MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumws1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsumws1 18264
Description: A singleton composite recovers the initial symbol. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
gsumwcl.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
gsumws1 (𝑆𝐵 → (𝐺 Σg ⟨“𝑆”⟩) = 𝑆)

Proof of Theorem gsumws1
StepHypRef Expression
1 s1val 14155 . . 3 (𝑆𝐵 → ⟨“𝑆”⟩ = {⟨0, 𝑆⟩})
21oveq2d 7229 . 2 (𝑆𝐵 → (𝐺 Σg ⟨“𝑆”⟩) = (𝐺 Σg {⟨0, 𝑆⟩}))
3 gsumwcl.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐺)
4 eqid 2737 . . 3 (+g𝐺) = (+g𝐺)
5 elfvdm 6749 . . . 4 (𝑆 ∈ (Base‘𝐺) → 𝐺 ∈ dom Base)
65, 3eleq2s 2856 . . 3 (𝑆𝐵𝐺 ∈ dom Base)
7 0nn0 12105 . . . . 5 0 ∈ ℕ0
8 nn0uz 12476 . . . . 5 0 = (ℤ‘0)
97, 8eleqtri 2836 . . . 4 0 ∈ (ℤ‘0)
109a1i 11 . . 3 (𝑆𝐵 → 0 ∈ (ℤ‘0))
11 0z 12187 . . . . . . 7 0 ∈ ℤ
12 f1osng 6701 . . . . . . 7 ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑆𝐵) → {⟨0, 𝑆⟩}:{0}–1-1-onto→{𝑆})
1311, 12mpan 690 . . . . . 6 (𝑆𝐵 → {⟨0, 𝑆⟩}:{0}–1-1-onto→{𝑆})
14 f1of 6661 . . . . . 6 ({⟨0, 𝑆⟩}:{0}–1-1-onto→{𝑆} → {⟨0, 𝑆⟩}:{0}⟶{𝑆})
1513, 14syl 17 . . . . 5 (𝑆𝐵 → {⟨0, 𝑆⟩}:{0}⟶{𝑆})
16 snssi 4721 . . . . 5 (𝑆𝐵 → {𝑆} ⊆ 𝐵)
1715, 16fssd 6563 . . . 4 (𝑆𝐵 → {⟨0, 𝑆⟩}:{0}⟶𝐵)
18 fz0sn 13212 . . . . 5 (0...0) = {0}
1918feq2i 6537 . . . 4 ({⟨0, 𝑆⟩}:(0...0)⟶𝐵 ↔ {⟨0, 𝑆⟩}:{0}⟶𝐵)
2017, 19sylibr 237 . . 3 (𝑆𝐵 → {⟨0, 𝑆⟩}:(0...0)⟶𝐵)
213, 4, 6, 10, 20gsumval2 18158 . 2 (𝑆𝐵 → (𝐺 Σg {⟨0, 𝑆⟩}) = (seq0((+g𝐺), {⟨0, 𝑆⟩})‘0))
22 fvsng 6995 . . . 4 ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑆𝐵) → ({⟨0, 𝑆⟩}‘0) = 𝑆)
2311, 22mpan 690 . . 3 (𝑆𝐵 → ({⟨0, 𝑆⟩}‘0) = 𝑆)
2411, 23seq1i 13588 . 2 (𝑆𝐵 → (seq0((+g𝐺), {⟨0, 𝑆⟩})‘0) = 𝑆)
252, 21, 243eqtrd 2781 1 (𝑆𝐵 → (𝐺 Σg ⟨“𝑆”⟩) = 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1543  wcel 2110  {csn 4541  cop 4547  dom cdm 5551  wf 6376  1-1-ontowf1o 6379  cfv 6380  (class class class)co 7213  0cc0 10729  0cn0 12090  cz 12176  cuz 12438  ...cfz 13095  seqcseq 13574  ⟨“cs1 14152  Basecbs 16760  +gcplusg 16802   Σg cgsu 16945
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-er 8391  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-nn 11831  df-n0 12091  df-z 12177  df-uz 12439  df-fz 13096  df-seq 13575  df-s1 14153  df-0g 16946  df-gsum 16947
This theorem is referenced by:  gsumws2  18269  gsumccatsn  18270  gsumwspan  18273  frmdgsum  18289  frmdup2  18292  gsumwrev  18758  psgnunilem5  18886  psgnpmtr  18902  frgpup2  19166  cyc3genpmlem  31137  mrsubcv  33185  gsumws3  41485  gsumws4  41486
  Copyright terms: Public domain W3C validator