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Theorem cdlemg7fvN 39799
Description: Value of a translation composition in terms of an associated atom. (Contributed by NM, 28-Apr-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemg7fv.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
cdlemg7fv.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
cdlemg7fv.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
cdlemg7fv.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
cdlemg7fv.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
cdlemg7fv.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
cdlemg7fv.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
cdlemg7fvN (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) β†’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘‹)) = ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)))
Proof of Theorem cdlemg7fvN
StepHypRef Expression
1 simp1 1135 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
2 simp32 1209 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) β†’ 𝐺 ∈ 𝑇)
3 simp2l 1198 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) β†’ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))
4 cdlemg7fv.l . . . . 5 ≀ = (leβ€˜πΎ)
5 cdlemg7fv.a . . . . 5 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
6 cdlemg7fv.h . . . . 5 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
7 cdlemg7fv.t . . . . 5 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
84, 5, 6, 7ltrnel 39314 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š)) β†’ ((πΊβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴 ∧ Β¬ (πΊβ€˜π‘ƒ) ≀ π‘Š))
91, 2, 3, 8syl3anc 1370 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) β†’ ((πΊβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴 ∧ Β¬ (πΊβ€˜π‘ƒ) ≀ π‘Š))
10 simp2r 1199 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) β†’ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š))
11 cdlemg7fv.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
124, 5, 6, 7, 11cdlemg7fvbwN 39782 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) β†’ ((πΊβ€˜π‘‹) ∈ 𝐡 ∧ Β¬ (πΊβ€˜π‘‹) ≀ π‘Š))
131, 10, 2, 12syl3anc 1370 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) β†’ ((πΊβ€˜π‘‹) ∈ 𝐡 ∧ Β¬ (πΊβ€˜π‘‹) ≀ π‘Š))
14 simp31 1208 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) β†’ 𝐹 ∈ 𝑇)
15 simp33 1210 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) β†’ (𝑃 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)
16 cdlemg7fv.j . . . . . . . . 9 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
17 cdlemg7fv.m . . . . . . . . 9 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
186, 7, 4, 16, 5, 17, 11cdlemg2fv 39774 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) β†’ (πΊβ€˜π‘‹) = ((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)))
191, 3, 10, 2, 15, 18syl122anc 1378 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) β†’ (πΊβ€˜π‘‹) = ((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)))
2019oveq1d 7427 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) β†’ ((πΊβ€˜π‘‹) ∧ π‘Š) = (((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) ∧ π‘Š))
21 simp2rl 1241 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
2211, 4, 16, 17, 5, 6lhpelim 39212 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((πΊβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴 ∧ Β¬ (πΊβ€˜π‘ƒ) ≀ π‘Š) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) ∧ π‘Š) = (𝑋 ∧ π‘Š))
231, 9, 21, 22syl3anc 1370 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) β†’ (((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) ∧ π‘Š) = (𝑋 ∧ π‘Š))
2420, 23eqtrd 2771 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) β†’ ((πΊβ€˜π‘‹) ∧ π‘Š) = (𝑋 ∧ π‘Š))
2524oveq2d 7428 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) β†’ ((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ ((πΊβ€˜π‘‹) ∧ π‘Š)) = ((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)))
2625, 19eqtr4d 2774 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) β†’ ((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ ((πΊβ€˜π‘‹) ∧ π‘Š)) = (πΊβ€˜π‘‹))
276, 7, 4, 16, 5, 17, 11cdlemg2fv 39774 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (((πΊβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴 ∧ Β¬ (πΊβ€˜π‘ƒ) ≀ π‘Š) ∧ ((πΊβ€˜π‘‹) ∈ 𝐡 ∧ Β¬ (πΊβ€˜π‘‹) ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ ((πΊβ€˜π‘ƒ) ∨ ((πΊβ€˜π‘‹) ∧ π‘Š)) = (πΊβ€˜π‘‹))) β†’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘‹)) = ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ ((πΊβ€˜π‘‹) ∧ π‘Š)))
281, 9, 13, 14, 26, 27syl122anc 1378 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) β†’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘‹)) = ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ ((πΊβ€˜π‘‹) ∧ π‘Š)))
2924oveq2d 7428 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) β†’ ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ ((πΊβ€˜π‘‹) ∧ π‘Š)) = ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)))
3028, 29eqtrd 2771 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š)) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)) β†’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘‹)) = ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘ƒ)) ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   class class class wbr 5148  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7412  Basecbs 17149  lecple 17209  joincjn 18269  meetcmee 18270  Atomscatm 38437  HLchlt 38524  LHypclh 39159  LTrncltrn 39276
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-riotaBAD 38127
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-undef 8262  df-map 8826  df-proset 18253  df-poset 18271  df-plt 18288  df-lub 18304  df-glb 18305  df-join 18306  df-meet 18307  df-p0 18383  df-p1 18384  df-lat 18390  df-clat 18457  df-oposet 38350  df-ol 38352  df-oml 38353  df-covers 38440  df-ats 38441  df-atl 38472  df-cvlat 38496  df-hlat 38525  df-llines 38673  df-lplanes 38674  df-lvols 38675  df-lines 38676  df-psubsp 38678  df-pmap 38679  df-padd 38971  df-lhyp 39163  df-laut 39164  df-ldil 39279  df-ltrn 39280  df-trl 39334
This theorem is referenced by:  cdlemg7aN  39800
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