Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem6 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fourierdlem6 46069
Description: 𝑋 is in the periodic partition, when the considered interval is centered at 𝑋. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem6.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
fourierdlem6.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
fourierdlem6.altb (𝜑𝐴 < 𝐵)
fourierdlem6.t 𝑇 = (𝐵𝐴)
fourierdlem6.5 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
fourierdlem6.i (𝜑𝐼 ∈ ℤ)
fourierdlem6.j (𝜑𝐽 ∈ ℤ)
fourierdlem6.iltj (𝜑𝐼 < 𝐽)
fourierdlem6.iel (𝜑 → (𝑋 + (𝐼 · 𝑇)) ∈ (𝐴[,]𝐵))
fourierdlem6.jel (𝜑 → (𝑋 + (𝐽 · 𝑇)) ∈ (𝐴[,]𝐵))
Assertion
Ref Expression
fourierdlem6 (𝜑𝐽 = (𝐼 + 1))

Proof of Theorem fourierdlem6
StepHypRef Expression
1 fourierdlem6.j . . . . . . . 8 (𝜑𝐽 ∈ ℤ)
21zred 12720 . . . . . . 7 (𝜑𝐽 ∈ ℝ)
3 fourierdlem6.i . . . . . . . 8 (𝜑𝐼 ∈ ℤ)
43zred 12720 . . . . . . 7 (𝜑𝐼 ∈ ℝ)
52, 4resubcld 11689 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐽𝐼) ∈ ℝ)
6 fourierdlem6.t . . . . . . 7 𝑇 = (𝐵𝐴)
7 fourierdlem6.b . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
8 fourierdlem6.a . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
97, 8resubcld 11689 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐵𝐴) ∈ ℝ)
106, 9eqeltrid 2843 . . . . . 6 (𝜑𝑇 ∈ ℝ)
115, 10remulcld 11289 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐽𝐼) · 𝑇) ∈ ℝ)
12 fourierdlem6.altb . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 < 𝐵)
138, 7posdifd 11848 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵𝐴)))
1412, 13mpbid 232 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 < (𝐵𝐴))
1514, 6breqtrrdi 5190 . . . . . 6 (𝜑 → 0 < 𝑇)
1610, 15elrpd 13072 . . . . 5 (𝜑𝑇 ∈ ℝ+)
17 fourierdlem6.jel . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑋 + (𝐽 · 𝑇)) ∈ (𝐴[,]𝐵))
18 fourierdlem6.iel . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑋 + (𝐼 · 𝑇)) ∈ (𝐴[,]𝐵))
198, 7, 17, 18iccsuble 45472 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑋 + (𝐽 · 𝑇)) − (𝑋 + (𝐼 · 𝑇))) ≤ (𝐵𝐴))
202recnd 11287 . . . . . . . 8 (𝜑𝐽 ∈ ℂ)
214recnd 11287 . . . . . . . 8 (𝜑𝐼 ∈ ℂ)
2210recnd 11287 . . . . . . . 8 (𝜑𝑇 ∈ ℂ)
2320, 21, 22subdird 11718 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐽𝐼) · 𝑇) = ((𝐽 · 𝑇) − (𝐼 · 𝑇)))
24 fourierdlem6.5 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
2524recnd 11287 . . . . . . . 8 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
262, 10remulcld 11289 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐽 · 𝑇) ∈ ℝ)
2726recnd 11287 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐽 · 𝑇) ∈ ℂ)
284, 10remulcld 11289 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐼 · 𝑇) ∈ ℝ)
2928recnd 11287 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐼 · 𝑇) ∈ ℂ)
3025, 27, 29pnpcand 11655 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑋 + (𝐽 · 𝑇)) − (𝑋 + (𝐼 · 𝑇))) = ((𝐽 · 𝑇) − (𝐼 · 𝑇)))
3123, 30eqtr4d 2778 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐽𝐼) · 𝑇) = ((𝑋 + (𝐽 · 𝑇)) − (𝑋 + (𝐼 · 𝑇))))
326a1i 11 . . . . . 6 (𝜑𝑇 = (𝐵𝐴))
3319, 31, 323brtr4d 5180 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐽𝐼) · 𝑇) ≤ 𝑇)
3411, 10, 16, 33lediv1dd 13133 . . . 4 (𝜑 → (((𝐽𝐼) · 𝑇) / 𝑇) ≤ (𝑇 / 𝑇))
355recnd 11287 . . . . 5 (𝜑 → (𝐽𝐼) ∈ ℂ)
3615gt0ne0d 11825 . . . . 5 (𝜑𝑇 ≠ 0)
3735, 22, 36divcan4d 12047 . . . 4 (𝜑 → (((𝐽𝐼) · 𝑇) / 𝑇) = (𝐽𝐼))
3822, 36dividd 12039 . . . 4 (𝜑 → (𝑇 / 𝑇) = 1)
3934, 37, 383brtr3d 5179 . . 3 (𝜑 → (𝐽𝐼) ≤ 1)
40 1red 11260 . . . 4 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
412, 4, 40lesubadd2d 11860 . . 3 (𝜑 → ((𝐽𝐼) ≤ 1 ↔ 𝐽 ≤ (𝐼 + 1)))
4239, 41mpbid 232 . 2 (𝜑𝐽 ≤ (𝐼 + 1))
43 fourierdlem6.iltj . . 3 (𝜑𝐼 < 𝐽)
44 zltp1le 12665 . . . 4 ((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) → (𝐼 < 𝐽 ↔ (𝐼 + 1) ≤ 𝐽))
453, 1, 44syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → (𝐼 < 𝐽 ↔ (𝐼 + 1) ≤ 𝐽))
4643, 45mpbid 232 . 2 (𝜑 → (𝐼 + 1) ≤ 𝐽)
474, 40readdcld 11288 . . 3 (𝜑 → (𝐼 + 1) ∈ ℝ)
482, 47letri3d 11401 . 2 (𝜑 → (𝐽 = (𝐼 + 1) ↔ (𝐽 ≤ (𝐼 + 1) ∧ (𝐼 + 1) ≤ 𝐽)))
4942, 46, 48mpbir2and 713 1 (𝜑𝐽 = (𝐼 + 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206   = wceq 1537  wcel 2106   class class class wbr 5148  (class class class)co 7431  cr 11152  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156   · cmul 11158   < clt 11293  cle 11294  cmin 11490   / cdiv 11918  cz 12611  [,]cicc 13387
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12612  df-rp 13033  df-icc 13391
This theorem is referenced by:  fourierdlem35  46098  fourierdlem51  46113
  Copyright terms: Public domain W3C validator