Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  logcnlem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem logcnlem4 25335
 Description: Lemma for logcn 25337. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
logcn.d 𝐷 = (ℂ ∖ (-∞(,]0))
logcnlem.s 𝑆 = if(𝐴 ∈ ℝ+, 𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐴)))
logcnlem.t 𝑇 = ((abs‘𝐴) · (𝑅 / (1 + 𝑅)))
logcnlem.a (𝜑𝐴𝐷)
logcnlem.r (𝜑𝑅 ∈ ℝ+)
logcnlem.b (𝜑𝐵𝐷)
logcnlem.l (𝜑 → (abs‘(𝐴𝐵)) < if(𝑆𝑇, 𝑆, 𝑇))
Assertion
Ref Expression
logcnlem4 (𝜑 → (abs‘((ℑ‘(log‘𝐴)) − (ℑ‘(log‘𝐵)))) < 𝑅)

Proof of Theorem logcnlem4
StepHypRef Expression
1 logcnlem.a . . . . . . . 8 (𝜑𝐴𝐷)
2 logcn.d . . . . . . . . . 10 𝐷 = (ℂ ∖ (-∞(,]0))
32ellogdm 25329 . . . . . . . . 9 (𝐴𝐷 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ+)))
43simplbi 501 . . . . . . . 8 (𝐴𝐷𝐴 ∈ ℂ)
51, 4syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
62logdmn0 25330 . . . . . . . 8 (𝐴𝐷𝐴 ≠ 0)
71, 6syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ≠ 0)
85, 7logcld 25261 . . . . . 6 (𝜑 → (log‘𝐴) ∈ ℂ)
98imcld 14602 . . . . 5 (𝜑 → (ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℝ)
109recnd 10707 . . . 4 (𝜑 → (ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℂ)
11 logcnlem.b . . . . . . . 8 (𝜑𝐵𝐷)
122ellogdm 25329 . . . . . . . . 9 (𝐵𝐷 ↔ (𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℝ+)))
1312simplbi 501 . . . . . . . 8 (𝐵𝐷𝐵 ∈ ℂ)
1411, 13syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
152logdmn0 25330 . . . . . . . 8 (𝐵𝐷𝐵 ≠ 0)
1611, 15syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ≠ 0)
1714, 16logcld 25261 . . . . . 6 (𝜑 → (log‘𝐵) ∈ ℂ)
1817imcld 14602 . . . . 5 (𝜑 → (ℑ‘(log‘𝐵)) ∈ ℝ)
1918recnd 10707 . . . 4 (𝜑 → (ℑ‘(log‘𝐵)) ∈ ℂ)
2010, 19abssubd 14861 . . 3 (𝜑 → (abs‘((ℑ‘(log‘𝐴)) − (ℑ‘(log‘𝐵)))) = (abs‘((ℑ‘(log‘𝐵)) − (ℑ‘(log‘𝐴)))))
2117, 8imsubd 14624 . . . . 5 (𝜑 → (ℑ‘((log‘𝐵) − (log‘𝐴))) = ((ℑ‘(log‘𝐵)) − (ℑ‘(log‘𝐴))))
22 efsub 15501 . . . . . . . . . 10 (((log‘𝐵) ∈ ℂ ∧ (log‘𝐴) ∈ ℂ) → (exp‘((log‘𝐵) − (log‘𝐴))) = ((exp‘(log‘𝐵)) / (exp‘(log‘𝐴))))
2317, 8, 22syl2anc 587 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (exp‘((log‘𝐵) − (log‘𝐴))) = ((exp‘(log‘𝐵)) / (exp‘(log‘𝐴))))
24 eflog 25267 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (exp‘(log‘𝐵)) = 𝐵)
2514, 16, 24syl2anc 587 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (exp‘(log‘𝐵)) = 𝐵)
26 eflog 25267 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (exp‘(log‘𝐴)) = 𝐴)
275, 7, 26syl2anc 587 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (exp‘(log‘𝐴)) = 𝐴)
2825, 27oveq12d 7168 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((exp‘(log‘𝐵)) / (exp‘(log‘𝐴))) = (𝐵 / 𝐴))
2923, 28eqtrd 2793 . . . . . . . 8 (𝜑 → (exp‘((log‘𝐵) − (log‘𝐴))) = (𝐵 / 𝐴))
3014, 5, 7divcld 11454 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐵 / 𝐴) ∈ ℂ)
3114, 5, 16, 7divne0d 11470 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐵 / 𝐴) ≠ 0)
3217, 8subcld 11035 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((log‘𝐵) − (log‘𝐴)) ∈ ℂ)
33 logcnlem.s . . . . . . . . . . . . 13 𝑆 = if(𝐴 ∈ ℝ+, 𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐴)))
34 logcnlem.t . . . . . . . . . . . . 13 𝑇 = ((abs‘𝐴) · (𝑅 / (1 + 𝑅)))
35 logcnlem.r . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑅 ∈ ℝ+)
36 logcnlem.l . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (abs‘(𝐴𝐵)) < if(𝑆𝑇, 𝑆, 𝑇))
