Theorem lcm3un 42265

Description: Least common multiple of natural numbers up to 3 equals 6. (Contributed by metakunt, 25-Apr-2024.)

Assertion

Ref	Expression
lcm3un	⊢ (lcm‘(1...3)) = 6

Proof of Theorem lcm3un

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3nn 12224	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ
2		id 22	. . . 4 ⊢ (3 ∈ ℕ → 3 ∈ ℕ)
3	2	lcmfunnnd 42262	. . 3 ⊢ (3 ∈ ℕ → (lcm‘(1...3)) = ((lcm‘(1...(3 − 1))) lcm 3))
4	1, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (lcm‘(1...3)) = ((lcm‘(1...(3 − 1))) lcm 3)
5		3m1e2 12268	. . . . . . 7 ⊢ (3 − 1) = 2
6	5	oveq2i 7369	. . . . . 6 ⊢ (1...(3 − 1)) = (1...2)
7	6	fveq2i 6837	. . . . 5 ⊢ (lcm‘(1...(3 − 1))) = (lcm‘(1...2))
8		lcm2un 42264	. . . . 5 ⊢ (lcm‘(1...2)) = 2
9	7, 8	eqtri 2759	. . . 4 ⊢ (lcm‘(1...(3 − 1))) = 2
10	9	oveq1i 7368	. . 3 ⊢ ((lcm‘(1...(3 − 1))) lcm 3) = (2 lcm 3)
11		2z 12523	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℤ
12		3z 12524	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℤ
13	11, 12	pm3.2i 470	. . . . 5 ⊢ (2 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ)
14		lcmcom 16520	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ) → (2 lcm 3) = (3 lcm 2))
15	13, 14	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (2 lcm 3) = (3 lcm 2)
16		3lcm2e6 16659	. . . 4 ⊢ (3 lcm 2) = 6
17	15, 16	eqtri 2759	. . 3 ⊢ (2 lcm 3) = 6
18	10, 17	eqtri 2759	. 2 ⊢ ((lcm‘(1...(3 − 1))) lcm 3) = 6
19	4, 18	eqtri 2759	1 ⊢ (lcm‘(1...3)) = 6

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  1c1 11027   − cmin 11364  ℕcn 12145  2c2 12200  3c3 12201  6c6 12204  ℤcz 12488  ...cfz 13423   lcm clcm 16515  lcmclcmf 16516

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-inf2 9550  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103  ax-pre-sup 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-2o 8398  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9345  df-inf 9346  df-oi 9415  df-card 9851  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-div 11795  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-4 12210  df-5 12211  df-6 12212  df-n0 12402  df-z 12489  df-uz 12752  df-rp 12906  df-fz 13424  df-fzo 13571  df-fl 13712  df-mod 13790  df-seq 13925  df-exp 13985  df-hash 14254  df-cj 15022  df-re 15023  df-im 15024  df-sqrt 15158  df-abs 15159  df-clim 15411  df-prod 15827  df-dvds 16180  df-gcd 16422  df-lcm 16517  df-lcmf 16518  df-prm 16599

This theorem is referenced by:  lcm4un  42266