Users' Mathboxes Mathbox for Zhi Wang < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iscnrm4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iscnrm4 48051
Description: A completely normal topology is a topology in which two separated sets can be separated by neighborhoods. (Contributed by Zhi Wang, 5-Sep-2024.)
Assertion
Ref Expression
iscnrm4 (𝐽 ∈ CNrm ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝒫 βˆͺ π½βˆ€π‘‘ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝐽(((𝑠 ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘‘)) = βˆ… ∧ (((clsβ€˜π½)β€˜π‘ ) ∩ 𝑑) = βˆ…) β†’ βˆƒπ‘› ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜π‘ )βˆƒπ‘š ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜π‘‘)(𝑛 ∩ π‘š) = βˆ…)))
Distinct variable group:   π‘š,𝐽,𝑛,𝑠,𝑑

Proof of Theorem iscnrm4
StepHypRef Expression
1 iscnrm3 48049 . 2 (𝐽 ∈ CNrm ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝒫 βˆͺ π½βˆ€π‘‘ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝐽(((𝑠 ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘‘)) = βˆ… ∧ (((clsβ€˜π½)β€˜π‘ ) ∩ 𝑑) = βˆ…) β†’ βˆƒπ‘› ∈ 𝐽 βˆƒπ‘š ∈ 𝐽 (𝑠 βŠ† 𝑛 ∧ 𝑑 βŠ† π‘š ∧ (𝑛 ∩ π‘š) = βˆ…))))
2 id 22 . . . . . 6 (𝐽 ∈ Top β†’ 𝐽 ∈ Top)
32sepnsepo 48020 . . . . 5 (𝐽 ∈ Top β†’ (βˆƒπ‘› ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜π‘ )βˆƒπ‘š ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜π‘‘)(𝑛 ∩ π‘š) = βˆ… ↔ βˆƒπ‘› ∈ 𝐽 βˆƒπ‘š ∈ 𝐽 (𝑠 βŠ† 𝑛 ∧ 𝑑 βŠ† π‘š ∧ (𝑛 ∩ π‘š) = βˆ…)))
43imbi2d 339 . . . 4 (𝐽 ∈ Top β†’ ((((𝑠 ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘‘)) = βˆ… ∧ (((clsβ€˜π½)β€˜π‘ ) ∩ 𝑑) = βˆ…) β†’ βˆƒπ‘› ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜π‘ )βˆƒπ‘š ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜π‘‘)(𝑛 ∩ π‘š) = βˆ…) ↔ (((𝑠 ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘‘)) = βˆ… ∧ (((clsβ€˜π½)β€˜π‘ ) ∩ 𝑑) = βˆ…) β†’ βˆƒπ‘› ∈ 𝐽 βˆƒπ‘š ∈ 𝐽 (𝑠 βŠ† 𝑛 ∧ 𝑑 βŠ† π‘š ∧ (𝑛 ∩ π‘š) = βˆ…))))
542ralbidv 3216 . . 3 (𝐽 ∈ Top β†’ (βˆ€π‘  ∈ 𝒫 βˆͺ π½βˆ€π‘‘ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝐽(((𝑠 ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘‘)) = βˆ… ∧ (((clsβ€˜π½)β€˜π‘ ) ∩ 𝑑) = βˆ…) β†’ βˆƒπ‘› ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜π‘ )βˆƒπ‘š ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜π‘‘)(𝑛 ∩ π‘š) = βˆ…) ↔ βˆ€π‘  ∈ 𝒫 βˆͺ π½βˆ€π‘‘ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝐽(((𝑠 ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘‘)) = βˆ… ∧ (((clsβ€˜π½)β€˜π‘ ) ∩ 𝑑) = βˆ…) β†’ βˆƒπ‘› ∈ 𝐽 βˆƒπ‘š ∈ 𝐽 (𝑠 βŠ† 𝑛 ∧ 𝑑 βŠ† π‘š ∧ (𝑛 ∩ π‘š) = βˆ…))))
65pm5.32i 573 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝒫 βˆͺ π½βˆ€π‘‘ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝐽(((𝑠 ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘‘)) = βˆ… ∧ (((clsβ€˜π½)β€˜π‘ ) ∩ 𝑑) = βˆ…) β†’ βˆƒπ‘› ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜π‘ )βˆƒπ‘š ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜π‘‘)(𝑛 ∩ π‘š) = βˆ…)) ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝒫 βˆͺ π½βˆ€π‘‘ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝐽(((𝑠 ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘‘)) = βˆ… ∧ (((clsβ€˜π½)β€˜π‘ ) ∩ 𝑑) = βˆ…) β†’ βˆƒπ‘› ∈ 𝐽 βˆƒπ‘š ∈ 𝐽 (𝑠 βŠ† 𝑛 ∧ 𝑑 βŠ† π‘š ∧ (𝑛 ∩ π‘š) = βˆ…))))
71, 6bitr4i 277 1 (𝐽 ∈ CNrm ↔ (𝐽 ∈ Top ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝒫 βˆͺ π½βˆ€π‘‘ ∈ 𝒫 βˆͺ 𝐽(((𝑠 ∩ ((clsβ€˜π½)β€˜π‘‘)) = βˆ… ∧ (((clsβ€˜π½)β€˜π‘ ) ∩ 𝑑) = βˆ…) β†’ βˆƒπ‘› ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜π‘ )βˆƒπ‘š ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜π‘‘)(𝑛 ∩ π‘š) = βˆ…)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3058  βˆƒwrex 3067   ∩ cin 3948   βŠ† wss 3949  βˆ…c0 4326  π’« cpw 4606  βˆͺ cuni 4912  β€˜cfv 6553  Topctop 22815  clsccl 22942  neicnei 23021  CNrmccnrm 23235
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-iin 5003  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-en 8971  df-fin 8974  df-fi 9442  df-rest 17411  df-topgen 17432  df-top 22816  df-topon 22833  df-bases 22869  df-cld 22943  df-cls 22945  df-nei 23022  df-nrm 23241  df-cnrm 23242
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator