Theorem logcnlem3 25221

Description: Lemma for logcn 25224. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
logcn.d	⊢ 𝐷 = (ℂ ∖ (-∞(,]0))
logcnlem.s	⊢ 𝑆 = if(𝐴 ∈ ℝ+, 𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐴)))
logcnlem.t	⊢ 𝑇 = ((abs‘𝐴) · (𝑅 / (1 + 𝑅)))
logcnlem.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐷)
logcnlem.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ+)
logcnlem.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐷)
logcnlem.l	⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) < if(𝑆 ≤ 𝑇, 𝑆, 𝑇))

Assertion

Ref	Expression
logcnlem3	⊢ (𝜑 → (-π < ((ℑ‘(log‘𝐵)) − (ℑ‘(log‘𝐴))) ∧ ((ℑ‘(log‘𝐵)) − (ℑ‘(log‘𝐴))) ≤ π))

Proof of Theorem logcnlem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pire 25038	. . . . . 6 ⊢ π ∈ ℝ
2	1	renegcli 10941	. . . . 5 ⊢ -π ∈ ℝ
3	2	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → -π ∈ ℝ)
4		logcnlem.b	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐷)
5		logcn.d	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐷 = (ℂ ∖ (-∞(,]0))
6	5	ellogdm 25216	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐷 ↔ (𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℝ+)))
7	6	simplbi 500	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐷 → 𝐵 ∈ ℂ)
8	4, 7	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
9	5	logdmn0 25217	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐷 → 𝐵 ≠ 0)
10	4, 9	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
11	8, 10	logcld 25148	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (log‘𝐵) ∈ ℂ)
12	11	imcld 14548	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘(log‘𝐵)) ∈ ℝ)
13	12	adantr 483	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → (ℑ‘(log‘𝐵)) ∈ ℝ)
14		logcnlem.a	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐷)
15	5	ellogdm 25216	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐷 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ+)))
16	15	simplbi 500	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐷 → 𝐴 ∈ ℂ)
17	14, 16	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
18	5	logdmn0 25217	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐷 → 𝐴 ≠ 0)
19	14, 18	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
20	17, 19	logcld 25148	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (log‘𝐴) ∈ ℂ)
21	20	imcld 14548	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℝ)
22	12, 21	resubcld 11062	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((ℑ‘(log‘𝐵)) − (ℑ‘(log‘𝐴))) ∈ ℝ)
23	22	adantr 483	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → ((ℑ‘(log‘𝐵)) − (ℑ‘(log‘𝐴))) ∈ ℝ)
24	8, 10	logimcld 25149	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (-π < (ℑ‘(log‘𝐵)) ∧ (ℑ‘(log‘𝐵)) ≤ π))
25	24	simpld 497	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → -π < (ℑ‘(log‘𝐵)))
26	25	adantr 483	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → -π < (ℑ‘(log‘𝐵)))
27	12	recnd 10663	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘(log‘𝐵)) ∈ ℂ)
28	27	adantr 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → (ℑ‘(log‘𝐵)) ∈ ℂ)
29	28	subid1d 10980	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → ((ℑ‘(log‘𝐵)) − 0) = (ℑ‘(log‘𝐵)))
30	21	adantr 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → (ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℝ)
31		0red 10638	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → 0 ∈ ℝ)
32		argimlt0 25190	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → (ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ (-π(,)0))
33	17, 32	sylan 582	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → (ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ (-π(,)0))
34		eliooord 12790	. . . . . . . 8 ⊢ ((ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ (-π(,)0) → (-π < (ℑ‘(log‘𝐴)) ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) < 0))
35	33, 34	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → (-π < (ℑ‘(log‘𝐴)) ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) < 0))
36	35	simprd 498	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → (ℑ‘(log‘𝐴)) < 0)
37	30, 31, 13, 36	ltsub2dd 11247	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → ((ℑ‘(log‘𝐵)) − 0) < ((ℑ‘(log‘𝐵)) − (ℑ‘(log‘𝐴))))
38	29, 37	eqbrtrrd 5082	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → (ℑ‘(log‘𝐵)) < ((ℑ‘(log‘𝐵)) − (ℑ‘(log‘𝐴))))
39	3, 13, 23, 26, 38	lttrd 10795	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → -π < ((ℑ‘(log‘𝐵)) − (ℑ‘(log‘𝐴))))
40	25	adantr 483	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → -π < (ℑ‘(log‘𝐵)))
41		reim0b 14472	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 ∈ ℝ ↔ (ℑ‘𝐴) = 0))
42	17, 41	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ↔ (ℑ‘𝐴) = 0))
43	15	simprbi 499	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐷 → (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ+))
44	14, 43	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ+))
45	42, 44	sylbird 262	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((ℑ‘𝐴) = 0 → 𝐴 ∈ ℝ+))
46	45	imp 409	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → 𝐴 ∈ ℝ+)
47	46	relogcld 25200	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → (log‘𝐴) ∈ ℝ)
48	47	reim0d 14578	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → (ℑ‘(log‘𝐴)) = 0)
49	48	oveq2d 7166	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → ((ℑ‘(log‘𝐵)) − (ℑ‘(log‘𝐴))) = ((ℑ‘(log‘𝐵)) − 0))
50	27	subid1d 10980	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((ℑ‘(log‘𝐵)) − 0) = (ℑ‘(log‘𝐵)))
51	50	adantr 483	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → ((ℑ‘(log‘𝐵)) − 0) = (ℑ‘(log‘𝐵)))
52	49, 51	eqtrd 2856	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → ((ℑ‘(log‘𝐵)) − (ℑ‘(log‘𝐴))) = (ℑ‘(log‘𝐵)))
53	40, 52	breqtrrd 5086	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → -π < ((ℑ‘(log‘𝐵)) − (ℑ‘(log‘𝐴))))
54	2	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → -π ∈ ℝ)
55	21	renegcld 11061	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → -(ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℝ)
56	55	adantr 483	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → -(ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℝ)
57	22	adantr 483	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → ((ℑ‘(log‘𝐵)) − (ℑ‘(log‘𝐴))) ∈ ℝ)
58		argimgt0 25189	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ (0(,)π))
59	17, 58	sylan 582	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ (0(,)π))
60		eliooord 12790	. . . . . . 7 ⊢ ((ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ (0(,)π) → (0 < (ℑ‘(log‘𝐴)) ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) < π))
61	59, 60	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (0 < (ℑ‘(log‘𝐴)) ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) < π))
62	61	simprd 498	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (ℑ‘(log‘𝐴)) < π)
63		ltneg 11134	. . . . . . 7 ⊢ (((ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → ((ℑ‘(log‘𝐴)) < π ↔ -π < -(ℑ‘(log‘𝐴))))
64	21, 1, 63	sylancl 588	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((ℑ‘(log‘𝐴)) < π ↔ -π < -(ℑ‘(log‘𝐴))))
