Theorem kgenftop 23465

Description: The compact generator generates a topology. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
kgenftop	⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝑘Gen‘𝐽) ∈ Top)

Proof of Theorem kgenftop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		toptopon2 22843	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘∪ 𝐽))
2		kgentopon 23463	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘∪ 𝐽) → (𝑘Gen‘𝐽) ∈ (TopOn‘∪ 𝐽))
3	1, 2	sylbi 217	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝑘Gen‘𝐽) ∈ (TopOn‘∪ 𝐽))
4		topontop 22838	. 2 ⊢ ((𝑘Gen‘𝐽) ∈ (TopOn‘∪ 𝐽) → (𝑘Gen‘𝐽) ∈ Top)
5	3, 4	syl 17	1 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝑘Gen‘𝐽) ∈ Top)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2113  ∪ cuni 4860  ‘cfv 6489  Topctop 22818  TopOnctopon 22835  𝑘Genckgen 23458

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-ral 3050  df-rex 3059  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-int 4900  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-om 7806  df-1st 7930  df-2nd 7931  df-en 8879  df-fin 8882  df-fi 9305  df-rest 17336  df-topgen 17357  df-top 22819  df-topon 22836  df-bases 22871  df-cmp 23312  df-kgen 23459

This theorem is referenced by:  kgenf  23466  kgencmp  23470  kgencmp2  23471