MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  4sqlem19 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 4sqlem19 15946
Description: Lemma for 4sq 15947. The proof is by strong induction - we show that if all the integers less than 𝑘 are in 𝑆, then 𝑘 is as well. In this part of the proof we do the induction argument and dispense with all the cases except the odd prime case, which is sent to 4sqlem18 15945. If 𝑘 is 0, 1, 2, we show 𝑘𝑆 directly; otherwise if 𝑘 is composite, 𝑘 is the product of two numbers less than it (and hence in 𝑆 by assumption), so by mul4sq 15937 𝑘𝑆. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
4sq.1 𝑆 = {𝑛 ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ ∃𝑧 ∈ ℤ ∃𝑤 ∈ ℤ 𝑛 = (((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) + ((𝑧↑2) + (𝑤↑2)))}
Assertion
Ref Expression
4sqlem19 0 = 𝑆
Distinct variable groups:   𝑤,𝑛,𝑥,𝑦,𝑧   𝑆,𝑛
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)

Proof of Theorem 4sqlem19
Dummy variables 𝑗 𝑘 𝑖 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elnn0 11540 . . . 4 (𝑘 ∈ ℕ0 ↔ (𝑘 ∈ ℕ ∨ 𝑘 = 0))
2 eleq1 2832 . . . . . 6 (𝑗 = 1 → (𝑗𝑆 ↔ 1 ∈ 𝑆))
3 eleq1 2832 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑚 → (𝑗𝑆𝑚𝑆))
4 eleq1 2832 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑖 → (𝑗𝑆𝑖𝑆))
5 eleq1 2832 . . . . . 6 (𝑗 = (𝑚 · 𝑖) → (𝑗𝑆 ↔ (𝑚 · 𝑖) ∈ 𝑆))
6 eleq1 2832 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑘 → (𝑗𝑆𝑘𝑆))
7 abs1 14322 . . . . . . . . . . 11 (abs‘1) = 1
87oveq1i 6852 . . . . . . . . . 10 ((abs‘1)↑2) = (1↑2)
9 sq1 13165 . . . . . . . . . 10 (1↑2) = 1
108, 9eqtri 2787 . . . . . . . . 9 ((abs‘1)↑2) = 1
11 abs0 14310 . . . . . . . . . . 11 (abs‘0) = 0
1211oveq1i 6852 . . . . . . . . . 10 ((abs‘0)↑2) = (0↑2)
13 sq0 13162 . . . . . . . . . 10 (0↑2) = 0
1412, 13eqtri 2787 . . . . . . . . 9 ((abs‘0)↑2) = 0
1510, 14oveq12i 6854 . . . . . . . 8 (((abs‘1)↑2) + ((abs‘0)↑2)) = (1 + 0)
16 1p0e1 11403 . . . . . . . 8 (1 + 0) = 1
1715, 16eqtri 2787 . . . . . . 7 (((abs‘1)↑2) + ((abs‘0)↑2)) = 1
18 1z 11654 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℤ
19 zgz 15916 . . . . . . . . 9 (1 ∈ ℤ → 1 ∈ ℤ[i])
2018, 19ax-mp 5 . . . . . . . 8 1 ∈ ℤ[i]
21 0z 11635 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℤ
22 zgz 15916 . . . . . . . . 9 (0 ∈ ℤ → 0 ∈ ℤ[i])
2321, 22ax-mp 5 . . . . . . . 8 0 ∈ ℤ[i]
24 4sq.1 . . . . . . . . 9 𝑆 = {𝑛 ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ ∃𝑧 ∈ ℤ ∃𝑤 ∈ ℤ 𝑛 = (((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) + ((𝑧↑2) + (𝑤↑2)))}
25244sqlem4a 15934 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℤ[i] ∧ 0 ∈ ℤ[i]) → (((abs‘1)↑2) + ((abs‘0)↑2)) ∈ 𝑆)
2620, 23, 25mp2an 683 . . . . . . 7 (((abs‘1)↑2) + ((abs‘0)↑2)) ∈ 𝑆
2717, 26eqeltrri 2841 . . . . . 6 1 ∈ 𝑆
28 eleq1 2832 . . . . . . 7 (𝑗 = 2 → (𝑗𝑆 ↔ 2 ∈ 𝑆))
29 eldifsn 4472 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ (ℙ ∖ {2}) ↔ (𝑗 ∈ ℙ ∧ 𝑗 ≠ 2))
30 oddprm 15794 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((𝑗 − 1) / 2) ∈ ℕ)
