MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvcnsqrt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvcnsqrt 25319
Description: Derivative of square root function. (Contributed by Brendan Leahy, 18-Dec-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
dvcncxp1.d 𝐷 = (ℂ ∖ (-∞(,]0))
Assertion
Ref Expression
dvcnsqrt (ℂ D (𝑥𝐷 ↦ (√‘𝑥))) = (𝑥𝐷 ↦ (1 / (2 · (√‘𝑥))))
Distinct variable group:   𝑥,𝐷

Proof of Theorem dvcnsqrt
StepHypRef Expression
1 halfcn 11846 . . 3 (1 / 2) ∈ ℂ
2 dvcncxp1.d . . . 4 𝐷 = (ℂ ∖ (-∞(,]0))
32dvcncxp1 25318 . . 3 ((1 / 2) ∈ ℂ → (ℂ D (𝑥𝐷 ↦ (𝑥𝑐(1 / 2)))) = (𝑥𝐷 ↦ ((1 / 2) · (𝑥𝑐((1 / 2) − 1)))))
41, 3ax-mp 5 . 2 (ℂ D (𝑥𝐷 ↦ (𝑥𝑐(1 / 2)))) = (𝑥𝐷 ↦ ((1 / 2) · (𝑥𝑐((1 / 2) − 1))))
5 difss 4108 . . . . . . 7 (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ⊆ ℂ
62, 5eqsstri 4001 . . . . . 6 𝐷 ⊆ ℂ
76sseli 3963 . . . . 5 (𝑥𝐷𝑥 ∈ ℂ)
8 cxpsqrt 25280 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥𝑐(1 / 2)) = (√‘𝑥))
97, 8syl 17 . . . 4 (𝑥𝐷 → (𝑥𝑐(1 / 2)) = (√‘𝑥))
109mpteq2ia 5150 . . 3 (𝑥𝐷 ↦ (𝑥𝑐(1 / 2))) = (𝑥𝐷 ↦ (√‘𝑥))
1110oveq2i 7161 . 2 (ℂ D (𝑥𝐷 ↦ (𝑥𝑐(1 / 2)))) = (ℂ D (𝑥𝐷 ↦ (√‘𝑥)))
12 1p0e1 11755 . . . . . . . . . . 11 (1 + 0) = 1
13 ax-1cn 10589 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℂ
14 2halves 11859 . . . . . . . . . . . 12 (1 ∈ ℂ → ((1 / 2) + (1 / 2)) = 1)
1513, 14ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 ((1 / 2) + (1 / 2)) = 1
1612, 15eqtr4i 2847 . . . . . . . . . 10 (1 + 0) = ((1 / 2) + (1 / 2))
17 0cn 10627 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℂ
18 addsubeq4 10895 . . . . . . . . . . 11 (((1 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) ∧ ((1 / 2) ∈ ℂ ∧ (1 / 2) ∈ ℂ)) → ((1 + 0) = ((1 / 2) + (1 / 2)) ↔ ((1 / 2) − 1) = (0 − (1 / 2))))
1913, 17, 1, 1, 18mp4an 691 . . . . . . . . . 10 ((1 + 0) = ((1 / 2) + (1 / 2)) ↔ ((1 / 2) − 1) = (0 − (1 / 2)))
2016, 19mpbi 232 . . . . . . . . 9 ((1 / 2) − 1) = (0 − (1 / 2))
21 df-neg 10867 . . . . . . . . 9 -(1 / 2) = (0 − (1 / 2))
2220, 21eqtr4i 2847 . . . . . . . 8 ((1 / 2) − 1) = -(1 / 2)
2322oveq2i 7161 . . . . . . 7 (𝑥𝑐((1 / 2) − 1)) = (𝑥𝑐-(1 / 2))
242logdmn0 25217 . . . . . . . 8 (𝑥𝐷𝑥 ≠ 0)
251a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑥𝐷 → (1 / 2) ∈ ℂ)
267, 24, 25cxpnegd 25292 . . . . . . 7 (𝑥𝐷 → (𝑥𝑐-(1 / 2)) = (1 / (𝑥𝑐(1 / 2))))
2723, 26syl5eq 2868 . . . . . 6 (𝑥𝐷 → (𝑥𝑐((1 / 2) − 1)) = (1 / (𝑥𝑐(1 / 2))))
289oveq2d 7166 . . . . . 6 (𝑥𝐷 → (1 / (𝑥𝑐(1 / 2))) = (1 / (√‘𝑥)))
2927, 28eqtrd 2856 . . . . 5 (𝑥𝐷 → (𝑥𝑐((1 / 2) − 1)) = (1 / (√‘𝑥)))
3029oveq2d 7166 . . . 4 (𝑥𝐷 → ((1 / 2) · (𝑥𝑐((1 / 2) − 1))) = ((1 / 2) · (1 / (√‘𝑥))))
31 1cnd 10630 . . . . . 6 (𝑥𝐷 → 1 ∈ ℂ)
32 2cnd 11709 . . . . . 6 (𝑥𝐷 → 2 ∈ ℂ)
337sqrtcld 14791 . . . . . 6 (𝑥𝐷 → (√‘𝑥) ∈ ℂ)
34 2ne0 11735 . . . . . . 7 2 ≠ 0
3534a1i 11 . . . . . 6 (𝑥𝐷 → 2 ≠ 0)
367adantr 483 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝐷 ∧ (√‘𝑥) = 0) → 𝑥 ∈ ℂ)
37 simpr 487 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝐷 ∧ (√‘𝑥) = 0) → (√‘𝑥) = 0)
3836, 37sqr00d 14795 . . . . . . . . 9 ((𝑥𝐷 ∧ (√‘𝑥) = 0) → 𝑥 = 0)
3938ex 415 . . . . . . . 8 (𝑥𝐷 → ((√‘𝑥) = 0 → 𝑥 = 0))
4039necon3d 3037 . . . . . . 7 (𝑥𝐷 → (𝑥 ≠ 0 → (√‘𝑥) ≠ 0))
4124, 40mpd 15 . . . . . 6 (𝑥𝐷 → (√‘𝑥) ≠ 0)
4231, 32, 31, 33, 35, 41divmuldivd 11451 . . . . 5 (𝑥𝐷 → ((1 / 2) · (1 / (√‘𝑥))) = ((1 · 1) / (2 · (√‘𝑥))))
43 1t1e1 11793 . . . . . 6 (1 · 1) = 1
4443oveq1i 7160 . . . . 5 ((1 · 1) / (2 · (√‘𝑥))) = (1 / (2 · (√‘𝑥)))
4542, 44syl6eq 2872 . . . 4 (𝑥𝐷 → ((1 / 2) · (1 / (√‘𝑥))) = (1 / (2 · (√‘𝑥))))