65	64	adantr 483	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → ((ℑ‘(log‘𝐴)) < π ↔ -π < -(ℑ‘(log‘𝐴))))
66	62, 65	mpbid 234	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → -π < -(ℑ‘(log‘𝐴)))
67		df-neg 10867	. . . . 5 ⊢ -(ℑ‘(log‘𝐴)) = (0 − (ℑ‘(log‘𝐴)))
68	8	adantr 483	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → 𝐵 ∈ ℂ)
69	17, 8	imsubd 14570	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘(𝐴 − 𝐵)) = ((ℑ‘𝐴) − (ℑ‘𝐵)))
70	69	adantr 483	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (ℑ‘(𝐴 − 𝐵)) = ((ℑ‘𝐴) − (ℑ‘𝐵)))
71	17, 8	subcld 10991	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
72	71	imcld 14548	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ ℝ)
73	72	adantr 483	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (ℑ‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ ℝ)
74	71	abscld 14790	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ ℝ)
75	74	adantr 483	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ ℝ)
76	17	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → 𝐴 ∈ ℂ)
77	76	imcld 14548	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
78		absimle 14663	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ → (abs‘(ℑ‘(𝐴 − 𝐵))) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐵)))
79	71, 78	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (abs‘(ℑ‘(𝐴 − 𝐵))) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐵)))
80	72, 74	absled 14784	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(ℑ‘(𝐴 − 𝐵))) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ↔ (-(abs‘(𝐴 − 𝐵)) ≤ (ℑ‘(𝐴 − 𝐵)) ∧ (ℑ‘(𝐴 − 𝐵)) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐵)))))
81	79, 80	mpbid 234	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (-(abs‘(𝐴 − 𝐵)) ≤ (ℑ‘(𝐴 − 𝐵)) ∧ (ℑ‘(𝐴 − 𝐵)) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐵))))
82	81	simprd 498	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘(𝐴 − 𝐵)) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐵)))
83	82	adantr 483	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (ℑ‘(𝐴 − 𝐵)) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐵)))
84		logcnlem.s	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 𝑆 = if(𝐴 ∈ ℝ+, 𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐴)))
85		rpre 12391	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℝ)
86	85	adantl 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℝ)
87	17	imcld 14548	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
88	87	recnd 10663	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ)
89	88	abscld 14790	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (abs‘(ℑ‘𝐴)) ∈ ℝ)
90	89	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ+) → (abs‘(ℑ‘𝐴)) ∈ ℝ)
91	86, 90	ifclda 4500	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → if(𝐴 ∈ ℝ+, 𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐴))) ∈ ℝ)
92	84, 91	eqeltrid 2917	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℝ)
93		logcnlem.t	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 𝑇 = ((abs‘𝐴) · (𝑅 / (1 + 𝑅)))
94	17	abscld 14790	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
95		logcnlem.r	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ+)
96	95	rpred 12425	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ)
97		1rp 12387	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 1 ∈ ℝ+
98		rpaddcl 12405	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((1 ∈ ℝ+ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (1 + 𝑅) ∈ ℝ+)
99	97, 95, 98	sylancr 589	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (1 + 𝑅) ∈ ℝ+)
