Theorem fourierdlem6 46648

Description: 𝑋 is in the periodic partition, when the considered interval is centered at 𝑋. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fourierdlem6.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
fourierdlem6.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
fourierdlem6.altb	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
fourierdlem6.t	⊢ 𝑇 = (𝐵 − 𝐴)
fourierdlem6.5	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
fourierdlem6.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℤ)
fourierdlem6.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℤ)
fourierdlem6.iltj	⊢ (𝜑 → 𝐼 < 𝐽)
fourierdlem6.iel	⊢ (𝜑 → (𝑋 + (𝐼 · 𝑇)) ∈ (𝐴[,]𝐵))
fourierdlem6.jel	⊢ (𝜑 → (𝑋 + (𝐽 · 𝑇)) ∈ (𝐴[,]𝐵))

Assertion

Ref	Expression
fourierdlem6	⊢ (𝜑 → 𝐽 = (𝐼 + 1))

Proof of Theorem fourierdlem6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fourierdlem6.j	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℤ)
2	1	zred 12671	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℝ)
3		fourierdlem6.i	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℤ)
4	3	zred 12671	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℝ)
5	2, 4	resubcld 11609	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐽 − 𝐼) ∈ ℝ)
6		fourierdlem6.t	. . . . . . 7 ⊢ 𝑇 = (𝐵 − 𝐴)
7		fourierdlem6.b	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
8		fourierdlem6.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
9	7, 8	resubcld 11609	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ)
10	6, 9	eqeltrid 2865	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ)
11	5, 10	remulcld 11206	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐽 − 𝐼) · 𝑇) ∈ ℝ)
12		fourierdlem6.altb	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
13	8, 7	posdifd 11768	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 − 𝐴)))
14	12, 13	mpbid 234	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 < (𝐵 − 𝐴))
15	14, 6	breqtrrdi 5139	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑇)
16	10, 15	elrpd 13028	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ+)
17		fourierdlem6.jel	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + (𝐽 · 𝑇)) ∈ (𝐴[,]𝐵))
18		fourierdlem6.iel	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + (𝐼 · 𝑇)) ∈ (𝐴[,]𝐵))
19	8, 7, 17, 18	iccsuble 46056	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 + (𝐽 · 𝑇)) − (𝑋 + (𝐼 · 𝑇))) ≤ (𝐵 − 𝐴))
20	2	recnd 11204	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℂ)
21	4	recnd 11204	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℂ)
22	10	recnd 11204	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℂ)
23	20, 21, 22	subdird 11638	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐽 − 𝐼) · 𝑇) = ((𝐽 · 𝑇) − (𝐼 · 𝑇)))
24		fourierdlem6.5	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
25	24	recnd 11204	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
26	2, 10	remulcld 11206	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐽 · 𝑇) ∈ ℝ)
27	26	recnd 11204	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐽 · 𝑇) ∈ ℂ)
28	4, 10	remulcld 11206	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐼 · 𝑇) ∈ ℝ)
29	28	recnd 11204	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐼 · 𝑇) ∈ ℂ)
30	25, 27, 29	pnpcand 11573	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 + (𝐽 · 𝑇)) − (𝑋 + (𝐼 · 𝑇))) = ((𝐽 · 𝑇) − (𝐼 · 𝑇)))
31	23, 30	eqtr4d 2799	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐽 − 𝐼) · 𝑇) = ((𝑋 + (𝐽 · 𝑇)) − (𝑋 + (𝐼 · 𝑇))))
32	6	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑇 = (𝐵 − 𝐴))
33	19, 31, 32	3brtr4d 5129	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐽 − 𝐼) · 𝑇) ≤ 𝑇)
34	11, 10, 16, 33	lediv1dd 13089	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐽 − 𝐼) · 𝑇) / 𝑇) ≤ (𝑇 / 𝑇))
35	5	recnd 11204	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐽 − 𝐼) ∈ ℂ)
36	15	gt0ne0d 11745	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ≠ 0)
37	35, 22, 36	divcan4d 11967	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐽 − 𝐼) · 𝑇) / 𝑇) = (𝐽 − 𝐼))
38	22, 36	dividd 11959	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑇 / 𝑇) = 1)
39	34, 37, 38	3brtr3d 5128	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐽 − 𝐼) ≤ 1)
40		1red 11176	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
41	2, 4, 40	lesubadd2d 11780	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐽 − 𝐼) ≤ 1 ↔ 𝐽 ≤ (𝐼 + 1)))
42	39, 41	mpbid 234	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ≤ (𝐼 + 1))
43		fourierdlem6.iltj	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 < 𝐽)
44		zltp1le 12615	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) → (𝐼 < 𝐽 ↔ (𝐼 + 1) ≤ 𝐽))
45	3, 1, 44	syl2anc 593	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼 < 𝐽 ↔ (𝐼 + 1) ≤ 𝐽))
46	43, 45	mpbid 234	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼 + 1) ≤ 𝐽)
47	4, 40	readdcld 11205	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼 + 1) ∈ ℝ)
48	2, 47	letri3d 11319	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐽 = (𝐼 + 1) ↔ (𝐽 ≤ (𝐼 + 1) ∧ (𝐼 + 1) ≤ 𝐽)))
49	42, 46, 48	mpbir2and 723	1 ⊢ (𝜑 → 𝐽 = (𝐼 + 1))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   class class class wbr 5097  (class class class)co 7391  ℝcr 11066  0cc0 11067  1c1 11068   + caddc 11070   · cmul 11072   < clt 11210   ≤ cle 11211   − cmin 11408   / cdiv 11838  ℤcz 12562  [,]cicc 13346

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7713  ax-cnex 11123  ax-resscn 11124  ax-1cn 11125  ax-icn 11126  ax-addcl 11127  ax-addrcl 11128  ax-mulcl 11129  ax-mulrcl 11130  ax-mulcom 11131  ax-addass 11132  ax-mulass 11133  ax-distr 11134  ax-i2m1 11135  ax-1ne0 11136  ax-1rid 11137  ax-rnegex 11138  ax-rrecex 11139  ax-cnre 11140  ax-pre-lttri 11141  ax-pre-lttrn 11142  ax-pre-ltadd 11143  ax-pre-mulgt0 11144

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6283  df-ord 6344  df-on 6345  df-lim 6346  df-suc 6347  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-riota 7348  df-ov 7394  df-oprab 7395  df-mpo 7396  df-om 7842  df-2nd 7966  df-frecs 8256  df-wrecs 8287  df-recs 8336  df-rdg 8375  df-er 8672  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11212  df-mnf 11213  df-xr 11214  df-ltxr 11215  df-le 11216  df-sub 11410  df-neg 11411  df-div 11839  df-nn 12205  df-n0 12476  df-z 12563  df-rp 12988  df-icc 13350

This theorem is referenced by:  fourierdlem35  46677  fourierdlem51  46692