MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  4sqlem19 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 4sqlem19 16840
Description: Lemma for 4sq 16841. The proof is by strong induction - we show that if all the integers less than ๐‘˜ are in ๐‘†, then ๐‘˜ is as well. In this part of the proof we do the induction argument and dispense with all the cases except the odd prime case, which is sent to 4sqlem18 16839. If ๐‘˜ is 0, 1, 2, we show ๐‘˜ โˆˆ ๐‘† directly; otherwise if ๐‘˜ is composite, ๐‘˜ is the product of two numbers less than it (and hence in ๐‘† by assumption), so by mul4sq 16831 ๐‘˜ โˆˆ ๐‘†. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
4sq.1 ๐‘† = {๐‘› โˆฃ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ค โˆˆ โ„ค ๐‘› = (((๐‘ฅโ†‘2) + (๐‘ฆโ†‘2)) + ((๐‘งโ†‘2) + (๐‘คโ†‘2)))}
Assertion
Ref Expression
4sqlem19 โ„•0 = ๐‘†
Distinct variable groups:   ๐‘ค,๐‘›,๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง   ๐‘†,๐‘›
Allowed substitution hints:   ๐‘†(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ค)

Proof of Theorem 4sqlem19
Dummy variables ๐‘— ๐‘˜ ๐‘– ๐‘š are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elnn0 12420 . . . 4 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†” (๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆจ ๐‘˜ = 0))
2 eleq1 2822 . . . . . 6 (๐‘— = 1 โ†’ (๐‘— โˆˆ ๐‘† โ†” 1 โˆˆ ๐‘†))
3 eleq1 2822 . . . . . 6 (๐‘— = ๐‘š โ†’ (๐‘— โˆˆ ๐‘† โ†” ๐‘š โˆˆ ๐‘†))
4 eleq1 2822 . . . . . 6 (๐‘— = ๐‘– โ†’ (๐‘— โˆˆ ๐‘† โ†” ๐‘– โˆˆ ๐‘†))
5 eleq1 2822 . . . . . 6 (๐‘— = (๐‘š ยท ๐‘–) โ†’ (๐‘— โˆˆ ๐‘† โ†” (๐‘š ยท ๐‘–) โˆˆ ๐‘†))
6 eleq1 2822 . . . . . 6 (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ (๐‘— โˆˆ ๐‘† โ†” ๐‘˜ โˆˆ ๐‘†))
7 abs1 15188 . . . . . . . . . . 11 (absโ€˜1) = 1
87oveq1i 7368 . . . . . . . . . 10 ((absโ€˜1)โ†‘2) = (1โ†‘2)
9 sq1 14105 . . . . . . . . . 10 (1โ†‘2) = 1
108, 9eqtri 2761 . . . . . . . . 9 ((absโ€˜1)โ†‘2) = 1
11 abs0 15176 . . . . . . . . . . 11 (absโ€˜0) = 0
1211oveq1i 7368 . . . . . . . . . 10 ((absโ€˜0)โ†‘2) = (0โ†‘2)
13 sq0 14102 . . . . . . . . . 10 (0โ†‘2) = 0
1412, 13eqtri 2761 . . . . . . . . 9 ((absโ€˜0)โ†‘2) = 0
1510, 14oveq12i 7370 . . . . . . . 8 (((absโ€˜1)โ†‘2) + ((absโ€˜0)โ†‘2)) = (1 + 0)
16 1p0e1 12282 . . . . . . . 8 (1 + 0) = 1
1715, 16eqtri 2761 . . . . . . 7 (((absโ€˜1)โ†‘2) + ((absโ€˜0)โ†‘2)) = 1
18 1z 12538 . . . . . . . . 9 1 โˆˆ โ„ค
19 zgz 16810 . . . . . . . . 9 (1 โˆˆ โ„ค โ†’ 1 โˆˆ โ„ค[i])
2018, 19ax-mp 5 . . . . . . . 8 1 โˆˆ โ„ค[i]
21 0z 12515 . . . . . . . . 9 0 โˆˆ โ„ค
22 zgz 16810 . . . . . . . . 9 (0 โˆˆ โ„ค โ†’ 0 โˆˆ โ„ค[i])
2321, 22ax-mp 5 . . . . . . . 8 0 โˆˆ โ„ค[i]
24 4sq.1 . . . . . . . . 9 ๐‘† = {๐‘› โˆฃ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ค โˆˆ โ„ค ๐‘› = (((๐‘ฅโ†‘2) + (๐‘ฆโ†‘2)) + ((๐‘งโ†‘2) + (๐‘คโ†‘2)))}
25244sqlem4a 16828 . . . . . . . 8 ((1 โˆˆ โ„ค[i] โˆง 0 โˆˆ โ„ค[i]) โ†’ (((absโ€˜1)โ†‘2) + ((absโ€˜0)โ†‘2)) โˆˆ ๐‘†)
