MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  logcnlem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem logcnlem4 26702
Description: Lemma for logcn 26704. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
logcn.d 𝐷 = (ℂ ∖ (-∞(,]0))
logcnlem.s 𝑆 = if(𝐴 ∈ ℝ+, 𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐴)))
logcnlem.t 𝑇 = ((abs‘𝐴) · (𝑅 / (1 + 𝑅)))
logcnlem.a (𝜑𝐴𝐷)
logcnlem.r (𝜑𝑅 ∈ ℝ+)
logcnlem.b (𝜑𝐵𝐷)
logcnlem.l (𝜑 → (abs‘(𝐴𝐵)) < if(𝑆𝑇, 𝑆, 𝑇))
Assertion
Ref Expression
logcnlem4 (𝜑 → (abs‘((ℑ‘(log‘𝐴)) − (ℑ‘(log‘𝐵)))) < 𝑅)

Proof of Theorem logcnlem4
StepHypRef Expression
1 logcnlem.a . . . . . . . 8 (𝜑𝐴𝐷)
2 logcn.d . . . . . . . . . 10 𝐷 = (ℂ ∖ (-∞(,]0))
32ellogdm 26696 . . . . . . . . 9 (𝐴𝐷 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ+)))
43simplbi 497 . . . . . . . 8 (𝐴𝐷𝐴 ∈ ℂ)
51, 4syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
62logdmn0 26697 . . . . . . . 8 (𝐴𝐷𝐴 ≠ 0)
71, 6syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ≠ 0)
85, 7logcld 26627 . . . . . 6 (𝜑 → (log‘𝐴) ∈ ℂ)
98imcld 15231 . . . . 5 (𝜑 → (ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℝ)
109recnd 11287 . . . 4 (𝜑 → (ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℂ)
11 logcnlem.b . . . . . . . 8 (𝜑𝐵𝐷)
122ellogdm 26696 . . . . . . . . 9 (𝐵𝐷 ↔ (𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℝ+)))
1312simplbi 497 . . . . . . . 8 (𝐵𝐷𝐵 ∈ ℂ)
1411, 13syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
152logdmn0 26697 . . . . . . . 8 (𝐵𝐷𝐵 ≠ 0)
1611, 15syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ≠ 0)
1714, 16logcld 26627 . . . . . 6 (𝜑 → (log‘𝐵) ∈ ℂ)
1817imcld 15231 . . . . 5 (𝜑 → (ℑ‘(log‘𝐵)) ∈ ℝ)
1918recnd 11287 . . . 4 (𝜑 → (ℑ‘(log‘𝐵)) ∈ ℂ)
2010, 19abssubd 15489 . . 3 (𝜑 → (abs‘((ℑ‘(log‘𝐴)) − (ℑ‘(log‘𝐵)))) = (abs‘((ℑ‘(log‘𝐵)) − (ℑ‘(log‘𝐴)))))
2117, 8imsubd 15253 . . . . 5 (𝜑 → (ℑ‘((log‘𝐵) − (log‘𝐴))) = ((ℑ‘(log‘𝐵)) − (ℑ‘(log‘𝐴))))
22 efsub 16133 . . . . . . . . . 10 (((log‘𝐵) ∈ ℂ ∧ (log‘𝐴) ∈ ℂ) → (exp‘((log‘𝐵) − (log‘𝐴))) = ((exp‘(log‘𝐵)) / (exp‘(log‘𝐴))))
2317, 8, 22syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (exp‘((log‘𝐵) − (log‘𝐴))) = ((exp‘(log‘𝐵)) / (exp‘(log‘𝐴))))
24 eflog 26633 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (exp‘(log‘𝐵)) = 𝐵)
2514, 16, 24syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (exp‘(log‘𝐵)) = 𝐵)
26 eflog 26633 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (exp‘(log‘𝐴)) = 𝐴)
275, 7, 26syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (exp‘(log‘𝐴)) = 𝐴)
2825, 27oveq12d 7449 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((exp‘(log‘𝐵)) / (exp‘(log‘𝐴))) = (𝐵 / 𝐴))
2923, 28eqtrd 2775 . . . . . . . 8 (𝜑 → (exp‘((log‘𝐵) − (log‘𝐴))) = (𝐵 / 𝐴))
3014, 5, 7divcld 12041 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐵 / 𝐴) ∈ ℂ)
3114, 5, 16, 7divne0d 12057 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐵 / 𝐴) ≠ 0)
3217, 8subcld 11618 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((log‘𝐵) − (log‘𝐴)) ∈ ℂ)
33 logcnlem.s . . . . . . . . . . . . 13 𝑆 = if(𝐴 ∈ ℝ+, 𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐴)))
34 logcnlem.t . . . . . . . . . . . . 13 𝑇 = ((abs‘𝐴) · (𝑅 / (1 + 𝑅)))
35 logcnlem.r . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑅 ∈ ℝ+)
36 logcnlem.l . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (abs‘(𝐴𝐵)) < if(𝑆𝑇, 𝑆, 𝑇))
372, 33, 34, 1, 35, 11, 36logcnlem3 26701 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (-π < ((ℑ‘(log‘𝐵)) − (ℑ‘(log‘𝐴))) ∧ ((ℑ‘(log‘𝐵)) − (ℑ‘(log‘𝐴))) ≤ π))
3837simpld 494 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → -π < ((ℑ‘(log‘𝐵)) − (ℑ‘(log‘𝐴))))
3938, 21breqtrrd 5176 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → -π < (ℑ‘((log‘𝐵) − (log‘𝐴))))
4037simprd 495 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((ℑ‘(log‘𝐵)) − (ℑ‘(log‘𝐴))) ≤ π)
4121, 40eqbrtrd 5170 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (ℑ‘((log‘𝐵) − (log‘𝐴))) ≤ π)
42 ellogrn 26616 . . . . . . . . . 10 (((log‘𝐵) − (log‘𝐴)) ∈ ran log ↔ (((log‘𝐵) − (log‘𝐴)) ∈ ℂ ∧ -π < (ℑ‘((log‘𝐵) − (log‘𝐴))) ∧ (ℑ‘((log‘𝐵) − (log‘𝐴))) ≤ π))
4332, 39, 41, 42syl3anbrc 1342 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((log‘𝐵) − (log‘𝐴)) ∈ ran log)
44 logeftb 26640 . . . . . . . . 9 (((𝐵 / 𝐴) ∈ ℂ ∧ (𝐵 / 𝐴) ≠ 0 ∧ ((log‘𝐵) − (log‘𝐴)) ∈ ran log) → ((log‘(𝐵 / 𝐴)) = ((log‘𝐵) − (log‘𝐴)) ↔ (exp‘((log‘𝐵) − (log‘𝐴))) = (𝐵 / 𝐴)))
4530, 31, 43, 44syl3anc 1370 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((log‘(𝐵 / 𝐴)) = ((log‘𝐵) − (log‘𝐴)) ↔ (exp‘((log‘𝐵) − (log‘𝐴))) = (𝐵 / 𝐴)))
4629, 45mpbird 257 . . . . . . 7 (𝜑 → (log‘(𝐵 / 𝐴)) = ((log‘𝐵) − (log‘𝐴)))
4746eqcomd 2741 . . . . . 6 (𝜑 → ((log‘𝐵) − (log‘𝐴)) = (log‘(𝐵 / 𝐴)))
4847fveq2d 6911 . . . . 5 (𝜑 → (ℑ‘((log‘𝐵) − (log‘𝐴))) = (ℑ‘(log‘(𝐵 / 𝐴))))
4921, 48eqtr3d 2777 . . . 4 (𝜑 → ((ℑ‘(log‘𝐵)) − (ℑ‘(log‘𝐴))) = (ℑ‘(log‘(𝐵 / 𝐴))))
5049fveq2d 6911 . . 3 (𝜑 → (abs‘((ℑ‘(log‘𝐵)) − (ℑ‘(log‘𝐴)))) = (abs‘(ℑ‘(log‘(𝐵 / 𝐴)))))
5120, 50eqtrd 2775 . 2 (𝜑 → (abs‘((ℑ‘(log‘𝐴)) − (ℑ‘(log‘𝐵)))) = (abs‘(ℑ‘(log‘(𝐵 / 𝐴)))))
5230, 31logcld 26627 . . . . . 6 (𝜑 → (log‘(𝐵 / 𝐴)) ∈ ℂ)
5352imcld 15231 . . . . 5 (𝜑 → (ℑ‘(log‘(𝐵 / 𝐴))) ∈ ℝ)
5453recnd 11287 . . . 4 (𝜑 → (ℑ‘(log‘(𝐵 / 𝐴))) ∈ ℂ)
5554abscld 15472 . . 3 (𝜑 → (abs‘(ℑ‘(log‘(𝐵 / 𝐴)))) ∈ ℝ)
56 0red 11262 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
57 1re 11259 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℝ
585, 14subcld 11618 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐴𝐵) ∈ ℂ)
5958abscld 15472 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (abs‘(𝐴𝐵)) ∈ ℝ)
605, 7absrpcld 15484 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (abs‘𝐴) ∈ ℝ+)
6159, 60rerpdivcld 13106 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((abs‘(𝐴𝐵)) / (abs‘𝐴)) ∈ ℝ)
62 resubcl 11571 . . . . . . . . . . 11 ((1 ∈ ℝ ∧ ((abs‘(𝐴𝐵)) / (abs‘𝐴)) ∈ ℝ) → (1 − ((abs‘(𝐴𝐵)) / (abs‘𝐴))) ∈ ℝ)
6357, 61, 62sylancr 587 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (1 − ((abs‘(𝐴𝐵)) / (abs‘𝐴))) ∈ ℝ)
6430recld 15230 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (ℜ‘(𝐵 / 𝐴)) ∈ ℝ)
655abscld 15472 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
6635rpred 13075 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑅 ∈ ℝ)
