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Theorem iccf1o 13469

Description: Describe a bijection from [0, 1] to an arbitrary nontrivial closed interval [𝐴, 𝐵]. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2015.)

**Hypothesis**
Ref	Expression
iccf1o.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑥 · 𝐵) + ((1 − 𝑥) · 𝐴)))

**Assertion**
Ref	Expression
iccf1o	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐹:(0[,]1)–1-1-onto→(𝐴[,]𝐵) ∧ ^◡𝐹 = (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((𝑦 − 𝐴) / (𝐵 − 𝐴)))))

Distinct variable groups: 𝑥,𝑦,𝐴 𝑥,𝐵,𝑦 Allowed substitution hints: 𝐹(𝑥,𝑦)

**Proof of Theorem iccf1o**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		iccf1o.1	. 2 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝑥 · 𝐵) + ((1 − 𝑥) · 𝐴)))
2		elicc01 13439	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,]1) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 1))
3	2	simp1bi 1146	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,]1) → 𝑥 ∈ ℝ)
4	3	adantl 483	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → 𝑥 ∈ ℝ)
5	4	recnd 11238	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → 𝑥 ∈ ℂ)
6		simpl2 1193	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → 𝐵 ∈ ℝ)
7	6	recnd 11238	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → 𝐵 ∈ ℂ)
8	5, 7	mulcld 11230	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → (𝑥 · 𝐵) ∈ ℂ)
9		ax-1cn 11164	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℂ
10		subcl 11455	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (1 − 𝑥) ∈ ℂ)
11	9, 5, 10	sylancr 588	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → (1 − 𝑥) ∈ ℂ)
12		simpl1 1192	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → 𝐴 ∈ ℝ)
13	12	recnd 11238	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → 𝐴 ∈ ℂ)
14	11, 13	mulcld 11230	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → ((1 − 𝑥) · 𝐴) ∈ ℂ)
15	8, 14	addcomd 11412	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → ((𝑥 · 𝐵) + ((1 − 𝑥) · 𝐴)) = (((1 − 𝑥) · 𝐴) + (𝑥 · 𝐵)))
16		lincmb01cmp 13468	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → (((1 − 𝑥) · 𝐴) + (𝑥 · 𝐵)) ∈ (𝐴[,]𝐵))
17	15, 16	eqeltrd 2834	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → ((𝑥 · 𝐵) + ((1 − 𝑥) · 𝐴)) ∈ (𝐴[,]𝐵))
18		simpr 486	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))
19		simpl1 1192	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
20		simpl2 1193	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
21		elicc2 13385	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ 𝐵)))
22	21	3adant3 1133	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ 𝐵)))
23	22	biimpa 478	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ 𝐵))
24	23	simp1d 1143	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑦 ∈ ℝ)
25		eqid 2733	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 − 𝐴) = (𝐴 − 𝐴)
26		eqid 2733	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 − 𝐴) = (𝐵 − 𝐴)
27	25, 26	iccshftl 13461	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ)) → (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑦 − 𝐴) ∈ ((𝐴 − 𝐴)[,](𝐵 − 𝐴))))
28	19, 20, 24, 19, 27	syl22anc 838	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑦 − 𝐴) ∈ ((𝐴 − 𝐴)[,](𝐵 − 𝐴))))
29	18, 28	mpbid 231	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑦 − 𝐴) ∈ ((𝐴 − 𝐴)[,](𝐵 − 𝐴)))
30	24, 19	resubcld 11638	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑦 − 𝐴) ∈ ℝ)
31	30	recnd 11238	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑦 − 𝐴) ∈ ℂ)
32		difrp 13008	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ⁺))
33	32	biimp3a 1470	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ⁺)
34	33	adantr 482	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ⁺)
35	34	rpcnd 13014	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℂ)
36	34	rpne0d 13017	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐵 − 𝐴) ≠ 0)
37	31, 35, 36	divcan1d 11987	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (((𝑦 − 𝐴) / (𝐵 − 𝐴)) · (𝐵 − 𝐴)) = (𝑦 − 𝐴))
38	35	mul02d 11408	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (0 · (𝐵 − 𝐴)) = 0)
39	19	recnd 11238	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴 ∈ ℂ)
40	39	subidd 11555	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐴 − 𝐴) = 0)
41	38, 40	eqtr4d 2776	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (0 · (𝐵 − 𝐴)) = (𝐴 − 𝐴))
42	35	mullidd 11228	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (1 · (𝐵 − 𝐴)) = (𝐵 − 𝐴))
43	41, 42	oveq12d 7422	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((0 · (𝐵 − 𝐴))[,](1 · (𝐵 − 𝐴))) = ((𝐴 − 𝐴)[,](𝐵 − 𝐴)))
44	29, 37, 43	3eltr4d 2849	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (((𝑦 − 𝐴) / (𝐵 − 𝐴)) · (𝐵 − 𝐴)) ∈ ((0 · (𝐵 − 𝐴))[,](1 · (𝐵 − 𝐴))))
