Theorem gsumws1 18873

Description: A singleton composite recovers the initial symbol. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
gsumwcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
gsumws1	⊢ (𝑆 ∈ 𝐵 → (𝐺 Σg ⟨“𝑆”⟩) = 𝑆)

Proof of Theorem gsumws1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		s1val 14646	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ 𝐵 → ⟨“𝑆”⟩ = {⟨0, 𝑆⟩})
2	1	oveq2d 7464	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ 𝐵 → (𝐺 Σg ⟨“𝑆”⟩) = (𝐺 Σg {⟨0, 𝑆⟩}))
3		gsumwcl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
4		eqid 2740	. . 3 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
5		elfvdm 6957	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ (Base‘𝐺) → 𝐺 ∈ dom Base)
6	5, 3	eleq2s 2862	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ 𝐵 → 𝐺 ∈ dom Base)
7		0nn0 12568	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
8		nn0uz 12945	. . . . 5 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
9	7, 8	eleqtri 2842	. . . 4 ⊢ 0 ∈ (ℤ≥‘0)
10	9	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ 𝐵 → 0 ∈ (ℤ≥‘0))
11		0z 12650	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℤ
12		f1osng 6903	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑆 ∈ 𝐵) → {⟨0, 𝑆⟩}:{0}–1-1-onto→{𝑆})
13	11, 12	mpan 689	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ 𝐵 → {⟨0, 𝑆⟩}:{0}–1-1-onto→{𝑆})
14		f1of 6862	. . . . . 6 ⊢ ({⟨0, 𝑆⟩}:{0}–1-1-onto→{𝑆} → {⟨0, 𝑆⟩}:{0}⟶{𝑆})
15	13, 14	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ 𝐵 → {⟨0, 𝑆⟩}:{0}⟶{𝑆})
16		snssi 4833	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ 𝐵 → {𝑆} ⊆ 𝐵)
17	15, 16	fssd 6764	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ 𝐵 → {⟨0, 𝑆⟩}:{0}⟶𝐵)
18		fz0sn 13684	. . . . 5 ⊢ (0...0) = {0}
19	18	feq2i 6739	. . . 4 ⊢ ({⟨0, 𝑆⟩}:(0...0)⟶𝐵 ↔ {⟨0, 𝑆⟩}:{0}⟶𝐵)
20	17, 19	sylibr 234	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ 𝐵 → {⟨0, 𝑆⟩}:(0...0)⟶𝐵)
21	3, 4, 6, 10, 20	gsumval2 18724	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ 𝐵 → (𝐺 Σg {⟨0, 𝑆⟩}) = (seq0((+g‘𝐺), {⟨0, 𝑆⟩})‘0))
22		fvsng 7214	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑆 ∈ 𝐵) → ({⟨0, 𝑆⟩}‘0) = 𝑆)
23	11, 22	mpan 689	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ 𝐵 → ({⟨0, 𝑆⟩}‘0) = 𝑆)
24	11, 23	seq1i 14066	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ 𝐵 → (seq0((+g‘𝐺), {⟨0, 𝑆⟩})‘0) = 𝑆)
25	2, 21, 24	3eqtrd 2784	1 ⊢ (𝑆 ∈ 𝐵 → (𝐺 Σg ⟨“𝑆”⟩) = 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  {csn 4648  ⟨cop 4654  dom cdm 5700  ⟶wf 6569  –1-1-onto→wf1o 6572  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  0cc0 11184  ℕ₀cn0 12553  ℤcz 12639  ℤ_≥cuz 12903  ...cfz 13567  seqcseq 14052  ⟨“cs1 14643  Basecbs 17258  +_gcplusg 17311   Σ_g cgsu 17500

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-fz 13568  df-seq 14053  df-s1 14644  df-0g 17501  df-gsum 17502

This theorem is referenced by:  gsumws2  18877  gsumccatsn  18878  gsumwspan  18881  frmdgsum  18897  frmdup2  18900  gsumwrev  19409  psgnunilem5  19536  psgnpmtr  19552  frgpup2  19818  cyc3genpmlem  33144  1arithufdlem1  33537  1arithufdlem3  33539  1arithufdlem4  33540  mrsubcv  35478  gsumws3  44158  gsumws4  44159