MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  logcnlem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem logcnlem4 26145
Description: Lemma for logcn 26147. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
logcn.d 𝐷 = (ℂ ∖ (-∞(,]0))
logcnlem.s 𝑆 = if(𝐴 ∈ ℝ+, 𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐴)))
logcnlem.t 𝑇 = ((abs‘𝐴) · (𝑅 / (1 + 𝑅)))
logcnlem.a (𝜑𝐴𝐷)
logcnlem.r (𝜑𝑅 ∈ ℝ+)
logcnlem.b (𝜑𝐵𝐷)
logcnlem.l (𝜑 → (abs‘(𝐴𝐵)) < if(𝑆𝑇, 𝑆, 𝑇))
Assertion
Ref Expression
logcnlem4 (𝜑 → (abs‘((ℑ‘(log‘𝐴)) − (ℑ‘(log‘𝐵)))) < 𝑅)

Proof of Theorem logcnlem4
StepHypRef Expression
1 logcnlem.a . . . . . . . 8 (𝜑𝐴𝐷)
2 logcn.d . . . . . . . . . 10 𝐷 = (ℂ ∖ (-∞(,]0))
32ellogdm 26139 . . . . . . . . 9 (𝐴𝐷 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ+)))
43simplbi 499 . . . . . . . 8 (𝐴𝐷𝐴 ∈ ℂ)
51, 4syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
62logdmn0 26140 . . . . . . . 8 (𝐴𝐷𝐴 ≠ 0)
71, 6syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ≠ 0)
85, 7logcld 26071 . . . . . 6 (𝜑 → (log‘𝐴) ∈ ℂ)
98imcld 15139 . . . . 5 (𝜑 → (ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℝ)
109recnd 11239 . . . 4 (𝜑 → (ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℂ)
11 logcnlem.b . . . . . . . 8 (𝜑𝐵𝐷)
122ellogdm 26139 . . . . . . . . 9 (𝐵𝐷 ↔ (𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℝ+)))
1312simplbi 499 . . . . . . . 8 (𝐵𝐷𝐵 ∈ ℂ)
1411, 13syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
152logdmn0 26140 . . . . . . . 8 (𝐵𝐷𝐵 ≠ 0)
1611, 15syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ≠ 0)
1714, 16logcld 26071 . . . . . 6 (𝜑 → (log‘𝐵) ∈ ℂ)
1817imcld 15139 . . . . 5 (𝜑 → (ℑ‘(log‘𝐵)) ∈ ℝ)
1918recnd 11239 . . . 4 (𝜑 → (ℑ‘(log‘𝐵)) ∈ ℂ)
2010, 19abssubd 15397 . . 3 (𝜑 → (abs‘((ℑ‘(log‘𝐴)) − (ℑ‘(log‘𝐵)))) = (abs‘((ℑ‘(log‘𝐵)) − (ℑ‘(log‘𝐴)))))
2117, 8imsubd 15161 . . . . 5 (𝜑 → (ℑ‘((log‘𝐵) − (log‘𝐴))) = ((ℑ‘(log‘𝐵)) − (ℑ‘(log‘𝐴))))
22 efsub 16040 . . . . . . . . . 10 (((log‘𝐵) ∈ ℂ ∧ (log‘𝐴) ∈ ℂ) → (exp‘((log‘𝐵) − (log‘𝐴))) = ((exp‘(log‘𝐵)) / (exp‘(log‘𝐴))))
2317, 8, 22syl2anc 585 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (exp‘((log‘𝐵) − (log‘𝐴))) = ((exp‘(log‘𝐵)) / (exp‘(log‘𝐴))))
24 eflog 26077 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (exp‘(log‘𝐵)) = 𝐵)
2514, 16, 24syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (exp‘(log‘𝐵)) = 𝐵)
26 eflog 26077 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (exp‘(log‘𝐴)) = 𝐴)
275, 7, 26syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (exp‘(log‘𝐴)) = 𝐴)
2825, 27oveq12d 7424 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((exp‘(log‘𝐵)) / (exp‘(log‘𝐴))) = (𝐵 / 𝐴))
2923, 28eqtrd 2773 . . . . . . . 8 (𝜑 → (exp‘((log‘𝐵) − (log‘𝐴))) = (𝐵 / 𝐴))
3014, 5, 7divcld 11987 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐵 / 𝐴) ∈ ℂ)
3114, 5, 16, 7divne0d 12003 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐵 / 𝐴) ≠ 0)
3217, 8subcld 11568 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((log‘𝐵) − (log‘𝐴)) ∈ ℂ)
33 logcnlem.s . . . . . . . . . . . . 13 𝑆 = if(𝐴 ∈ ℝ+, 𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐴)))
34 logcnlem.t . . . . . . . . . . . . 13 𝑇 = ((abs‘𝐴) · (𝑅 / (1 + 𝑅)))
