MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  binomfallfac Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem binomfallfac 15981
Description: A version of the binomial theorem using falling factorials instead of exponentials. (Contributed by Scott Fenton, 13-Mar-2018.)
Assertion
Ref Expression
binomfallfac ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐ด + ๐ต) FallFac ๐‘) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)((๐‘C๐‘˜) ยท ((๐ด FallFac (๐‘ โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ต FallFac ๐‘˜))))
Distinct variable groups:   ๐ด,๐‘˜   ๐ต,๐‘˜   ๐‘˜,๐‘

Proof of Theorem binomfallfac
Dummy variables ๐‘š ๐‘› are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 7413 . . . . . 6 (๐‘š = 0 โ†’ ((๐ด + ๐ต) FallFac ๐‘š) = ((๐ด + ๐ต) FallFac 0))
2 oveq2 7413 . . . . . . . 8 (๐‘š = 0 โ†’ (0...๐‘š) = (0...0))
3 fz0sn 13597 . . . . . . . 8 (0...0) = {0}
42, 3eqtrdi 2788 . . . . . . 7 (๐‘š = 0 โ†’ (0...๐‘š) = {0})
5 oveq1 7412 . . . . . . . . 9 (๐‘š = 0 โ†’ (๐‘šC๐‘˜) = (0C๐‘˜))
6 oveq1 7412 . . . . . . . . . . 11 (๐‘š = 0 โ†’ (๐‘š โˆ’ ๐‘˜) = (0 โˆ’ ๐‘˜))
76oveq2d 7421 . . . . . . . . . 10 (๐‘š = 0 โ†’ (๐ด FallFac (๐‘š โˆ’ ๐‘˜)) = (๐ด FallFac (0 โˆ’ ๐‘˜)))
87oveq1d 7420 . . . . . . . . 9 (๐‘š = 0 โ†’ ((๐ด FallFac (๐‘š โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ต FallFac ๐‘˜)) = ((๐ด FallFac (0 โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ต FallFac ๐‘˜)))
95, 8oveq12d 7423 . . . . . . . 8 (๐‘š = 0 โ†’ ((๐‘šC๐‘˜) ยท ((๐ด FallFac (๐‘š โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ต FallFac ๐‘˜))) = ((0C๐‘˜) ยท ((๐ด FallFac (0 โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ต FallFac ๐‘˜))))
109adantr 481 . . . . . . 7 ((๐‘š = 0 โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)) โ†’ ((๐‘šC๐‘˜) ยท ((๐ด FallFac (๐‘š โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ต FallFac ๐‘˜))) = ((0C๐‘˜) ยท ((๐ด FallFac (0 โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ต FallFac ๐‘˜))))
114, 10sumeq12dv 15648 . . . . . 6 (๐‘š = 0 โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((๐‘šC๐‘˜) ยท ((๐ด FallFac (๐‘š โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ต FallFac ๐‘˜))) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ {0} ((0C๐‘˜) ยท ((๐ด FallFac (0 โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ต FallFac ๐‘˜))))
121, 11eqeq12d 2748 . . . . 5 (๐‘š = 0 โ†’ (((๐ด + ๐ต) FallFac ๐‘š) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((๐‘šC๐‘˜) ยท ((๐ด FallFac (๐‘š โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ต FallFac ๐‘˜))) โ†” ((๐ด + ๐ต) FallFac 0) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ {0} ((0C๐‘˜) ยท ((๐ด FallFac (0 โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ต FallFac ๐‘˜)))))
1312imbi2d 340 . . . 4 (๐‘š = 0 โ†’ (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด + ๐ต) FallFac ๐‘š) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((๐‘šC๐‘˜) ยท ((๐ด FallFac (๐‘š โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ต FallFac ๐‘˜)))) โ†” ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด + ๐ต) FallFac 0) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ {0} ((0C๐‘˜) ยท ((๐ด FallFac (0 โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ต FallFac ๐‘˜))))))
14 oveq2 7413 . . . . . 6 (๐‘š = ๐‘› โ†’ ((๐ด + ๐ต) FallFac ๐‘š) = ((๐ด + ๐ต) FallFac ๐‘›))
15 oveq2 7413 . . . . . . 7 (๐‘š = ๐‘› โ†’ (0...๐‘š) = (0...๐‘›))
16 oveq1 7412 . . . . . . . . 9 (๐‘š = ๐‘› โ†’ (๐‘šC๐‘˜) = (๐‘›C๐‘˜))
17 oveq1 7412 . . . . . . . . . . 11 (๐‘š = ๐‘› โ†’ (๐‘š โˆ’ ๐‘˜) = (๐‘› โˆ’ ๐‘˜))
