MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  logtayl2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem logtayl2 26686
Description: Power series expression for the logarithm. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
logtayl2.s 𝑆 = (1(ball‘(abs ∘ − ))1)
Assertion
Ref Expression
logtayl2 (𝐴𝑆 → seq1( + , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((-1↑(𝑘 − 1)) / 𝑘) · ((𝐴 − 1)↑𝑘)))) ⇝ (log‘𝐴))
Distinct variable group:   𝐴,𝑘
Allowed substitution hint:   𝑆(𝑘)

Proof of Theorem logtayl2
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 12911 . . 3 ℕ = (ℤ‘1)
2 1zzd 12639 . . 3 (𝐴𝑆 → 1 ∈ ℤ)
3 neg1cn 12372 . . . 4 -1 ∈ ℂ
43a1i 11 . . 3 (𝐴𝑆 → -1 ∈ ℂ)
5 ax-1cn 11207 . . . . . 6 1 ∈ ℂ
6 logtayl2.s . . . . . . . . 9 𝑆 = (1(ball‘(abs ∘ − ))1)
76eleq2i 2818 . . . . . . . 8 (𝐴𝑆𝐴 ∈ (1(ball‘(abs ∘ − ))1))
8 cnxmet 24777 . . . . . . . . 9 (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
9 1xr 11314 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℝ*
10 elbl 24382 . . . . . . . . 9 (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ (1(ball‘(abs ∘ − ))1) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (1(abs ∘ − )𝐴) < 1)))
118, 5, 9, 10mp3an 1458 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (1(ball‘(abs ∘ − ))1) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (1(abs ∘ − )𝐴) < 1))
127, 11bitri 274 . . . . . . 7 (𝐴𝑆 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (1(abs ∘ − )𝐴) < 1))
1312simplbi 496 . . . . . 6 (𝐴𝑆𝐴 ∈ ℂ)
14 subcl 11500 . . . . . 6 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (1 − 𝐴) ∈ ℂ)
155, 13, 14sylancr 585 . . . . 5 (𝐴𝑆 → (1 − 𝐴) ∈ ℂ)
16 eqid 2726 . . . . . . . 8 (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
1716cnmetdval 24775 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (1(abs ∘ − )𝐴) = (abs‘(1 − 𝐴)))
185, 13, 17sylancr 585 . . . . . 6 (𝐴𝑆 → (1(abs ∘ − )𝐴) = (abs‘(1 − 𝐴)))
1912simprbi 495 . . . . . 6 (𝐴𝑆 → (1(abs ∘ − )𝐴) < 1)
2018, 19eqbrtrrd 5169 . . . . 5 (𝐴𝑆 → (abs‘(1 − 𝐴)) < 1)
21 logtayl 26684 . . . . 5 (((1 − 𝐴) ∈ ℂ ∧ (abs‘(1 − 𝐴)) < 1) → seq1( + , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((1 − 𝐴)↑𝑘) / 𝑘))) ⇝ -(log‘(1 − (1 − 𝐴))))
2215, 20, 21syl2anc 582 . . . 4 (𝐴𝑆 → seq1( + , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((1 − 𝐴)↑𝑘) / 𝑘))) ⇝ -(log‘(1 − (1 − 𝐴))))
23 nncan 11530 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (1 − (1 − 𝐴)) = 𝐴)
245, 13, 23sylancr 585 . . . . . 6 (𝐴𝑆 → (1 − (1 − 𝐴)) = 𝐴)
2524fveq2d 6897 . . . . 5 (𝐴𝑆 → (log‘(1 − (1 − 𝐴))) = (log‘𝐴))
2625negeqd 11495 . . . 4 (𝐴𝑆 → -(log‘(1 − (1 − 𝐴))) = -(log‘𝐴))
2722, 26breqtrd 5171 . . 3 (𝐴𝑆 → seq1( + , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((1 − 𝐴)↑𝑘) / 𝑘))) ⇝ -(log‘𝐴))
28 oveq2 7424 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑛 → ((1 − 𝐴)↑𝑘) = ((1 − 𝐴)↑𝑛))
29 id 22 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑛𝑘 = 𝑛)