35 logcnlem.r . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑅 ∈ ℝ+)
36 logcnlem.l . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (abs‘(𝐴𝐵)) < if(𝑆𝑇, 𝑆, 𝑇))
372, 33, 34, 1, 35, 11, 36logcnlem3 26144 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (-π < ((ℑ‘(log‘𝐵)) − (ℑ‘(log‘𝐴))) ∧ ((ℑ‘(log‘𝐵)) − (ℑ‘(log‘𝐴))) ≤ π))
3837simpld 496 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → -π < ((ℑ‘(log‘𝐵)) − (ℑ‘(log‘𝐴))))
3938, 21breqtrrd 5176 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → -π < (ℑ‘((log‘𝐵) − (log‘𝐴))))
4037simprd 497 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((ℑ‘(log‘𝐵)) − (ℑ‘(log‘𝐴))) ≤ π)
4121, 40eqbrtrd 5170 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (ℑ‘((log‘𝐵) − (log‘𝐴))) ≤ π)
42 ellogrn 26060 . . . . . . . . . 10 (((log‘𝐵) − (log‘𝐴)) ∈ ran log ↔ (((log‘𝐵) − (log‘𝐴)) ∈ ℂ ∧ -π < (ℑ‘((log‘𝐵) − (log‘𝐴))) ∧ (ℑ‘((log‘𝐵) − (log‘𝐴))) ≤ π))
4332, 39, 41, 42syl3anbrc 1344 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((log‘𝐵) − (log‘𝐴)) ∈ ran log)
44 logeftb 26084 . . . . . . . . 9 (((𝐵 / 𝐴) ∈ ℂ ∧ (𝐵 / 𝐴) ≠ 0 ∧ ((log‘𝐵) − (log‘𝐴)) ∈ ran log) → ((log‘(𝐵 / 𝐴)) = ((log‘𝐵) − (log‘𝐴)) ↔ (exp‘((log‘𝐵) − (log‘𝐴))) = (𝐵 / 𝐴)))
4530, 31, 43, 44syl3anc 1372 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((log‘(𝐵 / 𝐴)) = ((log‘𝐵) − (log‘𝐴)) ↔ (exp‘((log‘𝐵) − (log‘𝐴))) = (𝐵 / 𝐴)))
4629, 45mpbird 257 . . . . . . 7 (𝜑 → (log‘(𝐵 / 𝐴)) = ((log‘𝐵) − (log‘𝐴)))
4746eqcomd 2739 . . . . . 6 (𝜑 → ((log‘𝐵) − (log‘𝐴)) = (log‘(𝐵 / 𝐴)))
4847fveq2d 6893 . . . . 5 (𝜑 → (ℑ‘((log‘𝐵) − (log‘𝐴))) = (ℑ‘(log‘(𝐵 / 𝐴))))
4921, 48eqtr3d 2775 . . . 4 (𝜑 → ((ℑ‘(log‘𝐵)) − (ℑ‘(log‘𝐴))) = (ℑ‘(log‘(𝐵 / 𝐴))))
5049fveq2d 6893 . . 3 (𝜑 → (abs‘((ℑ‘(log‘𝐵)) − (ℑ‘(log‘𝐴)))) = (abs‘(ℑ‘(log‘(𝐵 / 𝐴)))))
5120, 50eqtrd 2773 . 2 (𝜑 → (abs‘((ℑ‘(log‘𝐴)) − (ℑ‘(log‘𝐵)))) = (abs‘(ℑ‘(log‘(𝐵 / 𝐴)))))
5230, 31logcld 26071 . . . . . 6 (𝜑 → (log‘(𝐵 / 𝐴)) ∈ ℂ)
5352imcld 15139 . . . . 5 (𝜑 → (ℑ‘(log‘(𝐵 / 𝐴))) ∈ ℝ)
5453recnd 11239 . . . 4 (𝜑 → (ℑ‘(log‘(𝐵 / 𝐴))) ∈ ℂ)
5554abscld 15380 . . 3 (𝜑 → (abs‘(ℑ‘(log‘(𝐵 / 𝐴)))) ∈ ℝ)
56 0red 11214 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
57 1re 11211 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℝ
585, 14subcld 11568 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐴𝐵) ∈ ℂ)
5958abscld 15380 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (abs‘(𝐴𝐵)) ∈ ℝ)
605, 7absrpcld 15392 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (abs‘𝐴) ∈ ℝ+)
6159, 60rerpdivcld 13044 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((abs‘(𝐴𝐵)) / (abs‘𝐴)) ∈ ℝ)
62 resubcl 11521 . . . . . . . . . . 11 ((1 ∈ ℝ ∧ ((abs‘(𝐴𝐵)) / (abs‘𝐴)) ∈ ℝ) → (1 − ((abs‘(𝐴𝐵)) / (abs‘𝐴))) ∈ ℝ)
6357, 61, 62sylancr 588 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (1 − ((abs‘(𝐴𝐵)) / (abs‘𝐴))) ∈ ℝ)
6430recld 15138 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (ℜ‘(𝐵 / 𝐴)) ∈ ℝ)
655abscld 15380 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
6635rpred 13013 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑅 ∈ ℝ)
67 1rp 12975 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1 ∈ ℝ+
68 rpaddcl 12993 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((1 ∈ ℝ+𝑅 ∈ ℝ+) → (1 + 𝑅) ∈ ℝ+)
