MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  binomfallfac Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem binomfallfac 16078
Description: A version of the binomial theorem using falling factorials instead of exponentials. (Contributed by Scott Fenton, 13-Mar-2018.)
Assertion
Ref Expression
binomfallfac ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴 + 𝐵) FallFac 𝑁) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑁𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝑁

Proof of Theorem binomfallfac
Dummy variables 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 7440 . . . . . 6 (𝑚 = 0 → ((𝐴 + 𝐵) FallFac 𝑚) = ((𝐴 + 𝐵) FallFac 0))
2 oveq2 7440 . . . . . . . 8 (𝑚 = 0 → (0...𝑚) = (0...0))
3 fz0sn 13668 . . . . . . . 8 (0...0) = {0}
42, 3eqtrdi 2792 . . . . . . 7 (𝑚 = 0 → (0...𝑚) = {0})
5 oveq1 7439 . . . . . . . . 9 (𝑚 = 0 → (𝑚C𝑘) = (0C𝑘))
6 oveq1 7439 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = 0 → (𝑚𝑘) = (0 − 𝑘))
76oveq2d 7448 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = 0 → (𝐴 FallFac (𝑚𝑘)) = (𝐴 FallFac (0 − 𝑘)))
87oveq1d 7447 . . . . . . . . 9 (𝑚 = 0 → ((𝐴 FallFac (𝑚𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘)) = ((𝐴 FallFac (0 − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘)))
95, 8oveq12d 7450 . . . . . . . 8 (𝑚 = 0 → ((𝑚C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑚𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) = ((0C𝑘) · ((𝐴 FallFac (0 − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))))
109adantr 480 . . . . . . 7 ((𝑚 = 0 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑚)) → ((𝑚C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑚𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) = ((0C𝑘) · ((𝐴 FallFac (0 − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))))
114, 10sumeq12dv 15743 . . . . . 6 (𝑚 = 0 → Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((𝑚C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑚𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) = Σ𝑘 ∈ {0} ((0C𝑘) · ((𝐴 FallFac (0 − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))))
121, 11eqeq12d 2752 . . . . 5 (𝑚 = 0 → (((𝐴 + 𝐵) FallFac 𝑚) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((𝑚C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑚𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) ↔ ((𝐴 + 𝐵) FallFac 0) = Σ𝑘 ∈ {0} ((0C𝑘) · ((𝐴 FallFac (0 − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘)))))
1312imbi2d 340 . . . 4 (𝑚 = 0 → (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) FallFac 𝑚) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((𝑚C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑚𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘)))) ↔ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) FallFac 0) = Σ𝑘 ∈ {0} ((0C𝑘) · ((𝐴 FallFac (0 − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))))))
14 oveq2 7440 . . . . . 6 (𝑚 = 𝑛 → ((𝐴 + 𝐵) FallFac 𝑚) = ((𝐴 + 𝐵) FallFac 𝑛))
15 oveq2 7440 . . . . . . 7 (𝑚 = 𝑛 → (0...𝑚) = (0...𝑛))
16 oveq1 7439 . . . . . . . . 9 (𝑚 = 𝑛 → (𝑚C𝑘) = (𝑛C𝑘))
17 oveq1 7439 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = 𝑛 → (𝑚𝑘) = (𝑛𝑘))
1817oveq2d 7448 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = 𝑛 → (𝐴 FallFac (𝑚𝑘)) = (𝐴 FallFac (𝑛𝑘)))
1918oveq1d 7447 . . . . . . . . 9 (𝑚 = 𝑛 → ((𝐴 FallFac (𝑚𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘)) = ((𝐴 FallFac (𝑛𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘)))
2016, 19oveq12d 7450 . . . . . . . 8 (𝑚 = 𝑛 → ((𝑚C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑚𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) = ((𝑛C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑛𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))))
2120adantr 480 . . . . . . 7 ((𝑚 = 𝑛𝑘 ∈ (0...𝑚)) → ((𝑚C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑚𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) = ((𝑛C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑛𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))))
2215, 21sumeq12dv 15743 . . . . . 6 (𝑚 = 𝑛 → Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((𝑚C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑚𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑛C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑛𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))))
2314, 22eqeq12d 2752 . . . . 5 (𝑚 = 𝑛 → (((𝐴 + 𝐵) FallFac 𝑚) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((𝑚C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑚𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) ↔ ((𝐴 + 𝐵) FallFac 𝑛) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑛C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑛𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘)))))
2423imbi2d 340 . . . 4 (𝑚 = 𝑛 → (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) FallFac 𝑚) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((𝑚C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑚𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘)))) ↔ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) FallFac 𝑛) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑛C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑛𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))))))
25 oveq2 7440 . . . . . 6 (𝑚 = (𝑛 + 1) → ((𝐴 + 𝐵) FallFac 𝑚) = ((𝐴 + 𝐵) FallFac (𝑛 + 1)))
26 oveq2 7440 . . . . . . 7 (𝑚 = (𝑛 + 1) → (0...𝑚) = (0...(𝑛 + 1)))
27 oveq1 7439 . . . . . . . . 9 (𝑚 = (𝑛 + 1) → (𝑚C𝑘) = ((𝑛 + 1)C𝑘))
