MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  kgenuni Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem kgenuni 21866
Description: The base set of the compact generator is the same as the original topology. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
kgenuni.1 𝑋 = 𝐽
Assertion
Ref Expression
kgenuni (𝐽 ∈ Top → 𝑋 = (𝑘Gen‘𝐽))

Proof of Theorem kgenuni
StepHypRef Expression
1 kgenuni.1 . . . 4 𝑋 = 𝐽
21toptopon 21244 . . 3 (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
3 kgentopon 21865 . . 3 (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → (𝑘Gen‘𝐽) ∈ (TopOn‘𝑋))
42, 3sylbi 209 . 2 (𝐽 ∈ Top → (𝑘Gen‘𝐽) ∈ (TopOn‘𝑋))
5 toponuni 21241 . 2 ((𝑘Gen‘𝐽) ∈ (TopOn‘𝑋) → 𝑋 = (𝑘Gen‘𝐽))
64, 5syl 17 1 (𝐽 ∈ Top → 𝑋 = (𝑘Gen‘𝐽))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1508  wcel 2051   cuni 4708  cfv 6185  Topctop 21220  TopOnctopon 21237  𝑘Genckgen 21860
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1759  ax-4 1773  ax-5 1870  ax-6 1929  ax-7 1966  ax-8 2053  ax-9 2060  ax-10 2080  ax-11 2094  ax-12 2107  ax-13 2302  ax-ext 2743  ax-rep 5045  ax-sep 5056  ax-nul 5063  ax-pow 5115  ax-pr 5182  ax-un 7277
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 835  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1511  df-ex 1744  df-nf 1748  df-sb 2017  df-mo 2548  df-eu 2585  df-clab 2752  df-cleq 2764  df-clel 2839  df-nfc 2911  df-ne 2961  df-ral 3086  df-rex 3087  df-reu 3088  df-rab 3090  df-v 3410  df-sbc 3675  df-csb 3780  df-dif 3825  df-un 3827  df-in 3829  df-ss 3836  df-pss 3838  df-nul 4173  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4709  df-int 4746  df-iun 4790  df-br 4926  df-opab 4988  df-mpt 5005  df-tr 5027  df-id 5308  df-eprel 5313  df-po 5322  df-so 5323  df-fr 5362  df-we 5364  df-xp 5409  df-rel 5410  df-cnv 5411  df-co 5412  df-dm 5413  df-rn 5414  df-res 5415  df-ima 5416  df-pred 5983  df-ord 6029  df-on 6030  df-lim 6031  df-suc 6032  df-iota 6149  df-fun 6187  df-fn 6188  df-f 6189  df-f1 6190  df-fo 6191  df-f1o 6192  df-fv 6193  df-ov 6977  df-oprab 6978  df-mpo 6979  df-om 7395  df-1st 7499  df-2nd 7500  df-wrecs 7748  df-recs 7810  df-rdg 7848  df-oadd 7907  df-er 8087  df-en 8305  df-fin 8308  df-fi 8668  df-rest 16550  df-topgen 16571  df-top 21221  df-topon 21238  df-bases 21273  df-cmp 21714  df-kgen 21861
This theorem is referenced by:  kgencmp2  21873  llycmpkgen2  21877  1stckgen  21881  txkgen  21979  qtopkgen  22037
  Copyright terms: Public domain W3C validator