6967, 35, 68sylancr 588 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (1 + 𝑅) ∈ ℝ+)
7066, 69rerpdivcld 13044 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑅 / (1 + 𝑅)) ∈ ℝ)
7165, 70remulcld 11241 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((abs‘𝐴) · (𝑅 / (1 + 𝑅))) ∈ ℝ)
7234, 71eqeltrid 2838 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑇 ∈ ℝ)
73 rpre 12979 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ∈ ℝ)
7473adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝐴 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℝ)
755imcld 15139 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
7675recnd 11239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ)
7776abscld 15380 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (abs‘(ℑ‘𝐴)) ∈ ℝ)
7877adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ+) → (abs‘(ℑ‘𝐴)) ∈ ℝ)
7974, 78ifclda 4563 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → if(𝐴 ∈ ℝ+, 𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐴))) ∈ ℝ)
8033, 79eqeltrid 2838 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑆 ∈ ℝ)
81 ltmin 13170 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((abs‘(𝐴𝐵)) ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝐴𝐵)) < if(𝑆𝑇, 𝑆, 𝑇) ↔ ((abs‘(𝐴𝐵)) < 𝑆 ∧ (abs‘(𝐴𝐵)) < 𝑇)))
8259, 80, 72, 81syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((abs‘(𝐴𝐵)) < if(𝑆𝑇, 𝑆, 𝑇) ↔ ((abs‘(𝐴𝐵)) < 𝑆 ∧ (abs‘(𝐴𝐵)) < 𝑇)))
8336, 82mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((abs‘(𝐴𝐵)) < 𝑆 ∧ (abs‘(𝐴𝐵)) < 𝑇))
8483simprd 497 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (abs‘(𝐴𝐵)) < 𝑇)
8569rpred 13013 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (1 + 𝑅) ∈ ℝ)
8666ltp1d 12141 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝑅 < (𝑅 + 1))
8766recnd 11239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑𝑅 ∈ ℂ)
88 ax-1cn 11165 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1 ∈ ℂ
89 addcom 11397 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑅 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑅 + 1) = (1 + 𝑅))
9087, 88, 89sylancl 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (𝑅 + 1) = (1 + 𝑅))
9186, 90breqtrd 5174 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝑅 < (1 + 𝑅))
9266, 85, 91ltled 11359 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝑅 ≤ (1 + 𝑅))
9385recnd 11239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (1 + 𝑅) ∈ ℂ)
9493mulridd 11228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((1 + 𝑅) · 1) = (1 + 𝑅))
9592, 94breqtrrd 5176 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝑅 ≤ ((1 + 𝑅) · 1))
9657a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
9766, 96, 69ledivmuld 13066 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((𝑅 / (1 + 𝑅)) ≤ 1 ↔ 𝑅 ≤ ((1 + 𝑅) · 1)))
9895, 97mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑅 / (1 + 𝑅)) ≤ 1)
9970, 96, 60lemul2d 13057 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((𝑅 / (1 + 𝑅)) ≤ 1 ↔ ((abs‘𝐴) · (𝑅 / (1 + 𝑅))) ≤ ((abs‘𝐴) · 1)))
10098, 99mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((abs‘𝐴) · (𝑅 / (1 + 𝑅))) ≤ ((abs‘𝐴) · 1))
10165recnd 11239 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (abs‘𝐴) ∈ ℂ)
