MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  icccntri Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem icccntri 13529
Description: Membership in a contracted interval. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Hypotheses
Ref Expression
icccntri.1 𝐴 ∈ ℝ
icccntri.2 𝐵 ∈ ℝ
icccntri.3 𝑅 ∈ ℝ+
icccntri.4 (𝐴 / 𝑅) = 𝐶
icccntri.5 (𝐵 / 𝑅) = 𝐷
Assertion
Ref Expression
icccntri (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) → (𝑋 / 𝑅) ∈ (𝐶[,]𝐷))

Proof of Theorem icccntri
StepHypRef Expression
1 icccntri.1 . . . 4 𝐴 ∈ ℝ
2 icccntri.2 . . . 4 𝐵 ∈ ℝ
3 iccssre 13465 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
41, 2, 3mp2an 692 . . 3 (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ
54sseli 3990 . 2 (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) → 𝑋 ∈ ℝ)
6 icccntri.3 . . . 4 𝑅 ∈ ℝ+
7 icccntri.4 . . . . . 6 (𝐴 / 𝑅) = 𝐶
8 icccntri.5 . . . . . 6 (𝐵 / 𝑅) = 𝐷
97, 8icccntr 13528 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+)) → (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑋 / 𝑅) ∈ (𝐶[,]𝐷)))
101, 2, 9mpanl12 702 . . . 4 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑋 / 𝑅) ∈ (𝐶[,]𝐷)))
116, 10mpan2 691 . . 3 (𝑋 ∈ ℝ → (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑋 / 𝑅) ∈ (𝐶[,]𝐷)))
1211biimpd 229 . 2 (𝑋 ∈ ℝ → (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) → (𝑋 / 𝑅) ∈ (𝐶[,]𝐷)))
135, 12mpcom 38 1 (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) → (𝑋 / 𝑅) ∈ (𝐶[,]𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1536  wcel 2105  wss 3962  (class class class)co 7430  cr 11151   / cdiv 11917  +crp 13031  [,]cicc 13386
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5582  df-po 5596  df-so 5597  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-rp 13032  df-icc 13390
This theorem is referenced by:  pcoass  25070
  Copyright terms: Public domain W3C validator