MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  logcnlem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem logcnlem3 26671
Description: Lemma for logcn 26674. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
logcn.d 𝐷 = (ℂ ∖ (-∞(,]0))
logcnlem.s 𝑆 = if(𝐴 ∈ ℝ+, 𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐴)))
logcnlem.t 𝑇 = ((abs‘𝐴) · (𝑅 / (1 + 𝑅)))
logcnlem.a (𝜑𝐴𝐷)
logcnlem.r (𝜑𝑅 ∈ ℝ+)
logcnlem.b (𝜑𝐵𝐷)
logcnlem.l (𝜑 → (abs‘(𝐴𝐵)) < if(𝑆𝑇, 𝑆, 𝑇))
Assertion
Ref Expression
logcnlem3 (𝜑 → (-π < ((ℑ‘(log‘𝐵)) − (ℑ‘(log‘𝐴))) ∧ ((ℑ‘(log‘𝐵)) − (ℑ‘(log‘𝐴))) ≤ π))

Proof of Theorem logcnlem3
StepHypRef Expression
1 pire 26486 . . . . . 6 π ∈ ℝ
21renegcli 11571 . . . . 5 -π ∈ ℝ
32a1i 11 . . . 4 ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → -π ∈ ℝ)
4 logcnlem.b . . . . . . . 8 (𝜑𝐵𝐷)
5 logcn.d . . . . . . . . . 10 𝐷 = (ℂ ∖ (-∞(,]0))
65ellogdm 26666 . . . . . . . . 9 (𝐵𝐷 ↔ (𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℝ+)))
76simplbi 496 . . . . . . . 8 (𝐵𝐷𝐵 ∈ ℂ)
84, 7syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
95logdmn0 26667 . . . . . . . 8 (𝐵𝐷𝐵 ≠ 0)
104, 9syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ≠ 0)
118, 10logcld 26597 . . . . . 6 (𝜑 → (log‘𝐵) ∈ ℂ)
1211imcld 15200 . . . . 5 (𝜑 → (ℑ‘(log‘𝐵)) ∈ ℝ)
1312adantr 479 . . . 4 ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → (ℑ‘(log‘𝐵)) ∈ ℝ)
14 logcnlem.a . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴𝐷)
155ellogdm 26666 . . . . . . . . . 10 (𝐴𝐷 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ+)))
1615simplbi 496 . . . . . . . . 9 (𝐴𝐷𝐴 ∈ ℂ)
1714, 16syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
185logdmn0 26667 . . . . . . . . 9 (𝐴𝐷𝐴 ≠ 0)
1914, 18syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ≠ 0)
2017, 19logcld 26597 . . . . . . 7 (𝜑 → (log‘𝐴) ∈ ℂ)
2120imcld 15200 . . . . . 6 (𝜑 → (ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℝ)
2212, 21resubcld 11692 . . . . 5 (𝜑 → ((ℑ‘(log‘𝐵)) − (ℑ‘(log‘𝐴))) ∈ ℝ)
2322adantr 479 . . . 4 ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → ((ℑ‘(log‘𝐵)) − (ℑ‘(log‘𝐴))) ∈ ℝ)
248, 10logimcld 26598 . . . . . 6 (𝜑 → (-π < (ℑ‘(log‘𝐵)) ∧ (ℑ‘(log‘𝐵)) ≤ π))
2524simpld 493 . . . . 5 (𝜑 → -π < (ℑ‘(log‘𝐵)))
2625adantr 479 . . . 4 ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → -π < (ℑ‘(log‘𝐵)))
2712recnd 11292 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℑ‘(log‘𝐵)) ∈ ℂ)
2827adantr 479 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → (ℑ‘(log‘𝐵)) ∈ ℂ)
2928subid1d 11610 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → ((ℑ‘(log‘𝐵)) − 0) = (ℑ‘(log‘𝐵)))
3021adantr 479 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → (ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℝ)
31 0red 11267 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → 0 ∈ ℝ)
32 argimlt0 26640 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → (ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ (-π(,)0))
3317, 32sylan 578 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → (ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ (-π(,)0))
34 eliooord 13437 . . . . . . . 8 ((ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ (-π(,)0) → (-π < (ℑ‘(log‘𝐴)) ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) < 0))
3533, 34syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → (-π < (ℑ‘(log‘𝐴)) ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) < 0))
