Theorem elfz0add 12757

Description: An element of a finite set of sequential nonnegative integers is an element of an extended finite set of sequential nonnegative integers. (Contributed by Alexander van der Vekens, 28-Mar-2018.) (Proof shortened by OpenAI, 25-Mar-2020.)

Assertion

Ref	Expression
elfz0add	⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ (0...𝐴) → 𝑁 ∈ (0...(𝐴 + 𝐵))))

Proof of Theorem elfz0add

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0z 11752	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℤ)
2		uzid 12007	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘𝐴))
3	1, 2	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘𝐴))
4		uzaddcl 12050	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 + 𝐵) ∈ (ℤ≥‘𝐴))
5	3, 4	sylan 575	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 + 𝐵) ∈ (ℤ≥‘𝐴))
6		fzss2 12698	. . 3 ⊢ ((𝐴 + 𝐵) ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (0...𝐴) ⊆ (0...(𝐴 + 𝐵)))
7	5, 6	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (0...𝐴) ⊆ (0...(𝐴 + 𝐵)))
8	7	sseld 3819	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ (0...𝐴) → 𝑁 ∈ (0...(𝐴 + 𝐵))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   ∈ wcel 2106   ⊆ wss 3791  ‘cfv 6135  (class class class)co 6922  0cc0 10272   + caddc 10275  ℕ₀cn0 11642  ℤcz 11728  ℤ_≥cuz 11992  ...cfz 12643

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2054  ax-8 2108  ax-9 2115  ax-10 2134  ax-11 2149  ax-12 2162  ax-13 2333  ax-ext 2753  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2550  df-eu 2586  df-clab 2763  df-cleq 2769  df-clel 2773  df-nfc 2920  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rab 3098  df-v 3399  df-sbc 3652  df-csb 3751  df-dif 3794  df-un 3796  df-in 3798  df-ss 3805  df-pss 3807  df-nul 4141  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4672  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-er 8026  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-nn 11375  df-n0 11643  df-z 11729  df-uz 11993  df-fz 12644

This theorem is referenced by:  elfzelfzccat  13670  swrd0len0OLD  13755  pfxccat1  13811  iwrdsplit  31047  iwrdsplitOLD  31048