Theorem fourierdlem6 46118

Description: 𝑋 is in the periodic partition, when the considered interval is centered at 𝑋. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fourierdlem6.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
fourierdlem6.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
fourierdlem6.altb	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
fourierdlem6.t	⊢ 𝑇 = (𝐵 − 𝐴)
fourierdlem6.5	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
fourierdlem6.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℤ)
fourierdlem6.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℤ)
fourierdlem6.iltj	⊢ (𝜑 → 𝐼 < 𝐽)
fourierdlem6.iel	⊢ (𝜑 → (𝑋 + (𝐼 · 𝑇)) ∈ (𝐴[,]𝐵))
fourierdlem6.jel	⊢ (𝜑 → (𝑋 + (𝐽 · 𝑇)) ∈ (𝐴[,]𝐵))

Assertion

Ref	Expression
fourierdlem6	⊢ (𝜑 → 𝐽 = (𝐼 + 1))

Proof of Theorem fourierdlem6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fourierdlem6.j	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℤ)
2	1	zred 12645	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℝ)
3		fourierdlem6.i	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℤ)
4	3	zred 12645	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℝ)
5	2, 4	resubcld 11613	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐽 − 𝐼) ∈ ℝ)
6		fourierdlem6.t	. . . . . . 7 ⊢ 𝑇 = (𝐵 − 𝐴)
7		fourierdlem6.b	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
8		fourierdlem6.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
9	7, 8	resubcld 11613	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ)
10	6, 9	eqeltrid 2833	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ)
11	5, 10	remulcld 11211	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐽 − 𝐼) · 𝑇) ∈ ℝ)
12		fourierdlem6.altb	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
13	8, 7	posdifd 11772	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 − 𝐴)))
14	12, 13	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 < (𝐵 − 𝐴))
15	14, 6	breqtrrdi 5152	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑇)
16	10, 15	elrpd 12999	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ+)
17		fourierdlem6.jel	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + (𝐽 · 𝑇)) ∈ (𝐴[,]𝐵))
18		fourierdlem6.iel	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + (𝐼 · 𝑇)) ∈ (𝐴[,]𝐵))
19	8, 7, 17, 18	iccsuble 45524	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 + (𝐽 · 𝑇)) − (𝑋 + (𝐼 · 𝑇))) ≤ (𝐵 − 𝐴))
20	2	recnd 11209	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℂ)
21	4	recnd 11209	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℂ)
22	10	recnd 11209	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℂ)
23	20, 21, 22	subdird 11642	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐽 − 𝐼) · 𝑇) = ((𝐽 · 𝑇) − (𝐼 · 𝑇)))
24		fourierdlem6.5	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
25	24	recnd 11209	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
26	2, 10	remulcld 11211	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐽 · 𝑇) ∈ ℝ)
27	26	recnd 11209	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐽 · 𝑇) ∈ ℂ)
28	4, 10	remulcld 11211	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐼 · 𝑇) ∈ ℝ)
29	28	recnd 11209	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐼 · 𝑇) ∈ ℂ)
30	25, 27, 29	pnpcand 11577	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 + (𝐽 · 𝑇)) − (𝑋 + (𝐼 · 𝑇))) = ((𝐽 · 𝑇) − (𝐼 · 𝑇)))
31	23, 30	eqtr4d 2768	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐽 − 𝐼) · 𝑇) = ((𝑋 + (𝐽 · 𝑇)) − (𝑋 + (𝐼 · 𝑇))))
32	6	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑇 = (𝐵 − 𝐴))
33	19, 31, 32	3brtr4d 5142	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐽 − 𝐼) · 𝑇) ≤ 𝑇)
34	11, 10, 16, 33	lediv1dd 13060	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐽 − 𝐼) · 𝑇) / 𝑇) ≤ (𝑇 / 𝑇))
35	5	recnd 11209	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐽 − 𝐼) ∈ ℂ)
36	15	gt0ne0d 11749	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ≠ 0)
37	35, 22, 36	divcan4d 11971	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐽 − 𝐼) · 𝑇) / 𝑇) = (𝐽 − 𝐼))
38	22, 36	dividd 11963	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑇 / 𝑇) = 1)
39	34, 37, 38	3brtr3d 5141	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐽 − 𝐼) ≤ 1)
40		1red 11182	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
41	2, 4, 40	lesubadd2d 11784	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐽 − 𝐼) ≤ 1 ↔ 𝐽 ≤ (𝐼 + 1)))
42	39, 41	mpbid 232	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ≤ (𝐼 + 1))
43		fourierdlem6.iltj	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 < 𝐽)
44		zltp1le 12590	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) → (𝐼 < 𝐽 ↔ (𝐼 + 1) ≤ 𝐽))
45	3, 1, 44	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼 < 𝐽 ↔ (𝐼 + 1) ≤ 𝐽))
46	43, 45	mpbid 232	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼 + 1) ≤ 𝐽)
47	4, 40	readdcld 11210	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼 + 1) ∈ ℝ)
48	2, 47	letri3d 11323	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐽 = (𝐼 + 1) ↔ (𝐽 ≤ (𝐼 + 1) ∧ (𝐼 + 1) ≤ 𝐽)))
49	42, 46, 48	mpbir2and 713	1 ⊢ (𝜑 → 𝐽 = (𝐼 + 1))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5110  (class class class)co 7390  ℝcr 11074  0cc0 11075  1c1 11076   + caddc 11078   · cmul 11080   < clt 11215   ≤ cle 11216   − cmin 11412   / cdiv 11842  ℤcz 12536  [,]cicc 13316

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-n0 12450  df-z 12537  df-rp 12959  df-icc 13320

This theorem is referenced by:  fourierdlem35  46147  fourierdlem51  46162