Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem6 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fourierdlem6 45560
Description: ๐‘‹ is in the periodic partition, when the considered interval is centered at ๐‘‹. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem6.a (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
fourierdlem6.b (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
fourierdlem6.altb (๐œ‘ โ†’ ๐ด < ๐ต)
fourierdlem6.t ๐‘‡ = (๐ต โˆ’ ๐ด)
fourierdlem6.5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„)
fourierdlem6.i (๐œ‘ โ†’ ๐ผ โˆˆ โ„ค)
fourierdlem6.j (๐œ‘ โ†’ ๐ฝ โˆˆ โ„ค)
fourierdlem6.iltj (๐œ‘ โ†’ ๐ผ < ๐ฝ)
fourierdlem6.iel (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ + (๐ผ ยท ๐‘‡)) โˆˆ (๐ด[,]๐ต))
fourierdlem6.jel (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ + (๐ฝ ยท ๐‘‡)) โˆˆ (๐ด[,]๐ต))
Assertion
Ref Expression
fourierdlem6 (๐œ‘ โ†’ ๐ฝ = (๐ผ + 1))

Proof of Theorem fourierdlem6
StepHypRef Expression
1 fourierdlem6.j . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ฝ โˆˆ โ„ค)
21zred 12691 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ฝ โˆˆ โ„)
3 fourierdlem6.i . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ผ โˆˆ โ„ค)
43zred 12691 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ผ โˆˆ โ„)
52, 4resubcld 11667 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐ฝ โˆ’ ๐ผ) โˆˆ โ„)
6 fourierdlem6.t . . . . . . 7 ๐‘‡ = (๐ต โˆ’ ๐ด)
7 fourierdlem6.b . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
8 fourierdlem6.a . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
97, 8resubcld 11667 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐ต โˆ’ ๐ด) โˆˆ โ„)
106, 9eqeltrid 2829 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‡ โˆˆ โ„)
115, 10remulcld 11269 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐ฝ โˆ’ ๐ผ) ยท ๐‘‡) โˆˆ โ„)
12 fourierdlem6.altb . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ด < ๐ต)
138, 7posdifd 11826 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐ด < ๐ต โ†” 0 < (๐ต โˆ’ ๐ด)))
1412, 13mpbid 231 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ 0 < (๐ต โˆ’ ๐ด))
1514, 6breqtrrdi 5186 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ 0 < ๐‘‡)
1610, 15elrpd 13040 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‡ โˆˆ โ„+)
17 fourierdlem6.jel . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ + (๐ฝ ยท ๐‘‡)) โˆˆ (๐ด[,]๐ต))
18 fourierdlem6.iel . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ + (๐ผ ยท ๐‘‡)) โˆˆ (๐ด[,]๐ต))
198, 7, 17, 18iccsuble 44963 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘‹ + (๐ฝ ยท ๐‘‡)) โˆ’ (๐‘‹ + (๐ผ ยท ๐‘‡))) โ‰ค (๐ต โˆ’ ๐ด))
202recnd 11267 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ฝ โˆˆ โ„‚)
214recnd 11267 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ผ โˆˆ โ„‚)
2210recnd 11267 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‡ โˆˆ โ„‚)
2320, 21, 22subdird 11696 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((๐ฝ โˆ’ ๐ผ) ยท ๐‘‡) = ((๐ฝ ยท ๐‘‡) โˆ’ (๐ผ ยท ๐‘‡)))
24 fourierdlem6.5 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„)
2524recnd 11267 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„‚)
262, 10remulcld 11269 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐ฝ ยท ๐‘‡) โˆˆ โ„)
2726recnd 11267 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐ฝ ยท ๐‘‡) โˆˆ โ„‚)
284, 10remulcld 11269 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐ผ ยท ๐‘‡) โˆˆ โ„)
2928recnd 11267 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐ผ ยท ๐‘‡) โˆˆ โ„‚)
3025, 27, 29pnpcand 11633 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘‹ + (๐ฝ ยท ๐‘‡)) โˆ’ (๐‘‹ + (๐ผ ยท ๐‘‡))) = ((๐ฝ ยท ๐‘‡) โˆ’ (๐ผ ยท ๐‘‡)))
3123, 30eqtr4d 2768 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐ฝ โˆ’ ๐ผ) ยท ๐‘‡) = ((๐‘‹ + (๐ฝ ยท ๐‘‡)) โˆ’ (๐‘‹ + (๐ผ ยท ๐‘‡))))
326a1i 11 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‡ = (๐ต โˆ’ ๐ด))
3319, 31, 323brtr4d 5176 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐ฝ โˆ’ ๐ผ) ยท ๐‘‡) โ‰ค ๐‘‡)
3411, 10, 16, 33lediv1dd 13101 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (((๐ฝ โˆ’ ๐ผ) ยท ๐‘‡) / ๐‘‡) โ‰ค (๐‘‡ / ๐‘‡))
355recnd 11267 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐ฝ โˆ’ ๐ผ) โˆˆ โ„‚)
3615gt0ne0d 11803 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‡ โ‰  0)
3735, 22, 36divcan4d 12021 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (((๐ฝ โˆ’ ๐ผ) ยท ๐‘‡) / ๐‘‡) = (๐ฝ โˆ’ ๐ผ))
3822, 36dividd 12013 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‡ / ๐‘‡) = 1)
3934, 37, 383brtr3d 5175 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐ฝ โˆ’ ๐ผ) โ‰ค 1)
40 1red 11240 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„)
412, 4, 40lesubadd2d 11838 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐ฝ โˆ’ ๐ผ) โ‰ค 1 โ†” ๐ฝ โ‰ค (๐ผ + 1)))
4239, 41mpbid 231 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐ฝ โ‰ค (๐ผ + 1))
43 fourierdlem6.iltj . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ผ < ๐ฝ)
44 zltp1le 12637 . . . 4 ((๐ผ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ฝ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ผ < ๐ฝ โ†” (๐ผ + 1) โ‰ค ๐ฝ))
453, 1, 44syl2anc 582 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐ผ < ๐ฝ โ†” (๐ผ + 1) โ‰ค ๐ฝ))
4643, 45mpbid 231 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐ผ + 1) โ‰ค ๐ฝ)
474, 40readdcld 11268 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐ผ + 1) โˆˆ โ„)
482, 47letri3d 11381 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐ฝ = (๐ผ + 1) โ†” (๐ฝ โ‰ค (๐ผ + 1) โˆง (๐ผ + 1) โ‰ค ๐ฝ)))
4942, 46, 48mpbir2and 711 1 (๐œ‘ โ†’ ๐ฝ = (๐ผ + 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   class class class wbr 5144  (class class class)co 7413  โ„cr 11132  0cc0 11133  1c1 11134   + caddc 11136   ยท cmul 11138   < clt 11273   โ‰ค cle 11274   โˆ’ cmin 11469   / cdiv 11896  โ„คcz 12583  [,]cicc 13354
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3961  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-iun 4994  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7866  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11897  df-nn 12238  df-n0 12498  df-z 12584  df-rp 13002  df-icc 13358
This theorem is referenced by:  fourierdlem35  45589  fourierdlem51  45604
  Copyright terms: Public domain W3C validator