MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  4sqlem19 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 4sqlem19 16901
Description: Lemma for 4sq 16902. The proof is by strong induction - we show that if all the integers less than ๐‘˜ are in ๐‘†, then ๐‘˜ is as well. In this part of the proof we do the induction argument and dispense with all the cases except the odd prime case, which is sent to 4sqlem18 16900. If ๐‘˜ is 0, 1, 2, we show ๐‘˜ โˆˆ ๐‘† directly; otherwise if ๐‘˜ is composite, ๐‘˜ is the product of two numbers less than it (and hence in ๐‘† by assumption), so by mul4sq 16892 ๐‘˜ โˆˆ ๐‘†. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
4sq.1 ๐‘† = {๐‘› โˆฃ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ค โˆˆ โ„ค ๐‘› = (((๐‘ฅโ†‘2) + (๐‘ฆโ†‘2)) + ((๐‘งโ†‘2) + (๐‘คโ†‘2)))}
Assertion
Ref Expression
4sqlem19 โ„•0 = ๐‘†
Distinct variable groups:   ๐‘ค,๐‘›,๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง   ๐‘†,๐‘›
Allowed substitution hints:   ๐‘†(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง,๐‘ค)

Proof of Theorem 4sqlem19
Dummy variables ๐‘— ๐‘˜ ๐‘– ๐‘š are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elnn0 12479 . . . 4 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†” (๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆจ ๐‘˜ = 0))
2 eleq1 2820 . . . . . 6 (๐‘— = 1 โ†’ (๐‘— โˆˆ ๐‘† โ†” 1 โˆˆ ๐‘†))
3 eleq1 2820 . . . . . 6 (๐‘— = ๐‘š โ†’ (๐‘— โˆˆ ๐‘† โ†” ๐‘š โˆˆ ๐‘†))
4 eleq1 2820 . . . . . 6 (๐‘— = ๐‘– โ†’ (๐‘— โˆˆ ๐‘† โ†” ๐‘– โˆˆ ๐‘†))
5 eleq1 2820 . . . . . 6 (๐‘— = (๐‘š ยท ๐‘–) โ†’ (๐‘— โˆˆ ๐‘† โ†” (๐‘š ยท ๐‘–) โˆˆ ๐‘†))
6 eleq1 2820 . . . . . 6 (๐‘— = ๐‘˜ โ†’ (๐‘— โˆˆ ๐‘† โ†” ๐‘˜ โˆˆ ๐‘†))
7 abs1 15249 . . . . . . . . . . 11 (absโ€˜1) = 1
87oveq1i 7422 . . . . . . . . . 10 ((absโ€˜1)โ†‘2) = (1โ†‘2)
9 sq1 14164 . . . . . . . . . 10 (1โ†‘2) = 1
108, 9eqtri 2759 . . . . . . . . 9 ((absโ€˜1)โ†‘2) = 1
11 abs0 15237 . . . . . . . . . . 11 (absโ€˜0) = 0
1211oveq1i 7422 . . . . . . . . . 10 ((absโ€˜0)โ†‘2) = (0โ†‘2)
13 sq0 14161 . . . . . . . . . 10 (0โ†‘2) = 0
1412, 13eqtri 2759 . . . . . . . . 9 ((absโ€˜0)โ†‘2) = 0
1510, 14oveq12i 7424 . . . . . . . 8 (((absโ€˜1)โ†‘2) + ((absโ€˜0)โ†‘2)) = (1 + 0)
16 1p0e1 12341 . . . . . . . 8 (1 + 0) = 1
1715, 16eqtri 2759 . . . . . . 7 (((absโ€˜1)โ†‘2) + ((absโ€˜0)โ†‘2)) = 1
18 1z 12597 . . . . . . . . 9 1 โˆˆ โ„ค
19 zgz 16871 . . . . . . . . 9 (1 โˆˆ โ„ค โ†’ 1 โˆˆ โ„ค[i])
2018, 19ax-mp 5 . . . . . . . 8 1 โˆˆ โ„ค[i]
21 0z 12574 . . . . . . . . 9 0 โˆˆ โ„ค
22 zgz 16871 . . . . . . . . 9 (0 โˆˆ โ„ค โ†’ 0 โˆˆ โ„ค[i])
2321, 22ax-mp 5 . . . . . . . 8 0 โˆˆ โ„ค[i]
24 4sq.1 . . . . . . . . 9 ๐‘† = {๐‘› โˆฃ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ค โˆˆ โ„ค ๐‘› = (((๐‘ฅโ†‘2) + (๐‘ฆโ†‘2)) + ((๐‘งโ†‘2) + (๐‘คโ†‘2)))}
25244sqlem4a 16889 . . . . . . . 8 ((1 โˆˆ โ„ค[i] โˆง 0 โˆˆ โ„ค[i]) โ†’ (((absโ€˜1)โ†‘2) + ((absโ€˜0)โ†‘2)) โˆˆ ๐‘†)
