MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hauslly Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hauslly 22794
Description: A Hausdorff space is locally Hausdorff. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
hauslly (𝐽 ∈ Haus → 𝐽 ∈ Locally Haus)

Proof of Theorem hauslly
Dummy variables 𝑗 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 resthaus 22670 . . . . 5 ((𝑗 ∈ Haus ∧ 𝑥𝑗) → (𝑗t 𝑥) ∈ Haus)
21adantl 482 . . . 4 ((⊤ ∧ (𝑗 ∈ Haus ∧ 𝑥𝑗)) → (𝑗t 𝑥) ∈ Haus)
3 haustop 22633 . . . . . 6 (𝑗 ∈ Haus → 𝑗 ∈ Top)
43ssriv 3946 . . . . 5 Haus ⊆ Top
54a1i 11 . . . 4 (⊤ → Haus ⊆ Top)
62, 5restlly 22785 . . 3 (⊤ → Haus ⊆ Locally Haus)
76mptru 1548 . 2 Haus ⊆ Locally Haus
87sseli 3938 1 (𝐽 ∈ Haus → 𝐽 ∈ Locally Haus)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  wtru 1542  wcel 2106  wss 3908  (class class class)co 7351  t crest 17261  Topctop 22193  Hauscha 22610  Locally clly 22766
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7664
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-int 4906  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-ov 7354  df-oprab 7355  df-mpo 7356  df-om 7795  df-1st 7913  df-2nd 7914  df-map 8725  df-en 8842  df-fin 8845  df-fi 9305  df-rest 17263  df-topgen 17284  df-top 22194  df-topon 22211  df-bases 22247  df-cn 22529  df-haus 22617  df-lly 22768
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator