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Theorem iccf1o 12874

Description: Describe a bijection from [0, 1] to an arbitrary nontrivial closed interval [𝐴, 𝐵]. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2015.)

**Hypothesis**
Ref	Expression
iccf1o.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑥 · 𝐵) + ((1 − 𝑥) · 𝐴)))

**Assertion**
Ref	Expression
iccf1o	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐹:(0[,]1)–1-1-onto→(𝐴[,]𝐵) ∧ ^◡𝐹 = (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((𝑦 − 𝐴) / (𝐵 − 𝐴)))))

Distinct variable groups: 𝑥,𝑦,𝐴 𝑥,𝐵,𝑦 Allowed substitution hints: 𝐹(𝑥,𝑦)

**Proof of Theorem iccf1o**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		iccf1o.1	. 2 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑥 · 𝐵) + ((1 − 𝑥) · 𝐴)))
2		elicc01 12844	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,]1) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 1))
3	2	simp1bi 1142	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,]1) → 𝑥 ∈ ℝ)
4	3	adantl 485	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → 𝑥 ∈ ℝ)
5	4	recnd 10658	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → 𝑥 ∈ ℂ)
6		simpl2 1189	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → 𝐵 ∈ ℝ)
7	6	recnd 10658	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → 𝐵 ∈ ℂ)
8	5, 7	mulcld 10650	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → (𝑥 · 𝐵) ∈ ℂ)
9		ax-1cn 10584	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℂ
10		subcl 10874	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (1 − 𝑥) ∈ ℂ)
11	9, 5, 10	sylancr 590	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → (1 − 𝑥) ∈ ℂ)
12		simpl1 1188	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → 𝐴 ∈ ℝ)
13	12	recnd 10658	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → 𝐴 ∈ ℂ)
14	11, 13	mulcld 10650	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → ((1 − 𝑥) · 𝐴) ∈ ℂ)
15	8, 14	addcomd 10831	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → ((𝑥 · 𝐵) + ((1 − 𝑥) · 𝐴)) = (((1 − 𝑥) · 𝐴) + (𝑥 · 𝐵)))
16		lincmb01cmp 12873	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → (((1 − 𝑥) · 𝐴) + (𝑥 · 𝐵)) ∈ (𝐴[,]𝐵))
17	15, 16	eqeltrd 2890	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → ((𝑥 · 𝐵) + ((1 − 𝑥) · 𝐴)) ∈ (𝐴[,]𝐵))
18		simpr 488	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))
19		simpl1 1188	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
20		simpl2 1189	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
21		elicc2 12790	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ 𝐵)))
22	21	3adant3 1129	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ 𝐵)))
23	22	biimpa 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ 𝐵))
24	23	simp1d 1139	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑦 ∈ ℝ)
25		eqid 2798	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 − 𝐴) = (𝐴 − 𝐴)
26		eqid 2798	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 − 𝐴) = (𝐵 − 𝐴)
27	25, 26	iccshftl 12866	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ)) → (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑦 − 𝐴) ∈ ((𝐴 − 𝐴)[,](𝐵 − 𝐴))))
28	19, 20, 24, 19, 27	syl22anc 837	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑦 − 𝐴) ∈ ((𝐴 − 𝐴)[,](𝐵 − 𝐴))))
29	18, 28	mpbid 235	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑦 − 𝐴) ∈ ((𝐴 − 𝐴)[,](𝐵 − 𝐴)))
30	24, 19	resubcld 11057	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑦 − 𝐴) ∈ ℝ)
31	30	recnd 10658	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑦 − 𝐴) ∈ ℂ)
32		difrp 12415	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ⁺))
33	32	biimp3a 1466	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ⁺)
34	33	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ⁺)
35	34	rpcnd 12421	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℂ)
36	34	rpne0d 12424	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐵 − 𝐴) ≠ 0)
37	31, 35, 36	divcan1d 11406	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (((𝑦 − 𝐴) / (𝐵 − 𝐴)) · (𝐵 − 𝐴)) = (𝑦 − 𝐴))
38	35	mul02d 10827	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (0 · (𝐵 − 𝐴)) = 0)
39	19	recnd 10658	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴 ∈ ℂ)
40	39	subidd 10974	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐴 − 𝐴) = 0)
41	38, 40	eqtr4d 2836	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (0 · (𝐵 − 𝐴)) = (𝐴 − 𝐴))
42	35	mulid2d 10648	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (1 · (𝐵 − 𝐴)) = (𝐵 − 𝐴))
43	41, 42	oveq12d 7153	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((0 · (𝐵 − 𝐴))[,](1 · (𝐵 − 𝐴))) = ((𝐴 − 𝐴)[,](𝐵 − 𝐴)))
44	29, 37, 43	3eltr4d 2905	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (((𝑦 − 𝐴) / (𝐵 − 𝐴)) · (𝐵 − 𝐴)) ∈ ((0 · (𝐵 − 𝐴))[,](1 · (𝐵 − 𝐴))))
