MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  logtayl2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem logtayl2 25160
Description: Power series expression for the logarithm. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
logtayl2.s 𝑆 = (1(ball‘(abs ∘ − ))1)
Assertion
Ref Expression
logtayl2 (𝐴𝑆 → seq1( + , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((-1↑(𝑘 − 1)) / 𝑘) · ((𝐴 − 1)↑𝑘)))) ⇝ (log‘𝐴))
Distinct variable group:   𝐴,𝑘
Allowed substitution hint:   𝑆(𝑘)

Proof of Theorem logtayl2
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 12273 . . 3 ℕ = (ℤ‘1)
2 1zzd 12005 . . 3 (𝐴𝑆 → 1 ∈ ℤ)
3 neg1cn 11743 . . . 4 -1 ∈ ℂ
43a1i 11 . . 3 (𝐴𝑆 → -1 ∈ ℂ)
5 ax-1cn 10587 . . . . . 6 1 ∈ ℂ
6 logtayl2.s . . . . . . . . 9 𝑆 = (1(ball‘(abs ∘ − ))1)
76eleq2i 2908 . . . . . . . 8 (𝐴𝑆𝐴 ∈ (1(ball‘(abs ∘ − ))1))
8 cnxmet 23298 . . . . . . . . 9 (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
9 1xr 10692 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℝ*
10 elbl 22915 . . . . . . . . 9 (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ (1(ball‘(abs ∘ − ))1) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (1(abs ∘ − )𝐴) < 1)))
118, 5, 9, 10mp3an 1454 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (1(ball‘(abs ∘ − ))1) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (1(abs ∘ − )𝐴) < 1))
127, 11bitri 276 . . . . . . 7 (𝐴𝑆 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (1(abs ∘ − )𝐴) < 1))
1312simplbi 498 . . . . . 6 (𝐴𝑆𝐴 ∈ ℂ)
14 subcl 10877 . . . . . 6 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (1 − 𝐴) ∈ ℂ)
155, 13, 14sylancr 587 . . . . 5 (𝐴𝑆 → (1 − 𝐴) ∈ ℂ)
16 eqid 2825 . . . . . . . 8 (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
1716cnmetdval 23296 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (1(abs ∘ − )𝐴) = (abs‘(1 − 𝐴)))
185, 13, 17sylancr 587 . . . . . 6 (𝐴𝑆 → (1(abs ∘ − )𝐴) = (abs‘(1 − 𝐴)))
1912simprbi 497 . . . . . 6 (𝐴𝑆 → (1(abs ∘ − )𝐴) < 1)
2018, 19eqbrtrrd 5086 . . . . 5 (𝐴𝑆 → (abs‘(1 − 𝐴)) < 1)
21 logtayl 25158 . . . . 5 (((1 − 𝐴) ∈ ℂ ∧ (abs‘(1 − 𝐴)) < 1) → seq1( + , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((1 − 𝐴)↑𝑘) / 𝑘))) ⇝ -(log‘(1 − (1 − 𝐴))))
2215, 20, 21syl2anc 584 . . . 4 (𝐴𝑆 → seq1( + , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((1 − 𝐴)↑𝑘) / 𝑘))) ⇝ -(log‘(1 − (1 − 𝐴))))
23 nncan 10907 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (1 − (1 − 𝐴)) = 𝐴)
245, 13, 23sylancr 587 . . . . . 6 (𝐴𝑆 → (1 − (1 − 𝐴)) = 𝐴)
2524fveq2d 6670 . . . . 5 (𝐴𝑆 → (log‘(1 − (1 − 𝐴))) = (log‘𝐴))
2625negeqd 10872 . . . 4 (𝐴𝑆 → -(log‘(1 − (1 − 𝐴))) = -(log‘𝐴))
2722, 26breqtrd 5088 . . 3 (𝐴𝑆 → seq1( + , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((1 − 𝐴)↑𝑘) / 𝑘))) ⇝ -(log‘𝐴))
28 oveq2 7159 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑛 → ((1 − 𝐴)↑𝑘) = ((1 − 𝐴)↑𝑛))
29 id 22 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑛𝑘 = 𝑛)
