Theorem dvcnsqrt 26871

Description: Derivative of square root function. (Contributed by Brendan Leahy, 18-Dec-2018.)

Hypothesis

Ref	Expression
dvcncxp1.d	⊢ 𝐷 = (ℂ ∖ (-∞(,]0))

Assertion

Ref	Expression
dvcnsqrt	⊢ (ℂ D (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (√‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (1 / (2 · (√‘𝑥))))

Distinct variable group:   𝑥,𝐷

Proof of Theorem dvcnsqrt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		halfcn 12454	. . 3 ⊢ (1 / 2) ∈ ℂ
2		dvcncxp1.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (ℂ ∖ (-∞(,]0))
3	2	dvcncxp1 26870	. . 3 ⊢ ((1 / 2) ∈ ℂ → (ℂ D (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑𝑐(1 / 2)))) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ ((1 / 2) · (𝑥↑𝑐((1 / 2) − 1)))))
4	1, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (ℂ D (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑𝑐(1 / 2)))) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ ((1 / 2) · (𝑥↑𝑐((1 / 2) − 1))))
5		difss 4098	. . . . . . 7 ⊢ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ⊆ ℂ
6	2, 5	eqsstri 3991	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 ⊆ ℂ
7	6	sseli 3941	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → 𝑥 ∈ ℂ)
8		cxpsqrt 26830	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥↑𝑐(1 / 2)) = (√‘𝑥))
9	7, 8	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (𝑥↑𝑐(1 / 2)) = (√‘𝑥))
10	9	mpteq2ia 5207	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑𝑐(1 / 2))) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (√‘𝑥))
11	10	oveq2i 7419	. 2 ⊢ (ℂ D (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑𝑐(1 / 2)))) = (ℂ D (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (√‘𝑥)))
12		1p0e1 12359	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 + 0) = 1
13		ax-1cn 11154	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℂ
14		2halves 12458	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 ∈ ℂ → ((1 / 2) + (1 / 2)) = 1)
15	13, 14	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 / 2) + (1 / 2)) = 1
16	12, 15	eqtr4i 2795	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 + 0) = ((1 / 2) + (1 / 2))
17		0cn 11194	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℂ
18		addsubeq4 11468	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((1 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) ∧ ((1 / 2) ∈ ℂ ∧ (1 / 2) ∈ ℂ)) → ((1 + 0) = ((1 / 2) + (1 / 2)) ↔ ((1 / 2) − 1) = (0 − (1 / 2))))
19	13, 17, 1, 1, 18	mp4an 705	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 + 0) = ((1 / 2) + (1 / 2)) ↔ ((1 / 2) − 1) = (0 − (1 / 2)))
20	16, 19	mpbi 233	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 / 2) − 1) = (0 − (1 / 2))
21		df-neg 11440	. . . . . . . . 9 ⊢ -(1 / 2) = (0 − (1 / 2))
22	20, 21	eqtr4i 2795	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 / 2) − 1) = -(1 / 2)
23	22	oveq2i 7419	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥↑𝑐((1 / 2) − 1)) = (𝑥↑𝑐-(1 / 2))
24	2	logdmn0 26767	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → 𝑥 ≠ 0)
25	1	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (1 / 2) ∈ ℂ)
26	7, 24, 25	cxpnegd 26842	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (𝑥↑𝑐-(1 / 2)) = (1 / (𝑥↑𝑐(1 / 2))))
27	23, 26	eqtrid 2816	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (𝑥↑𝑐((1 / 2) − 1)) = (1 / (𝑥↑𝑐(1 / 2))))
28	9	oveq2d 7424	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (1 / (𝑥↑𝑐(1 / 2))) = (1 / (√‘𝑥)))
29	27, 28	eqtrd 2804	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (𝑥↑𝑐((1 / 2) − 1)) = (1 / (√‘𝑥)))
30	29	oveq2d 7424	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → ((1 / 2) · (𝑥↑𝑐((1 / 2) − 1))) = ((1 / 2) · (1 / (√‘𝑥))))
31		1cnd 11198	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → 1 ∈ ℂ)
32		2cnd 12315	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → 2 ∈ ℂ)
33	7	sqrtcld 15487	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (√‘𝑥) ∈ ℂ)
34		2ne0 12343	. . . . . . 7 ⊢ 2 ≠ 0
35	34	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → 2 ≠ 0)
36	7	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ (√‘𝑥) = 0) → 𝑥 ∈ ℂ)
37		simpr 489	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ (√‘𝑥) = 0) → (√‘𝑥) = 0)
38	36, 37	sqr00d 15491	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ (√‘𝑥) = 0) → 𝑥 = 0)
39	38	ex 417	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → ((√‘𝑥) = 0 → 𝑥 = 0))
40	39	necon3d 2985	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (𝑥 ≠ 0 → (√‘𝑥) ≠ 0))
41	24, 40	mpd 16	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (√‘𝑥) ≠ 0)
42	31, 32, 31, 33, 35, 41	divmuldivd 12028	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → ((1 / 2) · (1 / (√‘𝑥))) = ((1 · 1) / (2 · (√‘𝑥))))
43		1t1e1 12398	. . . . . 6 ⊢ (1 · 1) = 1
44	43	oveq1i 7418	. . . . 5 ⊢ ((1 · 1) / (2 · (√‘𝑥))) = (1 / (2 · (√‘𝑥)))
45	42, 44	eqtrdi 2820	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → ((1 / 2) · (1 / (√‘𝑥))) = (1 / (2 · (√‘𝑥))))
46	30, 45	eqtrd 2804	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → ((1 / 2) · (𝑥↑𝑐((1 / 2) − 1))) = (1 / (2 · (√‘𝑥))))
47	46	mpteq2ia 5207	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ ((1 / 2) · (𝑥↑𝑐((1 / 2) − 1)))) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (1 / (2 · (√‘𝑥))))
48	4, 11, 47	3eqtr3i 2800	1 ⊢ (ℂ D (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (√‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (1 / (2 · (√‘𝑥))))