45		0red 10633	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 0 ∈ ℝ)
46		1red 10631	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 1 ∈ ℝ)
47	30, 34	rerpdivcld 12450	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((𝑦 − 𝐴) / (𝐵 − 𝐴)) ∈ ℝ)
48		eqid 2798	. . . . 5 ⊢ (0 · (𝐵 − 𝐴)) = (0 · (𝐵 − 𝐴))
49		eqid 2798	. . . . 5 ⊢ (1 · (𝐵 − 𝐴)) = (1 · (𝐵 − 𝐴))
50	48, 49	iccdil 12868	. . . 4 ⊢ (((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) ∧ (((𝑦 − 𝐴) / (𝐵 − 𝐴)) ∈ ℝ ∧ (𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ⁺)) → (((𝑦 − 𝐴) / (𝐵 − 𝐴)) ∈ (0[,]1) ↔ (((𝑦 − 𝐴) / (𝐵 − 𝐴)) · (𝐵 − 𝐴)) ∈ ((0 · (𝐵 − 𝐴))[,](1 · (𝐵 − 𝐴)))))
51	45, 46, 47, 34, 50	syl22anc 837	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (((𝑦 − 𝐴) / (𝐵 − 𝐴)) ∈ (0[,]1) ↔ (((𝑦 − 𝐴) / (𝐵 − 𝐴)) · (𝐵 − 𝐴)) ∈ ((0 · (𝐵 − 𝐴))[,](1 · (𝐵 − 𝐴)))))
52	44, 51	mpbird 260	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((𝑦 − 𝐴) / (𝐵 − 𝐴)) ∈ (0[,]1))
53		eqcom 2805	. . . 4 ⊢ (𝑥 = ((𝑦 − 𝐴) / (𝐵 − 𝐴)) ↔ ((𝑦 − 𝐴) / (𝐵 − 𝐴)) = 𝑥)
54	31	adantrl 715	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (𝑦 − 𝐴) ∈ ℂ)
55	5	adantrr 716	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → 𝑥 ∈ ℂ)
56	35	adantrl 715	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℂ)
57	36	adantrl 715	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (𝐵 − 𝐴) ≠ 0)
58	54, 55, 56, 57	divmul3d 11439	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (((𝑦 − 𝐴) / (𝐵 − 𝐴)) = 𝑥 ↔ (𝑦 − 𝐴) = (𝑥 · (𝐵 − 𝐴))))
59	53, 58	syl5bb 286	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (𝑥 = ((𝑦 − 𝐴) / (𝐵 − 𝐴)) ↔ (𝑦 − 𝐴) = (𝑥 · (𝐵 − 𝐴))))
60	24	adantrl 715	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → 𝑦 ∈ ℝ)
61	60	recnd 10658	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → 𝑦 ∈ ℂ)
62	39	adantrl 715	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → 𝐴 ∈ ℂ)
63	6, 12	resubcld 11057	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ)
64	4, 63	remulcld 10660	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → (𝑥 · (𝐵 − 𝐴)) ∈ ℝ)
65	64	adantrr 716	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (𝑥 · (𝐵 − 𝐴)) ∈ ℝ)
66	65	recnd 10658	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (𝑥 · (𝐵 − 𝐴)) ∈ ℂ)
67	61, 62, 66	subadd2d 11005	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → ((𝑦 − 𝐴) = (𝑥 · (𝐵 − 𝐴)) ↔ ((𝑥 · (𝐵 − 𝐴)) + 𝐴) = 𝑦))
68		eqcom 2805	. . . 4 ⊢ (((𝑥 · (𝐵 − 𝐴)) + 𝐴) = 𝑦 ↔ 𝑦 = ((𝑥 · (𝐵 − 𝐴)) + 𝐴))
69	67, 68	syl6bb 290	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → ((𝑦 − 𝐴) = (𝑥 · (𝐵 − 𝐴)) ↔ 𝑦 = ((𝑥 · (𝐵 − 𝐴)) + 𝐴)))
70	5, 13	mulcld 10650	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → (𝑥 · 𝐴) ∈ ℂ)
71	8, 70, 13	subadd23d 11008	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → (((𝑥 · 𝐵) − (𝑥 · 𝐴)) + 𝐴) = ((𝑥 · 𝐵) + (𝐴 − (𝑥 · 𝐴))))
72	5, 7, 13	subdid 11085	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → (𝑥 · (𝐵 − 𝐴)) = ((𝑥 · 𝐵) − (𝑥 · 𝐴)))
73	72	oveq1d 7150	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → ((𝑥 · (𝐵 − 𝐴)) + 𝐴) = (((𝑥 · 𝐵) − (𝑥 · 𝐴)) + 𝐴))
74		1cnd 10625	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → 1 ∈ ℂ)
75	74, 5, 13	subdird 11086	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → ((1 − 𝑥) · 𝐴) = ((1 · 𝐴) − (𝑥 · 𝐴)))
76	13	mulid2d 10648	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → (1 · 𝐴) = 𝐴)
77	76	oveq1d 7150	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → ((1 · 𝐴) − (𝑥 · 𝐴)) = (𝐴 − (𝑥 · 𝐴)))
78	75, 77	eqtrd 2833	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → ((1 − 𝑥) · 𝐴) = (𝐴 − (𝑥 · 𝐴)))
79	78	oveq2d 7151	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → ((𝑥 · 𝐵) + ((1 − 𝑥) · 𝐴)) = ((𝑥 · 𝐵) + (𝐴 − (𝑥 · 𝐴))))
80	71, 73, 79	3eqtr4d 2843	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → ((𝑥 · (𝐵 − 𝐴)) + 𝐴) = ((𝑥 · 𝐵) + ((1 − 𝑥) · 𝐴)))
81	80	adantrr 716	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → ((𝑥 · (𝐵 − 𝐴)) + 𝐴) = ((𝑥 · 𝐵) + ((1 − 𝑥) · 𝐴)))
82	81	eqeq2d 2809	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (𝑦 = ((𝑥 · (𝐵 − 𝐴)) + 𝐴) ↔ 𝑦 = ((𝑥 · 𝐵) + ((1 − 𝑥) · 𝐴))))
83	59, 69, 82	3bitrd 308	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (𝑥 = ((𝑦 − 𝐴) / (𝐵 − 𝐴)) ↔ 𝑦 = ((𝑥 · 𝐵) + ((1 − 𝑥) · 𝐴))))
84	1, 17, 52, 83	f1ocnv2d 7378	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐹:(0[,]1)–1-1-onto→(𝐴[,]𝐵) ∧ ^◡𝐹 = (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((𝑦 − 𝐴) / (𝐵 − 𝐴)))))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 209 ∧ wa 399 ∧ w3a 1084 = wceq 1538 ∈ wcel 2111 ≠ wne 2987 class class class wbr 5030 ↦ cmpt 5110 ^◡ccnv 5518 –1-1-onto→wf1o 6323 (class class class)co 7135 ℂcc 10524 ℝcr 10525 0cc0 10526 1c1 10527 + caddc 10529 · cmul 10531 < clt 10664 ≤ cle 10665 − cmin 10859 / cdiv 11286 ℝ⁺crp 12377 [,]cicc 12729