3028, 29oveq12d 7169 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑛 → (((1 − 𝐴)↑𝑘) / 𝑘) = (((1 − 𝐴)↑𝑛) / 𝑛))
31 eqid 2825 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((1 − 𝐴)↑𝑘) / 𝑘)) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((1 − 𝐴)↑𝑘) / 𝑘))
32 ovex 7184 . . . . . 6 (((1 − 𝐴)↑𝑛) / 𝑛) ∈ V
3330, 31, 32fvmpt 6764 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (((1 − 𝐴)↑𝑘) / 𝑘))‘𝑛) = (((1 − 𝐴)↑𝑛) / 𝑛))
3433adantl 482 . . . 4 ((𝐴𝑆𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (((1 − 𝐴)↑𝑘) / 𝑘))‘𝑛) = (((1 − 𝐴)↑𝑛) / 𝑛))
35 nnnn0 11896 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ0)
36 expcl 13440 . . . . . 6 (((1 − 𝐴) ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((1 − 𝐴)↑𝑛) ∈ ℂ)
3715, 35, 36syl2an 595 . . . . 5 ((𝐴𝑆𝑛 ∈ ℕ) → ((1 − 𝐴)↑𝑛) ∈ ℂ)
38 nncn 11638 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℂ)
3938adantl 482 . . . . 5 ((𝐴𝑆𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℂ)
40 nnne0 11663 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ≠ 0)
4140adantl 482 . . . . 5 ((𝐴𝑆𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ≠ 0)
4237, 39, 41divcld 11408 . . . 4 ((𝐴𝑆𝑛 ∈ ℕ) → (((1 − 𝐴)↑𝑛) / 𝑛) ∈ ℂ)
4334, 42eqeltrd 2917 . . 3 ((𝐴𝑆𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (((1 − 𝐴)↑𝑘) / 𝑘))‘𝑛) ∈ ℂ)
4437, 39, 41divnegd 11421 . . . . . 6 ((𝐴𝑆𝑛 ∈ ℕ) → -(((1 − 𝐴)↑𝑛) / 𝑛) = (-((1 − 𝐴)↑𝑛) / 𝑛))
4542mulm1d 11084 . . . . . 6 ((𝐴𝑆𝑛 ∈ ℕ) → (-1 · (((1 − 𝐴)↑𝑛) / 𝑛)) = -(((1 − 𝐴)↑𝑛) / 𝑛))
4635adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝐴𝑆𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℕ0)
47 expcl 13440 . . . . . . . . . 10 ((-1 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (-1↑𝑛) ∈ ℂ)
483, 46, 47sylancr 587 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝑆𝑛 ∈ ℕ) → (-1↑𝑛) ∈ ℂ)
49 subcl 10877 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝐴 − 1) ∈ ℂ)
5013, 5, 49sylancl 586 . . . . . . . . . 10 (𝐴𝑆 → (𝐴 − 1) ∈ ℂ)
51 expcl 13440 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 − 1) ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝐴 − 1)↑𝑛) ∈ ℂ)
5250, 35, 51syl2an 595 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝑆𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐴 − 1)↑𝑛) ∈ ℂ)
5348, 52mulneg1d 11085 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑆𝑛 ∈ ℕ) → (-(-1↑𝑛) · ((𝐴 − 1)↑𝑛)) = -((-1↑𝑛) · ((𝐴 − 1)↑𝑛)))
543a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴𝑆𝑛 ∈ ℕ) → -1 ∈ ℂ)
55 neg1ne0 11745 . . . . . . . . . . . 12 -1 ≠ 0
5655a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴𝑆𝑛 ∈ ℕ) → -1 ≠ 0)
57 nnz 11996 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℤ)
5857adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴𝑆𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℤ)
5954, 56, 58expm1d 13513 . . . . . . . . . 10 ((𝐴𝑆𝑛 ∈ ℕ) → (-1↑(𝑛 − 1)) = ((-1↑𝑛) / -1))
