Theorem logcnlem3 26767

Description: Lemma for logcn 26770. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
logcn.d	⊢ 𝐷 = (ℂ ∖ (-∞(,]0))
logcnlem.s	⊢ 𝑆 = if(𝐴 ∈ ℝ+, 𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐴)))
logcnlem.t	⊢ 𝑇 = ((abs‘𝐴) · (𝑅 / (1 + 𝑅)))
logcnlem.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐷)
logcnlem.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ+)
logcnlem.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐷)
logcnlem.l	⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) < if(𝑆 ≤ 𝑇, 𝑆, 𝑇))

Assertion

Ref	Expression
logcnlem3	⊢ (𝜑 → (-π < ((ℑ‘(log‘𝐵)) − (ℑ‘(log‘𝐴))) ∧ ((ℑ‘(log‘𝐵)) − (ℑ‘(log‘𝐴))) ≤ π))

Proof of Theorem logcnlem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pire 26577	. . . . . 6 ⊢ π ∈ ℝ
2	1	renegcli 11507	. . . . 5 ⊢ -π ∈ ℝ
3	2	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → -π ∈ ℝ)
4		logcnlem.b	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐷)
5		logcn.d	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐷 = (ℂ ∖ (-∞(,]0))
6	5	ellogdm 26762	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐷 ↔ (𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℝ+)))
7	6	simplbi 501	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐷 → 𝐵 ∈ ℂ)
8	4, 7	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
9	5	logdmn0 26763	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐷 → 𝐵 ≠ 0)
10	4, 9	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
11	8, 10	logcld 26693	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (log‘𝐵) ∈ ℂ)
12	11	imcld 15236	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘(log‘𝐵)) ∈ ℝ)
13	12	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → (ℑ‘(log‘𝐵)) ∈ ℝ)
14		logcnlem.a	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐷)
15	5	ellogdm 26762	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐷 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ+)))
16	15	simplbi 501	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐷 → 𝐴 ∈ ℂ)
17	14, 16	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
18	5	logdmn0 26763	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐷 → 𝐴 ≠ 0)
19	14, 18	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
20	17, 19	logcld 26693	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (log‘𝐴) ∈ ℂ)
21	20	imcld 15236	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℝ)
22	12, 21	resubcld 11630	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((ℑ‘(log‘𝐵)) − (ℑ‘(log‘𝐴))) ∈ ℝ)
23	22	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → ((ℑ‘(log‘𝐵)) − (ℑ‘(log‘𝐴))) ∈ ℝ)
24	8, 10	logimcld 26694	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (-π < (ℑ‘(log‘𝐵)) ∧ (ℑ‘(log‘𝐵)) ≤ π))
25	24	simpld 499	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → -π < (ℑ‘(log‘𝐵)))
26	25	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → -π < (ℑ‘(log‘𝐵)))
27	12	recnd 11225	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘(log‘𝐵)) ∈ ℂ)
28	27	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → (ℑ‘(log‘𝐵)) ∈ ℂ)
29	28	subid1d 11546	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → ((ℑ‘(log‘𝐵)) − 0) = (ℑ‘(log‘𝐵)))
30	21	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → (ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℝ)
31		0red 11199	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → 0 ∈ ℝ)
32		argimlt0 26736	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → (ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ (-π(,)0))
33	17, 32	sylan 591	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → (ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ (-π(,)0))
34		eliooord 13423	. . . . . . . 8 ⊢ ((ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ (-π(,)0) → (-π < (ℑ‘(log‘𝐴)) ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) < 0))
35	33, 34	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → (-π < (ℑ‘(log‘𝐴)) ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) < 0))
36	35	simprd 500	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → (ℑ‘(log‘𝐴)) < 0)
37	30, 31, 13, 36	ltsub2dd 11815	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → ((ℑ‘(log‘𝐵)) − 0) < ((ℑ‘(log‘𝐵)) − (ℑ‘(log‘𝐴))))
