Users' Mathboxes Mathbox for Zhi Wang < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iscnrm4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iscnrm4 47843
Description: A completely normal topology is a topology in which two separated sets can be separated by neighborhoods. (Contributed by Zhi Wang, 5-Sep-2024.)
Assertion
Ref Expression
iscnrm4 (𝐽 ∈ CNrm ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝒫 βˆͺ π½βˆ€π‘‘ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝐽(((𝑠 ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘‘)) = βˆ… ∧ (((clsβ€˜π½)β€˜π‘ ) ∩ 𝑑) = βˆ…) β†’ βˆƒπ‘› ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜π‘ )βˆƒπ‘š ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜π‘‘)(𝑛 ∩ π‘š) = βˆ…)))
Distinct variable group:   π‘š,𝐽,𝑛,𝑠,𝑑

Proof of Theorem iscnrm4
StepHypRef Expression
1 iscnrm3 47841 . 2 (𝐽 ∈ CNrm ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝒫 βˆͺ π½βˆ€π‘‘ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝐽(((𝑠 ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘‘)) = βˆ… ∧ (((clsβ€˜π½)β€˜π‘ ) ∩ 𝑑) = βˆ…) β†’ βˆƒπ‘› ∈ 𝐽 βˆƒπ‘š ∈ 𝐽 (𝑠 βŠ† 𝑛 ∧ 𝑑 βŠ† π‘š ∧ (𝑛 ∩ π‘š) = βˆ…))))
2 id 22 . . . . . 6 (𝐽 ∈ Top β†’ 𝐽 ∈ Top)
32sepnsepo 47812 . . . . 5 (𝐽 ∈ Top β†’ (βˆƒπ‘› ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜π‘ )βˆƒπ‘š ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜π‘‘)(𝑛 ∩ π‘š) = βˆ… ↔ βˆƒπ‘› ∈ 𝐽 βˆƒπ‘š ∈ 𝐽 (𝑠 βŠ† 𝑛 ∧ 𝑑 βŠ† π‘š ∧ (𝑛 ∩ π‘š) = βˆ…)))
43imbi2d 340 . . . 4 (𝐽 ∈ Top β†’ ((((𝑠 ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘‘)) = βˆ… ∧ (((clsβ€˜π½)β€˜π‘ ) ∩ 𝑑) = βˆ…) β†’ βˆƒπ‘› ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜π‘ )βˆƒπ‘š ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜π‘‘)(𝑛 ∩ π‘š) = βˆ…) ↔ (((𝑠 ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘‘)) = βˆ… ∧ (((clsβ€˜π½)β€˜π‘ ) ∩ 𝑑) = βˆ…) β†’ βˆƒπ‘› ∈ 𝐽 βˆƒπ‘š ∈ 𝐽 (𝑠 βŠ† 𝑛 ∧ 𝑑 βŠ† π‘š ∧ (𝑛 ∩ π‘š) = βˆ…))))
542ralbidv 3212 . . 3 (𝐽 ∈ Top β†’ (βˆ€π‘  ∈ 𝒫 βˆͺ π½βˆ€π‘‘ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝐽(((𝑠 ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘‘)) = βˆ… ∧ (((clsβ€˜π½)β€˜π‘ ) ∩ 𝑑) = βˆ…) β†’ βˆƒπ‘› ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜π‘ )βˆƒπ‘š ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜π‘‘)(𝑛 ∩ π‘š) = βˆ…) ↔ βˆ€π‘  ∈ 𝒫 βˆͺ π½βˆ€π‘‘ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝐽(((𝑠 ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘‘)) = βˆ… ∧ (((clsβ€˜π½)β€˜π‘ ) ∩ 𝑑) = βˆ…) β†’ βˆƒπ‘› ∈ 𝐽 βˆƒπ‘š ∈ 𝐽 (𝑠 βŠ† 𝑛 ∧ 𝑑 βŠ† π‘š ∧ (𝑛 ∩ π‘š) = βˆ…))))
65pm5.32i 574 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝒫 βˆͺ π½βˆ€π‘‘ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝐽(((𝑠 ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘‘)) = βˆ… ∧ (((clsβ€˜π½)β€˜π‘ ) ∩ 𝑑) = βˆ…) β†’ βˆƒπ‘› ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜π‘ )βˆƒπ‘š ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜π‘‘)(𝑛 ∩ π‘š) = βˆ…)) ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝒫 βˆͺ π½βˆ€π‘‘ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝐽(((𝑠 ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘‘)) = βˆ… ∧ (((clsβ€˜π½)β€˜π‘ ) ∩ 𝑑) = βˆ…) β†’ βˆƒπ‘› ∈ 𝐽 βˆƒπ‘š ∈ 𝐽 (𝑠 βŠ† 𝑛 ∧ 𝑑 βŠ† π‘š ∧ (𝑛 ∩ π‘š) = βˆ…))))
71, 6bitr4i 278 1 (𝐽 ∈ CNrm ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝒫 βˆͺ π½βˆ€π‘‘ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝐽(((𝑠 ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘‘)) = βˆ… ∧ (((clsβ€˜π½)β€˜π‘ ) ∩ 𝑑) = βˆ…) β†’ βˆƒπ‘› ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜π‘ )βˆƒπ‘š ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜π‘‘)(𝑛 ∩ π‘š) = βˆ…)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3055  βˆƒwrex 3064   ∩ cin 3942   βŠ† wss 3943  βˆ…c0 4317  π’« cpw 4597  βˆͺ cuni 4902  β€˜cfv 6536  Topctop 22745  clsccl 22872  neicnei 22951  CNrmccnrm 23165
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-en 8939  df-fin 8942  df-fi 9405  df-rest 17374  df-topgen 17395  df-top 22746  df-topon 22763  df-bases 22799  df-cld 22873  df-cls 22875  df-nei 22952  df-nrm 23171  df-cnrm 23172
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator