MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iccf1o Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iccf1o 13477
Description: Describe a bijection from [0, 1] to an arbitrary nontrivial closed interval [๐ด, ๐ต]. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
iccf1o.1 ๐น = (๐‘ฅ โˆˆ (0[,]1) โ†ฆ ((๐‘ฅ ยท ๐ต) + ((1 โˆ’ ๐‘ฅ) ยท ๐ด)))
Assertion
Ref Expression
iccf1o ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < ๐ต) โ†’ (๐น:(0[,]1)โ€“1-1-ontoโ†’(๐ด[,]๐ต) โˆง โ—ก๐น = (๐‘ฆ โˆˆ (๐ด[,]๐ต) โ†ฆ ((๐‘ฆ โˆ’ ๐ด) / (๐ต โˆ’ ๐ด)))))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐ด   ๐‘ฅ,๐ต,๐‘ฆ
Allowed substitution hints:   ๐น(๐‘ฅ,๐‘ฆ)

Proof of Theorem iccf1o
StepHypRef Expression
1 iccf1o.1 . 2 ๐น = (๐‘ฅ โˆˆ (0[,]1) โ†ฆ ((๐‘ฅ ยท ๐ต) + ((1 โˆ’ ๐‘ฅ) ยท ๐ด)))
2 elicc01 13447 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ โˆˆ (0[,]1) โ†” (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐‘ฅ โˆง ๐‘ฅ โ‰ค 1))
32simp1bi 1143 . . . . . . 7 (๐‘ฅ โˆˆ (0[,]1) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„)
43adantl 480 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < ๐ต) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (0[,]1)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„)
54recnd 11246 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < ๐ต) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (0[,]1)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
6 simpl2 1190 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < ๐ต) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (0[,]1)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
76recnd 11246 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < ๐ต) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (0[,]1)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
85, 7mulcld 11238 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < ๐ต) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (0[,]1)) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚)
9 ax-1cn 11170 . . . . . 6 1 โˆˆ โ„‚
10 subcl 11463 . . . . . 6 ((1 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚) โ†’ (1 โˆ’ ๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚)
119, 5, 10sylancr 585 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < ๐ต) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (0[,]1)) โ†’ (1 โˆ’ ๐‘ฅ) โˆˆ โ„‚)
12 simpl1 1189 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < ๐ต) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (0[,]1)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
1312recnd 11246 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < ๐ต) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (0[,]1)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
1411, 13mulcld 11238 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < ๐ต) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (0[,]1)) โ†’ ((1 โˆ’ ๐‘ฅ) ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚)
158, 14addcomd 11420 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < ๐ต) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (0[,]1)) โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐ต) + ((1 โˆ’ ๐‘ฅ) ยท ๐ด)) = (((1 โˆ’ ๐‘ฅ) ยท ๐ด) + (๐‘ฅ ยท ๐ต)))
16 lincmb01cmp 13476 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < ๐ต) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (0[,]1)) โ†’ (((1 โˆ’ ๐‘ฅ) ยท ๐ด) + (๐‘ฅ ยท ๐ต)) โˆˆ (๐ด[,]๐ต))
1715, 16eqeltrd 2831 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < ๐ต) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (0[,]1)) โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐ต) + ((1 โˆ’ ๐‘ฅ) ยท ๐ด)) โˆˆ (๐ด[,]๐ต))
18 simpr 483 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < ๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด[,]๐ต)) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด[,]๐ต))
19 simpl1 1189 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < ๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด[,]๐ต)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
20 simpl2 1190 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < ๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด[,]๐ต)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