2620, 23, 25mp2an 689 . . . . . . 7 (((absโ€˜1)โ†‘2) + ((absโ€˜0)โ†‘2)) โˆˆ ๐‘†
2717, 26eqeltrri 2829 . . . . . 6 1 โˆˆ ๐‘†
28 eleq1 2820 . . . . . . 7 (๐‘— = 2 โ†’ (๐‘— โˆˆ ๐‘† โ†” 2 โˆˆ ๐‘†))
29 eldifsn 4790 . . . . . . . . 9 (๐‘— โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†” (๐‘— โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘— โ‰  2))
30 oddprm 16748 . . . . . . . . . . 11 (๐‘— โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ ((๐‘— โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„•)
3130adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((๐‘— โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง โˆ€๐‘š โˆˆ (1...(๐‘— โˆ’ 1))๐‘š โˆˆ ๐‘†) โ†’ ((๐‘— โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„•)
32 eldifi 4126 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘— โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ ๐‘— โˆˆ โ„™)
3332adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘— โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง โˆ€๐‘š โˆˆ (1...(๐‘— โˆ’ 1))๐‘š โˆˆ ๐‘†) โ†’ ๐‘— โˆˆ โ„™)
34 prmnn 16616 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘— โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘— โˆˆ โ„•)
35 nncn 12225 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘— โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘— โˆˆ โ„‚)
3633, 34, 353syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘— โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง โˆ€๐‘š โˆˆ (1...(๐‘— โˆ’ 1))๐‘š โˆˆ ๐‘†) โ†’ ๐‘— โˆˆ โ„‚)
37 ax-1cn 11171 . . . . . . . . . . . . . 14 1 โˆˆ โ„‚
38 subcl 11464 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘— โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘— โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚)
3936, 37, 38sylancl 585 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘— โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง โˆ€๐‘š โˆˆ (1...(๐‘— โˆ’ 1))๐‘š โˆˆ ๐‘†) โ†’ (๐‘— โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚)
40 2cnd 12295 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘— โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง โˆ€๐‘š โˆˆ (1...(๐‘— โˆ’ 1))๐‘š โˆˆ ๐‘†) โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
41 2ne0 12321 . . . . . . . . . . . . . 14 2 โ‰  0
4241a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘— โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง โˆ€๐‘š โˆˆ (1...(๐‘— โˆ’ 1))๐‘š โˆˆ ๐‘†) โ†’ 2 โ‰  0)
4339, 40, 42divcan2d 11997 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘— โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง โˆ€๐‘š โˆˆ (1...(๐‘— โˆ’ 1))๐‘š โˆˆ ๐‘†) โ†’ (2 ยท ((๐‘— โˆ’ 1) / 2)) = (๐‘— โˆ’ 1))
4443oveq1d 7427 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘— โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง โˆ€๐‘š โˆˆ (1...(๐‘— โˆ’ 1))๐‘š โˆˆ ๐‘†) โ†’ ((2 ยท ((๐‘— โˆ’ 1) / 2)) + 1) = ((๐‘— โˆ’ 1) + 1))