2620, 23, 25mp2an 691 . . . . . . 7 (((absโ€˜1)โ†‘2) + ((absโ€˜0)โ†‘2)) โˆˆ ๐‘†
2717, 26eqeltrri 2831 . . . . . 6 1 โˆˆ ๐‘†
28 eleq1 2822 . . . . . . 7 (๐‘— = 2 โ†’ (๐‘— โˆˆ ๐‘† โ†” 2 โˆˆ ๐‘†))
29 eldifsn 4748 . . . . . . . . 9 (๐‘— โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†” (๐‘— โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘— โ‰  2))
30 oddprm 16687 . . . . . . . . . . 11 (๐‘— โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ ((๐‘— โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„•)
3130adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((๐‘— โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง โˆ€๐‘š โˆˆ (1...(๐‘— โˆ’ 1))๐‘š โˆˆ ๐‘†) โ†’ ((๐‘— โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„•)
32 eldifi 4087 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘— โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ ๐‘— โˆˆ โ„™)
3332adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘— โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง โˆ€๐‘š โˆˆ (1...(๐‘— โˆ’ 1))๐‘š โˆˆ ๐‘†) โ†’ ๐‘— โˆˆ โ„™)
34 prmnn 16555 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘— โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘— โˆˆ โ„•)
35 nncn 12166 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘— โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘— โˆˆ โ„‚)
3633, 34, 353syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘— โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง โˆ€๐‘š โˆˆ (1...(๐‘— โˆ’ 1))๐‘š โˆˆ ๐‘†) โ†’ ๐‘— โˆˆ โ„‚)
37 ax-1cn 11114 . . . . . . . . . . . . . 14 1 โˆˆ โ„‚
38 subcl 11405 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘— โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘— โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚)
3936, 37, 38sylancl 587 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘— โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง โˆ€๐‘š โˆˆ (1...(๐‘— โˆ’ 1))๐‘š โˆˆ ๐‘†) โ†’ (๐‘— โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚)
40 2cnd 12236 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘— โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง โˆ€๐‘š โˆˆ (1...(๐‘— โˆ’ 1))๐‘š โˆˆ ๐‘†) โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
41 2ne0 12262 . . . . . . . . . . . . . 14 2 โ‰  0
4241a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘— โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง โˆ€๐‘š โˆˆ (1...(๐‘— โˆ’ 1))๐‘š โˆˆ ๐‘†) โ†’ 2 โ‰  0)
4339, 40, 42divcan2d 11938 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘— โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง โˆ€๐‘š โˆˆ (1...(๐‘— โˆ’ 1))๐‘š โˆˆ ๐‘†) โ†’ (2 ยท ((๐‘— โˆ’ 1) / 2)) = (๐‘— โˆ’ 1))
4443oveq1d 7373 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘— โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง โˆ€๐‘š โˆˆ (1...(๐‘— โˆ’ 1))๐‘š โˆˆ ๐‘†) โ†’ ((2 ยท ((๐‘— โˆ’ 1) / 2)) + 1) = ((๐‘— โˆ’ 1) + 1))
