Theorem gsumws1 18005

Description: A singleton composite recovers the initial symbol. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
gsumwcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
gsumws1	⊢ (𝑆 ∈ 𝐵 → (𝐺 Σg ⟨“𝑆”⟩) = 𝑆)

Proof of Theorem gsumws1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		s1val 13955	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ 𝐵 → ⟨“𝑆”⟩ = {⟨0, 𝑆⟩})
2	1	oveq2d 7175	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ 𝐵 → (𝐺 Σg ⟨“𝑆”⟩) = (𝐺 Σg {⟨0, 𝑆⟩}))
3		gsumwcl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
4		eqid 2824	. . 3 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
5		elfvdm 6705	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ (Base‘𝐺) → 𝐺 ∈ dom Base)
6	5, 3	eleq2s 2934	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ 𝐵 → 𝐺 ∈ dom Base)
7		0nn0 11915	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
8		nn0uz 12283	. . . . 5 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
9	7, 8	eleqtri 2914	. . . 4 ⊢ 0 ∈ (ℤ≥‘0)
10	9	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ 𝐵 → 0 ∈ (ℤ≥‘0))
11		0z 11995	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℤ
12		f1osng 6658	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑆 ∈ 𝐵) → {⟨0, 𝑆⟩}:{0}–1-1-onto→{𝑆})
13	11, 12	mpan 688	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ 𝐵 → {⟨0, 𝑆⟩}:{0}–1-1-onto→{𝑆})
14		f1of 6618	. . . . . 6 ⊢ ({⟨0, 𝑆⟩}:{0}–1-1-onto→{𝑆} → {⟨0, 𝑆⟩}:{0}⟶{𝑆})
15	13, 14	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ 𝐵 → {⟨0, 𝑆⟩}:{0}⟶{𝑆})
16		snssi 4744	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ 𝐵 → {𝑆} ⊆ 𝐵)
17	15, 16	fssd 6531	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ 𝐵 → {⟨0, 𝑆⟩}:{0}⟶𝐵)
18		fz0sn 13010	. . . . 5 ⊢ (0...0) = {0}
19	18	feq2i 6509	. . . 4 ⊢ ({⟨0, 𝑆⟩}:(0...0)⟶𝐵 ↔ {⟨0, 𝑆⟩}:{0}⟶𝐵)
20	17, 19	sylibr 236	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ 𝐵 → {⟨0, 𝑆⟩}:(0...0)⟶𝐵)
21	3, 4, 6, 10, 20	gsumval2 17899	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ 𝐵 → (𝐺 Σg {⟨0, 𝑆⟩}) = (seq0((+g‘𝐺), {⟨0, 𝑆⟩})‘0))
22		fvsng 6945	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑆 ∈ 𝐵) → ({⟨0, 𝑆⟩}‘0) = 𝑆)
23	11, 22	mpan 688	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ 𝐵 → ({⟨0, 𝑆⟩}‘0) = 𝑆)
24	11, 23	seq1i 13386	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ 𝐵 → (seq0((+g‘𝐺), {⟨0, 𝑆⟩})‘0) = 𝑆)
25	2, 21, 24	3eqtrd 2863	1 ⊢ (𝑆 ∈ 𝐵 → (𝐺 Σg ⟨“𝑆”⟩) = 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1536   ∈ wcel 2113  {csn 4570  ⟨cop 4576  dom cdm 5558  ⟶wf 6354  –1-1-onto→wf1o 6357  ‘cfv 6358  (class class class)co 7159  0cc0 10540  ℕ₀cn0 11900  ℤcz 11984  ℤ_≥cuz 12246  ...cfz 12895  seqcseq 13372  ⟨“cs1 13952  Basecbs 16486  +_gcplusg 16568   Σ_g cgsu 16717

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333  ax-un 7464  ax-cnex 10596  ax-resscn 10597  ax-1cn 10598  ax-icn 10599  ax-addcl 10600  ax-addrcl 10601  ax-mulcl 10602  ax-mulrcl 10603  ax-mulcom 10604  ax-addass 10605  ax-mulass 10606  ax-distr 10607  ax-i2m1 10608  ax-1ne0 10609  ax-1rid 10610  ax-rnegex 10611  ax-rrecex 10612  ax-cnre 10613  ax-pre-lttri 10614  ax-pre-lttrn 10615  ax-pre-ltadd 10616  ax-pre-mulgt0 10617

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-nel 3127  df-ral 3146  df-rex 3147  df-reu 3148  df-rmo 3149  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-tp 4575  df-op 4577  df-uni 4842  df-iun 4924  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-tr 5176  df-id 5463  df-eprel 5468  df-po 5477  df-so 5478  df-fr 5517  df-we 5519  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-pred 6151  df-ord 6197  df-on 6198  df-lim 6199  df-suc 6200  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-riota 7117  df-ov 7162  df-oprab 7163  df-mpo 7164  df-om 7584  df-1st 7692  df-2nd 7693  df-wrecs 7950  df-recs 8011  df-rdg 8049  df-er 8292  df-en 8513  df-dom 8514  df-sdom 8515  df-pnf 10680  df-mnf 10681  df-xr 10682  df-ltxr 10683  df-le 10684  df-sub 10875  df-neg 10876  df-nn 11642  df-n0 11901  df-z 11985  df-uz 12247  df-fz 12896  df-seq 13373  df-s1 13953  df-0g 16718  df-gsum 16719

This theorem is referenced by:  gsumws2  18010  gsumccatsn  18011  gsumwspan  18014  frmdgsum  18030  frmdup2  18033  gsumwrev  18497  psgnunilem5  18625  psgnpmtr  18641  frgpup2  18905  cyc3genpmlem  30797  mrsubcv  32761  gsumws3  40555  gsumws4  40556