372, 33, 34, 1, 35, 11, 36logcnlem3 25334 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (-π < ((ℑ‘(log‘𝐵)) − (ℑ‘(log‘𝐴))) ∧ ((ℑ‘(log‘𝐵)) − (ℑ‘(log‘𝐴))) ≤ π))
3837simpld 498 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → -π < ((ℑ‘(log‘𝐵)) − (ℑ‘(log‘𝐴))))
3938, 21breqtrrd 5060 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → -π < (ℑ‘((log‘𝐵) − (log‘𝐴))))
4037simprd 499 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((ℑ‘(log‘𝐵)) − (ℑ‘(log‘𝐴))) ≤ π)
4121, 40eqbrtrd 5054 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (ℑ‘((log‘𝐵) − (log‘𝐴))) ≤ π)
42 ellogrn 25250 . . . . . . . . . 10 (((log‘𝐵) − (log‘𝐴)) ∈ ran log ↔ (((log‘𝐵) − (log‘𝐴)) ∈ ℂ ∧ -π < (ℑ‘((log‘𝐵) − (log‘𝐴))) ∧ (ℑ‘((log‘𝐵) − (log‘𝐴))) ≤ π))
4332, 39, 41, 42syl3anbrc 1340 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((log‘𝐵) − (log‘𝐴)) ∈ ran log)
44 logeftb 25274 . . . . . . . . 9 (((𝐵 / 𝐴) ∈ ℂ ∧ (𝐵 / 𝐴) ≠ 0 ∧ ((log‘𝐵) − (log‘𝐴)) ∈ ran log) → ((log‘(𝐵 / 𝐴)) = ((log‘𝐵) − (log‘𝐴)) ↔ (exp‘((log‘𝐵) − (log‘𝐴))) = (𝐵 / 𝐴)))
4530, 31, 43, 44syl3anc 1368 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((log‘(𝐵 / 𝐴)) = ((log‘𝐵) − (log‘𝐴)) ↔ (exp‘((log‘𝐵) − (log‘𝐴))) = (𝐵 / 𝐴)))
4629, 45mpbird 260 . . . . . . 7 (𝜑 → (log‘(𝐵 / 𝐴)) = ((log‘𝐵) − (log‘𝐴)))
4746eqcomd 2764 . . . . . 6 (𝜑 → ((log‘𝐵) − (log‘𝐴)) = (log‘(𝐵 / 𝐴)))
4847fveq2d 6662 . . . . 5 (𝜑 → (ℑ‘((log‘𝐵) − (log‘𝐴))) = (ℑ‘(log‘(𝐵 / 𝐴))))
4921, 48eqtr3d 2795 . . . 4 (𝜑 → ((ℑ‘(log‘𝐵)) − (ℑ‘(log‘𝐴))) = (ℑ‘(log‘(𝐵 / 𝐴))))
5049fveq2d 6662 . . 3 (𝜑 → (abs‘((ℑ‘(log‘𝐵)) − (ℑ‘(log‘𝐴)))) = (abs‘(ℑ‘(log‘(𝐵 / 𝐴)))))
5120, 50eqtrd 2793 . 2 (𝜑 → (abs‘((ℑ‘(log‘𝐴)) − (ℑ‘(log‘𝐵)))) = (abs‘(ℑ‘(log‘(𝐵 / 𝐴)))))
5230, 31logcld 25261 . . . . . 6 (𝜑 → (log‘(𝐵 / 𝐴)) ∈ ℂ)
5352imcld 14602 . . . . 5 (𝜑 → (ℑ‘(log‘(𝐵 / 𝐴))) ∈ ℝ)
5453recnd 10707 . . . 4 (𝜑 → (ℑ‘(log‘(𝐵 / 𝐴))) ∈ ℂ)
5554abscld 14844 . . 3 (𝜑 → (abs‘(ℑ‘(log‘(𝐵 / 𝐴)))) ∈ ℝ)
56 0red 10682 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
57 1re 10679 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℝ
585, 14subcld 11035 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐴𝐵) ∈ ℂ)
5958abscld 14844 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (abs‘(𝐴𝐵)) ∈ ℝ)
605, 7absrpcld 14856 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (abs‘𝐴) ∈ ℝ+)
6159, 60rerpdivcld 12503 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((abs‘(𝐴𝐵)) / (abs‘𝐴)) ∈ ℝ)
62 resubcl 10988 . . . . . . . . . . 11 ((1 ∈ ℝ ∧ ((abs‘(𝐴𝐵)) / (abs‘𝐴)) ∈ ℝ) → (1 − ((abs‘(𝐴𝐵)) / (abs‘𝐴))) ∈ ℝ)
6357, 61, 62sylancr 590 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (1 − ((abs‘(𝐴𝐵)) / (abs‘𝐴))) ∈ ℝ)
6430recld 14601 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (ℜ‘(𝐵 / 𝐴)) ∈ ℝ)
655abscld 14844 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
6635rpred 12472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑅 ∈ ℝ)
67 1rp 12434 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1 ∈ ℝ+
68 rpaddcl 12452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((1 ∈ ℝ+𝑅 ∈ ℝ+) → (1 + 𝑅) ∈ ℝ+)
6967, 35, 68sylancr 590 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (1 + 𝑅) ∈ ℝ+)
7066, 69rerpdivcld 12503 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑅 / (1 + 𝑅)) ∈ ℝ)
7165, 70remulcld 10709 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((abs‘𝐴) · (𝑅 / (1 + 𝑅))) ∈ ℝ)
