MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  logtayl2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem logtayl2 24698
Description: Power series expression for the logarithm. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
logtayl2.s 𝑆 = (1(ball‘(abs ∘ − ))1)
Assertion
Ref Expression
logtayl2 (𝐴𝑆 → seq1( + , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((-1↑(𝑘 − 1)) / 𝑘) · ((𝐴 − 1)↑𝑘)))) ⇝ (log‘𝐴))
Distinct variable group:   𝐴,𝑘
Allowed substitution hint:   𝑆(𝑘)

Proof of Theorem logtayl2
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 11922 . . 3 ℕ = (ℤ‘1)
2 1zzd 11654 . . 3 (𝐴𝑆 → 1 ∈ ℤ)
3 neg1cn 11392 . . . 4 -1 ∈ ℂ
43a1i 11 . . 3 (𝐴𝑆 → -1 ∈ ℂ)
5 ax-1cn 10246 . . . . . 6 1 ∈ ℂ
6 logtayl2.s . . . . . . . . 9 𝑆 = (1(ball‘(abs ∘ − ))1)
76eleq2i 2835 . . . . . . . 8 (𝐴𝑆𝐴 ∈ (1(ball‘(abs ∘ − ))1))
8 cnxmet 22854 . . . . . . . . 9 (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
9 1rp 12031 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℝ+
10 rpxr 12038 . . . . . . . . . 10 (1 ∈ ℝ+ → 1 ∈ ℝ*)
119, 10ax-mp 5 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℝ*
12 elbl 22471 . . . . . . . . 9 (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ (1(ball‘(abs ∘ − ))1) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (1(abs ∘ − )𝐴) < 1)))
138, 5, 11, 12mp3an 1585 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (1(ball‘(abs ∘ − ))1) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (1(abs ∘ − )𝐴) < 1))
147, 13bitri 266 . . . . . . 7 (𝐴𝑆 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (1(abs ∘ − )𝐴) < 1))
1514simplbi 491 . . . . . 6 (𝐴𝑆𝐴 ∈ ℂ)
16 subcl 10533 . . . . . 6 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (1 − 𝐴) ∈ ℂ)
175, 15, 16sylancr 581 . . . . 5 (𝐴𝑆 → (1 − 𝐴) ∈ ℂ)
18 eqid 2764 . . . . . . . 8 (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
1918cnmetdval 22852 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (1(abs ∘ − )𝐴) = (abs‘(1 − 𝐴)))
205, 15, 19sylancr 581 . . . . . 6 (𝐴𝑆 → (1(abs ∘ − )𝐴) = (abs‘(1 − 𝐴)))
2114simprbi 490 . . . . . 6 (𝐴𝑆 → (1(abs ∘ − )𝐴) < 1)
2220, 21eqbrtrrd 4832 . . . . 5 (𝐴𝑆 → (abs‘(1 − 𝐴)) < 1)
23 logtayl 24696 . . . . 5 (((1 − 𝐴) ∈ ℂ ∧ (abs‘(1 − 𝐴)) < 1) → seq1( + , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((1 − 𝐴)↑𝑘) / 𝑘))) ⇝ -(log‘(1 − (1 − 𝐴))))
2417, 22, 23syl2anc 579 . . . 4 (𝐴𝑆 → seq1( + , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((1 − 𝐴)↑𝑘) / 𝑘))) ⇝ -(log‘(1 − (1 − 𝐴))))
25 nncan 10563 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (1 − (1 − 𝐴)) = 𝐴)
265, 15, 25sylancr 581 . . . . . 6 (𝐴𝑆 → (1 − (1 − 𝐴)) = 𝐴)
