Theorem lcm2un 41949

Description: Least common multiple of natural numbers up to 2 equals 2. (Contributed by metakunt, 25-Apr-2024.)

Assertion

Ref	Expression
lcm2un	⊢ (lcm‘(1...2)) = 2

Proof of Theorem lcm2un

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn 12305	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℕ
2		id 22	. . . . 5 ⊢ (2 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ)
3	2	lcmfunnnd 41947	. . . 4 ⊢ (2 ∈ ℕ → (lcm‘(1...2)) = ((lcm‘(1...(2 − 1))) lcm 2))
4	1, 3	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (lcm‘(1...2)) = ((lcm‘(1...(2 − 1))) lcm 2)
5		2m1e1 12358	. . . . . 6 ⊢ (2 − 1) = 1
6	5	oveq2i 7410	. . . . 5 ⊢ (1...(2 − 1)) = (1...1)
7	6	fveq2i 6875	. . . 4 ⊢ (lcm‘(1...(2 − 1))) = (lcm‘(1...1))
8	7	oveq1i 7409	. . 3 ⊢ ((lcm‘(1...(2 − 1))) lcm 2) = ((lcm‘(1...1)) lcm 2)
9	4, 8	eqtri 2757	. 2 ⊢ (lcm‘(1...2)) = ((lcm‘(1...1)) lcm 2)
10		lcm1un 41948	. . . 4 ⊢ (lcm‘(1...1)) = 1
11	10	oveq1i 7409	. . 3 ⊢ ((lcm‘(1...1)) lcm 2) = (1 lcm 2)
12		1z 12614	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℤ
13		2z 12616	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℤ
14		lcmcom 16597	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → (1 lcm 2) = (2 lcm 1))
15	12, 13, 14	mp2an 692	. . . 4 ⊢ (1 lcm 2) = (2 lcm 1)
16		lcm1 16614	. . . . . 6 ⊢ (2 ∈ ℤ → (2 lcm 1) = (abs‘2))
17	13, 16	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (2 lcm 1) = (abs‘2)
18		2re 12306	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ
19		0le2 12334	. . . . . . 7 ⊢ 0 ≤ 2
20	18, 19	pm3.2i 470	. . . . . 6 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 2)
21		absid 15302	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 2) → (abs‘2) = 2)
22	20, 21	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (abs‘2) = 2
23	17, 22	eqtri 2757	. . . 4 ⊢ (2 lcm 1) = 2
24	15, 23	eqtri 2757	. . 3 ⊢ (1 lcm 2) = 2
25	11, 24	eqtri 2757	. 2 ⊢ ((lcm‘(1...1)) lcm 2) = 2
26	9, 25	eqtri 2757	1 ⊢ (lcm‘(1...2)) = 2

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5116  ‘cfv 6527  (class class class)co 7399  ℝcr 11120  0cc0 11121  1c1 11122   ≤ cle 11262   − cmin 11458  ℕcn 12232  2c2 12287  ℤcz 12580  ...cfz 13513  abscabs 15240   lcm clcm 16592  lcmclcmf 16593

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5246  ax-sep 5263  ax-nul 5273  ax-pow 5332  ax-pr 5399  ax-un 7723  ax-inf2 9647  ax-cnex 11177  ax-resscn 11178  ax-1cn 11179  ax-icn 11180  ax-addcl 11181  ax-addrcl 11182  ax-mulcl 11183  ax-mulrcl 11184  ax-mulcom 11185  ax-addass 11186  ax-mulass 11187  ax-distr 11188  ax-i2m1 11189  ax-1ne0 11190  ax-1rid 11191  ax-rnegex 11192  ax-rrecex 11193  ax-cnre 11194  ax-pre-lttri 11195  ax-pre-lttrn 11196  ax-pre-ltadd 11197  ax-pre-mulgt0 11198  ax-pre-sup 11199

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3357  df-reu 3358  df-rab 3414  df-v 3459  df-sbc 3764  df-csb 3873  df-dif 3927  df-un 3929  df-in 3931  df-ss 3941  df-pss 3944  df-nul 4307  df-if 4499  df-pw 4575  df-sn 4600  df-pr 4602  df-op 4606  df-uni 4881  df-int 4920  df-iun 4966  df-br 5117  df-opab 5179  df-mpt 5199  df-tr 5227  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6287  df-ord 6352  df-on 6353  df-lim 6354  df-suc 6355  df-iota 6480  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-isom 6536  df-riota 7356  df-ov 7402  df-oprab 7403  df-mpo 7404  df-om 7856  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8474  df-2o 8475  df-er 8713  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-sup 9448  df-inf 9449  df-oi 9516  df-card 9945  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11460  df-neg 11461  df-div 11887  df-nn 12233  df-2 12295  df-3 12296  df-n0 12494  df-z 12581  df-uz 12845  df-rp 13001  df-fz 13514  df-fzo 13661  df-fl 13798  df-mod 13876  df-seq 14009  df-exp 14069  df-hash 14337  df-cj 15105  df-re 15106  df-im 15107  df-sqrt 15241  df-abs 15242  df-clim 15491  df-prod 15907  df-dvds 16258  df-gcd 16499  df-lcm 16594  df-lcmf 16595

This theorem is referenced by:  lcm3un  41950