Theorem lcm2un 41956

Description: Least common multiple of natural numbers up to 2 equals 2. (Contributed by metakunt, 25-Apr-2024.)

Assertion

Ref	Expression
lcm2un	⊢ (lcm‘(1...2)) = 2

Proof of Theorem lcm2un

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn 12322	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ
2		id 22	. . . . 5 ⊢ (2 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ)
3	2	lcmfunnnd 41954	. . . 4 ⊢ (2 ∈ ℕ → (lcm‘(1...2)) = ((lcm‘(1...(2 − 1))) lcm 2))
4	1, 3	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (lcm‘(1...2)) = ((lcm‘(1...(2 − 1))) lcm 2)
5		2m1e1 12375	. . . . . 6 ⊢ (2 − 1) = 1
6	5	oveq2i 7425	. . . . 5 ⊢ (1...(2 − 1)) = (1...1)
7	6	fveq2i 6890	. . . 4 ⊢ (lcm‘(1...(2 − 1))) = (lcm‘(1...1))
8	7	oveq1i 7424	. . 3 ⊢ ((lcm‘(1...(2 − 1))) lcm 2) = ((lcm‘(1...1)) lcm 2)
9	4, 8	eqtri 2757	. 2 ⊢ (lcm‘(1...2)) = ((lcm‘(1...1)) lcm 2)
10		lcm1un 41955	. . . 4 ⊢ (lcm‘(1...1)) = 1
11	10	oveq1i 7424	. . 3 ⊢ ((lcm‘(1...1)) lcm 2) = (1 lcm 2)
12		1z 12631	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℤ
13		2z 12633	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
14		lcmcom 16613	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → (1 lcm 2) = (2 lcm 1))
15	12, 13, 14	mp2an 692	. . . 4 ⊢ (1 lcm 2) = (2 lcm 1)
16		lcm1 16630	. . . . . 6 ⊢ (2 ∈ ℤ → (2 lcm 1) = (abs‘2))
17	13, 16	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (2 lcm 1) = (abs‘2)
18		2re 12323	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ
19		0le2 12351	. . . . . . 7 ⊢ 0 ≤ 2
20	18, 19	pm3.2i 470	. . . . . 6 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 2)
21		absid 15318	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 2) → (abs‘2) = 2)
22	20, 21	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (abs‘2) = 2
23	17, 22	eqtri 2757	. . . 4 ⊢ (2 lcm 1) = 2
24	15, 23	eqtri 2757	. . 3 ⊢ (1 lcm 2) = 2
25	11, 24	eqtri 2757	. 2 ⊢ ((lcm‘(1...1)) lcm 2) = 2
26	9, 25	eqtri 2757	1 ⊢ (lcm‘(1...2)) = 2

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5125  ‘cfv 6542  (class class class)co 7414  ℝcr 11137  0cc0 11138  1c1 11139   ≤ cle 11279   − cmin 11475  ℕcn 12249  2c2 12304  ℤcz 12597  ...cfz 13530  abscabs 15256   lcm clcm 16608  lcmclcmf 16609

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5261  ax-sep 5278  ax-nul 5288  ax-pow 5347  ax-pr 5414  ax-un 7738  ax-inf2 9664  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3773  df-csb 3882  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3950  df-pss 3953  df-nul 4316  df-if 4508  df-pw 4584  df-sn 4609  df-pr 4611  df-op 4615  df-uni 4890  df-int 4929  df-iun 4975  df-br 5126  df-opab 5188  df-mpt 5208  df-tr 5242  df-id 5560  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-se 5620  df-we 5621  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6303  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7871  df-1st 7997  df-2nd 7998  df-frecs 8289  df-wrecs 8320  df-recs 8394  df-rdg 8433  df-1o 8489  df-2o 8490  df-er 8728  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-fin 8972  df-sup 9465  df-inf 9466  df-oi 9533  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11477  df-neg 11478  df-div 11904  df-nn 12250  df-2 12312  df-3 12313  df-n0 12511  df-z 12598  df-uz 12862  df-rp 13018  df-fz 13531  df-fzo 13678  df-fl 13815  df-mod 13893  df-seq 14026  df-exp 14086  df-hash 14353  df-cj 15121  df-re 15122  df-im 15123  df-sqrt 15257  df-abs 15258  df-clim 15507  df-prod 15923  df-dvds 16274  df-gcd 16515  df-lcm 16610  df-lcmf 16611

This theorem is referenced by:  lcm3un  41957