102101mulridd 11228 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((abs‘𝐴) · 1) = (abs‘𝐴))
103100, 102breqtrd 5174 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((abs‘𝐴) · (𝑅 / (1 + 𝑅))) ≤ (abs‘𝐴))
10434, 103eqbrtrid 5183 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑇 ≤ (abs‘𝐴))
10559, 72, 65, 84, 104ltletrd 11371 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (abs‘(𝐴𝐵)) < (abs‘𝐴))
106105, 102breqtrrd 5176 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (abs‘(𝐴𝐵)) < ((abs‘𝐴) · 1))
10759, 96, 60ltdivmuld 13064 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((abs‘(𝐴𝐵)) / (abs‘𝐴)) < 1 ↔ (abs‘(𝐴𝐵)) < ((abs‘𝐴) · 1)))
108106, 107mpbird 257 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((abs‘(𝐴𝐵)) / (abs‘𝐴)) < 1)
109 posdif 11704 . . . . . . . . . . . 12 ((((abs‘(𝐴𝐵)) / (abs‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (((abs‘(𝐴𝐵)) / (abs‘𝐴)) < 1 ↔ 0 < (1 − ((abs‘(𝐴𝐵)) / (abs‘𝐴)))))
11061, 57, 109sylancl 587 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((abs‘(𝐴𝐵)) / (abs‘𝐴)) < 1 ↔ 0 < (1 − ((abs‘(𝐴𝐵)) / (abs‘𝐴)))))
111108, 110mpbid 231 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 < (1 − ((abs‘(𝐴𝐵)) / (abs‘𝐴))))
11258, 5, 7divcld 11987 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝐴𝐵) / 𝐴) ∈ ℂ)
113112releabsd 15395 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (ℜ‘((𝐴𝐵) / 𝐴)) ≤ (abs‘((𝐴𝐵) / 𝐴)))
1145, 14, 5, 7divsubdird 12026 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝐴𝐵) / 𝐴) = ((𝐴 / 𝐴) − (𝐵 / 𝐴)))
1155, 7dividd 11985 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝐴 / 𝐴) = 1)
116115oveq1d 7421 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝐴 / 𝐴) − (𝐵 / 𝐴)) = (1 − (𝐵 / 𝐴)))
117114, 116eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝐴𝐵) / 𝐴) = (1 − (𝐵 / 𝐴)))
118117fveq2d 6893 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (ℜ‘((𝐴𝐵) / 𝐴)) = (ℜ‘(1 − (𝐵 / 𝐴))))
119 resub 15071 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1 ∈ ℂ ∧ (𝐵 / 𝐴) ∈ ℂ) → (ℜ‘(1 − (𝐵 / 𝐴))) = ((ℜ‘1) − (ℜ‘(𝐵 / 𝐴))))
12088, 30, 119sylancr 588 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (ℜ‘(1 − (𝐵 / 𝐴))) = ((ℜ‘1) − (ℜ‘(𝐵 / 𝐴))))
121118, 120eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (ℜ‘((𝐴𝐵) / 𝐴)) = ((ℜ‘1) − (ℜ‘(𝐵 / 𝐴))))
122 re1 15098 . . . . . . . . . . . . . 14 (ℜ‘1) = 1
123122oveq1i 7416 . . . . . . . . . . . . 13 ((ℜ‘1) − (ℜ‘(𝐵 / 𝐴))) = (1 − (ℜ‘(𝐵 / 𝐴)))
124121, 123eqtrdi 2789 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (ℜ‘((𝐴𝐵) / 𝐴)) = (1 − (ℜ‘(𝐵 / 𝐴))))
12558, 5, 7absdivd 15399 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (abs‘((𝐴𝐵) / 𝐴)) = ((abs‘(𝐴𝐵)) / (abs‘𝐴)))
126113, 124, 1253brtr3d 5179 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (1 − (ℜ‘(𝐵 / 𝐴))) ≤ ((abs‘(𝐴𝐵)) / (abs‘𝐴)))
12796, 64, 61, 126subled 11814 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (1 − ((abs‘(𝐴𝐵)) / (abs‘𝐴))) ≤ (ℜ‘(𝐵 / 𝐴)))
12856, 63, 64, 111, 127ltletrd 11371 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 < (ℜ‘(𝐵 / 𝐴)))
129 argregt0 26110 . . . . . . . . 9 (((𝐵 / 𝐴) ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘(𝐵 / 𝐴))) → (ℑ‘(log‘(𝐵 / 𝐴))) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)))