100	96, 99	rerpdivcld 12456	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (𝑅 / (1 + 𝑅)) ∈ ℝ)
101	94, 100	remulcld 10665	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝐴) · (𝑅 / (1 + 𝑅))) ∈ ℝ)
102	93, 101	eqeltrid 2917	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ)
103	92, 102	ifcld 4511	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → if(𝑆 ≤ 𝑇, 𝑆, 𝑇) ∈ ℝ)
104		logcnlem.l	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) < if(𝑆 ≤ 𝑇, 𝑆, 𝑇))
105		min1 12576	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ) → if(𝑆 ≤ 𝑇, 𝑆, 𝑇) ≤ 𝑆)
106	92, 102, 105	syl2anc 586	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → if(𝑆 ≤ 𝑇, 𝑆, 𝑇) ≤ 𝑆)
107	74, 103, 92, 104, 106	ltletrd 10794	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) < 𝑆)
108	107	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) < 𝑆)
109		gt0ne0 11099	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((ℑ‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (ℑ‘𝐴) ≠ 0)
110	87, 109	sylan 582	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (ℑ‘𝐴) ≠ 0)
111	85, 42	syl5ib 246	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ+ → (ℑ‘𝐴) = 0))
112	111	necon3ad 3029	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → ((ℑ‘𝐴) ≠ 0 → ¬ 𝐴 ∈ ℝ+))
113	112	imp 409	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) ≠ 0) → ¬ 𝐴 ∈ ℝ+)
114		iffalse 4475	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ ℝ+ → if(𝐴 ∈ ℝ+, 𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐴))) = (abs‘(ℑ‘𝐴)))
115	84, 114	syl5eq 2868	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ ℝ+ → 𝑆 = (abs‘(ℑ‘𝐴)))
116	113, 115	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) ≠ 0) → 𝑆 = (abs‘(ℑ‘𝐴)))
117	110, 116	syldan 593	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → 𝑆 = (abs‘(ℑ‘𝐴)))
118		0re 10637	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 0 ∈ ℝ
119		ltle 10723	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ) → (0 < (ℑ‘𝐴) → 0 ≤ (ℑ‘𝐴)))
120	118, 87, 119	sylancr 589	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (0 < (ℑ‘𝐴) → 0 ≤ (ℑ‘𝐴)))
121	120	imp 409	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → 0 ≤ (ℑ‘𝐴))
122	77, 121	absidd 14776	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (abs‘(ℑ‘𝐴)) = (ℑ‘𝐴))
123	117, 122	eqtrd 2856	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → 𝑆 = (ℑ‘𝐴))
124	108, 123	breqtrd 5084	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) < (ℑ‘𝐴))
125	73, 75, 77, 83, 124	lelttrd 10792	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (ℑ‘(𝐴 − 𝐵)) < (ℑ‘𝐴))
126	70, 125	eqbrtrrd 5082	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → ((ℑ‘𝐴) − (ℑ‘𝐵)) < (ℑ‘𝐴))
127	88	adantr 483	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ)
128	127	subid1d 10980	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → ((ℑ‘𝐴) − 0) = (ℑ‘𝐴))
129	126, 128	breqtrrd 5086	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → ((ℑ‘𝐴) − (ℑ‘𝐵)) < ((ℑ‘𝐴) − 0))
130		0red 10638	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
131	8	imcld 14548	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘𝐵) ∈ ℝ)
132	130, 131, 87	ltsub2d 11244	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (0 < (ℑ‘𝐵) ↔ ((ℑ‘𝐴) − (ℑ‘𝐵)) < ((ℑ‘𝐴) − 0)))
133	132	adantr 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (0 < (ℑ‘𝐵) ↔ ((ℑ‘𝐴) − (ℑ‘𝐵)) < ((ℑ‘𝐴) − 0)))
134	129, 133	mpbird 259	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → 0 < (ℑ‘𝐵))
135		argimgt0 25189	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐵)) → (ℑ‘(log‘𝐵)) ∈ (0(,)π))
136	68, 134, 135	syl2anc 586	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (ℑ‘(log‘𝐵)) ∈ (0(,)π))
