MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  binomfallfac Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem binomfallfac 15929
Description: A version of the binomial theorem using falling factorials instead of exponentials. (Contributed by Scott Fenton, 13-Mar-2018.)
Assertion
Ref Expression
binomfallfac ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐ด + ๐ต) FallFac ๐‘) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)((๐‘C๐‘˜) ยท ((๐ด FallFac (๐‘ โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ต FallFac ๐‘˜))))
Distinct variable groups:   ๐ด,๐‘˜   ๐ต,๐‘˜   ๐‘˜,๐‘

Proof of Theorem binomfallfac
Dummy variables ๐‘š ๐‘› are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 7366 . . . . . 6 (๐‘š = 0 โ†’ ((๐ด + ๐ต) FallFac ๐‘š) = ((๐ด + ๐ต) FallFac 0))
2 oveq2 7366 . . . . . . . 8 (๐‘š = 0 โ†’ (0...๐‘š) = (0...0))
3 fz0sn 13547 . . . . . . . 8 (0...0) = {0}
42, 3eqtrdi 2789 . . . . . . 7 (๐‘š = 0 โ†’ (0...๐‘š) = {0})
5 oveq1 7365 . . . . . . . . 9 (๐‘š = 0 โ†’ (๐‘šC๐‘˜) = (0C๐‘˜))
6 oveq1 7365 . . . . . . . . . . 11 (๐‘š = 0 โ†’ (๐‘š โˆ’ ๐‘˜) = (0 โˆ’ ๐‘˜))
76oveq2d 7374 . . . . . . . . . 10 (๐‘š = 0 โ†’ (๐ด FallFac (๐‘š โˆ’ ๐‘˜)) = (๐ด FallFac (0 โˆ’ ๐‘˜)))
87oveq1d 7373 . . . . . . . . 9 (๐‘š = 0 โ†’ ((๐ด FallFac (๐‘š โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ต FallFac ๐‘˜)) = ((๐ด FallFac (0 โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ต FallFac ๐‘˜)))
95, 8oveq12d 7376 . . . . . . . 8 (๐‘š = 0 โ†’ ((๐‘šC๐‘˜) ยท ((๐ด FallFac (๐‘š โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ต FallFac ๐‘˜))) = ((0C๐‘˜) ยท ((๐ด FallFac (0 โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ต FallFac ๐‘˜))))
109adantr 482 . . . . . . 7 ((๐‘š = 0 โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)) โ†’ ((๐‘šC๐‘˜) ยท ((๐ด FallFac (๐‘š โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ต FallFac ๐‘˜))) = ((0C๐‘˜) ยท ((๐ด FallFac (0 โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ต FallFac ๐‘˜))))
114, 10sumeq12dv 15596 . . . . . 6 (๐‘š = 0 โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((๐‘šC๐‘˜) ยท ((๐ด FallFac (๐‘š โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ต FallFac ๐‘˜))) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ {0} ((0C๐‘˜) ยท ((๐ด FallFac (0 โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ต FallFac ๐‘˜))))
121, 11eqeq12d 2749 . . . . 5 (๐‘š = 0 โ†’ (((๐ด + ๐ต) FallFac ๐‘š) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((๐‘šC๐‘˜) ยท ((๐ด FallFac (๐‘š โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ต FallFac ๐‘˜))) โ†” ((๐ด + ๐ต) FallFac 0) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ {0} ((0C๐‘˜) ยท ((๐ด FallFac (0 โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ต FallFac ๐‘˜)))))
1312imbi2d 341 . . . 4 (๐‘š = 0 โ†’ (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด + ๐ต) FallFac ๐‘š) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((๐‘šC๐‘˜) ยท ((๐ด FallFac (๐‘š โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ต FallFac ๐‘˜)))) โ†” ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด + ๐ต) FallFac 0) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ {0} ((0C๐‘˜) ยท ((๐ด FallFac (0 โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ต FallFac ๐‘˜))))))
14 oveq2 7366 . . . . . 6 (๐‘š = ๐‘› โ†’ ((๐ด + ๐ต) FallFac ๐‘š) = ((๐ด + ๐ต) FallFac ๐‘›))
15 oveq2 7366 . . . . . . 7 (๐‘š = ๐‘› โ†’ (0...๐‘š) = (0...๐‘›))
16 oveq1 7365 . . . . . . . . 9 (๐‘š = ๐‘› โ†’ (๐‘šC๐‘˜) = (๐‘›C๐‘˜))
17 oveq1 7365 . . . . . . . . . . 11 (๐‘š = ๐‘› โ†’ (๐‘š โˆ’ ๐‘˜) = (๐‘› โˆ’ ๐‘˜))
