Theorem logcnlem4 26561

Description: Lemma for logcn 26563. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
logcn.d	⊢ 𝐷 = (ℂ ∖ (-∞(,]0))
logcnlem.s	⊢ 𝑆 = if(𝐴 ∈ ℝ+, 𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐴)))
logcnlem.t	⊢ 𝑇 = ((abs‘𝐴) · (𝑅 / (1 + 𝑅)))
logcnlem.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐷)
logcnlem.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ+)
logcnlem.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐷)
logcnlem.l	⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) < if(𝑆 ≤ 𝑇, 𝑆, 𝑇))

Assertion

Ref	Expression
logcnlem4	⊢ (𝜑 → (abs‘((ℑ‘(log‘𝐴)) − (ℑ‘(log‘𝐵)))) < 𝑅)

Proof of Theorem logcnlem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		logcnlem.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐷)
2		logcn.d	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐷 = (ℂ ∖ (-∞(,]0))
3	2	ellogdm 26555	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐷 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ+)))
4	3	simplbi 497	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐷 → 𝐴 ∈ ℂ)
5	1, 4	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
6	2	logdmn0 26556	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐷 → 𝐴 ≠ 0)
7	1, 6	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
8	5, 7	logcld 26486	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (log‘𝐴) ∈ ℂ)
9	8	imcld 15168	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℝ)
10	9	recnd 11209	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℂ)
11		logcnlem.b	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐷)
12	2	ellogdm 26555	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐷 ↔ (𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℝ+)))
13	12	simplbi 497	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐷 → 𝐵 ∈ ℂ)
14	11, 13	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
15	2	logdmn0 26556	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐷 → 𝐵 ≠ 0)
16	11, 15	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
17	14, 16	logcld 26486	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (log‘𝐵) ∈ ℂ)
18	17	imcld 15168	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘(log‘𝐵)) ∈ ℝ)
19	18	recnd 11209	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘(log‘𝐵)) ∈ ℂ)
20	10, 19	abssubd 15429	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘((ℑ‘(log‘𝐴)) − (ℑ‘(log‘𝐵)))) = (abs‘((ℑ‘(log‘𝐵)) − (ℑ‘(log‘𝐴)))))
21	17, 8	imsubd 15190	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘((log‘𝐵) − (log‘𝐴))) = ((ℑ‘(log‘𝐵)) − (ℑ‘(log‘𝐴))))
22		efsub 16075	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((log‘𝐵) ∈ ℂ ∧ (log‘𝐴) ∈ ℂ) → (exp‘((log‘𝐵) − (log‘𝐴))) = ((exp‘(log‘𝐵)) / (exp‘(log‘𝐴))))
23	17, 8, 22	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (exp‘((log‘𝐵) − (log‘𝐴))) = ((exp‘(log‘𝐵)) / (exp‘(log‘𝐴))))
24		eflog 26492	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (exp‘(log‘𝐵)) = 𝐵)
25	14, 16, 24	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (exp‘(log‘𝐵)) = 𝐵)
26		eflog 26492	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (exp‘(log‘𝐴)) = 𝐴)
27	5, 7, 26	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (exp‘(log‘𝐴)) = 𝐴)
28	25, 27	oveq12d 7408	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((exp‘(log‘𝐵)) / (exp‘(log‘𝐴))) = (𝐵 / 𝐴))
29	23, 28	eqtrd 2765	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (exp‘((log‘𝐵) − (log‘𝐴))) = (𝐵 / 𝐴))
30	14, 5, 7	divcld 11965	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐵 / 𝐴) ∈ ℂ)
31	14, 5, 16, 7	divne0d 11981	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐵 / 𝐴) ≠ 0)
