Theorem hauslly 22551

Description: A Hausdorff space is locally Hausdorff. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
hauslly	⊢ (𝐽 ∈ Haus → 𝐽 ∈ Locally Haus)

Proof of Theorem hauslly

Dummy variables 𝑗 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resthaus 22427	. . . . 5 ⊢ ((𝑗 ∈ Haus ∧ 𝑥 ∈ 𝑗) → (𝑗 ↾t 𝑥) ∈ Haus)
2	1	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑗 ∈ Haus ∧ 𝑥 ∈ 𝑗)) → (𝑗 ↾t 𝑥) ∈ Haus)
3		haustop 22390	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 ∈ Haus → 𝑗 ∈ Top)
4	3	ssriv 3921	. . . . 5 ⊢ Haus ⊆ Top
5	4	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → Haus ⊆ Top)
6	2, 5	restlly 22542	. . 3 ⊢ (⊤ → Haus ⊆ Locally Haus)
7	6	mptru 1546	. 2 ⊢ Haus ⊆ Locally Haus
8	7	sseli 3913	1 ⊢ (𝐽 ∈ Haus → 𝐽 ∈ Locally Haus)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395  ⊤wtru 1540   ∈ wcel 2108   ⊆ wss 3883  (class class class)co 7255   ↾_t crest 17048  Topctop 21950  Hauscha 22367  Locally clly 22523

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-map 8575  df-en 8692  df-fin 8695  df-fi 9100  df-rest 17050  df-topgen 17071  df-top 21951  df-topon 21968  df-bases 22004  df-cn 22286  df-haus 22374  df-lly 22525

This theorem is referenced by: (None)