MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvcnsqrt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvcnsqrt 26797
Description: Derivative of square root function. (Contributed by Brendan Leahy, 18-Dec-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
dvcncxp1.d 𝐷 = (ℂ ∖ (-∞(,]0))
Assertion
Ref Expression
dvcnsqrt (ℂ D (𝑥𝐷 ↦ (√‘𝑥))) = (𝑥𝐷 ↦ (1 / (2 · (√‘𝑥))))
Distinct variable group:   𝑥,𝐷

Proof of Theorem dvcnsqrt
StepHypRef Expression
1 halfcn 12429 . . 3 (1 / 2) ∈ ℂ
2 dvcncxp1.d . . . 4 𝐷 = (ℂ ∖ (-∞(,]0))
32dvcncxp1 26796 . . 3 ((1 / 2) ∈ ℂ → (ℂ D (𝑥𝐷 ↦ (𝑥𝑐(1 / 2)))) = (𝑥𝐷 ↦ ((1 / 2) · (𝑥𝑐((1 / 2) − 1)))))
41, 3ax-mp 5 . 2 (ℂ D (𝑥𝐷 ↦ (𝑥𝑐(1 / 2)))) = (𝑥𝐷 ↦ ((1 / 2) · (𝑥𝑐((1 / 2) − 1))))
5 difss 4087 . . . . . . 7 (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ⊆ ℂ
62, 5eqsstri 3980 . . . . . 6 𝐷 ⊆ ℂ
76sseli 3930 . . . . 5 (𝑥𝐷𝑥 ∈ ℂ)
8 cxpsqrt 26756 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥𝑐(1 / 2)) = (√‘𝑥))
97, 8syl 17 . . . 4 (𝑥𝐷 → (𝑥𝑐(1 / 2)) = (√‘𝑥))
109mpteq2ia 5192 . . 3 (𝑥𝐷 ↦ (𝑥𝑐(1 / 2))) = (𝑥𝐷 ↦ (√‘𝑥))
1110oveq2i 7402 . 2 (ℂ D (𝑥𝐷 ↦ (𝑥𝑐(1 / 2)))) = (ℂ D (𝑥𝐷 ↦ (√‘𝑥)))
12 1p0e1 12334 . . . . . . . . . . 11 (1 + 0) = 1
13 ax-1cn 11125 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℂ
14 2halves 12433 . . . . . . . . . . . 12 (1 ∈ ℂ → ((1 / 2) + (1 / 2)) = 1)
1513, 14ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 ((1 / 2) + (1 / 2)) = 1
1612, 15eqtr4i 2787 . . . . . . . . . 10 (1 + 0) = ((1 / 2) + (1 / 2))
17 0cn 11165 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℂ
18 addsubeq4 11439 . . . . . . . . . . 11 (((1 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) ∧ ((1 / 2) ∈ ℂ ∧ (1 / 2) ∈ ℂ)) → ((1 + 0) = ((1 / 2) + (1 / 2)) ↔ ((1 / 2) − 1) = (0 − (1 / 2))))
1913, 17, 1, 1, 18mp4an 703 . . . . . . . . . 10 ((1 + 0) = ((1 / 2) + (1 / 2)) ↔ ((1 / 2) − 1) = (0 − (1 / 2)))
2016, 19mpbi 232 . . . . . . . . 9 ((1 / 2) − 1) = (0 − (1 / 2))
21 df-neg 11411 . . . . . . . . 9 -(1 / 2) = (0 − (1 / 2))
2220, 21eqtr4i 2787 . . . . . . . 8 ((1 / 2) − 1) = -(1 / 2)
2322oveq2i 7402 . . . . . . 7 (𝑥𝑐((1 / 2) − 1)) = (𝑥𝑐-(1 / 2))
242logdmn0 26693 . . . . . . . 8 (𝑥𝐷𝑥 ≠ 0)
251a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑥𝐷 → (1 / 2) ∈ ℂ)
267, 24, 25cxpnegd 26768 . . . . . . 7 (𝑥𝐷 → (𝑥𝑐-(1 / 2)) = (1 / (𝑥𝑐(1 / 2))))
2723, 26eqtrid 2808 . . . . . 6 (𝑥𝐷 → (𝑥𝑐((1 / 2) − 1)) = (1 / (𝑥𝑐(1 / 2))))