2726fveq2d 6378 . . . . 5 (𝐴𝑆 → (log‘(1 − (1 − 𝐴))) = (log‘𝐴))
2827negeqd 10528 . . . 4 (𝐴𝑆 → -(log‘(1 − (1 − 𝐴))) = -(log‘𝐴))
2924, 28breqtrd 4834 . . 3 (𝐴𝑆 → seq1( + , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((1 − 𝐴)↑𝑘) / 𝑘))) ⇝ -(log‘𝐴))
30 oveq2 6849 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑛 → ((1 − 𝐴)↑𝑘) = ((1 − 𝐴)↑𝑛))
31 id 22 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑛𝑘 = 𝑛)
3230, 31oveq12d 6859 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑛 → (((1 − 𝐴)↑𝑘) / 𝑘) = (((1 − 𝐴)↑𝑛) / 𝑛))
33 eqid 2764 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((1 − 𝐴)↑𝑘) / 𝑘)) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((1 − 𝐴)↑𝑘) / 𝑘))
34 ovex 6873 . . . . . 6 (((1 − 𝐴)↑𝑛) / 𝑛) ∈ V
3532, 33, 34fvmpt 6470 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (((1 − 𝐴)↑𝑘) / 𝑘))‘𝑛) = (((1 − 𝐴)↑𝑛) / 𝑛))
3635adantl 473 . . . 4 ((𝐴𝑆𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (((1 − 𝐴)↑𝑘) / 𝑘))‘𝑛) = (((1 − 𝐴)↑𝑛) / 𝑛))
37 nnnn0 11545 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ0)
38 expcl 13084 . . . . . 6 (((1 − 𝐴) ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((1 − 𝐴)↑𝑛) ∈ ℂ)
3917, 37, 38syl2an 589 . . . . 5 ((𝐴𝑆𝑛 ∈ ℕ) → ((1 − 𝐴)↑𝑛) ∈ ℂ)
40 nncn 11282 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℂ)
4140adantl 473 . . . . 5 ((𝐴𝑆𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℂ)
42 nnne0 11309 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ≠ 0)
4342adantl 473 . . . . 5 ((𝐴𝑆𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ≠ 0)
4439, 41, 43divcld 11054 . . . 4 ((𝐴𝑆𝑛 ∈ ℕ) → (((1 − 𝐴)↑𝑛) / 𝑛) ∈ ℂ)
4536, 44eqeltrd 2843 . . 3 ((𝐴𝑆𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (((1 − 𝐴)↑𝑘) / 𝑘))‘𝑛) ∈ ℂ)
4639, 41, 43divnegd 11067 . . . . . 6 ((𝐴𝑆𝑛 ∈ ℕ) → -(((1 − 𝐴)↑𝑛) / 𝑛) = (-((1 − 𝐴)↑𝑛) / 𝑛))
4744mulm1d 10735 . . . . . 6 ((𝐴𝑆𝑛 ∈ ℕ) → (-1 · (((1 − 𝐴)↑𝑛) / 𝑛)) = -(((1 − 𝐴)↑𝑛) / 𝑛))
4837adantl 473 . . . . . . . . . 10 ((𝐴𝑆𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℕ0)
49 expcl 13084 . . . . . . . . . 10 ((-1 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (-1↑𝑛) ∈ ℂ)
503, 48, 49sylancr 581 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝑆𝑛 ∈ ℕ) → (-1↑𝑛) ∈ ℂ)
51 subcl 10533 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝐴 − 1) ∈ ℂ)
5215, 5, 51sylancl 580 . . . . . . . . . 10 (𝐴𝑆 → (𝐴 − 1) ∈ ℂ)
53 expcl 13084 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 − 1) ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝐴 − 1)↑𝑛) ∈ ℂ)