1817oveq2d 7421 . . . . . . . . . 10 (๐‘š = ๐‘› โ†’ (๐ด FallFac (๐‘š โˆ’ ๐‘˜)) = (๐ด FallFac (๐‘› โˆ’ ๐‘˜)))
1918oveq1d 7420 . . . . . . . . 9 (๐‘š = ๐‘› โ†’ ((๐ด FallFac (๐‘š โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ต FallFac ๐‘˜)) = ((๐ด FallFac (๐‘› โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ต FallFac ๐‘˜)))
2016, 19oveq12d 7423 . . . . . . . 8 (๐‘š = ๐‘› โ†’ ((๐‘šC๐‘˜) ยท ((๐ด FallFac (๐‘š โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ต FallFac ๐‘˜))) = ((๐‘›C๐‘˜) ยท ((๐ด FallFac (๐‘› โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ต FallFac ๐‘˜))))
2120adantr 481 . . . . . . 7 ((๐‘š = ๐‘› โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)) โ†’ ((๐‘šC๐‘˜) ยท ((๐ด FallFac (๐‘š โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ต FallFac ๐‘˜))) = ((๐‘›C๐‘˜) ยท ((๐ด FallFac (๐‘› โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ต FallFac ๐‘˜))))
2215, 21sumeq12dv 15648 . . . . . 6 (๐‘š = ๐‘› โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((๐‘šC๐‘˜) ยท ((๐ด FallFac (๐‘š โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ต FallFac ๐‘˜))) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘›C๐‘˜) ยท ((๐ด FallFac (๐‘› โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ต FallFac ๐‘˜))))
2314, 22eqeq12d 2748 . . . . 5 (๐‘š = ๐‘› โ†’ (((๐ด + ๐ต) FallFac ๐‘š) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((๐‘šC๐‘˜) ยท ((๐ด FallFac (๐‘š โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ต FallFac ๐‘˜))) โ†” ((๐ด + ๐ต) FallFac ๐‘›) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘›C๐‘˜) ยท ((๐ด FallFac (๐‘› โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ต FallFac ๐‘˜)))))
2423imbi2d 340 . . . 4 (๐‘š = ๐‘› โ†’ (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด + ๐ต) FallFac ๐‘š) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((๐‘šC๐‘˜) ยท ((๐ด FallFac (๐‘š โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ต FallFac ๐‘˜)))) โ†” ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด + ๐ต) FallFac ๐‘›) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘›C๐‘˜) ยท ((๐ด FallFac (๐‘› โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ต FallFac ๐‘˜))))))
25 oveq2 7413 . . . . . 6 (๐‘š = (๐‘› + 1) โ†’ ((๐ด + ๐ต) FallFac ๐‘š) = ((๐ด + ๐ต) FallFac (๐‘› + 1)))
26 oveq2 7413 . . . . . . 7 (๐‘š = (๐‘› + 1) โ†’ (0...๐‘š) = (0...(๐‘› + 1)))
27 oveq1 7412 . . . . . . . . 9 (๐‘š = (๐‘› + 1) โ†’ (๐‘šC๐‘˜) = ((๐‘› + 1)C๐‘˜))
28 oveq1 7412 . . . . . . . . . . 11 (๐‘š = (๐‘› + 1) โ†’ (๐‘š โˆ’ ๐‘˜) = ((๐‘› + 1) โˆ’ ๐‘˜))
2928oveq2d 7421 . . . . . . . . . 10 (๐‘š = (๐‘› + 1) โ†’ (๐ด FallFac (๐‘š โˆ’ ๐‘˜)) = (๐ด FallFac ((๐‘› + 1) โˆ’ ๐‘˜)))
3029oveq1d 7420 . . . . . . . . 9 (๐‘š = (๐‘› + 1) โ†’ ((๐ด FallFac (๐‘š โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ต FallFac ๐‘˜)) = ((๐ด FallFac ((๐‘› + 1) โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ต FallFac ๐‘˜)))
3127, 30oveq12d 7423 . . . . . . . 8 (๐‘š = (๐‘› + 1) โ†’ ((๐‘šC๐‘˜) ยท ((๐ด FallFac (๐‘š โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ต FallFac ๐‘˜))) = (((๐‘› + 1)C๐‘˜) ยท ((๐ด FallFac ((๐‘› + 1) โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ต FallFac ๐‘˜))))
3231adantr 481 . . . . . . 7 ((๐‘š = (๐‘› + 1) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)) โ†’ ((๐‘šC๐‘˜) ยท ((๐ด FallFac (๐‘š โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ต FallFac ๐‘˜))) = (((๐‘› + 1)C๐‘˜) ยท ((๐ด FallFac ((๐‘› + 1) โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ต FallFac ๐‘˜))))
