Theorem lcm2un 40874

Description: Least common multiple of natural numbers up to 2 equals 2. (Contributed by metakunt, 25-Apr-2024.)

Assertion

Ref	Expression
lcm2un	⊢ (lcm‘(1...2)) = 2

Proof of Theorem lcm2un

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn 12284	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ
2		id 22	. . . . 5 ⊢ (2 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ)
3	2	lcmfunnnd 40872	. . . 4 ⊢ (2 ∈ ℕ → (lcm‘(1...2)) = ((lcm‘(1...(2 − 1))) lcm 2))
4	1, 3	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (lcm‘(1...2)) = ((lcm‘(1...(2 − 1))) lcm 2)
5		2m1e1 12337	. . . . . 6 ⊢ (2 − 1) = 1
6	5	oveq2i 7419	. . . . 5 ⊢ (1...(2 − 1)) = (1...1)
7	6	fveq2i 6894	. . . 4 ⊢ (lcm‘(1...(2 − 1))) = (lcm‘(1...1))
8	7	oveq1i 7418	. . 3 ⊢ ((lcm‘(1...(2 − 1))) lcm 2) = ((lcm‘(1...1)) lcm 2)
9	4, 8	eqtri 2760	. 2 ⊢ (lcm‘(1...2)) = ((lcm‘(1...1)) lcm 2)
10		lcm1un 40873	. . . 4 ⊢ (lcm‘(1...1)) = 1
11	10	oveq1i 7418	. . 3 ⊢ ((lcm‘(1...1)) lcm 2) = (1 lcm 2)
12		1z 12591	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℤ
13		2z 12593	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
14		lcmcom 16529	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → (1 lcm 2) = (2 lcm 1))
15	12, 13, 14	mp2an 690	. . . 4 ⊢ (1 lcm 2) = (2 lcm 1)
16		lcm1 16546	. . . . . 6 ⊢ (2 ∈ ℤ → (2 lcm 1) = (abs‘2))
17	13, 16	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (2 lcm 1) = (abs‘2)
18		2re 12285	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ
19		0le2 12313	. . . . . . 7 ⊢ 0 ≤ 2
20	18, 19	pm3.2i 471	. . . . . 6 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 2)
21		absid 15242	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 2) → (abs‘2) = 2)
22	20, 21	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (abs‘2) = 2
23	17, 22	eqtri 2760	. . . 4 ⊢ (2 lcm 1) = 2
24	15, 23	eqtri 2760	. . 3 ⊢ (1 lcm 2) = 2
25	11, 24	eqtri 2760	. 2 ⊢ ((lcm‘(1...1)) lcm 2) = 2
26	9, 25	eqtri 2760	1 ⊢ (lcm‘(1...2)) = 2

Syntax hints:   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5148  ‘cfv 6543  (class class class)co 7408  ℝcr 11108  0cc0 11109  1c1 11110   ≤ cle 11248   − cmin 11443  ℕcn 12211  2c2 12266  ℤcz 12557  ...cfz 13483  abscabs 15180   lcm clcm 16524  lcmclcmf 16525

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-inf2 9635  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-sup 9436  df-inf 9437  df-oi 9504  df-card 9933  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-rp 12974  df-fz 13484  df-fzo 13627  df-fl 13756  df-mod 13834  df-seq 13966  df-exp 14027  df-hash 14290  df-cj 15045  df-re 15046  df-im 15047  df-sqrt 15181  df-abs 15182  df-clim 15431  df-prod 15849  df-dvds 16197  df-gcd 16435  df-lcm 16526  df-lcmf 16527

This theorem is referenced by:  lcm3un  40875