3028, 29oveq12d 7434 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑛 → (((1 − 𝐴)↑𝑘) / 𝑘) = (((1 − 𝐴)↑𝑛) / 𝑛))
31 eqid 2726 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((1 − 𝐴)↑𝑘) / 𝑘)) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((1 − 𝐴)↑𝑘) / 𝑘))
32 ovex 7449 . . . . . 6 (((1 − 𝐴)↑𝑛) / 𝑛) ∈ V
3330, 31, 32fvmpt 7001 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (((1 − 𝐴)↑𝑘) / 𝑘))‘𝑛) = (((1 − 𝐴)↑𝑛) / 𝑛))
3433adantl 480 . . . 4 ((𝐴𝑆𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (((1 − 𝐴)↑𝑘) / 𝑘))‘𝑛) = (((1 − 𝐴)↑𝑛) / 𝑛))
35 nnnn0 12525 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ0)
36 expcl 14093 . . . . . 6 (((1 − 𝐴) ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((1 − 𝐴)↑𝑛) ∈ ℂ)
3715, 35, 36syl2an 594 . . . . 5 ((𝐴𝑆𝑛 ∈ ℕ) → ((1 − 𝐴)↑𝑛) ∈ ℂ)
38 nncn 12266 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℂ)
3938adantl 480 . . . . 5 ((𝐴𝑆𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℂ)
40 nnne0 12292 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ≠ 0)
4140adantl 480 . . . . 5 ((𝐴𝑆𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ≠ 0)
4237, 39, 41divcld 12035 . . . 4 ((𝐴𝑆𝑛 ∈ ℕ) → (((1 − 𝐴)↑𝑛) / 𝑛) ∈ ℂ)
4334, 42eqeltrd 2826 . . 3 ((𝐴𝑆𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (((1 − 𝐴)↑𝑘) / 𝑘))‘𝑛) ∈ ℂ)
4437, 39, 41divnegd 12048 . . . . . 6 ((𝐴𝑆𝑛 ∈ ℕ) → -(((1 − 𝐴)↑𝑛) / 𝑛) = (-((1 − 𝐴)↑𝑛) / 𝑛))
4542mulm1d 11707 . . . . . 6 ((𝐴𝑆𝑛 ∈ ℕ) → (-1 · (((1 − 𝐴)↑𝑛) / 𝑛)) = -(((1 − 𝐴)↑𝑛) / 𝑛))
4635adantl 480 . . . . . . . . . 10 ((𝐴𝑆𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℕ0)
47 expcl 14093 . . . . . . . . . 10 ((-1 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (-1↑𝑛) ∈ ℂ)
483, 46, 47sylancr 585 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝑆𝑛 ∈ ℕ) → (-1↑𝑛) ∈ ℂ)
49 subcl 11500 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝐴 − 1) ∈ ℂ)
5013, 5, 49sylancl 584 . . . . . . . . . 10 (𝐴𝑆 → (𝐴 − 1) ∈ ℂ)
51 expcl 14093 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 − 1) ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝐴 − 1)↑𝑛) ∈ ℂ)
5250, 35, 51syl2an 594 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝑆𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐴 − 1)↑𝑛) ∈ ℂ)
5348, 52mulneg1d 11708 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑆𝑛 ∈ ℕ) → (-(-1↑𝑛) · ((𝐴 − 1)↑𝑛)) = -((-1↑𝑛) · ((𝐴 − 1)↑𝑛)))
543a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴𝑆𝑛 ∈ ℕ) → -1 ∈ ℂ)
55 neg1ne0 12374 . . . . . . . . . . . 12 -1 ≠ 0
5655a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴𝑆𝑛 ∈ ℕ) → -1 ≠ 0)
57 nnz 12625 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℤ)
5857adantl 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴𝑆𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℤ)
5954, 56, 58expm1d 14169 . . . . . . . . . 10 ((𝐴𝑆𝑛 ∈ ℕ) → (-1↑(𝑛 − 1)) = ((-1↑𝑛) / -1))
605a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴𝑆𝑛 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℂ)