3326, 32sumeq12dv 15648 . . . . . 6 (๐‘š = (๐‘› + 1) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((๐‘šC๐‘˜) ยท ((๐ด FallFac (๐‘š โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ต FallFac ๐‘˜))) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘› + 1))(((๐‘› + 1)C๐‘˜) ยท ((๐ด FallFac ((๐‘› + 1) โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ต FallFac ๐‘˜))))
3425, 33eqeq12d 2748 . . . . 5 (๐‘š = (๐‘› + 1) โ†’ (((๐ด + ๐ต) FallFac ๐‘š) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((๐‘šC๐‘˜) ยท ((๐ด FallFac (๐‘š โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ต FallFac ๐‘˜))) โ†” ((๐ด + ๐ต) FallFac (๐‘› + 1)) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘› + 1))(((๐‘› + 1)C๐‘˜) ยท ((๐ด FallFac ((๐‘› + 1) โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ต FallFac ๐‘˜)))))
3534imbi2d 340 . . . 4 (๐‘š = (๐‘› + 1) โ†’ (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด + ๐ต) FallFac ๐‘š) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((๐‘šC๐‘˜) ยท ((๐ด FallFac (๐‘š โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ต FallFac ๐‘˜)))) โ†” ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด + ๐ต) FallFac (๐‘› + 1)) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘› + 1))(((๐‘› + 1)C๐‘˜) ยท ((๐ด FallFac ((๐‘› + 1) โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ต FallFac ๐‘˜))))))
36 oveq2 7413 . . . . . 6 (๐‘š = ๐‘ โ†’ ((๐ด + ๐ต) FallFac ๐‘š) = ((๐ด + ๐ต) FallFac ๐‘))
37 oveq2 7413 . . . . . . 7 (๐‘š = ๐‘ โ†’ (0...๐‘š) = (0...๐‘))
38 oveq1 7412 . . . . . . . . 9 (๐‘š = ๐‘ โ†’ (๐‘šC๐‘˜) = (๐‘C๐‘˜))
39 oveq1 7412 . . . . . . . . . . 11 (๐‘š = ๐‘ โ†’ (๐‘š โˆ’ ๐‘˜) = (๐‘ โˆ’ ๐‘˜))
4039oveq2d 7421 . . . . . . . . . 10 (๐‘š = ๐‘ โ†’ (๐ด FallFac (๐‘š โˆ’ ๐‘˜)) = (๐ด FallFac (๐‘ โˆ’ ๐‘˜)))
4140oveq1d 7420 . . . . . . . . 9 (๐‘š = ๐‘ โ†’ ((๐ด FallFac (๐‘š โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ต FallFac ๐‘˜)) = ((๐ด FallFac (๐‘ โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ต FallFac ๐‘˜)))
4238, 41oveq12d 7423 . . . . . . . 8 (๐‘š = ๐‘ โ†’ ((๐‘šC๐‘˜) ยท ((๐ด FallFac (๐‘š โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ต FallFac ๐‘˜))) = ((๐‘C๐‘˜) ยท ((๐ด FallFac (๐‘ โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ต FallFac ๐‘˜))))
4342adantr 481 . . . . . . 7 ((๐‘š = ๐‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)) โ†’ ((๐‘šC๐‘˜) ยท ((๐ด FallFac (๐‘š โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ต FallFac ๐‘˜))) = ((๐‘C๐‘˜) ยท ((๐ด FallFac (๐‘ โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ต FallFac ๐‘˜))))
4437, 43sumeq12dv 15648 . . . . . 6 (๐‘š = ๐‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((๐‘šC๐‘˜) ยท ((๐ด FallFac (๐‘š โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ต FallFac ๐‘˜))) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)((๐‘C๐‘˜) ยท ((๐ด FallFac (๐‘ โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ต FallFac ๐‘˜))))
4536, 44eqeq12d 2748 . . . . 5 (๐‘š = ๐‘ โ†’ (((๐ด + ๐ต) FallFac ๐‘š) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((๐‘šC๐‘˜) ยท ((๐ด FallFac (๐‘š โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ต FallFac ๐‘˜))) โ†” ((๐ด + ๐ต) FallFac ๐‘) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)((๐‘C๐‘˜) ยท ((๐ด FallFac (๐‘ โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ต FallFac ๐‘˜)))))
4645imbi2d 340 . . . 4 (๐‘š = ๐‘ โ†’ (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด + ๐ต) FallFac ๐‘š) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((๐‘šC๐‘˜) ยท ((๐ด FallFac (๐‘š โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ต FallFac ๐‘˜)))) โ†” ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด + ๐ต) FallFac ๐‘) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)((๐‘C๐‘˜) ยท ((๐ด FallFac (๐‘ โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ต FallFac ๐‘˜))))))