Syntax hints:   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964   ∖ cdif 3910   ↦ cmpt 5193  ‘cfv 6533  (class class class)co 7408  ℂcc 11094  0cc0 11096  1c1 11097   + caddc 11099   · cmul 11101  -∞cmnf 11237   − cmin 11437  -cneg 11438   / cdiv 11867  2c2 12291  (,]cioc 13369  √csqrt 15280   D cdv 25987  ↑_𝑐ccxp 26682

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-inf2 9606  ax-cnex 11152  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172  ax-pre-mulgt0 11173  ax-pre-sup 11174  ax-addf 11175

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-iin 4960  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7672  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-supp 8153  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-2o 8450  df-er 8690  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9318  df-fi 9367  df-sup 9398  df-inf 9399  df-oi 9468  df-card 9921  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-sub 11439  df-neg 11440  df-div 11868  df-nn 12230  df-2 12299  df-3 12300  df-4 12301  df-5 12302  df-6 12303  df-7 12304  df-8 12305  df-9 12306  df-n0 12501  df-z 12588  df-dec 12708  df-uz 12859  df-q 12969  df-rp 13013  df-xneg 13133  df-xadd 13134  df-xmul 13135  df-ioo 13372  df-ioc 13373  df-ico 13374  df-icc 13375  df-fz 13532  df-fzo 13679  df-fl 13821  df-mod 13899  df-seq 14034  df-exp 14094  df-fac 14306  df-bc 14335  df-hash 14363  df-shft 15100  df-cj 15146  df-re 15147  df-im 15148  df-sqrt 15282  df-abs 15283  df-limsup 15518  df-clim 15535  df-rlim 15536  df-sum 15734  df-ef 16117  df-sin 16119  df-cos 16120  df-tan 16121  df-pi 16122  df-struct 17203  df-sets 17220  df-slot 17238  df-ndx 17250  df-base 17266  df-ress 17287  df-plusg 17319  df-mulr 17320  df-starv 17321  df-sca 17322  df-vsca 17323  df-ip 17324  df-tset 17325  df-ple 17326  df-ds 17328  df-unif 17329  df-hom 17330  df-cco 17331  df-rest 17471  df-topn 17472  df-0g 17490  df-gsum 17491  df-topgen 17492  df-pt 17493  df-prds 17496  df-xrs 17552  df-qtop 17557  df-imas 17558  df-xps 17560  df-mre 17634  df-mrc 17635  df-acs 17637  df-mgm 18694  df-sgrp 18773  df-mnd 18789  df-submnd 18838  df-mulg 19130  df-cntz 19383  df-cmn 19848  df-psmet 21479  df-xmet 21480  df-met 21481  df-bl 21482  df-mopn 21483  df-fbas 21484  df-fg 21485  df-cnfld 21488  df-top 23016  df-topon 23033  df-topsp 23055  df-bases 23068  df-cld 23141  df-ntr 23142  df-cls 23143  df-nei 23220  df-lp 23258  df-perf 23259  df-cn 23349  df-cnp 23350  df-haus 23437  df-cmp 23509  df-tx 23684  df-hmeo 23877  df-fil 23968  df-fm 24060  df-flim 24061  df-flf 24062  df-xms 24442  df-ms 24443  df-tms 24444  df-cncf 25002  df-limc 25990  df-dv 25991  df-log 26683  df-cxp 26684

This theorem is referenced by:  dvasin  38238