Theorem lediv2 12101

Description: Division of a positive number by both sides of 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 10-Jan-2006.)

Assertion

Ref	Expression
lediv2	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐶 / 𝐵) ≤ (𝐶 / 𝐴)))

Proof of Theorem lediv2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gt0ne0 11676	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) → 𝐵 ≠ 0)
2		rereccl 11929	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (1 / 𝐵) ∈ ℝ)
3	1, 2	syldan 590	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) → (1 / 𝐵) ∈ ℝ)
4	3	3ad2ant2 1131	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → (1 / 𝐵) ∈ ℝ)
5		gt0ne0 11676	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ≠ 0)
6		rereccl 11929	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)
7	5, 6	syldan 590	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)
8	7	3ad2ant1 1130	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)
9		simp3l 1198	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → 𝐶 ∈ ℝ)
10		simp3r 1199	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → 0 < 𝐶)
11		lemul2 12064	. . 3 ⊢ (((1 / 𝐵) ∈ ℝ ∧ (1 / 𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → ((1 / 𝐵) ≤ (1 / 𝐴) ↔ (𝐶 · (1 / 𝐵)) ≤ (𝐶 · (1 / 𝐴))))
12	4, 8, 9, 10, 11	syl112anc 1371	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → ((1 / 𝐵) ≤ (1 / 𝐴) ↔ (𝐶 · (1 / 𝐵)) ≤ (𝐶 · (1 / 𝐴))))
13		lerec 12094	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (1 / 𝐵) ≤ (1 / 𝐴)))
14	13	3adant3 1129	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (1 / 𝐵) ≤ (1 / 𝐴)))
15		recn 11196	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → 𝐶 ∈ ℂ)
16		recn 11196	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
17	16	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℂ)
18	17, 1	jca 511	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0))
19		divrec 11885	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐶 / 𝐵) = (𝐶 · (1 / 𝐵)))
20	19	3expb 1117	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝐶 / 𝐵) = (𝐶 · (1 / 𝐵)))
21	15, 18, 20	syl2an 595	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → (𝐶 / 𝐵) = (𝐶 · (1 / 𝐵)))
22	21	3adant2 1128	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → (𝐶 / 𝐵) = (𝐶 · (1 / 𝐵)))
23		recn 11196	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
24	23	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℂ)
25	24, 5	jca 511	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0))
26		divrec 11885	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐶 / 𝐴) = (𝐶 · (1 / 𝐴)))
27	26	3expb 1117	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0)) → (𝐶 / 𝐴) = (𝐶 · (1 / 𝐴)))
28	15, 25, 27	syl2an 595	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴)) → (𝐶 / 𝐴) = (𝐶 · (1 / 𝐴)))
29	28	3adant3 1129	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → (𝐶 / 𝐴) = (𝐶 · (1 / 𝐴)))
30	22, 29	breq12d 5151	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → ((𝐶 / 𝐵) ≤ (𝐶 / 𝐴) ↔ (𝐶 · (1 / 𝐵)) ≤ (𝐶 · (1 / 𝐴))))
31	30	3coml 1124	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐶 / 𝐵) ≤ (𝐶 / 𝐴) ↔ (𝐶 · (1 / 𝐵)) ≤ (𝐶 · (1 / 𝐴))))
32	31	3adant3r 1178	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → ((𝐶 / 𝐵) ≤ (𝐶 / 𝐴) ↔ (𝐶 · (1 / 𝐵)) ≤ (𝐶 · (1 / 𝐴))))
33	12, 14, 32	3bitr4d 311	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐶 / 𝐵) ≤ (𝐶 / 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2932   class class class wbr 5138  (class class class)co 7401  ℂcc 11104  ℝcr 11105  0cc0 11106  1c1 11107   · cmul 11111   < clt 11245   ≤ cle 11246   / cdiv 11868

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-id 5564  df-po 5578  df-so 5579  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869

This theorem is referenced by:  lediv2d  13037  nnledivrp  13083  isprm6  16648  divdenle  16684  gexexlem  19762  znidomb  21424  aaliou2b  26195  log2tlbnd  26793  fsumharmonic  26860  bcmono  27126  dchrisum0lem1  27365  selberg3lem1  27406  pntrsumo1  27414  pntibndlem3  27441  nndivlub  35833  stoweidlem42  45243  stoweidlem51  45252  stoweidlem59  45260