47 fallfac0 15968 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ด FallFac 0) = 1)
48 fallfac0 15968 . . . . . . . . 9 (๐ต โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ต FallFac 0) = 1)
4947, 48oveqan12d 7424 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด FallFac 0) ยท (๐ต FallFac 0)) = (1 ยท 1))
50 1t1e1 12370 . . . . . . . 8 (1 ยท 1) = 1
5149, 50eqtrdi 2788 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด FallFac 0) ยท (๐ต FallFac 0)) = 1)
5251oveq2d 7421 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (1 ยท ((๐ด FallFac 0) ยท (๐ต FallFac 0))) = (1 ยท 1))
5352, 50eqtrdi 2788 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (1 ยท ((๐ด FallFac 0) ยท (๐ต FallFac 0))) = 1)
54 0cn 11202 . . . . . 6 0 โˆˆ โ„‚
55 ax-1cn 11164 . . . . . . 7 1 โˆˆ โ„‚
5653, 55eqeltrdi 2841 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (1 ยท ((๐ด FallFac 0) ยท (๐ต FallFac 0))) โˆˆ โ„‚)
57 oveq2 7413 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ = 0 โ†’ (0C๐‘˜) = (0C0))
58 0nn0 12483 . . . . . . . . . 10 0 โˆˆ โ„•0
59 bcnn 14268 . . . . . . . . . 10 (0 โˆˆ โ„•0 โ†’ (0C0) = 1)
6058, 59ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (0C0) = 1
6157, 60eqtrdi 2788 . . . . . . . 8 (๐‘˜ = 0 โ†’ (0C๐‘˜) = 1)
62 oveq2 7413 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ = 0 โ†’ (0 โˆ’ ๐‘˜) = (0 โˆ’ 0))
63 0m0e0 12328 . . . . . . . . . . 11 (0 โˆ’ 0) = 0
6462, 63eqtrdi 2788 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ = 0 โ†’ (0 โˆ’ ๐‘˜) = 0)
6564oveq2d 7421 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ = 0 โ†’ (๐ด FallFac (0 โˆ’ ๐‘˜)) = (๐ด FallFac 0))
66 oveq2 7413 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ = 0 โ†’ (๐ต FallFac ๐‘˜) = (๐ต FallFac 0))
6765, 66oveq12d 7423 . . . . . . . 8 (๐‘˜ = 0 โ†’ ((๐ด FallFac (0 โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ต FallFac ๐‘˜)) = ((๐ด FallFac 0) ยท (๐ต FallFac 0)))
6861, 67oveq12d 7423 . . . . . . 7 (๐‘˜ = 0 โ†’ ((0C๐‘˜) ยท ((๐ด FallFac (0 โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ต FallFac ๐‘˜))) = (1 ยท ((๐ด FallFac 0) ยท (๐ต FallFac 0))))
6968sumsn 15688 . . . . . 6 ((0 โˆˆ โ„‚ โˆง (1 ยท ((๐ด FallFac 0) ยท (๐ต FallFac 0))) โˆˆ โ„‚) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ {0} ((0C๐‘˜) ยท ((๐ด FallFac (0 โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ต FallFac ๐‘˜))) = (1 ยท ((๐ด FallFac 0) ยท (๐ต FallFac 0))))
7054, 56, 69sylancr 587 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ {0} ((0C๐‘˜) ยท ((๐ด FallFac (0 โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ต FallFac ๐‘˜))) = (1 ยท ((๐ด FallFac 0) ยท (๐ต FallFac 0))))
71 addcl 11188 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด + ๐ต) โˆˆ โ„‚)
72 fallfac0 15968 . . . . . 6 ((๐ด + ๐ต) โˆˆ โ„‚ โ†’ ((๐ด + ๐ต) FallFac 0) = 1)
7371, 72syl 17 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด + ๐ต) FallFac 0) = 1)
7453, 70, 733eqtr4rd 2783 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด + ๐ต) FallFac 0) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ {0} ((0C๐‘˜) ยท ((๐ด FallFac (0 โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ต FallFac ๐‘˜))))
75 simprl 769 . . . . . . 7 ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง (๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
76 simprr 771 . . . . . . 7 ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง (๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