13030, 128, 129syl2anc 585 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℑ‘(log‘(𝐵 / 𝐴))) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)))
131 cosq14gt0 26012 . . . . . . . 8 ((ℑ‘(log‘(𝐵 / 𝐴))) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) → 0 < (cos‘(ℑ‘(log‘(𝐵 / 𝐴)))))
132130, 131syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 < (cos‘(ℑ‘(log‘(𝐵 / 𝐴)))))
133132gt0ne0d 11775 . . . . . 6 (𝜑 → (cos‘(ℑ‘(log‘(𝐵 / 𝐴)))) ≠ 0)
13453, 133retancld 16085 . . . . 5 (𝜑 → (tan‘(ℑ‘(log‘(𝐵 / 𝐴)))) ∈ ℝ)
135134recnd 11239 . . . 4 (𝜑 → (tan‘(ℑ‘(log‘(𝐵 / 𝐴)))) ∈ ℂ)
136135abscld 15380 . . 3 (𝜑 → (abs‘(tan‘(ℑ‘(log‘(𝐵 / 𝐴))))) ∈ ℝ)
137 tanabsge 26008 . . . 4 ((ℑ‘(log‘(𝐵 / 𝐴))) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) → (abs‘(ℑ‘(log‘(𝐵 / 𝐴)))) ≤ (abs‘(tan‘(ℑ‘(log‘(𝐵 / 𝐴))))))
138130, 137syl 17 . . 3 (𝜑 → (abs‘(ℑ‘(log‘(𝐵 / 𝐴)))) ≤ (abs‘(tan‘(ℑ‘(log‘(𝐵 / 𝐴))))))
139128gt0ne0d 11775 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℜ‘(𝐵 / 𝐴)) ≠ 0)
140 tanarg 26119 . . . . . . 7 (((𝐵 / 𝐴) ∈ ℂ ∧ (ℜ‘(𝐵 / 𝐴)) ≠ 0) → (tan‘(ℑ‘(log‘(𝐵 / 𝐴)))) = ((ℑ‘(𝐵 / 𝐴)) / (ℜ‘(𝐵 / 𝐴))))
14130, 139, 140syl2anc 585 . . . . . 6 (𝜑 → (tan‘(ℑ‘(log‘(𝐵 / 𝐴)))) = ((ℑ‘(𝐵 / 𝐴)) / (ℜ‘(𝐵 / 𝐴))))
142141fveq2d 6893 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘(tan‘(ℑ‘(log‘(𝐵 / 𝐴))))) = (abs‘((ℑ‘(𝐵 / 𝐴)) / (ℜ‘(𝐵 / 𝐴)))))
14330imcld 15139 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℑ‘(𝐵 / 𝐴)) ∈ ℝ)
144143recnd 11239 . . . . . 6 (𝜑 → (ℑ‘(𝐵 / 𝐴)) ∈ ℂ)
14564recnd 11239 . . . . . 6 (𝜑 → (ℜ‘(𝐵 / 𝐴)) ∈ ℂ)
146144, 145, 139absdivd 15399 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘((ℑ‘(𝐵 / 𝐴)) / (ℜ‘(𝐵 / 𝐴)))) = ((abs‘(ℑ‘(𝐵 / 𝐴))) / (abs‘(ℜ‘(𝐵 / 𝐴)))))
14756, 64, 128ltled 11359 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / 𝐴)))
14864, 147absidd 15366 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘(ℜ‘(𝐵 / 𝐴))) = (ℜ‘(𝐵 / 𝐴)))
149148oveq2d 7422 . . . . 5 (𝜑 → ((abs‘(ℑ‘(𝐵 / 𝐴))) / (abs‘(ℜ‘(𝐵 / 𝐴)))) = ((abs‘(ℑ‘(𝐵 / 𝐴))) / (ℜ‘(𝐵 / 𝐴))))
150142, 146, 1493eqtrd 2777 . . . 4 (𝜑 → (abs‘(tan‘(ℑ‘(log‘(𝐵 / 𝐴))))) = ((abs‘(ℑ‘(𝐵 / 𝐴))) / (ℜ‘(𝐵 / 𝐴))))
151144abscld 15380 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘(ℑ‘(𝐵 / 𝐴))) ∈ ℝ)
15264, 66remulcld 11241 . . . . . 6 (𝜑 → ((ℜ‘(𝐵 / 𝐴)) · 𝑅) ∈ ℝ)
15314, 5subcld 11568 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐵𝐴) ∈ ℂ)
154153, 5, 7divcld 11987 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐵𝐴) / 𝐴) ∈ ℂ)
155 absimle 15253 . . . . . . . 8 (((𝐵𝐴) / 𝐴) ∈ ℂ → (abs‘(ℑ‘((𝐵𝐴) / 𝐴))) ≤ (abs‘((𝐵𝐴) / 𝐴)))
156154, 155syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (abs‘(ℑ‘((𝐵𝐴) / 𝐴))) ≤ (abs‘((𝐵𝐴) / 𝐴)))
15714, 5, 5, 7divsubdird 12026 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐵𝐴) / 𝐴) = ((𝐵 / 𝐴) − (𝐴 / 𝐴)))
158115oveq2d 7422 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐵 / 𝐴) − (𝐴 / 𝐴)) = ((𝐵 / 𝐴) − 1))
159157, 158eqtrd 2773 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐵𝐴) / 𝐴) = ((𝐵 / 𝐴) − 1))
160159fveq2d 6893 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℑ‘((𝐵𝐴) / 𝐴)) = (ℑ‘((𝐵 / 𝐴) − 1)))
161 imsub 15079 . . . . . . . . . . 11 (((𝐵 / 𝐴) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (ℑ‘((𝐵 / 𝐴) − 1)) = ((ℑ‘(𝐵 / 𝐴)) − (ℑ‘1)))