3635simprd 494 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → (ℑ‘(log‘𝐴)) < 0)
3730, 31, 13, 36ltsub2dd 11877 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → ((ℑ‘(log‘𝐵)) − 0) < ((ℑ‘(log‘𝐵)) − (ℑ‘(log‘𝐴))))
3829, 37eqbrtrrd 5177 . . . 4 ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → (ℑ‘(log‘𝐵)) < ((ℑ‘(log‘𝐵)) − (ℑ‘(log‘𝐴))))
393, 13, 23, 26, 38lttrd 11425 . . 3 ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → -π < ((ℑ‘(log‘𝐵)) − (ℑ‘(log‘𝐴))))
4025adantr 479 . . . 4 ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → -π < (ℑ‘(log‘𝐵)))
41 reim0b 15124 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 ∈ ℝ ↔ (ℑ‘𝐴) = 0))
4217, 41syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ↔ (ℑ‘𝐴) = 0))
4315simprbi 495 . . . . . . . . . . 11 (𝐴𝐷 → (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ+))
4414, 43syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ+))
4542, 44sylbird 259 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((ℑ‘𝐴) = 0 → 𝐴 ∈ ℝ+))
4645imp 405 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → 𝐴 ∈ ℝ+)
4746relogcld 26650 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → (log‘𝐴) ∈ ℝ)
4847reim0d 15230 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → (ℑ‘(log‘𝐴)) = 0)
4948oveq2d 7440 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → ((ℑ‘(log‘𝐵)) − (ℑ‘(log‘𝐴))) = ((ℑ‘(log‘𝐵)) − 0))
5027subid1d 11610 . . . . . 6 (𝜑 → ((ℑ‘(log‘𝐵)) − 0) = (ℑ‘(log‘𝐵)))
5150adantr 479 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → ((ℑ‘(log‘𝐵)) − 0) = (ℑ‘(log‘𝐵)))
5249, 51eqtrd 2766 . . . 4 ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → ((ℑ‘(log‘𝐵)) − (ℑ‘(log‘𝐴))) = (ℑ‘(log‘𝐵)))
5340, 52breqtrrd 5181 . . 3 ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → -π < ((ℑ‘(log‘𝐵)) − (ℑ‘(log‘𝐴))))
542a1i 11 . . . 4 ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → -π ∈ ℝ)
5521renegcld 11691 . . . . 5 (𝜑 → -(ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℝ)
5655adantr 479 . . . 4 ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → -(ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℝ)
5722adantr 479 . . . 4 ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → ((ℑ‘(log‘𝐵)) − (ℑ‘(log‘𝐴))) ∈ ℝ)
58 argimgt0 26639 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ (0(,)π))
5917, 58sylan 578 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ (0(,)π))
60 eliooord 13437 . . . . . . 7 ((ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ (0(,)π) → (0 < (ℑ‘(log‘𝐴)) ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) < π))
6159, 60syl 17 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (0 < (ℑ‘(log‘𝐴)) ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) < π))
6261simprd 494 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (ℑ‘(log‘𝐴)) < π)
63 ltneg 11764 . . . . . . 7 (((ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → ((ℑ‘(log‘𝐴)) < π ↔ -π < -(ℑ‘(log‘𝐴))))
6421, 1, 63sylancl 584 . . . . . 6 (𝜑 → ((ℑ‘(log‘𝐴)) < π ↔ -π < -(ℑ‘(log‘𝐴))))
6564adantr 479 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → ((ℑ‘(log‘𝐴)) < π ↔ -π < -(ℑ‘(log‘𝐴))))
6662, 65mpbid 231 . . . 4 ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → -π < -(ℑ‘(log‘𝐴)))
67 df-neg 11497 . . . . 5 -(ℑ‘(log‘𝐴)) = (0 − (ℑ‘(log‘𝐴)))
688adantr 479 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → 𝐵 ∈ ℂ)
