Theorem lcm3un 41974

Description: Least common multiple of natural numbers up to 3 equals 6. (Contributed by metakunt, 25-Apr-2024.)

Assertion

Ref	Expression
lcm3un	⊢ (lcm‘(1...3)) = 6

Proof of Theorem lcm3un

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3nn 12317	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ
2		id 22	. . . 4 ⊢ (3 ∈ ℕ → 3 ∈ ℕ)
3	2	lcmfunnnd 41971	. . 3 ⊢ (3 ∈ ℕ → (lcm‘(1...3)) = ((lcm‘(1...(3 − 1))) lcm 3))
4	1, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (lcm‘(1...3)) = ((lcm‘(1...(3 − 1))) lcm 3)
5		3m1e2 12366	. . . . . . 7 ⊢ (3 − 1) = 2
6	5	oveq2i 7414	. . . . . 6 ⊢ (1...(3 − 1)) = (1...2)
7	6	fveq2i 6878	. . . . 5 ⊢ (lcm‘(1...(3 − 1))) = (lcm‘(1...2))
8		lcm2un 41973	. . . . 5 ⊢ (lcm‘(1...2)) = 2
9	7, 8	eqtri 2758	. . . 4 ⊢ (lcm‘(1...(3 − 1))) = 2
10	9	oveq1i 7413	. . 3 ⊢ ((lcm‘(1...(3 − 1))) lcm 3) = (2 lcm 3)
11		2z 12622	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℤ
12		3z 12623	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℤ
13	11, 12	pm3.2i 470	. . . . 5 ⊢ (2 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ)
14		lcmcom 16610	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ) → (2 lcm 3) = (3 lcm 2))
15	13, 14	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (2 lcm 3) = (3 lcm 2)
16		3lcm2e6 16749	. . . 4 ⊢ (3 lcm 2) = 6
17	15, 16	eqtri 2758	. . 3 ⊢ (2 lcm 3) = 6
18	10, 17	eqtri 2758	. 2 ⊢ ((lcm‘(1...(3 − 1))) lcm 3) = 6
19	4, 18	eqtri 2758	1 ⊢ (lcm‘(1...3)) = 6

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6530  (class class class)co 7403  1c1 11128   − cmin 11464  ℕcn 12238  2c2 12293  3c3 12294  6c6 12297  ℤcz 12586  ...cfz 13522   lcm clcm 16605  lcmclcmf 16606

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7727  ax-inf2 9653  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-pre-sup 11205

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-se 5607  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6483  df-fun 6532  df-fn 6533  df-f 6534  df-f1 6535  df-fo 6536  df-f1o 6537  df-fv 6538  df-isom 6539  df-riota 7360  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-om 7860  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-2o 8479  df-er 8717  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-sup 9452  df-inf 9453  df-oi 9522  df-card 9951  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11466  df-neg 11467  df-div 11893  df-nn 12239  df-2 12301  df-3 12302  df-4 12303  df-5 12304  df-6 12305  df-n0 12500  df-z 12587  df-uz 12851  df-rp 13007  df-fz 13523  df-fzo 13670  df-fl 13807  df-mod 13885  df-seq 14018  df-exp 14078  df-hash 14347  df-cj 15116  df-re 15117  df-im 15118  df-sqrt 15252  df-abs 15253  df-clim 15502  df-prod 15918  df-dvds 16271  df-gcd 16512  df-lcm 16607  df-lcmf 16608  df-prm 16689

This theorem is referenced by:  lcm4un  41975