289oveq2d 7407 . . . . . 6 (𝑥𝐷 → (1 / (𝑥𝑐(1 / 2))) = (1 / (√‘𝑥)))
2927, 28eqtrd 2796 . . . . 5 (𝑥𝐷 → (𝑥𝑐((1 / 2) − 1)) = (1 / (√‘𝑥)))
3029oveq2d 7407 . . . 4 (𝑥𝐷 → ((1 / 2) · (𝑥𝑐((1 / 2) − 1))) = ((1 / 2) · (1 / (√‘𝑥))))
31 1cnd 11169 . . . . . 6 (𝑥𝐷 → 1 ∈ ℂ)
32 2cnd 12290 . . . . . 6 (𝑥𝐷 → 2 ∈ ℂ)
337sqrtcld 15458 . . . . . 6 (𝑥𝐷 → (√‘𝑥) ∈ ℂ)
34 2ne0 12318 . . . . . . 7 2 ≠ 0
3534a1i 11 . . . . . 6 (𝑥𝐷 → 2 ≠ 0)
367adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝐷 ∧ (√‘𝑥) = 0) → 𝑥 ∈ ℂ)
37 simpr 488 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝐷 ∧ (√‘𝑥) = 0) → (√‘𝑥) = 0)
3836, 37sqr00d 15462 . . . . . . . . 9 ((𝑥𝐷 ∧ (√‘𝑥) = 0) → 𝑥 = 0)
3938ex 416 . . . . . . . 8 (𝑥𝐷 → ((√‘𝑥) = 0 → 𝑥 = 0))
4039necon3d 2977 . . . . . . 7 (𝑥𝐷 → (𝑥 ≠ 0 → (√‘𝑥) ≠ 0))
4124, 40mpd 15 . . . . . 6 (𝑥𝐷 → (√‘𝑥) ≠ 0)
4231, 32, 31, 33, 35, 41divmuldivd 12002 . . . . 5 (𝑥𝐷 → ((1 / 2) · (1 / (√‘𝑥))) = ((1 · 1) / (2 · (√‘𝑥))))
43 1t1e1 12373 . . . . . 6 (1 · 1) = 1
4443oveq1i 7401 . . . . 5 ((1 · 1) / (2 · (√‘𝑥))) = (1 / (2 · (√‘𝑥)))
4542, 44eqtrdi 2812 . . . 4 (𝑥𝐷 → ((1 / 2) · (1 / (√‘𝑥))) = (1 / (2 · (√‘𝑥))))
4630, 45eqtrd 2796 . . 3 (𝑥𝐷 → ((1 / 2) · (𝑥𝑐((1 / 2) − 1))) = (1 / (2 · (√‘𝑥))))
4746mpteq2ia 5192 . 2 (𝑥𝐷 ↦ ((1 / 2) · (𝑥𝑐((1 / 2) − 1)))) = (𝑥𝐷 ↦ (1 / (2 · (√‘𝑥))))
484, 11, 473eqtr3i 2792 1 (ℂ D (𝑥𝐷 ↦ (√‘𝑥))) = (𝑥𝐷 ↦ (1 / (2 · (√‘𝑥))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 208  wa 399   = wceq 1559  wcel 2141  wne 2956  cdif 3899  cmpt 5178  cfv 6516  (class class class)co 7391  cc 11065  0cc0 11067  1c1 11068   + caddc 11070   · cmul 11072  -∞cmnf 11208  cmin 11408  -cneg 11409   / cdiv 11838  2c2 12266  (,]cioc 13344  csqrt 15251   D cdv 25913  𝑐ccxp 26608
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5224  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7713  ax-inf2 9590  ax-cnex 11123  ax-resscn 11124  ax-1cn 11125  ax-icn 11126  ax-addcl 11127  ax-addrcl 11128  ax-mulcl 11129  ax-mulrcl 11130  ax-mulcom 11131  ax-addass 11132  ax-mulass 11133  ax-distr 11134  ax-i2m1 11135  ax-1ne0 11136  ax-1rid 11137  ax-rnegex 11138  ax-rrecex 11139  ax-cnre 11140  ax-pre-lttri 11141  ax-pre-lttrn 11142  ax-pre-ltadd 11143  ax-pre-mulgt0 11144  ax-pre-sup 11145  ax-addf 11146