45 npcan 11415 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘— โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘— โˆ’ 1) + 1) = ๐‘—)
4636, 37, 45sylancl 587 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘— โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง โˆ€๐‘š โˆˆ (1...(๐‘— โˆ’ 1))๐‘š โˆˆ ๐‘†) โ†’ ((๐‘— โˆ’ 1) + 1) = ๐‘—)
4744, 46eqtr2d 2774 . . . . . . . . . 10 ((๐‘— โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง โˆ€๐‘š โˆˆ (1...(๐‘— โˆ’ 1))๐‘š โˆˆ ๐‘†) โ†’ ๐‘— = ((2 ยท ((๐‘— โˆ’ 1) / 2)) + 1))
4843oveq2d 7374 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘— โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง โˆ€๐‘š โˆˆ (1...(๐‘— โˆ’ 1))๐‘š โˆˆ ๐‘†) โ†’ (0...(2 ยท ((๐‘— โˆ’ 1) / 2))) = (0...(๐‘— โˆ’ 1)))
49 nnm1nn0 12459 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘— โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘— โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
5033, 34, 493syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘— โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง โˆ€๐‘š โˆˆ (1...(๐‘— โˆ’ 1))๐‘š โˆˆ ๐‘†) โ†’ (๐‘— โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
51 elnn0uz 12813 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘— โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0 โ†” (๐‘— โˆ’ 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜0))
5250, 51sylib 217 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘— โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง โˆ€๐‘š โˆˆ (1...(๐‘— โˆ’ 1))๐‘š โˆˆ ๐‘†) โ†’ (๐‘— โˆ’ 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜0))
53 eluzfz1 13454 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘— โˆ’ 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜0) โ†’ 0 โˆˆ (0...(๐‘— โˆ’ 1)))
54 fzsplit 13473 . . . . . . . . . . . . 13 (0 โˆˆ (0...(๐‘— โˆ’ 1)) โ†’ (0...(๐‘— โˆ’ 1)) = ((0...0) โˆช ((0 + 1)...(๐‘— โˆ’ 1))))
5552, 53, 543syl 18 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘— โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง โˆ€๐‘š โˆˆ (1...(๐‘— โˆ’ 1))๐‘š โˆˆ ๐‘†) โ†’ (0...(๐‘— โˆ’ 1)) = ((0...0) โˆช ((0 + 1)...(๐‘— โˆ’ 1))))
5648, 55eqtrd 2773 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘— โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง โˆ€๐‘š โˆˆ (1...(๐‘— โˆ’ 1))๐‘š โˆˆ ๐‘†) โ†’ (0...(2 ยท ((๐‘— โˆ’ 1) / 2))) = ((0...0) โˆช ((0 + 1)...(๐‘— โˆ’ 1))))
57 fz0sn 13547 . . . . . . . . . . . . . 14 (0...0) = {0}
5814, 14oveq12i 7370 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((absโ€˜0)โ†‘2) + ((absโ€˜0)โ†‘2)) = (0 + 0)
59 00id 11335 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (0 + 0) = 0
6058, 59eqtri 2761 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((absโ€˜0)โ†‘2) + ((absโ€˜0)โ†‘2)) = 0
61244sqlem4a 16828 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((0 โˆˆ โ„ค[i] โˆง 0 โˆˆ โ„ค[i]) โ†’ (((absโ€˜0)โ†‘2) + ((absโ€˜0)โ†‘2)) โˆˆ ๐‘†)
