Theorem logcnlem3 26679

Description: Lemma for logcn 26682. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
logcn.d	⊢ 𝐷 = (ℂ ∖ (-∞(,]0))
logcnlem.s	⊢ 𝑆 = if(𝐴 ∈ ℝ+, 𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐴)))
logcnlem.t	⊢ 𝑇 = ((abs‘𝐴) · (𝑅 / (1 + 𝑅)))
logcnlem.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐷)
logcnlem.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ+)
logcnlem.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐷)
logcnlem.l	⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) < if(𝑆 ≤ 𝑇, 𝑆, 𝑇))

Assertion

Ref	Expression
logcnlem3	⊢ (𝜑 → (-π < ((ℑ‘(log‘𝐵)) − (ℑ‘(log‘𝐴))) ∧ ((ℑ‘(log‘𝐵)) − (ℑ‘(log‘𝐴))) ≤ π))

Proof of Theorem logcnlem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pire 26489	. . . . . 6 ⊢ π ∈ ℝ
2	1	renegcli 11482	. . . . 5 ⊢ -π ∈ ℝ
3	2	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → -π ∈ ℝ)
4		logcnlem.b	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐷)
5		logcn.d	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐷 = (ℂ ∖ (-∞(,]0))
6	5	ellogdm 26674	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐷 ↔ (𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℝ+)))
7	6	simplbi 499	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐷 → 𝐵 ∈ ℂ)
8	4, 7	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
9	5	logdmn0 26675	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐷 → 𝐵 ≠ 0)
10	4, 9	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
11	8, 10	logcld 26605	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (log‘𝐵) ∈ ℂ)
12	11	imcld 15198	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘(log‘𝐵)) ∈ ℝ)
13	12	adantr 483	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → (ℑ‘(log‘𝐵)) ∈ ℝ)
14		logcnlem.a	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐷)
15	5	ellogdm 26674	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐷 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ+)))
16	15	simplbi 499	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐷 → 𝐴 ∈ ℂ)
17	14, 16	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
18	5	logdmn0 26675	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐷 → 𝐴 ≠ 0)
19	14, 18	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
20	17, 19	logcld 26605	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (log‘𝐴) ∈ ℂ)
21	20	imcld 15198	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℝ)
22	12, 21	resubcld 11605	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((ℑ‘(log‘𝐵)) − (ℑ‘(log‘𝐴))) ∈ ℝ)
23	22	adantr 483	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → ((ℑ‘(log‘𝐵)) − (ℑ‘(log‘𝐴))) ∈ ℝ)
24	8, 10	logimcld 26606	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (-π < (ℑ‘(log‘𝐵)) ∧ (ℑ‘(log‘𝐵)) ≤ π))
25	24	simpld 497	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → -π < (ℑ‘(log‘𝐵)))
26	25	adantr 483	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → -π < (ℑ‘(log‘𝐵)))
27	12	recnd 11200	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘(log‘𝐵)) ∈ ℂ)
28	27	adantr 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → (ℑ‘(log‘𝐵)) ∈ ℂ)
29	28	subid1d 11521	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → ((ℑ‘(log‘𝐵)) − 0) = (ℑ‘(log‘𝐵)))
30	21	adantr 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → (ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℝ)
31		0red 11174	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → 0 ∈ ℝ)
32		argimlt0 26648	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → (ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ (-π(,)0))
33	17, 32	sylan 588	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → (ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ (-π(,)0))