137		eliooord 12790	. . . . . . . 8 ⊢ ((ℑ‘(log‘𝐵)) ∈ (0(,)π) → (0 < (ℑ‘(log‘𝐵)) ∧ (ℑ‘(log‘𝐵)) < π))
138	136, 137	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (0 < (ℑ‘(log‘𝐵)) ∧ (ℑ‘(log‘𝐵)) < π))
139	138	simpld 497	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → 0 < (ℑ‘(log‘𝐵)))
140	130, 12, 21	ltsub1d 11243	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0 < (ℑ‘(log‘𝐵)) ↔ (0 − (ℑ‘(log‘𝐴))) < ((ℑ‘(log‘𝐵)) − (ℑ‘(log‘𝐴)))))
141	140	adantr 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (0 < (ℑ‘(log‘𝐵)) ↔ (0 − (ℑ‘(log‘𝐴))) < ((ℑ‘(log‘𝐵)) − (ℑ‘(log‘𝐴)))))
142	139, 141	mpbid 234	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (0 − (ℑ‘(log‘𝐴))) < ((ℑ‘(log‘𝐵)) − (ℑ‘(log‘𝐴))))
143	67, 142	eqbrtrid 5093	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → -(ℑ‘(log‘𝐴)) < ((ℑ‘(log‘𝐵)) − (ℑ‘(log‘𝐴))))
144	54, 56, 57, 66, 143	lttrd 10795	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → -π < ((ℑ‘(log‘𝐵)) − (ℑ‘(log‘𝐴))))
145		lttri4 10719	. . . 4 ⊢ (((ℑ‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((ℑ‘𝐴) < 0 ∨ (ℑ‘𝐴) = 0 ∨ 0 < (ℑ‘𝐴)))
146	87, 118, 145	sylancl 588	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((ℑ‘𝐴) < 0 ∨ (ℑ‘𝐴) = 0 ∨ 0 < (ℑ‘𝐴)))
147	39, 53, 144, 146	mpjao3dan 1427	. 2 ⊢ (𝜑 → -π < ((ℑ‘(log‘𝐵)) − (ℑ‘(log‘𝐴))))
148	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → π ∈ ℝ)
149	30	renegcld 11061	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → -(ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℝ)
150	8	adantr 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → 𝐵 ∈ ℂ)
151	88	adantr 483	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ)
152	151	subid1d 10980	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → ((ℑ‘𝐴) − 0) = (ℑ‘𝐴))
153	87	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
154	74	renegcld 11061	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → -(abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ ℝ)
155	154	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → -(abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ ℝ)
156	72	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → (ℑ‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ ℝ)
157	74	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ ℝ)
158	107	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) < 𝑆)
159	118	ltnri 10743	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ¬ 0 < 0
160		breq1 5061	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((ℑ‘𝐴) = 0 → ((ℑ‘𝐴) < 0 ↔ 0 < 0))
161	159, 160	mtbiri 329	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((ℑ‘𝐴) = 0 → ¬ (ℑ‘𝐴) < 0)
162	161	necon2ai 3045	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((ℑ‘𝐴) < 0 → (ℑ‘𝐴) ≠ 0)
163	162, 116	sylan2 594	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → 𝑆 = (abs‘(ℑ‘𝐴)))
164		ltle 10723	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((ℑ‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((ℑ‘𝐴) < 0 → (ℑ‘𝐴) ≤ 0))
165	87, 118, 164	sylancl 588	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → ((ℑ‘𝐴) < 0 → (ℑ‘𝐴) ≤ 0))
166	165	imp 409	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → (ℑ‘𝐴) ≤ 0)
167	153, 166	absnidd 14767	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → (abs‘(ℑ‘𝐴)) = -(ℑ‘𝐴))
168	163, 167	eqtrd 2856	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → 𝑆 = -(ℑ‘𝐴))
169	158, 168	breqtrd 5084	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) < -(ℑ‘𝐴))
170	157, 153, 169	ltnegcon2d 11215	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → (ℑ‘𝐴) < -(abs‘(𝐴 − 𝐵)))