45 npcan 11474 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘— โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘— โˆ’ 1) + 1) = ๐‘—)
4636, 37, 45sylancl 585 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘— โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง โˆ€๐‘š โˆˆ (1...(๐‘— โˆ’ 1))๐‘š โˆˆ ๐‘†) โ†’ ((๐‘— โˆ’ 1) + 1) = ๐‘—)
4744, 46eqtr2d 2772 . . . . . . . . . 10 ((๐‘— โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง โˆ€๐‘š โˆˆ (1...(๐‘— โˆ’ 1))๐‘š โˆˆ ๐‘†) โ†’ ๐‘— = ((2 ยท ((๐‘— โˆ’ 1) / 2)) + 1))
4843oveq2d 7428 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘— โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง โˆ€๐‘š โˆˆ (1...(๐‘— โˆ’ 1))๐‘š โˆˆ ๐‘†) โ†’ (0...(2 ยท ((๐‘— โˆ’ 1) / 2))) = (0...(๐‘— โˆ’ 1)))
49 nnm1nn0 12518 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘— โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘— โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
5033, 34, 493syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘— โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง โˆ€๐‘š โˆˆ (1...(๐‘— โˆ’ 1))๐‘š โˆˆ ๐‘†) โ†’ (๐‘— โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
51 elnn0uz 12872 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘— โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0 โ†” (๐‘— โˆ’ 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜0))
5250, 51sylib 217 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘— โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง โˆ€๐‘š โˆˆ (1...(๐‘— โˆ’ 1))๐‘š โˆˆ ๐‘†) โ†’ (๐‘— โˆ’ 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜0))
53 eluzfz1 13513 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘— โˆ’ 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜0) โ†’ 0 โˆˆ (0...(๐‘— โˆ’ 1)))
54 fzsplit 13532 . . . . . . . . . . . . 13 (0 โˆˆ (0...(๐‘— โˆ’ 1)) โ†’ (0...(๐‘— โˆ’ 1)) = ((0...0) โˆช ((0 + 1)...(๐‘— โˆ’ 1))))
5552, 53, 543syl 18 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘— โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง โˆ€๐‘š โˆˆ (1...(๐‘— โˆ’ 1))๐‘š โˆˆ ๐‘†) โ†’ (0...(๐‘— โˆ’ 1)) = ((0...0) โˆช ((0 + 1)...(๐‘— โˆ’ 1))))
5648, 55eqtrd 2771 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘— โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง โˆ€๐‘š โˆˆ (1...(๐‘— โˆ’ 1))๐‘š โˆˆ ๐‘†) โ†’ (0...(2 ยท ((๐‘— โˆ’ 1) / 2))) = ((0...0) โˆช ((0 + 1)...(๐‘— โˆ’ 1))))
57 fz0sn 13606 . . . . . . . . . . . . . 14 (0...0) = {0}
5814, 14oveq12i 7424 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((absโ€˜0)โ†‘2) + ((absโ€˜0)โ†‘2)) = (0 + 0)
59 00id 11394 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (0 + 0) = 0
6058, 59eqtri 2759 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((absโ€˜0)โ†‘2) + ((absโ€˜0)โ†‘2)) = 0
61244sqlem4a 16889 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((0 โˆˆ โ„ค[i] โˆง 0 โˆˆ โ„ค[i]) โ†’ (((absโ€˜0)โ†‘2) + ((absโ€˜0)โ†‘2)) โˆˆ ๐‘†)
