Theorem logcnlem4 26554

Description: Lemma for logcn 26556. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
logcn.d	⊢ 𝐷 = (ℂ ∖ (-∞(,]0))
logcnlem.s	⊢ 𝑆 = if(𝐴 ∈ ℝ+, 𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐴)))
logcnlem.t	⊢ 𝑇 = ((abs‘𝐴) · (𝑅 / (1 + 𝑅)))
logcnlem.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐷)
logcnlem.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ+)
logcnlem.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐷)
logcnlem.l	⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) < if(𝑆 ≤ 𝑇, 𝑆, 𝑇))

Assertion

Ref	Expression
logcnlem4	⊢ (𝜑 → (abs‘((ℑ‘(log‘𝐴)) − (ℑ‘(log‘𝐵)))) < 𝑅)

Proof of Theorem logcnlem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		logcnlem.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐷)
2		logcn.d	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐷 = (ℂ ∖ (-∞(,]0))
3	2	ellogdm 26548	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐷 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ+)))
4	3	simplbi 497	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐷 → 𝐴 ∈ ℂ)
5	1, 4	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
6	2	logdmn0 26549	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐷 → 𝐴 ≠ 0)
7	1, 6	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
8	5, 7	logcld 26479	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (log‘𝐴) ∈ ℂ)
9	8	imcld 15161	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℝ)
10	9	recnd 11202	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℂ)
11		logcnlem.b	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐷)
12	2	ellogdm 26548	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐷 ↔ (𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℝ+)))
13	12	simplbi 497	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐷 → 𝐵 ∈ ℂ)
14	11, 13	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
15	2	logdmn0 26549	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐷 → 𝐵 ≠ 0)
16	11, 15	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
17	14, 16	logcld 26479	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (log‘𝐵) ∈ ℂ)
18	17	imcld 15161	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘(log‘𝐵)) ∈ ℝ)
19	18	recnd 11202	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘(log‘𝐵)) ∈ ℂ)
20	10, 19	abssubd 15422	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘((ℑ‘(log‘𝐴)) − (ℑ‘(log‘𝐵)))) = (abs‘((ℑ‘(log‘𝐵)) − (ℑ‘(log‘𝐴)))))
21	17, 8	imsubd 15183	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘((log‘𝐵) − (log‘𝐴))) = ((ℑ‘(log‘𝐵)) − (ℑ‘(log‘𝐴))))
22		efsub 16068	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((log‘𝐵) ∈ ℂ ∧ (log‘𝐴) ∈ ℂ) → (exp‘((log‘𝐵) − (log‘𝐴))) = ((exp‘(log‘𝐵)) / (exp‘(log‘𝐴))))
23	17, 8, 22	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (exp‘((log‘𝐵) − (log‘𝐴))) = ((exp‘(log‘𝐵)) / (exp‘(log‘𝐴))))
24		eflog 26485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (exp‘(log‘𝐵)) = 𝐵)
25	14, 16, 24	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (exp‘(log‘𝐵)) = 𝐵)
26		eflog 26485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (exp‘(log‘𝐴)) = 𝐴)
27	5, 7, 26	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (exp‘(log‘𝐴)) = 𝐴)
28	25, 27	oveq12d 7405	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((exp‘(log‘𝐵)) / (exp‘(log‘𝐴))) = (𝐵 / 𝐴))
29	23, 28	eqtrd 2764	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (exp‘((log‘𝐵) − (log‘𝐴))) = (𝐵 / 𝐴))
30	14, 5, 7	divcld 11958	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐵 / 𝐴) ∈ ℂ)
31	14, 5, 16, 7	divne0d 11974	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐵 / 𝐴) ≠ 0)
32	17, 8	subcld 11533	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((log‘𝐵) − (log‘𝐴)) ∈ ℂ)