7234, 71eqeltrid 2856 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑇 ∈ ℝ)
73 rpre 12438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ∈ ℝ)
7473adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝐴 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℝ)
755imcld 14602 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
7675recnd 10707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ)
7776abscld 14844 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (abs‘(ℑ‘𝐴)) ∈ ℝ)
7877adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ+) → (abs‘(ℑ‘𝐴)) ∈ ℝ)
7974, 78ifclda 4455 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → if(𝐴 ∈ ℝ+, 𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐴))) ∈ ℝ)
8033, 79eqeltrid 2856 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑆 ∈ ℝ)
81 ltmin 12628 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((abs‘(𝐴𝐵)) ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝐴𝐵)) < if(𝑆𝑇, 𝑆, 𝑇) ↔ ((abs‘(𝐴𝐵)) < 𝑆 ∧ (abs‘(𝐴𝐵)) < 𝑇)))
8259, 80, 72, 81syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((abs‘(𝐴𝐵)) < if(𝑆𝑇, 𝑆, 𝑇) ↔ ((abs‘(𝐴𝐵)) < 𝑆 ∧ (abs‘(𝐴𝐵)) < 𝑇)))
8336, 82mpbid 235 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((abs‘(𝐴𝐵)) < 𝑆 ∧ (abs‘(𝐴𝐵)) < 𝑇))
8483simprd 499 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (abs‘(𝐴𝐵)) < 𝑇)
8569rpred 12472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (1 + 𝑅) ∈ ℝ)
8666ltp1d 11608 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝑅 < (𝑅 + 1))
8766recnd 10707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑𝑅 ∈ ℂ)
88 ax-1cn 10633 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1 ∈ ℂ
89 addcom 10864 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑅 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑅 + 1) = (1 + 𝑅))
9087, 88, 89sylancl 589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (𝑅 + 1) = (1 + 𝑅))
9186, 90breqtrd 5058 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝑅 < (1 + 𝑅))
9266, 85, 91ltled 10826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝑅 ≤ (1 + 𝑅))
9385recnd 10707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (1 + 𝑅) ∈ ℂ)
9493mulid1d 10696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((1 + 𝑅) · 1) = (1 + 𝑅))
9592, 94breqtrrd 5060 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝑅 ≤ ((1 + 𝑅) · 1))
9657a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
9766, 96, 69ledivmuld 12525 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((𝑅 / (1 + 𝑅)) ≤ 1 ↔ 𝑅 ≤ ((1 + 𝑅) · 1)))
9895, 97mpbird 260 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑅 / (1 + 𝑅)) ≤ 1)
9970, 96, 60lemul2d 12516 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((𝑅 / (1 + 𝑅)) ≤ 1 ↔ ((abs‘𝐴) · (𝑅 / (1 + 𝑅))) ≤ ((abs‘𝐴) · 1)))
10098, 99mpbid 235 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((abs‘𝐴) · (𝑅 / (1 + 𝑅))) ≤ ((abs‘𝐴) · 1))
10165recnd 10707 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (abs‘𝐴) ∈ ℂ)
102101mulid1d 10696 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((abs‘𝐴) · 1) = (abs‘𝐴))
103100, 102breqtrd 5058 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((abs‘𝐴) · (𝑅 / (1 + 𝑅))) ≤ (abs‘𝐴))
10434, 103eqbrtrid 5067 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑇 ≤ (abs‘𝐴))
10559, 72, 65, 84, 104ltletrd 10838 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (abs‘(𝐴𝐵)) < (abs‘𝐴))