32	17, 8	subcld 11540	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((log‘𝐵) − (log‘𝐴)) ∈ ℂ)
33		logcnlem.s	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑆 = if(𝐴 ∈ ℝ+, 𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐴)))
34		logcnlem.t	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑇 = ((abs‘𝐴) · (𝑅 / (1 + 𝑅)))
35		logcnlem.r	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ+)
36		logcnlem.l	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) < if(𝑆 ≤ 𝑇, 𝑆, 𝑇))
37	2, 33, 34, 1, 35, 11, 36	logcnlem3 26560	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (-π < ((ℑ‘(log‘𝐵)) − (ℑ‘(log‘𝐴))) ∧ ((ℑ‘(log‘𝐵)) − (ℑ‘(log‘𝐴))) ≤ π))
38	37	simpld 494	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → -π < ((ℑ‘(log‘𝐵)) − (ℑ‘(log‘𝐴))))
39	38, 21	breqtrrd 5138	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → -π < (ℑ‘((log‘𝐵) − (log‘𝐴))))
40	37	simprd 495	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((ℑ‘(log‘𝐵)) − (ℑ‘(log‘𝐴))) ≤ π)
41	21, 40	eqbrtrd 5132	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘((log‘𝐵) − (log‘𝐴))) ≤ π)
42		ellogrn 26475	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((log‘𝐵) − (log‘𝐴)) ∈ ran log ↔ (((log‘𝐵) − (log‘𝐴)) ∈ ℂ ∧ -π < (ℑ‘((log‘𝐵) − (log‘𝐴))) ∧ (ℑ‘((log‘𝐵) − (log‘𝐴))) ≤ π))
43	32, 39, 41, 42	syl3anbrc 1344	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((log‘𝐵) − (log‘𝐴)) ∈ ran log)
44		logeftb 26499	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐵 / 𝐴) ∈ ℂ ∧ (𝐵 / 𝐴) ≠ 0 ∧ ((log‘𝐵) − (log‘𝐴)) ∈ ran log) → ((log‘(𝐵 / 𝐴)) = ((log‘𝐵) − (log‘𝐴)) ↔ (exp‘((log‘𝐵) − (log‘𝐴))) = (𝐵 / 𝐴)))
45	30, 31, 43, 44	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((log‘(𝐵 / 𝐴)) = ((log‘𝐵) − (log‘𝐴)) ↔ (exp‘((log‘𝐵) − (log‘𝐴))) = (𝐵 / 𝐴)))
46	29, 45	mpbird 257	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (log‘(𝐵 / 𝐴)) = ((log‘𝐵) − (log‘𝐴)))
47	46	eqcomd 2736	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((log‘𝐵) − (log‘𝐴)) = (log‘(𝐵 / 𝐴)))
48	47	fveq2d 6865	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘((log‘𝐵) − (log‘𝐴))) = (ℑ‘(log‘(𝐵 / 𝐴))))
49	21, 48	eqtr3d 2767	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((ℑ‘(log‘𝐵)) − (ℑ‘(log‘𝐴))) = (ℑ‘(log‘(𝐵 / 𝐴))))
50	49	fveq2d 6865	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘((ℑ‘(log‘𝐵)) − (ℑ‘(log‘𝐴)))) = (abs‘(ℑ‘(log‘(𝐵 / 𝐴)))))
51	20, 50	eqtrd 2765	. 2 ⊢ (𝜑 → (abs‘((ℑ‘(log‘𝐴)) − (ℑ‘(log‘𝐵)))) = (abs‘(ℑ‘(log‘(𝐵 / 𝐴)))))
52	30, 31	logcld 26486	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (log‘(𝐵 / 𝐴)) ∈ ℂ)
53	52	imcld 15168	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘(log‘(𝐵 / 𝐴))) ∈ ℝ)
54	53	recnd 11209	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘(log‘(𝐵 / 𝐴))) ∈ ℂ)
55	54	abscld 15412	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘(ℑ‘(log‘(𝐵 / 𝐴)))) ∈ ℝ)
56		0red 11184	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
57		1re 11181	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℝ
58	5, 14	subcld 11540	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
59	58	abscld 15412	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ ℝ)
60	5, 7	absrpcld 15424	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) ∈ ℝ+)
61	59, 60	rerpdivcld 13033	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / (abs‘𝐴)) ∈ ℝ)
62		resubcl 11493	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / (abs‘𝐴)) ∈ ℝ) → (1 − ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / (abs‘𝐴))) ∈ ℝ)
63	57, 61, 62	sylancr 587	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (1 − ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / (abs‘𝐴))) ∈ ℝ)