16230, 88, 161sylancl 587 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (ℑ‘((𝐵 / 𝐴) − 1)) = ((ℑ‘(𝐵 / 𝐴)) − (ℑ‘1)))
163 im1 15099 . . . . . . . . . . 11 (ℑ‘1) = 0
164163oveq2i 7417 . . . . . . . . . 10 ((ℑ‘(𝐵 / 𝐴)) − (ℑ‘1)) = ((ℑ‘(𝐵 / 𝐴)) − 0)
165162, 164eqtrdi 2789 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℑ‘((𝐵 / 𝐴) − 1)) = ((ℑ‘(𝐵 / 𝐴)) − 0))
166144subid1d 11557 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((ℑ‘(𝐵 / 𝐴)) − 0) = (ℑ‘(𝐵 / 𝐴)))
167160, 165, 1663eqtrrd 2778 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℑ‘(𝐵 / 𝐴)) = (ℑ‘((𝐵𝐴) / 𝐴)))
168167fveq2d 6893 . . . . . . 7 (𝜑 → (abs‘(ℑ‘(𝐵 / 𝐴))) = (abs‘(ℑ‘((𝐵𝐴) / 𝐴))))
1695, 14abssubd 15397 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (abs‘(𝐴𝐵)) = (abs‘(𝐵𝐴)))
170169oveq1d 7421 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((abs‘(𝐴𝐵)) / (abs‘𝐴)) = ((abs‘(𝐵𝐴)) / (abs‘𝐴)))
171153, 5, 7absdivd 15399 . . . . . . . 8 (𝜑 → (abs‘((𝐵𝐴) / 𝐴)) = ((abs‘(𝐵𝐴)) / (abs‘𝐴)))
172170, 171eqtr4d 2776 . . . . . . 7 (𝜑 → ((abs‘(𝐴𝐵)) / (abs‘𝐴)) = (abs‘((𝐵𝐴) / 𝐴)))
173156, 168, 1723brtr4d 5180 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘(ℑ‘(𝐵 / 𝐴))) ≤ ((abs‘(𝐴𝐵)) / (abs‘𝐴)))
17465, 59resubcld 11639 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((abs‘𝐴) − (abs‘(𝐴𝐵))) ∈ ℝ)
175174, 66remulcld 11241 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((abs‘𝐴) − (abs‘(𝐴𝐵))) · 𝑅) ∈ ℝ)
17665, 152remulcld 11241 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((abs‘𝐴) · ((ℜ‘(𝐵 / 𝐴)) · 𝑅)) ∈ ℝ)
17759recnd 11239 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (abs‘(𝐴𝐵)) ∈ ℂ)
17888a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
179177, 178, 87adddid 11235 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((abs‘(𝐴𝐵)) · (1 + 𝑅)) = (((abs‘(𝐴𝐵)) · 1) + ((abs‘(𝐴𝐵)) · 𝑅)))
180177mulridd 11228 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((abs‘(𝐴𝐵)) · 1) = (abs‘(𝐴𝐵)))
181180oveq1d 7421 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((abs‘(𝐴𝐵)) · 1) + ((abs‘(𝐴𝐵)) · 𝑅)) = ((abs‘(𝐴𝐵)) + ((abs‘(𝐴𝐵)) · 𝑅)))
182179, 181eqtrd 2773 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((abs‘(𝐴𝐵)) · (1 + 𝑅)) = ((abs‘(𝐴𝐵)) + ((abs‘(𝐴𝐵)) · 𝑅)))
18369rpne0d 13018 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (1 + 𝑅) ≠ 0)
184101, 87, 93, 183divassd 12022 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((abs‘𝐴) · 𝑅) / (1 + 𝑅)) = ((abs‘𝐴) · (𝑅 / (1 + 𝑅))))
185184, 34eqtr4di 2791 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((abs‘𝐴) · 𝑅) / (1 + 𝑅)) = 𝑇)
18684, 185breqtrrd 5176 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (abs‘(𝐴𝐵)) < (((abs‘𝐴) · 𝑅) / (1 + 𝑅)))
18765, 66remulcld 11241 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((abs‘𝐴) · 𝑅) ∈ ℝ)
18859, 187, 69ltmuldivd 13060 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((abs‘(𝐴𝐵)) · (1 + 𝑅)) < ((abs‘𝐴) · 𝑅) ↔ (abs‘(𝐴𝐵)) < (((abs‘𝐴) · 𝑅) / (1 + 𝑅))))
189186, 188mpbird 257 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((abs‘(𝐴𝐵)) · (1 + 𝑅)) < ((abs‘𝐴) · 𝑅))
190182, 189eqbrtrrd 5172 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((abs‘(𝐴𝐵)) + ((abs‘(𝐴𝐵)) · 𝑅)) < ((abs‘𝐴) · 𝑅))
