MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvcnsqrt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvcnsqrt 26786
Description: Derivative of square root function. (Contributed by Brendan Leahy, 18-Dec-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
dvcncxp1.d 𝐷 = (ℂ ∖ (-∞(,]0))
Assertion
Ref Expression
dvcnsqrt (ℂ D (𝑥𝐷 ↦ (√‘𝑥))) = (𝑥𝐷 ↦ (1 / (2 · (√‘𝑥))))
Distinct variable group:   𝑥,𝐷

Proof of Theorem dvcnsqrt
StepHypRef Expression
1 halfcn 12481 . . 3 (1 / 2) ∈ ℂ
2 dvcncxp1.d . . . 4 𝐷 = (ℂ ∖ (-∞(,]0))
32dvcncxp1 26785 . . 3 ((1 / 2) ∈ ℂ → (ℂ D (𝑥𝐷 ↦ (𝑥𝑐(1 / 2)))) = (𝑥𝐷 ↦ ((1 / 2) · (𝑥𝑐((1 / 2) − 1)))))
41, 3ax-mp 5 . 2 (ℂ D (𝑥𝐷 ↦ (𝑥𝑐(1 / 2)))) = (𝑥𝐷 ↦ ((1 / 2) · (𝑥𝑐((1 / 2) − 1))))
5 difss 4136 . . . . . . 7 (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ⊆ ℂ
62, 5eqsstri 4030 . . . . . 6 𝐷 ⊆ ℂ
76sseli 3979 . . . . 5 (𝑥𝐷𝑥 ∈ ℂ)
8 cxpsqrt 26745 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥𝑐(1 / 2)) = (√‘𝑥))
97, 8syl 17 . . . 4 (𝑥𝐷 → (𝑥𝑐(1 / 2)) = (√‘𝑥))
109mpteq2ia 5245 . . 3 (𝑥𝐷 ↦ (𝑥𝑐(1 / 2))) = (𝑥𝐷 ↦ (√‘𝑥))
1110oveq2i 7442 . 2 (ℂ D (𝑥𝐷 ↦ (𝑥𝑐(1 / 2)))) = (ℂ D (𝑥𝐷 ↦ (√‘𝑥)))
12 1p0e1 12390 . . . . . . . . . . 11 (1 + 0) = 1
13 ax-1cn 11213 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℂ
14 2halves 12494 . . . . . . . . . . . 12 (1 ∈ ℂ → ((1 / 2) + (1 / 2)) = 1)
1513, 14ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 ((1 / 2) + (1 / 2)) = 1
1612, 15eqtr4i 2768 . . . . . . . . . 10 (1 + 0) = ((1 / 2) + (1 / 2))
17 0cn 11253 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℂ
18 addsubeq4 11523 . . . . . . . . . . 11 (((1 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) ∧ ((1 / 2) ∈ ℂ ∧ (1 / 2) ∈ ℂ)) → ((1 + 0) = ((1 / 2) + (1 / 2)) ↔ ((1 / 2) − 1) = (0 − (1 / 2))))
1913, 17, 1, 1, 18mp4an 693 . . . . . . . . . 10 ((1 + 0) = ((1 / 2) + (1 / 2)) ↔ ((1 / 2) − 1) = (0 − (1 / 2)))
2016, 19mpbi 230 . . . . . . . . 9 ((1 / 2) − 1) = (0 − (1 / 2))
21 df-neg 11495 . . . . . . . . 9 -(1 / 2) = (0 − (1 / 2))
2220, 21eqtr4i 2768 . . . . . . . 8 ((1 / 2) − 1) = -(1 / 2)
2322oveq2i 7442 . . . . . . 7 (𝑥𝑐((1 / 2) − 1)) = (𝑥𝑐-(1 / 2))
242logdmn0 26682 . . . . . . . 8 (𝑥𝐷𝑥 ≠ 0)
251a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑥𝐷 → (1 / 2) ∈ ℂ)
267, 24, 25cxpnegd 26757 . . . . . . 7 (𝑥𝐷 → (𝑥𝑐-(1 / 2)) = (1 / (𝑥𝑐(1 / 2))))
2723, 26eqtrid 2789 . . . . . 6 (𝑥𝐷 → (𝑥𝑐((1 / 2) − 1)) = (1 / (𝑥𝑐(1 / 2))))
289oveq2d 7447 . . . . . 6 (𝑥𝐷 → (1 / (𝑥𝑐(1 / 2))) = (1 / (√‘𝑥)))
2927, 28eqtrd 2777 . . . . 5 (𝑥𝐷 → (𝑥𝑐((1 / 2) − 1)) = (1 / (√‘𝑥)))
3029oveq2d 7447 . . . 4 (𝑥𝐷 → ((1 / 2) · (𝑥𝑐((1 / 2) − 1))) = ((1 / 2) · (1 / (√‘𝑥))))
31 1cnd 11256 . . . . . 6 (𝑥𝐷 → 1 ∈ ℂ)