38	29, 37	eqbrtrrd 5129	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → (ℑ‘(log‘𝐵)) < ((ℑ‘(log‘𝐵)) − (ℑ‘(log‘𝐴))))
39	3, 13, 23, 26, 38	lttrd 11359	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → -π < ((ℑ‘(log‘𝐵)) − (ℑ‘(log‘𝐴))))
40	25	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → -π < (ℑ‘(log‘𝐵)))
41		reim0b 15160	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 ∈ ℝ ↔ (ℑ‘𝐴) = 0))
42	17, 41	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ↔ (ℑ‘𝐴) = 0))
43	15	simprbi 502	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐷 → (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ+))
44	14, 43	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ+))
45	42, 44	sylbird 263	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((ℑ‘𝐴) = 0 → 𝐴 ∈ ℝ+))
46	45	imp 411	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → 𝐴 ∈ ℝ+)
47	46	relogcld 26746	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → (log‘𝐴) ∈ ℝ)
48	47	reim0d 15266	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → (ℑ‘(log‘𝐴)) = 0)
49	48	oveq2d 7416	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → ((ℑ‘(log‘𝐵)) − (ℑ‘(log‘𝐴))) = ((ℑ‘(log‘𝐵)) − 0))
50	27	subid1d 11546	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((ℑ‘(log‘𝐵)) − 0) = (ℑ‘(log‘𝐵)))
51	50	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → ((ℑ‘(log‘𝐵)) − 0) = (ℑ‘(log‘𝐵)))
52	49, 51	eqtrd 2800	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → ((ℑ‘(log‘𝐵)) − (ℑ‘(log‘𝐴))) = (ℑ‘(log‘𝐵)))
53	40, 52	breqtrrd 5133	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → -π < ((ℑ‘(log‘𝐵)) − (ℑ‘(log‘𝐴))))
54	2	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → -π ∈ ℝ)
55	21	renegcld 11629	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → -(ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℝ)
56	55	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → -(ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℝ)
57	22	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → ((ℑ‘(log‘𝐵)) − (ℑ‘(log‘𝐴))) ∈ ℝ)
58		argimgt0 26735	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ (0(,)π))
59	17, 58	sylan 591	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ (0(,)π))
60		eliooord 13423	. . . . . . 7 ⊢ ((ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ (0(,)π) → (0 < (ℑ‘(log‘𝐴)) ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) < π))
61	59, 60	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (0 < (ℑ‘(log‘𝐴)) ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) < π))
62	61	simprd 500	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (ℑ‘(log‘𝐴)) < π)
63		ltneg 11702	. . . . . . 7 ⊢ (((ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → ((ℑ‘(log‘𝐴)) < π ↔ -π < -(ℑ‘(log‘𝐴))))
64	21, 1, 63	sylancl 597	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((ℑ‘(log‘𝐴)) < π ↔ -π < -(ℑ‘(log‘𝐴))))
65	64	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → ((ℑ‘(log‘𝐴)) < π ↔ -π < -(ℑ‘(log‘𝐴))))
66	62, 65	mpbid 235	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → -π < -(ℑ‘(log‘𝐴)))
67		df-neg 11432	. . . . 5 ⊢ -(ℑ‘(log‘𝐴)) = (0 − (ℑ‘(log‘𝐴)))
68	8	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → 𝐵 ∈ ℂ)
69	17, 8	imsubd 15258	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘(𝐴 − 𝐵)) = ((ℑ‘𝐴) − (ℑ‘𝐵)))
70	69	adantr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (ℑ‘(𝐴 − 𝐵)) = ((ℑ‘𝐴) − (ℑ‘𝐵)))
71	17, 8	subcld 11557	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
72	71	imcld 15236	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ ℝ)
73	72	adantr 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (ℑ‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ ℝ)
74	71	abscld 15480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ ℝ)
75	74	adantr 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ ℝ)
76	17	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → 𝐴 ∈ ℂ)
77	76	imcld 15236	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
78		absimle 15350	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ → (abs‘(ℑ‘(𝐴 − 𝐵))) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐵)))