33		logcnlem.s	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑆 = if(𝐴 ∈ ℝ+, 𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐴)))
34		logcnlem.t	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑇 = ((abs‘𝐴) · (𝑅 / (1 + 𝑅)))
35		logcnlem.r	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ+)
36		logcnlem.l	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) < if(𝑆 ≤ 𝑇, 𝑆, 𝑇))
37	2, 33, 34, 1, 35, 11, 36	logcnlem3 26553	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (-π < ((ℑ‘(log‘𝐵)) − (ℑ‘(log‘𝐴))) ∧ ((ℑ‘(log‘𝐵)) − (ℑ‘(log‘𝐴))) ≤ π))
38	37	simpld 494	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → -π < ((ℑ‘(log‘𝐵)) − (ℑ‘(log‘𝐴))))
39	38, 21	breqtrrd 5135	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → -π < (ℑ‘((log‘𝐵) − (log‘𝐴))))
40	37	simprd 495	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((ℑ‘(log‘𝐵)) − (ℑ‘(log‘𝐴))) ≤ π)
41	21, 40	eqbrtrd 5129	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘((log‘𝐵) − (log‘𝐴))) ≤ π)
42		ellogrn 26468	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((log‘𝐵) − (log‘𝐴)) ∈ ran log ↔ (((log‘𝐵) − (log‘𝐴)) ∈ ℂ ∧ -π < (ℑ‘((log‘𝐵) − (log‘𝐴))) ∧ (ℑ‘((log‘𝐵) − (log‘𝐴))) ≤ π))
43	32, 39, 41, 42	syl3anbrc 1344	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((log‘𝐵) − (log‘𝐴)) ∈ ran log)
44		logeftb 26492	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐵 / 𝐴) ∈ ℂ ∧ (𝐵 / 𝐴) ≠ 0 ∧ ((log‘𝐵) − (log‘𝐴)) ∈ ran log) → ((log‘(𝐵 / 𝐴)) = ((log‘𝐵) − (log‘𝐴)) ↔ (exp‘((log‘𝐵) − (log‘𝐴))) = (𝐵 / 𝐴)))
45	30, 31, 43, 44	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((log‘(𝐵 / 𝐴)) = ((log‘𝐵) − (log‘𝐴)) ↔ (exp‘((log‘𝐵) − (log‘𝐴))) = (𝐵 / 𝐴)))
46	29, 45	mpbird 257	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (log‘(𝐵 / 𝐴)) = ((log‘𝐵) − (log‘𝐴)))
47	46	eqcomd 2735	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((log‘𝐵) − (log‘𝐴)) = (log‘(𝐵 / 𝐴)))
48	47	fveq2d 6862	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘((log‘𝐵) − (log‘𝐴))) = (ℑ‘(log‘(𝐵 / 𝐴))))
49	21, 48	eqtr3d 2766	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((ℑ‘(log‘𝐵)) − (ℑ‘(log‘𝐴))) = (ℑ‘(log‘(𝐵 / 𝐴))))
50	49	fveq2d 6862	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘((ℑ‘(log‘𝐵)) − (ℑ‘(log‘𝐴)))) = (abs‘(ℑ‘(log‘(𝐵 / 𝐴)))))
51	20, 50	eqtrd 2764	. 2 ⊢ (𝜑 → (abs‘((ℑ‘(log‘𝐴)) − (ℑ‘(log‘𝐵)))) = (abs‘(ℑ‘(log‘(𝐵 / 𝐴)))))
52	30, 31	logcld 26479	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (log‘(𝐵 / 𝐴)) ∈ ℂ)
53	52	imcld 15161	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘(log‘(𝐵 / 𝐴))) ∈ ℝ)
54	53	recnd 11202	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘(log‘(𝐵 / 𝐴))) ∈ ℂ)
55	54	abscld 15405	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘(ℑ‘(log‘(𝐵 / 𝐴)))) ∈ ℝ)
56		0red 11177	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
57		1re 11174	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℝ
58	5, 14	subcld 11533	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
59	58	abscld 15405	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ ℝ)
60	5, 7	absrpcld 15417	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) ∈ ℝ+)
61	59, 60	rerpdivcld 13026	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / (abs‘𝐴)) ∈ ℝ)
62		resubcl 11486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / (abs‘𝐴)) ∈ ℝ) → (1 − ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / (abs‘𝐴))) ∈ ℝ)
63	57, 61, 62	sylancr 587	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (1 − ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / (abs‘𝐴))) ∈ ℝ)
64	30	recld 15160	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (ℜ‘(𝐵 / 𝐴)) ∈ ℝ)
