Theorem gsumws1 18872

Description: A singleton composite recovers the initial symbol. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
gsumwcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
gsumws1	⊢ (𝑆 ∈ 𝐵 → (𝐺 Σg ⟨“𝑆”⟩) = 𝑆)

Proof of Theorem gsumws1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		s1val 14612	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ 𝐵 → ⟨“𝑆”⟩ = {⟨0, 𝑆⟩})
2	1	oveq2d 7412	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ 𝐵 → (𝐺 Σg ⟨“𝑆”⟩) = (𝐺 Σg {⟨0, 𝑆⟩}))
3		gsumwcl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
4		eqid 2762	. . 3 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
5		elfvdm 6901	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ (Base‘𝐺) → 𝐺 ∈ dom Base)
6	5, 3	eleq2s 2880	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ 𝐵 → 𝐺 ∈ dom Base)
7		0nn0 12496	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
8		nn0uz 12877	. . . . 5 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
9	7, 8	eleqtri 2860	. . . 4 ⊢ 0 ∈ (ℤ≥‘0)
10	9	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ 𝐵 → 0 ∈ (ℤ≥‘0))
11		0z 12579	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℤ
12		f1osng 6849	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑆 ∈ 𝐵) → {⟨0, 𝑆⟩}:{0}–1-1-onto→{𝑆})
13	11, 12	mpan 700	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ 𝐵 → {⟨0, 𝑆⟩}:{0}–1-1-onto→{𝑆})
14		f1of 6806	. . . . . 6 ⊢ ({⟨0, 𝑆⟩}:{0}–1-1-onto→{𝑆} → {⟨0, 𝑆⟩}:{0}⟶{𝑆})
15	13, 14	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ 𝐵 → {⟨0, 𝑆⟩}:{0}⟶{𝑆})
16		snssi 4744	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ 𝐵 → {𝑆} ⊆ 𝐵)
17	15, 16	fssd 6709	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ 𝐵 → {⟨0, 𝑆⟩}:{0}⟶𝐵)
18		fz0sn 13632	. . . . 5 ⊢ (0...0) = {0}
19	18	feq2i 6683	. . . 4 ⊢ ({⟨0, 𝑆⟩}:(0...0)⟶𝐵 ↔ {⟨0, 𝑆⟩}:{0}⟶𝐵)
20	17, 19	sylibr 236	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ 𝐵 → {⟨0, 𝑆⟩}:(0...0)⟶𝐵)
21	3, 4, 6, 10, 20	gsumval2 18720	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ 𝐵 → (𝐺 Σg {⟨0, 𝑆⟩}) = (seq0((+g‘𝐺), {⟨0, 𝑆⟩})‘0))
22		fvsng 7164	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑆 ∈ 𝐵) → ({⟨0, 𝑆⟩}‘0) = 𝑆)
23	11, 22	mpan 700	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ 𝐵 → ({⟨0, 𝑆⟩}‘0) = 𝑆)
24	11, 23	seq1i 14028	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ 𝐵 → (seq0((+g‘𝐺), {⟨0, 𝑆⟩})‘0) = 𝑆)
25	2, 21, 24	3eqtrd 2801	1 ⊢ (𝑆 ∈ 𝐵 → (𝐺 Σg ⟨“𝑆”⟩) = 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1560   ∈ wcel 2142  {csn 4582  ⟨cop 4588  dom cdm 5647  ⟶wf 6517  –1-1-onto→wf1o 6520  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396  0cc0 11073  ℕ₀cn0 12481  ℤcz 12568  ℤ_≥cuz 12839  ...cfz 13512  seqcseq 14014  ⟨“cs1 14609  Basecbs 17245  +_gcplusg 17286   Σ_g cgsu 17469

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-er 8678  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-nn 12211  df-n0 12482  df-z 12569  df-uz 12840  df-fz 13513  df-seq 14015  df-s1 14610  df-0g 17470  df-gsum 17471

This theorem is referenced by:  gsumws2  18876  gsumccatsn  18877  gsumwspan  18880  frmdgsum  18896  frmdup2  18899  gsumwrev  19406  psgnunilem5  19534  psgnpmtr  19550  frgpup2  19816  cyc3genpmlem  33331  elrgspnlem3  33425  1arithufdlem1  33740  1arithufdlem3  33742  1arithufdlem4  33743  mrsubcv  35860  gsumws3  44772  gsumws4  44773