61 ax-1ne0 11218 . . . . . . . . . . . 12 1 ≠ 0
6261a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴𝑆𝑛 ∈ ℕ) → 1 ≠ 0)
6348, 60, 62divneg2d 12049 . . . . . . . . . 10 ((𝐴𝑆𝑛 ∈ ℕ) → -((-1↑𝑛) / 1) = ((-1↑𝑛) / -1))
6448div1d 12027 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴𝑆𝑛 ∈ ℕ) → ((-1↑𝑛) / 1) = (-1↑𝑛))
6564negeqd 11495 . . . . . . . . . 10 ((𝐴𝑆𝑛 ∈ ℕ) → -((-1↑𝑛) / 1) = -(-1↑𝑛))
6659, 63, 653eqtr2d 2772 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝑆𝑛 ∈ ℕ) → (-1↑(𝑛 − 1)) = -(-1↑𝑛))
6766oveq1d 7431 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑆𝑛 ∈ ℕ) → ((-1↑(𝑛 − 1)) · ((𝐴 − 1)↑𝑛)) = (-(-1↑𝑛) · ((𝐴 − 1)↑𝑛)))
6850mulm1d 11707 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴𝑆 → (-1 · (𝐴 − 1)) = -(𝐴 − 1))
69 negsubdi2 11560 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → -(𝐴 − 1) = (1 − 𝐴))
7013, 5, 69sylancl 584 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴𝑆 → -(𝐴 − 1) = (1 − 𝐴))
7168, 70eqtr2d 2767 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴𝑆 → (1 − 𝐴) = (-1 · (𝐴 − 1)))
7271oveq1d 7431 . . . . . . . . . . 11 (𝐴𝑆 → ((1 − 𝐴)↑𝑛) = ((-1 · (𝐴 − 1))↑𝑛))
7372adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝐴𝑆𝑛 ∈ ℕ) → ((1 − 𝐴)↑𝑛) = ((-1 · (𝐴 − 1))↑𝑛))
74 mulexp 14115 . . . . . . . . . . 11 ((-1 ∈ ℂ ∧ (𝐴 − 1) ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((-1 · (𝐴 − 1))↑𝑛) = ((-1↑𝑛) · ((𝐴 − 1)↑𝑛)))
753, 50, 35, 74mp3an3an 1464 . . . . . . . . . 10 ((𝐴𝑆𝑛 ∈ ℕ) → ((-1 · (𝐴 − 1))↑𝑛) = ((-1↑𝑛) · ((𝐴 − 1)↑𝑛)))
7673, 75eqtrd 2766 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝑆𝑛 ∈ ℕ) → ((1 − 𝐴)↑𝑛) = ((-1↑𝑛) · ((𝐴 − 1)↑𝑛)))
7776negeqd 11495 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑆𝑛 ∈ ℕ) → -((1 − 𝐴)↑𝑛) = -((-1↑𝑛) · ((𝐴 − 1)↑𝑛)))
7853, 67, 773eqtr4d 2776 . . . . . . 7 ((𝐴𝑆𝑛 ∈ ℕ) → ((-1↑(𝑛 − 1)) · ((𝐴 − 1)↑𝑛)) = -((1 − 𝐴)↑𝑛))
7978oveq1d 7431 . . . . . 6 ((𝐴𝑆𝑛 ∈ ℕ) → (((-1↑(𝑛 − 1)) · ((𝐴 − 1)↑𝑛)) / 𝑛) = (-((1 − 𝐴)↑𝑛) / 𝑛))
8044, 45, 793eqtr4d 2776 . . . . 5 ((𝐴𝑆𝑛 ∈ ℕ) → (-1 · (((1 − 𝐴)↑𝑛) / 𝑛)) = (((-1↑(𝑛 − 1)) · ((𝐴 − 1)↑𝑛)) / 𝑛))
81 nnm1nn0 12559 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 − 1) ∈ ℕ0)
8281adantl 480 . . . . . . 7 ((𝐴𝑆𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛 − 1) ∈ ℕ0)
83 expcl 14093 . . . . . . 7 ((-1 ∈ ℂ ∧ (𝑛 − 1) ∈ ℕ0) → (-1↑(𝑛 − 1)) ∈ ℂ)
843, 82, 83sylancr 585 . . . . . 6 ((𝐴𝑆𝑛 ∈ ℕ) → (-1↑(𝑛 − 1)) ∈ ℂ)
8584, 52, 39, 41div23d 12072 . . . . 5 ((𝐴𝑆𝑛 ∈ ℕ) → (((-1↑(𝑛 − 1)) · ((𝐴 − 1)↑𝑛)) / 𝑛) = (((-1↑(𝑛 − 1)) / 𝑛) · ((𝐴 − 1)↑𝑛)))
8680, 85eqtr2d 2767 . . . 4 ((𝐴𝑆𝑛 ∈ ℕ) → (((-1↑(𝑛 − 1)) / 𝑛) · ((𝐴 − 1)↑𝑛)) = (-1 · (((1 − 𝐴)↑𝑛) / 𝑛)))
87 oveq1 7423 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑛 → (𝑘 − 1) = (𝑛 − 1))
8887oveq2d 7432 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑛 → (-1↑(𝑘 − 1)) = (-1↑(𝑛 − 1)))
8988, 29oveq12d 7434 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑛 → ((-1↑(𝑘 − 1)) / 𝑘) = ((-1↑(𝑛 − 1)) / 𝑛))
