Theorem lcmf2a3a4e12 16827

Description: The least common multiple of 2 , 3 and 4 is 12. (Contributed by AV, 27-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
lcmf2a3a4e12	⊢ (lcm‘{2, 3, 4}) = ;12

Proof of Theorem lcmf2a3a4e12

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2z 12731	. 2 ⊢ 2 ∈ ℤ
2		3z 12732	. 2 ⊢ 3 ∈ ℤ
3		4z 12733	. 2 ⊢ 4 ∈ ℤ
4		lcmftp 16816	. . 3 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ) → (lcm‘{2, 3, 4}) = ((2 lcm 3) lcm 4))
5		lcmcom 16773	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ) → (2 lcm 3) = (3 lcm 2))
6	5	3adant3 1150	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ) → (2 lcm 3) = (3 lcm 2))
7		3lcm2e6woprm 16795	. . . . . 6 ⊢ (3 lcm 2) = 6
8	6, 7	eqtrdi 2811	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ) → (2 lcm 3) = 6)
9	8	oveq1d 7435	. . . 4 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ) → ((2 lcm 3) lcm 4) = (6 lcm 4))
10		6lcm4e12 16796	. . . 4 ⊢ (6 lcm 4) = ;12
11	9, 10	eqtrdi 2811	. . 3 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ) → ((2 lcm 3) lcm 4) = ;12)
12	4, 11	eqtrd 2795	. 2 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ) → (lcm‘{2, 3, 4}) = ;12)
13	1, 2, 3, 12	mp3an 1490	1 ⊢ (lcm‘{2, 3, 4}) = ;12

This proof depends on syntax axioms:   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  {ctp 4588  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  1c1 11204  2c2 12400  3c3 12401  4c4 12402  6c6 12404  ℤcz 12696  ;cdc 12817   lcm clcm 16768  lcmclcmf 16769

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-inf2 9645  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280  ax-pre-sup 11281

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-1o 8479  df-2o 8480  df-er 8720  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-fin 8980  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9507  df-card 10023  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547  df-div 11977  df-nn 12339  df-2 12408  df-3 12409  df-4 12410  df-5 12411  df-6 12412  df-7 12413  df-8 12414  df-9 12415  df-n0 12610  df-z 12697  df-dec 12818  df-uz 12969  df-rp 13124  df-fz 13643  df-fzo 13792  df-fl 13935  df-mod 14013  df-seq 14148  df-exp 14208  df-hash 14478  df-cj 15271  df-re 15272  df-im 15273  df-sqrt 15407  df-abs 15408  df-clim 15660  df-prod 16078  df-dvds 16428  df-gcd 16670  df-lcm 16770  df-lcmf 16771

This theorem is used by: (None)