Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem6 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fourierdlem6 41122
Description: 𝑋 is in the periodic partition, when the considered interval is centered at 𝑋. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem6.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
fourierdlem6.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
fourierdlem6.altb (𝜑𝐴 < 𝐵)
fourierdlem6.t 𝑇 = (𝐵𝐴)
fourierdlem6.5 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
fourierdlem6.i (𝜑𝐼 ∈ ℤ)
fourierdlem6.j (𝜑𝐽 ∈ ℤ)
fourierdlem6.iltj (𝜑𝐼 < 𝐽)
fourierdlem6.iel (𝜑 → (𝑋 + (𝐼 · 𝑇)) ∈ (𝐴[,]𝐵))
fourierdlem6.jel (𝜑 → (𝑋 + (𝐽 · 𝑇)) ∈ (𝐴[,]𝐵))
Assertion
Ref Expression
fourierdlem6 (𝜑𝐽 = (𝐼 + 1))

Proof of Theorem fourierdlem6
StepHypRef Expression
1 fourierdlem6.j . . . . . . . 8 (𝜑𝐽 ∈ ℤ)
21zred 11817 . . . . . . 7 (𝜑𝐽 ∈ ℝ)
3 fourierdlem6.i . . . . . . . 8 (𝜑𝐼 ∈ ℤ)
43zred 11817 . . . . . . 7 (𝜑𝐼 ∈ ℝ)
52, 4resubcld 10789 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐽𝐼) ∈ ℝ)
6 fourierdlem6.t . . . . . . 7 𝑇 = (𝐵𝐴)
7 fourierdlem6.b . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
8 fourierdlem6.a . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
97, 8resubcld 10789 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐵𝐴) ∈ ℝ)
106, 9syl5eqel 2910 . . . . . 6 (𝜑𝑇 ∈ ℝ)
115, 10remulcld 10394 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐽𝐼) · 𝑇) ∈ ℝ)
12 fourierdlem6.altb . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 < 𝐵)
138, 7posdifd 10946 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵𝐴)))
1412, 13mpbid 224 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 < (𝐵𝐴))
1514, 6syl6breqr 4917 . . . . . 6 (𝜑 → 0 < 𝑇)
1610, 15elrpd 12160 . . . . 5 (𝜑𝑇 ∈ ℝ+)
17 fourierdlem6.jel . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑋 + (𝐽 · 𝑇)) ∈ (𝐴[,]𝐵))
18 fourierdlem6.iel . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑋 + (𝐼 · 𝑇)) ∈ (𝐴[,]𝐵))
198, 7, 17, 18iccsuble 40539 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑋 + (𝐽 · 𝑇)) − (𝑋 + (𝐼 · 𝑇))) ≤ (𝐵𝐴))
202recnd 10392 . . . . . . . 8 (𝜑𝐽 ∈ ℂ)
214recnd 10392 . . . . . . . 8 (𝜑𝐼 ∈ ℂ)
2210recnd 10392 . . . . . . . 8 (𝜑𝑇 ∈ ℂ)
2320, 21, 22subdird 10818 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐽𝐼) · 𝑇) = ((𝐽 · 𝑇) − (𝐼 · 𝑇)))
24 fourierdlem6.5 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
2524recnd 10392 . . . . . . . 8 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
262, 10remulcld 10394 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐽 · 𝑇) ∈ ℝ)
2726recnd 10392 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐽 · 𝑇) ∈ ℂ)
284, 10remulcld 10394 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐼 · 𝑇) ∈ ℝ)
2928recnd 10392 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐼 · 𝑇) ∈ ℂ)