1817oveq2d 7374 . . . . . . . . . 10 (๐‘š = ๐‘› โ†’ (๐ด FallFac (๐‘š โˆ’ ๐‘˜)) = (๐ด FallFac (๐‘› โˆ’ ๐‘˜)))
1918oveq1d 7373 . . . . . . . . 9 (๐‘š = ๐‘› โ†’ ((๐ด FallFac (๐‘š โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ต FallFac ๐‘˜)) = ((๐ด FallFac (๐‘› โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ต FallFac ๐‘˜)))
2016, 19oveq12d 7376 . . . . . . . 8 (๐‘š = ๐‘› โ†’ ((๐‘šC๐‘˜) ยท ((๐ด FallFac (๐‘š โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ต FallFac ๐‘˜))) = ((๐‘›C๐‘˜) ยท ((๐ด FallFac (๐‘› โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ต FallFac ๐‘˜))))
2120adantr 482 . . . . . . 7 ((๐‘š = ๐‘› โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)) โ†’ ((๐‘šC๐‘˜) ยท ((๐ด FallFac (๐‘š โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ต FallFac ๐‘˜))) = ((๐‘›C๐‘˜) ยท ((๐ด FallFac (๐‘› โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ต FallFac ๐‘˜))))
2215, 21sumeq12dv 15596 . . . . . 6 (๐‘š = ๐‘› โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((๐‘šC๐‘˜) ยท ((๐ด FallFac (๐‘š โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ต FallFac ๐‘˜))) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘›C๐‘˜) ยท ((๐ด FallFac (๐‘› โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ต FallFac ๐‘˜))))
2314, 22eqeq12d 2749 . . . . 5 (๐‘š = ๐‘› โ†’ (((๐ด + ๐ต) FallFac ๐‘š) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((๐‘šC๐‘˜) ยท ((๐ด FallFac (๐‘š โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ต FallFac ๐‘˜))) โ†” ((๐ด + ๐ต) FallFac ๐‘›) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘›C๐‘˜) ยท ((๐ด FallFac (๐‘› โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ต FallFac ๐‘˜)))))
2423imbi2d 341 . . . 4 (๐‘š = ๐‘› โ†’ (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด + ๐ต) FallFac ๐‘š) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((๐‘šC๐‘˜) ยท ((๐ด FallFac (๐‘š โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ต FallFac ๐‘˜)))) โ†” ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด + ๐ต) FallFac ๐‘›) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘›C๐‘˜) ยท ((๐ด FallFac (๐‘› โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ต FallFac ๐‘˜))))))
25 oveq2 7366 . . . . . 6 (๐‘š = (๐‘› + 1) โ†’ ((๐ด + ๐ต) FallFac ๐‘š) = ((๐ด + ๐ต) FallFac (๐‘› + 1)))
26 oveq2 7366 . . . . . . 7 (๐‘š = (๐‘› + 1) โ†’ (0...๐‘š) = (0...(๐‘› + 1)))
27 oveq1 7365 . . . . . . . . 9 (๐‘š = (๐‘› + 1) โ†’ (๐‘šC๐‘˜) = ((๐‘› + 1)C๐‘˜))
28 oveq1 7365 . . . . . . . . . . 11 (๐‘š = (๐‘› + 1) โ†’ (๐‘š โˆ’ ๐‘˜) = ((๐‘› + 1) โˆ’ ๐‘˜))
2928oveq2d 7374 . . . . . . . . . 10 (๐‘š = (๐‘› + 1) โ†’ (๐ด FallFac (๐‘š โˆ’ ๐‘˜)) = (๐ด FallFac ((๐‘› + 1) โˆ’ ๐‘˜)))
3029oveq1d 7373 . . . . . . . . 9 (๐‘š = (๐‘› + 1) โ†’ ((๐ด FallFac (๐‘š โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ต FallFac ๐‘˜)) = ((๐ด FallFac ((๐‘› + 1) โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ต FallFac ๐‘˜)))
3127, 30oveq12d 7376 . . . . . . . 8 (๐‘š = (๐‘› + 1) โ†’ ((๐‘šC๐‘˜) ยท ((๐ด FallFac (๐‘š โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ต FallFac ๐‘˜))) = (((๐‘› + 1)C๐‘˜) ยท ((๐ด FallFac ((๐‘› + 1) โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ต FallFac ๐‘˜))))
3231adantr 482 . . . . . . 7 ((๐‘š = (๐‘› + 1) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)) โ†’ ((๐‘šC๐‘˜) ยท ((๐ด FallFac (๐‘š โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ต FallFac ๐‘˜))) = (((๐‘› + 1)C๐‘˜) ยท ((๐ด FallFac ((๐‘› + 1) โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ต FallFac ๐‘˜))))