5452, 37, 53syl2an 589 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝑆𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐴 − 1)↑𝑛) ∈ ℂ)
5550, 54mulneg1d 10736 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑆𝑛 ∈ ℕ) → (-(-1↑𝑛) · ((𝐴 − 1)↑𝑛)) = -((-1↑𝑛) · ((𝐴 − 1)↑𝑛)))
563a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴𝑆𝑛 ∈ ℕ) → -1 ∈ ℂ)
57 neg1ne0 11394 . . . . . . . . . . . 12 -1 ≠ 0
5857a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴𝑆𝑛 ∈ ℕ) → -1 ≠ 0)
59 nnz 11645 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℤ)
6059adantl 473 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴𝑆𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℤ)
6156, 58, 60expm1d 13224 . . . . . . . . . 10 ((𝐴𝑆𝑛 ∈ ℕ) → (-1↑(𝑛 − 1)) = ((-1↑𝑛) / -1))
625a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴𝑆𝑛 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℂ)
63 ax-1ne0 10257 . . . . . . . . . . . 12 1 ≠ 0
6463a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴𝑆𝑛 ∈ ℕ) → 1 ≠ 0)
6550, 62, 64divneg2d 11068 . . . . . . . . . 10 ((𝐴𝑆𝑛 ∈ ℕ) → -((-1↑𝑛) / 1) = ((-1↑𝑛) / -1))
6650div1d 11046 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴𝑆𝑛 ∈ ℕ) → ((-1↑𝑛) / 1) = (-1↑𝑛))
6766negeqd 10528 . . . . . . . . . 10 ((𝐴𝑆𝑛 ∈ ℕ) → -((-1↑𝑛) / 1) = -(-1↑𝑛))
6861, 65, 673eqtr2d 2804 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝑆𝑛 ∈ ℕ) → (-1↑(𝑛 − 1)) = -(-1↑𝑛))
6968oveq1d 6856 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑆𝑛 ∈ ℕ) → ((-1↑(𝑛 − 1)) · ((𝐴 − 1)↑𝑛)) = (-(-1↑𝑛) · ((𝐴 − 1)↑𝑛)))
7052mulm1d 10735 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴𝑆 → (-1 · (𝐴 − 1)) = -(𝐴 − 1))
71 negsubdi2 10593 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → -(𝐴 − 1) = (1 − 𝐴))
7215, 5, 71sylancl 580 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴𝑆 → -(𝐴 − 1) = (1 − 𝐴))
7370, 72eqtr2d 2799 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴𝑆 → (1 − 𝐴) = (-1 · (𝐴 − 1)))
7473oveq1d 6856 . . . . . . . . . . 11 (𝐴𝑆 → ((1 − 𝐴)↑𝑛) = ((-1 · (𝐴 − 1))↑𝑛))
7574adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝐴𝑆𝑛 ∈ ℕ) → ((1 − 𝐴)↑𝑛) = ((-1 · (𝐴 − 1))↑𝑛))
76 mulexp 13105 . . . . . . . . . . . 12 ((-1 ∈ ℂ ∧ (𝐴 − 1) ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((-1 · (𝐴 − 1))↑𝑛) = ((-1↑𝑛) · ((𝐴 − 1)↑𝑛)))
773, 76mp3an1 1572 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 − 1) ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((-1 · (𝐴 − 1))↑𝑛) = ((-1↑𝑛) · ((𝐴 − 1)↑𝑛)))
7852, 37, 77syl2an 589 . . . . . . . . . 10 ((𝐴𝑆𝑛 ∈ ℕ) → ((-1 · (𝐴 − 1))↑𝑛) = ((-1↑𝑛) · ((𝐴 − 1)↑𝑛)))
7975, 78eqtrd 2798 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝑆𝑛 ∈ ℕ) → ((1 − 𝐴)↑𝑛) = ((-1↑𝑛) · ((𝐴 − 1)↑𝑛)))