171	81	simpld 497	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → -(abs‘(𝐴 − 𝐵)) ≤ (ℑ‘(𝐴 − 𝐵)))
172	171	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → -(abs‘(𝐴 − 𝐵)) ≤ (ℑ‘(𝐴 − 𝐵)))
173	153, 155, 156, 170, 172	ltletrd 10794	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → (ℑ‘𝐴) < (ℑ‘(𝐴 − 𝐵)))
174	69	adantr 483	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → (ℑ‘(𝐴 − 𝐵)) = ((ℑ‘𝐴) − (ℑ‘𝐵)))
175	173, 174	breqtrd 5084	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → (ℑ‘𝐴) < ((ℑ‘𝐴) − (ℑ‘𝐵)))
176	152, 175	eqbrtrd 5080	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → ((ℑ‘𝐴) − 0) < ((ℑ‘𝐴) − (ℑ‘𝐵)))
177	150	imcld 14548	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → (ℑ‘𝐵) ∈ ℝ)
178	177, 31, 153	ltsub2d 11244	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → ((ℑ‘𝐵) < 0 ↔ ((ℑ‘𝐴) − 0) < ((ℑ‘𝐴) − (ℑ‘𝐵))))
179	176, 178	mpbird 259	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → (ℑ‘𝐵) < 0)
180		argimlt0 25190	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐵) < 0) → (ℑ‘(log‘𝐵)) ∈ (-π(,)0))
181	150, 179, 180	syl2anc 586	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → (ℑ‘(log‘𝐵)) ∈ (-π(,)0))
182		eliooord 12790	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℑ‘(log‘𝐵)) ∈ (-π(,)0) → (-π < (ℑ‘(log‘𝐵)) ∧ (ℑ‘(log‘𝐵)) < 0))
183	181, 182	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → (-π < (ℑ‘(log‘𝐵)) ∧ (ℑ‘(log‘𝐵)) < 0))
184	183	simprd 498	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → (ℑ‘(log‘𝐵)) < 0)
185	13, 31, 30, 184	ltsub1dd 11246	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → ((ℑ‘(log‘𝐵)) − (ℑ‘(log‘𝐴))) < (0 − (ℑ‘(log‘𝐴))))
186	185, 67	breqtrrdi 5100	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → ((ℑ‘(log‘𝐵)) − (ℑ‘(log‘𝐴))) < -(ℑ‘(log‘𝐴)))
187	35	simpld 497	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → -π < (ℑ‘(log‘𝐴)))
188		ltnegcon1 11135	. . . . . . 7 ⊢ ((π ∈ ℝ ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℝ) → (-π < (ℑ‘(log‘𝐴)) ↔ -(ℑ‘(log‘𝐴)) < π))
189	1, 30, 188	sylancr 589	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → (-π < (ℑ‘(log‘𝐴)) ↔ -(ℑ‘(log‘𝐴)) < π))
190	187, 189	mpbid 234	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → -(ℑ‘(log‘𝐴)) < π)
191	23, 149, 148, 186, 190	lttrd 10795	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → ((ℑ‘(log‘𝐵)) − (ℑ‘(log‘𝐴))) < π)
192	23, 148, 191	ltled 10782	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → ((ℑ‘(log‘𝐵)) − (ℑ‘(log‘𝐴))) ≤ π)
193	24	simprd 498	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘(log‘𝐵)) ≤ π)
194	193	adantr 483	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → (ℑ‘(log‘𝐵)) ≤ π)
195	52, 194	eqbrtrd 5080	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → ((ℑ‘(log‘𝐵)) − (ℑ‘(log‘𝐴))) ≤ π)
196	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → π ∈ ℝ)
197	12	adantr 483	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (ℑ‘(log‘𝐵)) ∈ ℝ)
198		0red 10638	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → 0 ∈ ℝ)
199	21	adantr 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℝ)
200	61	simpld 497	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → 0 < (ℑ‘(log‘𝐴)))
201	198, 199, 197, 200	ltsub2dd 11247	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → ((ℑ‘(log‘𝐵)) − (ℑ‘(log‘𝐴))) < ((ℑ‘(log‘𝐵)) − 0))
202	27	adantr 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (ℑ‘(log‘𝐵)) ∈ ℂ)
203	202	subid1d 10980	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → ((ℑ‘(log‘𝐵)) − 0) = (ℑ‘(log‘𝐵)))
204	201, 203	breqtrd 5084	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → ((ℑ‘(log‘𝐵)) − (ℑ‘(log‘𝐴))) < (ℑ‘(log‘𝐵)))
