MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  4sqlem19 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 4sqlem19 16835
Description: Lemma for 4sq 16836. The proof is by strong induction - we show that if all the integers less than 𝑘 are in 𝑆, then 𝑘 is as well. In this part of the proof we do the induction argument and dispense with all the cases except the odd prime case, which is sent to 4sqlem18 16834. If 𝑘 is 0, 1, 2, we show 𝑘𝑆 directly; otherwise if 𝑘 is composite, 𝑘 is the product of two numbers less than it (and hence in 𝑆 by assumption), so by mul4sq 16826 𝑘𝑆. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
4sq.1 𝑆 = {𝑛 ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ ∃𝑧 ∈ ℤ ∃𝑤 ∈ ℤ 𝑛 = (((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) + ((𝑧↑2) + (𝑤↑2)))}
Assertion
Ref Expression
4sqlem19 0 = 𝑆
Distinct variable groups:   𝑤,𝑛,𝑥,𝑦,𝑧   𝑆,𝑛
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)

Proof of Theorem 4sqlem19
Dummy variables 𝑗 𝑘 𝑖 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elnn0 12415 . . . 4 (𝑘 ∈ ℕ0 ↔ (𝑘 ∈ ℕ ∨ 𝑘 = 0))
2 eleq1 2825 . . . . . 6 (𝑗 = 1 → (𝑗𝑆 ↔ 1 ∈ 𝑆))
3 eleq1 2825 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑚 → (𝑗𝑆𝑚𝑆))
4 eleq1 2825 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑖 → (𝑗𝑆𝑖𝑆))
5 eleq1 2825 . . . . . 6 (𝑗 = (𝑚 · 𝑖) → (𝑗𝑆 ↔ (𝑚 · 𝑖) ∈ 𝑆))
6 eleq1 2825 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑘 → (𝑗𝑆𝑘𝑆))
7 abs1 15182 . . . . . . . . . . 11 (abs‘1) = 1
87oveq1i 7367 . . . . . . . . . 10 ((abs‘1)↑2) = (1↑2)
9 sq1 14099 . . . . . . . . . 10 (1↑2) = 1
108, 9eqtri 2764 . . . . . . . . 9 ((abs‘1)↑2) = 1
11 abs0 15170 . . . . . . . . . . 11 (abs‘0) = 0
1211oveq1i 7367 . . . . . . . . . 10 ((abs‘0)↑2) = (0↑2)
13 sq0 14096 . . . . . . . . . 10 (0↑2) = 0
1412, 13eqtri 2764 . . . . . . . . 9 ((abs‘0)↑2) = 0
1510, 14oveq12i 7369 . . . . . . . 8 (((abs‘1)↑2) + ((abs‘0)↑2)) = (1 + 0)
16 1p0e1 12277 . . . . . . . 8 (1 + 0) = 1
1715, 16eqtri 2764 . . . . . . 7 (((abs‘1)↑2) + ((abs‘0)↑2)) = 1
18 1z 12533 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℤ
19 zgz 16805 . . . . . . . . 9 (1 ∈ ℤ → 1 ∈ ℤ[i])
2018, 19ax-mp 5 . . . . . . . 8 1 ∈ ℤ[i]
21 0z 12510 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℤ
22 zgz 16805 . . . . . . . . 9 (0 ∈ ℤ → 0 ∈ ℤ[i])
2321, 22ax-mp 5 . . . . . . . 8 0 ∈ ℤ[i]
24 4sq.1 . . . . . . . . 9 𝑆 = {𝑛 ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ ∃𝑧 ∈ ℤ ∃𝑤 ∈ ℤ 𝑛 = (((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) + ((𝑧↑2) + (𝑤↑2)))}
25244sqlem4a 16823 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℤ[i] ∧ 0 ∈ ℤ[i]) → (((abs‘1)↑2) + ((abs‘0)↑2)) ∈ 𝑆)
2620, 23, 25mp2an 690 . . . . . . 7 (((abs‘1)↑2) + ((abs‘0)↑2)) ∈ 𝑆
2717, 26eqeltrri 2835 . . . . . 6 1 ∈ 𝑆
28 eleq1 2825 . . . . . . 7 (𝑗 = 2 → (𝑗𝑆 ↔ 2 ∈ 𝑆))