19159, 66remulcld 11241 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((abs‘(𝐴𝐵)) · 𝑅) ∈ ℝ)
19259, 191, 187ltaddsubd 11811 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((abs‘(𝐴𝐵)) + ((abs‘(𝐴𝐵)) · 𝑅)) < ((abs‘𝐴) · 𝑅) ↔ (abs‘(𝐴𝐵)) < (((abs‘𝐴) · 𝑅) − ((abs‘(𝐴𝐵)) · 𝑅))))
193190, 192mpbid 231 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (abs‘(𝐴𝐵)) < (((abs‘𝐴) · 𝑅) − ((abs‘(𝐴𝐵)) · 𝑅)))
194101, 177, 87subdird 11668 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((abs‘𝐴) − (abs‘(𝐴𝐵))) · 𝑅) = (((abs‘𝐴) · 𝑅) − ((abs‘(𝐴𝐵)) · 𝑅)))
195193, 194breqtrrd 5176 . . . . . . . 8 (𝜑 → (abs‘(𝐴𝐵)) < (((abs‘𝐴) − (abs‘(𝐴𝐵))) · 𝑅))
19660rpne0d 13018 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (abs‘𝐴) ≠ 0)
197101, 177, 101, 196divsubdird 12026 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((abs‘𝐴) − (abs‘(𝐴𝐵))) / (abs‘𝐴)) = (((abs‘𝐴) / (abs‘𝐴)) − ((abs‘(𝐴𝐵)) / (abs‘𝐴))))
198101, 196dividd 11985 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((abs‘𝐴) / (abs‘𝐴)) = 1)
199198oveq1d 7421 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((abs‘𝐴) / (abs‘𝐴)) − ((abs‘(𝐴𝐵)) / (abs‘𝐴))) = (1 − ((abs‘(𝐴𝐵)) / (abs‘𝐴))))
200197, 199eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((abs‘𝐴) − (abs‘(𝐴𝐵))) / (abs‘𝐴)) = (1 − ((abs‘(𝐴𝐵)) / (abs‘𝐴))))
201200, 127eqbrtrd 5170 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((abs‘𝐴) − (abs‘(𝐴𝐵))) / (abs‘𝐴)) ≤ (ℜ‘(𝐵 / 𝐴)))
202174, 64, 60ledivmuld 13066 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((((abs‘𝐴) − (abs‘(𝐴𝐵))) / (abs‘𝐴)) ≤ (ℜ‘(𝐵 / 𝐴)) ↔ ((abs‘𝐴) − (abs‘(𝐴𝐵))) ≤ ((abs‘𝐴) · (ℜ‘(𝐵 / 𝐴)))))
203201, 202mpbid 231 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((abs‘𝐴) − (abs‘(𝐴𝐵))) ≤ ((abs‘𝐴) · (ℜ‘(𝐵 / 𝐴))))
20465, 64remulcld 11241 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((abs‘𝐴) · (ℜ‘(𝐵 / 𝐴))) ∈ ℝ)
205174, 204, 35lemul1d 13056 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((abs‘𝐴) − (abs‘(𝐴𝐵))) ≤ ((abs‘𝐴) · (ℜ‘(𝐵 / 𝐴))) ↔ (((abs‘𝐴) − (abs‘(𝐴𝐵))) · 𝑅) ≤ (((abs‘𝐴) · (ℜ‘(𝐵 / 𝐴))) · 𝑅)))
206203, 205mpbid 231 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((abs‘𝐴) − (abs‘(𝐴𝐵))) · 𝑅) ≤ (((abs‘𝐴) · (ℜ‘(𝐵 / 𝐴))) · 𝑅))
207101, 145, 87mulassd 11234 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((abs‘𝐴) · (ℜ‘(𝐵 / 𝐴))) · 𝑅) = ((abs‘𝐴) · ((ℜ‘(𝐵 / 𝐴)) · 𝑅)))
208206, 207breqtrd 5174 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((abs‘𝐴) − (abs‘(𝐴𝐵))) · 𝑅) ≤ ((abs‘𝐴) · ((ℜ‘(𝐵 / 𝐴)) · 𝑅)))
20959, 175, 176, 195, 208ltletrd 11371 . . . . . . 7 (𝜑 → (abs‘(𝐴𝐵)) < ((abs‘𝐴) · ((ℜ‘(𝐵 / 𝐴)) · 𝑅)))
21059, 152, 60ltdivmuld 13064 . . . . . . 7 (𝜑 → (((abs‘(𝐴𝐵)) / (abs‘𝐴)) < ((ℜ‘(𝐵 / 𝐴)) · 𝑅) ↔ (abs‘(𝐴𝐵)) < ((abs‘𝐴) · ((ℜ‘(𝐵 / 𝐴)) · 𝑅))))
211209, 210mpbird 257 . . . . . 6 (𝜑 → ((abs‘(𝐴𝐵)) / (abs‘𝐴)) < ((ℜ‘(𝐵 / 𝐴)) · 𝑅))
212151, 61, 152, 173, 211lelttrd 11369 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘(ℑ‘(𝐵 / 𝐴))) < ((ℜ‘(𝐵 / 𝐴)) · 𝑅))
213 ltdivmul 12086 . . . . . 6 (((abs‘(ℑ‘(𝐵 / 𝐴))) ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ ∧ ((ℜ‘(𝐵 / 𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 < (ℜ‘(𝐵 / 𝐴)))) → (((abs‘(ℑ‘(𝐵 / 𝐴))) / (ℜ‘(𝐵 / 𝐴))) < 𝑅 ↔ (abs‘(ℑ‘(𝐵 / 𝐴))) < ((ℜ‘(𝐵 / 𝐴)) · 𝑅)))