605a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴𝑆𝑛 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℂ)
61 ax-1ne0 10598 . . . . . . . . . . . 12 1 ≠ 0
6261a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴𝑆𝑛 ∈ ℕ) → 1 ≠ 0)
6348, 60, 62divneg2d 11422 . . . . . . . . . 10 ((𝐴𝑆𝑛 ∈ ℕ) → -((-1↑𝑛) / 1) = ((-1↑𝑛) / -1))
6448div1d 11400 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴𝑆𝑛 ∈ ℕ) → ((-1↑𝑛) / 1) = (-1↑𝑛))
6564negeqd 10872 . . . . . . . . . 10 ((𝐴𝑆𝑛 ∈ ℕ) → -((-1↑𝑛) / 1) = -(-1↑𝑛))
6659, 63, 653eqtr2d 2866 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝑆𝑛 ∈ ℕ) → (-1↑(𝑛 − 1)) = -(-1↑𝑛))
6766oveq1d 7166 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑆𝑛 ∈ ℕ) → ((-1↑(𝑛 − 1)) · ((𝐴 − 1)↑𝑛)) = (-(-1↑𝑛) · ((𝐴 − 1)↑𝑛)))
6850mulm1d 11084 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴𝑆 → (-1 · (𝐴 − 1)) = -(𝐴 − 1))
69 negsubdi2 10937 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → -(𝐴 − 1) = (1 − 𝐴))
7013, 5, 69sylancl 586 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴𝑆 → -(𝐴 − 1) = (1 − 𝐴))
7168, 70eqtr2d 2861 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴𝑆 → (1 − 𝐴) = (-1 · (𝐴 − 1)))
7271oveq1d 7166 . . . . . . . . . . 11 (𝐴𝑆 → ((1 − 𝐴)↑𝑛) = ((-1 · (𝐴 − 1))↑𝑛))
7372adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝐴𝑆𝑛 ∈ ℕ) → ((1 − 𝐴)↑𝑛) = ((-1 · (𝐴 − 1))↑𝑛))
74 mulexp 13461 . . . . . . . . . . 11 ((-1 ∈ ℂ ∧ (𝐴 − 1) ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((-1 · (𝐴 − 1))↑𝑛) = ((-1↑𝑛) · ((𝐴 − 1)↑𝑛)))
753, 50, 35, 74mp3an3an 1460 . . . . . . . . . 10 ((𝐴𝑆𝑛 ∈ ℕ) → ((-1 · (𝐴 − 1))↑𝑛) = ((-1↑𝑛) · ((𝐴 − 1)↑𝑛)))
7673, 75eqtrd 2860 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝑆𝑛 ∈ ℕ) → ((1 − 𝐴)↑𝑛) = ((-1↑𝑛) · ((𝐴 − 1)↑𝑛)))
7776negeqd 10872 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑆𝑛 ∈ ℕ) → -((1 − 𝐴)↑𝑛) = -((-1↑𝑛) · ((𝐴 − 1)↑𝑛)))
7853, 67, 773eqtr4d 2870 . . . . . . 7 ((𝐴𝑆𝑛 ∈ ℕ) → ((-1↑(𝑛 − 1)) · ((𝐴 − 1)↑𝑛)) = -((1 − 𝐴)↑𝑛))
7978oveq1d 7166 . . . . . 6 ((𝐴𝑆𝑛 ∈ ℕ) → (((-1↑(𝑛 − 1)) · ((𝐴 − 1)↑𝑛)) / 𝑛) = (-((1 − 𝐴)↑𝑛) / 𝑛))
8044, 45, 793eqtr4d 2870 . . . . 5 ((𝐴𝑆𝑛 ∈ ℕ) → (-1 · (((1 − 𝐴)↑𝑛) / 𝑛)) = (((-1↑(𝑛 − 1)) · ((𝐴 − 1)↑𝑛)) / 𝑛))
81 nnm1nn0 11930 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 − 1) ∈ ℕ0)
8281adantl 482 . . . . . . 7 ((𝐴𝑆𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛 − 1) ∈ ℕ0)
83 expcl 13440 . . . . . . 7 ((-1 ∈ ℂ ∧ (𝑛 − 1) ∈ ℕ0) → (-1↑(𝑛 − 1)) ∈ ℂ)
843, 82, 83sylancr 587 . . . . . 6 ((𝐴𝑆𝑛 ∈ ℕ) → (-1↑(𝑛 − 1)) ∈ ℂ)
8584, 52, 39, 41div23d 11445 . . . . 5 ((𝐴𝑆𝑛 ∈ ℕ) → (((-1↑(𝑛 − 1)) · ((𝐴 − 1)↑𝑛)) / 𝑛) = (((-1↑(𝑛 − 1)) / 𝑛) · ((𝐴 − 1)↑𝑛)))
8680, 85eqtr2d 2861 . . . 4 ((𝐴𝑆𝑛 ∈ ℕ) → (((-1↑(𝑛 − 1)) / 𝑛) · ((𝐴 − 1)↑𝑛)) = (-1 · (((1 − 𝐴)↑𝑛) / 𝑛)))
87 oveq1 7158 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑛 → (𝑘 − 1) = (𝑛 − 1))
8887oveq2d 7167 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑛 → (-1↑(𝑘 − 1)) = (-1↑(𝑛 − 1)))