64	30	recld 15167	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (ℜ‘(𝐵 / 𝐴)) ∈ ℝ)
65	5	abscld 15412	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
66	35	rpred 13002	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ)
67		1rp 12962	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 1 ∈ ℝ+
68		rpaddcl 12982	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((1 ∈ ℝ+ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (1 + 𝑅) ∈ ℝ+)
69	67, 35, 68	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (1 + 𝑅) ∈ ℝ+)
70	66, 69	rerpdivcld 13033	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝑅 / (1 + 𝑅)) ∈ ℝ)
71	65, 70	remulcld 11211	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝐴) · (𝑅 / (1 + 𝑅))) ∈ ℝ)
72	34, 71	eqeltrid 2833	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ)
73		rpre 12967	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℝ)
74	73	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℝ)
75	5	imcld 15168	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
76	75	recnd 11209	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ)
77	76	abscld 15412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (abs‘(ℑ‘𝐴)) ∈ ℝ)
78	77	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ+) → (abs‘(ℑ‘𝐴)) ∈ ℝ)
79	74, 78	ifclda 4527	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → if(𝐴 ∈ ℝ+, 𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐴))) ∈ ℝ)
80	33, 79	eqeltrid 2833	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℝ)
81		ltmin 13161	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) < if(𝑆 ≤ 𝑇, 𝑆, 𝑇) ↔ ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) < 𝑆 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝐵)) < 𝑇)))
82	59, 80, 72, 81	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) < if(𝑆 ≤ 𝑇, 𝑆, 𝑇) ↔ ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) < 𝑆 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝐵)) < 𝑇)))
83	36, 82	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) < 𝑆 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝐵)) < 𝑇))
84	83	simprd 495	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) < 𝑇)
85	69	rpred 13002	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (1 + 𝑅) ∈ ℝ)
86	66	ltp1d 12120	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 𝑅 < (𝑅 + 1))
87	66	recnd 11209	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℂ)
88		ax-1cn 11133	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 1 ∈ ℂ
89		addcom 11367	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑅 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑅 + 1) = (1 + 𝑅))
90	87, 88, 89	sylancl 586	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → (𝑅 + 1) = (1 + 𝑅))
91	86, 90	breqtrd 5136	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → 𝑅 < (1 + 𝑅))
92	66, 85, 91	ltled 11329	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ≤ (1 + 𝑅))
93	85	recnd 11209	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (1 + 𝑅) ∈ ℂ)
94	93	mulridd 11198	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → ((1 + 𝑅) · 1) = (1 + 𝑅))
95	92, 94	breqtrrd 5138	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ≤ ((1 + 𝑅) · 1))
96	57	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
97	66, 96, 69	ledivmuld 13055	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 / (1 + 𝑅)) ≤ 1 ↔ 𝑅 ≤ ((1 + 𝑅) · 1)))
98	95, 97	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝑅 / (1 + 𝑅)) ≤ 1)
99	70, 96, 60	lemul2d 13046	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 / (1 + 𝑅)) ≤ 1 ↔ ((abs‘𝐴) · (𝑅 / (1 + 𝑅))) ≤ ((abs‘𝐴) · 1)))
100	98, 99	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝐴) · (𝑅 / (1 + 𝑅))) ≤ ((abs‘𝐴) · 1))