106105, 102breqtrrd 5060 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (abs‘(𝐴𝐵)) < ((abs‘𝐴) · 1))
10759, 96, 60ltdivmuld 12523 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((abs‘(𝐴𝐵)) / (abs‘𝐴)) < 1 ↔ (abs‘(𝐴𝐵)) < ((abs‘𝐴) · 1)))
108106, 107mpbird 260 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((abs‘(𝐴𝐵)) / (abs‘𝐴)) < 1)
109 posdif 11171 . . . . . . . . . . . 12 ((((abs‘(𝐴𝐵)) / (abs‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (((abs‘(𝐴𝐵)) / (abs‘𝐴)) < 1 ↔ 0 < (1 − ((abs‘(𝐴𝐵)) / (abs‘𝐴)))))
11061, 57, 109sylancl 589 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((abs‘(𝐴𝐵)) / (abs‘𝐴)) < 1 ↔ 0 < (1 − ((abs‘(𝐴𝐵)) / (abs‘𝐴)))))
111108, 110mpbid 235 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 < (1 − ((abs‘(𝐴𝐵)) / (abs‘𝐴))))
11258, 5, 7divcld 11454 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝐴𝐵) / 𝐴) ∈ ℂ)
113112releabsd 14859 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (ℜ‘((𝐴𝐵) / 𝐴)) ≤ (abs‘((𝐴𝐵) / 𝐴)))
1145, 14, 5, 7divsubdird 11493 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝐴𝐵) / 𝐴) = ((𝐴 / 𝐴) − (𝐵 / 𝐴)))
1155, 7dividd 11452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝐴 / 𝐴) = 1)
116115oveq1d 7165 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝐴 / 𝐴) − (𝐵 / 𝐴)) = (1 − (𝐵 / 𝐴)))
117114, 116eqtrd 2793 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝐴𝐵) / 𝐴) = (1 − (𝐵 / 𝐴)))
118117fveq2d 6662 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (ℜ‘((𝐴𝐵) / 𝐴)) = (ℜ‘(1 − (𝐵 / 𝐴))))
119 resub 14534 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1 ∈ ℂ ∧ (𝐵 / 𝐴) ∈ ℂ) → (ℜ‘(1 − (𝐵 / 𝐴))) = ((ℜ‘1) − (ℜ‘(𝐵 / 𝐴))))
12088, 30, 119sylancr 590 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (ℜ‘(1 − (𝐵 / 𝐴))) = ((ℜ‘1) − (ℜ‘(𝐵 / 𝐴))))
121118, 120eqtrd 2793 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (ℜ‘((𝐴𝐵) / 𝐴)) = ((ℜ‘1) − (ℜ‘(𝐵 / 𝐴))))
122 re1 14561 . . . . . . . . . . . . . 14 (ℜ‘1) = 1
123122oveq1i 7160 . . . . . . . . . . . . 13 ((ℜ‘1) − (ℜ‘(𝐵 / 𝐴))) = (1 − (ℜ‘(𝐵 / 𝐴)))
124121, 123eqtrdi 2809 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (ℜ‘((𝐴𝐵) / 𝐴)) = (1 − (ℜ‘(𝐵 / 𝐴))))
12558, 5, 7absdivd 14863 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (abs‘((𝐴𝐵) / 𝐴)) = ((abs‘(𝐴𝐵)) / (abs‘𝐴)))
126113, 124, 1253brtr3d 5063 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (1 − (ℜ‘(𝐵 / 𝐴))) ≤ ((abs‘(𝐴𝐵)) / (abs‘𝐴)))
12796, 64, 61, 126subled 11281 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (1 − ((abs‘(𝐴𝐵)) / (abs‘𝐴))) ≤ (ℜ‘(𝐵 / 𝐴)))
12856, 63, 64, 111, 127ltletrd 10838 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 < (ℜ‘(𝐵 / 𝐴)))
129 argregt0 25300 . . . . . . . . 9 (((𝐵 / 𝐴) ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘(𝐵 / 𝐴))) → (ℑ‘(log‘(𝐵 / 𝐴))) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)))
13030, 128, 129syl2anc 587 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℑ‘(log‘(𝐵 / 𝐴))) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)))
131 cosq14gt0 25202 . . . . . . . 8 ((ℑ‘(log‘(𝐵 / 𝐴))) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) → 0 < (cos‘(ℑ‘(log‘(𝐵 / 𝐴)))))
132130, 131syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 < (cos‘(ℑ‘(log‘(𝐵 / 𝐴)))))
133132gt0ne0d 11242 . . . . . 6 (𝜑 → (cos‘(ℑ‘(log‘(𝐵 / 𝐴)))) ≠ 0)
13453, 133retancld 15546 . . . . 5 (𝜑 → (tan‘(ℑ‘(log‘(𝐵 / 𝐴)))) ∈ ℝ)