34		eliooord 13399	. . . . . . . 8 ⊢ ((ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ (-π(,)0) → (-π < (ℑ‘(log‘𝐴)) ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) < 0))
35	33, 34	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → (-π < (ℑ‘(log‘𝐴)) ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) < 0))
36	35	simprd 498	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → (ℑ‘(log‘𝐴)) < 0)
37	30, 31, 13, 36	ltsub2dd 11790	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → ((ℑ‘(log‘𝐵)) − 0) < ((ℑ‘(log‘𝐵)) − (ℑ‘(log‘𝐴))))
38	29, 37	eqbrtrrd 5118	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → (ℑ‘(log‘𝐵)) < ((ℑ‘(log‘𝐵)) − (ℑ‘(log‘𝐴))))
39	3, 13, 23, 26, 38	lttrd 11334	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → -π < ((ℑ‘(log‘𝐵)) − (ℑ‘(log‘𝐴))))
40	25	adantr 483	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → -π < (ℑ‘(log‘𝐵)))
41		reim0b 15122	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 ∈ ℝ ↔ (ℑ‘𝐴) = 0))
42	17, 41	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ↔ (ℑ‘𝐴) = 0))
43	15	simprbi 500	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐷 → (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ+))
44	14, 43	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ+))
45	42, 44	sylbird 262	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((ℑ‘𝐴) = 0 → 𝐴 ∈ ℝ+))
46	45	imp 409	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → 𝐴 ∈ ℝ+)
47	46	relogcld 26658	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → (log‘𝐴) ∈ ℝ)
48	47	reim0d 15228	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → (ℑ‘(log‘𝐴)) = 0)
49	48	oveq2d 7401	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → ((ℑ‘(log‘𝐵)) − (ℑ‘(log‘𝐴))) = ((ℑ‘(log‘𝐵)) − 0))
50	27	subid1d 11521	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((ℑ‘(log‘𝐵)) − 0) = (ℑ‘(log‘𝐵)))
51	50	adantr 483	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → ((ℑ‘(log‘𝐵)) − 0) = (ℑ‘(log‘𝐵)))
52	49, 51	eqtrd 2791	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → ((ℑ‘(log‘𝐵)) − (ℑ‘(log‘𝐴))) = (ℑ‘(log‘𝐵)))
53	40, 52	breqtrrd 5122	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → -π < ((ℑ‘(log‘𝐵)) − (ℑ‘(log‘𝐴))))
54	2	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → -π ∈ ℝ)
55	21	renegcld 11604	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → -(ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℝ)
56	55	adantr 483	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → -(ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℝ)
57	22	adantr 483	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → ((ℑ‘(log‘𝐵)) − (ℑ‘(log‘𝐴))) ∈ ℝ)
58		argimgt0 26647	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ (0(,)π))
59	17, 58	sylan 588	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ (0(,)π))
60		eliooord 13399	. . . . . . 7 ⊢ ((ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ (0(,)π) → (0 < (ℑ‘(log‘𝐴)) ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) < π))
61	59, 60	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (0 < (ℑ‘(log‘𝐴)) ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) < π))
62	61	simprd 498	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (ℑ‘(log‘𝐴)) < π)
63		ltneg 11677	. . . . . . 7 ⊢ (((ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → ((ℑ‘(log‘𝐴)) < π ↔ -π < -(ℑ‘(log‘𝐴))))
64	21, 1, 63	sylancl 594	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((ℑ‘(log‘𝐴)) < π ↔ -π < -(ℑ‘(log‘𝐴))))
65	64	adantr 483	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → ((ℑ‘(log‘𝐴)) < π ↔ -π < -(ℑ‘(log‘𝐴))))
66	62, 65	mpbid 234	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → -π < -(ℑ‘(log‘𝐴)))
67		df-neg 11407	. . . . 5 ⊢ -(ℑ‘(log‘𝐴)) = (0 − (ℑ‘(log‘𝐴)))
68	8	adantr 483	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → 𝐵 ∈ ℂ)