214151, 66, 64, 128, 213syl112anc 1375 . . . . 5 (𝜑 → (((abs‘(ℑ‘(𝐵 / 𝐴))) / (ℜ‘(𝐵 / 𝐴))) < 𝑅 ↔ (abs‘(ℑ‘(𝐵 / 𝐴))) < ((ℜ‘(𝐵 / 𝐴)) · 𝑅)))
215212, 214mpbird 257 . . . 4 (𝜑 → ((abs‘(ℑ‘(𝐵 / 𝐴))) / (ℜ‘(𝐵 / 𝐴))) < 𝑅)
216150, 215eqbrtrd 5170 . . 3 (𝜑 → (abs‘(tan‘(ℑ‘(log‘(𝐵 / 𝐴))))) < 𝑅)
21755, 136, 66, 138, 216lelttrd 11369 . 2 (𝜑 → (abs‘(ℑ‘(log‘(𝐵 / 𝐴)))) < 𝑅)
21851, 217eqbrtrd 5170 1 (𝜑 → (abs‘((ℑ‘(log‘𝐴)) − (ℑ‘(log‘𝐵)))) < 𝑅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2941  cdif 3945  ifcif 4528   class class class wbr 5148  ran crn 5677  cfv 6541  (class class class)co 7406  cc 11105  cr 11106  0cc0 11107  1c1 11108   + caddc 11110   · cmul 11112  -∞cmnf 11243   < clt 11245  cle 11246  cmin 11441  -cneg 11442   / cdiv 11868  2c2 12264  +crp 12971  (,)cioo 13321  (,]cioc 13322  cre 15041  cim 15042  abscabs 15178  expce 16002  cosccos 16005  tanctan 16006  πcpi 16007  logclog 26055
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-inf2 9633  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185  ax-addf 11186  ax-mulf 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-isom 6550  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-supp 8144  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-1o 8463  df-2o 8464  df-er 8700  df-map 8819  df-pm 8820  df-ixp 8889  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-fsupp 9359  df-fi 9403  df-sup 9434  df-inf 9435  df-oi 9502  df-card 9931  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-5 12275  df-6 12276  df-7 12277  df-8 12278  df-9 12279  df-n0 12470  df-z 12556  df-dec 12675  df-uz 12820  df-q 12930  df-rp 12972  df-xneg 13089  df-xadd 13090  df-xmul 13091  df-ioo 13325  df-ioc 13326  df-ico 13327  df-icc 13328  df-fz 13482  df-fzo 13625  df-fl 13754  df-mod 13832  df-seq 13964  df-exp 14025  df-fac 14231  df-bc 14260  df-hash 14288  df-shft 15011  df-cj 15043  df-re 15044  df-im 15045  df-sqrt 15179  df-abs 15180  df-limsup 15412  df-clim 15429  df-rlim 15430  df-sum 15630  df-ef 16008  df-sin 16010  df-cos 16011  df-tan 16012  df-pi 16013  df-struct 17077  df-sets 17094  df-slot 17112  df-ndx 17124  df-base 17142  df-ress 17171  df-plusg 17207  df-mulr 17208  df-starv 17209  df-sca 17210  df-vsca 17211  df-ip 17212  df-tset 17213  df-ple 17214  df-ds 17216  df-unif 17217  df-hom 17218  df-cco 17219  df-rest 17365  df-topn 17366  df-0g 17384  df-gsum 17385  df-topgen 17386  df-pt 17387  df-prds 17390  df-xrs 17445  df-qtop 17450  df-imas 17451  df-xps 17453  df-mre 17527  df-mrc 17528  df-acs 17530  df-mgm 18558  df-sgrp 18607  df-mnd 18623  df-submnd 18669  df-mulg 18946  df-cntz 19176  df-cmn 19645  df-psmet 20929  df-xmet 20930  df-met 20931  df-bl 20932  df-mopn 20933  df-fbas 20934  df-fg 20935  df-cnfld 20938  df-top 22388  df-topon 22405  df-topsp 22427  df-bases 22441  df-cld 22515  df-ntr 22516  df-cls 22517  df-nei 22594  df-lp 22632  df-perf 22633  df-cn 22723  df-cnp 22724  df-haus 22811  df-tx 23058  df-hmeo 23251  df-fil 23342  df-fm 23434  df-flim 23435  df-flf 23436  df-xms 23818  df-ms 23819  df-tms 23820  df-cncf 24386  df-limc 25375  df-dv 25376  df-log 26057
This theorem is referenced by:  logcnlem5  26146
  Copyright terms: Public domain W3C validator