8079negeqd 10528 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑆𝑛 ∈ ℕ) → -((1 − 𝐴)↑𝑛) = -((-1↑𝑛) · ((𝐴 − 1)↑𝑛)))
8155, 69, 803eqtr4d 2808 . . . . . . 7 ((𝐴𝑆𝑛 ∈ ℕ) → ((-1↑(𝑛 − 1)) · ((𝐴 − 1)↑𝑛)) = -((1 − 𝐴)↑𝑛))
8281oveq1d 6856 . . . . . 6 ((𝐴𝑆𝑛 ∈ ℕ) → (((-1↑(𝑛 − 1)) · ((𝐴 − 1)↑𝑛)) / 𝑛) = (-((1 − 𝐴)↑𝑛) / 𝑛))
8346, 47, 823eqtr4d 2808 . . . . 5 ((𝐴𝑆𝑛 ∈ ℕ) → (-1 · (((1 − 𝐴)↑𝑛) / 𝑛)) = (((-1↑(𝑛 − 1)) · ((𝐴 − 1)↑𝑛)) / 𝑛))
84 nnm1nn0 11580 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 − 1) ∈ ℕ0)
8584adantl 473 . . . . . . 7 ((𝐴𝑆𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛 − 1) ∈ ℕ0)
86 expcl 13084 . . . . . . 7 ((-1 ∈ ℂ ∧ (𝑛 − 1) ∈ ℕ0) → (-1↑(𝑛 − 1)) ∈ ℂ)
873, 85, 86sylancr 581 . . . . . 6 ((𝐴𝑆𝑛 ∈ ℕ) → (-1↑(𝑛 − 1)) ∈ ℂ)
8887, 54, 41, 43div23d 11091 . . . . 5 ((𝐴𝑆𝑛 ∈ ℕ) → (((-1↑(𝑛 − 1)) · ((𝐴 − 1)↑𝑛)) / 𝑛) = (((-1↑(𝑛 − 1)) / 𝑛) · ((𝐴 − 1)↑𝑛)))
8983, 88eqtr2d 2799 . . . 4 ((𝐴𝑆𝑛 ∈ ℕ) → (((-1↑(𝑛 − 1)) / 𝑛) · ((𝐴 − 1)↑𝑛)) = (-1 · (((1 − 𝐴)↑𝑛) / 𝑛)))
90 oveq1 6848 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑛 → (𝑘 − 1) = (𝑛 − 1))
9190oveq2d 6857 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑛 → (-1↑(𝑘 − 1)) = (-1↑(𝑛 − 1)))
9291, 31oveq12d 6859 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑛 → ((-1↑(𝑘 − 1)) / 𝑘) = ((-1↑(𝑛 − 1)) / 𝑛))
93 oveq2 6849 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑛 → ((𝐴 − 1)↑𝑘) = ((𝐴 − 1)↑𝑛))
9492, 93oveq12d 6859 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑛 → (((-1↑(𝑘 − 1)) / 𝑘) · ((𝐴 − 1)↑𝑘)) = (((-1↑(𝑛 − 1)) / 𝑛) · ((𝐴 − 1)↑𝑛)))
95 eqid 2764 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((-1↑(𝑘 − 1)) / 𝑘) · ((𝐴 − 1)↑𝑘))) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((-1↑(𝑘 − 1)) / 𝑘) · ((𝐴 − 1)↑𝑘)))
96 ovex 6873 . . . . . 6 (((-1↑(𝑛 − 1)) / 𝑛) · ((𝐴 − 1)↑𝑛)) ∈ V
9794, 95, 96fvmpt 6470 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (((-1↑(𝑘 − 1)) / 𝑘) · ((𝐴 − 1)↑𝑘)))‘𝑛) = (((-1↑(𝑛 − 1)) / 𝑛) · ((𝐴 − 1)↑𝑛)))
9897adantl 473 . . . 4 ((𝐴𝑆𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (((-1↑(𝑘 − 1)) / 𝑘) · ((𝐴 − 1)↑𝑘)))‘𝑛) = (((-1↑(𝑛 − 1)) / 𝑛) · ((𝐴 − 1)↑𝑛)))
9936oveq2d 6857 . . . 4 ((𝐴𝑆𝑛 ∈ ℕ) → (-1 · ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (((1 − 𝐴)↑𝑘) / 𝑘))‘𝑛)) = (-1 · (((1 − 𝐴)↑𝑛) / 𝑛)))
10089, 98, 993eqtr4d 2808 . . 3 ((𝐴𝑆𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (((-1↑(𝑘 − 1)) / 𝑘) · ((𝐴 − 1)↑𝑘)))‘𝑛) = (-1 · ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (((1 − 𝐴)↑𝑘) / 𝑘))‘𝑛)))
