Theorem gsumws1 18746

Description: A singleton composite recovers the initial symbol. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
gsumwcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
gsumws1	⊢ (𝑆 ∈ 𝐵 → (𝐺 Σg ⟨“𝑆”⟩) = 𝑆)

Proof of Theorem gsumws1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		s1val 14506	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ 𝐵 → ⟨“𝑆”⟩ = {⟨0, 𝑆⟩})
2	1	oveq2d 7362	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ 𝐵 → (𝐺 Σg ⟨“𝑆”⟩) = (𝐺 Σg {⟨0, 𝑆⟩}))
3		gsumwcl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
4		eqid 2731	. . 3 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
5		elfvdm 6856	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ (Base‘𝐺) → 𝐺 ∈ dom Base)
6	5, 3	eleq2s 2849	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ 𝐵 → 𝐺 ∈ dom Base)
7		0nn0 12396	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
8		nn0uz 12774	. . . . 5 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
9	7, 8	eleqtri 2829	. . . 4 ⊢ 0 ∈ (ℤ≥‘0)
10	9	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ 𝐵 → 0 ∈ (ℤ≥‘0))
11		0z 12479	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℤ
12		f1osng 6804	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑆 ∈ 𝐵) → {⟨0, 𝑆⟩}:{0}–1-1-onto→{𝑆})
13	11, 12	mpan 690	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ 𝐵 → {⟨0, 𝑆⟩}:{0}–1-1-onto→{𝑆})
14		f1of 6763	. . . . . 6 ⊢ ({⟨0, 𝑆⟩}:{0}–1-1-onto→{𝑆} → {⟨0, 𝑆⟩}:{0}⟶{𝑆})
15	13, 14	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ 𝐵 → {⟨0, 𝑆⟩}:{0}⟶{𝑆})
16		snssi 4757	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ 𝐵 → {𝑆} ⊆ 𝐵)
17	15, 16	fssd 6668	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ 𝐵 → {⟨0, 𝑆⟩}:{0}⟶𝐵)
18		fz0sn 13527	. . . . 5 ⊢ (0...0) = {0}
19	18	feq2i 6643	. . . 4 ⊢ ({⟨0, 𝑆⟩}:(0...0)⟶𝐵 ↔ {⟨0, 𝑆⟩}:{0}⟶𝐵)
20	17, 19	sylibr 234	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ 𝐵 → {⟨0, 𝑆⟩}:(0...0)⟶𝐵)
21	3, 4, 6, 10, 20	gsumval2 18594	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ 𝐵 → (𝐺 Σg {⟨0, 𝑆⟩}) = (seq0((+g‘𝐺), {⟨0, 𝑆⟩})‘0))
22		fvsng 7114	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑆 ∈ 𝐵) → ({⟨0, 𝑆⟩}‘0) = 𝑆)
23	11, 22	mpan 690	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ 𝐵 → ({⟨0, 𝑆⟩}‘0) = 𝑆)
24	11, 23	seq1i 13922	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ 𝐵 → (seq0((+g‘𝐺), {⟨0, 𝑆⟩})‘0) = 𝑆)
25	2, 21, 24	3eqtrd 2770	1 ⊢ (𝑆 ∈ 𝐵 → (𝐺 Σg ⟨“𝑆”⟩) = 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  {csn 4573  ⟨cop 4579  dom cdm 5614  ⟶wf 6477  –1-1-onto→wf1o 6480  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  0cc0 11006  ℕ₀cn0 12381  ℤcz 12468  ℤ_≥cuz 12732  ...cfz 13407  seqcseq 13908  ⟨“cs1 14503  Basecbs 17120  +_gcplusg 17161   Σ_g cgsu 17344

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-n0 12382  df-z 12469  df-uz 12733  df-fz 13408  df-seq 13909  df-s1 14504  df-0g 17345  df-gsum 17346

This theorem is referenced by:  gsumws2  18750  gsumccatsn  18751  gsumwspan  18754  frmdgsum  18770  frmdup2  18773  gsumwrev  19278  psgnunilem5  19406  psgnpmtr  19422  frgpup2  19688  cyc3genpmlem  33120  elrgspnlem3  33211  1arithufdlem1  33509  1arithufdlem3  33511  1arithufdlem4  33512  mrsubcv  35554  gsumws3  44237  gsumws4  44238