Theorem dvcnsqrt 26796

Description: Derivative of square root function. (Contributed by Brendan Leahy, 18-Dec-2018.)

Hypothesis

Ref	Expression
dvcncxp1.d	⊢ 𝐷 = (ℂ ∖ (-∞(,]0))

Assertion

Ref	Expression
dvcnsqrt	⊢ (ℂ D (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (√‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (1 / (2 · (√‘𝑥))))

Distinct variable group:   𝑥,𝐷

Proof of Theorem dvcnsqrt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		halfcn 12428	. . 3 ⊢ (1 / 2) ∈ ℂ
2		dvcncxp1.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (ℂ ∖ (-∞(,]0))
3	2	dvcncxp1 26795	. . 3 ⊢ ((1 / 2) ∈ ℂ → (ℂ D (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑𝑐(1 / 2)))) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ ((1 / 2) · (𝑥↑𝑐((1 / 2) − 1)))))
4	1, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (ℂ D (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑𝑐(1 / 2)))) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ ((1 / 2) · (𝑥↑𝑐((1 / 2) − 1))))
5		difss 4087	. . . . . . 7 ⊢ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ⊆ ℂ
6	2, 5	eqsstri 3980	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 ⊆ ℂ
7	6	sseli 3930	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → 𝑥 ∈ ℂ)
8		cxpsqrt 26755	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥↑𝑐(1 / 2)) = (√‘𝑥))
9	7, 8	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (𝑥↑𝑐(1 / 2)) = (√‘𝑥))
10	9	mpteq2ia 5192	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑𝑐(1 / 2))) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (√‘𝑥))
11	10	oveq2i 7401	. 2 ⊢ (ℂ D (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑𝑐(1 / 2)))) = (ℂ D (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (√‘𝑥)))
12		1p0e1 12333	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 + 0) = 1
13		ax-1cn 11124	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℂ
14		2halves 12432	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 ∈ ℂ → ((1 / 2) + (1 / 2)) = 1)
15	13, 14	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 / 2) + (1 / 2)) = 1
16	12, 15	eqtr4i 2787	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 + 0) = ((1 / 2) + (1 / 2))
17		0cn 11164	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℂ
18		addsubeq4 11438	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((1 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) ∧ ((1 / 2) ∈ ℂ ∧ (1 / 2) ∈ ℂ)) → ((1 + 0) = ((1 / 2) + (1 / 2)) ↔ ((1 / 2) − 1) = (0 − (1 / 2))))
19	13, 17, 1, 1, 18	mp4an 703	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 + 0) = ((1 / 2) + (1 / 2)) ↔ ((1 / 2) − 1) = (0 − (1 / 2)))
20	16, 19	mpbi 232	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 / 2) − 1) = (0 − (1 / 2))
21		df-neg 11410	. . . . . . . . 9 ⊢ -(1 / 2) = (0 − (1 / 2))
22	20, 21	eqtr4i 2787	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 / 2) − 1) = -(1 / 2)
23	22	oveq2i 7401	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥↑𝑐((1 / 2) − 1)) = (𝑥↑𝑐-(1 / 2))
24	2	logdmn0 26692	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → 𝑥 ≠ 0)
25	1	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (1 / 2) ∈ ℂ)
26	7, 24, 25	cxpnegd 26767	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (𝑥↑𝑐-(1 / 2)) = (1 / (𝑥↑𝑐(1 / 2))))
27	23, 26	eqtrid 2808	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (𝑥↑𝑐((1 / 2) − 1)) = (1 / (𝑥↑𝑐(1 / 2))))
28	9	oveq2d 7406	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (1 / (𝑥↑𝑐(1 / 2))) = (1 / (√‘𝑥)))
29	27, 28	eqtrd 2796	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (𝑥↑𝑐((1 / 2) − 1)) = (1 / (√‘𝑥)))
30	29	oveq2d 7406	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → ((1 / 2) · (𝑥↑𝑐((1 / 2) − 1))) = ((1 / 2) · (1 / (√‘𝑥))))
31		1cnd 11168	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → 1 ∈ ℂ)
32		2cnd 12289	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → 2 ∈ ℂ)
33	7	sqrtcld 15457	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (√‘𝑥) ∈ ℂ)
34		2ne0 12317	. . . . . . 7 ⊢ 2 ≠ 0
35	34	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → 2 ≠ 0)
36	7	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ (√‘𝑥) = 0) → 𝑥 ∈ ℂ)
37		simpr 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ (√‘𝑥) = 0) → (√‘𝑥) = 0)
38	36, 37	sqr00d 15461	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ (√‘𝑥) = 0) → 𝑥 = 0)
39	38	ex 416	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → ((√‘𝑥) = 0 → 𝑥 = 0))
40	39	necon3d 2977	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (𝑥 ≠ 0 → (√‘𝑥) ≠ 0))
41	24, 40	mpd 15	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (√‘𝑥) ≠ 0)
42	31, 32, 31, 33, 35, 41	divmuldivd 12001	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → ((1 / 2) · (1 / (√‘𝑥))) = ((1 · 1) / (2 · (√‘𝑥))))
43		1t1e1 12372	. . . . . 6 ⊢ (1 · 1) = 1
44	43	oveq1i 7400	. . . . 5 ⊢ ((1 · 1) / (2 · (√‘𝑥))) = (1 / (2 · (√‘𝑥)))
45	42, 44	eqtrdi 2812	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → ((1 / 2) · (1 / (√‘𝑥))) = (1 / (2 · (√‘𝑥))))
46	30, 45	eqtrd 2796	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → ((1 / 2) · (𝑥↑𝑐((1 / 2) − 1))) = (1 / (2 · (√‘𝑥))))
47	46	mpteq2ia 5192	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ ((1 / 2) · (𝑥↑𝑐((1 / 2) − 1)))) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (1 / (2 · (√‘𝑥))))
48	4, 11, 47	3eqtr3i 2792	1 ⊢ (ℂ D (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (√‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (1 / (2 · (√‘𝑥))))

