Theorem lerec2 12036

Description: Reciprocal swap in a 'less than or equal to' relation. (Contributed by NM, 24-Feb-2005.)

Assertion

Ref	Expression
lerec2	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → (𝐴 ≤ (1 / 𝐵) ↔ 𝐵 ≤ (1 / 𝐴)))

Proof of Theorem lerec2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gt0ne0 11607	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) → 𝐵 ≠ 0)
2		rereccl 11865	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (1 / 𝐵) ∈ ℝ)
3	1, 2	syldan 597	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) → (1 / 𝐵) ∈ ℝ)
4		recgt0 11993	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) → 0 < (1 / 𝐵))
5	3, 4	jca 516	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) → ((1 / 𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 < (1 / 𝐵)))
6		lerec 12031	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ ((1 / 𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 < (1 / 𝐵))) → (𝐴 ≤ (1 / 𝐵) ↔ (1 / (1 / 𝐵)) ≤ (1 / 𝐴)))
7	5, 6	sylan2 599	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → (𝐴 ≤ (1 / 𝐵) ↔ (1 / (1 / 𝐵)) ≤ (1 / 𝐴)))
8		recn 11120	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
9		recrec 11844	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (1 / (1 / 𝐵)) = 𝐵)
10	8, 1, 9	syl2an2r 691	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) → (1 / (1 / 𝐵)) = 𝐵)
11	10	adantl 482	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → (1 / (1 / 𝐵)) = 𝐵)
12	11	breq1d 5083	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → ((1 / (1 / 𝐵)) ≤ (1 / 𝐴) ↔ 𝐵 ≤ (1 / 𝐴)))
13	7, 12	bitrd 280	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → (𝐴 ≤ (1 / 𝐵) ↔ 𝐵 ≤ (1 / 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2934   class class class wbr 5073  (class class class)co 7357  ℂcc 11028  ℝcr 11029  0cc0 11030  1c1 11031   < clt 11171   ≤ cle 11172   / cdiv 11799

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5219  ax-nul 5229  ax-pow 5295  ax-pr 5363  ax-un 7679  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4263  df-if 4456  df-pw 4532  df-sn 4557  df-pr 4559  df-op 4563  df-uni 4840  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5155  df-id 5514  df-po 5527  df-so 5528  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7314  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-er 8634  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11173  df-mnf 11174  df-xr 11175  df-ltxr 11176  df-le 11177  df-sub 11371  df-neg 11372  df-div 11800

This theorem is referenced by:  lerec2d  12999  birthdaylem3  26936  elpell1qr2  43326