Theorem lerec2 11517

Description: Reciprocal swap in a 'less than or equal to' relation. (Contributed by NM, 24-Feb-2005.)

Assertion

Ref	Expression
lerec2	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → (𝐴 ≤ (1 / 𝐵) ↔ 𝐵 ≤ (1 / 𝐴)))

Proof of Theorem lerec2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gt0ne0 11094	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) → 𝐵 ≠ 0)
2		rereccl 11347	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (1 / 𝐵) ∈ ℝ)
3	1, 2	syldan 594	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) → (1 / 𝐵) ∈ ℝ)
4		recgt0 11475	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) → 0 < (1 / 𝐵))
5	3, 4	jca 515	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) → ((1 / 𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 < (1 / 𝐵)))
6		lerec 11512	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ ((1 / 𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 < (1 / 𝐵))) → (𝐴 ≤ (1 / 𝐵) ↔ (1 / (1 / 𝐵)) ≤ (1 / 𝐴)))
7	5, 6	sylan2 595	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → (𝐴 ≤ (1 / 𝐵) ↔ (1 / (1 / 𝐵)) ≤ (1 / 𝐴)))
8		recn 10616	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
9		recrec 11326	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (1 / (1 / 𝐵)) = 𝐵)
10	8, 1, 9	syl2an2r 684	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) → (1 / (1 / 𝐵)) = 𝐵)
11	10	adantl 485	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → (1 / (1 / 𝐵)) = 𝐵)
12	11	breq1d 5040	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → ((1 / (1 / 𝐵)) ≤ (1 / 𝐴) ↔ 𝐵 ≤ (1 / 𝐴)))
13	7, 12	bitrd 282	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → (𝐴 ≤ (1 / 𝐵) ↔ 𝐵 ≤ (1 / 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987   class class class wbr 5030  (class class class)co 7135  ℂcc 10524  ℝcr 10525  0cc0 10526  1c1 10527   < clt 10664   ≤ cle 10665   / cdiv 11286

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-po 5438  df-so 5439  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287

This theorem is referenced by:  lerec2d  12440  birthdaylem3  25539  elpell1qr2  39813