3326, 32sumeq12dv 15596 . . . . . 6 (๐‘š = (๐‘› + 1) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((๐‘šC๐‘˜) ยท ((๐ด FallFac (๐‘š โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ต FallFac ๐‘˜))) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘› + 1))(((๐‘› + 1)C๐‘˜) ยท ((๐ด FallFac ((๐‘› + 1) โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ต FallFac ๐‘˜))))
3425, 33eqeq12d 2749 . . . . 5 (๐‘š = (๐‘› + 1) โ†’ (((๐ด + ๐ต) FallFac ๐‘š) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((๐‘šC๐‘˜) ยท ((๐ด FallFac (๐‘š โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ต FallFac ๐‘˜))) โ†” ((๐ด + ๐ต) FallFac (๐‘› + 1)) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘› + 1))(((๐‘› + 1)C๐‘˜) ยท ((๐ด FallFac ((๐‘› + 1) โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ต FallFac ๐‘˜)))))
3534imbi2d 341 . . . 4 (๐‘š = (๐‘› + 1) โ†’ (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด + ๐ต) FallFac ๐‘š) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((๐‘šC๐‘˜) ยท ((๐ด FallFac (๐‘š โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ต FallFac ๐‘˜)))) โ†” ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด + ๐ต) FallFac (๐‘› + 1)) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘› + 1))(((๐‘› + 1)C๐‘˜) ยท ((๐ด FallFac ((๐‘› + 1) โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ต FallFac ๐‘˜))))))
36 oveq2 7366 . . . . . 6 (๐‘š = ๐‘ โ†’ ((๐ด + ๐ต) FallFac ๐‘š) = ((๐ด + ๐ต) FallFac ๐‘))
37 oveq2 7366 . . . . . . 7 (๐‘š = ๐‘ โ†’ (0...๐‘š) = (0...๐‘))
38 oveq1 7365 . . . . . . . . 9 (๐‘š = ๐‘ โ†’ (๐‘šC๐‘˜) = (๐‘C๐‘˜))
39 oveq1 7365 . . . . . . . . . . 11 (๐‘š = ๐‘ โ†’ (๐‘š โˆ’ ๐‘˜) = (๐‘ โˆ’ ๐‘˜))
4039oveq2d 7374 . . . . . . . . . 10 (๐‘š = ๐‘ โ†’ (๐ด FallFac (๐‘š โˆ’ ๐‘˜)) = (๐ด FallFac (๐‘ โˆ’ ๐‘˜)))
4140oveq1d 7373 . . . . . . . . 9 (๐‘š = ๐‘ โ†’ ((๐ด FallFac (๐‘š โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ต FallFac ๐‘˜)) = ((๐ด FallFac (๐‘ โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ต FallFac ๐‘˜)))
4238, 41oveq12d 7376 . . . . . . . 8 (๐‘š = ๐‘ โ†’ ((๐‘šC๐‘˜) ยท ((๐ด FallFac (๐‘š โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ต FallFac ๐‘˜))) = ((๐‘C๐‘˜) ยท ((๐ด FallFac (๐‘ โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ต FallFac ๐‘˜))))
4342adantr 482 . . . . . . 7 ((๐‘š = ๐‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)) โ†’ ((๐‘šC๐‘˜) ยท ((๐ด FallFac (๐‘š โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ต FallFac ๐‘˜))) = ((๐‘C๐‘˜) ยท ((๐ด FallFac (๐‘ โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ต FallFac ๐‘˜))))
4437, 43sumeq12dv 15596 . . . . . 6 (๐‘š = ๐‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((๐‘šC๐‘˜) ยท ((๐ด FallFac (๐‘š โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ต FallFac ๐‘˜))) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)((๐‘C๐‘˜) ยท ((๐ด FallFac (๐‘ โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ต FallFac ๐‘˜))))
4536, 44eqeq12d 2749 . . . . 5 (๐‘š = ๐‘ โ†’ (((๐ด + ๐ต) FallFac ๐‘š) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((๐‘šC๐‘˜) ยท ((๐ด FallFac (๐‘š โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ต FallFac ๐‘˜))) โ†” ((๐ด + ๐ต) FallFac ๐‘) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)((๐‘C๐‘˜) ยท ((๐ด FallFac (๐‘ โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ต FallFac ๐‘˜)))))
4645imbi2d 341 . . . 4 (๐‘š = ๐‘ โ†’ (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด + ๐ต) FallFac ๐‘š) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘š)((๐‘šC๐‘˜) ยท ((๐ด FallFac (๐‘š โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ต FallFac ๐‘˜)))) โ†” ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด + ๐ต) FallFac ๐‘) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)((๐‘C๐‘˜) ยท ((๐ด FallFac (๐‘ โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ต FallFac ๐‘˜))))))