69	17, 8	imsubd 15220	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘(𝐴 − 𝐵)) = ((ℑ‘𝐴) − (ℑ‘𝐵)))
70	69	adantr 483	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (ℑ‘(𝐴 − 𝐵)) = ((ℑ‘𝐴) − (ℑ‘𝐵)))
71	17, 8	subcld 11532	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
72	71	imcld 15198	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ ℝ)
73	72	adantr 483	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (ℑ‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ ℝ)
74	71	abscld 15442	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ ℝ)
75	74	adantr 483	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ ℝ)
76	17	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → 𝐴 ∈ ℂ)
77	76	imcld 15198	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
78		absimle 15312	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ → (abs‘(ℑ‘(𝐴 − 𝐵))) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐵)))
79	71, 78	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (abs‘(ℑ‘(𝐴 − 𝐵))) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐵)))
80	72, 74	absled 15436	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(ℑ‘(𝐴 − 𝐵))) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ↔ (-(abs‘(𝐴 − 𝐵)) ≤ (ℑ‘(𝐴 − 𝐵)) ∧ (ℑ‘(𝐴 − 𝐵)) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐵)))))
81	79, 80	mpbid 234	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (-(abs‘(𝐴 − 𝐵)) ≤ (ℑ‘(𝐴 − 𝐵)) ∧ (ℑ‘(𝐴 − 𝐵)) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐵))))
82	81	simprd 498	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘(𝐴 − 𝐵)) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐵)))
83	82	adantr 483	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (ℑ‘(𝐴 − 𝐵)) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐵)))
84		logcnlem.s	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 𝑆 = if(𝐴 ∈ ℝ+, 𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐴)))
85		rpre 12992	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℝ)
86	85	adantl 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℝ)
87	17	imcld 15198	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
88	87	recnd 11200	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ)
89	88	abscld 15442	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (abs‘(ℑ‘𝐴)) ∈ ℝ)
90	89	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ+) → (abs‘(ℑ‘𝐴)) ∈ ℝ)
91	86, 90	ifclda 4510	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → if(𝐴 ∈ ℝ+, 𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐴))) ∈ ℝ)
92	84, 91	eqeltrid 2860	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℝ)
93		logcnlem.t	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 𝑇 = ((abs‘𝐴) · (𝑅 / (1 + 𝑅)))
94	17	abscld 15442	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
95		logcnlem.r	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ+)
96	95	rpred 13027	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ)
97		1rp 12987	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 1 ∈ ℝ+
98		rpaddcl 13007	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((1 ∈ ℝ+ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (1 + 𝑅) ∈ ℝ+)
99	97, 95, 98	sylancr 595	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (1 + 𝑅) ∈ ℝ+)
100	96, 99	rerpdivcld 13058	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (𝑅 / (1 + 𝑅)) ∈ ℝ)
101	94, 100	remulcld 11202	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝐴) · (𝑅 / (1 + 𝑅))) ∈ ℝ)
102	93, 101	eqeltrid 2860	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ)
103	92, 102	ifcld 4521	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → if(𝑆 ≤ 𝑇, 𝑆, 𝑇) ∈ ℝ)
104		logcnlem.l	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) < if(𝑆 ≤ 𝑇, 𝑆, 𝑇))