32 2cnd 12344 . . . . . 6 (𝑥𝐷 → 2 ∈ ℂ)
337sqrtcld 15476 . . . . . 6 (𝑥𝐷 → (√‘𝑥) ∈ ℂ)
34 2ne0 12370 . . . . . . 7 2 ≠ 0
3534a1i 11 . . . . . 6 (𝑥𝐷 → 2 ≠ 0)
367adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝐷 ∧ (√‘𝑥) = 0) → 𝑥 ∈ ℂ)
37 simpr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝐷 ∧ (√‘𝑥) = 0) → (√‘𝑥) = 0)
3836, 37sqr00d 15480 . . . . . . . . 9 ((𝑥𝐷 ∧ (√‘𝑥) = 0) → 𝑥 = 0)
3938ex 412 . . . . . . . 8 (𝑥𝐷 → ((√‘𝑥) = 0 → 𝑥 = 0))
4039necon3d 2961 . . . . . . 7 (𝑥𝐷 → (𝑥 ≠ 0 → (√‘𝑥) ≠ 0))
4124, 40mpd 15 . . . . . 6 (𝑥𝐷 → (√‘𝑥) ≠ 0)
4231, 32, 31, 33, 35, 41divmuldivd 12084 . . . . 5 (𝑥𝐷 → ((1 / 2) · (1 / (√‘𝑥))) = ((1 · 1) / (2 · (√‘𝑥))))
43 1t1e1 12428 . . . . . 6 (1 · 1) = 1
4443oveq1i 7441 . . . . 5 ((1 · 1) / (2 · (√‘𝑥))) = (1 / (2 · (√‘𝑥)))
4542, 44eqtrdi 2793 . . . 4 (𝑥𝐷 → ((1 / 2) · (1 / (√‘𝑥))) = (1 / (2 · (√‘𝑥))))
4630, 45eqtrd 2777 . . 3 (𝑥𝐷 → ((1 / 2) · (𝑥𝑐((1 / 2) − 1))) = (1 / (2 · (√‘𝑥))))
4746mpteq2ia 5245 . 2 (𝑥𝐷 ↦ ((1 / 2) · (𝑥𝑐((1 / 2) − 1)))) = (𝑥𝐷 ↦ (1 / (2 · (√‘𝑥))))
484, 11, 473eqtr3i 2773 1 (ℂ D (𝑥𝐷 ↦ (√‘𝑥))) = (𝑥𝐷 ↦ (1 / (2 · (√‘𝑥))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  cdif 3948  cmpt 5225  cfv 6561  (class class class)co 7431  cc 11153  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160  -∞cmnf 11293  cmin 11492  -cneg 11493   / cdiv 11920  2c2 12321  (,]cioc 13388  csqrt 15272   D cdv 25898  𝑐ccxp 26597
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ioo 13391  df-ioc 13392  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14043  df-exp 14103  df-fac 14313  df-bc 14342  df-hash 14370  df-shft 15106  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-limsup 15507  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-sum 15723  df-ef 16103  df-sin 16105  df-cos 16106  df-tan 16107  df-pi 16108  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17467  df-topn 17468  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-topgen 17488  df-pt 17489  df-prds 17492  df-xrs 17547  df-qtop 17552  df-imas 17553  df-xps 17555  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-mulg 19086  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-fbas 21361  df-fg 21362  df-cnfld 21365  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-cld 23027  df-ntr 23028  df-cls 23029  df-nei 23106  df-lp 23144  df-perf 23145  df-cn 23235  df-cnp 23236  df-haus 23323  df-cmp 23395  df-tx 23570  df-hmeo 23763  df-fil 23854  df-fm 23946  df-flim 23947  df-flf 23948  df-xms 24330  df-ms 24331  df-tms 24332  df-cncf 24904  df-limc 25901  df-dv 25902  df-log 26598  df-cxp 26599
This theorem is referenced by:  dvasin  37711
  Copyright terms: Public domain W3C validator