67 1rp 13036 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1 ∈ ℝ+
68 rpaddcl 13055 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((1 ∈ ℝ+𝑅 ∈ ℝ+) → (1 + 𝑅) ∈ ℝ+)
6967, 35, 68sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (1 + 𝑅) ∈ ℝ+)
7066, 69rerpdivcld 13106 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑅 / (1 + 𝑅)) ∈ ℝ)
7165, 70remulcld 11289 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((abs‘𝐴) · (𝑅 / (1 + 𝑅))) ∈ ℝ)
7234, 71eqeltrid 2843 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑇 ∈ ℝ)
73 rpre 13041 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ∈ ℝ)
7473adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝐴 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℝ)
755imcld 15231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
7675recnd 11287 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ)
7776abscld 15472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (abs‘(ℑ‘𝐴)) ∈ ℝ)
7877adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ+) → (abs‘(ℑ‘𝐴)) ∈ ℝ)
7974, 78ifclda 4566 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → if(𝐴 ∈ ℝ+, 𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐴))) ∈ ℝ)
8033, 79eqeltrid 2843 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑆 ∈ ℝ)
81 ltmin 13233 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((abs‘(𝐴𝐵)) ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝐴𝐵)) < if(𝑆𝑇, 𝑆, 𝑇) ↔ ((abs‘(𝐴𝐵)) < 𝑆 ∧ (abs‘(𝐴𝐵)) < 𝑇)))
8259, 80, 72, 81syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((abs‘(𝐴𝐵)) < if(𝑆𝑇, 𝑆, 𝑇) ↔ ((abs‘(𝐴𝐵)) < 𝑆 ∧ (abs‘(𝐴𝐵)) < 𝑇)))
8336, 82mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((abs‘(𝐴𝐵)) < 𝑆 ∧ (abs‘(𝐴𝐵)) < 𝑇))
8483simprd 495 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (abs‘(𝐴𝐵)) < 𝑇)
8569rpred 13075 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (1 + 𝑅) ∈ ℝ)
8666ltp1d 12196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝑅 < (𝑅 + 1))
8766recnd 11287 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑𝑅 ∈ ℂ)
88 ax-1cn 11211 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1 ∈ ℂ
89 addcom 11445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑅 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑅 + 1) = (1 + 𝑅))
9087, 88, 89sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (𝑅 + 1) = (1 + 𝑅))
9186, 90breqtrd 5174 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝑅 < (1 + 𝑅))
9266, 85, 91ltled 11407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝑅 ≤ (1 + 𝑅))
9385recnd 11287 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (1 + 𝑅) ∈ ℂ)
9493mulridd 11276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((1 + 𝑅) · 1) = (1 + 𝑅))
9592, 94breqtrrd 5176 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝑅 ≤ ((1 + 𝑅) · 1))
9657a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
9766, 96, 69ledivmuld 13128 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((𝑅 / (1 + 𝑅)) ≤ 1 ↔ 𝑅 ≤ ((1 + 𝑅) · 1)))
9895, 97mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑅 / (1 + 𝑅)) ≤ 1)