6917, 8imsubd 15222 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (ℑ‘(𝐴𝐵)) = ((ℑ‘𝐴) − (ℑ‘𝐵)))
7069adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (ℑ‘(𝐴𝐵)) = ((ℑ‘𝐴) − (ℑ‘𝐵)))
7117, 8subcld 11621 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐴𝐵) ∈ ℂ)
7271imcld 15200 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (ℑ‘(𝐴𝐵)) ∈ ℝ)
7372adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (ℑ‘(𝐴𝐵)) ∈ ℝ)
7471abscld 15441 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (abs‘(𝐴𝐵)) ∈ ℝ)
7574adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (abs‘(𝐴𝐵)) ∈ ℝ)
7617adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → 𝐴 ∈ ℂ)
7776imcld 15200 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
78 absimle 15314 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴𝐵) ∈ ℂ → (abs‘(ℑ‘(𝐴𝐵))) ≤ (abs‘(𝐴𝐵)))
7971, 78syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (abs‘(ℑ‘(𝐴𝐵))) ≤ (abs‘(𝐴𝐵)))
8072, 74absled 15435 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((abs‘(ℑ‘(𝐴𝐵))) ≤ (abs‘(𝐴𝐵)) ↔ (-(abs‘(𝐴𝐵)) ≤ (ℑ‘(𝐴𝐵)) ∧ (ℑ‘(𝐴𝐵)) ≤ (abs‘(𝐴𝐵)))))
8179, 80mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (-(abs‘(𝐴𝐵)) ≤ (ℑ‘(𝐴𝐵)) ∧ (ℑ‘(𝐴𝐵)) ≤ (abs‘(𝐴𝐵))))
8281simprd 494 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (ℑ‘(𝐴𝐵)) ≤ (abs‘(𝐴𝐵)))
8382adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (ℑ‘(𝐴𝐵)) ≤ (abs‘(𝐴𝐵)))
84 logcnlem.s . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑆 = if(𝐴 ∈ ℝ+, 𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐴)))
85 rpre 13036 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ∈ ℝ)
8685adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝐴 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℝ)
8717imcld 15200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
8887recnd 11292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ)
8988abscld 15441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (abs‘(ℑ‘𝐴)) ∈ ℝ)
9089adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ+) → (abs‘(ℑ‘𝐴)) ∈ ℝ)
9186, 90ifclda 4568 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → if(𝐴 ∈ ℝ+, 𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐴))) ∈ ℝ)
9284, 91eqeltrid 2830 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑆 ∈ ℝ)
93 logcnlem.t . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑇 = ((abs‘𝐴) · (𝑅 / (1 + 𝑅)))
9417abscld 15441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
95 logcnlem.r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝑅 ∈ ℝ+)
9695rpred 13070 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝑅 ∈ ℝ)
97 1rp 13032 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1 ∈ ℝ+
98 rpaddcl 13050 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((1 ∈ ℝ+𝑅 ∈ ℝ+) → (1 + 𝑅) ∈ ℝ+)
9997, 95, 98sylancr 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (1 + 𝑅) ∈ ℝ+)
10096, 99rerpdivcld 13101 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝑅 / (1 + 𝑅)) ∈ ℝ)
10194, 100remulcld 11294 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((abs‘𝐴) · (𝑅 / (1 + 𝑅))) ∈ ℝ)
10293, 101eqeltrid 2830 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑇 ∈ ℝ)
10392, 102ifcld 4579 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → if(𝑆𝑇, 𝑆, 𝑇) ∈ ℝ)
104 logcnlem.l . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (abs‘(𝐴𝐵)) < if(𝑆𝑇, 𝑆, 𝑇))