47 fallfac0 15916 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ด FallFac 0) = 1)
48 fallfac0 15916 . . . . . . . . 9 (๐ต โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ต FallFac 0) = 1)
4947, 48oveqan12d 7377 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด FallFac 0) ยท (๐ต FallFac 0)) = (1 ยท 1))
50 1t1e1 12320 . . . . . . . 8 (1 ยท 1) = 1
5149, 50eqtrdi 2789 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด FallFac 0) ยท (๐ต FallFac 0)) = 1)
5251oveq2d 7374 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (1 ยท ((๐ด FallFac 0) ยท (๐ต FallFac 0))) = (1 ยท 1))
5352, 50eqtrdi 2789 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (1 ยท ((๐ด FallFac 0) ยท (๐ต FallFac 0))) = 1)
54 0cn 11152 . . . . . 6 0 โˆˆ โ„‚
55 ax-1cn 11114 . . . . . . 7 1 โˆˆ โ„‚
5653, 55eqeltrdi 2842 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (1 ยท ((๐ด FallFac 0) ยท (๐ต FallFac 0))) โˆˆ โ„‚)
57 oveq2 7366 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ = 0 โ†’ (0C๐‘˜) = (0C0))
58 0nn0 12433 . . . . . . . . . 10 0 โˆˆ โ„•0
59 bcnn 14218 . . . . . . . . . 10 (0 โˆˆ โ„•0 โ†’ (0C0) = 1)
6058, 59ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (0C0) = 1
6157, 60eqtrdi 2789 . . . . . . . 8 (๐‘˜ = 0 โ†’ (0C๐‘˜) = 1)
62 oveq2 7366 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ = 0 โ†’ (0 โˆ’ ๐‘˜) = (0 โˆ’ 0))
63 0m0e0 12278 . . . . . . . . . . 11 (0 โˆ’ 0) = 0
6462, 63eqtrdi 2789 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ = 0 โ†’ (0 โˆ’ ๐‘˜) = 0)
6564oveq2d 7374 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ = 0 โ†’ (๐ด FallFac (0 โˆ’ ๐‘˜)) = (๐ด FallFac 0))
66 oveq2 7366 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ = 0 โ†’ (๐ต FallFac ๐‘˜) = (๐ต FallFac 0))
6765, 66oveq12d 7376 . . . . . . . 8 (๐‘˜ = 0 โ†’ ((๐ด FallFac (0 โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ต FallFac ๐‘˜)) = ((๐ด FallFac 0) ยท (๐ต FallFac 0)))
6861, 67oveq12d 7376 . . . . . . 7 (๐‘˜ = 0 โ†’ ((0C๐‘˜) ยท ((๐ด FallFac (0 โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ต FallFac ๐‘˜))) = (1 ยท ((๐ด FallFac 0) ยท (๐ต FallFac 0))))
6968sumsn 15636 . . . . . 6 ((0 โˆˆ โ„‚ โˆง (1 ยท ((๐ด FallFac 0) ยท (๐ต FallFac 0))) โˆˆ โ„‚) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ {0} ((0C๐‘˜) ยท ((๐ด FallFac (0 โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ต FallFac ๐‘˜))) = (1 ยท ((๐ด FallFac 0) ยท (๐ต FallFac 0))))
7054, 56, 69sylancr 588 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ {0} ((0C๐‘˜) ยท ((๐ด FallFac (0 โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ต FallFac ๐‘˜))) = (1 ยท ((๐ด FallFac 0) ยท (๐ต FallFac 0))))
71 addcl 11138 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด + ๐ต) โˆˆ โ„‚)
72 fallfac0 15916 . . . . . 6 ((๐ด + ๐ต) โˆˆ โ„‚ โ†’ ((๐ด + ๐ต) FallFac 0) = 1)
7371, 72syl 17 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด + ๐ต) FallFac 0) = 1)
7453, 70, 733eqtr4rd 2784 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด + ๐ต) FallFac 0) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ {0} ((0C๐‘˜) ยท ((๐ด FallFac (0 โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ต FallFac ๐‘˜))))
75 simprl 770 . . . . . . 7 ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง (๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
76 simprr 772 . . . . . . 7 ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง (๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
