Theorem axhvmul0-zf 31016

Description: Derive Axiom ax-hvmul0 31034 from Hilbert space under ZF set theory. (Contributed by NM, 31-May-2008.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
axhil.1	⊢ 𝑈 = ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩
axhil.2	⊢ 𝑈 ∈ CHilOLD

Assertion

Ref	Expression
axhvmul0-zf	⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (0 ·ℎ 𝐴) = 0ℎ)

Proof of Theorem axhvmul0-zf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axhil.2	. 2 ⊢ 𝑈 ∈ CHilOLD
2		df-hba 30993	. . . 4 ⊢ ℋ = (BaseSet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩)
3		axhil.1	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩
4	3	fveq2i 6835	. . . 4 ⊢ (BaseSet‘𝑈) = (BaseSet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩)
5	2, 4	eqtr4i 2760	. . 3 ⊢ ℋ = (BaseSet‘𝑈)
6	1	hlnvi 30916	. . . 4 ⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
7	3, 6	h2hsm 30999	. . 3 ⊢ ·ℎ = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
8		df-h0v 30994	. . . 4 ⊢ 0ℎ = (0vec‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩)
9	3	fveq2i 6835	. . . 4 ⊢ (0vec‘𝑈) = (0vec‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩)
10	8, 9	eqtr4i 2760	. . 3 ⊢ 0ℎ = (0vec‘𝑈)
11	5, 7, 10	hlmul0 30933	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ CHilOLD ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (0 ·ℎ 𝐴) = 0ℎ)
12	1, 11	mpan 690	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (0 ·ℎ 𝐴) = 0ℎ)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ⟨cop 4584  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356  0cc0 11024  BaseSetcba 30610  0_veccn0v 30612  CHil_OLDchlo 30909   ℋchba 30943   +_ℎ cva 30944   ·_ℎ csm 30945  norm_ℎcno 30947  0_ℎc0v 30948

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-id 5517  df-po 5530  df-so 5531  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-er 8633  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-ltxr 11169  df-grpo 30517  df-gid 30518  df-ginv 30519  df-ablo 30569  df-vc 30583  df-nv 30616  df-va 30619  df-ba 30620  df-sm 30621  df-0v 30622  df-nmcv 30624  df-cbn 30887  df-hlo 30910  df-hba 30993  df-h0v 30994

This theorem is referenced by: (None)