9970, 96, 60lemul2d 13119 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((𝑅 / (1 + 𝑅)) ≤ 1 ↔ ((abs‘𝐴) · (𝑅 / (1 + 𝑅))) ≤ ((abs‘𝐴) · 1)))
10098, 99mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((abs‘𝐴) · (𝑅 / (1 + 𝑅))) ≤ ((abs‘𝐴) · 1))
10165recnd 11287 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (abs‘𝐴) ∈ ℂ)
102101mulridd 11276 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((abs‘𝐴) · 1) = (abs‘𝐴))
103100, 102breqtrd 5174 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((abs‘𝐴) · (𝑅 / (1 + 𝑅))) ≤ (abs‘𝐴))
10434, 103eqbrtrid 5183 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑇 ≤ (abs‘𝐴))
10559, 72, 65, 84, 104ltletrd 11419 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (abs‘(𝐴𝐵)) < (abs‘𝐴))
106105, 102breqtrrd 5176 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (abs‘(𝐴𝐵)) < ((abs‘𝐴) · 1))
10759, 96, 60ltdivmuld 13126 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((abs‘(𝐴𝐵)) / (abs‘𝐴)) < 1 ↔ (abs‘(𝐴𝐵)) < ((abs‘𝐴) · 1)))
108106, 107mpbird 257 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((abs‘(𝐴𝐵)) / (abs‘𝐴)) < 1)
109 posdif 11754 . . . . . . . . . . . 12 ((((abs‘(𝐴𝐵)) / (abs‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (((abs‘(𝐴𝐵)) / (abs‘𝐴)) < 1 ↔ 0 < (1 − ((abs‘(𝐴𝐵)) / (abs‘𝐴)))))
11061, 57, 109sylancl 586 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((abs‘(𝐴𝐵)) / (abs‘𝐴)) < 1 ↔ 0 < (1 − ((abs‘(𝐴𝐵)) / (abs‘𝐴)))))
111108, 110mpbid 232 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 < (1 − ((abs‘(𝐴𝐵)) / (abs‘𝐴))))
11258, 5, 7divcld 12041 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝐴𝐵) / 𝐴) ∈ ℂ)
113112releabsd 15487 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (ℜ‘((𝐴𝐵) / 𝐴)) ≤ (abs‘((𝐴𝐵) / 𝐴)))
1145, 14, 5, 7divsubdird 12080 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝐴𝐵) / 𝐴) = ((𝐴 / 𝐴) − (𝐵 / 𝐴)))
1155, 7dividd 12039 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝐴 / 𝐴) = 1)
116115oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝐴 / 𝐴) − (𝐵 / 𝐴)) = (1 − (𝐵 / 𝐴)))
117114, 116eqtrd 2775 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝐴𝐵) / 𝐴) = (1 − (𝐵 / 𝐴)))
118117fveq2d 6911 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (ℜ‘((𝐴𝐵) / 𝐴)) = (ℜ‘(1 − (𝐵 / 𝐴))))
119 resub 15163 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1 ∈ ℂ ∧ (𝐵 / 𝐴) ∈ ℂ) → (ℜ‘(1 − (𝐵 / 𝐴))) = ((ℜ‘1) − (ℜ‘(𝐵 / 𝐴))))
12088, 30, 119sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (ℜ‘(1 − (𝐵 / 𝐴))) = ((ℜ‘1) − (ℜ‘(𝐵 / 𝐴))))
121118, 120eqtrd 2775 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (ℜ‘((𝐴𝐵) / 𝐴)) = ((ℜ‘1) − (ℜ‘(𝐵 / 𝐴))))
122 re1 15190 . . . . . . . . . . . . . 14 (ℜ‘1) = 1
123122oveq1i 7441 . . . . . . . . . . . . 13 ((ℜ‘1) − (ℜ‘(𝐵 / 𝐴))) = (1 − (ℜ‘(𝐵 / 𝐴)))
124121, 123eqtrdi 2791 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (ℜ‘((𝐴𝐵) / 𝐴)) = (1 − (ℜ‘(𝐵 / 𝐴))))
12558, 5, 7absdivd 15491 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (abs‘((𝐴𝐵) / 𝐴)) = ((abs‘(𝐴𝐵)) / (abs‘𝐴)))
126113, 124, 1253brtr3d 5179 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (1 − (ℜ‘(𝐵 / 𝐴))) ≤ ((abs‘(𝐴𝐵)) / (abs‘𝐴)))