28 oveq1 7439 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = (𝑛 + 1) → (𝑚𝑘) = ((𝑛 + 1) − 𝑘))
2928oveq2d 7448 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = (𝑛 + 1) → (𝐴 FallFac (𝑚𝑘)) = (𝐴 FallFac ((𝑛 + 1) − 𝑘)))
3029oveq1d 7447 . . . . . . . . 9 (𝑚 = (𝑛 + 1) → ((𝐴 FallFac (𝑚𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘)) = ((𝐴 FallFac ((𝑛 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘)))
3127, 30oveq12d 7450 . . . . . . . 8 (𝑚 = (𝑛 + 1) → ((𝑚C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑚𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) = (((𝑛 + 1)C𝑘) · ((𝐴 FallFac ((𝑛 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))))
3231adantr 480 . . . . . . 7 ((𝑚 = (𝑛 + 1) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑚)) → ((𝑚C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑚𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) = (((𝑛 + 1)C𝑘) · ((𝐴 FallFac ((𝑛 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))))
3326, 32sumeq12dv 15743 . . . . . 6 (𝑚 = (𝑛 + 1) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((𝑚C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑚𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑛 + 1))(((𝑛 + 1)C𝑘) · ((𝐴 FallFac ((𝑛 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))))
3425, 33eqeq12d 2752 . . . . 5 (𝑚 = (𝑛 + 1) → (((𝐴 + 𝐵) FallFac 𝑚) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((𝑚C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑚𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) ↔ ((𝐴 + 𝐵) FallFac (𝑛 + 1)) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑛 + 1))(((𝑛 + 1)C𝑘) · ((𝐴 FallFac ((𝑛 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘)))))
3534imbi2d 340 . . . 4 (𝑚 = (𝑛 + 1) → (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) FallFac 𝑚) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((𝑚C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑚𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘)))) ↔ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) FallFac (𝑛 + 1)) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑛 + 1))(((𝑛 + 1)C𝑘) · ((𝐴 FallFac ((𝑛 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))))))
36 oveq2 7440 . . . . . 6 (𝑚 = 𝑁 → ((𝐴 + 𝐵) FallFac 𝑚) = ((𝐴 + 𝐵) FallFac 𝑁))
37 oveq2 7440 . . . . . . 7 (𝑚 = 𝑁 → (0...𝑚) = (0...𝑁))
38 oveq1 7439 . . . . . . . . 9 (𝑚 = 𝑁 → (𝑚C𝑘) = (𝑁C𝑘))
39 oveq1 7439 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = 𝑁 → (𝑚𝑘) = (𝑁𝑘))
4039oveq2d 7448 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = 𝑁 → (𝐴 FallFac (𝑚𝑘)) = (𝐴 FallFac (𝑁𝑘)))
4140oveq1d 7447 . . . . . . . . 9 (𝑚 = 𝑁 → ((𝐴 FallFac (𝑚𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘)) = ((𝐴 FallFac (𝑁𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘)))
4238, 41oveq12d 7450 . . . . . . . 8 (𝑚 = 𝑁 → ((𝑚C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑚𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) = ((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑁𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))))
4342adantr 480 . . . . . . 7 ((𝑚 = 𝑁𝑘 ∈ (0...𝑚)) → ((𝑚C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑚𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) = ((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑁𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))))
4437, 43sumeq12dv 15743 . . . . . 6 (𝑚 = 𝑁 → Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((𝑚C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑚𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑁𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))))
4536, 44eqeq12d 2752 . . . . 5 (𝑚 = 𝑁 → (((𝐴 + 𝐵) FallFac 𝑚) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((𝑚C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑚𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) ↔ ((𝐴 + 𝐵) FallFac 𝑁) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑁𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘)))))
4645imbi2d 340 . . . 4 (𝑚 = 𝑁 → (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) FallFac 𝑚) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑚)((𝑚C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑚𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘)))) ↔ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) FallFac 𝑁) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑁𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))))))
47 fallfac0 16065 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 FallFac 0) = 1)
48 fallfac0 16065 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ ℂ → (𝐵 FallFac 0) = 1)
4947, 48oveqan12d 7451 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 FallFac 0) · (𝐵 FallFac 0)) = (1 · 1))
50 1t1e1 12429 . . . . . . . 8 (1 · 1) = 1
5149, 50eqtrdi 2792 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 FallFac 0) · (𝐵 FallFac 0)) = 1)
5251oveq2d 7448 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (1 · ((𝐴 FallFac 0) · (𝐵 FallFac 0))) = (1 · 1))
5352, 50eqtrdi 2792 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (1 · ((𝐴 FallFac 0) · (𝐵 FallFac 0))) = 1)
54 0cn 11254 . . . . . 6 0 ∈ ℂ
55 ax-1cn 11214 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
5653, 55eqeltrdi 2848 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (1 · ((𝐴 FallFac 0) · (𝐵 FallFac 0))) ∈ ℂ)
57 oveq2 7440 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 0 → (0C𝑘) = (0C0))
58 0nn0 12543 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℕ0
59 bcnn 14352 . . . . . . . . . 10 (0 ∈ ℕ0 → (0C0) = 1)
6058, 59ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (0C0) = 1
