Theorem lcm3un 40880

Description: Least common multiple of natural numbers up to 3 equals 6. (Contributed by metakunt, 25-Apr-2024.)

Assertion

Ref	Expression
lcm3un	⊢ (lcm‘(1...3)) = 6

Proof of Theorem lcm3un

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3nn 12291	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ
2		id 22	. . . 4 ⊢ (3 ∈ ℕ → 3 ∈ ℕ)
3	2	lcmfunnnd 40877	. . 3 ⊢ (3 ∈ ℕ → (lcm‘(1...3)) = ((lcm‘(1...(3 − 1))) lcm 3))
4	1, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (lcm‘(1...3)) = ((lcm‘(1...(3 − 1))) lcm 3)
5		3m1e2 12340	. . . . . . 7 ⊢ (3 − 1) = 2
6	5	oveq2i 7420	. . . . . 6 ⊢ (1...(3 − 1)) = (1...2)
7	6	fveq2i 6895	. . . . 5 ⊢ (lcm‘(1...(3 − 1))) = (lcm‘(1...2))
8		lcm2un 40879	. . . . 5 ⊢ (lcm‘(1...2)) = 2
9	7, 8	eqtri 2761	. . . 4 ⊢ (lcm‘(1...(3 − 1))) = 2
10	9	oveq1i 7419	. . 3 ⊢ ((lcm‘(1...(3 − 1))) lcm 3) = (2 lcm 3)
11		2z 12594	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℤ
12		3z 12595	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℤ
13	11, 12	pm3.2i 472	. . . . 5 ⊢ (2 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ)
14		lcmcom 16530	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ) → (2 lcm 3) = (3 lcm 2))
15	13, 14	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (2 lcm 3) = (3 lcm 2)
16		3lcm2e6 16668	. . . 4 ⊢ (3 lcm 2) = 6
17	15, 16	eqtri 2761	. . 3 ⊢ (2 lcm 3) = 6
18	10, 17	eqtri 2761	. 2 ⊢ ((lcm‘(1...(3 − 1))) lcm 3) = 6
19	4, 18	eqtri 2761	1 ⊢ (lcm‘(1...3)) = 6

Syntax hints:   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  ‘cfv 6544  (class class class)co 7409  1c1 11111   − cmin 11444  ℕcn 12212  2c2 12267  3c3 12268  6c6 12271  ℤcz 12558  ...cfz 13484   lcm clcm 16525  lcmclcmf 16526

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-mod 13835  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-clim 15432  df-prod 15850  df-dvds 16198  df-gcd 16436  df-lcm 16527  df-lcmf 16528  df-prm 16609

This theorem is referenced by:  lcm4un  40881