105		min1 13182	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ) → if(𝑆 ≤ 𝑇, 𝑆, 𝑇) ≤ 𝑆)
106	92, 102, 105	syl2anc 592	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → if(𝑆 ≤ 𝑇, 𝑆, 𝑇) ≤ 𝑆)
107	74, 103, 92, 104, 106	ltletrd 11333	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) < 𝑆)
108	107	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) < 𝑆)
109		gt0ne0 11642	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((ℑ‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (ℑ‘𝐴) ≠ 0)
110	87, 109	sylan 588	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (ℑ‘𝐴) ≠ 0)
111	85, 42	imbitrid 246	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ+ → (ℑ‘𝐴) = 0))
112	111	necon3ad 2964	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → ((ℑ‘𝐴) ≠ 0 → ¬ 𝐴 ∈ ℝ+))
113	112	imp 409	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) ≠ 0) → ¬ 𝐴 ∈ ℝ+)
114		iffalse 4483	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ ℝ+ → if(𝐴 ∈ ℝ+, 𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐴))) = (abs‘(ℑ‘𝐴)))
115	84, 114	eqtrid 2803	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ ℝ+ → 𝑆 = (abs‘(ℑ‘𝐴)))
116	113, 115	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) ≠ 0) → 𝑆 = (abs‘(ℑ‘𝐴)))
117	110, 116	syldan 599	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → 𝑆 = (abs‘(ℑ‘𝐴)))
118		0re 11173	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 0 ∈ ℝ
119		ltle 11261	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ) → (0 < (ℑ‘𝐴) → 0 ≤ (ℑ‘𝐴)))
120	118, 87, 119	sylancr 595	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (0 < (ℑ‘𝐴) → 0 ≤ (ℑ‘𝐴)))
121	120	imp 409	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → 0 ≤ (ℑ‘𝐴))
122	77, 121	absidd 15426	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (abs‘(ℑ‘𝐴)) = (ℑ‘𝐴))
123	117, 122	eqtrd 2791	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → 𝑆 = (ℑ‘𝐴))
124	108, 123	breqtrd 5120	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) < (ℑ‘𝐴))
125	73, 75, 77, 83, 124	lelttrd 11331	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (ℑ‘(𝐴 − 𝐵)) < (ℑ‘𝐴))
126	70, 125	eqbrtrrd 5118	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → ((ℑ‘𝐴) − (ℑ‘𝐵)) < (ℑ‘𝐴))
127	88	adantr 483	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ)
128	127	subid1d 11521	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → ((ℑ‘𝐴) − 0) = (ℑ‘𝐴))
129	126, 128	breqtrrd 5122	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → ((ℑ‘𝐴) − (ℑ‘𝐵)) < ((ℑ‘𝐴) − 0))
130		0red 11174	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
131	8	imcld 15198	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘𝐵) ∈ ℝ)
132	130, 131, 87	ltsub2d 11787	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (0 < (ℑ‘𝐵) ↔ ((ℑ‘𝐴) − (ℑ‘𝐵)) < ((ℑ‘𝐴) − 0)))
133	132	adantr 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (0 < (ℑ‘𝐵) ↔ ((ℑ‘𝐴) − (ℑ‘𝐵)) < ((ℑ‘𝐴) − 0)))
134	129, 133	mpbird 259	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → 0 < (ℑ‘𝐵))
135		argimgt0 26647	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐵)) → (ℑ‘(log‘𝐵)) ∈ (0(,)π))
136	68, 134, 135	syl2anc 592	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (ℑ‘(log‘𝐵)) ∈ (0(,)π))
137		eliooord 13399	. . . . . . . 8 ⊢ ((ℑ‘(log‘𝐵)) ∈ (0(,)π) → (0 < (ℑ‘(log‘𝐵)) ∧ (ℑ‘(log‘𝐵)) < π))
138	136, 137	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (0 < (ℑ‘(log‘𝐵)) ∧ (ℑ‘(log‘𝐵)) < π))
139	138	simpld 497	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → 0 < (ℑ‘(log‘𝐵)))
140	130, 12, 21	ltsub1d 11786	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0 < (ℑ‘(log‘𝐵)) ↔ (0 − (ℑ‘(log‘𝐴))) < ((ℑ‘(log‘𝐵)) − (ℑ‘(log‘𝐴)))))
141	140	adantr 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (0 < (ℑ‘(log‘𝐵)) ↔ (0 − (ℑ‘(log‘𝐴))) < ((ℑ‘(log‘𝐵)) − (ℑ‘(log‘𝐴)))))