21 elicc2 13393 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ (๐ด[,]๐ต) โ†” (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โ‰ค ๐‘ฆ โˆง ๐‘ฆ โ‰ค ๐ต)))
22213adant3 1130 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < ๐ต) โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ (๐ด[,]๐ต) โ†” (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โ‰ค ๐‘ฆ โˆง ๐‘ฆ โ‰ค ๐ต)))
2322biimpa 475 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < ๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด[,]๐ต)) โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โ‰ค ๐‘ฆ โˆง ๐‘ฆ โ‰ค ๐ต))
2423simp1d 1140 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < ๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด[,]๐ต)) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„)
25 eqid 2730 . . . . . . 7 (๐ด โˆ’ ๐ด) = (๐ด โˆ’ ๐ด)
26 eqid 2730 . . . . . . 7 (๐ต โˆ’ ๐ด) = (๐ต โˆ’ ๐ด)
2725, 26iccshftl 13469 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„)) โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ (๐ด[,]๐ต) โ†” (๐‘ฆ โˆ’ ๐ด) โˆˆ ((๐ด โˆ’ ๐ด)[,](๐ต โˆ’ ๐ด))))
2819, 20, 24, 19, 27syl22anc 835 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < ๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด[,]๐ต)) โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ (๐ด[,]๐ต) โ†” (๐‘ฆ โˆ’ ๐ด) โˆˆ ((๐ด โˆ’ ๐ด)[,](๐ต โˆ’ ๐ด))))
2918, 28mpbid 231 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < ๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด[,]๐ต)) โ†’ (๐‘ฆ โˆ’ ๐ด) โˆˆ ((๐ด โˆ’ ๐ด)[,](๐ต โˆ’ ๐ด)))
3024, 19resubcld 11646 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < ๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด[,]๐ต)) โ†’ (๐‘ฆ โˆ’ ๐ด) โˆˆ โ„)
3130recnd 11246 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < ๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด[,]๐ต)) โ†’ (๐‘ฆ โˆ’ ๐ด) โˆˆ โ„‚)
32 difrp 13016 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด < ๐ต โ†” (๐ต โˆ’ ๐ด) โˆˆ โ„+))
3332biimp3a 1467 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < ๐ต) โ†’ (๐ต โˆ’ ๐ด) โˆˆ โ„+)
3433adantr 479 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < ๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด[,]๐ต)) โ†’ (๐ต โˆ’ ๐ด) โˆˆ โ„+)
3534rpcnd 13022 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < ๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด[,]๐ต)) โ†’ (๐ต โˆ’ ๐ด) โˆˆ โ„‚)
3634rpne0d 13025 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < ๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด[,]๐ต)) โ†’ (๐ต โˆ’ ๐ด) โ‰  0)
3731, 35, 36divcan1d 11995 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < ๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด[,]๐ต)) โ†’ (((๐‘ฆ โˆ’ ๐ด) / (๐ต โˆ’ ๐ด)) ยท (๐ต โˆ’ ๐ด)) = (๐‘ฆ โˆ’ ๐ด))
3835mul02d 11416 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < ๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด[,]๐ต)) โ†’ (0 ยท (๐ต โˆ’ ๐ด)) = 0)
3919recnd 11246 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < ๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด[,]๐ต)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
4039subidd 11563 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < ๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด[,]๐ต)) โ†’ (๐ด โˆ’ ๐ด) = 0)
4138, 40eqtr4d 2773 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < ๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด[,]๐ต)) โ†’ (0 ยท (๐ต โˆ’ ๐ด)) = (๐ด โˆ’ ๐ด))
4235mullidd 11236 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < ๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด[,]๐ต)) โ†’ (1 ยท (๐ต โˆ’ ๐ด)) = (๐ต โˆ’ ๐ด))
4341, 42oveq12d 7429 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < ๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด[,]๐ต)) โ†’ ((0 ยท (๐ต โˆ’ ๐ด))[,](1 ยท (๐ต โˆ’ ๐ด))) = ((๐ด โˆ’ ๐ด)[,](๐ต โˆ’ ๐ด)))
4429, 37, 433eltr4d 2846 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < ๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด[,]๐ต)) โ†’ (((๐‘ฆ โˆ’ ๐ด) / (๐ต โˆ’ ๐ด)) ยท (๐ต โˆ’ ๐ด)) โˆˆ ((0 ยท (๐ต โˆ’ ๐ด))[,](1 ยท (๐ต โˆ’ ๐ด))))