12796, 64, 61, 126subled 11864 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (1 − ((abs‘(𝐴𝐵)) / (abs‘𝐴))) ≤ (ℜ‘(𝐵 / 𝐴)))
12856, 63, 64, 111, 127ltletrd 11419 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 < (ℜ‘(𝐵 / 𝐴)))
129 argregt0 26667 . . . . . . . . 9 (((𝐵 / 𝐴) ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘(𝐵 / 𝐴))) → (ℑ‘(log‘(𝐵 / 𝐴))) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)))
13030, 128, 129syl2anc 584 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℑ‘(log‘(𝐵 / 𝐴))) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)))
131 cosq14gt0 26567 . . . . . . . 8 ((ℑ‘(log‘(𝐵 / 𝐴))) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) → 0 < (cos‘(ℑ‘(log‘(𝐵 / 𝐴)))))
132130, 131syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 < (cos‘(ℑ‘(log‘(𝐵 / 𝐴)))))
133132gt0ne0d 11825 . . . . . 6 (𝜑 → (cos‘(ℑ‘(log‘(𝐵 / 𝐴)))) ≠ 0)
13453, 133retancld 16178 . . . . 5 (𝜑 → (tan‘(ℑ‘(log‘(𝐵 / 𝐴)))) ∈ ℝ)
135134recnd 11287 . . . 4 (𝜑 → (tan‘(ℑ‘(log‘(𝐵 / 𝐴)))) ∈ ℂ)
136135abscld 15472 . . 3 (𝜑 → (abs‘(tan‘(ℑ‘(log‘(𝐵 / 𝐴))))) ∈ ℝ)
137 tanabsge 26563 . . . 4 ((ℑ‘(log‘(𝐵 / 𝐴))) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) → (abs‘(ℑ‘(log‘(𝐵 / 𝐴)))) ≤ (abs‘(tan‘(ℑ‘(log‘(𝐵 / 𝐴))))))
138130, 137syl 17 . . 3 (𝜑 → (abs‘(ℑ‘(log‘(𝐵 / 𝐴)))) ≤ (abs‘(tan‘(ℑ‘(log‘(𝐵 / 𝐴))))))
139128gt0ne0d 11825 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℜ‘(𝐵 / 𝐴)) ≠ 0)
140 tanarg 26676 . . . . . . 7 (((𝐵 / 𝐴) ∈ ℂ ∧ (ℜ‘(𝐵 / 𝐴)) ≠ 0) → (tan‘(ℑ‘(log‘(𝐵 / 𝐴)))) = ((ℑ‘(𝐵 / 𝐴)) / (ℜ‘(𝐵 / 𝐴))))
14130, 139, 140syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑 → (tan‘(ℑ‘(log‘(𝐵 / 𝐴)))) = ((ℑ‘(𝐵 / 𝐴)) / (ℜ‘(𝐵 / 𝐴))))
142141fveq2d 6911 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘(tan‘(ℑ‘(log‘(𝐵 / 𝐴))))) = (abs‘((ℑ‘(𝐵 / 𝐴)) / (ℜ‘(𝐵 / 𝐴)))))
14330imcld 15231 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℑ‘(𝐵 / 𝐴)) ∈ ℝ)
144143recnd 11287 . . . . . 6 (𝜑 → (ℑ‘(𝐵 / 𝐴)) ∈ ℂ)
14564recnd 11287 . . . . . 6 (𝜑 → (ℜ‘(𝐵 / 𝐴)) ∈ ℂ)
146144, 145, 139absdivd 15491 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘((ℑ‘(𝐵 / 𝐴)) / (ℜ‘(𝐵 / 𝐴)))) = ((abs‘(ℑ‘(𝐵 / 𝐴))) / (abs‘(ℜ‘(𝐵 / 𝐴)))))
14756, 64, 128ltled 11407 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / 𝐴)))
14864, 147absidd 15458 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘(ℜ‘(𝐵 / 𝐴))) = (ℜ‘(𝐵 / 𝐴)))
149148oveq2d 7447 . . . . 5 (𝜑 → ((abs‘(ℑ‘(𝐵 / 𝐴))) / (abs‘(ℜ‘(𝐵 / 𝐴)))) = ((abs‘(ℑ‘(𝐵 / 𝐴))) / (ℜ‘(𝐵 / 𝐴))))
150142, 146, 1493eqtrd 2779 . . . 4 (𝜑 → (abs‘(tan‘(ℑ‘(log‘(𝐵 / 𝐴))))) = ((abs‘(ℑ‘(𝐵 / 𝐴))) / (ℜ‘(𝐵 / 𝐴))))
151144abscld 15472 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘(ℑ‘(𝐵 / 𝐴))) ∈ ℝ)
15264, 66remulcld 11289 . . . . . 6 (𝜑 → ((ℜ‘(𝐵 / 𝐴)) · 𝑅) ∈ ℝ)
15314, 5subcld 11618 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐵𝐴) ∈ ℂ)
154153, 5, 7divcld 12041 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐵𝐴) / 𝐴) ∈ ℂ)
155 absimle 15345 . . . . . . . 8 (((𝐵𝐴) / 𝐴) ∈ ℂ → (abs‘(ℑ‘((𝐵𝐴) / 𝐴))) ≤ (abs‘((𝐵𝐴) / 𝐴)))
156154, 155syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (abs‘(ℑ‘((𝐵𝐴) / 𝐴))) ≤ (abs‘((𝐵𝐴) / 𝐴)))