90 oveq2 7424 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑛 → ((𝐴 − 1)↑𝑘) = ((𝐴 − 1)↑𝑛))
9189, 90oveq12d 7434 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑛 → (((-1↑(𝑘 − 1)) / 𝑘) · ((𝐴 − 1)↑𝑘)) = (((-1↑(𝑛 − 1)) / 𝑛) · ((𝐴 − 1)↑𝑛)))
92 eqid 2726 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((-1↑(𝑘 − 1)) / 𝑘) · ((𝐴 − 1)↑𝑘))) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((-1↑(𝑘 − 1)) / 𝑘) · ((𝐴 − 1)↑𝑘)))
93 ovex 7449 . . . . . 6 (((-1↑(𝑛 − 1)) / 𝑛) · ((𝐴 − 1)↑𝑛)) ∈ V
9491, 92, 93fvmpt 7001 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (((-1↑(𝑘 − 1)) / 𝑘) · ((𝐴 − 1)↑𝑘)))‘𝑛) = (((-1↑(𝑛 − 1)) / 𝑛) · ((𝐴 − 1)↑𝑛)))
9594adantl 480 . . . 4 ((𝐴𝑆𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (((-1↑(𝑘 − 1)) / 𝑘) · ((𝐴 − 1)↑𝑘)))‘𝑛) = (((-1↑(𝑛 − 1)) / 𝑛) · ((𝐴 − 1)↑𝑛)))
9634oveq2d 7432 . . . 4 ((𝐴𝑆𝑛 ∈ ℕ) → (-1 · ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (((1 − 𝐴)↑𝑘) / 𝑘))‘𝑛)) = (-1 · (((1 − 𝐴)↑𝑛) / 𝑛)))
9786, 95, 963eqtr4d 2776 . . 3 ((𝐴𝑆𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (((-1↑(𝑘 − 1)) / 𝑘) · ((𝐴 − 1)↑𝑘)))‘𝑛) = (-1 · ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (((1 − 𝐴)↑𝑘) / 𝑘))‘𝑛)))
981, 2, 4, 27, 43, 97isermulc2 15657 . 2 (𝐴𝑆 → seq1( + , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((-1↑(𝑘 − 1)) / 𝑘) · ((𝐴 − 1)↑𝑘)))) ⇝ (-1 · -(log‘𝐴)))
996dvlog2lem 26676 . . . . . . . 8 𝑆 ⊆ (ℂ ∖ (-∞(,]0))
10099sseli 3974 . . . . . . 7 (𝐴𝑆𝐴 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))
101 eqid 2726 . . . . . . . 8 (ℂ ∖ (-∞(,]0)) = (ℂ ∖ (-∞(,]0))
102101logdmn0 26664 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) → 𝐴 ≠ 0)
103100, 102syl 17 . . . . . 6 (𝐴𝑆𝐴 ≠ 0)
10413, 103logcld 26594 . . . . 5 (𝐴𝑆 → (log‘𝐴) ∈ ℂ)
105104negcld 11599 . . . 4 (𝐴𝑆 → -(log‘𝐴) ∈ ℂ)
106105mulm1d 11707 . . 3 (𝐴𝑆 → (-1 · -(log‘𝐴)) = --(log‘𝐴))
107104negnegd 11603 . . 3 (𝐴𝑆 → --(log‘𝐴) = (log‘𝐴))
108106, 107eqtrd 2766 . 2 (𝐴𝑆 → (-1 · -(log‘𝐴)) = (log‘𝐴))
10998, 108breqtrd 5171 1 (𝐴𝑆 → seq1( + , (𝑘 ∈ ℕ ↦ (((-1↑(𝑘 − 1)) / 𝑘) · ((𝐴 − 1)↑𝑘)))) ⇝ (log‘𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394   = wceq 1534  wcel 2099  wne 2930  cdif 3943   class class class wbr 5145  cmpt 5228  ccom 5678  cfv 6546  (class class class)co 7416  cc 11147  0cc0 11149  1c1 11150   + caddc 11152   · cmul 11154  -∞cmnf 11287  *cxr 11288   < clt 11289  cmin 11485  -cneg 11486   / cdiv 11912  cn 12258  0cn0 12518  cz 12604  (,]cioc 13373  seqcseq 14015  cexp 14075  abscabs 15234  cli 15481  ∞Metcxmet 21324  ballcbl 21326  logclog 26578
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5282  ax-sep 5296  ax-nul 5303  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7738  ax-inf2 9677  ax-cnex 11205  ax-resscn 11206  ax-1cn 11207  ax-icn 11208  ax-addcl 11209  ax-addrcl 11210  ax-mulcl 11211  ax-mulrcl 11212  ax-mulcom 11213  ax-addass 11214  ax-mulass 11215  ax-distr 11216  ax-i2m1 11217  ax-1ne0 11218  ax-1rid 11219  ax-rnegex 11220  ax-rrecex 11221  ax-cnre 11222  ax-pre-lttri 11223  ax-pre-lttrn 11224  ax-pre-ltadd 11225  ax-pre-mulgt0 11226  ax-pre-sup 11227  ax-addf 11228