105 min1 13222 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ) → if(𝑆𝑇, 𝑆, 𝑇) ≤ 𝑆)
10692, 102, 105syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → if(𝑆𝑇, 𝑆, 𝑇) ≤ 𝑆)
10774, 103, 92, 104, 106ltletrd 11424 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (abs‘(𝐴𝐵)) < 𝑆)
108107adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (abs‘(𝐴𝐵)) < 𝑆)
109 gt0ne0 11729 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((ℑ‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (ℑ‘𝐴) ≠ 0)
11087, 109sylan 578 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (ℑ‘𝐴) ≠ 0)
11185, 42imbitrid 243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ+ → (ℑ‘𝐴) = 0))
112111necon3ad 2943 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((ℑ‘𝐴) ≠ 0 → ¬ 𝐴 ∈ ℝ+))
113112imp 405 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) ≠ 0) → ¬ 𝐴 ∈ ℝ+)
114 iffalse 4542 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝐴 ∈ ℝ+ → if(𝐴 ∈ ℝ+, 𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐴))) = (abs‘(ℑ‘𝐴)))
11584, 114eqtrid 2778 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝐴 ∈ ℝ+𝑆 = (abs‘(ℑ‘𝐴)))
116113, 115syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) ≠ 0) → 𝑆 = (abs‘(ℑ‘𝐴)))
117110, 116syldan 589 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → 𝑆 = (abs‘(ℑ‘𝐴)))
118 0re 11266 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 0 ∈ ℝ
119 ltle 11352 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((0 ∈ ℝ ∧ (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ) → (0 < (ℑ‘𝐴) → 0 ≤ (ℑ‘𝐴)))
120118, 87, 119sylancr 585 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (0 < (ℑ‘𝐴) → 0 ≤ (ℑ‘𝐴)))
121120imp 405 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → 0 ≤ (ℑ‘𝐴))
12277, 121absidd 15427 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (abs‘(ℑ‘𝐴)) = (ℑ‘𝐴))
123117, 122eqtrd 2766 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → 𝑆 = (ℑ‘𝐴))
124108, 123breqtrd 5179 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (abs‘(𝐴𝐵)) < (ℑ‘𝐴))
12573, 75, 77, 83, 124lelttrd 11422 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (ℑ‘(𝐴𝐵)) < (ℑ‘𝐴))
12670, 125eqbrtrrd 5177 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → ((ℑ‘𝐴) − (ℑ‘𝐵)) < (ℑ‘𝐴))
12788adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ)
128127subid1d 11610 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → ((ℑ‘𝐴) − 0) = (ℑ‘𝐴))
129126, 128breqtrrd 5181 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → ((ℑ‘𝐴) − (ℑ‘𝐵)) < ((ℑ‘𝐴) − 0))
130 0red 11267 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
1318imcld 15200 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (ℑ‘𝐵) ∈ ℝ)
132130, 131, 87ltsub2d 11874 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (0 < (ℑ‘𝐵) ↔ ((ℑ‘𝐴) − (ℑ‘𝐵)) < ((ℑ‘𝐴) − 0)))
133132adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (0 < (ℑ‘𝐵) ↔ ((ℑ‘𝐴) − (ℑ‘𝐵)) < ((ℑ‘𝐴) − 0)))
134129, 133mpbird 256 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → 0 < (ℑ‘𝐵))
135 argimgt0 26639 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 0 < (ℑ‘𝐵)) → (ℑ‘(log‘𝐵)) ∈ (0(,)π))
13668, 134, 135syl2anc 582 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (ℑ‘(log‘𝐵)) ∈ (0(,)π))
137 eliooord 13437 . . . . . . . 8 ((ℑ‘(log‘𝐵)) ∈ (0(,)π) → (0 < (ℑ‘(log‘𝐵)) ∧ (ℑ‘(log‘𝐵)) < π))
138136, 137syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (0 < (ℑ‘(log‘𝐵)) ∧ (ℑ‘(log‘𝐵)) < π))