79	71, 78	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (abs‘(ℑ‘(𝐴 − 𝐵))) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐵)))
80	72, 74	absled 15474	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(ℑ‘(𝐴 − 𝐵))) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ↔ (-(abs‘(𝐴 − 𝐵)) ≤ (ℑ‘(𝐴 − 𝐵)) ∧ (ℑ‘(𝐴 − 𝐵)) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐵)))))
81	79, 80	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (-(abs‘(𝐴 − 𝐵)) ≤ (ℑ‘(𝐴 − 𝐵)) ∧ (ℑ‘(𝐴 − 𝐵)) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐵))))
82	81	simprd 500	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘(𝐴 − 𝐵)) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐵)))
83	82	adantr 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (ℑ‘(𝐴 − 𝐵)) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐵)))
84		logcnlem.s	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 𝑆 = if(𝐴 ∈ ℝ+, 𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐴)))
85		rpre 13016	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℝ)
86	85	adantl 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℝ)
87	17	imcld 15236	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
88	87	recnd 11225	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ)
89	88	abscld 15480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (abs‘(ℑ‘𝐴)) ∈ ℝ)
90	89	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ+) → (abs‘(ℑ‘𝐴)) ∈ ℝ)
91	86, 90	ifclda 4519	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → if(𝐴 ∈ ℝ+, 𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐴))) ∈ ℝ)
92	84, 91	eqeltrid 2869	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℝ)
93		logcnlem.t	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 𝑇 = ((abs‘𝐴) · (𝑅 / (1 + 𝑅)))
94	17	abscld 15480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
95		logcnlem.r	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ+)
96	95	rpred 13051	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ)
97		1rp 13011	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 1 ∈ ℝ+
98		rpaddcl 13031	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((1 ∈ ℝ+ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (1 + 𝑅) ∈ ℝ+)
99	97, 95, 98	sylancr 598	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (1 + 𝑅) ∈ ℝ+)
100	96, 99	rerpdivcld 13082	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (𝑅 / (1 + 𝑅)) ∈ ℝ)
101	94, 100	remulcld 11227	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝐴) · (𝑅 / (1 + 𝑅))) ∈ ℝ)
102	93, 101	eqeltrid 2869	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ)
103	92, 102	ifcld 4530	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → if(𝑆 ≤ 𝑇, 𝑆, 𝑇) ∈ ℝ)
104		logcnlem.l	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) < if(𝑆 ≤ 𝑇, 𝑆, 𝑇))
105		min1 13206	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ) → if(𝑆 ≤ 𝑇, 𝑆, 𝑇) ≤ 𝑆)
106	92, 102, 105	syl2anc 595	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → if(𝑆 ≤ 𝑇, 𝑆, 𝑇) ≤ 𝑆)
107	74, 103, 92, 104, 106	ltletrd 11358	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) < 𝑆)
108	107	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) < 𝑆)
109		gt0ne0 11667	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((ℑ‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (ℑ‘𝐴) ≠ 0)
110	87, 109	sylan 591	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (ℑ‘𝐴) ≠ 0)
111	85, 42	imbitrid 247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ+ → (ℑ‘𝐴) = 0))
112	111	necon3ad 2973	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → ((ℑ‘𝐴) ≠ 0 → ¬ 𝐴 ∈ ℝ+))
113	112	imp 411	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) ≠ 0) → ¬ 𝐴 ∈ ℝ+)
114		iffalse 4492	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ ℝ+ → if(𝐴 ∈ ℝ+, 𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐴))) = (abs‘(ℑ‘𝐴)))
115	84, 114	eqtrid 2812	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ ℝ+ → 𝑆 = (abs‘(ℑ‘𝐴)))
116	113, 115	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) ≠ 0) → 𝑆 = (abs‘(ℑ‘𝐴)))
117	110, 116	syldan 602	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → 𝑆 = (abs‘(ℑ‘𝐴)))
118		0re 11198	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 0 ∈ ℝ