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3966  df-nul 4323  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4906  df-int 4947  df-iun 4995  df-iin 4996  df-br 5146  df-opab 5208  df-mpt 5229  df-tr 5263  df-id 5572  df-eprel 5578  df-po 5586  df-so 5587  df-fr 5629  df-se 5630  df-we 5631  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-pred 6304  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6498  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-isom 6555  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7682  df-om 7869  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-supp 8167  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-1o 8488  df-2o 8489  df-er 8726  df-map 8849  df-pm 8850  df-ixp 8919  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-fsupp 9399  df-fi 9447  df-sup 9478  df-inf 9479  df-oi 9546  df-card 9975  df-pnf 11291  df-mnf 11292  df-xr 11293  df-ltxr 11294  df-le 11295  df-sub 11487  df-neg 11488  df-div 11913  df-nn 12259  df-2 12321  df-3 12322  df-4 12323  df-5 12324  df-6 12325  df-7 12326  df-8 12327  df-9 12328  df-n0 12519  df-z 12605  df-dec 12724  df-uz 12869  df-q 12979  df-rp 13023  df-xneg 13140  df-xadd 13141  df-xmul 13142  df-ioo 13376  df-ioc 13377  df-ico 13378  df-icc 13379  df-fz 13533  df-fzo 13676  df-fl 13806  df-mod 13884  df-seq 14016  df-exp 14076  df-fac 14286  df-bc 14315  df-hash 14343  df-shft 15067  df-cj 15099  df-re 15100  df-im 15101  df-sqrt 15235  df-abs 15236  df-limsup 15468  df-clim 15485  df-rlim 15486  df-sum 15686  df-ef 16064  df-sin 16066  df-cos 16067  df-tan 16068  df-pi 16069  df-struct 17144  df-sets 17161  df-slot 17179  df-ndx 17191  df-base 17209  df-ress 17238  df-plusg 17274  df-mulr 17275  df-starv 17276  df-sca 17277  df-vsca 17278  df-ip 17279  df-tset 17280  df-ple 17281  df-ds 17283  df-unif 17284  df-hom 17285  df-cco 17286  df-rest 17432  df-topn 17433  df-0g 17451  df-gsum 17452  df-topgen 17453  df-pt 17454  df-prds 17457  df-xrs 17512  df-qtop 17517  df-imas 17518  df-xps 17520  df-mre 17594  df-mrc 17595  df-acs 17597  df-mgm 18628  df-sgrp 18707  df-mnd 18723  df-submnd 18769  df-mulg 19058  df-cntz 19307  df-cmn 19776  df-psmet 21331  df-xmet 21332  df-met 21333  df-bl 21334  df-mopn 21335  df-fbas 21336  df-fg 21337  df-cnfld 21340  df-top 22884  df-topon 22901  df-topsp 22923  df-bases 22937  df-cld 23011  df-ntr 23012  df-cls 23013  df-nei 23090  df-lp 23128  df-perf 23129  df-cn 23219  df-cnp 23220  df-haus 23307  df-cmp 23379  df-tx 23554  df-hmeo 23747  df-fil 23838  df-fm 23930  df-flim 23931  df-flf 23932  df-xms 24314  df-ms 24315  df-tms 24316  df-cncf 24886  df-limc 25883  df-dv 25884  df-ulm 26403  df-log 26580
This theorem is referenced by:  stirlinglem5  45735
  Copyright terms: Public domain W3C validator