77 simpl 483 . . . . . . 7 ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง (๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚)) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•0)
78 id 22 . . . . . . 7 (((๐ด + ๐ต) FallFac ๐‘›) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘›C๐‘˜) ยท ((๐ด FallFac (๐‘› โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ต FallFac ๐‘˜))) โ†’ ((๐ด + ๐ต) FallFac ๐‘›) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘›C๐‘˜) ยท ((๐ด FallFac (๐‘› โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ต FallFac ๐‘˜))))
7975, 76, 77, 78binomfallfaclem2 15980 . . . . . 6 (((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง (๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚)) โˆง ((๐ด + ๐ต) FallFac ๐‘›) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘›C๐‘˜) ยท ((๐ด FallFac (๐‘› โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ต FallFac ๐‘˜)))) โ†’ ((๐ด + ๐ต) FallFac (๐‘› + 1)) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘› + 1))(((๐‘› + 1)C๐‘˜) ยท ((๐ด FallFac ((๐‘› + 1) โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ต FallFac ๐‘˜))))
8079exp31 420 . . . . 5 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐ด + ๐ต) FallFac ๐‘›) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘›C๐‘˜) ยท ((๐ด FallFac (๐‘› โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ต FallFac ๐‘˜))) โ†’ ((๐ด + ๐ต) FallFac (๐‘› + 1)) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘› + 1))(((๐‘› + 1)C๐‘˜) ยท ((๐ด FallFac ((๐‘› + 1) โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ต FallFac ๐‘˜))))))
8180a2d 29 . . . 4 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด + ๐ต) FallFac ๐‘›) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘›C๐‘˜) ยท ((๐ด FallFac (๐‘› โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ต FallFac ๐‘˜)))) โ†’ ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด + ๐ต) FallFac (๐‘› + 1)) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘› + 1))(((๐‘› + 1)C๐‘˜) ยท ((๐ด FallFac ((๐‘› + 1) โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ต FallFac ๐‘˜))))))
8213, 24, 35, 46, 74, 81nn0ind 12653 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด + ๐ต) FallFac ๐‘) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)((๐‘C๐‘˜) ยท ((๐ด FallFac (๐‘ โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ต FallFac ๐‘˜)))))
8382com12 32 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐ด + ๐ต) FallFac ๐‘) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)((๐‘C๐‘˜) ยท ((๐ด FallFac (๐‘ โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ต FallFac ๐‘˜)))))
84833impia 1117 1 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐ด + ๐ต) FallFac ๐‘) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)((๐‘C๐‘˜) ยท ((๐ด FallFac (๐‘ โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ต FallFac ๐‘˜))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 396   โˆง w3a 1087   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106  {csn 4627  (class class class)co 7405  โ„‚cc 11104  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109   ยท cmul 11111   โˆ’ cmin 11440  โ„•0cn0 12468  ...cfz 13480  Ccbc 14258  ฮฃcsu 15628   FallFac cfallfac 15944
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-rp 12971  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-seq 13963  df-exp 14024  df-fac 14230  df-bc 14259  df-hash 14287  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-clim 15428  df-sum 15629  df-prod 15846  df-risefac 15946  df-fallfac 15947
This theorem is referenced by:  binomrisefac  15982
  Copyright terms: Public domain W3C validator