Theorem hausnlly 23824

Description: A Hausdorff space is n-locally Hausdorff iff it is locally Hausdorff (both notions are thus referred to as "locally Hausdorff"). (Contributed by Mario Carneiro, 2-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
hausnlly	⊢ (𝐽 ∈ 𝑛-Locally Haus ↔ 𝐽 ∈ Locally Haus)

Proof of Theorem hausnlly

Dummy variables 𝑗 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resthaus 23698	. . . . 5 ⊢ ((𝑗 ∈ Haus ∧ 𝑥 ∈ 𝑗) → (𝑗 ↾t 𝑥) ∈ Haus)
2	1	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑗 ∈ Haus ∧ 𝑥 ∈ 𝑗)) → (𝑗 ↾t 𝑥) ∈ Haus)
3	2	restnlly 23813	. . 3 ⊢ (⊤ → 𝑛-Locally Haus = Locally Haus)
4	3	mptru 1576	. 2 ⊢ 𝑛-Locally Haus = Locally Haus
5	4	eleq2i 2855	1 ⊢ (𝐽 ∈ 𝑛-Locally Haus ↔ 𝐽 ∈ Locally Haus)

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569  ⊤wtru 1570   ∈ wcel 2146  (class class class)co 7427   ↾_t crest 17603  Hauscha 23638  Locally clly 23795  𝑛-Locally cnlly 23796

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5262  ax-pow 5330  ax-pr 5394  ax-un 7758

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3455  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-ss 3900  df-pss 4016  df-dif 4049  df-in 4093  df-un 4153  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4838  df-uni 4870  df-int 4910  df-iun 4955  df-br 5106  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5549  df-eprel 5554  df-po 5562  df-so 5563  df-fr 5607  df-we 5609  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6500  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-ov 7430  df-oprab 7431  df-mpo 7432  df-om 7885  df-1st 8008  df-2nd 8009  df-map 8860  df-en 8985  df-fin 8988  df-fi 9413  df-rest 17605  df-topgen 17626  df-top 23224  df-topon 23241  df-bases 23276  df-nei 23428  df-cn 23557  df-haus 23645  df-lly 23797  df-nlly 23798

This theorem is used by: (None)