3025, 27, 29pnpcand 10757 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑋 + (𝐽 · 𝑇)) − (𝑋 + (𝐼 · 𝑇))) = ((𝐽 · 𝑇) − (𝐼 · 𝑇)))
3123, 30eqtr4d 2864 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐽𝐼) · 𝑇) = ((𝑋 + (𝐽 · 𝑇)) − (𝑋 + (𝐼 · 𝑇))))
326a1i 11 . . . . . 6 (𝜑𝑇 = (𝐵𝐴))
3319, 31, 323brtr4d 4907 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐽𝐼) · 𝑇) ≤ 𝑇)
3411, 10, 16, 33lediv1dd 12221 . . . 4 (𝜑 → (((𝐽𝐼) · 𝑇) / 𝑇) ≤ (𝑇 / 𝑇))
355recnd 10392 . . . . 5 (𝜑 → (𝐽𝐼) ∈ ℂ)
3615gt0ne0d 10923 . . . . 5 (𝜑𝑇 ≠ 0)
3735, 22, 36divcan4d 11140 . . . 4 (𝜑 → (((𝐽𝐼) · 𝑇) / 𝑇) = (𝐽𝐼))
3822, 36dividd 11132 . . . 4 (𝜑 → (𝑇 / 𝑇) = 1)
3934, 37, 383brtr3d 4906 . . 3 (𝜑 → (𝐽𝐼) ≤ 1)
40 1red 10364 . . . 4 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
412, 4, 40lesubadd2d 10958 . . 3 (𝜑 → ((𝐽𝐼) ≤ 1 ↔ 𝐽 ≤ (𝐼 + 1)))
4239, 41mpbid 224 . 2 (𝜑𝐽 ≤ (𝐼 + 1))
43 fourierdlem6.iltj . . 3 (𝜑𝐼 < 𝐽)
44 zltp1le 11762 . . . 4 ((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) → (𝐼 < 𝐽 ↔ (𝐼 + 1) ≤ 𝐽))
453, 1, 44syl2anc 579 . . 3 (𝜑 → (𝐼 < 𝐽 ↔ (𝐼 + 1) ≤ 𝐽))
4643, 45mpbid 224 . 2 (𝜑 → (𝐼 + 1) ≤ 𝐽)
474, 40readdcld 10393 . . 3 (𝜑 → (𝐼 + 1) ∈ ℝ)
482, 47letri3d 10505 . 2 (𝜑 → (𝐽 = (𝐼 + 1) ↔ (𝐽 ≤ (𝐼 + 1) ∧ (𝐼 + 1) ≤ 𝐽)))
4942, 46, 48mpbir2and 704 1 (𝜑𝐽 = (𝐼 + 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198   = wceq 1656  wcel 2164   class class class wbr 4875  (class class class)co 6910  cr 10258  0cc0 10259  1c1 10260   + caddc 10262   · cmul 10264   < clt 10398  cle 10399  cmin 10592   / cdiv 11016  cz 11711  [,]cicc 12473
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-cnex 10315  ax-resscn 10316  ax-1cn 10317  ax-icn 10318  ax-addcl 10319  ax-addrcl 10320  ax-mulcl 10321  ax-mulrcl 10322  ax-mulcom 10323  ax-addass 10324  ax-mulass 10325  ax-distr 10326  ax-i2m1 10327  ax-1ne0 10328  ax-1rid 10329  ax-rnegex 10330  ax-rrecex 10331  ax-cnre 10332  ax-pre-lttri 10333  ax-pre-lttrn 10334  ax-pre-ltadd 10335  ax-pre-mulgt0 10336
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-tp 4404  df-op 4406  df-uni 4661  df-iun 4744  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-tr 4978  df-id 5252  df-eprel 5257  df-po 5265  df-so 5266  df-fr 5305  df-we 5307  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-pred 5924  df-ord 5970  df-on 5971  df-lim 5972  df-suc 5973  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-riota 6871  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-om 7332  df-wrecs 7677  df-recs 7739  df-rdg 7777  df-er 8014  df-en 8229  df-dom 8230  df-sdom 8231  df-pnf 10400  df-mnf 10401  df-xr 10402  df-ltxr 10403  df-le 10404  df-sub 10594  df-neg 10595  df-div 11017  df-nn 11358  df-n0 11626  df-z 11712  df-rp 12120  df-icc 12477
This theorem is referenced by:  fourierdlem35  41151  fourierdlem51  41166
  Copyright terms: Public domain W3C validator