Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem6 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fourierdlem6 45414
Description: ๐‘‹ is in the periodic partition, when the considered interval is centered at ๐‘‹. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem6.a (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
fourierdlem6.b (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
fourierdlem6.altb (๐œ‘ โ†’ ๐ด < ๐ต)
fourierdlem6.t ๐‘‡ = (๐ต โˆ’ ๐ด)
fourierdlem6.5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„)
fourierdlem6.i (๐œ‘ โ†’ ๐ผ โˆˆ โ„ค)
fourierdlem6.j (๐œ‘ โ†’ ๐ฝ โˆˆ โ„ค)
fourierdlem6.iltj (๐œ‘ โ†’ ๐ผ < ๐ฝ)
fourierdlem6.iel (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ + (๐ผ ยท ๐‘‡)) โˆˆ (๐ด[,]๐ต))
fourierdlem6.jel (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ + (๐ฝ ยท ๐‘‡)) โˆˆ (๐ด[,]๐ต))
Assertion
Ref Expression
fourierdlem6 (๐œ‘ โ†’ ๐ฝ = (๐ผ + 1))

Proof of Theorem fourierdlem6
StepHypRef Expression
1 fourierdlem6.j . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ฝ โˆˆ โ„ค)
21zred 12682 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ฝ โˆˆ โ„)
3 fourierdlem6.i . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ผ โˆˆ โ„ค)
43zred 12682 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ผ โˆˆ โ„)
52, 4resubcld 11658 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐ฝ โˆ’ ๐ผ) โˆˆ โ„)
6 fourierdlem6.t . . . . . . 7 ๐‘‡ = (๐ต โˆ’ ๐ด)
7 fourierdlem6.b . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
8 fourierdlem6.a . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
97, 8resubcld 11658 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐ต โˆ’ ๐ด) โˆˆ โ„)
106, 9eqeltrid 2832 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‡ โˆˆ โ„)
115, 10remulcld 11260 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐ฝ โˆ’ ๐ผ) ยท ๐‘‡) โˆˆ โ„)
12 fourierdlem6.altb . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ด < ๐ต)
138, 7posdifd 11817 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐ด < ๐ต โ†” 0 < (๐ต โˆ’ ๐ด)))
1412, 13mpbid 231 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ 0 < (๐ต โˆ’ ๐ด))
1514, 6breqtrrdi 5184 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ 0 < ๐‘‡)
1610, 15elrpd 13031 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‡ โˆˆ โ„+)
17 fourierdlem6.jel . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ + (๐ฝ ยท ๐‘‡)) โˆˆ (๐ด[,]๐ต))
18 fourierdlem6.iel . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ + (๐ผ ยท ๐‘‡)) โˆˆ (๐ด[,]๐ต))
198, 7, 17, 18iccsuble 44817 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘‹ + (๐ฝ ยท ๐‘‡)) โˆ’ (๐‘‹ + (๐ผ ยท ๐‘‡))) โ‰ค (๐ต โˆ’ ๐ด))
202recnd 11258 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ฝ โˆˆ โ„‚)
214recnd 11258 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ผ โˆˆ โ„‚)
2210recnd 11258 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‡ โˆˆ โ„‚)
2320, 21, 22subdird 11687 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((๐ฝ โˆ’ ๐ผ) ยท ๐‘‡) = ((๐ฝ ยท ๐‘‡) โˆ’ (๐ผ ยท ๐‘‡)))
24 fourierdlem6.5 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„)
2524recnd 11258 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„‚)
262, 10remulcld 11260 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐ฝ ยท ๐‘‡) โˆˆ โ„)
2726recnd 11258 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐ฝ ยท ๐‘‡) โˆˆ โ„‚)
284, 10remulcld 11260 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐ผ ยท ๐‘‡) โˆˆ โ„)
2928recnd 11258 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐ผ ยท ๐‘‡) โˆˆ โ„‚)
3025, 27, 29pnpcand 11624 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘‹ + (๐ฝ ยท ๐‘‡)) โˆ’ (๐‘‹ + (๐ผ ยท ๐‘‡))) = ((๐ฝ ยท ๐‘‡) โˆ’ (๐ผ ยท ๐‘‡)))
3123, 30eqtr4d 2770 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐ฝ โˆ’ ๐ผ) ยท ๐‘‡) = ((๐‘‹ + (๐ฝ ยท ๐‘‡)) โˆ’ (๐‘‹ + (๐ผ ยท ๐‘‡))))
326a1i 11 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‡ = (๐ต โˆ’ ๐ด))
3319, 31, 323brtr4d 5174 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐ฝ โˆ’ ๐ผ) ยท ๐‘‡) โ‰ค ๐‘‡)
3411, 10, 16, 33lediv1dd 13092 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (((๐ฝ โˆ’ ๐ผ) ยท ๐‘‡) / ๐‘‡) โ‰ค (๐‘‡ / ๐‘‡))
355recnd 11258 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐ฝ โˆ’ ๐ผ) โˆˆ โ„‚)
3615gt0ne0d 11794 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‡ โ‰  0)
3735, 22, 36divcan4d 12012 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (((๐ฝ โˆ’ ๐ผ) ยท ๐‘‡) / ๐‘‡) = (๐ฝ โˆ’ ๐ผ))
3822, 36dividd 12004 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‡ / ๐‘‡) = 1)
3934, 37, 383brtr3d 5173 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐ฝ โˆ’ ๐ผ) โ‰ค 1)
40 1red 11231 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„)
412, 4, 40lesubadd2d 11829 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐ฝ โˆ’ ๐ผ) โ‰ค 1 โ†” ๐ฝ โ‰ค (๐ผ + 1)))
4239, 41mpbid 231 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐ฝ โ‰ค (๐ผ + 1))
43 fourierdlem6.iltj . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ผ < ๐ฝ)
44 zltp1le 12628 . . . 4 ((๐ผ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ฝ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ผ < ๐ฝ โ†” (๐ผ + 1) โ‰ค ๐ฝ))
453, 1, 44syl2anc 583 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐ผ < ๐ฝ โ†” (๐ผ + 1) โ‰ค ๐ฝ))
4643, 45mpbid 231 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐ผ + 1) โ‰ค ๐ฝ)
474, 40readdcld 11259 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐ผ + 1) โˆˆ โ„)
482, 47letri3d 11372 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐ฝ = (๐ผ + 1) โ†” (๐ฝ โ‰ค (๐ผ + 1) โˆง (๐ผ + 1) โ‰ค ๐ฝ)))
4942, 46, 48mpbir2and 712 1 (๐œ‘ โ†’ ๐ฝ = (๐ผ + 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099   class class class wbr 5142  (class class class)co 7414  โ„cr 11123  0cc0 11124  1c1 11125   + caddc 11127   ยท cmul 11129   < clt 11264   โ‰ค cle 11265   โˆ’ cmin 11460   / cdiv 11887  โ„คcz 12574  [,]cicc 13345
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7863  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-er 8716  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-div 11888  df-nn 12229  df-n0 12489  df-z 12575  df-rp 12993  df-icc 13349
This theorem is referenced by:  fourierdlem35  45443  fourierdlem51  45458
  Copyright terms: Public domain W3C validator