Theorem normneg 31657

Description: The norm of a vector equals the norm of its negative. (Contributed by NM, 23-May-2005.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
normneg	⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (normℎ‘(-1 ·ℎ 𝐴)) = (normℎ‘𝐴))

Proof of Theorem normneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-hv0cl 31516	. . 3 ⊢ 0ℎ ∈ ℋ
2		normsub 31656	. . 3 ⊢ ((0ℎ ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (normℎ‘(0ℎ −ℎ 𝐴)) = (normℎ‘(𝐴 −ℎ 0ℎ)))
3	1, 2	mpan 703	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (normℎ‘(0ℎ −ℎ 𝐴)) = (normℎ‘(𝐴 −ℎ 0ℎ)))
4		hv2neg 31541	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (0ℎ −ℎ 𝐴) = (-1 ·ℎ 𝐴))
5	4	fveq2d 6885	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (normℎ‘(0ℎ −ℎ 𝐴)) = (normℎ‘(-1 ·ℎ 𝐴)))
6		hvsub0 31589	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (𝐴 −ℎ 0ℎ) = 𝐴)
7	6	fveq2d 6885	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (normℎ‘(𝐴 −ℎ 0ℎ)) = (normℎ‘𝐴))
8	3, 5, 7	3eqtr3d 2803	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (normℎ‘(-1 ·ℎ 𝐴)) = (normℎ‘𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6535  (class class class)co 7416  1c1 11150  -cneg 11491   ℋchba 31432   ·_ℎ csm 31434  norm_ℎcno 31436  0_ℎc0v 31437   −_ℎ cmv 31438

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7742  ax-cnex 11205  ax-resscn 11206  ax-1cn 11207  ax-icn 11208  ax-addcl 11209  ax-addrcl 11210  ax-mulcl 11211  ax-mulrcl 11212  ax-mulcom 11213  ax-addass 11214  ax-mulass 11215  ax-distr 11216  ax-i2m1 11217  ax-1ne0 11218  ax-1rid 11219  ax-rnegex 11220  ax-rrecex 11221  ax-cnre 11222  ax-pre-lttri 11223  ax-pre-lttrn 11224  ax-pre-ltadd 11225  ax-pre-mulgt0 11226  ax-pre-sup 11227  ax-hfvadd 31513  ax-hvcom 31514  ax-hv0cl 31516  ax-hvaddid 31517  ax-hfvmul 31518  ax-hvmulid 31519  ax-hvmulass 31520  ax-hvdistr1 31521  ax-hvmul0 31523  ax-hfi 31592  ax-his1 31595  ax-his3 31597  ax-his4 31598

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6301  df-ord 6362  df-on 6363  df-lim 6364  df-suc 6365  df-iota 6491  df-fun 6537  df-fn 6538  df-f 6539  df-f1 6540  df-fo 6541  df-f1o 6542  df-fv 6543  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-2nd 7993  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8365  df-rdg 8404  df-er 8703  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-sup 9419  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11921  df-nn 12283  df-2 12352  df-3 12353  df-n0 12554  df-z 12641  df-uz 12913  df-rp 13068  df-seq 14091  df-exp 14151  df-cj 15211  df-re 15212  df-im 15213  df-sqrt 15347  df-abs 15348  df-hnorm 31481  df-hvsub 31484

This theorem is used by:  nmopnegi  32478  cdj3lem1  32947