6223, 23, 61mp2an 691 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((absโ€˜0)โ†‘2) + ((absโ€˜0)โ†‘2)) โˆˆ ๐‘†
6360, 62eqeltrri 2831 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 โˆˆ ๐‘†
64 snssi 4769 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0 โˆˆ ๐‘† โ†’ {0} โŠ† ๐‘†)
6563, 64ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 {0} โŠ† ๐‘†
6657, 65eqsstri 3979 . . . . . . . . . . . . 13 (0...0) โŠ† ๐‘†
6766a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘— โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง โˆ€๐‘š โˆˆ (1...(๐‘— โˆ’ 1))๐‘š โˆˆ ๐‘†) โ†’ (0...0) โŠ† ๐‘†)
68 0p1e1 12280 . . . . . . . . . . . . . 14 (0 + 1) = 1
6968oveq1i 7368 . . . . . . . . . . . . 13 ((0 + 1)...(๐‘— โˆ’ 1)) = (1...(๐‘— โˆ’ 1))
70 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘— โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง โˆ€๐‘š โˆˆ (1...(๐‘— โˆ’ 1))๐‘š โˆˆ ๐‘†) โ†’ โˆ€๐‘š โˆˆ (1...(๐‘— โˆ’ 1))๐‘š โˆˆ ๐‘†)
71 dfss3 3933 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1...(๐‘— โˆ’ 1)) โŠ† ๐‘† โ†” โˆ€๐‘š โˆˆ (1...(๐‘— โˆ’ 1))๐‘š โˆˆ ๐‘†)
7270, 71sylibr 233 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘— โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง โˆ€๐‘š โˆˆ (1...(๐‘— โˆ’ 1))๐‘š โˆˆ ๐‘†) โ†’ (1...(๐‘— โˆ’ 1)) โŠ† ๐‘†)
7369, 72eqsstrid 3993 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘— โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง โˆ€๐‘š โˆˆ (1...(๐‘— โˆ’ 1))๐‘š โˆˆ ๐‘†) โ†’ ((0 + 1)...(๐‘— โˆ’ 1)) โŠ† ๐‘†)
7467, 73unssd 4147 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘— โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง โˆ€๐‘š โˆˆ (1...(๐‘— โˆ’ 1))๐‘š โˆˆ ๐‘†) โ†’ ((0...0) โˆช ((0 + 1)...(๐‘— โˆ’ 1))) โŠ† ๐‘†)
7556, 74eqsstrd 3983 . . . . . . . . . 10 ((๐‘— โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง โˆ€๐‘š โˆˆ (1...(๐‘— โˆ’ 1))๐‘š โˆˆ ๐‘†) โ†’ (0...(2 ยท ((๐‘— โˆ’ 1) / 2))) โŠ† ๐‘†)
76 oveq1 7365 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘˜ = ๐‘– โ†’ (๐‘˜ ยท ๐‘—) = (๐‘– ยท ๐‘—))
7776eleq1d 2819 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ = ๐‘– โ†’ ((๐‘˜ ยท ๐‘—) โˆˆ ๐‘† โ†” (๐‘– ยท ๐‘—) โˆˆ ๐‘†))
7877cbvrabv 3416 . . . . . . . . . 10 {๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘˜ ยท ๐‘—) โˆˆ ๐‘†} = {๐‘– โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘– ยท ๐‘—) โˆˆ ๐‘†}
79 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 inf({๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘˜ ยท ๐‘—) โˆˆ ๐‘†}, โ„, < ) = inf({๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘˜ ยท ๐‘—) โˆˆ ๐‘†}, โ„, < )
8024, 31, 47, 33, 75, 78, 794sqlem18 16839 . . . . . . . . 9 ((๐‘— โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง โˆ€๐‘š โˆˆ (1...(๐‘— โˆ’ 1))๐‘š โˆˆ ๐‘†) โ†’ ๐‘— โˆˆ ๐‘†)
8129, 80sylanbr 583 . . . . . . . 8 (((๐‘— โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘— โ‰  2) โˆง โˆ€๐‘š โˆˆ (1...(๐‘— โˆ’ 1))๐‘š โˆˆ ๐‘†) โ†’ ๐‘— โˆˆ ๐‘†)
