MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  kgenuni Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem kgenuni 22671
Description: The base set of the compact generator is the same as the original topology. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
kgenuni.1 𝑋 = 𝐽
Assertion
Ref Expression
kgenuni (𝐽 ∈ Top → 𝑋 = (𝑘Gen‘𝐽))

Proof of Theorem kgenuni
StepHypRef Expression
1 kgenuni.1 . . . 4 𝑋 = 𝐽
21toptopon 22047 . . 3 (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
3 kgentopon 22670 . . 3 (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → (𝑘Gen‘𝐽) ∈ (TopOn‘𝑋))
42, 3sylbi 216 . 2 (𝐽 ∈ Top → (𝑘Gen‘𝐽) ∈ (TopOn‘𝑋))
5 toponuni 22044 . 2 ((𝑘Gen‘𝐽) ∈ (TopOn‘𝑋) → 𝑋 = (𝑘Gen‘𝐽))
64, 5syl 17 1 (𝐽 ∈ Top → 𝑋 = (𝑘Gen‘𝐽))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1541  wcel 2109   cuni 4844  cfv 6430  Topctop 22023  TopOnctopon 22040  𝑘Genckgen 22665
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2140  ax-11 2157  ax-12 2174  ax-ext 2710  ax-rep 5213  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7579
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-nf 1790  df-sb 2071  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3072  df-rab 3074  df-v 3432  df-sbc 3720  df-csb 3837  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-pss 3910  df-nul 4262  df-if 4465  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4845  df-int 4885  df-iun 4931  df-br 5079  df-opab 5141  df-mpt 5162  df-tr 5196  df-id 5488  df-eprel 5494  df-po 5502  df-so 5503  df-fr 5543  df-we 5545  df-xp 5594  df-rel 5595  df-cnv 5596  df-co 5597  df-dm 5598  df-rn 5599  df-res 5600  df-ima 5601  df-ord 6266  df-on 6267  df-lim 6268  df-suc 6269  df-iota 6388  df-fun 6432  df-fn 6433  df-f 6434  df-f1 6435  df-fo 6436  df-f1o 6437  df-fv 6438  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-om 7701  df-1st 7817  df-2nd 7818  df-en 8708  df-fin 8711  df-fi 9131  df-rest 17114  df-topgen 17135  df-top 22024  df-topon 22041  df-bases 22077  df-cmp 22519  df-kgen 22666
This theorem is referenced by:  kgencmp2  22678  llycmpkgen2  22682  1stckgen  22686  txkgen  22784  qtopkgen  22842
  Copyright terms: Public domain W3C validator