101	65	recnd 11209	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) ∈ ℂ)
102	101	mulridd 11198	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝐴) · 1) = (abs‘𝐴))
103	100, 102	breqtrd 5136	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝐴) · (𝑅 / (1 + 𝑅))) ≤ (abs‘𝐴))
104	34, 103	eqbrtrid 5145	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ≤ (abs‘𝐴))
105	59, 72, 65, 84, 104	ltletrd 11341	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) < (abs‘𝐴))
106	105, 102	breqtrrd 5138	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) < ((abs‘𝐴) · 1))
107	59, 96, 60	ltdivmuld 13053	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / (abs‘𝐴)) < 1 ↔ (abs‘(𝐴 − 𝐵)) < ((abs‘𝐴) · 1)))
108	106, 107	mpbird 257	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / (abs‘𝐴)) < 1)
109		posdif 11678	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / (abs‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / (abs‘𝐴)) < 1 ↔ 0 < (1 − ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / (abs‘𝐴)))))
110	61, 57, 109	sylancl 586	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / (abs‘𝐴)) < 1 ↔ 0 < (1 − ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / (abs‘𝐴)))))
111	108, 110	mpbid 232	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 < (1 − ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / (abs‘𝐴))))
112	58, 5, 7	divcld 11965	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) / 𝐴) ∈ ℂ)
113	112	releabsd 15427	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (ℜ‘((𝐴 − 𝐵) / 𝐴)) ≤ (abs‘((𝐴 − 𝐵) / 𝐴)))
114	5, 14, 5, 7	divsubdird 12004	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) / 𝐴) = ((𝐴 / 𝐴) − (𝐵 / 𝐴)))
115	5, 7	dividd 11963	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐴) = 1)
116	115	oveq1d 7405	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 𝐴) − (𝐵 / 𝐴)) = (1 − (𝐵 / 𝐴)))
117	114, 116	eqtrd 2765	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) / 𝐴) = (1 − (𝐵 / 𝐴)))
118	117	fveq2d 6865	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (ℜ‘((𝐴 − 𝐵) / 𝐴)) = (ℜ‘(1 − (𝐵 / 𝐴))))
119		resub 15100	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (𝐵 / 𝐴) ∈ ℂ) → (ℜ‘(1 − (𝐵 / 𝐴))) = ((ℜ‘1) − (ℜ‘(𝐵 / 𝐴))))
120	88, 30, 119	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (ℜ‘(1 − (𝐵 / 𝐴))) = ((ℜ‘1) − (ℜ‘(𝐵 / 𝐴))))
121	118, 120	eqtrd 2765	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (ℜ‘((𝐴 − 𝐵) / 𝐴)) = ((ℜ‘1) − (ℜ‘(𝐵 / 𝐴))))
122		re1 15127	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (ℜ‘1) = 1
123	122	oveq1i 7400	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((ℜ‘1) − (ℜ‘(𝐵 / 𝐴))) = (1 − (ℜ‘(𝐵 / 𝐴)))
124	121, 123	eqtrdi 2781	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (ℜ‘((𝐴 − 𝐵) / 𝐴)) = (1 − (ℜ‘(𝐵 / 𝐴))))
125	58, 5, 7	absdivd 15431	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐴 − 𝐵) / 𝐴)) = ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / (abs‘𝐴)))
126	113, 124, 125	3brtr3d 5141	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (1 − (ℜ‘(𝐵 / 𝐴))) ≤ ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / (abs‘𝐴)))
127	96, 64, 61, 126	subled 11788	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (1 − ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / (abs‘𝐴))) ≤ (ℜ‘(𝐵 / 𝐴)))
128	56, 63, 64, 111, 127	ltletrd 11341	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 < (ℜ‘(𝐵 / 𝐴)))
129		argregt0 26526	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐵 / 𝐴) ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘(𝐵 / 𝐴))) → (ℑ‘(log‘(𝐵 / 𝐴))) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)))