3130adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝑗 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ∀𝑚 ∈ (1...(𝑗 − 1))𝑚𝑆) → ((𝑗 − 1) / 2) ∈ ℕ)
32 eldifi 3894 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑗 ∈ ℙ)
3332adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑗 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ∀𝑚 ∈ (1...(𝑗 − 1))𝑚𝑆) → 𝑗 ∈ ℙ)
34 prmnn 15668 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 ∈ ℙ → 𝑗 ∈ ℕ)
35 nncn 11283 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℂ)
3633, 34, 353syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑗 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ∀𝑚 ∈ (1...(𝑗 − 1))𝑚𝑆) → 𝑗 ∈ ℂ)
37 ax-1cn 10247 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ℂ
38 subcl 10534 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑗 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑗 − 1) ∈ ℂ)
3936, 37, 38sylancl 580 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑗 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ∀𝑚 ∈ (1...(𝑗 − 1))𝑚𝑆) → (𝑗 − 1) ∈ ℂ)
40 2cnd 11350 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑗 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ∀𝑚 ∈ (1...(𝑗 − 1))𝑚𝑆) → 2 ∈ ℂ)
41 2ne0 11383 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ≠ 0
4241a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑗 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ∀𝑚 ∈ (1...(𝑗 − 1))𝑚𝑆) → 2 ≠ 0)
4339, 40, 42divcan2d 11057 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑗 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ∀𝑚 ∈ (1...(𝑗 − 1))𝑚𝑆) → (2 · ((𝑗 − 1) / 2)) = (𝑗 − 1))
4443oveq1d 6857 . . . . . . . . . . 11 ((𝑗 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ∀𝑚 ∈ (1...(𝑗 − 1))𝑚𝑆) → ((2 · ((𝑗 − 1) / 2)) + 1) = ((𝑗 − 1) + 1))
45 npcan 10544 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑗 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑗 − 1) + 1) = 𝑗)
4636, 37, 45sylancl 580 . . . . . . . . . . 11 ((𝑗 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ∀𝑚 ∈ (1...(𝑗 − 1))𝑚𝑆) → ((𝑗 − 1) + 1) = 𝑗)
4744, 46eqtr2d 2800 . . . . . . . . . 10 ((𝑗 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ∀𝑚 ∈ (1...(𝑗 − 1))𝑚𝑆) → 𝑗 = ((2 · ((𝑗 − 1) / 2)) + 1))
4843oveq2d 6858 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑗 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ∀𝑚 ∈ (1...(𝑗 − 1))𝑚𝑆) → (0...(2 · ((𝑗 − 1) / 2))) = (0...(𝑗 − 1)))
49 nnm1nn0 11581 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 ∈ ℕ → (𝑗 − 1) ∈ ℕ0)
5033, 34, 493syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑗 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ∀𝑚 ∈ (1...(𝑗 − 1))𝑚𝑆) → (𝑗 − 1) ∈ ℕ0)
51 elnn0uz 11925 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑗 − 1) ∈ ℕ0 ↔ (𝑗 − 1) ∈ (ℤ‘0))
5250, 51sylib 209 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑗 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ∀𝑚 ∈ (1...(𝑗 − 1))𝑚𝑆) → (𝑗 − 1) ∈ (ℤ‘0))
