Theorem normneg 31234

Description: The norm of a vector equals the norm of its negative. (Contributed by NM, 23-May-2005.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
normneg	⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (normℎ‘(-1 ·ℎ 𝐴)) = (normℎ‘𝐴))

Proof of Theorem normneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-hv0cl 31093	. . 3 ⊢ 0ℎ ∈ ℋ
2		normsub 31233	. . 3 ⊢ ((0ℎ ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (normℎ‘(0ℎ −ℎ 𝐴)) = (normℎ‘(𝐴 −ℎ 0ℎ)))
3	1, 2	mpan 696	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (normℎ‘(0ℎ −ℎ 𝐴)) = (normℎ‘(𝐴 −ℎ 0ℎ)))
4		hv2neg 31118	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (0ℎ −ℎ 𝐴) = (-1 ·ℎ 𝐴))
5	4	fveq2d 6832	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (normℎ‘(0ℎ −ℎ 𝐴)) = (normℎ‘(-1 ·ℎ 𝐴)))
6		hvsub0 31166	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (𝐴 −ℎ 0ℎ) = 𝐴)
7	6	fveq2d 6832	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (normℎ‘(𝐴 −ℎ 0ℎ)) = (normℎ‘𝐴))
8	3, 5, 7	3eqtr3d 2782	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (normℎ‘(-1 ·ℎ 𝐴)) = (normℎ‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ‘cfv 6486  (class class class)co 7357  1c1 11031  -cneg 11370   ℋchba 31009   ·_ℎ csm 31011  norm_ℎcno 31013  0_ℎc0v 31014   −_ℎ cmv 31015

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5219  ax-nul 5229  ax-pow 5295  ax-pr 5363  ax-un 7679  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107  ax-pre-sup 11108  ax-hfvadd 31090  ax-hvcom 31091  ax-hv0cl 31093  ax-hvaddid 31094  ax-hfvmul 31095  ax-hvmulid 31096  ax-hvmulass 31097  ax-hvdistr1 31098  ax-hvmul0 31100  ax-hfi 31169  ax-his1 31172  ax-his3 31174  ax-his4 31175

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4263  df-if 4456  df-pw 4532  df-sn 4557  df-pr 4559  df-op 4563  df-uni 4840  df-iun 4924  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5155  df-tr 5181  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7314  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7808  df-2nd 7933  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-er 8634  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-sup 9346  df-pnf 11173  df-mnf 11174  df-xr 11175  df-ltxr 11176  df-le 11177  df-sub 11371  df-neg 11372  df-div 11800  df-nn 12167  df-2 12236  df-3 12237  df-n0 12430  df-z 12517  df-uz 12781  df-rp 12935  df-seq 13956  df-exp 14016  df-cj 15053  df-re 15054  df-im 15055  df-sqrt 15189  df-abs 15190  df-hnorm 31058  df-hvsub 31061

This theorem is referenced by:  nmopnegi  32055  cdj3lem1  32524