45 0red 11221 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < ๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด[,]๐ต)) โ†’ 0 โˆˆ โ„)
46 1red 11219 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < ๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด[,]๐ต)) โ†’ 1 โˆˆ โ„)
4730, 34rerpdivcld 13051 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < ๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด[,]๐ต)) โ†’ ((๐‘ฆ โˆ’ ๐ด) / (๐ต โˆ’ ๐ด)) โˆˆ โ„)
48 eqid 2730 . . . . 5 (0 ยท (๐ต โˆ’ ๐ด)) = (0 ยท (๐ต โˆ’ ๐ด))
49 eqid 2730 . . . . 5 (1 ยท (๐ต โˆ’ ๐ด)) = (1 ยท (๐ต โˆ’ ๐ด))
5048, 49iccdil 13471 . . . 4 (((0 โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„) โˆง (((๐‘ฆ โˆ’ ๐ด) / (๐ต โˆ’ ๐ด)) โˆˆ โ„ โˆง (๐ต โˆ’ ๐ด) โˆˆ โ„+)) โ†’ (((๐‘ฆ โˆ’ ๐ด) / (๐ต โˆ’ ๐ด)) โˆˆ (0[,]1) โ†” (((๐‘ฆ โˆ’ ๐ด) / (๐ต โˆ’ ๐ด)) ยท (๐ต โˆ’ ๐ด)) โˆˆ ((0 ยท (๐ต โˆ’ ๐ด))[,](1 ยท (๐ต โˆ’ ๐ด)))))
5145, 46, 47, 34, 50syl22anc 835 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < ๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด[,]๐ต)) โ†’ (((๐‘ฆ โˆ’ ๐ด) / (๐ต โˆ’ ๐ด)) โˆˆ (0[,]1) โ†” (((๐‘ฆ โˆ’ ๐ด) / (๐ต โˆ’ ๐ด)) ยท (๐ต โˆ’ ๐ด)) โˆˆ ((0 ยท (๐ต โˆ’ ๐ด))[,](1 ยท (๐ต โˆ’ ๐ด)))))
5244, 51mpbird 256 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < ๐ต) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด[,]๐ต)) โ†’ ((๐‘ฆ โˆ’ ๐ด) / (๐ต โˆ’ ๐ด)) โˆˆ (0[,]1))
53 eqcom 2737 . . . 4 (๐‘ฅ = ((๐‘ฆ โˆ’ ๐ด) / (๐ต โˆ’ ๐ด)) โ†” ((๐‘ฆ โˆ’ ๐ด) / (๐ต โˆ’ ๐ด)) = ๐‘ฅ)
5431adantrl 712 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < ๐ต) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด[,]๐ต))) โ†’ (๐‘ฆ โˆ’ ๐ด) โˆˆ โ„‚)
555adantrr 713 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < ๐ต) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด[,]๐ต))) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
5635adantrl 712 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < ๐ต) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด[,]๐ต))) โ†’ (๐ต โˆ’ ๐ด) โˆˆ โ„‚)
5736adantrl 712 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < ๐ต) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด[,]๐ต))) โ†’ (๐ต โˆ’ ๐ด) โ‰  0)
5854, 55, 56, 57divmul3d 12028 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < ๐ต) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด[,]๐ต))) โ†’ (((๐‘ฆ โˆ’ ๐ด) / (๐ต โˆ’ ๐ด)) = ๐‘ฅ โ†” (๐‘ฆ โˆ’ ๐ด) = (๐‘ฅ ยท (๐ต โˆ’ ๐ด))))
5953, 58bitrid 282 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < ๐ต) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด[,]๐ต))) โ†’ (๐‘ฅ = ((๐‘ฆ โˆ’ ๐ด) / (๐ต โˆ’ ๐ด)) โ†” (๐‘ฆ โˆ’ ๐ด) = (๐‘ฅ ยท (๐ต โˆ’ ๐ด))))
6024adantrl 712 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < ๐ต) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด[,]๐ต))) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„)
6160recnd 11246 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < ๐ต) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด[,]๐ต))) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚)
6239adantrl 712 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < ๐ต) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด[,]๐ต))) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
636, 12resubcld 11646 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < ๐ต) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (0[,]1)) โ†’ (๐ต โˆ’ ๐ด) โˆˆ โ„)
644, 63remulcld 11248 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < ๐ต) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (0[,]1)) โ†’ (๐‘ฅ ยท (๐ต โˆ’ ๐ด)) โˆˆ โ„)
6564adantrr 713 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < ๐ต) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด[,]๐ต))) โ†’ (๐‘ฅ ยท (๐ต โˆ’ ๐ด)) โˆˆ โ„)
6665recnd 11246 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < ๐ต) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด[,]๐ต))) โ†’ (๐‘ฅ ยท (๐ต โˆ’ ๐ด)) โˆˆ โ„‚)
6761, 62, 66subadd2d 11594 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < ๐ต) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด[,]๐ต))) โ†’ ((๐‘ฆ โˆ’ ๐ด) = (๐‘ฅ ยท (๐ต โˆ’ ๐ด)) โ†” ((๐‘ฅ ยท (๐ต โˆ’ ๐ด)) + ๐ด) = ๐‘ฆ))