29 eldifsn 4747 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ (ℙ ∖ {2}) ↔ (𝑗 ∈ ℙ ∧ 𝑗 ≠ 2))
30 oddprm 16682 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((𝑗 − 1) / 2) ∈ ℕ)
3130adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝑗 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ∀𝑚 ∈ (1...(𝑗 − 1))𝑚𝑆) → ((𝑗 − 1) / 2) ∈ ℕ)
32 eldifi 4086 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑗 ∈ ℙ)
3332adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑗 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ∀𝑚 ∈ (1...(𝑗 − 1))𝑚𝑆) → 𝑗 ∈ ℙ)
34 prmnn 16550 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 ∈ ℙ → 𝑗 ∈ ℕ)
35 nncn 12161 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℂ)
3633, 34, 353syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑗 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ∀𝑚 ∈ (1...(𝑗 − 1))𝑚𝑆) → 𝑗 ∈ ℂ)
37 ax-1cn 11109 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ℂ
38 subcl 11400 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑗 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑗 − 1) ∈ ℂ)
3936, 37, 38sylancl 586 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑗 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ∀𝑚 ∈ (1...(𝑗 − 1))𝑚𝑆) → (𝑗 − 1) ∈ ℂ)
40 2cnd 12231 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑗 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ∀𝑚 ∈ (1...(𝑗 − 1))𝑚𝑆) → 2 ∈ ℂ)
41 2ne0 12257 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ≠ 0
4241a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑗 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ∀𝑚 ∈ (1...(𝑗 − 1))𝑚𝑆) → 2 ≠ 0)
4339, 40, 42divcan2d 11933 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑗 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ∀𝑚 ∈ (1...(𝑗 − 1))𝑚𝑆) → (2 · ((𝑗 − 1) / 2)) = (𝑗 − 1))
4443oveq1d 7372 . . . . . . . . . . 11 ((𝑗 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ∀𝑚 ∈ (1...(𝑗 − 1))𝑚𝑆) → ((2 · ((𝑗 − 1) / 2)) + 1) = ((𝑗 − 1) + 1))
45 npcan 11410 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑗 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑗 − 1) + 1) = 𝑗)
4636, 37, 45sylancl 586 . . . . . . . . . . 11 ((𝑗 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ∀𝑚 ∈ (1...(𝑗 − 1))𝑚𝑆) → ((𝑗 − 1) + 1) = 𝑗)
4744, 46eqtr2d 2777 . . . . . . . . . 10 ((𝑗 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ∀𝑚 ∈ (1...(𝑗 − 1))𝑚𝑆) → 𝑗 = ((2 · ((𝑗 − 1) / 2)) + 1))
4843oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑗 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ∀𝑚 ∈ (1...(𝑗 − 1))𝑚𝑆) → (0...(2 · ((𝑗 − 1) / 2))) = (0...(𝑗 − 1)))
49 nnm1nn0 12454 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 ∈ ℕ → (𝑗 − 1) ∈ ℕ0)
5033, 34, 493syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑗 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ∀𝑚 ∈ (1...(𝑗 − 1))𝑚𝑆) → (𝑗 − 1) ∈ ℕ0)