119		ltle 11286	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ) → (0 < (ℑ‘𝐴) → 0 ≤ (ℑ‘𝐴)))
120	118, 87, 119	sylancr 598	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (0 < (ℑ‘𝐴) → 0 ≤ (ℑ‘𝐴)))
121	120	imp 411	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → 0 ≤ (ℑ‘𝐴))
122	77, 121	absidd 15464	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (abs‘(ℑ‘𝐴)) = (ℑ‘𝐴))
123	117, 122	eqtrd 2800	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → 𝑆 = (ℑ‘𝐴))
124	108, 123	breqtrd 5131	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) < (ℑ‘𝐴))
125	73, 75, 77, 83, 124	lelttrd 11356	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (ℑ‘(𝐴 − 𝐵)) < (ℑ‘𝐴))
126	70, 125	eqbrtrrd 5129	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → ((ℑ‘𝐴) − (ℑ‘𝐵)) < (ℑ‘𝐴))
127	88	adantr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ)
128	127	subid1d 11546	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → ((ℑ‘𝐴) − 0) = (ℑ‘𝐴))
129	126, 128	breqtrrd 5133	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → ((ℑ‘𝐴) − (ℑ‘𝐵)) < ((ℑ‘𝐴) − 0))
130		0red 11199	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
131	8	imcld 15236	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘𝐵) ∈ ℝ)
132	130, 131, 87	ltsub2d 11812	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (0 < (ℑ‘𝐵) ↔ ((ℑ‘𝐴) − (ℑ‘𝐵)) < ((ℑ‘𝐴) − 0)))
133	132	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (0 < (ℑ‘𝐵) ↔ ((ℑ‘𝐴) − (ℑ‘𝐵)) < ((ℑ‘𝐴) − 0)))
134	129, 133	mpbird 260	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → 0 < (ℑ‘𝐵))
135		argimgt0 26735	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐵)) → (ℑ‘(log‘𝐵)) ∈ (0(,)π))
136	68, 134, 135	syl2anc 595	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (ℑ‘(log‘𝐵)) ∈ (0(,)π))
137		eliooord 13423	. . . . . . . 8 ⊢ ((ℑ‘(log‘𝐵)) ∈ (0(,)π) → (0 < (ℑ‘(log‘𝐵)) ∧ (ℑ‘(log‘𝐵)) < π))
138	136, 137	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (0 < (ℑ‘(log‘𝐵)) ∧ (ℑ‘(log‘𝐵)) < π))
139	138	simpld 499	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → 0 < (ℑ‘(log‘𝐵)))
140	130, 12, 21	ltsub1d 11811	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0 < (ℑ‘(log‘𝐵)) ↔ (0 − (ℑ‘(log‘𝐴))) < ((ℑ‘(log‘𝐵)) − (ℑ‘(log‘𝐴)))))
141	140	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (0 < (ℑ‘(log‘𝐵)) ↔ (0 − (ℑ‘(log‘𝐴))) < ((ℑ‘(log‘𝐵)) − (ℑ‘(log‘𝐴)))))
142	139, 141	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (0 − (ℑ‘(log‘𝐴))) < ((ℑ‘(log‘𝐵)) − (ℑ‘(log‘𝐴))))
143	67, 142	eqbrtrid 5140	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → -(ℑ‘(log‘𝐴)) < ((ℑ‘(log‘𝐵)) − (ℑ‘(log‘𝐴))))
144	54, 56, 57, 66, 143	lttrd 11359	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → -π < ((ℑ‘(log‘𝐵)) − (ℑ‘(log‘𝐴))))
145		lttri4 11282	. . . 4 ⊢ (((ℑ‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((ℑ‘𝐴) < 0 ∨ (ℑ‘𝐴) = 0 ∨ 0 < (ℑ‘𝐴)))
146	87, 118, 145	sylancl 597	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((ℑ‘𝐴) < 0 ∨ (ℑ‘𝐴) = 0 ∨ 0 < (ℑ‘𝐴)))
147	39, 53, 144, 146	mpjao3dan 1455	. 2 ⊢ (𝜑 → -π < ((ℑ‘(log‘𝐵)) − (ℑ‘(log‘𝐴))))
148	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → π ∈ ℝ)
149	30	renegcld 11629	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → -(ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℝ)
150	8	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → 𝐵 ∈ ℂ)
151	88	adantr 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ)
152	151	subid1d 11546	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → ((ℑ‘𝐴) − 0) = (ℑ‘𝐴))
153	87	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
154	74	renegcld 11629	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → -(abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ ℝ)
155	154	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → -(abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ ℝ)
156	72	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → (ℑ‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ ℝ)
157	74	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ ℝ)
158	107	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) < 𝑆)
159	118	ltnri 11307	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ¬ 0 < 0