53 eluzfz1 12555 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑗 − 1) ∈ (ℤ‘0) → 0 ∈ (0...(𝑗 − 1)))
54 fzsplit 12574 . . . . . . . . . . . . 13 (0 ∈ (0...(𝑗 − 1)) → (0...(𝑗 − 1)) = ((0...0) ∪ ((0 + 1)...(𝑗 − 1))))
5552, 53, 543syl 18 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑗 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ∀𝑚 ∈ (1...(𝑗 − 1))𝑚𝑆) → (0...(𝑗 − 1)) = ((0...0) ∪ ((0 + 1)...(𝑗 − 1))))
5648, 55eqtrd 2799 . . . . . . . . . . 11 ((𝑗 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ∀𝑚 ∈ (1...(𝑗 − 1))𝑚𝑆) → (0...(2 · ((𝑗 − 1) / 2))) = ((0...0) ∪ ((0 + 1)...(𝑗 − 1))))
57 fzsn 12590 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0 ∈ ℤ → (0...0) = {0})
5821, 57ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 (0...0) = {0}
5914, 14oveq12i 6854 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((abs‘0)↑2) + ((abs‘0)↑2)) = (0 + 0)
60 00id 10465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (0 + 0) = 0
6159, 60eqtri 2787 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((abs‘0)↑2) + ((abs‘0)↑2)) = 0
62244sqlem4a 15934 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((0 ∈ ℤ[i] ∧ 0 ∈ ℤ[i]) → (((abs‘0)↑2) + ((abs‘0)↑2)) ∈ 𝑆)
6323, 23, 62mp2an 683 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((abs‘0)↑2) + ((abs‘0)↑2)) ∈ 𝑆
6461, 63eqeltrri 2841 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 ∈ 𝑆
65 snssi 4493 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0 ∈ 𝑆 → {0} ⊆ 𝑆)
6664, 65ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 {0} ⊆ 𝑆
6758, 66eqsstri 3795 . . . . . . . . . . . . 13 (0...0) ⊆ 𝑆
6867a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑗 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ∀𝑚 ∈ (1...(𝑗 − 1))𝑚𝑆) → (0...0) ⊆ 𝑆)
69 0p1e1 11401 . . . . . . . . . . . . . 14 (0 + 1) = 1
7069oveq1i 6852 . . . . . . . . . . . . 13 ((0 + 1)...(𝑗 − 1)) = (1...(𝑗 − 1))
71 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑗 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ∀𝑚 ∈ (1...(𝑗 − 1))𝑚𝑆) → ∀𝑚 ∈ (1...(𝑗 − 1))𝑚𝑆)
72 dfss3 3750 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1...(𝑗 − 1)) ⊆ 𝑆 ↔ ∀𝑚 ∈ (1...(𝑗 − 1))𝑚𝑆)
7371, 72sylibr 225 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑗 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ∀𝑚 ∈ (1...(𝑗 − 1))𝑚𝑆) → (1...(𝑗 − 1)) ⊆ 𝑆)
7470, 73syl5eqss 3809 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑗 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ∀𝑚 ∈ (1...(𝑗 − 1))𝑚𝑆) → ((0 + 1)...(𝑗 − 1)) ⊆ 𝑆)
7568, 74unssd 3951 . . . . . . . . . . 11 ((𝑗 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ∀𝑚 ∈ (1...(𝑗 − 1))𝑚𝑆) → ((0...0) ∪ ((0 + 1)...(𝑗 − 1))) ⊆ 𝑆)
7656, 75eqsstrd 3799 . . . . . . . . . 10 ((𝑗 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ∀𝑚 ∈ (1...(𝑗 − 1))𝑚𝑆) → (0...(2 · ((𝑗 − 1) / 2))) ⊆ 𝑆)
77 oveq1 6849 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑖 → (𝑘 · 𝑗) = (𝑖 · 𝑗))
7877eleq1d 2829 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑖 → ((𝑘 · 𝑗) ∈ 𝑆 ↔ (𝑖 · 𝑗) ∈ 𝑆))
