Theorem fourierdlem6 41122

Description: 𝑋 is in the periodic partition, when the considered interval is centered at 𝑋. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fourierdlem6.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
fourierdlem6.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
fourierdlem6.altb	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
fourierdlem6.t	⊢ 𝑇 = (𝐵 − 𝐴)
fourierdlem6.5	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
fourierdlem6.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℤ)
fourierdlem6.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℤ)
fourierdlem6.iltj	⊢ (𝜑 → 𝐼 < 𝐽)
fourierdlem6.iel	⊢ (𝜑 → (𝑋 + (𝐼 · 𝑇)) ∈ (𝐴[,]𝐵))
fourierdlem6.jel	⊢ (𝜑 → (𝑋 + (𝐽 · 𝑇)) ∈ (𝐴[,]𝐵))

Assertion

Ref	Expression
fourierdlem6	⊢ (𝜑 → 𝐽 = (𝐼 + 1))

Proof of Theorem fourierdlem6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fourierdlem6.j	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℤ)
2	1	zred 11817	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℝ)
3		fourierdlem6.i	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℤ)
4	3	zred 11817	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℝ)
5	2, 4	resubcld 10789	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐽 − 𝐼) ∈ ℝ)
6		fourierdlem6.t	. . . . . . 7 ⊢ 𝑇 = (𝐵 − 𝐴)
7		fourierdlem6.b	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
8		fourierdlem6.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
9	7, 8	resubcld 10789	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ)
10	6, 9	syl5eqel 2910	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ)
11	5, 10	remulcld 10394	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐽 − 𝐼) · 𝑇) ∈ ℝ)
12		fourierdlem6.altb	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
13	8, 7	posdifd 10946	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 − 𝐴)))
14	12, 13	mpbid 224	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 < (𝐵 − 𝐴))
15	14, 6	syl6breqr 4917	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑇)
16	10, 15	elrpd 12160	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ+)
17		fourierdlem6.jel	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + (𝐽 · 𝑇)) ∈ (𝐴[,]𝐵))
18		fourierdlem6.iel	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + (𝐼 · 𝑇)) ∈ (𝐴[,]𝐵))
19	8, 7, 17, 18	iccsuble 40539	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 + (𝐽 · 𝑇)) − (𝑋 + (𝐼 · 𝑇))) ≤ (𝐵 − 𝐴))
20	2	recnd 10392	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℂ)
21	4	recnd 10392	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℂ)
22	10	recnd 10392	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℂ)
23	20, 21, 22	subdird 10818	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐽 − 𝐼) · 𝑇) = ((𝐽 · 𝑇) − (𝐼 · 𝑇)))
24		fourierdlem6.5	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
25	24	recnd 10392	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
26	2, 10	remulcld 10394	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐽 · 𝑇) ∈ ℝ)
27	26	recnd 10392	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐽 · 𝑇) ∈ ℂ)
28	4, 10	remulcld 10394	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐼 · 𝑇) ∈ ℝ)
29	28	recnd 10392	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐼 · 𝑇) ∈ ℂ)
30	25, 27, 29	pnpcand 10757	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 + (𝐽 · 𝑇)) − (𝑋 + (𝐼 · 𝑇))) = ((𝐽 · 𝑇) − (𝐼 · 𝑇)))
31	23, 30	eqtr4d 2864	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐽 − 𝐼) · 𝑇) = ((𝑋 + (𝐽 · 𝑇)) − (𝑋 + (𝐼 · 𝑇))))
32	6	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑇 = (𝐵 − 𝐴))
33	19, 31, 32	3brtr4d 4907	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐽 − 𝐼) · 𝑇) ≤ 𝑇)
34	11, 10, 16, 33	lediv1dd 12221	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐽 − 𝐼) · 𝑇) / 𝑇) ≤ (𝑇 / 𝑇))
35	5	recnd 10392	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐽 − 𝐼) ∈ ℂ)
36	15	gt0ne0d 10923	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ≠ 0)
37	35, 22, 36	divcan4d 11140	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐽 − 𝐼) · 𝑇) / 𝑇) = (𝐽 − 𝐼))
38	22, 36	dividd 11132	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑇 / 𝑇) = 1)
39	34, 37, 38	3brtr3d 4906	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐽 − 𝐼) ≤ 1)
40		1red 10364	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
41	2, 4, 40	lesubadd2d 10958	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐽 − 𝐼) ≤ 1 ↔ 𝐽 ≤ (𝐼 + 1)))
42	39, 41	mpbid 224	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ≤ (𝐼 + 1))
43		fourierdlem6.iltj	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 < 𝐽)
44		zltp1le 11762	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) → (𝐼 < 𝐽 ↔ (𝐼 + 1) ≤ 𝐽))
45	3, 1, 44	syl2anc 579	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼 < 𝐽 ↔ (𝐼 + 1) ≤ 𝐽))
46	43, 45	mpbid 224	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼 + 1) ≤ 𝐽)
47	4, 40	readdcld 10393	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼 + 1) ∈ ℝ)
48	2, 47	letri3d 10505	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐽 = (𝐼 + 1) ↔ (𝐽 ≤ (𝐼 + 1) ∧ (𝐼 + 1) ≤ 𝐽)))
49	42, 46, 48	mpbir2and 704	1 ⊢ (𝜑 → 𝐽 = (𝐼 + 1))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   = wceq 1656   ∈ wcel 2164   class class class wbr 4875  (class class class)co 6910  ℝcr 10258  0cc0 10259  1c1 10260   + caddc 10262   · cmul 10264   < clt 10398   ≤ cle 10399   − cmin 10592   / cdiv 11016  ℤcz 11711  [,]cicc 12473

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-cnex 10315  ax-resscn 10316  ax-1cn 10317  ax-icn 10318  ax-addcl 10319  ax-addrcl 10320  ax-mulcl 10321  ax-mulrcl 10322  ax-mulcom 10323  ax-addass 10324  ax-mulass 10325  ax-distr 10326  ax-i2m1 10327  ax-1ne0 10328  ax-1rid 10329  ax-rnegex 10330  ax-rrecex 10331  ax-cnre 10332  ax-pre-lttri 10333  ax-pre-lttrn 10334  ax-pre-ltadd 10335  ax-pre-mulgt0 10336

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-tp 4404  df-op 4406  df-uni 4661  df-iun 4744  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-tr 4978  df-id 5252  df-eprel 5257  df-po 5265  df-so 5266  df-fr 5305  df-we 5307  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-pred 5924  df-ord 5970  df-on 5971  df-lim 5972  df-suc 5973  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-riota 6871  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-om 7332  df-wrecs 7677  df-recs 7739  df-rdg 7777  df-er 8014  df-en 8229  df-dom 8230  df-sdom 8231  df-pnf 10400  df-mnf 10401  df-xr 10402  df-ltxr 10403  df-le 10404  df-sub 10594  df-neg 10595  df-div 11017  df-nn 11358  df-n0 11626  df-z 11712  df-rp 12120  df-icc 12477

This theorem is referenced by:  fourierdlem35  41151  fourierdlem51  41166