Theorem hauslly 23758

Description: A Hausdorff space is locally Hausdorff. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
hauslly	⊢ (𝐽 ∈ Haus → 𝐽 ∈ Locally Haus)

Proof of Theorem hauslly

Dummy variables 𝑗 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resthaus 23633	. . . . 5 ⊢ ((𝑗 ∈ Haus ∧ 𝑥 ∈ 𝑗) → (𝑗 ↾t 𝑥) ∈ Haus)
2	1	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑗 ∈ Haus ∧ 𝑥 ∈ 𝑗)) → (𝑗 ↾t 𝑥) ∈ Haus)
3		haustop 23596	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 ∈ Haus → 𝑗 ∈ Top)
4	3	ssriv 3935	. . . . 5 ⊢ Haus ⊆ Top
5	4	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → Haus ⊆ Top)
6	2, 5	restlly 23749	. . 3 ⊢ (⊤ → Haus ⊆ Locally Haus)
7	6	mptru 1577	. 2 ⊢ Haus ⊆ Locally Haus
8	7	sseli 3927	1 ⊢ (𝐽 ∈ Haus → 𝐽 ∈ Locally Haus)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401  ⊤wtru 1571   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3899  (class class class)co 7409   ↾_t crest 17538  Topctop 23158  Hauscha 23573  Locally clly 23730

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7735

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6530  df-fn 6531  df-f 6532  df-f1 6533  df-fo 6534  df-f1o 6535  df-fv 6536  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-map 8828  df-en 8953  df-fin 8956  df-fi 9381  df-rest 17540  df-topgen 17561  df-top 23159  df-topon 23176  df-bases 23211  df-cn 23492  df-haus 23580  df-lly 23732

This theorem is used by: (None)