139138simpld 493 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → 0 < (ℑ‘(log‘𝐵)))
140130, 12, 21ltsub1d 11873 . . . . . . 7 (𝜑 → (0 < (ℑ‘(log‘𝐵)) ↔ (0 − (ℑ‘(log‘𝐴))) < ((ℑ‘(log‘𝐵)) − (ℑ‘(log‘𝐴)))))
141140adantr 479 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (0 < (ℑ‘(log‘𝐵)) ↔ (0 − (ℑ‘(log‘𝐴))) < ((ℑ‘(log‘𝐵)) − (ℑ‘(log‘𝐴)))))
142139, 141mpbid 231 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (0 − (ℑ‘(log‘𝐴))) < ((ℑ‘(log‘𝐵)) − (ℑ‘(log‘𝐴))))
14367, 142eqbrtrid 5188 . . . 4 ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → -(ℑ‘(log‘𝐴)) < ((ℑ‘(log‘𝐵)) − (ℑ‘(log‘𝐴))))
14454, 56, 57, 66, 143lttrd 11425 . . 3 ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → -π < ((ℑ‘(log‘𝐵)) − (ℑ‘(log‘𝐴))))
145 lttri4 11348 . . . 4 (((ℑ‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((ℑ‘𝐴) < 0 ∨ (ℑ‘𝐴) = 0 ∨ 0 < (ℑ‘𝐴)))
14687, 118, 145sylancl 584 . . 3 (𝜑 → ((ℑ‘𝐴) < 0 ∨ (ℑ‘𝐴) = 0 ∨ 0 < (ℑ‘𝐴)))
14739, 53, 144, 146mpjao3dan 1429 . 2 (𝜑 → -π < ((ℑ‘(log‘𝐵)) − (ℑ‘(log‘𝐴))))
1481a1i 11 . . . 4 ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → π ∈ ℝ)
14930renegcld 11691 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → -(ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℝ)
1508adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → 𝐵 ∈ ℂ)
15188adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ)
152151subid1d 11610 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → ((ℑ‘𝐴) − 0) = (ℑ‘𝐴))
15387adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
15474renegcld 11691 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → -(abs‘(𝐴𝐵)) ∈ ℝ)
155154adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → -(abs‘(𝐴𝐵)) ∈ ℝ)
15672adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → (ℑ‘(𝐴𝐵)) ∈ ℝ)
15774adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → (abs‘(𝐴𝐵)) ∈ ℝ)
158107adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → (abs‘(𝐴𝐵)) < 𝑆)
159118ltnri 11373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ¬ 0 < 0
160 breq1 5156 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((ℑ‘𝐴) = 0 → ((ℑ‘𝐴) < 0 ↔ 0 < 0))
161159, 160mtbiri 326 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((ℑ‘𝐴) = 0 → ¬ (ℑ‘𝐴) < 0)
162161necon2ai 2960 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((ℑ‘𝐴) < 0 → (ℑ‘𝐴) ≠ 0)
163162, 116sylan2 591 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → 𝑆 = (abs‘(ℑ‘𝐴)))
164 ltle 11352 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((ℑ‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((ℑ‘𝐴) < 0 → (ℑ‘𝐴) ≤ 0))
16587, 118, 164sylancl 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((ℑ‘𝐴) < 0 → (ℑ‘𝐴) ≤ 0))
166165imp 405 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → (ℑ‘𝐴) ≤ 0)
167153, 166absnidd 15418 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → (abs‘(ℑ‘𝐴)) = -(ℑ‘𝐴))
168163, 167eqtrd 2766 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → 𝑆 = -(ℑ‘𝐴))
169158, 168breqtrd 5179 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → (abs‘(𝐴𝐵)) < -(ℑ‘𝐴))
170157, 153, 169ltnegcon2d 11845 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → (ℑ‘𝐴) < -(abs‘(𝐴𝐵)))
17181simpld 493 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → -(abs‘(𝐴𝐵)) ≤ (ℑ‘(𝐴𝐵)))
172171adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → -(abs‘(𝐴𝐵)) ≤ (ℑ‘(𝐴𝐵)))