130	30, 128, 129	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘(log‘(𝐵 / 𝐴))) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)))
131		cosq14gt0 26426	. . . . . . . 8 ⊢ ((ℑ‘(log‘(𝐵 / 𝐴))) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) → 0 < (cos‘(ℑ‘(log‘(𝐵 / 𝐴)))))
132	130, 131	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 < (cos‘(ℑ‘(log‘(𝐵 / 𝐴)))))
133	132	gt0ne0d 11749	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (cos‘(ℑ‘(log‘(𝐵 / 𝐴)))) ≠ 0)
134	53, 133	retancld 16120	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (tan‘(ℑ‘(log‘(𝐵 / 𝐴)))) ∈ ℝ)
135	134	recnd 11209	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (tan‘(ℑ‘(log‘(𝐵 / 𝐴)))) ∈ ℂ)
136	135	abscld 15412	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘(tan‘(ℑ‘(log‘(𝐵 / 𝐴))))) ∈ ℝ)
137		tanabsge 26422	. . . 4 ⊢ ((ℑ‘(log‘(𝐵 / 𝐴))) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) → (abs‘(ℑ‘(log‘(𝐵 / 𝐴)))) ≤ (abs‘(tan‘(ℑ‘(log‘(𝐵 / 𝐴))))))
138	130, 137	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘(ℑ‘(log‘(𝐵 / 𝐴)))) ≤ (abs‘(tan‘(ℑ‘(log‘(𝐵 / 𝐴))))))
139	128	gt0ne0d 11749	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ℜ‘(𝐵 / 𝐴)) ≠ 0)
140		tanarg 26535	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 / 𝐴) ∈ ℂ ∧ (ℜ‘(𝐵 / 𝐴)) ≠ 0) → (tan‘(ℑ‘(log‘(𝐵 / 𝐴)))) = ((ℑ‘(𝐵 / 𝐴)) / (ℜ‘(𝐵 / 𝐴))))
141	30, 139, 140	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (tan‘(ℑ‘(log‘(𝐵 / 𝐴)))) = ((ℑ‘(𝐵 / 𝐴)) / (ℜ‘(𝐵 / 𝐴))))
142	141	fveq2d 6865	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘(tan‘(ℑ‘(log‘(𝐵 / 𝐴))))) = (abs‘((ℑ‘(𝐵 / 𝐴)) / (ℜ‘(𝐵 / 𝐴)))))
143	30	imcld 15168	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘(𝐵 / 𝐴)) ∈ ℝ)
144	143	recnd 11209	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘(𝐵 / 𝐴)) ∈ ℂ)
145	64	recnd 11209	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℜ‘(𝐵 / 𝐴)) ∈ ℂ)
146	144, 145, 139	absdivd 15431	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘((ℑ‘(𝐵 / 𝐴)) / (ℜ‘(𝐵 / 𝐴)))) = ((abs‘(ℑ‘(𝐵 / 𝐴))) / (abs‘(ℜ‘(𝐵 / 𝐴)))))
147	56, 64, 128	ltled 11329	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / 𝐴)))
148	64, 147	absidd 15396	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘(ℜ‘(𝐵 / 𝐴))) = (ℜ‘(𝐵 / 𝐴)))
149	148	oveq2d 7406	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(ℑ‘(𝐵 / 𝐴))) / (abs‘(ℜ‘(𝐵 / 𝐴)))) = ((abs‘(ℑ‘(𝐵 / 𝐴))) / (ℜ‘(𝐵 / 𝐴))))
150	142, 146, 149	3eqtrd 2769	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs‘(tan‘(ℑ‘(log‘(𝐵 / 𝐴))))) = ((abs‘(ℑ‘(𝐵 / 𝐴))) / (ℜ‘(𝐵 / 𝐴))))
151	144	abscld 15412	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘(ℑ‘(𝐵 / 𝐴))) ∈ ℝ)
152	64, 66	remulcld 11211	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((ℜ‘(𝐵 / 𝐴)) · 𝑅) ∈ ℝ)
153	14, 5	subcld 11540	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℂ)
154	153, 5, 7	divcld 11965	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝐴) / 𝐴) ∈ ℂ)
155		absimle 15282	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵 − 𝐴) / 𝐴) ∈ ℂ → (abs‘(ℑ‘((𝐵 − 𝐴) / 𝐴))) ≤ (abs‘((𝐵 − 𝐴) / 𝐴)))
156	154, 155	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘(ℑ‘((𝐵 − 𝐴) / 𝐴))) ≤ (abs‘((𝐵 − 𝐴) / 𝐴)))
157	14, 5, 5, 7	divsubdird 12004	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝐴) / 𝐴) = ((𝐵 / 𝐴) − (𝐴 / 𝐴)))
158	115	oveq2d 7406	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 / 𝐴) − (𝐴 / 𝐴)) = ((𝐵 / 𝐴) − 1))
159	157, 158	eqtrd 2765	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝐴) / 𝐴) = ((𝐵 / 𝐴) − 1))
160	159	fveq2d 6865	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘((𝐵 − 𝐴) / 𝐴)) = (ℑ‘((𝐵 / 𝐴) − 1)))