15714, 5, 5, 7divsubdird 12080 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐵𝐴) / 𝐴) = ((𝐵 / 𝐴) − (𝐴 / 𝐴)))
158115oveq2d 7447 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐵 / 𝐴) − (𝐴 / 𝐴)) = ((𝐵 / 𝐴) − 1))
159157, 158eqtrd 2775 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐵𝐴) / 𝐴) = ((𝐵 / 𝐴) − 1))
160159fveq2d 6911 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℑ‘((𝐵𝐴) / 𝐴)) = (ℑ‘((𝐵 / 𝐴) − 1)))
161 imsub 15171 . . . . . . . . . . 11 (((𝐵 / 𝐴) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (ℑ‘((𝐵 / 𝐴) − 1)) = ((ℑ‘(𝐵 / 𝐴)) − (ℑ‘1)))
16230, 88, 161sylancl 586 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (ℑ‘((𝐵 / 𝐴) − 1)) = ((ℑ‘(𝐵 / 𝐴)) − (ℑ‘1)))
163 im1 15191 . . . . . . . . . . 11 (ℑ‘1) = 0
164163oveq2i 7442 . . . . . . . . . 10 ((ℑ‘(𝐵 / 𝐴)) − (ℑ‘1)) = ((ℑ‘(𝐵 / 𝐴)) − 0)
165162, 164eqtrdi 2791 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℑ‘((𝐵 / 𝐴) − 1)) = ((ℑ‘(𝐵 / 𝐴)) − 0))
166144subid1d 11607 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((ℑ‘(𝐵 / 𝐴)) − 0) = (ℑ‘(𝐵 / 𝐴)))
167160, 165, 1663eqtrrd 2780 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℑ‘(𝐵 / 𝐴)) = (ℑ‘((𝐵𝐴) / 𝐴)))
168167fveq2d 6911 . . . . . . 7 (𝜑 → (abs‘(ℑ‘(𝐵 / 𝐴))) = (abs‘(ℑ‘((𝐵𝐴) / 𝐴))))
1695, 14abssubd 15489 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (abs‘(𝐴𝐵)) = (abs‘(𝐵𝐴)))
170169oveq1d 7446 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((abs‘(𝐴𝐵)) / (abs‘𝐴)) = ((abs‘(𝐵𝐴)) / (abs‘𝐴)))
171153, 5, 7absdivd 15491 . . . . . . . 8 (𝜑 → (abs‘((𝐵𝐴) / 𝐴)) = ((abs‘(𝐵𝐴)) / (abs‘𝐴)))
172170, 171eqtr4d 2778 . . . . . . 7 (𝜑 → ((abs‘(𝐴𝐵)) / (abs‘𝐴)) = (abs‘((𝐵𝐴) / 𝐴)))
173156, 168, 1723brtr4d 5180 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘(ℑ‘(𝐵 / 𝐴))) ≤ ((abs‘(𝐴𝐵)) / (abs‘𝐴)))
17465, 59resubcld 11689 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((abs‘𝐴) − (abs‘(𝐴𝐵))) ∈ ℝ)
175174, 66remulcld 11289 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((abs‘𝐴) − (abs‘(𝐴𝐵))) · 𝑅) ∈ ℝ)
17665, 152remulcld 11289 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((abs‘𝐴) · ((ℜ‘(𝐵 / 𝐴)) · 𝑅)) ∈ ℝ)
17759recnd 11287 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (abs‘(𝐴𝐵)) ∈ ℂ)
17888a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
179177, 178, 87adddid 11283 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((abs‘(𝐴𝐵)) · (1 + 𝑅)) = (((abs‘(𝐴𝐵)) · 1) + ((abs‘(𝐴𝐵)) · 𝑅)))
180177mulridd 11276 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((abs‘(𝐴𝐵)) · 1) = (abs‘(𝐴𝐵)))
181180oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((abs‘(𝐴𝐵)) · 1) + ((abs‘(𝐴𝐵)) · 𝑅)) = ((abs‘(𝐴𝐵)) + ((abs‘(𝐴𝐵)) · 𝑅)))
182179, 181eqtrd 2775 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((abs‘(𝐴𝐵)) · (1 + 𝑅)) = ((abs‘(𝐴𝐵)) + ((abs‘(𝐴𝐵)) · 𝑅)))
18369rpne0d 13080 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (1 + 𝑅) ≠ 0)
184101, 87, 93, 183divassd 12076 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((abs‘𝐴) · 𝑅) / (1 + 𝑅)) = ((abs‘𝐴) · (𝑅 / (1 + 𝑅))))
185184, 34eqtr4di 2793 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((abs‘𝐴) · 𝑅) / (1 + 𝑅)) = 𝑇)
18684, 185breqtrrd 5176 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (abs‘(𝐴𝐵)) < (((abs‘𝐴) · 𝑅) / (1 + 𝑅)))
