Theorem fourierdlem6 47230

Description: 𝑋 is in the periodic partition, when the considered interval is centered at 𝑋. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fourierdlem6.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
fourierdlem6.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
fourierdlem6.altb	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
fourierdlem6.t	⊢ 𝑇 = (𝐵 − 𝐴)
fourierdlem6.5	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
fourierdlem6.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℤ)
fourierdlem6.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℤ)
fourierdlem6.iltj	⊢ (𝜑 → 𝐼 < 𝐽)
fourierdlem6.iel	⊢ (𝜑 → (𝑋 + (𝐼 · 𝑇)) ∈ (𝐴[,]𝐵))
fourierdlem6.jel	⊢ (𝜑 → (𝑋 + (𝐽 · 𝑇)) ∈ (𝐴[,]𝐵))

Assertion

Ref	Expression
fourierdlem6	⊢ (𝜑 → 𝐽 = (𝐼 + 1))

Proof of Theorem fourierdlem6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fourierdlem6.j	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℤ)
2	1	zred 12808	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℝ)
3		fourierdlem6.i	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℤ)
4	3	zred 12808	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℝ)
5	2, 4	resubcld 11749	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐽 − 𝐼) ∈ ℝ)
6		fourierdlem6.t	. . . . . . 7 ⊢ 𝑇 = (𝐵 − 𝐴)
7		fourierdlem6.b	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
8		fourierdlem6.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
9	7, 8	resubcld 11749	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ)
10	6, 9	eqeltrid 2864	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ)
11	5, 10	remulcld 11344	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐽 − 𝐼) · 𝑇) ∈ ℝ)
12		fourierdlem6.altb	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
13	8, 7	posdifd 11908	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 − 𝐴)))
14	12, 13	mpbid 235	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 < (𝐵 − 𝐴))
15	14, 6	breqtrrdi 5146	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑇)
16	10, 15	elrpd 13166	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ+)
17		fourierdlem6.jel	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + (𝐽 · 𝑇)) ∈ (𝐴[,]𝐵))
18		fourierdlem6.iel	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + (𝐼 · 𝑇)) ∈ (𝐴[,]𝐵))
19	8, 7, 17, 18	iccsuble 46638	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 + (𝐽 · 𝑇)) − (𝑋 + (𝐼 · 𝑇))) ≤ (𝐵 − 𝐴))
20	2	recnd 11342	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℂ)
21	4	recnd 11342	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℂ)
22	10	recnd 11342	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℂ)
23	20, 21, 22	subdird 11778	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐽 − 𝐼) · 𝑇) = ((𝐽 · 𝑇) − (𝐼 · 𝑇)))
24		fourierdlem6.5	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
25	24	recnd 11342	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
26	2, 10	remulcld 11344	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐽 · 𝑇) ∈ ℝ)
27	26	recnd 11342	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐽 · 𝑇) ∈ ℂ)
28	4, 10	remulcld 11344	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐼 · 𝑇) ∈ ℝ)
29	28	recnd 11342	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐼 · 𝑇) ∈ ℂ)
30	25, 27, 29	pnpcand 11711	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 + (𝐽 · 𝑇)) − (𝑋 + (𝐼 · 𝑇))) = ((𝐽 · 𝑇) − (𝐼 · 𝑇)))
31	23, 30	eqtr4d 2798	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐽 − 𝐼) · 𝑇) = ((𝑋 + (𝐽 · 𝑇)) − (𝑋 + (𝐼 · 𝑇))))
32	6	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑇 = (𝐵 − 𝐴))
33	19, 31, 32	3brtr4d 5136	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐽 − 𝐼) · 𝑇) ≤ 𝑇)
34	11, 10, 16, 33	lediv1dd 13227	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐽 − 𝐼) · 𝑇) / 𝑇) ≤ (𝑇 / 𝑇))
35	5	recnd 11342	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐽 − 𝐼) ∈ ℂ)
36	15	gt0ne0d 11885	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ≠ 0)
37	35, 22, 36	divcan4d 12104	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐽 − 𝐼) · 𝑇) / 𝑇) = (𝐽 − 𝐼))
38	22, 36	dividd 12096	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑇 / 𝑇) = 1)
39	34, 37, 38	3brtr3d 5135	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐽 − 𝐼) ≤ 1)
40		1red 11314	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
41	2, 4, 40	lesubadd2d 11920	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐽 − 𝐼) ≤ 1 ↔ 𝐽 ≤ (𝐼 + 1)))
42	39, 41	mpbid 235	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ≤ (𝐼 + 1))
43		fourierdlem6.iltj	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 < 𝐽)
44		zltp1le 12751	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) → (𝐼 < 𝐽 ↔ (𝐼 + 1) ≤ 𝐽))
45	3, 1, 44	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼 < 𝐽 ↔ (𝐼 + 1) ≤ 𝐽))
46	43, 45	mpbid 235	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼 + 1) ≤ 𝐽)
47	4, 40	readdcld 11343	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼 + 1) ∈ ℝ)
48	2, 47	letri3d 11457	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐽 = (𝐼 + 1) ↔ (𝐽 ≤ (𝐼 + 1) ∧ (𝐼 + 1) ≤ 𝐽)))
49	42, 46, 48	mpbir2and 726	1 ⊢ (𝜑 → 𝐽 = (𝐼 + 1))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   class class class wbr 5102  (class class class)co 7422  ℝcr 11204  0cc0 11205  1c1 11206   + caddc 11208   · cmul 11210   < clt 11348   ≤ cle 11349   − cmin 11546   / cdiv 11978  ℤcz 12698  [,]cicc 13484

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7753  ax-cnex 11261  ax-resscn 11262  ax-1cn 11263  ax-icn 11264  ax-addcl 11265  ax-addrcl 11266  ax-mulcl 11267  ax-mulrcl 11268  ax-mulcom 11269  ax-addass 11270  ax-mulass 11271  ax-distr 11272  ax-i2m1 11273  ax-1ne0 11274  ax-1rid 11275  ax-rnegex 11276  ax-rrecex 11277  ax-cnre 11278  ax-pre-lttri 11279  ax-pre-lttrn 11280  ax-pre-ltadd 11281  ax-pre-mulgt0 11282

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7379  df-ov 7425  df-oprab 7426  df-mpo 7427  df-om 7880  df-2nd 8004  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8384  df-rdg 8423  df-er 8722  df-en 8979  df-dom 8980  df-sdom 8981  df-pnf 11350  df-mnf 11351  df-xr 11352  df-ltxr 11353  df-le 11354  df-sub 11548  df-neg 11549  df-div 11979  df-nn 12341  df-n0 12612  df-z 12699  df-rp 13126  df-icc 13488

This theorem is used by:  fourierdlem35  47259  fourierdlem51  47274