Theorem kgenftop 23532

Description: The compact generator generates a topology. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
kgenftop	⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝑘Gen‘𝐽) ∈ Top)

Proof of Theorem kgenftop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		toptopon2 22908	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘∪ 𝐽))
2		kgentopon 23530	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘∪ 𝐽) → (𝑘Gen‘𝐽) ∈ (TopOn‘∪ 𝐽))
3	1, 2	sylbi 216	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝑘Gen‘𝐽) ∈ (TopOn‘∪ 𝐽))
4		topontop 22903	. 2 ⊢ ((𝑘Gen‘𝐽) ∈ (TopOn‘∪ 𝐽) → (𝑘Gen‘𝐽) ∈ Top)
5	3, 4	syl 17	1 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝑘Gen‘𝐽) ∈ Top)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2099  ∪ cuni 4905  ‘cfv 6546  Topctop 22883  TopOnctopon 22900  𝑘Genckgen 23525

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5282  ax-sep 5296  ax-nul 5303  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7738

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3966  df-nul 4323  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4906  df-int 4947  df-iun 4995  df-br 5146  df-opab 5208  df-mpt 5229  df-tr 5263  df-id 5572  df-eprel 5578  df-po 5586  df-so 5587  df-fr 5629  df-we 5631  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6498  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-en 8967  df-fin 8970  df-fi 9447  df-rest 17432  df-topgen 17453  df-top 22884  df-topon 22901  df-bases 22937  df-cmp 23379  df-kgen 23526

This theorem is referenced by:  kgenf  23533  kgencmp  23537  kgencmp2  23538