4630, 45eqtrd 2856 . . 3 (𝑥𝐷 → ((1 / 2) · (𝑥𝑐((1 / 2) − 1))) = (1 / (2 · (√‘𝑥))))
4746mpteq2ia 5150 . 2 (𝑥𝐷 ↦ ((1 / 2) · (𝑥𝑐((1 / 2) − 1)))) = (𝑥𝐷 ↦ (1 / (2 · (√‘𝑥))))
484, 11, 473eqtr3i 2852 1 (ℂ D (𝑥𝐷 ↦ (√‘𝑥))) = (𝑥𝐷 ↦ (1 / (2 · (√‘𝑥))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 208  wa 398   = wceq 1533  wcel 2110  wne 3016  cdif 3933  cmpt 5139  cfv 6350  (class class class)co 7150  cc 10529  0cc0 10531  1c1 10532   + caddc 10534   · cmul 10536  -∞cmnf 10667  cmin 10864  -cneg 10865   / cdiv 11291  2c2 11686  (,]cioc 12733  csqrt 14586   D cdv 24455  𝑐ccxp 25133
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2156  ax-12 2172  ax-ext 2793  ax-rep 5183  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5322  ax-un 7455  ax-inf2 9098  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609  ax-addf 10610  ax-mulf 10611
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4833  df-int 4870  df-iun 4914  df-iin 4915  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-tr 5166  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5469  df-so 5470  df-fr 5509  df-se 5510  df-we 5511  df-xp 5556  df-rel 5557  df-cnv 5558  df-co 5559  df-dm 5560  df-rn 5561  df-res 5562  df-ima 5563  df-pred 6143  df-ord 6189  df-on 6190  df-lim 6191  df-suc 6192  df-iota 6309  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-isom 6359  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-of 7403  df-om 7575  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-supp 7825  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-2o 8097  df-oadd 8100  df-er 8283  df-map 8402  df-pm 8403  df-ixp 8456  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-fsupp 8828  df-fi 8869  df-sup 8900  df-inf 8901  df-oi 8968  df-card 9362  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-4 11696  df-5 11697  df-6 11698  df-7 11699  df-8 11700  df-9 11701  df-n0 11892  df-z 11976  df-dec 12093  df-uz 12238  df-q 12343  df-rp 12384  df-xneg 12501  df-xadd 12502  df-xmul 12503  df-ioo 12736  df-ioc 12737  df-ico 12738  df-icc 12739  df-fz 12887  df-fzo 13028  df-fl 13156  df-mod 13232  df-seq 13364  df-exp 13424  df-fac 13628  df-bc 13657  df-hash 13685  df-shft 14420  df-cj 14452  df-re 14453  df-im 14454  df-sqrt 14588  df-abs 14589  df-limsup 14822  df-clim 14839  df-rlim 14840  df-sum 15037  df-ef 15415  df-sin 15417  df-cos 15418  df-tan 15419  df-pi 15420  df-struct 16479  df-ndx 16480  df-slot 16481  df-base 16483  df-sets 16484  df-ress 16485  df-plusg 16572  df-mulr 16573  df-starv 16574  df-sca 16575  df-vsca 16576  df-ip 16577  df-tset 16578  df-ple 16579  df-ds 16581  df-unif 16582  df-hom 16583  df-cco 16584  df-rest 16690  df-topn 16691  df-0g 16709  df-gsum 16710  df-topgen 16711  df-pt 16712  df-prds 16715  df-xrs 16769  df-qtop 16774  df-imas 16775  df-xps 16777  df-mre 16851  df-mrc 16852  df-acs 16854  df-mgm 17846  df-sgrp 17895  df-mnd 17906  df-submnd 17951  df-mulg 18219  df-cntz 18441  df-cmn 18902  df-psmet 20531  df-xmet 20532  df-met 20533  df-bl 20534  df-mopn 20535  df-fbas 20536  df-fg 20537  df-cnfld 20540  df-top 21496  df-topon 21513  df-topsp 21535  df-bases 21548  df-cld 21621  df-ntr 21622  df-cls 21623  df-nei 21700  df-lp 21738  df-perf 21739  df-cn 21829  df-cnp 21830  df-haus 21917  df-cmp 21989  df-tx 22164  df-hmeo 22357  df-fil 22448  df-fm 22540  df-flim 22541  df-flf 22542  df-xms 22924  df-ms 22925  df-tms 22926  df-cncf 23480  df-limc 24458  df-dv 24459  df-log 25134  df-cxp 25135
This theorem is referenced by:  dvasin  34972
  Copyright terms: Public domain W3C validator