135134recnd 10707 . . . 4 (𝜑 → (tan‘(ℑ‘(log‘(𝐵 / 𝐴)))) ∈ ℂ)
136135abscld 14844 . . 3 (𝜑 → (abs‘(tan‘(ℑ‘(log‘(𝐵 / 𝐴))))) ∈ ℝ)
137 tanabsge 25198 . . . 4 ((ℑ‘(log‘(𝐵 / 𝐴))) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) → (abs‘(ℑ‘(log‘(𝐵 / 𝐴)))) ≤ (abs‘(tan‘(ℑ‘(log‘(𝐵 / 𝐴))))))
138130, 137syl 17 . . 3 (𝜑 → (abs‘(ℑ‘(log‘(𝐵 / 𝐴)))) ≤ (abs‘(tan‘(ℑ‘(log‘(𝐵 / 𝐴))))))
139128gt0ne0d 11242 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℜ‘(𝐵 / 𝐴)) ≠ 0)
140 tanarg 25309 . . . . . . 7 (((𝐵 / 𝐴) ∈ ℂ ∧ (ℜ‘(𝐵 / 𝐴)) ≠ 0) → (tan‘(ℑ‘(log‘(𝐵 / 𝐴)))) = ((ℑ‘(𝐵 / 𝐴)) / (ℜ‘(𝐵 / 𝐴))))
14130, 139, 140syl2anc 587 . . . . . 6 (𝜑 → (tan‘(ℑ‘(log‘(𝐵 / 𝐴)))) = ((ℑ‘(𝐵 / 𝐴)) / (ℜ‘(𝐵 / 𝐴))))
142141fveq2d 6662 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘(tan‘(ℑ‘(log‘(𝐵 / 𝐴))))) = (abs‘((ℑ‘(𝐵 / 𝐴)) / (ℜ‘(𝐵 / 𝐴)))))
14330imcld 14602 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℑ‘(𝐵 / 𝐴)) ∈ ℝ)
144143recnd 10707 . . . . . 6 (𝜑 → (ℑ‘(𝐵 / 𝐴)) ∈ ℂ)
14564recnd 10707 . . . . . 6 (𝜑 → (ℜ‘(𝐵 / 𝐴)) ∈ ℂ)
146144, 145, 139absdivd 14863 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘((ℑ‘(𝐵 / 𝐴)) / (ℜ‘(𝐵 / 𝐴)))) = ((abs‘(ℑ‘(𝐵 / 𝐴))) / (abs‘(ℜ‘(𝐵 / 𝐴)))))
14756, 64, 128ltled 10826 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / 𝐴)))
14864, 147absidd 14830 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘(ℜ‘(𝐵 / 𝐴))) = (ℜ‘(𝐵 / 𝐴)))
149148oveq2d 7166 . . . . 5 (𝜑 → ((abs‘(ℑ‘(𝐵 / 𝐴))) / (abs‘(ℜ‘(𝐵 / 𝐴)))) = ((abs‘(ℑ‘(𝐵 / 𝐴))) / (ℜ‘(𝐵 / 𝐴))))
150142, 146, 1493eqtrd 2797 . . . 4 (𝜑 → (abs‘(tan‘(ℑ‘(log‘(𝐵 / 𝐴))))) = ((abs‘(ℑ‘(𝐵 / 𝐴))) / (ℜ‘(𝐵 / 𝐴))))
151144abscld 14844 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘(ℑ‘(𝐵 / 𝐴))) ∈ ℝ)
15264, 66remulcld 10709 . . . . . 6 (𝜑 → ((ℜ‘(𝐵 / 𝐴)) · 𝑅) ∈ ℝ)
15314, 5subcld 11035 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐵𝐴) ∈ ℂ)
154153, 5, 7divcld 11454 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐵𝐴) / 𝐴) ∈ ℂ)
155 absimle 14717 . . . . . . . 8 (((𝐵𝐴) / 𝐴) ∈ ℂ → (abs‘(ℑ‘((𝐵𝐴) / 𝐴))) ≤ (abs‘((𝐵𝐴) / 𝐴)))
156154, 155syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (abs‘(ℑ‘((𝐵𝐴) / 𝐴))) ≤ (abs‘((𝐵𝐴) / 𝐴)))
15714, 5, 5, 7divsubdird 11493 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐵𝐴) / 𝐴) = ((𝐵 / 𝐴) − (𝐴 / 𝐴)))
158115oveq2d 7166 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐵 / 𝐴) − (𝐴 / 𝐴)) = ((𝐵 / 𝐴) − 1))
159157, 158eqtrd 2793 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐵𝐴) / 𝐴) = ((𝐵 / 𝐴) − 1))
160159fveq2d 6662 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℑ‘((𝐵𝐴) / 𝐴)) = (ℑ‘((𝐵 / 𝐴) − 1)))
161 imsub 14542 . . . . . . . . . . 11 (((𝐵 / 𝐴) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (ℑ‘((𝐵 / 𝐴) − 1)) = ((ℑ‘(𝐵 / 𝐴)) − (ℑ‘1)))
16230, 88, 161sylancl 589 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (ℑ‘((𝐵 / 𝐴) − 1)) = ((ℑ‘(𝐵 / 𝐴)) − (ℑ‘1)))
163 im1 14562 . . . . . . . . . . 11 (ℑ‘1) = 0
164163oveq2i 7161 . . . . . . . . . 10 ((ℑ‘(𝐵 / 𝐴)) − (ℑ‘1)) = ((ℑ‘(𝐵 / 𝐴)) − 0)
165162, 164eqtrdi 2809 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℑ‘((𝐵 / 𝐴) − 1)) = ((ℑ‘(𝐵 / 𝐴)) − 0))
166144subid1d 11024 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((ℑ‘(𝐵 / 𝐴)) − 0) = (ℑ‘(𝐵 / 𝐴)))
167160, 165, 1663eqtrrd 2798 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℑ‘(𝐵 / 𝐴)) = (ℑ‘((𝐵𝐴) / 𝐴)))
168167fveq2d 6662 . . . . . . 7 (𝜑 → (abs‘(ℑ‘(𝐵 / 𝐴))) = (abs‘(ℑ‘((𝐵𝐴) / 𝐴))))