161		imsub 15108	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵 / 𝐴) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (ℑ‘((𝐵 / 𝐴) − 1)) = ((ℑ‘(𝐵 / 𝐴)) − (ℑ‘1)))
162	30, 88, 161	sylancl 586	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘((𝐵 / 𝐴) − 1)) = ((ℑ‘(𝐵 / 𝐴)) − (ℑ‘1)))
163		im1 15128	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℑ‘1) = 0
164	163	oveq2i 7401	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((ℑ‘(𝐵 / 𝐴)) − (ℑ‘1)) = ((ℑ‘(𝐵 / 𝐴)) − 0)
165	162, 164	eqtrdi 2781	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘((𝐵 / 𝐴) − 1)) = ((ℑ‘(𝐵 / 𝐴)) − 0))
166	144	subid1d 11529	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((ℑ‘(𝐵 / 𝐴)) − 0) = (ℑ‘(𝐵 / 𝐴)))
167	160, 165, 166	3eqtrrd 2770	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘(𝐵 / 𝐴)) = (ℑ‘((𝐵 − 𝐴) / 𝐴)))
168	167	fveq2d 6865	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘(ℑ‘(𝐵 / 𝐴))) = (abs‘(ℑ‘((𝐵 − 𝐴) / 𝐴))))
169	5, 14	abssubd 15429	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) = (abs‘(𝐵 − 𝐴)))
170	169	oveq1d 7405	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / (abs‘𝐴)) = ((abs‘(𝐵 − 𝐴)) / (abs‘𝐴)))
171	153, 5, 7	absdivd 15431	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐵 − 𝐴) / 𝐴)) = ((abs‘(𝐵 − 𝐴)) / (abs‘𝐴)))
172	170, 171	eqtr4d 2768	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / (abs‘𝐴)) = (abs‘((𝐵 − 𝐴) / 𝐴)))
173	156, 168, 172	3brtr4d 5142	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘(ℑ‘(𝐵 / 𝐴))) ≤ ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / (abs‘𝐴)))
174	65, 59	resubcld 11613	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝐴) − (abs‘(𝐴 − 𝐵))) ∈ ℝ)
175	174, 66	remulcld 11211	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((abs‘𝐴) − (abs‘(𝐴 − 𝐵))) · 𝑅) ∈ ℝ)
176	65, 152	remulcld 11211	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝐴) · ((ℜ‘(𝐵 / 𝐴)) · 𝑅)) ∈ ℝ)
177	59	recnd 11209	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ ℂ)
178	88	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
179	177, 178, 87	adddid 11205	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) · (1 + 𝑅)) = (((abs‘(𝐴 − 𝐵)) · 1) + ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) · 𝑅)))
180	177	mulridd 11198	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) · 1) = (abs‘(𝐴 − 𝐵)))
181	180	oveq1d 7405	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((abs‘(𝐴 − 𝐵)) · 1) + ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) · 𝑅)) = ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) + ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) · 𝑅)))
182	179, 181	eqtrd 2765	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) · (1 + 𝑅)) = ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) + ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) · 𝑅)))
183	69	rpne0d 13007	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (1 + 𝑅) ≠ 0)
184	101, 87, 93, 183	divassd 12000	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (((abs‘𝐴) · 𝑅) / (1 + 𝑅)) = ((abs‘𝐴) · (𝑅 / (1 + 𝑅))))
185	184, 34	eqtr4di 2783	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (((abs‘𝐴) · 𝑅) / (1 + 𝑅)) = 𝑇)
186	84, 185	breqtrrd 5138	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) < (((abs‘𝐴) · 𝑅) / (1 + 𝑅)))
187	65, 66	remulcld 11211	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝐴) · 𝑅) ∈ ℝ)
188	59, 187, 69	ltmuldivd 13049	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((abs‘(𝐴 − 𝐵)) · (1 + 𝑅)) < ((abs‘𝐴) · 𝑅) ↔ (abs‘(𝐴 − 𝐵)) < (((abs‘𝐴) · 𝑅) / (1 + 𝑅))))
189	186, 188	mpbird 257	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) · (1 + 𝑅)) < ((abs‘𝐴) · 𝑅))