51 elnn0uz 12808 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑗 − 1) ∈ ℕ0 ↔ (𝑗 − 1) ∈ (ℤ‘0))
5250, 51sylib 217 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑗 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ∀𝑚 ∈ (1...(𝑗 − 1))𝑚𝑆) → (𝑗 − 1) ∈ (ℤ‘0))
53 eluzfz1 13448 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑗 − 1) ∈ (ℤ‘0) → 0 ∈ (0...(𝑗 − 1)))
54 fzsplit 13467 . . . . . . . . . . . . 13 (0 ∈ (0...(𝑗 − 1)) → (0...(𝑗 − 1)) = ((0...0) ∪ ((0 + 1)...(𝑗 − 1))))
5552, 53, 543syl 18 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑗 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ∀𝑚 ∈ (1...(𝑗 − 1))𝑚𝑆) → (0...(𝑗 − 1)) = ((0...0) ∪ ((0 + 1)...(𝑗 − 1))))
5648, 55eqtrd 2776 . . . . . . . . . . 11 ((𝑗 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ∀𝑚 ∈ (1...(𝑗 − 1))𝑚𝑆) → (0...(2 · ((𝑗 − 1) / 2))) = ((0...0) ∪ ((0 + 1)...(𝑗 − 1))))
57 fz0sn 13541 . . . . . . . . . . . . . 14 (0...0) = {0}
5814, 14oveq12i 7369 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((abs‘0)↑2) + ((abs‘0)↑2)) = (0 + 0)
59 00id 11330 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (0 + 0) = 0
6058, 59eqtri 2764 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((abs‘0)↑2) + ((abs‘0)↑2)) = 0
61244sqlem4a 16823 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((0 ∈ ℤ[i] ∧ 0 ∈ ℤ[i]) → (((abs‘0)↑2) + ((abs‘0)↑2)) ∈ 𝑆)
6223, 23, 61mp2an 690 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((abs‘0)↑2) + ((abs‘0)↑2)) ∈ 𝑆
6360, 62eqeltrri 2835 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 ∈ 𝑆
64 snssi 4768 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0 ∈ 𝑆 → {0} ⊆ 𝑆)
6563, 64ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 {0} ⊆ 𝑆
6657, 65eqsstri 3978 . . . . . . . . . . . . 13 (0...0) ⊆ 𝑆
6766a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑗 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ∀𝑚 ∈ (1...(𝑗 − 1))𝑚𝑆) → (0...0) ⊆ 𝑆)
68 0p1e1 12275 . . . . . . . . . . . . . 14 (0 + 1) = 1
6968oveq1i 7367 . . . . . . . . . . . . 13 ((0 + 1)...(𝑗 − 1)) = (1...(𝑗 − 1))
70 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑗 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ∀𝑚 ∈ (1...(𝑗 − 1))𝑚𝑆) → ∀𝑚 ∈ (1...(𝑗 − 1))𝑚𝑆)
71 dfss3 3932 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1...(𝑗 − 1)) ⊆ 𝑆 ↔ ∀𝑚 ∈ (1...(𝑗 − 1))𝑚𝑆)
7270, 71sylibr 233 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑗 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ∀𝑚 ∈ (1...(𝑗 − 1))𝑚𝑆) → (1...(𝑗 − 1)) ⊆ 𝑆)
7369, 72eqsstrid 3992 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑗 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ∀𝑚 ∈ (1...(𝑗 − 1))𝑚𝑆) → ((0 + 1)...(𝑗 − 1)) ⊆ 𝑆)
7467, 73unssd 4146 . . . . . . . . . . 11 ((𝑗 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ∀𝑚 ∈ (1...(𝑗 − 1))𝑚𝑆) → ((0...0) ∪ ((0 + 1)...(𝑗 − 1))) ⊆ 𝑆)
7556, 74eqsstrd 3982 . . . . . . . . . 10 ((𝑗 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ∀𝑚 ∈ (1...(𝑗 − 1))𝑚𝑆) → (0...(2 · ((𝑗 − 1) / 2))) ⊆ 𝑆)