68 eqcom 2737 . . . 4 (((๐‘ฅ ยท (๐ต โˆ’ ๐ด)) + ๐ด) = ๐‘ฆ โ†” ๐‘ฆ = ((๐‘ฅ ยท (๐ต โˆ’ ๐ด)) + ๐ด))
6967, 68bitrdi 286 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < ๐ต) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด[,]๐ต))) โ†’ ((๐‘ฆ โˆ’ ๐ด) = (๐‘ฅ ยท (๐ต โˆ’ ๐ด)) โ†” ๐‘ฆ = ((๐‘ฅ ยท (๐ต โˆ’ ๐ด)) + ๐ด)))
705, 13mulcld 11238 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < ๐ต) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (0[,]1)) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚)
718, 70, 13subadd23d 11597 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < ๐ต) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (0[,]1)) โ†’ (((๐‘ฅ ยท ๐ต) โˆ’ (๐‘ฅ ยท ๐ด)) + ๐ด) = ((๐‘ฅ ยท ๐ต) + (๐ด โˆ’ (๐‘ฅ ยท ๐ด))))
725, 7, 13subdid 11674 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < ๐ต) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (0[,]1)) โ†’ (๐‘ฅ ยท (๐ต โˆ’ ๐ด)) = ((๐‘ฅ ยท ๐ต) โˆ’ (๐‘ฅ ยท ๐ด)))
7372oveq1d 7426 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < ๐ต) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (0[,]1)) โ†’ ((๐‘ฅ ยท (๐ต โˆ’ ๐ด)) + ๐ด) = (((๐‘ฅ ยท ๐ต) โˆ’ (๐‘ฅ ยท ๐ด)) + ๐ด))
74 1cnd 11213 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < ๐ต) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (0[,]1)) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
7574, 5, 13subdird 11675 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < ๐ต) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (0[,]1)) โ†’ ((1 โˆ’ ๐‘ฅ) ยท ๐ด) = ((1 ยท ๐ด) โˆ’ (๐‘ฅ ยท ๐ด)))
7613mullidd 11236 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < ๐ต) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (0[,]1)) โ†’ (1 ยท ๐ด) = ๐ด)
7776oveq1d 7426 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < ๐ต) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (0[,]1)) โ†’ ((1 ยท ๐ด) โˆ’ (๐‘ฅ ยท ๐ด)) = (๐ด โˆ’ (๐‘ฅ ยท ๐ด)))
7875, 77eqtrd 2770 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < ๐ต) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (0[,]1)) โ†’ ((1 โˆ’ ๐‘ฅ) ยท ๐ด) = (๐ด โˆ’ (๐‘ฅ ยท ๐ด)))
7978oveq2d 7427 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < ๐ต) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (0[,]1)) โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐ต) + ((1 โˆ’ ๐‘ฅ) ยท ๐ด)) = ((๐‘ฅ ยท ๐ต) + (๐ด โˆ’ (๐‘ฅ ยท ๐ด))))
8071, 73, 793eqtr4d 2780 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < ๐ต) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (0[,]1)) โ†’ ((๐‘ฅ ยท (๐ต โˆ’ ๐ด)) + ๐ด) = ((๐‘ฅ ยท ๐ต) + ((1 โˆ’ ๐‘ฅ) ยท ๐ด)))
8180adantrr 713 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < ๐ต) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด[,]๐ต))) โ†’ ((๐‘ฅ ยท (๐ต โˆ’ ๐ด)) + ๐ด) = ((๐‘ฅ ยท ๐ต) + ((1 โˆ’ ๐‘ฅ) ยท ๐ด)))
8281eqeq2d 2741 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < ๐ต) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด[,]๐ต))) โ†’ (๐‘ฆ = ((๐‘ฅ ยท (๐ต โˆ’ ๐ด)) + ๐ด) โ†” ๐‘ฆ = ((๐‘ฅ ยท ๐ต) + ((1 โˆ’ ๐‘ฅ) ยท ๐ด))))
8359, 69, 823bitrd 304 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < ๐ต) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (0[,]1) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (๐ด[,]๐ต))) โ†’ (๐‘ฅ = ((๐‘ฆ โˆ’ ๐ด) / (๐ต โˆ’ ๐ด)) โ†” ๐‘ฆ = ((๐‘ฅ ยท ๐ต) + ((1 โˆ’ ๐‘ฅ) ยท ๐ด))))
841, 17, 52, 83f1ocnv2d 7661 1 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < ๐ต) โ†’ (๐น:(0[,]1)โ€“1-1-ontoโ†’(๐ด[,]๐ต) โˆง โ—ก๐น = (๐‘ฆ โˆˆ (๐ด[,]๐ต) โ†ฆ ((๐‘ฆ โˆ’ ๐ด) / (๐ต โˆ’ ๐ด)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   โˆง w3a 1085   = wceq 1539   โˆˆ wcel 2104   โ‰  wne 2938   class class class wbr 5147   โ†ฆ cmpt 5230  โ—กccnv 5674  โ€“1-1-ontoโ†’wf1o 6541  (class class class)co 7411  โ„‚cc 11110  โ„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   ยท cmul 11117   < clt 11252   โ‰ค cle 11253   โˆ’ cmin 11448   / cdiv 11875  โ„+crp 12978  [,]cicc 13331
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-po 5587  df-so 5588  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-rp 12979  df-icc 13335
This theorem is referenced by:  iccen  13478  icchmeo  24685  icchmeoOLD  24686
  Copyright terms: Public domain W3C validator