190	182, 189	eqbrtrrd 5134	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) + ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) · 𝑅)) < ((abs‘𝐴) · 𝑅))
191	59, 66	remulcld 11211	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) · 𝑅) ∈ ℝ)
192	59, 191, 187	ltaddsubd 11785	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((abs‘(𝐴 − 𝐵)) + ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) · 𝑅)) < ((abs‘𝐴) · 𝑅) ↔ (abs‘(𝐴 − 𝐵)) < (((abs‘𝐴) · 𝑅) − ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) · 𝑅))))
193	190, 192	mpbid 232	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) < (((abs‘𝐴) · 𝑅) − ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) · 𝑅)))
194	101, 177, 87	subdird 11642	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((abs‘𝐴) − (abs‘(𝐴 − 𝐵))) · 𝑅) = (((abs‘𝐴) · 𝑅) − ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) · 𝑅)))
195	193, 194	breqtrrd 5138	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) < (((abs‘𝐴) − (abs‘(𝐴 − 𝐵))) · 𝑅))
196	60	rpne0d 13007	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) ≠ 0)
197	101, 177, 101, 196	divsubdird 12004	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (((abs‘𝐴) − (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / (abs‘𝐴)) = (((abs‘𝐴) / (abs‘𝐴)) − ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / (abs‘𝐴))))
198	101, 196	dividd 11963	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝐴) / (abs‘𝐴)) = 1)
199	198	oveq1d 7405	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (((abs‘𝐴) / (abs‘𝐴)) − ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / (abs‘𝐴))) = (1 − ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / (abs‘𝐴))))
200	197, 199	eqtrd 2765	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((abs‘𝐴) − (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / (abs‘𝐴)) = (1 − ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / (abs‘𝐴))))
201	200, 127	eqbrtrd 5132	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((abs‘𝐴) − (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / (abs‘𝐴)) ≤ (ℜ‘(𝐵 / 𝐴)))
202	174, 64, 60	ledivmuld 13055	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((((abs‘𝐴) − (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / (abs‘𝐴)) ≤ (ℜ‘(𝐵 / 𝐴)) ↔ ((abs‘𝐴) − (abs‘(𝐴 − 𝐵))) ≤ ((abs‘𝐴) · (ℜ‘(𝐵 / 𝐴)))))
203	201, 202	mpbid 232	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝐴) − (abs‘(𝐴 − 𝐵))) ≤ ((abs‘𝐴) · (ℜ‘(𝐵 / 𝐴))))
204	65, 64	remulcld 11211	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝐴) · (ℜ‘(𝐵 / 𝐴))) ∈ ℝ)
205	174, 204, 35	lemul1d 13045	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((abs‘𝐴) − (abs‘(𝐴 − 𝐵))) ≤ ((abs‘𝐴) · (ℜ‘(𝐵 / 𝐴))) ↔ (((abs‘𝐴) − (abs‘(𝐴 − 𝐵))) · 𝑅) ≤ (((abs‘𝐴) · (ℜ‘(𝐵 / 𝐴))) · 𝑅)))
206	203, 205	mpbid 232	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((abs‘𝐴) − (abs‘(𝐴 − 𝐵))) · 𝑅) ≤ (((abs‘𝐴) · (ℜ‘(𝐵 / 𝐴))) · 𝑅))
207	101, 145, 87	mulassd 11204	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((abs‘𝐴) · (ℜ‘(𝐵 / 𝐴))) · 𝑅) = ((abs‘𝐴) · ((ℜ‘(𝐵 / 𝐴)) · 𝑅)))
208	206, 207	breqtrd 5136	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((abs‘𝐴) − (abs‘(𝐴 − 𝐵))) · 𝑅) ≤ ((abs‘𝐴) · ((ℜ‘(𝐵 / 𝐴)) · 𝑅)))
209	59, 175, 176, 195, 208	ltletrd 11341	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) < ((abs‘𝐴) · ((ℜ‘(𝐵 / 𝐴)) · 𝑅)))
210	59, 152, 60	ltdivmuld 13053	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / (abs‘𝐴)) < ((ℜ‘(𝐵 / 𝐴)) · 𝑅) ↔ (abs‘(𝐴 − 𝐵)) < ((abs‘𝐴) · ((ℜ‘(𝐵 / 𝐴)) · 𝑅))))
211	209, 210	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / (abs‘𝐴)) < ((ℜ‘(𝐵 / 𝐴)) · 𝑅))
212	151, 61, 152, 173, 211	lelttrd 11339	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘(ℑ‘(𝐵 / 𝐴))) < ((ℜ‘(𝐵 / 𝐴)) · 𝑅))
