Theorem lcmf2a3a4e12 16822

Description: The least common multiple of 2 , 3 and 4 is 12. (Contributed by AV, 27-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
lcmf2a3a4e12	⊢ (lcm‘{2, 3, 4}) = ;12

Proof of Theorem lcmf2a3a4e12

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2z 12728	. 2 ⊢ 2 ∈ ℤ
2		3z 12729	. 2 ⊢ 3 ∈ ℤ
3		4z 12730	. 2 ⊢ 4 ∈ ℤ
4		lcmftp 16811	. . 3 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ) → (lcm‘{2, 3, 4}) = ((2 lcm 3) lcm 4))
5		lcmcom 16768	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ) → (2 lcm 3) = (3 lcm 2))
6	5	3adant3 1150	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ) → (2 lcm 3) = (3 lcm 2))
7		3lcm2e6woprm 16790	. . . . . 6 ⊢ (3 lcm 2) = 6
8	6, 7	eqtrdi 2811	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ) → (2 lcm 3) = 6)
9	8	oveq1d 7435	. . . 4 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ) → ((2 lcm 3) lcm 4) = (6 lcm 4))
10		6lcm4e12 16791	. . . 4 ⊢ (6 lcm 4) = ;12
11	9, 10	eqtrdi 2811	. . 3 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ) → ((2 lcm 3) lcm 4) = ;12)
12	4, 11	eqtrd 2795	. 2 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ) → (lcm‘{2, 3, 4}) = ;12)
13	1, 2, 3, 12	mp3an 1490	1 ⊢ (lcm‘{2, 3, 4}) = ;12

This proof depends on syntax axioms:   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  {ctp 4587  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  1c1 11201  2c2 12397  3c3 12398  4c4 12399  6c6 12401  ℤcz 12693  ;cdc 12814   lcm clcm 16763  lcmclcmf 16764

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-inf2 9642  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-pre-sup 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3899  df-un 3901  df-in 3903  df-ss 3914  df-pss 4034  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-2o 8477  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-sup 9434  df-inf 9435  df-oi 9504  df-card 10020  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-6 12409  df-7 12410  df-8 12411  df-9 12412  df-n0 12607  df-z 12694  df-dec 12815  df-uz 12966  df-rp 13121  df-fz 13640  df-fzo 13789  df-fl 13932  df-mod 14010  df-seq 14145  df-exp 14205  df-hash 14475  df-cj 15266  df-re 15267  df-im 15268  df-sqrt 15402  df-abs 15403  df-clim 15655  df-prod 16073  df-dvds 16423  df-gcd 16665  df-lcm 16765  df-lcmf 16766

This theorem is used by: (None)