1011, 2, 4, 29, 45, 100isermulc2 14674 . 2 (𝐴𝑆 → seq1( + , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((-1↑(𝑘 − 1)) / 𝑘) · ((𝐴 − 1)↑𝑘)))) ⇝ (-1 · -(log‘𝐴)))
1026dvlog2lem 24688 . . . . . . . 8 𝑆 ⊆ (ℂ ∖ (-∞(,]0))
103102sseli 3756 . . . . . . 7 (𝐴𝑆𝐴 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))
104 eqid 2764 . . . . . . . 8 (ℂ ∖ (-∞(,]0)) = (ℂ ∖ (-∞(,]0))
105104logdmn0 24676 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) → 𝐴 ≠ 0)
106103, 105syl 17 . . . . . 6 (𝐴𝑆𝐴 ≠ 0)
10715, 106logcld 24607 . . . . 5 (𝐴𝑆 → (log‘𝐴) ∈ ℂ)
108107negcld 10632 . . . 4 (𝐴𝑆 → -(log‘𝐴) ∈ ℂ)
109108mulm1d 10735 . . 3 (𝐴𝑆 → (-1 · -(log‘𝐴)) = --(log‘𝐴))
110107negnegd 10636 . . 3 (𝐴𝑆 → --(log‘𝐴) = (log‘𝐴))
111109, 110eqtrd 2798 . 2 (𝐴𝑆 → (-1 · -(log‘𝐴)) = (log‘𝐴))
112101, 111breqtrd 4834 1 (𝐴𝑆 → seq1( + , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((-1↑(𝑘 − 1)) / 𝑘) · ((𝐴 − 1)↑𝑘)))) ⇝ (log‘𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384   = wceq 1652  wcel 2155  wne 2936  cdif 3728   class class class wbr 4808  cmpt 4887  ccom 5280  cfv 6067  (class class class)co 6841  cc 10186  0cc0 10188  1c1 10189   + caddc 10191   · cmul 10193  -∞cmnf 10325  *cxr 10326   < clt 10327  cmin 10519  -cneg 10520   / cdiv 10937  cn 11273  0cn0 11537  cz 11623  +crp 12027  (,]cioc 12377  seqcseq 13007  cexp 13066  abscabs 14260  cli 14501  ∞Metcxmet 20003  ballcbl 20005  logclog 24591
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2349  ax-ext 2742  ax-rep 4929  ax-sep 4940  ax-nul 4948  ax-pow 5000  ax-pr 5061  ax-un 7146  ax-inf2 8752  ax-cnex 10244  ax-resscn 10245  ax-1cn 10246  ax-icn 10247  ax-addcl 10248  ax-addrcl 10249  ax-mulcl 10250  ax-mulrcl 10251  ax-mulcom 10252  ax-addass 10253  ax-mulass 10254  ax-distr 10255  ax-i2m1 10256  ax-1ne0 10257  ax-1rid 10258  ax-rnegex 10259  ax-rrecex 10260  ax-cnre 10261  ax-pre-lttri 10262  ax-pre-lttrn 10263  ax-pre-ltadd 10264  ax-pre-mulgt0 10265  ax-pre-sup 10266  ax-addf 10267  ax-mulf 10268
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-fal 1666  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2062  df-mo 2564  df-eu 2581  df-clab 2751  df-cleq 2757  df-clel 2760  df-nfc 2895  df-ne 2937  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rmo 3062  df-rab 3063  df-v 3351  df-sbc 3596  df-csb 3691  df-dif 3734  df-un 3736  df-in 3738  df-ss 3745  df-pss 3747  df-nul 4079  df-if 4243  df-pw 4316  df-sn 4334  df-pr 4336  df-tp 4338  df-op 4340  df-uni 4594  df-int 4633  df-iun 4677  df-iin 4678  df-br 4809  df-opab 4871  df-mpt 4888  df-tr 4911  df-id 5184  df-eprel 5189  df-po 5197  df-so 5198  df-fr 5235  df-se 5236  df-we 5237  df-xp 5282  