6223, 23, 61mp2an 689 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((absโ€˜0)โ†‘2) + ((absโ€˜0)โ†‘2)) โˆˆ ๐‘†
6360, 62eqeltrri 2829 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 โˆˆ ๐‘†
64 snssi 4811 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0 โˆˆ ๐‘† โ†’ {0} โІ ๐‘†)
6563, 64ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 {0} โІ ๐‘†
6657, 65eqsstri 4016 . . . . . . . . . . . . 13 (0...0) โІ ๐‘†
6766a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘— โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง โˆ€๐‘š โˆˆ (1...(๐‘— โˆ’ 1))๐‘š โˆˆ ๐‘†) โ†’ (0...0) โІ ๐‘†)
68 0p1e1 12339 . . . . . . . . . . . . . 14 (0 + 1) = 1
6968oveq1i 7422 . . . . . . . . . . . . 13 ((0 + 1)...(๐‘— โˆ’ 1)) = (1...(๐‘— โˆ’ 1))
70 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘— โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง โˆ€๐‘š โˆˆ (1...(๐‘— โˆ’ 1))๐‘š โˆˆ ๐‘†) โ†’ โˆ€๐‘š โˆˆ (1...(๐‘— โˆ’ 1))๐‘š โˆˆ ๐‘†)
71 dfss3 3970 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1...(๐‘— โˆ’ 1)) โІ ๐‘† โ†” โˆ€๐‘š โˆˆ (1...(๐‘— โˆ’ 1))๐‘š โˆˆ ๐‘†)
7270, 71sylibr 233 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘— โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง โˆ€๐‘š โˆˆ (1...(๐‘— โˆ’ 1))๐‘š โˆˆ ๐‘†) โ†’ (1...(๐‘— โˆ’ 1)) โІ ๐‘†)
7369, 72eqsstrid 4030 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘— โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง โˆ€๐‘š โˆˆ (1...(๐‘— โˆ’ 1))๐‘š โˆˆ ๐‘†) โ†’ ((0 + 1)...(๐‘— โˆ’ 1)) โІ ๐‘†)
7467, 73unssd 4186 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘— โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง โˆ€๐‘š โˆˆ (1...(๐‘— โˆ’ 1))๐‘š โˆˆ ๐‘†) โ†’ ((0...0) โˆช ((0 + 1)...(๐‘— โˆ’ 1))) โІ ๐‘†)
7556, 74eqsstrd 4020 . . . . . . . . . 10 ((๐‘— โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง โˆ€๐‘š โˆˆ (1...(๐‘— โˆ’ 1))๐‘š โˆˆ ๐‘†) โ†’ (0...(2 ยท ((๐‘— โˆ’ 1) / 2))) โІ ๐‘†)
76 oveq1 7419 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘˜ = ๐‘– โ†’ (๐‘˜ ยท ๐‘—) = (๐‘– ยท ๐‘—))
7776eleq1d 2817 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ = ๐‘– โ†’ ((๐‘˜ ยท ๐‘—) โˆˆ ๐‘† โ†” (๐‘– ยท ๐‘—) โˆˆ ๐‘†))
7877cbvrabv 3441 . . . . . . . . . 10 {๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘˜ ยท ๐‘—) โˆˆ ๐‘†} = {๐‘– โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘– ยท ๐‘—) โˆˆ ๐‘†}
79 eqid 2731 . . . . . . . . . 10 inf({๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘˜ ยท ๐‘—) โˆˆ ๐‘†}, โ„, < ) = inf({๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆฃ (๐‘˜ ยท ๐‘—) โˆˆ ๐‘†}, โ„, < )
8024, 31, 47, 33, 75, 78, 794sqlem18 16900 . . . . . . . . 9 ((๐‘— โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง โˆ€๐‘š โˆˆ (1...(๐‘— โˆ’ 1))๐‘š โˆˆ ๐‘†) โ†’ ๐‘— โˆˆ ๐‘†)
8129, 80sylanbr 581 . . . . . . . 8 (((๐‘— โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘— โ‰  2) โˆง โˆ€๐‘š โˆˆ (1...(๐‘— โˆ’ 1))๐‘š โˆˆ ๐‘†) โ†’ ๐‘— โˆˆ ๐‘†)
8281an32s 649 . . . . . . 7 (((๐‘— โˆˆ โ„™ โˆง โˆ€๐‘š โˆˆ (1...(๐‘— โˆ’ 1))๐‘š โˆˆ ๐‘†) โˆง ๐‘— โ‰  2) โ†’ ๐‘— โˆˆ ๐‘†)
