Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumws1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsumws1 18014
 Description: A singleton composite recovers the initial symbol. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
gsumwcl.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
gsumws1 (𝑆𝐵 → (𝐺 Σg ⟨“𝑆”⟩) = 𝑆)

Proof of Theorem gsumws1
StepHypRef Expression
1 s1val 13963 . . 3 (𝑆𝐵 → ⟨“𝑆”⟩ = {⟨0, 𝑆⟩})
21oveq2d 7161 . 2 (𝑆𝐵 → (𝐺 Σg ⟨“𝑆”⟩) = (𝐺 Σg {⟨0, 𝑆⟩}))
3 gsumwcl.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐺)
4 eqid 2798 . . 3 (+g𝐺) = (+g𝐺)
5 elfvdm 6687 . . . 4 (𝑆 ∈ (Base‘𝐺) → 𝐺 ∈ dom Base)
65, 3eleq2s 2908 . . 3 (𝑆𝐵𝐺 ∈ dom Base)
7 0nn0 11918 . . . . 5 0 ∈ ℕ0
8 nn0uz 12288 . . . . 5 0 = (ℤ‘0)
97, 8eleqtri 2888 . . . 4 0 ∈ (ℤ‘0)
109a1i 11 . . 3 (𝑆𝐵 → 0 ∈ (ℤ‘0))
11 0z 12000 . . . . . . 7 0 ∈ ℤ
12 f1osng 6639 . . . . . . 7 ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑆𝐵) → {⟨0, 𝑆⟩}:{0}–1-1-onto→{𝑆})
1311, 12mpan 689 . . . . . 6 (𝑆𝐵 → {⟨0, 𝑆⟩}:{0}–1-1-onto→{𝑆})
14 f1of 6599 . . . . . 6 ({⟨0, 𝑆⟩}:{0}–1-1-onto→{𝑆} → {⟨0, 𝑆⟩}:{0}⟶{𝑆})
1513, 14syl 17 . . . . 5 (𝑆𝐵 → {⟨0, 𝑆⟩}:{0}⟶{𝑆})
16 snssi 4704 . . . . 5 (𝑆𝐵 → {𝑆} ⊆ 𝐵)
1715, 16fssd 6510 . . . 4 (𝑆𝐵 → {⟨0, 𝑆⟩}:{0}⟶𝐵)
18 fz0sn 13022 . . . . 5 (0...0) = {0}
1918feq2i 6487 . . . 4 ({⟨0, 𝑆⟩}:(0...0)⟶𝐵 ↔ {⟨0, 𝑆⟩}:{0}⟶𝐵)
2017, 19sylibr 237 . . 3 (𝑆𝐵 → {⟨0, 𝑆⟩}:(0...0)⟶𝐵)
213, 4, 6, 10, 20gsumval2 17908 . 2 (𝑆𝐵 → (𝐺 Σg {⟨0, 𝑆⟩}) = (seq0((+g𝐺), {⟨0, 𝑆⟩})‘0))
22 fvsng 6929 . . . 4 ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑆𝐵) → ({⟨0, 𝑆⟩}‘0) = 𝑆)
2311, 22mpan 689 . . 3 (𝑆𝐵 → ({⟨0, 𝑆⟩}‘0) = 𝑆)
2411, 23seq1i 13398 . 2 (𝑆𝐵 → (seq0((+g𝐺), {⟨0, 𝑆⟩})‘0) = 𝑆)
252, 21, 243eqtrd 2837 1 (𝑆𝐵 → (𝐺 Σg ⟨“𝑆”⟩) = 𝑆)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  {csn 4528  ⟨cop 4534  dom cdm 5523  ⟶wf 6328  –1-1-onto→wf1o 6331  ‘cfv 6332  (class class class)co 7145  0cc0 10544  ℕ0cn0 11903  ℤcz 11989  ℤ≥cuz 12251  ...cfz 12905  seqcseq 13384  ⟨“cs1 13960  Basecbs 16495  +gcplusg 16577   Σg cgsu 16726 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5171  ax-nul 5178  ax-pow 5235  ax-pr 5299  ax-un 7454  ax-cnex 10600  ax-resscn 10601  ax-1cn 10602  ax-icn 10603  ax-addcl 10604  ax-addrcl 10605  ax-mulcl 10606  ax-mulrcl 10607  ax-mulcom 10608  ax-addass 10609  ax-mulass 10610  ax-distr 10611  ax-i2m1 10612  ax-1ne0 10613  ax-1rid 10614  ax-rnegex 10615  ax-rrecex 10616  ax-cnre 10617  ax-pre-lttri 10618  ax-pre-lttrn 10619  ax-pre-ltadd 10620  ax-pre-mulgt0 10621 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3444  df-sbc 3723  df-csb 3831  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4805  df-iun 4887  df-br 5035  df-opab 5097  df-mpt 5115  df-tr 5141  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6123  df-ord 6169  df-on 6170  df-lim 6171  df-suc 6172  df-iota 6291  df-fun 6334  df-fn 6335  df-f 6336  df-f1 6337  df-fo 6338  df-f1o 6339  df-fv 6340  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7574  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-wrecs 7948  df-recs 8009  df-rdg 8047  df-er 8290  df-en 8511  df-dom 8512  df-sdom 8513  df-pnf 10684  df-mnf 10685  df-xr 10686  df-ltxr 10687  df-le 10688  df-sub 10879  df-neg 10880  df-nn 11644  df-n0 11904  df-z 11990  df-uz 12252  df-fz 12906  df-seq 13385  df-s1 13961  df-0g 16727  df-gsum 16728 This theorem is referenced by:  gsumws2  18019  gsumccatsn  18020  gsumwspan  18023  frmdgsum  18039  frmdup2  18042  gsumwrev  18507  psgnunilem5  18635  psgnpmtr  18651  frgpup2  18915  cyc3genpmlem  30892  mrsubcv  32936  gsumws3  41073  gsumws4  41074
 Copyright terms: Public domain W3C validator