142	139, 141	mpbid 234	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (0 − (ℑ‘(log‘𝐴))) < ((ℑ‘(log‘𝐵)) − (ℑ‘(log‘𝐴))))
143	67, 142	eqbrtrid 5129	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → -(ℑ‘(log‘𝐴)) < ((ℑ‘(log‘𝐵)) − (ℑ‘(log‘𝐴))))
144	54, 56, 57, 66, 143	lttrd 11334	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → -π < ((ℑ‘(log‘𝐵)) − (ℑ‘(log‘𝐴))))
145		lttri4 11257	. . . 4 ⊢ (((ℑ‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((ℑ‘𝐴) < 0 ∨ (ℑ‘𝐴) = 0 ∨ 0 < (ℑ‘𝐴)))
146	87, 118, 145	sylancl 594	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((ℑ‘𝐴) < 0 ∨ (ℑ‘𝐴) = 0 ∨ 0 < (ℑ‘𝐴)))
147	39, 53, 144, 146	mpjao3dan 1447	. 2 ⊢ (𝜑 → -π < ((ℑ‘(log‘𝐵)) − (ℑ‘(log‘𝐴))))
148	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → π ∈ ℝ)
149	30	renegcld 11604	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → -(ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℝ)
150	8	adantr 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → 𝐵 ∈ ℂ)
151	88	adantr 483	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ)
152	151	subid1d 11521	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → ((ℑ‘𝐴) − 0) = (ℑ‘𝐴))
153	87	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
154	74	renegcld 11604	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → -(abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ ℝ)
155	154	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → -(abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ ℝ)
156	72	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → (ℑ‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ ℝ)
157	74	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ ℝ)
158	107	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) < 𝑆)
159	118	ltnri 11282	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ¬ 0 < 0
160		breq1 5097	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((ℑ‘𝐴) = 0 → ((ℑ‘𝐴) < 0 ↔ 0 < 0))
161	159, 160	mtbiri 329	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((ℑ‘𝐴) = 0 → ¬ (ℑ‘𝐴) < 0)
162	161	necon2ai 2980	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((ℑ‘𝐴) < 0 → (ℑ‘𝐴) ≠ 0)
163	162, 116	sylan2 601	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → 𝑆 = (abs‘(ℑ‘𝐴)))
164		ltle 11261	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((ℑ‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((ℑ‘𝐴) < 0 → (ℑ‘𝐴) ≤ 0))
165	87, 118, 164	sylancl 594	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → ((ℑ‘𝐴) < 0 → (ℑ‘𝐴) ≤ 0))
166	165	imp 409	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → (ℑ‘𝐴) ≤ 0)
167	153, 166	absnidd 15417	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → (abs‘(ℑ‘𝐴)) = -(ℑ‘𝐴))
168	163, 167	eqtrd 2791	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → 𝑆 = -(ℑ‘𝐴))
169	158, 168	breqtrd 5120	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) < -(ℑ‘𝐴))
170	157, 153, 169	ltnegcon2d 11758	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → (ℑ‘𝐴) < -(abs‘(𝐴 − 𝐵)))
171	81	simpld 497	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → -(abs‘(𝐴 − 𝐵)) ≤ (ℑ‘(𝐴 − 𝐵)))
172	171	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → -(abs‘(𝐴 − 𝐵)) ≤ (ℑ‘(𝐴 − 𝐵)))
173	153, 155, 156, 170, 172	ltletrd 11333	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → (ℑ‘𝐴) < (ℑ‘(𝐴 − 𝐵)))
174	69	adantr 483	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → (ℑ‘(𝐴 − 𝐵)) = ((ℑ‘𝐴) − (ℑ‘𝐵)))
175	173, 174	breqtrd 5120	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → (ℑ‘𝐴) < ((ℑ‘𝐴) − (ℑ‘𝐵)))
176	152, 175	eqbrtrd 5116	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → ((ℑ‘𝐴) − 0) < ((ℑ‘𝐴) − (ℑ‘𝐵)))
177	150	imcld 15198	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → (ℑ‘𝐵) ∈ ℝ)