173153, 155, 156, 170, 172ltletrd 11424 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → (ℑ‘𝐴) < (ℑ‘(𝐴𝐵)))
17469adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → (ℑ‘(𝐴𝐵)) = ((ℑ‘𝐴) − (ℑ‘𝐵)))
175173, 174breqtrd 5179 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → (ℑ‘𝐴) < ((ℑ‘𝐴) − (ℑ‘𝐵)))
176152, 175eqbrtrd 5175 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → ((ℑ‘𝐴) − 0) < ((ℑ‘𝐴) − (ℑ‘𝐵)))
177150imcld 15200 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → (ℑ‘𝐵) ∈ ℝ)
178177, 31, 153ltsub2d 11874 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → ((ℑ‘𝐵) < 0 ↔ ((ℑ‘𝐴) − 0) < ((ℑ‘𝐴) − (ℑ‘𝐵))))
179176, 178mpbird 256 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → (ℑ‘𝐵) < 0)
180 argimlt0 26640 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐵) < 0) → (ℑ‘(log‘𝐵)) ∈ (-π(,)0))
181150, 179, 180syl2anc 582 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → (ℑ‘(log‘𝐵)) ∈ (-π(,)0))
182 eliooord 13437 . . . . . . . . 9 ((ℑ‘(log‘𝐵)) ∈ (-π(,)0) → (-π < (ℑ‘(log‘𝐵)) ∧ (ℑ‘(log‘𝐵)) < 0))
183181, 182syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → (-π < (ℑ‘(log‘𝐵)) ∧ (ℑ‘(log‘𝐵)) < 0))
184183simprd 494 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → (ℑ‘(log‘𝐵)) < 0)
18513, 31, 30, 184ltsub1dd 11876 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → ((ℑ‘(log‘𝐵)) − (ℑ‘(log‘𝐴))) < (0 − (ℑ‘(log‘𝐴))))
186185, 67breqtrrdi 5195 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → ((ℑ‘(log‘𝐵)) − (ℑ‘(log‘𝐴))) < -(ℑ‘(log‘𝐴)))
18735simpld 493 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → -π < (ℑ‘(log‘𝐴)))
188 ltnegcon1 11765 . . . . . . 7 ((π ∈ ℝ ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℝ) → (-π < (ℑ‘(log‘𝐴)) ↔ -(ℑ‘(log‘𝐴)) < π))
1891, 30, 188sylancr 585 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → (-π < (ℑ‘(log‘𝐴)) ↔ -(ℑ‘(log‘𝐴)) < π))
190187, 189mpbid 231 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → -(ℑ‘(log‘𝐴)) < π)
19123, 149, 148, 186, 190lttrd 11425 . . . 4 ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → ((ℑ‘(log‘𝐵)) − (ℑ‘(log‘𝐴))) < π)
19223, 148, 191ltled 11412 . . 3 ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) < 0) → ((ℑ‘(log‘𝐵)) − (ℑ‘(log‘𝐴))) ≤ π)
19324simprd 494 . . . . 5 (𝜑 → (ℑ‘(log‘𝐵)) ≤ π)
194193adantr 479 . . . 4 ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → (ℑ‘(log‘𝐵)) ≤ π)
19552, 194eqbrtrd 5175 . . 3 ((𝜑 ∧ (ℑ‘𝐴) = 0) → ((ℑ‘(log‘𝐵)) − (ℑ‘(log‘𝐴))) ≤ π)
1961a1i 11 . . . 4 ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → π ∈ ℝ)
19712adantr 479 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (ℑ‘(log‘𝐵)) ∈ ℝ)
198 0red 11267 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → 0 ∈ ℝ)
19921adantr 479 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℝ)
20061simpld 493 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → 0 < (ℑ‘(log‘𝐴)))
201198, 199, 197, 200ltsub2dd 11877 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → ((ℑ‘(log‘𝐵)) − (ℑ‘(log‘𝐴))) < ((ℑ‘(log‘𝐵)) − 0))
20227adantr 479 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (ℑ‘(log‘𝐵)) ∈ ℂ)
203202subid1d 11610 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → ((ℑ‘(log‘𝐵)) − 0) = (ℑ‘(log‘𝐵)))
204201, 203breqtrd 5179 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → ((ℑ‘(log‘𝐵)) − (ℑ‘(log‘𝐴))) < (ℑ‘(log‘𝐵)))
205138simprd 494 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → (ℑ‘(log‘𝐵)) < π)
