Theorem gsumws1 18936

Description: A singleton composite recovers the initial symbol. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
gsumwcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
gsumws1	⊢ (𝑆 ∈ 𝐵 → (𝐺 Σg ⟨“𝑆”⟩) = 𝑆)

Proof of Theorem gsumws1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		s1val 14657	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ 𝐵 → ⟨“𝑆”⟩ = {⟨0, 𝑆⟩})
2	1	oveq2d 7435	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ 𝐵 → (𝐺 Σg ⟨“𝑆”⟩) = (𝐺 Σg {⟨0, 𝑆⟩}))
3		gsumwcl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
4		eqid 2765	. . 3 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
5		elfvdm 6919	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ (Base‘𝐺) → 𝐺 ∈ dom Base)
6	5, 3	eleq2s 2883	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ 𝐵 → 𝐺 ∈ dom Base)
7		0nn0 12536	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
8		nn0uz 12918	. . . . 5 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
9	7, 8	eleqtri 2863	. . . 4 ⊢ 0 ∈ (ℤ≥‘0)
10	9	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ 𝐵 → 0 ∈ (ℤ≥‘0))
11		0z 12619	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℤ
12		f1osng 6867	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑆 ∈ 𝐵) → {⟨0, 𝑆⟩}:{0}–1-1-onto→{𝑆})
13	11, 12	mpan 703	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ 𝐵 → {⟨0, 𝑆⟩}:{0}–1-1-onto→{𝑆})
14		f1of 6824	. . . . . 6 ⊢ ({⟨0, 𝑆⟩}:{0}–1-1-onto→{𝑆} → {⟨0, 𝑆⟩}:{0}⟶{𝑆})
15	13, 14	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ 𝐵 → {⟨0, 𝑆⟩}:{0}⟶{𝑆})
16		snssi 4753	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ 𝐵 → {𝑆} ⊆ 𝐵)
17	15, 16	fssd 6727	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ 𝐵 → {⟨0, 𝑆⟩}:{0}⟶𝐵)
18		fz0sn 13674	. . . . 5 ⊢ (0...0) = {0}
19	18	feq2i 6701	. . . 4 ⊢ ({⟨0, 𝑆⟩}:(0...0)⟶𝐵 ↔ {⟨0, 𝑆⟩}:{0}⟶𝐵)
20	17, 19	sylibr 237	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ 𝐵 → {⟨0, 𝑆⟩}:(0...0)⟶𝐵)
21	3, 4, 6, 10, 20	gsumval2 18778	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ 𝐵 → (𝐺 Σg {⟨0, 𝑆⟩}) = (seq0((+g‘𝐺), {⟨0, 𝑆⟩})‘0))
22		fvsng 7184	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑆 ∈ 𝐵) → ({⟨0, 𝑆⟩}‘0) = 𝑆)
23	11, 22	mpan 703	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ 𝐵 → ({⟨0, 𝑆⟩}‘0) = 𝑆)
24	11, 23	seq1i 14071	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ 𝐵 → (seq0((+g‘𝐺), {⟨0, 𝑆⟩})‘0) = 𝑆)
25	2, 21, 24	3eqtrd 2804	1 ⊢ (𝑆 ∈ 𝐵 → (𝐺 Σg ⟨“𝑆”⟩) = 𝑆)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  {csn 4591  ⟨cop 4597  dom cdm 5663  ⟶wf 6536  –1-1-onto→wf1o 6539  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  0cc0 11117  ℕ₀cn0 12521  ℤcz 12608  ℤ_≥cuz 12880  ...cfz 13553  seqcseq 14057  ⟨“cs1 14654  Basecbs 17293  +_gcplusg 17334   Σ_g cgsu 17517

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11173  ax-resscn 11174  ax-1cn 11175  ax-icn 11176  ax-addcl 11177  ax-addrcl 11178  ax-mulcl 11179  ax-mulrcl 11180  ax-mulcom 11181  ax-addass 11182  ax-mulass 11183  ax-distr 11184  ax-i2m1 11185  ax-1ne0 11186  ax-1rid 11187  ax-rnegex 11188  ax-rrecex 11189  ax-cnre 11190  ax-pre-lttri 11191  ax-pre-lttrn 11192  ax-pre-ltadd 11193  ax-pre-mulgt0 11194

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-pnf 11262  df-mnf 11263  df-xr 11264  df-ltxr 11265  df-le 11266  df-sub 11460  df-neg 11461  df-nn 12251  df-n0 12522  df-z 12609  df-uz 12881  df-fz 13554  df-seq 14058  df-s1 14655  df-0g 17518  df-gsum 17519

This theorem is used by:  gsumws2  18940  gsumccatsn  18941  gsumwspan  18944  frmdgsum  18960  frmdup2  18963  gsumwrev  19482  psgnunilem5  19610  psgnpmtr  19626  frgpup2  19892  cyc3genpmlem  33537  elrgspnlem3  33630  1arithufdlem1  33900  1arithufdlem3  33902  1arithufdlem4  33903  mrsubcv  36041  gsumws3  44982  gsumws4  44983