178	177, 31, 153	ltsub2d 11787	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → ((ℑ‘𝐵) < 0 ↔ ((ℑ‘𝐴) − 0) < ((ℑ‘𝐴) − (ℑ‘𝐵))))
179	176, 178	mpbird 259	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → (ℑ‘𝐵) < 0)
180		argimlt0 26648	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐵) < 0) → (ℑ‘(log‘𝐵)) ∈ (-π(,)0))
181	150, 179, 180	syl2anc 592	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → (ℑ‘(log‘𝐵)) ∈ (-π(,)0))
182		eliooord 13399	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℑ‘(log‘𝐵)) ∈ (-π(,)0) → (-π < (ℑ‘(log‘𝐵)) ∧ (ℑ‘(log‘𝐵)) < 0))
183	181, 182	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → (-π < (ℑ‘(log‘𝐵)) ∧ (ℑ‘(log‘𝐵)) < 0))
184	183	simprd 498	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → (ℑ‘(log‘𝐵)) < 0)
185	13, 31, 30, 184	ltsub1dd 11789	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → ((ℑ‘(log‘𝐵)) − (ℑ‘(log‘𝐴))) < (0 − (ℑ‘(log‘𝐴))))
186	185, 67	breqtrrdi 5136	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → ((ℑ‘(log‘𝐵)) − (ℑ‘(log‘𝐴))) < -(ℑ‘(log‘𝐴)))
187	35	simpld 497	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → -π < (ℑ‘(log‘𝐴)))
188		ltnegcon1 11678	. . . . . . 7 ⊢ ((π ∈ ℝ ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℝ) → (-π < (ℑ‘(log‘𝐴)) ↔ -(ℑ‘(log‘𝐴)) < π))
189	1, 30, 188	sylancr 595	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → (-π < (ℑ‘(log‘𝐴)) ↔ -(ℑ‘(log‘𝐴)) < π))
190	187, 189	mpbid 234	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → -(ℑ‘(log‘𝐴)) < π)
191	23, 149, 148, 186, 190	lttrd 11334	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → ((ℑ‘(log‘𝐵)) − (ℑ‘(log‘𝐴))) < π)
192	23, 148, 191	ltled 11321	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → ((ℑ‘(log‘𝐵)) − (ℑ‘(log‘𝐴))) ≤ π)
193	24	simprd 498	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘(log‘𝐵)) ≤ π)
194	193	adantr 483	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → (ℑ‘(log‘𝐵)) ≤ π)
195	52, 194	eqbrtrd 5116	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → ((ℑ‘(log‘𝐵)) − (ℑ‘(log‘𝐴))) ≤ π)
196	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → π ∈ ℝ)
197	12	adantr 483	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (ℑ‘(log‘𝐵)) ∈ ℝ)
198		0red 11174	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → 0 ∈ ℝ)
199	21	adantr 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℝ)
200	61	simpld 497	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → 0 < (ℑ‘(log‘𝐴)))
201	198, 199, 197, 200	ltsub2dd 11790	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → ((ℑ‘(log‘𝐵)) − (ℑ‘(log‘𝐴))) < ((ℑ‘(log‘𝐵)) − 0))
202	27	adantr 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (ℑ‘(log‘𝐵)) ∈ ℂ)
203	202	subid1d 11521	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → ((ℑ‘(log‘𝐵)) − 0) = (ℑ‘(log‘𝐵)))
204	201, 203	breqtrd 5120	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → ((ℑ‘(log‘𝐵)) − (ℑ‘(log‘𝐴))) < (ℑ‘(log‘𝐵)))
205	138	simprd 498	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (ℑ‘(log‘𝐵)) < π)
206	57, 197, 196, 204, 205	lttrd 11334	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → ((ℑ‘(log‘𝐵)) − (ℑ‘(log‘𝐴))) < π)
207	57, 196, 206	ltled 11321	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → ((ℑ‘(log‘𝐵)) − (ℑ‘(log‘𝐴))) ≤ π)
208	192, 195, 207, 146	mpjao3dan 1447	. 2 ⊢ (𝜑 → ((ℑ‘(log‘𝐵)) − (ℑ‘(log‘𝐴))) ≤ π)
209	147, 208	jca 518	1 ⊢ (𝜑 → (-π < ((ℑ‘(log‘𝐵)) − (ℑ‘(log‘𝐴))) ∧ ((ℑ‘(log‘𝐵)) − (ℑ‘(log‘𝐴))) ≤ π))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∨ w3o 1094   = wceq 1554   ∈ wcel 2136   ≠ wne 2951   ∖ cdif 3896  ifcif 4474   class class class wbr 5094  ‘cfv 6510  (class class class)co 7385  ℂcc 11061  ℝcr 11062  0cc0 11063  1c1 11064   + caddc 11066   · cmul 11068  -∞cmnf 11204   < clt 11206   ≤ cle 11207   − cmin 11404  -cneg 11405   / cdiv 11834  ℝ⁺crp 12983  (,)cioo 13339  (,]cioc 13340  ℑcim 15101  abscabs 15237  πcpi 16072  logclog 26589