6157, 60eqtrdi 2792 . . . . . . . 8 (𝑘 = 0 → (0C𝑘) = 1)
62 oveq2 7440 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 0 → (0 − 𝑘) = (0 − 0))
63 0m0e0 12387 . . . . . . . . . . 11 (0 − 0) = 0
6462, 63eqtrdi 2792 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 0 → (0 − 𝑘) = 0)
6564oveq2d 7448 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 0 → (𝐴 FallFac (0 − 𝑘)) = (𝐴 FallFac 0))
66 oveq2 7440 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 0 → (𝐵 FallFac 𝑘) = (𝐵 FallFac 0))
6765, 66oveq12d 7450 . . . . . . . 8 (𝑘 = 0 → ((𝐴 FallFac (0 − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘)) = ((𝐴 FallFac 0) · (𝐵 FallFac 0)))
6861, 67oveq12d 7450 . . . . . . 7 (𝑘 = 0 → ((0C𝑘) · ((𝐴 FallFac (0 − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) = (1 · ((𝐴 FallFac 0) · (𝐵 FallFac 0))))
6968sumsn 15783 . . . . . 6 ((0 ∈ ℂ ∧ (1 · ((𝐴 FallFac 0) · (𝐵 FallFac 0))) ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ {0} ((0C𝑘) · ((𝐴 FallFac (0 − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) = (1 · ((𝐴 FallFac 0) · (𝐵 FallFac 0))))
7054, 56, 69sylancr 587 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ {0} ((0C𝑘) · ((𝐴 FallFac (0 − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) = (1 · ((𝐴 FallFac 0) · (𝐵 FallFac 0))))
71 addcl 11238 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ)
72 fallfac0 16065 . . . . . 6 ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ → ((𝐴 + 𝐵) FallFac 0) = 1)
7371, 72syl 17 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) FallFac 0) = 1)
7453, 70, 733eqtr4rd 2787 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) FallFac 0) = Σ𝑘 ∈ {0} ((0C𝑘) · ((𝐴 FallFac (0 − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))))
75 simprl 770 . . . . . . 7 ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) → 𝐴 ∈ ℂ)
76 simprr 772 . . . . . . 7 ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) → 𝐵 ∈ ℂ)
77 simpl 482 . . . . . . 7 ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) → 𝑛 ∈ ℕ0)
78 id 22 . . . . . . 7 (((𝐴 + 𝐵) FallFac 𝑛) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑛C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑛𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) → ((𝐴 + 𝐵) FallFac 𝑛) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑛C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑛𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))))
7975, 76, 77, 78binomfallfaclem2 16077 . . . . . 6 (((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ)) ∧ ((𝐴 + 𝐵) FallFac 𝑛) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑛C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑛𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘)))) → ((𝐴 + 𝐵) FallFac (𝑛 + 1)) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑛 + 1))(((𝑛 + 1)C𝑘) · ((𝐴 FallFac ((𝑛 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))))
8079exp31 419 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ0 → ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝐴 + 𝐵) FallFac 𝑛) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑛C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑛𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) → ((𝐴 + 𝐵) FallFac (𝑛 + 1)) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑛 + 1))(((𝑛 + 1)C𝑘) · ((𝐴 FallFac ((𝑛 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))))))
8180a2d 29 . . . 4 (𝑛 ∈ ℕ0 → (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) FallFac 𝑛) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑛C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑛𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘)))) → ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) FallFac (𝑛 + 1)) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑛 + 1))(((𝑛 + 1)C𝑘) · ((𝐴 FallFac ((𝑛 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))))))
8213, 24, 35, 46, 74, 81nn0ind 12715 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) FallFac 𝑁) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑁𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘)))))
8382com12 32 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝐴 + 𝐵) FallFac 𝑁) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑁𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘)))))
84833impia 1117 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴 + 𝐵) FallFac 𝑁) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑁𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1539  wcel 2107  {csn 4625  (class class class)co 7432  cc 11154  0cc0 11156  1c1 11157   + caddc 11159   · cmul 11161  cmin 11493  0cn0 12528  ...cfz 13548  Ccbc 14342  Σcsu 15723   FallFac cfallfac 16041
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-inf2 9682  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233  ax-pre-sup 11234
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-se 5637  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-isom 6569  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-sup 9483  df-oi 9551  df-card 9980  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-div 11922  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12880  df-rp 13036  df-fz 13549  df-fzo 13696  df-seq 14044  df-exp 14104  df-fac 14314  df-bc 14343  df-hash 14371  df-cj 15139  df-re 15140  df-im 15141  df-sqrt 15275  df-abs 15276  df-clim 15525  df-sum 15724  df-prod 15941  df-risefac 16043  df-fallfac 16044
This theorem is referenced by:  binomrisefac  16079
  Copyright terms: Public domain W3C validator