1695, 14abssubd 14861 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (abs‘(𝐴𝐵)) = (abs‘(𝐵𝐴)))
170169oveq1d 7165 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((abs‘(𝐴𝐵)) / (abs‘𝐴)) = ((abs‘(𝐵𝐴)) / (abs‘𝐴)))
171153, 5, 7absdivd 14863 . . . . . . . 8 (𝜑 → (abs‘((𝐵𝐴) / 𝐴)) = ((abs‘(𝐵𝐴)) / (abs‘𝐴)))
172170, 171eqtr4d 2796 . . . . . . 7 (𝜑 → ((abs‘(𝐴𝐵)) / (abs‘𝐴)) = (abs‘((𝐵𝐴) / 𝐴)))
173156, 168, 1723brtr4d 5064 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘(ℑ‘(𝐵 / 𝐴))) ≤ ((abs‘(𝐴𝐵)) / (abs‘𝐴)))
17465, 59resubcld 11106 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((abs‘𝐴) − (abs‘(𝐴𝐵))) ∈ ℝ)
175174, 66remulcld 10709 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((abs‘𝐴) − (abs‘(𝐴𝐵))) · 𝑅) ∈ ℝ)
17665, 152remulcld 10709 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((abs‘𝐴) · ((ℜ‘(𝐵 / 𝐴)) · 𝑅)) ∈ ℝ)
17759recnd 10707 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (abs‘(𝐴𝐵)) ∈ ℂ)
17888a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
179177, 178, 87adddid 10703 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((abs‘(𝐴𝐵)) · (1 + 𝑅)) = (((abs‘(𝐴𝐵)) · 1) + ((abs‘(𝐴𝐵)) · 𝑅)))
180177mulid1d 10696 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((abs‘(𝐴𝐵)) · 1) = (abs‘(𝐴𝐵)))
181180oveq1d 7165 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((abs‘(𝐴𝐵)) · 1) + ((abs‘(𝐴𝐵)) · 𝑅)) = ((abs‘(𝐴𝐵)) + ((abs‘(𝐴𝐵)) · 𝑅)))
182179, 181eqtrd 2793 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((abs‘(𝐴𝐵)) · (1 + 𝑅)) = ((abs‘(𝐴𝐵)) + ((abs‘(𝐴𝐵)) · 𝑅)))
18369rpne0d 12477 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (1 + 𝑅) ≠ 0)
184101, 87, 93, 183divassd 11489 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((abs‘𝐴) · 𝑅) / (1 + 𝑅)) = ((abs‘𝐴) · (𝑅 / (1 + 𝑅))))
185184, 34eqtr4di 2811 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((abs‘𝐴) · 𝑅) / (1 + 𝑅)) = 𝑇)
18684, 185breqtrrd 5060 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (abs‘(𝐴𝐵)) < (((abs‘𝐴) · 𝑅) / (1 + 𝑅)))
18765, 66remulcld 10709 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((abs‘𝐴) · 𝑅) ∈ ℝ)
18859, 187, 69ltmuldivd 12519 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((abs‘(𝐴𝐵)) · (1 + 𝑅)) < ((abs‘𝐴) · 𝑅) ↔ (abs‘(𝐴𝐵)) < (((abs‘𝐴) · 𝑅) / (1 + 𝑅))))
189186, 188mpbird 260 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((abs‘(𝐴𝐵)) · (1 + 𝑅)) < ((abs‘𝐴) · 𝑅))
190182, 189eqbrtrrd 5056 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((abs‘(𝐴𝐵)) + ((abs‘(𝐴𝐵)) · 𝑅)) < ((abs‘𝐴) · 𝑅))
19159, 66remulcld 10709 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((abs‘(𝐴𝐵)) · 𝑅) ∈ ℝ)
19259, 191, 187ltaddsubd 11278 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((abs‘(𝐴𝐵)) + ((abs‘(𝐴𝐵)) · 𝑅)) < ((abs‘𝐴) · 𝑅) ↔ (abs‘(𝐴𝐵)) < (((abs‘𝐴) · 𝑅) − ((abs‘(𝐴𝐵)) · 𝑅))))
193190, 192mpbid 235 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (abs‘(𝐴𝐵)) < (((abs‘𝐴) · 𝑅) − ((abs‘(𝐴𝐵)) · 𝑅)))
194101, 177, 87subdird 11135 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((abs‘𝐴) − (abs‘(𝐴𝐵))) · 𝑅) = (((abs‘𝐴) · 𝑅) − ((abs‘(𝐴𝐵)) · 𝑅)))
195193, 194breqtrrd 5060 . . . . . . . 8 (𝜑 → (abs‘(𝐴𝐵)) < (((abs‘𝐴) − (abs‘(𝐴𝐵))) · 𝑅))
19660rpne0d 12477 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (abs‘𝐴) ≠ 0)
197101, 177, 101, 196divsubdird 11493 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((abs‘𝐴) − (abs‘(𝐴𝐵))) / (abs‘𝐴)) = (((abs‘𝐴) / (abs‘𝐴)) − ((abs‘(𝐴𝐵)) / (abs‘𝐴))))
