚ โˆง (1 ยท ((๐ด FallFac 0) ยท (๐ต FallFac 0))) โˆˆ โ„‚) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ {0} ((0C๐‘˜) ยท ((๐ด FallFac (0 โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ต FallFac ๐‘˜))) = (1 ยท ((๐ด FallFac 0) ยท (๐ต FallFac 0))))
7054, 56, 69sylancr 586 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ {0} ((0C๐‘˜) ยท ((๐ด FallFac (0 โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ต FallFac ๐‘˜))) = (1 ยท ((๐ด FallFac 0) ยท (๐ต FallFac 0))))
71 addcl 11206 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด + ๐ต) โˆˆ โ„‚)
72 fallfac0 15990 . . . . . 6 ((๐ด + ๐ต) โˆˆ โ„‚ โ†’ ((๐ด + ๐ต) FallFac 0) = 1)
7371, 72syl 17 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด + ๐ต) FallFac 0) = 1)
7453, 70, 733eqtr4rd 2778 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด + ๐ต) FallFac 0) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ {0} ((0C๐‘˜) ยท ((๐ด FallFac (0 โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ต FallFac ๐‘˜))))
75 simprl 770 . . . . . . 7 ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง (๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
76 simprr 772 . . . . . . 7 ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง (๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
77 simpl 482 . . . . . . 7 ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง (๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚)) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•0)
78 id 22 . . . . . . 7 (((๐ด + ๐ต) FallFac ๐‘›) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘›C๐‘˜) ยท ((๐ด FallFac (๐‘› โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ต FallFac ๐‘˜))) โ†’ ((๐ด + ๐ต) FallFac ๐‘›) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘›C๐‘˜) ยท ((๐ด FallFac (๐‘› โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ต FallFac ๐‘˜))))
7975, 76, 77, 78binomfallfaclem2 16002 . . . . . 6 (((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง (๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚)) โˆง ((๐ด + ๐ต) FallFac ๐‘›) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘›C๐‘˜) ยท ((๐ด FallFac (๐‘› โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ต FallFac ๐‘˜)))) โ†’ ((๐ด + ๐ต) FallFac (๐‘› + 1)) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘› + 1))(((๐‘› + 1)C๐‘˜) ยท ((๐ด FallFac ((๐‘› + 1) โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ต FallFac ๐‘˜))))
8079exp31 419 . . . . 5 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐ด + ๐ต) FallFac ๐‘›) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘›C๐‘˜) ยท ((๐ด FallFac (๐‘› โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ต FallFac ๐‘˜))) โ†’ ((๐ด + ๐ต) FallFac (๐‘› + 1)) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘› + 1))(((๐‘› + 1)C๐‘˜) ยท ((๐ด FallFac ((๐‘› + 1) โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ต FallFac ๐‘˜))))))
8180a2d 29 . . . 4 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด + ๐ต) FallFac ๐‘›) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘›C๐‘˜) ยท ((๐ด FallFac (๐‘› โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ต FallFac ๐‘˜)))) โ†’ ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด + ๐ต) FallFac (๐‘› + 1)) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘› + 1))(((๐‘› + 1)C๐‘˜) ยท ((๐ด FallFac ((๐‘› + 1) โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ต FallFac ๐‘˜))))))
8213, 24, 35, 46, 74, 81nn0ind 12673 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด + ๐ต) FallFac ๐‘) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)((๐‘C๐‘˜) ยท ((๐ด FallFac (๐‘ โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ต FallFac ๐‘˜)))))
8382com12 32 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐ด + ๐ต) FallFac ๐‘) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)((๐‘C๐‘˜) ยท ((๐ด FallFac (๐‘ โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ต FallFac ๐‘˜)))))
84833impia 1115 1 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐ด + ๐ต) FallFac ๐‘) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)((๐‘C๐‘˜) ยท ((๐ด FallFac (๐‘ โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ต FallFac ๐‘˜))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   โˆง w3a 1085   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099  {csn 4624  (class class class)co 7414  โ„‚cc 11122  0cc0 11124  1c1 11125   + caddc 11127   ยท cmul 11129   โˆ’ cmin 11460  โ„•0cn0 12488  ...cfz 13502  Ccbc 14279  ฮฃcsu 15650   FallFac cfallfac 15966
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-inf2 9650  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7863  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-er 8716  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-sup 9451  df-oi 9519  df-card 9948  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-div 11888  df-nn 12229  df-2 12291  df-3 12292  df-n0 12489  df-z 12575  df-uz 12839  df-rp 12993  df-fz 13503  df-fzo 13646  df-seq 13985  df-exp 14045  df-fac 14251  df-bc 14280  df-hash 14308  df-cj 15064  df-re 15065  df-im 15066  df-sqrt 15200  df-abs 15201  df-clim 15450  df-sum 15651  df-prod 15868  df-risefac 15968  df-fallfac 15969
This theorem is referenced by:  binomrisefac  16004
  Copyright terms: Public domain W3C validator