8988, 29oveq12d 7169 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑛 → ((-1↑(𝑘 − 1)) / 𝑘) = ((-1↑(𝑛 − 1)) / 𝑛))
90 oveq2 7159 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑛 → ((𝐴 − 1)↑𝑘) = ((𝐴 − 1)↑𝑛))
9189, 90oveq12d 7169 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑛 → (((-1↑(𝑘 − 1)) / 𝑘) · ((𝐴 − 1)↑𝑘)) = (((-1↑(𝑛 − 1)) / 𝑛) · ((𝐴 − 1)↑𝑛)))
92 eqid 2825 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((-1↑(𝑘 − 1)) / 𝑘) · ((𝐴 − 1)↑𝑘))) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((-1↑(𝑘 − 1)) / 𝑘) · ((𝐴 − 1)↑𝑘)))
93 ovex 7184 . . . . . 6 (((-1↑(𝑛 − 1)) / 𝑛) · ((𝐴 − 1)↑𝑛)) ∈ V
9491, 92, 93fvmpt 6764 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (((-1↑(𝑘 − 1)) / 𝑘) · ((𝐴 − 1)↑𝑘)))‘𝑛) = (((-1↑(𝑛 − 1)) / 𝑛) · ((𝐴 − 1)↑𝑛)))
9594adantl 482 . . . 4 ((𝐴𝑆𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (((-1↑(𝑘 − 1)) / 𝑘) · ((𝐴 − 1)↑𝑘)))‘𝑛) = (((-1↑(𝑛 − 1)) / 𝑛) · ((𝐴 − 1)↑𝑛)))
9634oveq2d 7167 . . . 4 ((𝐴𝑆𝑛 ∈ ℕ) → (-1 · ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (((1 − 𝐴)↑𝑘) / 𝑘))‘𝑛)) = (-1 · (((1 − 𝐴)↑𝑛) / 𝑛)))
9786, 95, 963eqtr4d 2870 . . 3 ((𝐴𝑆𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (((-1↑(𝑘 − 1)) / 𝑘) · ((𝐴 − 1)↑𝑘)))‘𝑛) = (-1 · ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (((1 − 𝐴)↑𝑘) / 𝑘))‘𝑛)))
981, 2, 4, 27, 43, 97isermulc2 15007 . 2 (𝐴𝑆 → seq1( + , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((-1↑(𝑘 − 1)) / 𝑘) · ((𝐴 − 1)↑𝑘)))) ⇝ (-1 · -(log‘𝐴)))
996dvlog2lem 25150 . . . . . . . 8 𝑆 ⊆ (ℂ ∖ (-∞(,]0))
10099sseli 3966 . . . . . . 7 (𝐴𝑆𝐴 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))
101 eqid 2825 . . . . . . . 8 (ℂ ∖ (-∞(,]0)) = (ℂ ∖ (-∞(,]0))
102101logdmn0 25138 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) → 𝐴 ≠ 0)
103100, 102syl 17 . . . . . 6 (𝐴𝑆𝐴 ≠ 0)
10413, 103logcld 25069 . . . . 5 (𝐴𝑆 → (log‘𝐴) ∈ ℂ)
105104negcld 10976 . . . 4 (𝐴𝑆 → -(log‘𝐴) ∈ ℂ)
106105mulm1d 11084 . . 3 (𝐴𝑆 → (-1 · -(log‘𝐴)) = --(log‘𝐴))
107104negnegd 10980 . . 3 (𝐴𝑆 → --(log‘𝐴) = (log‘𝐴))
108106, 107eqtrd 2860 . 2 (𝐴𝑆 → (-1 · -(log‘𝐴)) = (log‘𝐴))
10998, 108breqtrd 5088 1 (𝐴𝑆 → seq1( + , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((-1↑(𝑘 − 1)) / 𝑘) · ((𝐴 − 1)↑𝑘)))) ⇝ (log‘𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1530  wcel 2107  wne 3020  cdif 3936   class class class wbr 5062  cmpt 5142  ccom 5557  cfv 6351  (class class class)co 7151  cc 10527  0cc0 10529  1c1 10530   + caddc 10532   · cmul 10534  -∞cmnf 10665  *cxr 10666   < clt 10667  cmin 10862  -cneg 10863   / cdiv 11289  cn 11630  0cn0 11889  cz 11973  (,]cioc 12732  seqcseq 13362  cexp 13422  abscabs 14586  cli 14834  ∞Metcxmet 20448  ballcbl 20450  logclog 25053
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-13 2385  ax-ext 2797  ax-rep 5186  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454  ax-inf2 9096  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607  ax-addf 10608  ax-mulf 10609