Syntax hints:   ↔ wb 208   ∧ wa 399   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956   ∖ cdif 3899   ↦ cmpt 5178  ‘cfv 6515  (class class class)co 7390  ℂcc 11064  0cc0 11066  1c1 11067   + caddc 11069   · cmul 11071  -∞cmnf 11207   − cmin 11407  -cneg 11408   / cdiv 11837  2c2 12265  (,]cioc 13343  √csqrt 15250   D cdv 25912  ↑_𝑐ccxp 26607

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5224  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7712  ax-inf2 9589  ax-cnex 11122  ax-resscn 11123  ax-1cn 11124  ax-icn 11125  ax-addcl 11126  ax-addrcl 11127  ax-mulcl 11128  ax-mulrcl 11129  ax-mulcom 11130  ax-addass 11131  ax-mulass 11132  ax-distr 11133  ax-i2m1 11134  ax-1ne0 11135  ax-1rid 11136  ax-rnegex 11137  ax-rrecex 11138  ax-cnre 11139  ax-pre-lttri 11140  ax-pre-lttrn 11141  ax-pre-ltadd 11142  ax-pre-mulgt0 11143  ax-pre-sup 11144  ax-addf 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4863  df-int 4903  df-iun 4948  df-iin 4949  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-se 5597  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6282  df-ord 6343  df-on 6344  df-lim 6345  df-suc 6346  df-iota 6471  df-fun 6517  df-fn 6518  df-f 6519  df-f1 6520  df-fo 6521  df-f1o 6522  df-fv 6523  df-isom 6524  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-of 7654  df-om 7841  df-1st 7964  df-2nd 7965  df-supp 8134  df-frecs 8255  df-wrecs 8286  df-recs 8335  df-rdg 8374  df-1o 8430  df-2o 8431  df-er 8671  df-map 8803  df-pm 8804  df-ixp 8873  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-fin 8924  df-fsupp 9301  df-fi 9350  df-sup 9381  df-inf 9382  df-oi 9451  df-card 9890  df-pnf 11211  df-mnf 11212  df-xr 11213  df-ltxr 11214  df-le 11215  df-sub 11409  df-neg 11410  df-div 11838  df-nn 12204  df-2 12273  df-3 12274  df-4 12275  df-5 12276  df-6 12277  df-7 12278  df-8 12279  df-9 12280  df-n0 12475  df-z 12562  df-dec 12682  df-uz 12833  df-q 12943  df-rp 12987  df-xneg 13107  df-xadd 13108  df-xmul 13109  df-ioo 13346  df-ioc 13347  df-ico 13348  df-icc 13349  df-fz 13506  df-fzo 13653  df-fl 13795  df-mod 13873  df-seq 14008  df-exp 14068  df-fac 14280  df-bc 14309  df-hash 14337  df-shft 15073  df-cj 15116  df-re 15117  df-im 15118  df-sqrt 15252  df-abs 15253  df-limsup 15488  df-clim 15505  df-rlim 15506  df-sum 15704  df-ef 16087  df-sin 16089  df-cos 16090  df-tan 16091  df-pi 16092  df-struct 17173  df-sets 17190  df-slot 17208  df-ndx 17220  df-base 17236  df-ress 17257  df-plusg 17289  df-mulr 17290  df-starv 17291  df-sca 17292  df-vsca 17293  df-ip 17294  df-tset 17295  df-ple 17296  df-ds 17298  df-unif 17299  df-hom 17300  df-cco 17301  df-rest 17441  df-topn 17442  df-0g 17460  df-gsum 17461  df-topgen 17462  df-pt 17463  df-prds 17466  df-xrs 17522  df-qtop 17527  df-imas 17528  df-xps 17530  df-mre 17604  df-mrc 17605  df-acs 17607  df-mgm 18664  df-sgrp 18743  df-mnd 18759  df-submnd 18808  df-mulg 19100  df-cntz 19347  df-cmn 19812  df-psmet 21403  df-xmet 21404  df-met 21405  df-bl 21406  df-mopn 21407  df-fbas 21408  df-fg 21409  df-cnfld 21412  df-top 22941  df-topon 22958  df-topsp 22980  df-bases 22993  df-cld 23066  df-ntr 23067  df-cls 23068  df-nei 23145  df-lp 23183  df-perf 23184  df-cn 23274  df-cnp 23275  df-haus 23362  df-cmp 23434  df-tx 23609  df-hmeo 23802  df-fil 23893  df-fm 23985  df-flim 23986  df-flf 23987  df-xms 24367  df-ms 24368  df-tms 24369  df-cncf 24927  df-limc 25915  df-dv 25916  df-log 26608  df-cxp 26609

This theorem is referenced by:  dvasin  38163