77 simpl 484 . . . . . . 7 ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง (๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚)) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•0)
78 id 22 . . . . . . 7 (((๐ด + ๐ต) FallFac ๐‘›) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘›C๐‘˜) ยท ((๐ด FallFac (๐‘› โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ต FallFac ๐‘˜))) โ†’ ((๐ด + ๐ต) FallFac ๐‘›) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘›C๐‘˜) ยท ((๐ด FallFac (๐‘› โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ต FallFac ๐‘˜))))
7975, 76, 77, 78binomfallfaclem2 15928 . . . . . 6 (((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง (๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚)) โˆง ((๐ด + ๐ต) FallFac ๐‘›) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘›C๐‘˜) ยท ((๐ด FallFac (๐‘› โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ต FallFac ๐‘˜)))) โ†’ ((๐ด + ๐ต) FallFac (๐‘› + 1)) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘› + 1))(((๐‘› + 1)C๐‘˜) ยท ((๐ด FallFac ((๐‘› + 1) โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ต FallFac ๐‘˜))))
8079exp31 421 . . . . 5 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐ด + ๐ต) FallFac ๐‘›) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘›C๐‘˜) ยท ((๐ด FallFac (๐‘› โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ต FallFac ๐‘˜))) โ†’ ((๐ด + ๐ต) FallFac (๐‘› + 1)) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘› + 1))(((๐‘› + 1)C๐‘˜) ยท ((๐ด FallFac ((๐‘› + 1) โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ต FallFac ๐‘˜))))))
8180a2d 29 . . . 4 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด + ๐ต) FallFac ๐‘›) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘›)((๐‘›C๐‘˜) ยท ((๐ด FallFac (๐‘› โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ต FallFac ๐‘˜)))) โ†’ ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด + ๐ต) FallFac (๐‘› + 1)) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘› + 1))(((๐‘› + 1)C๐‘˜) ยท ((๐ด FallFac ((๐‘› + 1) โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ต FallFac ๐‘˜))))))
8213, 24, 35, 46, 74, 81nn0ind 12603 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด + ๐ต) FallFac ๐‘) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)((๐‘C๐‘˜) ยท ((๐ด FallFac (๐‘ โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ต FallFac ๐‘˜)))))
8382com12 32 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐ด + ๐ต) FallFac ๐‘) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)((๐‘C๐‘˜) ยท ((๐ด FallFac (๐‘ โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ต FallFac ๐‘˜)))))
84833impia 1118 1 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐ด + ๐ต) FallFac ๐‘) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)((๐‘C๐‘˜) ยท ((๐ด FallFac (๐‘ โˆ’ ๐‘˜)) ยท (๐ต FallFac ๐‘˜))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  {csn 4587  (class class class)co 7358  โ„‚cc 11054  0cc0 11056  1c1 11057   + caddc 11059   ยท cmul 11061   โˆ’ cmin 11390  โ„•0cn0 12418  ...cfz 13430  Ccbc 14208  ฮฃcsu 15576   FallFac cfallfac 15892
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9582  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-sup 9383  df-oi 9451  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-rp 12921  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-seq 13913  df-exp 13974  df-fac 14180  df-bc 14209  df-hash 14237  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127  df-clim 15376  df-sum 15577  df-prod 15794  df-risefac 15894  df-fallfac 15895
This theorem is referenced by:  binomrisefac  15930
  Copyright terms: Public domain W3C validator