8310, 10oveq12i 7424 . . . . . . . . . 10 (((absโ€˜1)โ†‘2) + ((absโ€˜1)โ†‘2)) = (1 + 1)
84 df-2 12280 . . . . . . . . . 10 2 = (1 + 1)
8583, 84eqtr4i 2762 . . . . . . . . 9 (((absโ€˜1)โ†‘2) + ((absโ€˜1)โ†‘2)) = 2
86244sqlem4a 16889 . . . . . . . . . 10 ((1 โˆˆ โ„ค[i] โˆง 1 โˆˆ โ„ค[i]) โ†’ (((absโ€˜1)โ†‘2) + ((absโ€˜1)โ†‘2)) โˆˆ ๐‘†)
8720, 20, 86mp2an 689 . . . . . . . . 9 (((absโ€˜1)โ†‘2) + ((absโ€˜1)โ†‘2)) โˆˆ ๐‘†
8885, 87eqeltrri 2829 . . . . . . . 8 2 โˆˆ ๐‘†
8988a1i 11 . . . . . . 7 ((๐‘— โˆˆ โ„™ โˆง โˆ€๐‘š โˆˆ (1...(๐‘— โˆ’ 1))๐‘š โˆˆ ๐‘†) โ†’ 2 โˆˆ ๐‘†)
9028, 82, 89pm2.61ne 3026 . . . . . 6 ((๐‘— โˆˆ โ„™ โˆง โˆ€๐‘š โˆˆ (1...(๐‘— โˆ’ 1))๐‘š โˆˆ ๐‘†) โ†’ ๐‘— โˆˆ ๐‘†)
9124mul4sq 16892 . . . . . . 7 ((๐‘š โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘†) โ†’ (๐‘š ยท ๐‘–) โˆˆ ๐‘†)
9291a1i 11 . . . . . 6 ((๐‘š โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง ๐‘– โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ ((๐‘š โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘– โˆˆ ๐‘†) โ†’ (๐‘š ยท ๐‘–) โˆˆ ๐‘†))
932, 3, 4, 5, 6, 27, 90, 92prmind2 16627 . . . . 5 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘˜ โˆˆ ๐‘†)
94 id 22 . . . . . 6 (๐‘˜ = 0 โ†’ ๐‘˜ = 0)
9594, 63eqeltrdi 2840 . . . . 5 (๐‘˜ = 0 โ†’ ๐‘˜ โˆˆ ๐‘†)
9693, 95jaoi 854 . . . 4 ((๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆจ ๐‘˜ = 0) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ ๐‘†)
971, 96sylbi 216 . . 3 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘˜ โˆˆ ๐‘†)
9897ssriv 3986 . 2 โ„•0 โІ ๐‘†
99244sqlem1 16886 . 2 ๐‘† โІ โ„•0
10098, 99eqssi 3998 1 โ„•0 = ๐‘†
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   โˆจ wo 844   = wceq 1540   โˆˆ wcel 2105  {cab 2708   โ‰  wne 2939  โˆ€wral 3060  โˆƒwrex 3069  {crab 3431   โˆ– cdif 3945   โˆช cun 3946   โІ wss 3948  {csn 4628  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7412  infcinf 9439  โ„‚cc 11111  โ„cr 11112  0cc0 11113  1c1 11114   + caddc 11116   ยท cmul 11118   < clt 11253   โˆ’ cmin 11449   / cdiv 11876  โ„•cn 12217  2c2 12272  โ„•0cn0 12477  โ„คcz 12563  โ„คโ‰ฅcuz 12827  ...cfz 13489  โ†‘cexp 14032  abscabs 15186  โ„™cprime 16613  โ„ค[i]cgz 16867
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7728  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190  ax-pre-sup 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-1o 8469  df-2o 8470  df-oadd 8473  df-er 8706  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-sup 9440  df-inf 9441  df-dju 9899  df-card 9937  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-n0 12478  df-xnn0 12550  df-z 12564  df-uz 12828  df-rp 12980  df-fz 13490  df-fl 13762  df-mod 13840  df-seq 13972  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188  df-dvds 16203  df-gcd 16441  df-prm 16614  df-gz 16868
This theorem is referenced by:  4sq  16902
  Copyright terms: Public domain W3C validator