20657, 197, 196, 204, 205lttrd 11425 . . . 4 ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → ((ℑ‘(log‘𝐵)) − (ℑ‘(log‘𝐴))) < π)
20757, 196, 206ltled 11412 . . 3 ((𝜑 ∧ 0 < (ℑ‘𝐴)) → ((ℑ‘(log‘𝐵)) − (ℑ‘(log‘𝐴))) ≤ π)
208192, 195, 207, 146mpjao3dan 1429 . 2 (𝜑 → ((ℑ‘(log‘𝐵)) − (ℑ‘(log‘𝐴))) ≤ π)
209147, 208jca 510 1 (𝜑 → (-π < ((ℑ‘(log‘𝐵)) − (ℑ‘(log‘𝐴))) ∧ ((ℑ‘(log‘𝐵)) − (ℑ‘(log‘𝐴))) ≤ π))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 394  w3o 1083   = wceq 1534  wcel 2099  wne 2930  cdif 3944  ifcif 4533   class class class wbr 5153  cfv 6554  (class class class)co 7424  cc 11156  cr 11157  0cc0 11158  1c1 11159   + caddc 11161   · cmul 11163  -∞cmnf 11296   < clt 11298  cle 11299  cmin 11494  -cneg 11495   / cdiv 11921  +crp 13028  (,)cioo 13378  (,]cioc 13379  cim 15103  abscabs 15239  πcpi 16068  logclog 26581
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5290  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-inf2 9684  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235  ax-pre-sup 11236  ax-addf 11237
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-tp 4638  df-op 4640  df-uni 4914  df-int 4955  df-iun 5003  df-iin 5004  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-isom 6563  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-of 7690  df-om 7877  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-supp 8175  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-1o 8496  df-2o 8497  df-er 8734  df-map 8857  df-pm 8858  df-ixp 8927  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-fsupp 9406  df-fi 9454  df-sup 9485  df-inf 9486  df-oi 9553  df-card 9982  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-div 11922  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12611  df-dec 12730  df-uz 12875  df-q 12985  df-rp 13029  df-xneg 13146  df-xadd 13147  df-xmul 13148  df-ioo 13382  df-ioc 13383  df-ico 13384  df-icc 13385  df-fz 13539  df-fzo 13682  df-fl 13812  df-mod 13890  df-seq 14022  df-exp 14082  df-fac 14291  df-bc 14320  df-hash 14348  df-shft 15072  df-cj 15104  df-re 15105  df-im 15106  df-sqrt 15240  df-abs 15241  df-limsup 15473  df-clim 15490  df-rlim 15491  df-sum 15691  df-ef 16069  df-sin 16071  df-cos 16072  df-pi 16074  df-struct 17149  df-sets 17166  df-slot 17184  df-ndx 17196  df-base 17214  df-ress 17243  df-plusg 17279  df-mulr 17280  df-starv 17281  df-sca 17282  df-vsca 17283  df-ip 17284  df-tset 17285  df-ple 17286  df-ds 17288  df-unif 17289  df-hom 17290  df-cco 17291  df-rest 17437  df-topn 17438  df-0g 17456  df-gsum 17457  df-topgen 17458  df-pt 17459  df-prds 17462  df-xrs 17517  df-qtop 17522  df-imas 17523  df-xps 17525  df-mre 17599  df-mrc 17600  df-acs 17602  df-mgm 18633  df-sgrp 18712  df-mnd 18728  df-submnd 18774  df-mulg 19062  df-cntz 19311  df-cmn 19780  df-psmet 21335  df-xmet 21336  df-met 21337  df-bl 21338  df-mopn 21339  df-fbas 21340  df-fg 21341  df-cnfld 21344  df-top 22887  df-topon 22904  df-topsp 22926  df-bases 22940  df-cld 23014  df-ntr 23015  df-cls 23016  df-nei 23093  df-lp 23131  df-perf 23132  df-cn 23222  df-cnp 23223  df-haus 23310  df-tx 23557  df-hmeo 23750  df-fil 23841  df-fm 23933  df-flim 23934  df-flf 23935  df-xms 24317  df-ms 24318  df-tms 24319  df-cncf 24889  df-limc 25886  df-dv 25887  df-log 26583
This theorem is referenced by:  logcnlem4  26672
  Copyright terms: Public domain W3C validator