160		breq1 5108	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((ℑ‘𝐴) = 0 → ((ℑ‘𝐴) < 0 ↔ 0 < 0))
161	159, 160	mtbiri 330	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((ℑ‘𝐴) = 0 → ¬ (ℑ‘𝐴) < 0)
162	161	necon2ai 2989	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((ℑ‘𝐴) < 0 → (ℑ‘𝐴) ≠ 0)
163	162, 116	sylan2 604	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → 𝑆 = (abs‘(ℑ‘𝐴)))
164		ltle 11286	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((ℑ‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((ℑ‘𝐴) < 0 → (ℑ‘𝐴) ≤ 0))
165	87, 118, 164	sylancl 597	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → ((ℑ‘𝐴) < 0 → (ℑ‘𝐴) ≤ 0))
166	165	imp 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → (ℑ‘𝐴) ≤ 0)
167	153, 166	absnidd 15455	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → (abs‘(ℑ‘𝐴)) = -(ℑ‘𝐴))
168	163, 167	eqtrd 2800	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → 𝑆 = -(ℑ‘𝐴))
169	158, 168	breqtrd 5131	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) < -(ℑ‘𝐴))
170	157, 153, 169	ltnegcon2d 11783	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → (ℑ‘𝐴) < -(abs‘(𝐴 − 𝐵)))
171	81	simpld 499	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → -(abs‘(𝐴 − 𝐵)) ≤ (ℑ‘(𝐴 − 𝐵)))
172	171	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → -(abs‘(𝐴 − 𝐵)) ≤ (ℑ‘(𝐴 − 𝐵)))
173	153, 155, 156, 170, 172	ltletrd 11358	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → (ℑ‘𝐴) < (ℑ‘(𝐴 − 𝐵)))
174	69	adantr 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → (ℑ‘(𝐴 − 𝐵)) = ((ℑ‘𝐴) − (ℑ‘𝐵)))
175	173, 174	breqtrd 5131	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → (ℑ‘𝐴) < ((ℑ‘𝐴) − (ℑ‘𝐵)))
176	152, 175	eqbrtrd 5127	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → ((ℑ‘𝐴) − 0) < ((ℑ‘𝐴) − (ℑ‘𝐵)))
177	150	imcld 15236	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → (ℑ‘𝐵) ∈ ℝ)
178	177, 31, 153	ltsub2d 11812	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → ((ℑ‘𝐵) < 0 ↔ ((ℑ‘𝐴) − 0) < ((ℑ‘𝐴) − (ℑ‘𝐵))))
179	176, 178	mpbird 260	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → (ℑ‘𝐵) < 0)
180		argimlt0 26736	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐵) < 0) → (ℑ‘(log‘𝐵)) ∈ (-π(,)0))
181	150, 179, 180	syl2anc 595	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → (ℑ‘(log‘𝐵)) ∈ (-π(,)0))
182		eliooord 13423	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℑ‘(log‘𝐵)) ∈ (-π(,)0) → (-π < (ℑ‘(log‘𝐵)) ∧ (ℑ‘(log‘𝐵)) < 0))
183	181, 182	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → (-π < (ℑ‘(log‘𝐵)) ∧ (ℑ‘(log‘𝐵)) < 0))
184	183	simprd 500	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → (ℑ‘(log‘𝐵)) < 0)
185	13, 31, 30, 184	ltsub1dd 11814	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → ((ℑ‘(log‘𝐵)) − (ℑ‘(log‘𝐴))) < (0 − (ℑ‘(log‘𝐴))))
186	185, 67	breqtrrdi 5147	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → ((ℑ‘(log‘𝐵)) − (ℑ‘(log‘𝐴))) < -(ℑ‘(log‘𝐴)))
187	35	simpld 499	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → -π < (ℑ‘(log‘𝐴)))
188		ltnegcon1 11703	. . . . . . 7 ⊢ ((π ∈ ℝ ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℝ) → (-π < (ℑ‘(log‘𝐴)) ↔ -(ℑ‘(log‘𝐴)) < π))
189	1, 30, 188	sylancr 598	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → (-π < (ℑ‘(log‘𝐴)) ↔ -(ℑ‘(log‘𝐴)) < π))
190	187, 189	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → -(ℑ‘(log‘𝐴)) < π)
191	23, 149, 148, 186, 190	lttrd 11359	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → ((ℑ‘(log‘𝐵)) − (ℑ‘(log‘𝐴))) < π)
192	23, 148, 191	ltled 11346	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → ((ℑ‘(log‘𝐵)) − (ℑ‘(log‘𝐴))) ≤ π)
193	24	simprd 500	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘(log‘𝐵)) ≤ π)
194	193	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → (ℑ‘(log‘𝐵)) ≤ π)
195	52, 194	eqbrtrd 5127	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → ((ℑ‘(log‘𝐵)) − (ℑ‘(log‘𝐴))) ≤ π)
196	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → π ∈ ℝ)
197	12	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (ℑ‘(log‘𝐵)) ∈ ℝ)
198		0red 11199	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → 0 ∈ ℝ)
199	21	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℝ)