45		0red 11213	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 0 ∈ ℝ)
46		1red 11211	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 1 ∈ ℝ)
47	30, 34	rerpdivcld 13043	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((𝑦 − 𝐴) / (𝐵 − 𝐴)) ∈ ℝ)
48		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ (0 · (𝐵 − 𝐴)) = (0 · (𝐵 − 𝐴))
49		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ (1 · (𝐵 − 𝐴)) = (1 · (𝐵 − 𝐴))
50	48, 49	iccdil 13463	. . . 4 ⊢ (((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) ∧ (((𝑦 − 𝐴) / (𝐵 − 𝐴)) ∈ ℝ ∧ (𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ⁺)) → (((𝑦 − 𝐴) / (𝐵 − 𝐴)) ∈ (0[,]1) ↔ (((𝑦 − 𝐴) / (𝐵 − 𝐴)) · (𝐵 − 𝐴)) ∈ ((0 · (𝐵 − 𝐴))[,](1 · (𝐵 − 𝐴)))))
51	45, 46, 47, 34, 50	syl22anc 838	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (((𝑦 − 𝐴) / (𝐵 − 𝐴)) ∈ (0[,]1) ↔ (((𝑦 − 𝐴) / (𝐵 − 𝐴)) · (𝐵 − 𝐴)) ∈ ((0 · (𝐵 − 𝐴))[,](1 · (𝐵 − 𝐴)))))
52	44, 51	mpbird 257	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((𝑦 − 𝐴) / (𝐵 − 𝐴)) ∈ (0[,]1))
53		eqcom 2740	. . . 4 ⊢ (𝑥 = ((𝑦 − 𝐴) / (𝐵 − 𝐴)) ↔ ((𝑦 − 𝐴) / (𝐵 − 𝐴)) = 𝑥)
54	31	adantrl 715	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (𝑦 − 𝐴) ∈ ℂ)
55	5	adantrr 716	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → 𝑥 ∈ ℂ)
56	35	adantrl 715	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℂ)
57	36	adantrl 715	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (𝐵 − 𝐴) ≠ 0)
58	54, 55, 56, 57	divmul3d 12020	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (((𝑦 − 𝐴) / (𝐵 − 𝐴)) = 𝑥 ↔ (𝑦 − 𝐴) = (𝑥 · (𝐵 − 𝐴))))
59	53, 58	bitrid 283	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (𝑥 = ((𝑦 − 𝐴) / (𝐵 − 𝐴)) ↔ (𝑦 − 𝐴) = (𝑥 · (𝐵 − 𝐴))))
60	24	adantrl 715	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → 𝑦 ∈ ℝ)
61	60	recnd 11238	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → 𝑦 ∈ ℂ)
62	39	adantrl 715	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → 𝐴 ∈ ℂ)
63	6, 12	resubcld 11638	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ)
64	4, 63	remulcld 11240	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → (𝑥 · (𝐵 − 𝐴)) ∈ ℝ)
65	64	adantrr 716	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (𝑥 · (𝐵 − 𝐴)) ∈ ℝ)
66	65	recnd 11238	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (𝑥 · (𝐵 − 𝐴)) ∈ ℂ)
67	61, 62, 66	subadd2d 11586	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → ((𝑦 − 𝐴) = (𝑥 · (𝐵 − 𝐴)) ↔ ((𝑥 · (𝐵 − 𝐴)) + 𝐴) = 𝑦))
68		eqcom 2740	. . . 4 ⊢ (((𝑥 · (𝐵 − 𝐴)) + 𝐴) = 𝑦 ↔ 𝑦 = ((𝑥 · (𝐵 − 𝐴)) + 𝐴))
69	67, 68	bitrdi 287	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → ((𝑦 − 𝐴) = (𝑥 · (𝐵 − 𝐴)) ↔ 𝑦 = ((𝑥 · (𝐵 − 𝐴)) + 𝐴)))
70	5, 13	mulcld 11230	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → (𝑥 · 𝐴) ∈ ℂ)
71	8, 70, 13	subadd23d 11589	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → (((𝑥 · 𝐵) − (𝑥 · 𝐴)) + 𝐴) = ((𝑥 · 𝐵) + (𝐴 − (𝑥 · 𝐴))))
72	5, 7, 13	subdid 11666	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → (𝑥 · (𝐵 − 𝐴)) = ((𝑥 · 𝐵) − (𝑥 · 𝐴)))
73	72	oveq1d 7419	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → ((𝑥 · (𝐵 − 𝐴)) + 𝐴) = (((𝑥 · 𝐵) − (𝑥 · 𝐴)) + 𝐴))
74		1cnd 11205	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → 1 ∈ ℂ)
75	74, 5, 13	subdird 11667	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → ((1 − 𝑥) · 𝐴) = ((1 · 𝐴) − (𝑥 · 𝐴)))
76	13	mullidd 11228	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → (1 · 𝐴) = 𝐴)
77	76	oveq1d 7419	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → ((1 · 𝐴) − (𝑥 · 𝐴)) = (𝐴 − (𝑥 · 𝐴)))
78	75, 77	eqtrd 2773	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → ((1 − 𝑥) · 𝐴) = (𝐴 − (𝑥 · 𝐴)))
79	78	oveq2d 7420	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → ((𝑥 · 𝐵) + ((1 − 𝑥) · 𝐴)) = ((𝑥 · 𝐵) + (𝐴 − (𝑥 · 𝐴))))
80	71, 73, 79	3eqtr4d 2783	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]1)) → ((𝑥 · (𝐵 − 𝐴)) + 𝐴) = ((𝑥 · 𝐵) + ((1 − 𝑥) · 𝐴)))
81	80	adantrr 716	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → ((𝑥 · (𝐵 − 𝐴)) + 𝐴) = ((𝑥 · 𝐵) + ((1 − 𝑥) · 𝐴)))
82	81	eqeq2d 2744	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (𝑦 = ((𝑥 · (𝐵 − 𝐴)) + 𝐴) ↔ 𝑦 = ((𝑥 · 𝐵) + ((1 − 𝑥) · 𝐴))))
83	59, 69, 82	3bitrd 305	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (𝑥 = ((𝑦 − 𝐴) / (𝐵 − 𝐴)) ↔ 𝑦 = ((𝑥 · 𝐵) + ((1 − 𝑥) · 𝐴))))
84	1, 17, 52, 83	f1ocnv2d 7654	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐹:(0[,]1)–1-1-onto→(𝐴[,]𝐵) ∧ ^◡𝐹 = (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((𝑦 − 𝐴) / (𝐵 − 𝐴)))))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 205 ∧ wa 397 ∧ w3a 1088 = wceq 1542 ∈ wcel 2107 ≠ wne 2941 class class class wbr 5147 ↦ cmpt 5230 ^◡ccnv 5674 –1-1-onto→wf1o 6539 (class class class)co 7404 ℂcc 11104 ℝcr 11105 0cc0 11106 1c1 11107 + caddc 11109 · cmul 11111 < clt 11244 ≤ cle 11245 − cmin 11440 / cdiv 11867 ℝ⁺crp 12970 [,]cicc 13323

