Theorem lcm2un 41393

Description: Least common multiple of natural numbers up to 2 equals 2. (Contributed by metakunt, 25-Apr-2024.)

Assertion

Ref	Expression
lcm2un	⊢ (lcm‘(1...2)) = 2

Proof of Theorem lcm2un

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn 12286	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ
2		id 22	. . . . 5 ⊢ (2 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ)
3	2	lcmfunnnd 41391	. . . 4 ⊢ (2 ∈ ℕ → (lcm‘(1...2)) = ((lcm‘(1...(2 − 1))) lcm 2))
4	1, 3	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (lcm‘(1...2)) = ((lcm‘(1...(2 − 1))) lcm 2)
5		2m1e1 12339	. . . . . 6 ⊢ (2 − 1) = 1
6	5	oveq2i 7415	. . . . 5 ⊢ (1...(2 − 1)) = (1...1)
7	6	fveq2i 6887	. . . 4 ⊢ (lcm‘(1...(2 − 1))) = (lcm‘(1...1))
8	7	oveq1i 7414	. . 3 ⊢ ((lcm‘(1...(2 − 1))) lcm 2) = ((lcm‘(1...1)) lcm 2)
9	4, 8	eqtri 2754	. 2 ⊢ (lcm‘(1...2)) = ((lcm‘(1...1)) lcm 2)
10		lcm1un 41392	. . . 4 ⊢ (lcm‘(1...1)) = 1
11	10	oveq1i 7414	. . 3 ⊢ ((lcm‘(1...1)) lcm 2) = (1 lcm 2)
12		1z 12593	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℤ
13		2z 12595	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
14		lcmcom 16535	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → (1 lcm 2) = (2 lcm 1))
15	12, 13, 14	mp2an 689	. . . 4 ⊢ (1 lcm 2) = (2 lcm 1)
16		lcm1 16552	. . . . . 6 ⊢ (2 ∈ ℤ → (2 lcm 1) = (abs‘2))
17	13, 16	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (2 lcm 1) = (abs‘2)
18		2re 12287	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ
19		0le2 12315	. . . . . . 7 ⊢ 0 ≤ 2
20	18, 19	pm3.2i 470	. . . . . 6 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 2)
21		absid 15247	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 2) → (abs‘2) = 2)
22	20, 21	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (abs‘2) = 2
23	17, 22	eqtri 2754	. . . 4 ⊢ (2 lcm 1) = 2
24	15, 23	eqtri 2754	. . 3 ⊢ (1 lcm 2) = 2
25	11, 24	eqtri 2754	. 2 ⊢ ((lcm‘(1...1)) lcm 2) = 2
26	9, 25	eqtri 2754	1 ⊢ (lcm‘(1...2)) = 2

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5141  ‘cfv 6536  (class class class)co 7404  ℝcr 11108  0cc0 11109  1c1 11110   ≤ cle 11250   − cmin 11445  ℕcn 12213  2c2 12268  ℤcz 12559  ...cfz 13487  abscabs 15185   lcm clcm 16530  lcmclcmf 16531

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-inf2 9635  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-sup 9436  df-inf 9437  df-oi 9504  df-card 9933  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-rp 12978  df-fz 13488  df-fzo 13631  df-fl 13760  df-mod 13838  df-seq 13970  df-exp 14031  df-hash 14294  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-clim 15436  df-prod 15854  df-dvds 16203  df-gcd 16441  df-lcm 16532  df-lcmf 16533

This theorem is referenced by:  lcm3un  41394