MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumws1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsumws1 17815
Description: A singleton composite recovers the initial symbol. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
gsumwcl.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
gsumws1 (𝑆𝐵 → (𝐺 Σg ⟨“𝑆”⟩) = 𝑆)

Proof of Theorem gsumws1
StepHypRef Expression
1 s1val 13796 . . 3 (𝑆𝐵 → ⟨“𝑆”⟩ = {⟨0, 𝑆⟩})
21oveq2d 7032 . 2 (𝑆𝐵 → (𝐺 Σg ⟨“𝑆”⟩) = (𝐺 Σg {⟨0, 𝑆⟩}))
3 gsumwcl.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐺)
4 eqid 2795 . . 3 (+g𝐺) = (+g𝐺)
5 elfvdm 6570 . . . 4 (𝑆 ∈ (Base‘𝐺) → 𝐺 ∈ dom Base)
65, 3eleq2s 2901 . . 3 (𝑆𝐵𝐺 ∈ dom Base)
7 0nn0 11760 . . . . 5 0 ∈ ℕ0
8 nn0uz 12129 . . . . 5 0 = (ℤ‘0)
97, 8eleqtri 2881 . . . 4 0 ∈ (ℤ‘0)
109a1i 11 . . 3 (𝑆𝐵 → 0 ∈ (ℤ‘0))
11 0z 11840 . . . . . . 7 0 ∈ ℤ
12 f1osng 6523 . . . . . . 7 ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑆𝐵) → {⟨0, 𝑆⟩}:{0}–1-1-onto→{𝑆})
1311, 12mpan 686 . . . . . 6 (𝑆𝐵 → {⟨0, 𝑆⟩}:{0}–1-1-onto→{𝑆})
14 f1of 6483 . . . . . 6 ({⟨0, 𝑆⟩}:{0}–1-1-onto→{𝑆} → {⟨0, 𝑆⟩}:{0}⟶{𝑆})
1513, 14syl 17 . . . . 5 (𝑆𝐵 → {⟨0, 𝑆⟩}:{0}⟶{𝑆})
16 snssi 4648 . . . . 5 (𝑆𝐵 → {𝑆} ⊆ 𝐵)
1715, 16fssd 6396 . . . 4 (𝑆𝐵 → {⟨0, 𝑆⟩}:{0}⟶𝐵)
18 fz0sn 12857 . . . . 5 (0...0) = {0}
1918feq2i 6374 . . . 4 ({⟨0, 𝑆⟩}:(0...0)⟶𝐵 ↔ {⟨0, 𝑆⟩}:{0}⟶𝐵)
2017, 19sylibr 235 . . 3 (𝑆𝐵 → {⟨0, 𝑆⟩}:(0...0)⟶𝐵)
213, 4, 6, 10, 20gsumval2 17719 . 2 (𝑆𝐵 → (𝐺 Σg {⟨0, 𝑆⟩}) = (seq0((+g𝐺), {⟨0, 𝑆⟩})‘0))
22 fvsng 6805 . . . 4 ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑆𝐵) → ({⟨0, 𝑆⟩}‘0) = 𝑆)
2311, 22mpan 686 . . 3 (𝑆𝐵 → ({⟨0, 𝑆⟩}‘0) = 𝑆)
2411, 23seq1i 13233 . 2 (𝑆𝐵 → (seq0((+g𝐺), {⟨0, 𝑆⟩})‘0) = 𝑆)
252, 21, 243eqtrd 2835 1 (𝑆𝐵 → (𝐺 Σg ⟨“𝑆”⟩) = 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1522  wcel 2081  {csn 4472  cop 4478  dom cdm 5443  wf 6221  1-1-ontowf1o 6224  cfv 6225  (class class class)co 7016  0cc0 10383  0cn0 11745  cz 11829  cuz 12093  ...cfz 12742  seqcseq 13219  ⟨“cs1 13793  Basecbs 16312  +gcplusg 16394   Σg cgsu 16543
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319  ax-cnex 10439  ax-resscn 10440  ax-1cn 10441  ax-icn 10442  ax-addcl 10443  ax-addrcl 10444  ax-mulcl 10445  ax-mulrcl 10446  ax-mulcom 10447  ax-addass 10448  ax-mulass 10449  ax-distr 10450  ax-i2m1 10451  ax-1ne0 10452  ax-1rid 10453  ax-rnegex 10454  ax-rrecex 10455  ax-cnre 10456  ax-pre-lttri 10457  ax-pre-lttrn 10458  ax-pre-ltadd 10459  ax-pre-mulgt0 10460
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rmo 3113  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-tp 4477  df-op 4479  df-uni 4746  df-iun 4827  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-tr 5064  df-id 5348  df-eprel 5353  df-po 5362  df-so 5363  df-fr 5402  df-we 5404  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-pred 6023  df-ord 6069  df-on 6070  df-lim 6071  df-suc 6072  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-riota 6977  df-ov 7019  df-oprab 7020  df-mpo 7021  df-om 7437  df-1st 7545  df-2nd 7546  df-wrecs 7798  df-recs 7860  df-rdg 7898  df-er 8139  df-en 8358  df-dom 8359  df-sdom 8360  df-pnf 10523  df-mnf 10524  df-xr 10525  df-ltxr 10526  df-le 10527  df-sub 10719  df-neg 10720  df-nn 11487  df-n0 11746  df-z 11830  df-uz 12094  df-fz 12743  df-seq 13220  df-s1 13794  df-0g 16544  df-gsum 16545
This theorem is referenced by:  gsumws2  17818  gsumccatsn  17819  gsumwspan  17822  frmdgsum  17838  frmdup2  17841  gsumwrev  18235  psgnunilem5  18353  psgnpmtr  18369  frgpup2  18629  cyc3genpmlem  30431  mrsubcv  32365  gsumws3  40035  gsumws4  40036
  Copyright terms: Public domain W3C validator