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1798 ax-4 1812 ax-5 1914 ax-6 1972 ax-7 2012 ax-8 2109 ax-9 2117 ax-10 2138 ax-11 2155 ax-12 2172 ax-ext 2704 ax-sep 5298 ax-nul 5305 ax-pow 5362 ax-pr 5426 ax-un 7720 ax-cnex 11162 ax-resscn 11163 ax-1cn 11164 ax-icn 11165 ax-addcl 11166 ax-addrcl 11167 ax-mulcl 11168 ax-mulrcl 11169 ax-mulcom 11170 ax-addass 11171 ax-mulass 11172 ax-distr 11173 ax-i2m1 11174 ax-1ne0 11175 ax-1rid 11176 ax-rnegex 11177 ax-rrecex 11178 ax-cnre 11179 ax-pre-lttri 11180 ax-pre-lttrn 11181 ax-pre-ltadd 11182 ax-pre-mulgt0 11183

This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 398 df-or 847 df-3or 1089 df-3an 1090 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1783 df-nf 1787 df-sb 2069 df-mo 2535 df-eu 2564 df-clab 2711 df-cleq 2725 df-clel 2811 df-nfc 2886 df-ne 2942 df-nel 3048 df-ral 3063 df-rex 3072 df-rmo 3377 df-reu 3378 df-rab 3434 df-v 3477 df-sbc 3777 df-csb 3893 df-dif 3950 df-un 3952 df-in 3954 df-ss 3964 df-nul 4322 df-if 4528 df-pw 4603 df-sn 4628 df-pr 4630 df-op 4634 df-uni 4908 df-br 5148 df-opab 5210 df-mpt 5231 df-id 5573 df-po 5587 df-so 5588 df-xp 5681 df-rel 5682 df-cnv 5683 df-co 5684 df-dm 5685 df-rn 5686 df-res 5687 df-ima 5688 df-iota 6492 df-fun 6542 df-fn 6543 df-f 6544 df-f1 6545 df-fo 6546 df-f1o 6547 df-fv 6548 df-riota 7360 df-ov 7407 df-oprab 7408 df-mpo 7409 df-er 8699 df-en 8936 df-dom 8937 df-sdom 8938 df-pnf 11246 df-mnf 11247 df-xr 11248 df-ltxr 11249 df-le 11250 df-sub 11442 df-neg 11443 df-div 11868 df-rp 12971 df-icc 13327

This theorem is referenced by: iccen 13470 icchmeo 24439 gg-icchmeo 35108

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