198101, 196dividd 11452 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((abs‘𝐴) / (abs‘𝐴)) = 1)
199198oveq1d 7165 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((abs‘𝐴) / (abs‘𝐴)) − ((abs‘(𝐴𝐵)) / (abs‘𝐴))) = (1 − ((abs‘(𝐴𝐵)) / (abs‘𝐴))))
200197, 199eqtrd 2793 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((abs‘𝐴) − (abs‘(𝐴𝐵))) / (abs‘𝐴)) = (1 − ((abs‘(𝐴𝐵)) / (abs‘𝐴))))
201200, 127eqbrtrd 5054 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((abs‘𝐴) − (abs‘(𝐴𝐵))) / (abs‘𝐴)) ≤ (ℜ‘(𝐵 / 𝐴)))
202174, 64, 60ledivmuld 12525 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((((abs‘𝐴) − (abs‘(𝐴𝐵))) / (abs‘𝐴)) ≤ (ℜ‘(𝐵 / 𝐴)) ↔ ((abs‘𝐴) − (abs‘(𝐴𝐵))) ≤ ((abs‘𝐴) · (ℜ‘(𝐵 / 𝐴)))))
203201, 202mpbid 235 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((abs‘𝐴) − (abs‘(𝐴𝐵))) ≤ ((abs‘𝐴) · (ℜ‘(𝐵 / 𝐴))))
20465, 64remulcld 10709 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((abs‘𝐴) · (ℜ‘(𝐵 / 𝐴))) ∈ ℝ)
205174, 204, 35lemul1d 12515 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((abs‘𝐴) − (abs‘(𝐴𝐵))) ≤ ((abs‘𝐴) · (ℜ‘(𝐵 / 𝐴))) ↔ (((abs‘𝐴) − (abs‘(𝐴𝐵))) · 𝑅) ≤ (((abs‘𝐴) · (ℜ‘(𝐵 / 𝐴))) · 𝑅)))
206203, 205mpbid 235 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((abs‘𝐴) − (abs‘(𝐴𝐵))) · 𝑅) ≤ (((abs‘𝐴) · (ℜ‘(𝐵 / 𝐴))) · 𝑅))
207101, 145, 87mulassd 10702 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((abs‘𝐴) · (ℜ‘(𝐵 / 𝐴))) · 𝑅) = ((abs‘𝐴) · ((ℜ‘(𝐵 / 𝐴)) · 𝑅)))
208206, 207breqtrd 5058 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((abs‘𝐴) − (abs‘(𝐴𝐵))) · 𝑅) ≤ ((abs‘𝐴) · ((ℜ‘(𝐵 / 𝐴)) · 𝑅)))
20959, 175, 176, 195, 208ltletrd 10838 . . . . . . 7 (𝜑 → (abs‘(𝐴𝐵)) < ((abs‘𝐴) · ((ℜ‘(𝐵 / 𝐴)) · 𝑅)))
21059, 152, 60ltdivmuld 12523 . . . . . . 7 (𝜑 → (((abs‘(𝐴𝐵)) / (abs‘𝐴)) < ((ℜ‘(𝐵 / 𝐴)) · 𝑅) ↔ (abs‘(𝐴𝐵)) < ((abs‘𝐴) · ((ℜ‘(𝐵 / 𝐴)) · 𝑅))))
211209, 210mpbird 260 . . . . . 6 (𝜑 → ((abs‘(𝐴𝐵)) / (abs‘𝐴)) < ((ℜ‘(𝐵 / 𝐴)) · 𝑅))
212151, 61, 152, 173, 211lelttrd 10836 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘(ℑ‘(𝐵 / 𝐴))) < ((ℜ‘(𝐵 / 𝐴)) · 𝑅))
213 ltdivmul 11553 . . . . . 6 (((abs‘(ℑ‘(𝐵 / 𝐴))) ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ ∧ ((ℜ‘(𝐵 / 𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 < (ℜ‘(𝐵 / 𝐴)))) → (((abs‘(ℑ‘(𝐵 / 𝐴))) / (ℜ‘(𝐵 / 𝐴))) < 𝑅 ↔ (abs‘(ℑ‘(𝐵 / 𝐴))) < ((ℜ‘(𝐵 / 𝐴)) · 𝑅)))
214151, 66, 64, 128, 213syl112anc 1371 . . . . 5 (𝜑 → (((abs‘(ℑ‘(𝐵 / 𝐴))) / (ℜ‘(𝐵 / 𝐴))) < 𝑅 ↔ (abs‘(ℑ‘(𝐵 / 𝐴))) < ((ℜ‘(𝐵 / 𝐴)) · 𝑅)))
215212, 214mpbird 260 . . . 4 (𝜑 → ((abs‘(ℑ‘(𝐵 / 𝐴))) / (ℜ‘(𝐵 / 𝐴))) < 𝑅)
216150, 215eqbrtrd 5054 . . 3 (𝜑 → (abs‘(tan‘(ℑ‘(log‘(𝐵 / 𝐴))))) < 𝑅)
21755, 136, 66, 138, 216lelttrd 10836 . 2 (𝜑 → (abs‘(ℑ‘(log‘(𝐵 / 𝐴)))) < 𝑅)
21851, 217eqbrtrd 5054 1 (𝜑 → (abs‘((ℑ‘(log‘𝐴)) − (ℑ‘(log‘𝐵)))) < 𝑅)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2951   ∖ cdif 3855  ifcif 4420   class class class wbr 5032  ran crn 5525  ‘cfv 6335  (class class class)co 7150  ℂcc 10573  ℝcr 10574  0cc0 10575  1c1 10576   + caddc 10578   · cmul 10580  -∞cmnf 10711   < clt 10713   ≤ cle 10714   − cmin 10908  -cneg 10909   / cdiv 11335  2c2 11729  ℝ+crp 12430  (,)cioo 12779  (,]cioc 12780  ℜcre 14504  ℑcim 14505  abscabs 14641  expce 15463  cosccos 15466  tanctan 15467  πcpi 15468  logclog 25245 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5156  ax-sep 5169  ax-nul 5176  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7459  