Theorem dvcnsqrt 26801

Description: Derivative of square root function. (Contributed by Brendan Leahy, 18-Dec-2018.)

Hypothesis

Ref	Expression
dvcncxp1.d	⊢ 𝐷 = (ℂ ∖ (-∞(,]0))

Assertion

Ref	Expression
dvcnsqrt	⊢ (ℂ D (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (√‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (1 / (2 · (√‘𝑥))))

Distinct variable group:   𝑥,𝐷

Proof of Theorem dvcnsqrt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		halfcn 12479	. . 3 ⊢ (1 / 2) ∈ ℂ
2		dvcncxp1.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (ℂ ∖ (-∞(,]0))
3	2	dvcncxp1 26800	. . 3 ⊢ ((1 / 2) ∈ ℂ → (ℂ D (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑𝑐(1 / 2)))) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ ((1 / 2) · (𝑥↑𝑐((1 / 2) − 1)))))
4	1, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (ℂ D (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑𝑐(1 / 2)))) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ ((1 / 2) · (𝑥↑𝑐((1 / 2) − 1))))
5		difss 4146	. . . . . . 7 ⊢ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ⊆ ℂ
6	2, 5	eqsstri 4030	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 ⊆ ℂ
7	6	sseli 3991	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → 𝑥 ∈ ℂ)
8		cxpsqrt 26760	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥↑𝑐(1 / 2)) = (√‘𝑥))
9	7, 8	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (𝑥↑𝑐(1 / 2)) = (√‘𝑥))
10	9	mpteq2ia 5251	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑𝑐(1 / 2))) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (√‘𝑥))
11	10	oveq2i 7442	. 2 ⊢ (ℂ D (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑𝑐(1 / 2)))) = (ℂ D (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (√‘𝑥)))
12		1p0e1 12388	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 + 0) = 1
13		ax-1cn 11211	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℂ
14		2halves 12492	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 ∈ ℂ → ((1 / 2) + (1 / 2)) = 1)
15	13, 14	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 / 2) + (1 / 2)) = 1
16	12, 15	eqtr4i 2766	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 + 0) = ((1 / 2) + (1 / 2))
17		0cn 11251	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℂ
18		addsubeq4 11521	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((1 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) ∧ ((1 / 2) ∈ ℂ ∧ (1 / 2) ∈ ℂ)) → ((1 + 0) = ((1 / 2) + (1 / 2)) ↔ ((1 / 2) − 1) = (0 − (1 / 2))))
19	13, 17, 1, 1, 18	mp4an 693	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 + 0) = ((1 / 2) + (1 / 2)) ↔ ((1 / 2) − 1) = (0 − (1 / 2)))
20	16, 19	mpbi 230	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 / 2) − 1) = (0 − (1 / 2))
21		df-neg 11493	. . . . . . . . 9 ⊢ -(1 / 2) = (0 − (1 / 2))
22	20, 21	eqtr4i 2766	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 / 2) − 1) = -(1 / 2)
23	22	oveq2i 7442	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥↑𝑐((1 / 2) − 1)) = (𝑥↑𝑐-(1 / 2))
24	2	logdmn0 26697	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → 𝑥 ≠ 0)
25	1	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (1 / 2) ∈ ℂ)
26	7, 24, 25	cxpnegd 26772	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (𝑥↑𝑐-(1 / 2)) = (1 / (𝑥↑𝑐(1 / 2))))
27	23, 26	eqtrid 2787	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (𝑥↑𝑐((1 / 2) − 1)) = (1 / (𝑥↑𝑐(1 / 2))))
28	9	oveq2d 7447	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (1 / (𝑥↑𝑐(1 / 2))) = (1 / (√‘𝑥)))
29	27, 28	eqtrd 2775	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (𝑥↑𝑐((1 / 2) − 1)) = (1 / (√‘𝑥)))
30	29	oveq2d 7447	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → ((1 / 2) · (𝑥↑𝑐((1 / 2) − 1))) = ((1 / 2) · (1 / (√‘𝑥))))
31		1cnd 11254	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → 1 ∈ ℂ)
32		2cnd 12342	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → 2 ∈ ℂ)
33	7	sqrtcld 15473	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (√‘𝑥) ∈ ℂ)
34		2ne0 12368	. . . . . . 7 ⊢ 2 ≠ 0
35	34	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → 2 ≠ 0)
36	7	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ (√‘𝑥) = 0) → 𝑥 ∈ ℂ)
37		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ (√‘𝑥) = 0) → (√‘𝑥) = 0)
38	36, 37	sqr00d 15477	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ (√‘𝑥) = 0) → 𝑥 = 0)
39	38	ex 412	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → ((√‘𝑥) = 0 → 𝑥 = 0))
40	39	necon3d 2959	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (𝑥 ≠ 0 → (√‘𝑥) ≠ 0))
41	24, 40	mpd 15	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (√‘𝑥) ≠ 0)
42	31, 32, 31, 33, 35, 41	divmuldivd 12082	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → ((1 / 2) · (1 / (√‘𝑥))) = ((1 · 1) / (2 · (√‘𝑥))))
43		1t1e1 12426	. . . . . 6 ⊢ (1 · 1) = 1
44	43	oveq1i 7441	. . . . 5 ⊢ ((1 · 1) / (2 · (√‘𝑥))) = (1 / (2 · (√‘𝑥)))
45	42, 44	eqtrdi 2791	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → ((1 / 2) · (1 / (√‘𝑥))) = (1 / (2 · (√‘𝑥))))
46	30, 45	eqtrd 2775	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → ((1 / 2) · (𝑥↑𝑐((1 / 2) − 1))) = (1 / (2 · (√‘𝑥))))
47	46	mpteq2ia 5251	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ ((1 / 2) · (𝑥↑𝑐((1 / 2) − 1)))) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (1 / (2 · (√‘𝑥))))
48	4, 11, 47	3eqtr3i 2771	1 ⊢ (ℂ D (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (√‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (1 / (2 · (√‘𝑥))))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2938   ∖ cdif 3960   ↦ cmpt 5231  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  ℂcc 11151  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156   · cmul 11158  -∞cmnf 11291   − cmin 11490  -cneg 11491   / cdiv 11918  2c2 12319  (,]cioc 13385  √csqrt 15269   D cdv 25913  ↑_𝑐ccxp 26612