8281an32s 651 . . . . . . 7 (((๐‘— โˆˆ โ„™ โˆง โˆ€๐‘š โˆˆ (1...(๐‘— โˆ’ 1))๐‘š โˆˆ ๐‘†) โˆง ๐‘— โ‰  2) โ†’ ๐‘— โˆˆ ๐‘†)
8310, 10oveq12i 7370 . . . . . . . . . 10 (((absโ€˜1)โ†‘2) + ((absโ€˜1)โ†‘2)) = (1 + 1)
84 df-2 12221 . . . . . . . . . 10 2 = (1 + 1)
8583, 84eqtr4i 2764 . . . . . . . . 9 (((absโ€˜1)โ†‘2) + ((absโ€˜1)โ†‘2)) = 2
86244sqlem4a 16828 . . . . . . . . . 10 ((1 โˆˆ โ„ค[i] โˆง 1 โˆˆ โ„ค[i]) โ†’ (((absโ€˜1)โ†‘2) + ((absโ€˜1)โ†‘2)) โˆˆ ๐‘†)
8720, 20, 86mp2an 691 . . . . . . . . 9 (((absโ€˜1)โ†‘2) + ((absโ€˜1)โ†‘2)) โˆˆ ๐‘†
8885, 87eqeltrri 2831 . . . . . . . 8 2 โˆˆ ๐‘†
8988a1i 11 . . . . . . 7 ((๐‘— โˆˆ โ„™ โˆง โˆ€๐‘š โˆˆ (1...(๐‘— โˆ’ 1))๐‘š โˆˆ ๐‘†) โ†’ 2 โˆˆ ๐‘†)
9028, 82, 89pm2.61ne 3027 . . . . . 6 ((๐‘— โˆˆ โ„™ โˆง โˆ€๐‘š โˆˆ (1...(๐‘— โˆ’ 1))๐‘š โˆˆ ๐‘†) โ†’ ๐‘— โˆˆ ๐‘†)
9124mul4sq 16831 . . . . . . 7 ((๐‘š โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘†) โ†’ (๐‘š ยท ๐‘–) โˆˆ ๐‘†)
9291a1i 11 . . . . . 6 ((๐‘š โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘– โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ ((๐‘š โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘†) โ†’ (๐‘š ยท ๐‘–) โˆˆ ๐‘†))
932, 3, 4, 5, 6, 27, 90, 92prmind2 16566 . . . . 5 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘˜ โˆˆ ๐‘†)
94 id 22 . . . . . 6 (๐‘˜ = 0 โ†’ ๐‘˜ = 0)
9594, 63eqeltrdi 2842 . . . . 5 (๐‘˜ = 0 โ†’ ๐‘˜ โˆˆ ๐‘†)
9693, 95jaoi 856 . . . 4 ((๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆจ ๐‘˜ = 0) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ ๐‘†)
971, 96sylbi 216 . . 3 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘˜ โˆˆ ๐‘†)
9897ssriv 3949 . 2 โ„•0 โŠ† ๐‘†
99244sqlem1 16825 . 2 ๐‘† โŠ† โ„•0
10098, 99eqssi 3961 1 โ„•0 = ๐‘†
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   โˆจ wo 846   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  {cab 2710   โ‰  wne 2940  โˆ€wral 3061  โˆƒwrex 3070  {crab 3406   โˆ– cdif 3908   โˆช cun 3909   โŠ† wss 3911  {csn 4587  โ€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  infcinf 9382  โ„‚cc 11054  โ„cr 11055  0cc0 11056  1c1 11057   + caddc 11059   ยท cmul 11061   < clt 11194   โˆ’ cmin 11390   / cdiv 11817  โ„•cn 12158  2c2 12213  โ„•0cn0 12418  โ„คcz 12504  โ„คโ‰ฅcuz 12768  ...cfz 13430  โ†‘cexp 13973  abscabs 15125  โ„™cprime 16552  โ„ค[i]cgz 16806
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-2o 8414  df-oadd 8417  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-sup 9383  df-inf 9384  df-dju 9842  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-n0 12419  df-xnn0 12491  df-z 12505  df-uz 12769  df-rp 12921  df-fz 13431  df-fl 13703  df-mod 13781  df-seq 13913  df-exp 13974  df-hash 14237  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127  df-dvds 16142  df-gcd 16380  df-prm 16553  df-gz 16807
This theorem is referenced by:  4sq  16841
  Copyright terms: Public domain W3C validator