Theorem axhvmul0-zf 29490

Description: Derive Axiom ax-hvmul0 29508 from Hilbert space under ZF set theory. (Contributed by NM, 31-May-2008.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
axhil.1	⊢ 𝑈 = ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩
axhil.2	⊢ 𝑈 ∈ CHilOLD

Assertion

Ref	Expression
axhvmul0-zf	⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (0 ·ℎ 𝐴) = 0ℎ)

Proof of Theorem axhvmul0-zf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axhil.2	. 2 ⊢ 𝑈 ∈ CHilOLD
2		df-hba 29467	. . . 4 ⊢ ℋ = (BaseSet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩)
3		axhil.1	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩
4	3	fveq2i 6815	. . . 4 ⊢ (BaseSet‘𝑈) = (BaseSet‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩)
5	2, 4	eqtr4i 2768	. . 3 ⊢ ℋ = (BaseSet‘𝑈)
6	1	hlnvi 29390	. . . 4 ⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
7	3, 6	h2hsm 29473	. . 3 ⊢ ·ℎ = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
8		df-h0v 29468	. . . 4 ⊢ 0ℎ = (0vec‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩)
9	3	fveq2i 6815	. . . 4 ⊢ (0vec‘𝑈) = (0vec‘⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩)
10	8, 9	eqtr4i 2768	. . 3 ⊢ 0ℎ = (0vec‘𝑈)
11	5, 7, 10	hlmul0 29407	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ CHilOLD ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (0 ·ℎ 𝐴) = 0ℎ)
12	1, 11	mpan 687	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (0 ·ℎ 𝐴) = 0ℎ)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  ⟨cop 4577  ‘cfv 6466  (class class class)co 7317  0cc0 10951  BaseSetcba 29084  0_veccn0v 29086  CHil_OLDchlo 29383   ℋchba 29417   +_ℎ cva 29418   ·_ℎ csm 29419  norm_ℎcno 29421  0_ℎc0v 29422

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5238  ax-nul 5245  ax-pow 5303  ax-pr 5367  ax-un 7630  ax-resscn 11008  ax-1cn 11009  ax-icn 11010  ax-addcl 11011  ax-addrcl 11012  ax-mulcl 11013  ax-mulrcl 11014  ax-mulcom 11015  ax-addass 11016  ax-mulass 11017  ax-distr 11018  ax-i2m1 11019  ax-1ne0 11020  ax-1rid 11021  ax-rnegex 11022  ax-rrecex 11023  ax-cnre 11024  ax-pre-lttri 11025  ax-pre-lttrn 11026  ax-pre-ltadd 11027

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3443  df-sbc 3727  df-csb 3843  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4268  df-if 4472  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4851  df-iun 4939  df-br 5088  df-opab 5150  df-mpt 5171  df-id 5507  df-po 5521  df-so 5522  df-xp 5614  df-rel 5615  df-cnv 5616  df-co 5617  df-dm 5618  df-rn 5619  df-res 5620  df-ima 5621  df-iota 6418  df-fun 6468  df-fn 6469  df-f 6470  df-f1 6471  df-fo 6472  df-f1o 6473  df-fv 6474  df-riota 7274  df-ov 7320  df-oprab 7321  df-1st 7878  df-2nd 7879  df-er 8548  df-en 8784  df-dom 8785  df-sdom 8786  df-pnf 11091  df-mnf 11092  df-ltxr 11094  df-grpo 28991  df-gid 28992  df-ginv 28993  df-ablo 29043  df-vc 29057  df-nv 29090  df-va 29093  df-ba 29094  df-sm 29095  df-0v 29096  df-nmcv 29098  df-cbn 29361  df-hlo 29384  df-hba 29467  df-h0v 29468

This theorem is referenced by: (None)