ax-inf2 9137  ax-cnex 10631  ax-resscn 10632  ax-1cn 10633  ax-icn 10634  ax-addcl 10635  ax-addrcl 10636  ax-mulcl 10637  ax-mulrcl 10638  ax-mulcom 10639  ax-addass 10640  ax-mulass 10641  ax-distr 10642  ax-i2m1 10643  ax-1ne0 10644  ax-1rid 10645  ax-rnegex 10646  ax-rrecex 10647  ax-cnre 10648  ax-pre-lttri 10649  ax-pre-lttrn 10650  ax-pre-ltadd 10651  ax-pre-mulgt0 10652  ax-pre-sup 10653  ax-addf 10654  ax-mulf 10655 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3697  df-csb 3806  df-dif 3861  df-un 3863  df-in 3865  df-ss 3875  df-pss 3877  df-nul 4226  df-if 4421  df-pw 4496  df-sn 4523  df-pr 4525  df-tp 4527  df-op 4529  df-uni 4799  df-int 4839  df-iun 4885  df-iin 4886  df-br 5033  df-opab 5095  df-mpt 5113  df-tr 5139  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5483  df-se 5484  df-we 5485  df-xp 5530  df-rel 5531  df-cnv 5532  df-co 5533  df-dm 5534  df-rn 5535  df-res 5536  df-ima 5537  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6294  df-fun 6337  df-fn 6338  df-f 6339  df-f1 6340  df-fo 6341  df-f1o 6342  df-fv 6343  df-isom 6344  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-of 7405  df-om 7580  df-1st 7693  df-2nd 7694  df-supp 7836  df-wrecs 7957  df-recs 8018  df-rdg 8056  df-1o 8112  df-2o 8113  df-er 8299  df-map 8418  df-pm 8419  df-ixp 8480  df-en 8528  df-dom 8529  df-sdom 8530  df-fin 8531  df-fsupp 8867  df-fi 8908  df-sup 8939  df-inf 8940  df-oi 9007  df-card 9401  df-pnf 10715  df-mnf 10716  df-xr 10717  df-ltxr 10718  df-le 10719  df-sub 10910  df-neg 10911  df-div 11336  df-nn 11675  df-2 11737  df-3 11738  df-4 11739  df-5 11740  df-6 11741  df-7 11742  df-8 11743  df-9 11744  df-n0 11935  df-z 12021  df-dec 12138  df-uz 12283  df-q 12389  df-rp 12431  df-xneg 12548  df-xadd 12549  df-xmul 12550  df-ioo 12783  df-ioc 12784  df-ico 12785  df-icc 12786  df-fz 12940  df-fzo 13083  df-fl 13211  df-mod 13287  df-seq 13419  df-exp 13480  df-fac 13684  df-bc 13713  df-hash 13741  df-shft 14474  df-cj 14506  df-re 14507  df-im 14508  df-sqrt 14642  df-abs 14643  df-limsup 14876  df-clim 14893  df-rlim 14894  df-sum 15091  df-ef 15469  df-sin 15471  df-cos 15472  df-tan 15473  df-pi 15474  df-struct 16543  df-ndx 16544  df-slot 16545  df-base 16547  df-sets 16548  df-ress 16549  df-plusg 16636  df-mulr 16637  df-starv 16638  df-sca 16639  df-vsca 16640  df-ip 16641  df-tset 16642  df-ple 16643  df-ds 16645  df-unif 16646  df-hom 16647  df-cco 16648  df-rest 16754  df-topn 16755  df-0g 16773  df-gsum 16774  df-topgen 16775  df-pt 16776  df-prds 16779  df-xrs 16833  df-qtop 16838  df-imas 16839  df-xps 16841  df-mre 16915  df-mrc 16916  df-acs 16918  df-mgm 17918  df-sgrp 17967  df-mnd 17978  df-submnd 18023  df-mulg 18292  df-cntz 18514  df-cmn 18975  df-psmet 20158  df-xmet 20159  df-met 20160  df-bl 20161  df-mopn 20162  df-fbas 20163  df-fg 20164  df-cnfld 20167  df-top 21594  df-topon 21611  df-topsp 21633  df-bases 21646  df-cld 21719  df-ntr 21720  df-cls 21721  df-nei 21798  df-lp 21836  df-perf 21837  df-cn 21927  df-cnp 21928  df-haus 22015  df-tx 22262  df-hmeo 22455  df-fil 22546  df-fm 22638  df-flim 22639  df-flf 22640  df-xms 23022  df-ms 23023  df-tms 23024  df-cncf 23579  df-limc 24565  df-dv 24566  df-log 25247 This theorem is referenced by:  logcnlem5  25336
 Copyright terms: Public domain W3C validator