18765, 66remulcld 11289 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((abs‘𝐴) · 𝑅) ∈ ℝ)
18859, 187, 69ltmuldivd 13122 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((abs‘(𝐴𝐵)) · (1 + 𝑅)) < ((abs‘𝐴) · 𝑅) ↔ (abs‘(𝐴𝐵)) < (((abs‘𝐴) · 𝑅) / (1 + 𝑅))))
189186, 188mpbird 257 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((abs‘(𝐴𝐵)) · (1 + 𝑅)) < ((abs‘𝐴) · 𝑅))
190182, 189eqbrtrrd 5172 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((abs‘(𝐴𝐵)) + ((abs‘(𝐴𝐵)) · 𝑅)) < ((abs‘𝐴) · 𝑅))
19159, 66remulcld 11289 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((abs‘(𝐴𝐵)) · 𝑅) ∈ ℝ)
19259, 191, 187ltaddsubd 11861 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((abs‘(𝐴𝐵)) + ((abs‘(𝐴𝐵)) · 𝑅)) < ((abs‘𝐴) · 𝑅) ↔ (abs‘(𝐴𝐵)) < (((abs‘𝐴) · 𝑅) − ((abs‘(𝐴𝐵)) · 𝑅))))
193190, 192mpbid 232 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (abs‘(𝐴𝐵)) < (((abs‘𝐴) · 𝑅) − ((abs‘(𝐴𝐵)) · 𝑅)))
194101, 177, 87subdird 11718 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((abs‘𝐴) − (abs‘(𝐴𝐵))) · 𝑅) = (((abs‘𝐴) · 𝑅) − ((abs‘(𝐴𝐵)) · 𝑅)))
195193, 194breqtrrd 5176 . . . . . . . 8 (𝜑 → (abs‘(𝐴𝐵)) < (((abs‘𝐴) − (abs‘(𝐴𝐵))) · 𝑅))
19660rpne0d 13080 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (abs‘𝐴) ≠ 0)
197101, 177, 101, 196divsubdird 12080 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((abs‘𝐴) − (abs‘(𝐴𝐵))) / (abs‘𝐴)) = (((abs‘𝐴) / (abs‘𝐴)) − ((abs‘(𝐴𝐵)) / (abs‘𝐴))))
198101, 196dividd 12039 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((abs‘𝐴) / (abs‘𝐴)) = 1)
199198oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((abs‘𝐴) / (abs‘𝐴)) − ((abs‘(𝐴𝐵)) / (abs‘𝐴))) = (1 − ((abs‘(𝐴𝐵)) / (abs‘𝐴))))
200197, 199eqtrd 2775 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((abs‘𝐴) − (abs‘(𝐴𝐵))) / (abs‘𝐴)) = (1 − ((abs‘(𝐴𝐵)) / (abs‘𝐴))))
201200, 127eqbrtrd 5170 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((abs‘𝐴) − (abs‘(𝐴𝐵))) / (abs‘𝐴)) ≤ (ℜ‘(𝐵 / 𝐴)))
202174, 64, 60ledivmuld 13128 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((((abs‘𝐴) − (abs‘(𝐴𝐵))) / (abs‘𝐴)) ≤ (ℜ‘(𝐵 / 𝐴)) ↔ ((abs‘𝐴) − (abs‘(𝐴𝐵))) ≤ ((abs‘𝐴) · (ℜ‘(𝐵 / 𝐴)))))
203201, 202mpbid 232 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((abs‘𝐴) − (abs‘(𝐴𝐵))) ≤ ((abs‘𝐴) · (ℜ‘(𝐵 / 𝐴))))
20465, 64remulcld 11289 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((abs‘𝐴) · (ℜ‘(𝐵 / 𝐴))) ∈ ℝ)
205174, 204, 35lemul1d 13118 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((abs‘𝐴) − (abs‘(𝐴𝐵))) ≤ ((abs‘𝐴) · (ℜ‘(𝐵 / 𝐴))) ↔ (((abs‘𝐴) − (abs‘(𝐴𝐵))) · 𝑅) ≤ (((abs‘𝐴) · (ℜ‘(𝐵 / 𝐴))) · 𝑅)))
206203, 205mpbid 232 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((abs‘𝐴) − (abs‘(𝐴𝐵))) · 𝑅) ≤ (((abs‘𝐴) · (ℜ‘(𝐵 / 𝐴))) · 𝑅))
207101, 145, 87mulassd 11282 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((abs‘𝐴) · (ℜ‘(𝐵 / 𝐴))) · 𝑅) = ((abs‘𝐴) · ((ℜ‘(𝐵 / 𝐴)) · 𝑅)))
208206, 207breqtrd 5174 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((abs‘𝐴) − (abs‘(𝐴𝐵))) · 𝑅) ≤ ((abs‘𝐴) · ((ℜ‘(𝐵 / 𝐴)) · 𝑅)))
20959, 175, 176, 195, 208ltletrd 11419 . . . . . . 7 (𝜑 → (abs‘(𝐴𝐵)) < ((abs‘𝐴) · ((ℜ‘(𝐵 / 𝐴)) · 𝑅)))