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231  ax-addf 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-fi 9449  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13152  df-xadd 13153  df-xmul 13154  df-ioo 13388  df-ioc 13389  df-ico 13390  df-icc 13391  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-fl 13829  df-mod 13907  df-seq 14040  df-exp 14100  df-fac 14310  df-bc 14339  df-hash 14367  df-shft 15103  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-limsup 15504  df-clim 15521  df-rlim 15522  df-sum 15720  df-ef 16100  df-sin 16102  df-cos 16103  df-tan 16104  df-pi 16105  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-rest 17469  df-topn 17470  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-topgen 17490  df-pt 17491  df-prds 17494  df-xrs 17549  df-qtop 17554  df-imas 17555  df-xps 17557  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-submnd 18810  df-mulg 19099  df-cntz 19348  df-cmn 19815  df-psmet 21374  df-xmet 21375  df-met 21376  df-bl 21377  df-mopn 21378  df-fbas 21379  df-fg 21380  df-cnfld 21383  df-top 22916  df-topon 22933  df-topsp 22955  df-bases 22969  df-cld 23043  df-ntr 23044  df-cls 23045  df-nei 23122  df-lp 23160  df-perf 23161  df-cn 23251  df-cnp 23252  df-haus 23339  df-cmp 23411  df-tx 23586  df-hmeo 23779  df-fil 23870  df-fm 23962  df-flim 23963  df-flf 23964  df-xms 24346  df-ms 24347  df-tms 24348  df-cncf 24918  df-limc 25916  df-dv 25917  df-log 26613  df-cxp 26614

This theorem is referenced by:  dvasin  37691