7978cbvrabv 3348 . . . . . . . . . 10 {𝑘 ∈ ℕ ∣ (𝑘 · 𝑗) ∈ 𝑆} = {𝑖 ∈ ℕ ∣ (𝑖 · 𝑗) ∈ 𝑆}
80 eqid 2765 . . . . . . . . . 10 inf({𝑘 ∈ ℕ ∣ (𝑘 · 𝑗) ∈ 𝑆}, ℝ, < ) = inf({𝑘 ∈ ℕ ∣ (𝑘 · 𝑗) ∈ 𝑆}, ℝ, < )
8124, 31, 47, 33, 76, 79, 804sqlem18 15945 . . . . . . . . 9 ((𝑗 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ∀𝑚 ∈ (1...(𝑗 − 1))𝑚𝑆) → 𝑗𝑆)
8229, 81sylanbr 577 . . . . . . . 8 (((𝑗 ∈ ℙ ∧ 𝑗 ≠ 2) ∧ ∀𝑚 ∈ (1...(𝑗 − 1))𝑚𝑆) → 𝑗𝑆)
8382an32s 642 . . . . . . 7 (((𝑗 ∈ ℙ ∧ ∀𝑚 ∈ (1...(𝑗 − 1))𝑚𝑆) ∧ 𝑗 ≠ 2) → 𝑗𝑆)
8410, 10oveq12i 6854 . . . . . . . . . 10 (((abs‘1)↑2) + ((abs‘1)↑2)) = (1 + 1)
85 df-2 11335 . . . . . . . . . 10 2 = (1 + 1)
8684, 85eqtr4i 2790 . . . . . . . . 9 (((abs‘1)↑2) + ((abs‘1)↑2)) = 2
87244sqlem4a 15934 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ ℤ[i] ∧ 1 ∈ ℤ[i]) → (((abs‘1)↑2) + ((abs‘1)↑2)) ∈ 𝑆)
8820, 20, 87mp2an 683 . . . . . . . . 9 (((abs‘1)↑2) + ((abs‘1)↑2)) ∈ 𝑆
8986, 88eqeltrri 2841 . . . . . . . 8 2 ∈ 𝑆
9089a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑗 ∈ ℙ ∧ ∀𝑚 ∈ (1...(𝑗 − 1))𝑚𝑆) → 2 ∈ 𝑆)
9128, 83, 90pm2.61ne 3022 . . . . . 6 ((𝑗 ∈ ℙ ∧ ∀𝑚 ∈ (1...(𝑗 − 1))𝑚𝑆) → 𝑗𝑆)
9224mul4sq 15937 . . . . . . 7 ((𝑚𝑆𝑖𝑆) → (𝑚 · 𝑖) ∈ 𝑆)
9392a1i 11 . . . . . 6 ((𝑚 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑖 ∈ (ℤ‘2)) → ((𝑚𝑆𝑖𝑆) → (𝑚 · 𝑖) ∈ 𝑆))
942, 3, 4, 5, 6, 27, 91, 93prmind2 15678 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘𝑆)
95 id 22 . . . . . 6 (𝑘 = 0 → 𝑘 = 0)
9695, 64syl6eqel 2852 . . . . 5 (𝑘 = 0 → 𝑘𝑆)
9794, 96jaoi 883 . . . 4 ((𝑘 ∈ ℕ ∨ 𝑘 = 0) → 𝑘𝑆)
981, 97sylbi 208 . . 3 (𝑘 ∈ ℕ0𝑘𝑆)
9998ssriv 3765 . 2 0𝑆
100244sqlem1 15931 . 2 𝑆 ⊆ ℕ0
10199, 100eqssi 3777 1 0 = 𝑆
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  wo 873   = wceq 1652  wcel 2155  {cab 2751  wne 2937  wral 3055  wrex 3056  {crab 3059  cdif 3729  cun 3730  wss 3732  {csn 4334  cfv 6068  (class class class)co 6842  infcinf 8554  cc 10187  cr 10188  0cc0 10189  1c1 10190   + caddc 10192   · cmul 10194   < clt 10328  cmin 10520   / cdiv 10938  cn 11274  2c2 11327  0cn0 11538  cz 11624  cuz 11886  ...cfz 12533  cexp 13067  abscabs 14259  cprime 15665  ℤ[i]cgz 15912
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266  ax-pre-sup 10267
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-int 4634  df-iun 4678  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-1o 7764  df-2o 7765  df-oadd 7768  df-er 7947  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-fin 8164  df-sup 8555  df-inf 8556  df-card 9016  df-cda 9243  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-div 10939  df-nn 11275  df-2 11335  df-3 11336  df-4 11337  df-n0 11539  df-xnn0 11611  df-z 11625  df-uz 11887  df-rp 12029  df-fz 12534  df-fl 12801  df-mod 12877  df-seq 13009  df-exp 13068  df-hash 13322  df-cj 14124  df-re 14125  df-im 14126  df-sqrt 14260  df-abs 14261  df-dvds 15266  df-gcd 15498  df-prm 15666  df-gz 15913
This theorem is referenced by:  4sq  15947
  Copyright terms: Public domain W3C validator