213		ltdivmul 12065	. . . . . 6 ⊢ (((abs‘(ℑ‘(𝐵 / 𝐴))) ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ ∧ ((ℜ‘(𝐵 / 𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 < (ℜ‘(𝐵 / 𝐴)))) → (((abs‘(ℑ‘(𝐵 / 𝐴))) / (ℜ‘(𝐵 / 𝐴))) < 𝑅 ↔ (abs‘(ℑ‘(𝐵 / 𝐴))) < ((ℜ‘(𝐵 / 𝐴)) · 𝑅)))
214	151, 66, 64, 128, 213	syl112anc 1376	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((abs‘(ℑ‘(𝐵 / 𝐴))) / (ℜ‘(𝐵 / 𝐴))) < 𝑅 ↔ (abs‘(ℑ‘(𝐵 / 𝐴))) < ((ℜ‘(𝐵 / 𝐴)) · 𝑅)))
215	212, 214	mpbird 257	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(ℑ‘(𝐵 / 𝐴))) / (ℜ‘(𝐵 / 𝐴))) < 𝑅)
216	150, 215	eqbrtrd 5132	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘(tan‘(ℑ‘(log‘(𝐵 / 𝐴))))) < 𝑅)
217	55, 136, 66, 138, 216	lelttrd 11339	. 2 ⊢ (𝜑 → (abs‘(ℑ‘(log‘(𝐵 / 𝐴)))) < 𝑅)
218	51, 217	eqbrtrd 5132	1 ⊢ (𝜑 → (abs‘((ℑ‘(log‘𝐴)) − (ℑ‘(log‘𝐵)))) < 𝑅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926   ∖ cdif 3914  ifcif 4491   class class class wbr 5110  ran crn 5642  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  ℂcc 11073  ℝcr 11074  0cc0 11075  1c1 11076   + caddc 11078   · cmul 11080  -∞cmnf 11213   < clt 11215   ≤ cle 11216   − cmin 11412  -cneg 11413   / cdiv 11842  2c2 12248  ℝ⁺crp 12958  (,)cioo 13313  (,]cioc 13314  ℜcre 15070  ℑcim 15071  abscabs 15207  expce 16034  cosccos 16037  tanctan 16038  πcpi 16039  logclog 26470

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-inf2 9601  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153  ax-addf 11154

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-se 5595  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-isom 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-of 7656  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-er 8674  df-map 8804  df-pm 8805  df-ixp 8874  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-fsupp 9320  df-fi 9369  df-sup 9400  df-inf 9401  df-oi 9470  df-card 9899  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-7 12261  df-8 12262  df-9 12263  df-n0 12450  df-z 12537  df-dec 12657  df-uz 12801  df-q 12915  df-rp 12959  df-xneg 13079  df-xadd 13080  df-xmul 13081  df-ioo 13317  df-ioc 13318  df-ico 13319  df-icc 13320  df-fz 13476  df-fzo 13623  df-fl 13761  df-mod 13839  df-seq 13974  df-exp 14034  df-fac 14246  df-bc 14275  df-hash 14303  df-shft 15040  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209  df-limsup 15444  df-clim 15461  df-rlim 15462  df-sum 15660  df-ef 16040  df-sin 16042  df-cos 16043  df-tan 16044  df-pi 16045  df-struct 17124  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-ress 17208  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-starv 17242  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-ip 17245  df-tset 17246  df-ple 17247  df-ds 17249  df-unif 17250  df-hom 17251  df-cco 17252  df-rest 17392  df-topn 17393  df-0g 17411  df-gsum 17412  df-topgen 17413  df-pt 17414  df-prds 17417  df-xrs 17472  df-qtop 17477  df-imas 17478  df-xps 17480  df-mre 17554  df-mrc 17555  df-acs 17557  df-mgm 18574  df-sgrp 18653  df-mnd 18669  df-submnd 18718  df-mulg 19007  df-cntz 19256  df-cmn 19719  df-psmet 21263  df-xmet 21264  df-met 21265  df-bl 21266  df-mopn 21267  df-fbas 21268  df-fg 21269  df-cnfld 21272  df-top 22788  df-topon 22805  df-topsp 22827  df-bases 22840  df-cld 22913  df-ntr 22914  df-cls 22915  df-nei 22992  df-lp 23030  df-perf 23031  df-cn 23121  df-cnp 23122  df-haus 23209  df-tx 23456  df-hmeo 23649  df-fil 23740  df-fm 23832  df-flim 23833  df-flf 23834  df-xms 24215  df-ms 24216  df-tms 24217  df-cncf 24778  df-limc 25774  df-dv 25775  df-log 26472

This theorem is referenced by:  logcnlem5  26562