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1809  ax-4 1823  ax-5 1924  ax-6 1981  ax-7 2022  ax-8 2138  ax-9 2146  ax-10 2169  ax-11 2185  ax-12 2206  ax-ext 2728  ax-rep 5221  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5316  ax-pr 5384  ax-un 7707  ax-inf2 9586  ax-cnex 11119  ax-resscn 11120  ax-1cn 11121  ax-icn 11122  ax-addcl 11123  ax-addrcl 11124  ax-mulcl 11125  ax-mulrcl 11126  ax-mulcom 11127  ax-addass 11128  ax-mulass 11129  ax-distr 11130  ax-i2m1 11131  ax-1ne0 11132  ax-1rid 11133  ax-rnegex 11134  ax-rrecex 11135  ax-cnre 11136  ax-pre-lttri 11137  ax-pre-lttrn 11138  ax-pre-ltadd 11139  ax-pre-mulgt0 11140  ax-pre-sup 11141  ax-addf 11142

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1557  df-fal 1567  df-ex 1794  df-nf 1798  df-sb 2085  df-mo 2560  df-eu 2590  df-clab 2735  df-cleq 2748  df-clel 2831  df-nfc 2905  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3071  df-rex 3081  df-rmo 3361  df-reu 3362  df-rab 3409  df-v 3450  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4281  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4577  df-pr 4579  df-tp 4581  df-op 4583  df-uni 4860  df-int 4900  df-iun 4945  df-iin 4946  df-br 5095  df-opab 5157  df-mpt 5176  df-tr 5202  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6466  df-fun 6512  df-fn 6513  df-f 6514  df-f1 6515  df-fo 6516  df-f1o 6517  df-fv 6518  df-isom 6519  df-riota 7342  df-ov 7388  df-oprab 7389  df-mpo 7390  df-of 7649  df-om 7836  df-1st 7959  df-2nd 7960  df-supp 8129  df-frecs 8250  df-wrecs 8281  df-recs 8330  df-rdg 8369  df-1o 8425  df-2o 8426  df-er 8666  df-map 8798  df-pm 8799  df-ixp 8869  df-en 8917  df-dom 8918  df-sdom 8919  df-fin 8920  df-fsupp 9298  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9448  df-card 9887  df-pnf 11208  df-mnf 11209  df-xr 11210  df-ltxr 11211  df-le 11212  df-sub 11406  df-neg 11407  df-div 11835  df-nn 12201  df-2 12270  df-3 12271  df-4 12272  df-5 12273  df-6 12274  df-7 12275  df-8 12276  df-9 12277  df-n0 12472  df-z 12559  df-dec 12679  df-uz 12830  df-q 12940  df-rp 12984  df-xneg 13104  df-xadd 13105  df-xmul 13106  df-ioo 13343  df-ioc 13344  df-ico 13345  df-icc 13346  df-fz 13503  df-fzo 13650  df-fl 13792  df-mod 13870  df-seq 14005  df-exp 14065  df-fac 14277  df-bc 14306  df-hash 14334  df-shft 15070  df-cj 15102  df-re 15103  df-im 15104  df-sqrt 15238  df-abs 15239  df-limsup 15474  df-clim 15491  df-rlim 15492  df-sum 15690  df-ef 16073  df-sin 16075  df-cos 16076  df-pi 16078  df-struct 17159  df-sets 17176  df-slot 17194  df-ndx 17206  df-base 17222  df-ress 17243  df-plusg 17275  df-mulr 17276  df-starv 17277  df-sca 17278  df-vsca 17279  df-ip 17280  df-tset 17281  df-ple 17282  df-ds 17284  df-unif 17285  df-hom 17286  df-cco 17287  df-rest 17427  df-topn 17428  df-0g 17446  df-gsum 17447  df-topgen 17448  df-pt 17449  df-prds 17452  df-xrs 17508  df-qtop 17513  df-imas 17514  df-xps 17516  df-mre 17590  df-mrc 17591  df-acs 17593  df-mgm 18650  df-sgrp 18729  df-mnd 18745  df-submnd 18794  df-mulg 19086  df-cntz 19333  df-cmn 19798  df-psmet 21389  df-xmet 21390  df-met 21391  df-bl 21392  df-mopn 21393  df-fbas 21394  df-fg 21395  df-cnfld 21398  df-top 22927  df-topon 22944  df-topsp 22966  df-bases 22979  df-cld 23052  df-ntr 23053  df-cls 23054  df-nei 23131  df-lp 23169  df-perf 23170  df-cn 23260  df-cnp 23261  df-haus 23348  df-tx 23595  df-hmeo 23788  df-fil 23879  df-fm 23971  df-flim 23972  df-flf 23973  df-xms 24353  df-ms 24354  df-tms 24355  df-cncf 24913  df-limc 25901  df-dv 25902  df-log 26591

This theorem is referenced by:  logcnlem4  26680