Theorem kgenftop 23839

Description: The compact generator generates a topology. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
kgenftop	⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝑘Gen‘𝐽) ∈ Top)

Proof of Theorem kgenftop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		toptopon2 23216	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘∪ 𝐽))
2		kgentopon 23837	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘∪ 𝐽) → (𝑘Gen‘𝐽) ∈ (TopOn‘∪ 𝐽))
3	1, 2	sylbi 220	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝑘Gen‘𝐽) ∈ (TopOn‘∪ 𝐽))
4		topontop 23211	. 2 ⊢ ((𝑘Gen‘𝐽) ∈ (TopOn‘∪ 𝐽) → (𝑘Gen‘𝐽) ∈ Top)
5	3, 4	syl 18	1 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝑘Gen‘𝐽) ∈ Top)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145  ∪ cuni 4867  ‘cfv 6531  Topctop 23191  TopOnctopon 23208  𝑘Genckgen 23832

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-en 8958  df-fin 8961  df-fi 9387  df-rest 17573  df-topgen 17594  df-top 23192  df-topon 23209  df-bases 23244  df-cmp 23685  df-kgen 23833

This theorem is used by:  kgenf  23840  kgencmp  23844  kgencmp2  23845