21059, 152, 60ltdivmuld 13126 . . . . . . 7 (𝜑 → (((abs‘(𝐴𝐵)) / (abs‘𝐴)) < ((ℜ‘(𝐵 / 𝐴)) · 𝑅) ↔ (abs‘(𝐴𝐵)) < ((abs‘𝐴) · ((ℜ‘(𝐵 / 𝐴)) · 𝑅))))
211209, 210mpbird 257 . . . . . 6 (𝜑 → ((abs‘(𝐴𝐵)) / (abs‘𝐴)) < ((ℜ‘(𝐵 / 𝐴)) · 𝑅))
212151, 61, 152, 173, 211lelttrd 11417 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘(ℑ‘(𝐵 / 𝐴))) < ((ℜ‘(𝐵 / 𝐴)) · 𝑅))
213 ltdivmul 12141 . . . . . 6 (((abs‘(ℑ‘(𝐵 / 𝐴))) ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ ∧ ((ℜ‘(𝐵 / 𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 < (ℜ‘(𝐵 / 𝐴)))) → (((abs‘(ℑ‘(𝐵 / 𝐴))) / (ℜ‘(𝐵 / 𝐴))) < 𝑅 ↔ (abs‘(ℑ‘(𝐵 / 𝐴))) < ((ℜ‘(𝐵 / 𝐴)) · 𝑅)))
214151, 66, 64, 128, 213syl112anc 1373 . . . . 5 (𝜑 → (((abs‘(ℑ‘(𝐵 / 𝐴))) / (ℜ‘(𝐵 / 𝐴))) < 𝑅 ↔ (abs‘(ℑ‘(𝐵 / 𝐴))) < ((ℜ‘(𝐵 / 𝐴)) · 𝑅)))
215212, 214mpbird 257 . . . 4 (𝜑 → ((abs‘(ℑ‘(𝐵 / 𝐴))) / (ℜ‘(𝐵 / 𝐴))) < 𝑅)
216150, 215eqbrtrd 5170 . . 3 (𝜑 → (abs‘(tan‘(ℑ‘(log‘(𝐵 / 𝐴))))) < 𝑅)
21755, 136, 66, 138, 216lelttrd 11417 . 2 (𝜑 → (abs‘(ℑ‘(log‘(𝐵 / 𝐴)))) < 𝑅)
21851, 217eqbrtrd 5170 1 (𝜑 → (abs‘((ℑ‘(log‘𝐴)) − (ℑ‘(log‘𝐵)))) < 𝑅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  cdif 3960  ifcif 4531   class class class wbr 5148  ran crn 5690  cfv 6563  (class class class)co 7431  cc 11151  cr 11152  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156   · cmul 11158  -∞cmnf 11291   < clt 11293  cle 11294  cmin 11490  -cneg 11491   / cdiv 11918  2c2 12319  +crp 13032  (,)cioo 13384  (,]cioc 13385  cre 15133  cim 15134  abscabs 15270  expce 16094  cosccos 16097  tanctan 16098  πcpi 16099  logclog 26611
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231  ax-addf 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-fi 9449  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13152  df-xadd 13153  df-xmul 13154  df-ioo 13388  df-ioc 13389  df-ico 13390  df-icc 13391  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-fl 13829  df-mod 13907  df-seq 14040  df-exp 14100  df-fac 14310  df-bc 14339  df-hash 14367  df-shft 15103  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-limsup 15504  df-clim 15521  df-rlim 15522  df-sum 15720  df-ef 16100  df-sin 16102  df-cos 16103  df-tan 16104  df-pi 16105  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-rest 17469  df-topn 17470  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-topgen 17490  df-pt 17491  df-prds 17494  df-xrs 17549  df-qtop 17554  df-imas 17555  df-xps 17557  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-submnd 18810  df-mulg 19099  df-cntz 19348  df-cmn 19815  df-psmet 21374  df-xmet 21375  df-met 21376  df-bl 21377  df-mopn 21378  df-fbas 21379  df-fg 21380  df-cnfld 21383  df-top 22916  df-topon 22933  df-topsp 22955  df-bases 22969  df-cld 23043  df-ntr 23044  df-cls 23045  df-nei 23122  df-lp 23160  df-perf 23161  df-cn 23251  df-cnp 23252  df-haus 23339  df-tx 23586  df-hmeo 23779  df-fil 23870  df-fm 23962  df-flim 23963  df-flf 23964  df-xms 24346  df-ms 24347  df-tms 24348  df-cncf 24918  df-limc 25916  df-dv 25917  df-log 26613
This theorem is referenced by:  logcnlem5  26703
  Copyright terms: Public domain W3C validator