MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lediv2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lediv2 12050
Description: Division of a positive number by both sides of 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 10-Jan-2006.)
Assertion
Ref Expression
lediv2 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ (๐ด โ‰ค ๐ต โ†” (๐ถ / ๐ต) โ‰ค (๐ถ / ๐ด)))

Proof of Theorem lediv2
StepHypRef Expression
1 gt0ne0 11625 . . . . 5 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ต) โ†’ ๐ต โ‰  0)
2 rereccl 11878 . . . . 5 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ (1 / ๐ต) โˆˆ โ„)
31, 2syldan 592 . . . 4 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ต) โ†’ (1 / ๐ต) โˆˆ โ„)
433ad2ant2 1135 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ (1 / ๐ต) โˆˆ โ„)
5 gt0ne0 11625 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ ๐ด โ‰  0)
6 rereccl 11878 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (1 / ๐ด) โˆˆ โ„)
75, 6syldan 592 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ (1 / ๐ด) โˆˆ โ„)
873ad2ant1 1134 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ (1 / ๐ด) โˆˆ โ„)
9 simp3l 1202 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
10 simp3r 1203 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ 0 < ๐ถ)
11 lemul2 12013 . . 3 (((1 / ๐ต) โˆˆ โ„ โˆง (1 / ๐ด) โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ ((1 / ๐ต) โ‰ค (1 / ๐ด) โ†” (๐ถ ยท (1 / ๐ต)) โ‰ค (๐ถ ยท (1 / ๐ด))))
124, 8, 9, 10, 11syl112anc 1375 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ ((1 / ๐ต) โ‰ค (1 / ๐ด) โ†” (๐ถ ยท (1 / ๐ต)) โ‰ค (๐ถ ยท (1 / ๐ด))))
13 lerec 12043 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ต)) โ†’ (๐ด โ‰ค ๐ต โ†” (1 / ๐ต) โ‰ค (1 / ๐ด)))
14133adant3 1133 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ (๐ด โ‰ค ๐ต โ†” (1 / ๐ต) โ‰ค (1 / ๐ด)))
15 recn 11146 . . . . . . 7 (๐ถ โˆˆ โ„ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
16 recn 11146 . . . . . . . . 9 (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
1716adantr 482 . . . . . . . 8 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ต) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
1817, 1jca 513 . . . . . . 7 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ต) โ†’ (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โ‰  0))
19 divrec 11834 . . . . . . . 8 ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ (๐ถ / ๐ต) = (๐ถ ยท (1 / ๐ต)))
20193expb 1121 . . . . . . 7 ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ (๐ถ / ๐ต) = (๐ถ ยท (1 / ๐ต)))
2115, 18, 20syl2an 597 . . . . . 6 ((๐ถ โˆˆ โ„ โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ต)) โ†’ (๐ถ / ๐ต) = (๐ถ ยท (1 / ๐ต)))
22213adant2 1132 . . . . 5 ((๐ถ โˆˆ โ„ โˆง (๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ต)) โ†’ (๐ถ / ๐ต) = (๐ถ ยท (1 / ๐ต)))
23 recn 11146 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
2423adantr 482 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
2524, 5jca 513 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด) โ†’ (๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0))
26 divrec 11834 . . . . . . . 8 ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (๐ถ / ๐ด) = (๐ถ ยท (1 / ๐ด)))
27263expb 1121 . . . . . . 7 ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0)) โ†’ (๐ถ / ๐ด) = (๐ถ ยท (1 / ๐ด)))
2815, 25, 27syl2an 597 . . . . . 6 ((๐ถ โˆˆ โ„ โˆง (๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด)) โ†’ (๐ถ / ๐ด) = (๐ถ ยท (1 / ๐ด)))
29283adant3 1133 . . . . 5 ((๐ถ โˆˆ โ„ โˆง (๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ต)) โ†’ (๐ถ / ๐ด) = (๐ถ ยท (1 / ๐ด)))
3022, 29breq12d 5119 . . . 4 ((๐ถ โˆˆ โ„ โˆง (๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ต)) โ†’ ((๐ถ / ๐ต) โ‰ค (๐ถ / ๐ด) โ†” (๐ถ ยท (1 / ๐ต)) โ‰ค (๐ถ ยท (1 / ๐ด))))
31303coml 1128 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ต) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ถ / ๐ต) โ‰ค (๐ถ / ๐ด) โ†” (๐ถ ยท (1 / ๐ต)) โ‰ค (๐ถ ยท (1 / ๐ด))))
32313adant3r 1182 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ ((๐ถ / ๐ต) โ‰ค (๐ถ / ๐ด) โ†” (๐ถ ยท (1 / ๐ต)) โ‰ค (๐ถ ยท (1 / ๐ด))))
3312, 14, 323bitr4d 311 1 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ (๐ด โ‰ค ๐ต โ†” (๐ถ / ๐ต) โ‰ค (๐ถ / ๐ด)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2940   class class class wbr 5106  (class class class)co 7358  โ„‚cc 11054  โ„cr 11055  0cc0 11056  1c1 11057   ยท cmul 11061   < clt 11194   โ‰ค cle 11195   / cdiv 11817
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818
This theorem is referenced by:  lediv2d  12986  nnledivrp  13032  isprm6  16595  divdenle  16629  gexexlem  19635  znidomb  20984  aaliou2b  25717  log2tlbnd  26311  fsumharmonic  26377  bcmono  26641  dchrisum0lem1  26880  selberg3lem1  26921  pntrsumo1  26929  pntibndlem3  26956  nndivlub  34976  stoweidlem42  44369  stoweidlem51  44378  stoweidlem59  44386
  Copyright terms: Public domain W3C validator