Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem6 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fourierdlem6 46128
Description: 𝑋 is in the periodic partition, when the considered interval is centered at 𝑋. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem6.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
fourierdlem6.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
fourierdlem6.altb (𝜑𝐴 < 𝐵)
fourierdlem6.t 𝑇 = (𝐵𝐴)
fourierdlem6.5 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
fourierdlem6.i (𝜑𝐼 ∈ ℤ)
fourierdlem6.j (𝜑𝐽 ∈ ℤ)
fourierdlem6.iltj (𝜑𝐼 < 𝐽)
fourierdlem6.iel (𝜑 → (𝑋 + (𝐼 · 𝑇)) ∈ (𝐴[,]𝐵))
fourierdlem6.jel (𝜑 → (𝑋 + (𝐽 · 𝑇)) ∈ (𝐴[,]𝐵))
Assertion
Ref Expression
fourierdlem6 (𝜑𝐽 = (𝐼 + 1))

Proof of Theorem fourierdlem6
StepHypRef Expression
1 fourierdlem6.j . . . . . . . 8 (𝜑𝐽 ∈ ℤ)
21zred 12722 . . . . . . 7 (𝜑𝐽 ∈ ℝ)
3 fourierdlem6.i . . . . . . . 8 (𝜑𝐼 ∈ ℤ)
43zred 12722 . . . . . . 7 (𝜑𝐼 ∈ ℝ)
52, 4resubcld 11691 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐽𝐼) ∈ ℝ)
6 fourierdlem6.t . . . . . . 7 𝑇 = (𝐵𝐴)
7 fourierdlem6.b . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
8 fourierdlem6.a . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
97, 8resubcld 11691 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐵𝐴) ∈ ℝ)
106, 9eqeltrid 2845 . . . . . 6 (𝜑𝑇 ∈ ℝ)
115, 10remulcld 11291 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐽𝐼) · 𝑇) ∈ ℝ)
12 fourierdlem6.altb . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 < 𝐵)
138, 7posdifd 11850 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵𝐴)))
1412, 13mpbid 232 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 < (𝐵𝐴))
1514, 6breqtrrdi 5185 . . . . . 6 (𝜑 → 0 < 𝑇)
1610, 15elrpd 13074 . . . . 5 (𝜑𝑇 ∈ ℝ+)
17 fourierdlem6.jel . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑋 + (𝐽 · 𝑇)) ∈ (𝐴[,]𝐵))
18 fourierdlem6.iel . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑋 + (𝐼 · 𝑇)) ∈ (𝐴[,]𝐵))
198, 7, 17, 18iccsuble 45532 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑋 + (𝐽 · 𝑇)) − (𝑋 + (𝐼 · 𝑇))) ≤ (𝐵𝐴))
202recnd 11289 . . . . . . . 8 (𝜑𝐽 ∈ ℂ)
214recnd 11289 . . . . . . . 8 (𝜑𝐼 ∈ ℂ)
2210recnd 11289 . . . . . . . 8 (𝜑𝑇 ∈ ℂ)
2320, 21, 22subdird 11720 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐽𝐼) · 𝑇) = ((𝐽 · 𝑇) − (𝐼 · 𝑇)))
24 fourierdlem6.5 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
2524recnd 11289 . . . . . . . 8 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
262, 10remulcld 11291 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐽 · 𝑇) ∈ ℝ)
2726recnd 11289 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐽 · 𝑇) ∈ ℂ)
284, 10remulcld 11291 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐼 · 𝑇) ∈ ℝ)
2928recnd 11289 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐼 · 𝑇) ∈ ℂ)
3025, 27, 29pnpcand 11657 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑋 + (𝐽 · 𝑇)) − (𝑋 + (𝐼 · 𝑇))) = ((𝐽 · 𝑇) − (𝐼 · 𝑇)))
3123, 30eqtr4d 2780 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐽𝐼) · 𝑇) = ((𝑋 + (𝐽 · 𝑇)) − (𝑋 + (𝐼 · 𝑇))))
326a1i 11 . . . . . 6 (𝜑𝑇 = (𝐵𝐴))
3319, 31, 323brtr4d 5175 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐽𝐼) · 𝑇) ≤ 𝑇)
3411, 10, 16, 33lediv1dd 13135 . . . 4 (𝜑 → (((𝐽𝐼) · 𝑇) / 𝑇) ≤ (𝑇 / 𝑇))
355recnd 11289 . . . . 5 (𝜑 → (𝐽𝐼) ∈ ℂ)
3615gt0ne0d 11827 . . . . 5 (𝜑𝑇 ≠ 0)
3735, 22, 36divcan4d 12049 . . . 4 (𝜑 → (((𝐽𝐼) · 𝑇) / 𝑇) = (𝐽𝐼))
3822, 36dividd 12041 . . . 4 (𝜑 → (𝑇 / 𝑇) = 1)
3934, 37, 383brtr3d 5174 . . 3 (𝜑 → (𝐽𝐼) ≤ 1)
40 1red 11262 . . . 4 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
412, 4, 40lesubadd2d 11862 . . 3 (𝜑 → ((𝐽𝐼) ≤ 1 ↔ 𝐽 ≤ (𝐼 + 1)))
4239, 41mpbid 232 . 2 (𝜑𝐽 ≤ (𝐼 + 1))
43 fourierdlem6.iltj . . 3 (𝜑𝐼 < 𝐽)
44 zltp1le 12667 . . . 4 ((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) → (𝐼 < 𝐽 ↔ (𝐼 + 1) ≤ 𝐽))
453, 1, 44syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → (𝐼 < 𝐽 ↔ (𝐼 + 1) ≤ 𝐽))
4643, 45mpbid 232 . 2 (𝜑 → (𝐼 + 1) ≤ 𝐽)
474, 40readdcld 11290 . . 3 (𝜑 → (𝐼 + 1) ∈ ℝ)
482, 47letri3d 11403 . 2 (𝜑 → (𝐽 = (𝐼 + 1) ↔ (𝐽 ≤ (𝐼 + 1) ∧ (𝐼 + 1) ≤ 𝐽)))
4942, 46, 48mpbir2and 713 1 (𝜑𝐽 = (𝐼 + 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206   = wceq 1540  wcel 2108   class class class wbr 5143  (class class class)co 7431  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160   < clt 11295  cle 11296  cmin 11492   / cdiv 11920  cz 12613  [,]cicc 13390
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-n0 12527  df-z 12614  df-rp 13035  df-icc 13394
This theorem is referenced by:  fourierdlem35  46157  fourierdlem51  46172
  Copyright terms: Public domain W3C validator