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-fal 1543  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2619  df-eu 2651  df-clab 2804  df-cleq 2818  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-nel 3128  df-ral 3147  df-rex 3148  df-reu 3149  df-rmo 3150  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-tp 4568  df-op 4570  df-uni 4837  df-int 4874  df-iun 4918  df-iin 4919  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-tr 5169  df-id 5458  df-eprel 5463  df-po 5472  df-so 5473  df-fr 5512  df-se 5513  df-we 5514  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-pred 6145  df-ord 6191  df-on 6192  df-lim 6193  df-suc 6194  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-f1 6356  df-fo 6357  df-f1o 6358  df-fv 6359  df-isom 6360  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-of 7402  df-om 7572  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-supp 7825  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-2o 8097  df-oadd 8100  df-er 8282  df-map 8401  df-pm 8402  df-ixp 8454  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-fsupp 8826  df-fi 8867  df-sup 8898  df-inf 8899  df-oi 8966  df-card 9360  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-q 12341  df-rp 12383  df-xneg 12500  df-xadd 12501  df-xmul 12502  df-ioo 12735  df-ioc 12736  df-ico 12737  df-icc 12738  df-fz 12886  df-fzo 13027  df-fl 13155  df-mod 13231  df-seq 13363  df-exp 13423  df-fac 13627  df-bc 13656  df-hash 13684  df-shft 14419  df-cj 14451  df-re 14452  df-im 14453  df-sqrt 14587  df-abs 14588  df-limsup 14821  df-clim 14838  df-rlim 14839  df-sum 15036  df-ef 15413  df-sin 15415  df-cos 15416  df-tan 15417  df-pi 15418  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-starv 16572  df-sca 16573  df-vsca 16574  df-ip 16575  df-tset 16576  df-ple 16577  df-ds 16579  df-unif 16580  df-hom 16581  df-cco 16582  df-rest 16688  df-topn 16689  df-0g 16707  df-gsum 16708  df-topgen 16709  df-pt 16710  df-prds 16713  df-xrs 16767  df-qtop 16772  df-imas 16773  df-xps 16775  df-mre 16849  df-mrc 16850  df-acs 16852  df-mgm 17844  df-sgrp 17892  df-mnd 17903  df-submnd 17947  df-mulg 18157  df-cntz 18379  df-cmn 18830  df-psmet 20455  df-xmet 20456  df-met 20457  df-bl 20458  df-mopn 20459  df-fbas 20460  df-fg 20461  df-cnfld 20464  df-top 21420  df-topon 21437  df-topsp 21459  df-bases 21472  df-cld 21545  df-ntr 21546  df-cls 21547  df-nei 21624  df-lp 21662  df-perf 21663  df-cn 21753  df-cnp 21754  df-haus 21841  df-cmp 21913  df-tx 22088  df-hmeo 22281  df-fil 22372  df-fm 22464  df-flim 22465  df-flf 22466  df-xms 22847  df-ms 22848  df-tms 22849  df-cncf 23403  df-limc 24381  df-dv 24382  df-ulm 24882  df-log 25055
This theorem is referenced by:  stirlinglem5  42231
  Copyright terms: Public domain W3C validator