Theorem kgenuni 22967

Description: The base set of the compact generator is the same as the original topology. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Mar-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
kgenuni.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
kgenuni	⊢ (𝐽 ∈ Top → 𝑋 = ∪ (𝑘Gen‘𝐽))

Proof of Theorem kgenuni

Step	Hyp	Ref	Expression
1		kgenuni.1	. . . 4 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
2	1	toptopon 22343	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
3		kgentopon 22966	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → (𝑘Gen‘𝐽) ∈ (TopOn‘𝑋))
4	2, 3	sylbi 216	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝑘Gen‘𝐽) ∈ (TopOn‘𝑋))
5		toponuni 22340	. 2 ⊢ ((𝑘Gen‘𝐽) ∈ (TopOn‘𝑋) → 𝑋 = ∪ (𝑘Gen‘𝐽))
6	4, 5	syl 17	1 ⊢ (𝐽 ∈ Top → 𝑋 = ∪ (𝑘Gen‘𝐽))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∪ cuni 4898  ‘cfv 6529  Topctop 22319  TopOnctopon 22336  𝑘Genckgen 22961

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7705

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3430  df-v 3472  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4520  df-pw 4595  df-sn 4620  df-pr 4622  df-op 4626  df-uni 4899  df-int 4941  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6531  df-fn 6532  df-f 6533  df-f1 6534  df-fo 6535  df-f1o 6536  df-fv 6537  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7836  df-1st 7954  df-2nd 7955  df-en 8920  df-fin 8923  df-fi 9385  df-rest 17347  df-topgen 17368  df-top 22320  df-topon 22337  df-bases 22373  df-cmp 22815  df-kgen 22962

This theorem is referenced by:  kgencmp2  22974  llycmpkgen2  22978  1stckgen  22982  txkgen  23080  qtopkgen  23138