Theorem lcm2un 39756

Description: Least common multiple of natural numbers up to 2 equals 2. (Contributed by metakunt, 25-Apr-2024.)

Assertion

Ref	Expression
lcm2un	⊢ (lcm‘(1...2)) = 2

Proof of Theorem lcm2un

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn 11903	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ
2		id 22	. . . . 5 ⊢ (2 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ)
3	2	lcmfunnnd 39754	. . . 4 ⊢ (2 ∈ ℕ → (lcm‘(1...2)) = ((lcm‘(1...(2 − 1))) lcm 2))
4	1, 3	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (lcm‘(1...2)) = ((lcm‘(1...(2 − 1))) lcm 2)
5		2m1e1 11956	. . . . . 6 ⊢ (2 − 1) = 1
6	5	oveq2i 7224	. . . . 5 ⊢ (1...(2 − 1)) = (1...1)
7	6	fveq2i 6720	. . . 4 ⊢ (lcm‘(1...(2 − 1))) = (lcm‘(1...1))
8	7	oveq1i 7223	. . 3 ⊢ ((lcm‘(1...(2 − 1))) lcm 2) = ((lcm‘(1...1)) lcm 2)
9	4, 8	eqtri 2765	. 2 ⊢ (lcm‘(1...2)) = ((lcm‘(1...1)) lcm 2)
10		lcm1un 39755	. . . 4 ⊢ (lcm‘(1...1)) = 1
11	10	oveq1i 7223	. . 3 ⊢ ((lcm‘(1...1)) lcm 2) = (1 lcm 2)
12		1z 12207	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℤ
13		2z 12209	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
14		lcmcom 16150	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → (1 lcm 2) = (2 lcm 1))
15	12, 13, 14	mp2an 692	. . . 4 ⊢ (1 lcm 2) = (2 lcm 1)
16		lcm1 16167	. . . . . 6 ⊢ (2 ∈ ℤ → (2 lcm 1) = (abs‘2))
17	13, 16	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (2 lcm 1) = (abs‘2)
18		2re 11904	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ
19		0le2 11932	. . . . . . 7 ⊢ 0 ≤ 2
20	18, 19	pm3.2i 474	. . . . . 6 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 2)
21		absid 14860	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 2) → (abs‘2) = 2)
22	20, 21	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (abs‘2) = 2
23	17, 22	eqtri 2765	. . . 4 ⊢ (2 lcm 1) = 2
24	15, 23	eqtri 2765	. . 3 ⊢ (1 lcm 2) = 2
25	11, 24	eqtri 2765	. 2 ⊢ ((lcm‘(1...1)) lcm 2) = 2
26	9, 25	eqtri 2765	1 ⊢ (lcm‘(1...2)) = 2

Syntax hints:   ∧ wa 399   = wceq 1543   ∈ wcel 2110   class class class wbr 5053  ‘cfv 6380  (class class class)co 7213  ℝcr 10728  0cc0 10729  1c1 10730   ≤ cle 10868   − cmin 11062  ℕcn 11830  2c2 11885  ℤcz 12176  ...cfz 13095  abscabs 14797   lcm clcm 16145  lcmclcmf 16146

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-inf2 9256  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806  ax-pre-sup 10807

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-int 4860  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-se 5510  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-isom 6389  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-1o 8202  df-er 8391  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-fin 8630  df-sup 9058  df-inf 9059  df-oi 9126  df-card 9555  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-div 11490  df-nn 11831  df-2 11893  df-3 11894  df-n0 12091  df-z 12177  df-uz 12439  df-rp 12587  df-fz 13096  df-fzo 13239  df-fl 13367  df-mod 13443  df-seq 13575  df-exp 13636  df-hash 13897  df-cj 14662  df-re 14663  df-im 14664  df-sqrt 14798  df-abs 14799  df-clim 15049  df-prod 15468  df-dvds 15816  df-gcd 16054  df-lcm 16147  df-lcmf 16148

This theorem is referenced by:  lcm3un  39757