205	138	simprd 498	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (ℑ‘(log‘𝐵)) < π)
206	57, 197, 196, 204, 205	lttrd 10795	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → ((ℑ‘(log‘𝐵)) − (ℑ‘(log‘𝐴))) < π)
207	57, 196, 206	ltled 10782	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → ((ℑ‘(log‘𝐵)) − (ℑ‘(log‘𝐴))) ≤ π)
208	192, 195, 207, 146	mpjao3dan 1427	. 2 ⊢ (𝜑 → ((ℑ‘(log‘𝐵)) − (ℑ‘(log‘𝐴))) ≤ π)
209	147, 208	jca 514	1 ⊢ (𝜑 → (-π < ((ℑ‘(log‘𝐵)) − (ℑ‘(log‘𝐴))) ∧ ((ℑ‘(log‘𝐵)) − (ℑ‘(log‘𝐴))) ≤ π))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∨ w3o 1082   = wceq 1533   ∈ wcel 2110   ≠ wne 3016   ∖ cdif 3932  ifcif 4466   class class class wbr 5058  ‘cfv 6349  (class class class)co 7150  ℂcc 10529  ℝcr 10530  0cc0 10531  1c1 10532   + caddc 10534   · cmul 10536  -∞cmnf 10667   < clt 10669   ≤ cle 10670   − cmin 10864  -cneg 10865   / cdiv 11291  ℝ⁺crp 12383  (,)cioo 12732  (,]cioc 12733  ℑcim 14451  abscabs 14587  πcpi 15414  logclog 25132

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5182  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-inf2 9098  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609  ax-addf 10610  ax-mulf 10611

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-int 4869  df-iun 4913  df-iin 4914  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-se 5509  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-isom 6358  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-of 7403  df-om 7575  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-supp 7825  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-2o 8097  df-oadd 8100  df-er 8283  df-map 8402  df-pm 8403  df-ixp 8456  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-fsupp 8828  df-fi 8869  df-sup 8900  df-inf 8901  df-oi 8968  df-card 9362  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-4 11696  df-5 11697  df-6 11698  df-7 11699  df-8 11700  df-9 11701  df-n0 11892  df-z 11976  df-dec 12093  df-uz 12238  df-q 12343  df-rp 12384  df-xneg 12501  df-xadd 12502  df-xmul 12503  df-ioo 12736  df-ioc 12737  df-ico 12738  df-icc 12739  df-fz 12887  df-fzo 13028  df-fl 13156  df-mod 13232  df-seq 13364  df-exp 13424  df-fac 13628  df-bc 13657  df-hash 13685  df-shft 14420  df-cj 14452  df-re 14453  df-im 14454  df-sqrt 14588  df-abs 14589  df-limsup 14822  df-clim 14839  df-rlim 14840  df-sum 15037  df-ef 15415  df-sin 15417  df-cos 15418  df-pi 15420  df-struct 16479  df-ndx 16480  df-slot 16481  df-base 16483  df-sets 16484  df-ress 16485  df-plusg 16572  df-mulr 16573  df-starv 16574  df-sca 16575  df-vsca 16576  df-ip 16577  df-tset 16578  df-ple 16579  df-ds 16581  df-unif 16582  df-hom 16583  df-cco 16584  df-rest 16690  df-topn 16691  df-0g 16709  df-gsum 16710  df-topgen 16711  df-pt 16712  df-prds 16715  df-xrs 16769  df-qtop 16774  df-imas 16775  df-xps 16777  df-mre 16851  df-mrc 16852  df-acs 16854  df-mgm 17846  df-sgrp 17895  df-mnd 17906  df-submnd 17951  df-mulg 18219  df-cntz 18441  df-cmn 18902  df-psmet 20531  df-xmet 20532  df-met 20533  df-bl 20534  df-mopn 20535  df-fbas 20536  df-fg 20537  df-cnfld 20540  df-top 21496  df-topon 21513  df-topsp 21535  df-bases 21548  df-cld 21621  df-ntr 21622  df-cls 21623  df-nei 21700  df-lp 21738  df-perf 21739  df-cn 21829  df-cnp 21830  df-haus 21917  df-tx 22164  df-hmeo 22357  df-fil 22448  df-fm 22540  df-flim 22541  df-flf 22542  df-xms 22924  df-ms 22925  df-tms 22926  df-cncf 23480  df-limc 24458  df-dv 24459  df-log 25134

This theorem is referenced by:  logcnlem4  25222