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1797 ax-4 1811 ax-5 1911 ax-6 1970 ax-7 2015 ax-8 2113 ax-9 2121 ax-10 2142 ax-11 2158 ax-12 2175 ax-ext 2770 ax-sep 5167 ax-nul 5174 ax-pow 5231 ax-pr 5295 ax-un 7441 ax-cnex 10582 ax-resscn 10583 ax-1cn 10584 ax-icn 10585 ax-addcl 10586 ax-addrcl 10587 ax-mulcl 10588 ax-mulrcl 10589 ax-mulcom 10590 ax-addass 10591 ax-mulass 10592 ax-distr 10593 ax-i2m1 10594 ax-1ne0 10595 ax-1rid 10596 ax-rnegex 10597 ax-rrecex 10598 ax-cnre 10599 ax-pre-lttri 10600 ax-pre-lttrn 10601 ax-pre-ltadd 10602 ax-pre-mulgt0 10603

This theorem depends on definitions: df-bi 210 df-an 400 df-or 845 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1541 df-ex 1782 df-nf 1786 df-sb 2070 df-mo 2598 df-eu 2629 df-clab 2777 df-cleq 2791 df-clel 2870 df-nfc 2938 df-ne 2988 df-nel 3092 df-ral 3111 df-rex 3112 df-reu 3113 df-rmo 3114 df-rab 3115 df-v 3443 df-sbc 3721 df-csb 3829 df-dif 3884 df-un 3886 df-in 3888 df-ss 3898 df-nul 4244 df-if 4426 df-pw 4499 df-sn 4526 df-pr 4528 df-op 4532 df-uni 4801 df-br 5031 df-opab 5093 df-mpt 5111 df-id 5425 df-po 5438 df-so 5439 df-xp 5525 df-rel 5526 df-cnv 5527 df-co 5528 df-dm 5529 df-rn 5530 df-res 5531 df-ima 5532 df-iota 6283 df-fun 6326 df-fn 6327 df-f 6328 df-f1 6329 df-fo 6330 df-f1o 6331 df-fv 6332 df-riota 7093 df-ov 7138 df-oprab 7139 df-mpo 7140 df-er 8272 df-en 8493 df-dom 8494 df-sdom 8495 df-pnf 10666 df-mnf 10667 df-xr 10668 df-ltxr 10669 df-le 10670 df-sub 10861 df-neg 10862 df-div 11287 df-rp 12378 df-icc 12733

This theorem is referenced by: iccen 12875 icchmeo 23546

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