df-rel 5283  df-cnv 5284  df-co 5285  df-dm 5286  df-rn 5287  df-res 5288  df-ima 5289  df-pred 5864  df-ord 5910  df-on 5911  df-lim 5912  df-suc 5913  df-iota 6030  df-fun 6069  df-fn 6070  df-f 6071  df-f1 6072  df-fo 6073  df-f1o 6074  df-fv 6075  df-isom 6076  df-riota 6802  df-ov 6844  df-oprab 6845  df-mpt2 6846  df-of 7094  df-om 7263  df-1st 7365  df-2nd 7366  df-supp 7497  df-wrecs 7609  df-recs 7671  df-rdg 7709  df-1o 7763  df-2o 7764  df-oadd 7767  df-er 7946  df-map 8061  df-pm 8062  df-ixp 8113  df-en 8160  df-dom 8161  df-sdom 8162  df-fin 8163  df-fsupp 8482  df-fi 8523  df-sup 8554  df-inf 8555  df-oi 8621  df-card 9015  df-cda 9242  df-pnf 10329  df-mnf 10330  df-xr 10331  df-ltxr 10332  df-le 10333  df-sub 10521  df-neg 10522  df-div 10938  df-nn 11274  df-2 11334  df-3 11335  df-4 11336  df-5 11337  df-6 11338  df-7 11339  df-8 11340  df-9 11341  df-n0 11538  df-z 11624  df-dec 11740  df-uz 11886  df-q 11989  df-rp 12028  df-xneg 12145  df-xadd 12146  df-xmul 12147  df-ioo 12380  df-ioc 12381  df-ico 12382  df-icc 12383  df-fz 12533  df-fzo 12673  df-fl 12800  df-mod 12876  df-seq 13008  df-exp 13067  df-fac 13264  df-bc 13293  df-hash 13321  df-shft 14093  df-cj 14125  df-re 14126  df-im 14127  df-sqrt 14261  df-abs 14262  df-limsup 14488  df-clim 14505  df-rlim 14506  df-sum 14703  df-ef 15081  df-sin 15083  df-cos 15084  df-tan 15085  df-pi 15086  df-struct 16133  df-ndx 16134  df-slot 16135  df-base 16137  df-sets 16138  df-ress 16139  df-plusg 16228  df-mulr 16229  df-starv 16230  df-sca 16231  df-vsca 16232  df-ip 16233  df-tset 16234  df-ple 16235  df-ds 16237  df-unif 16238  df-hom 16239  df-cco 16240  df-rest 16350  df-topn 16351  df-0g 16369  df-gsum 16370  df-topgen 16371  df-pt 16372  df-prds 16375  df-xrs 16429  df-qtop 16434  df-imas 16435  df-xps 16437  df-mre 16513  df-mrc 16514  df-acs 16516  df-mgm 17509  df-sgrp 17551  df-mnd 17562  df-submnd 17603  df-mulg 17809  df-cntz 18014  df-cmn 18460  df-psmet 20010  df-xmet 20011  df-met 20012  df-bl 20013  df-mopn 20014  df-fbas 20015  df-fg 20016  df-cnfld 20019  df-top 20977  df-topon 20994  df-topsp 21016  df-bases 21029  df-cld 21102  df-ntr 21103  df-cls 21104  df-nei 21181  df-lp 21219  df-perf 21220  df-cn 21310  df-cnp 21311  df-haus 21398  df-cmp 21469  df-tx 21644  df-hmeo 21837  df-fil 21928  df-fm 22020  df-flim 22021  df-flf 22022  df-xms 22403  df-ms 22404  df-tms 22405  df-cncf 22959  df-limc 23920  df-dv 23921  df-ulm 24421  df-log 24593
This theorem is referenced by:  stirlinglem5  40864
  Copyright terms: Public domain W3C validator