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4863  df-int 4903  df-iun 4948  df-iin 4949  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-se 5597  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6283  df-ord 6344  df-on 6345  df-lim 6346  df-suc 6347  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-isom 6525  df-riota 7348  df-ov 7394  df-oprab 7395  df-mpo 7396  df-of 7655  df-om 7842  df-1st 7965  df-2nd 7966  df-supp 8135  df-frecs 8256  df-wrecs 8287  df-recs 8336  df-rdg 8375  df-1o 8431  df-2o 8432  df-er 8672  df-map 8804  df-pm 8805  df-ixp 8874  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-fsupp 9302  df-fi 9351  df-sup 9382  df-inf 9383  df-oi 9452  df-card 9891  df-pnf 11212  df-mnf 11213  df-xr 11214  df-ltxr 11215  df-le 11216  df-sub 11410  df-neg 11411  df-div 11839  df-nn 12205  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12476  df-z 12563  df-dec 12683  df-uz 12834  df-q 12944  df-rp 12988  df-xneg 13108  df-xadd 13109  df-xmul 13110  df-ioo 13347  df-ioc 13348  df-ico 13349  df-icc 13350  df-fz 13507  df-fzo 13654  df-fl 13796  df-mod 13874  df-seq 14009  df-exp 14069  df-fac 14281  df-bc 14310  df-hash 14338  df-shft 15074  df-cj 15117  df-re 15118  df-im 15119  df-sqrt 15253  df-abs 15254  df-limsup 15489  df-clim 15506  df-rlim 15507  df-sum 15705  df-ef 16088  df-sin 16090  df-cos 16091  df-tan 16092  df-pi 16093  df-struct 17174  df-sets 17191  df-slot 17209  df-ndx 17221  df-base 17237  df-ress 17258  df-plusg 17290  df-mulr 17291  df-starv 17292  df-sca 17293  df-vsca 17294  df-ip 17295  df-tset 17296  df-ple 17297  df-ds 17299  df-unif 17300  df-hom 17301  df-cco 17302  df-rest 17442  df-topn 17443  df-0g 17461  df-gsum 17462  df-topgen 17463  df-pt 17464  df-prds 17467  df-xrs 17523  df-qtop 17528  df-imas 17529  df-xps 17531  df-mre 17605  df-mrc 17606  df-acs 17608  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-submnd 18809  df-mulg 19101  df-cntz 19348  df-cmn 19813  df-psmet 21404  df-xmet 21405  df-met 21406  df-bl 21407  df-mopn 21408  df-fbas 21409  df-fg 21410  df-cnfld 21413  df-top 22942  df-topon 22959  df-topsp 22981  df-bases 22994  df-cld 23067  df-ntr 23068  df-cls 23069  df-nei 23146  df-lp 23184  df-perf 23185  df-cn 23275  df-cnp 23276  df-haus 23363  df-cmp 23435  df-tx 23610  df-hmeo 23803  df-fil 23894  df-fm 23986  df-flim 23987  df-flf 23988  df-xms 24368  df-ms 24369  df-tms 24370  df-cncf 24928  df-limc 25916  df-dv 25917  df-log 26609  df-cxp 26610
This theorem is referenced by:  dvasin  38164
  Copyright terms: Public domain W3C validator