200	61	simpld 499	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → 0 < (ℑ‘(log‘𝐴)))
201	198, 199, 197, 200	ltsub2dd 11815	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → ((ℑ‘(log‘𝐵)) − (ℑ‘(log‘𝐴))) < ((ℑ‘(log‘𝐵)) − 0))
202	27	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (ℑ‘(log‘𝐵)) ∈ ℂ)
203	202	subid1d 11546	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → ((ℑ‘(log‘𝐵)) − 0) = (ℑ‘(log‘𝐵)))
204	201, 203	breqtrd 5131	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → ((ℑ‘(log‘𝐵)) − (ℑ‘(log‘𝐴))) < (ℑ‘(log‘𝐵)))
205	138	simprd 500	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (ℑ‘(log‘𝐵)) < π)
206	57, 197, 196, 204, 205	lttrd 11359	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → ((ℑ‘(log‘𝐵)) − (ℑ‘(log‘𝐴))) < π)
207	57, 196, 206	ltled 11346	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → ((ℑ‘(log‘𝐵)) − (ℑ‘(log‘𝐴))) ≤ π)
208	192, 195, 207, 146	mpjao3dan 1455	. 2 ⊢ (𝜑 → ((ℑ‘(log‘𝐵)) − (ℑ‘(log‘𝐴))) ≤ π)
209	147, 208	jca 520	1 ⊢ (𝜑 → (-π < ((ℑ‘(log‘𝐵)) − (ℑ‘(log‘𝐴))) ∧ ((ℑ‘(log‘𝐵)) − (ℑ‘(log‘𝐴))) ≤ π))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∨ w3o 1100   = wceq 1563   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2960   ∖ cdif 3904  ifcif 4483   class class class wbr 5105  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  ℂcc 11086  ℝcr 11087  0cc0 11088  1c1 11089   + caddc 11091   · cmul 11093  -∞cmnf 11229   < clt 11231   ≤ cle 11232   − cmin 11429  -cneg 11430   / cdiv 11859  ℝ⁺crp 13007  (,)cioo 13363  (,]cioc 13364  ℑcim 15139  abscabs 15275  πcpi 16110  logclog 26677

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-inf2 9598  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165  ax-pre-sup 11166  ax-addf 11167

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4869  df-int 4909  df-iun 4954  df-iin 4955  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-se 5606  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-isom 6534  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-of 7664  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8145  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-2o 8442  df-er 8682  df-map 8814  df-pm 8815  df-ixp 8884  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-fsupp 9310  df-fi 9359  df-sup 9390  df-inf 9391  df-oi 9460  df-card 9913  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-div 11860  df-nn 12225  df-2 12294  df-3 12295  df-4 12296  df-5 12297  df-6 12298  df-7 12299  df-8 12300  df-9 12301  df-n0 12496  df-z 12583  df-dec 12703  df-uz 12854  df-q 12964  df-rp 13008  df-xneg 13128  df-xadd 13129  df-xmul 13130  df-ioo 13367  df-ioc 13368  df-ico 13369  df-icc 13370  df-fz 13527  df-fzo 13674  df-fl 13816  df-mod 13894  df-seq 14029  df-exp 14089  df-fac 14301  df-bc 14330  df-hash 14358  df-shft 15094  df-cj 15140  df-re 15141  df-im 15142  df-sqrt 15276  df-abs 15277  df-limsup 15512  df-clim 15529  df-rlim 15530  df-sum 15728  df-ef 16111  df-sin 16113  df-cos 16114  df-pi 16116  df-struct 17197  df-sets 17214  df-slot 17232  df-ndx 17244  df-base 17260  df-ress 17281  df-plusg 17313  df-mulr 17314  df-starv 17315  df-sca 17316  df-vsca 17317  df-ip 17318  df-tset 17319  df-ple 17320  df-ds 17322  df-unif 17323  df-hom 17324  df-cco 17325  df-rest 17465  df-topn 17466  df-0g 17484  df-gsum 17485  df-topgen 17486  df-pt 17487  df-prds 17490  df-xrs 17546  df-qtop 17551  df-imas 17552  df-xps 17554  df-mre 17628  df-mrc 17629  df-acs 17631  df-mgm 18688  df-sgrp 18767  df-mnd 18783  df-submnd 18832  df-mulg 19125  df-cntz 19378  df-cmn 19843  df-psmet 21474  df-xmet 21475  df-met 21476  df-bl 21477  df-mopn 21478  df-fbas 21479  df-fg 21480  df-cnfld 21483  df-top 23012  df-topon 23029  df-topsp 23051  df-bases 23064  df-cld 23137  df-ntr 23138  df-cls 23139  df-nei 23216  df-lp 23254  df-perf 23255  df-cn 23345  df-cnp 23346  df-haus 23433  df-tx 23680  df-hmeo 23873  df-fil 23964  df-fm 24056  df-flim 24057  df-flf 24058  df-xms 24438  df-ms 24439  df-tms 24440  df-cncf 24998  df-limc 25986  df-dv 25987  df-log 26679

This theorem is referenced by:  logcnlem4  26768