76 oveq1 7364 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑖 → (𝑘 · 𝑗) = (𝑖 · 𝑗))
7776eleq1d 2822 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑖 → ((𝑘 · 𝑗) ∈ 𝑆 ↔ (𝑖 · 𝑗) ∈ 𝑆))
7877cbvrabv 3417 . . . . . . . . . 10 {𝑘 ∈ ℕ ∣ (𝑘 · 𝑗) ∈ 𝑆} = {𝑖 ∈ ℕ ∣ (𝑖 · 𝑗) ∈ 𝑆}
79 eqid 2736 . . . . . . . . . 10 inf({𝑘 ∈ ℕ ∣ (𝑘 · 𝑗) ∈ 𝑆}, ℝ, < ) = inf({𝑘 ∈ ℕ ∣ (𝑘 · 𝑗) ∈ 𝑆}, ℝ, < )
8024, 31, 47, 33, 75, 78, 794sqlem18 16834 . . . . . . . . 9 ((𝑗 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ∀𝑚 ∈ (1...(𝑗 − 1))𝑚𝑆) → 𝑗𝑆)
8129, 80sylanbr 582 . . . . . . . 8 (((𝑗 ∈ ℙ ∧ 𝑗 ≠ 2) ∧ ∀𝑚 ∈ (1...(𝑗 − 1))𝑚𝑆) → 𝑗𝑆)
8281an32s 650 . . . . . . 7 (((𝑗 ∈ ℙ ∧ ∀𝑚 ∈ (1...(𝑗 − 1))𝑚𝑆) ∧ 𝑗 ≠ 2) → 𝑗𝑆)
8310, 10oveq12i 7369 . . . . . . . . . 10 (((abs‘1)↑2) + ((abs‘1)↑2)) = (1 + 1)
84 df-2 12216 . . . . . . . . . 10 2 = (1 + 1)
8583, 84eqtr4i 2767 . . . . . . . . 9 (((abs‘1)↑2) + ((abs‘1)↑2)) = 2
86244sqlem4a 16823 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ ℤ[i] ∧ 1 ∈ ℤ[i]) → (((abs‘1)↑2) + ((abs‘1)↑2)) ∈ 𝑆)
8720, 20, 86mp2an 690 . . . . . . . . 9 (((abs‘1)↑2) + ((abs‘1)↑2)) ∈ 𝑆
8885, 87eqeltrri 2835 . . . . . . . 8 2 ∈ 𝑆
8988a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑗 ∈ ℙ ∧ ∀𝑚 ∈ (1...(𝑗 − 1))𝑚𝑆) → 2 ∈ 𝑆)
9028, 82, 89pm2.61ne 3030 . . . . . 6 ((𝑗 ∈ ℙ ∧ ∀𝑚 ∈ (1...(𝑗 − 1))𝑚𝑆) → 𝑗𝑆)
9124mul4sq 16826 . . . . . . 7 ((𝑚𝑆𝑖𝑆) → (𝑚 · 𝑖) ∈ 𝑆)
9291a1i 11 . . . . . 6 ((𝑚 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘2)) → ((𝑚𝑆𝑖𝑆) → (𝑚 · 𝑖) ∈ 𝑆))
932, 3, 4, 5, 6, 27, 90, 92prmind2 16561 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘𝑆)
94 id 22 . . . . . 6 (𝑘 = 0 → 𝑘 = 0)
9594, 63eqeltrdi 2846 . . . . 5 (𝑘 = 0 → 𝑘𝑆)
9693, 95jaoi 855 . . . 4 ((𝑘 ∈ ℕ ∨ 𝑘 = 0) → 𝑘𝑆)
971, 96sylbi 216 . . 3 (𝑘 ∈ ℕ0𝑘𝑆)
9897ssriv 3948 . 2 0𝑆
99244sqlem1 16820 . 2 𝑆 ⊆ ℕ0
10098, 99eqssi 3960 1 0 = 𝑆
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  wo 845   = wceq 1541  wcel 2106  {cab 2713  wne 2943  wral 3064  wrex 3073  {crab 3407  cdif 3907  cun 3908  wss 3910  {csn 4586  cfv 6496  (class class class)co 7357  infcinf 9377  cc 11049  cr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056   < clt 11189  cmin 11385   / cdiv 11812  cn 12153  2c2 12208  0cn0 12413  cz 12499  cuz 12763  ...cfz 13424  cexp 13967  abscabs 15119  cprime 16547  ℤ[i]cgz 16801
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-oadd 8416  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9378  df-inf 9379  df-dju 9837  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-n0 12414  df-xnn0 12486  df-z 12500  df-uz 12764  df-rp 12916  df-fz 13425  df-fl 13697  df-mod 13775  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-dvds 16137  df-gcd 16375  df-prm 16548  df-gz 16802
This theorem is referenced by:  4sq  16836
  Copyright terms: Public domain W3C validator