65	5	abscld 15405	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
66	35	rpred 12995	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ)
67		1rp 12955	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 1 ∈ ℝ+
68		rpaddcl 12975	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((1 ∈ ℝ+ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (1 + 𝑅) ∈ ℝ+)
69	67, 35, 68	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (1 + 𝑅) ∈ ℝ+)
70	66, 69	rerpdivcld 13026	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝑅 / (1 + 𝑅)) ∈ ℝ)
71	65, 70	remulcld 11204	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝐴) · (𝑅 / (1 + 𝑅))) ∈ ℝ)
72	34, 71	eqeltrid 2832	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ)
73		rpre 12960	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℝ)
74	73	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℝ)
75	5	imcld 15161	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
76	75	recnd 11202	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ)
77	76	abscld 15405	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (abs‘(ℑ‘𝐴)) ∈ ℝ)
78	77	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ+) → (abs‘(ℑ‘𝐴)) ∈ ℝ)
79	74, 78	ifclda 4524	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → if(𝐴 ∈ ℝ+, 𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐴))) ∈ ℝ)
80	33, 79	eqeltrid 2832	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℝ)
81		ltmin 13154	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) < if(𝑆 ≤ 𝑇, 𝑆, 𝑇) ↔ ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) < 𝑆 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝐵)) < 𝑇)))
82	59, 80, 72, 81	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) < if(𝑆 ≤ 𝑇, 𝑆, 𝑇) ↔ ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) < 𝑆 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝐵)) < 𝑇)))
83	36, 82	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) < 𝑆 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝐵)) < 𝑇))
84	83	simprd 495	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) < 𝑇)
85	69	rpred 12995	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (1 + 𝑅) ∈ ℝ)
86	66	ltp1d 12113	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 𝑅 < (𝑅 + 1))
87	66	recnd 11202	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℂ)
88		ax-1cn 11126	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 1 ∈ ℂ
89		addcom 11360	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑅 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑅 + 1) = (1 + 𝑅))
90	87, 88, 89	sylancl 586	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → (𝑅 + 1) = (1 + 𝑅))
91	86, 90	breqtrd 5133	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → 𝑅 < (1 + 𝑅))
92	66, 85, 91	ltled 11322	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ≤ (1 + 𝑅))
93	85	recnd 11202	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (1 + 𝑅) ∈ ℂ)
94	93	mulridd 11191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → ((1 + 𝑅) · 1) = (1 + 𝑅))
95	92, 94	breqtrrd 5135	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ≤ ((1 + 𝑅) · 1))
96	57	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
97	66, 96, 69	ledivmuld 13048	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 / (1 + 𝑅)) ≤ 1 ↔ 𝑅 ≤ ((1 + 𝑅) · 1)))
98	95, 97	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝑅 / (1 + 𝑅)) ≤ 1)
99	70, 96, 60	lemul2d 13039	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 / (1 + 𝑅)) ≤ 1 ↔ ((abs‘𝐴) · (𝑅 / (1 + 𝑅))) ≤ ((abs‘𝐴) · 1)))
100	98, 99	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝐴) · (𝑅 / (1 + 𝑅))) ≤ ((abs‘𝐴) · 1))
101	65	recnd 11202	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) ∈ ℂ)
102	101	mulridd 11191	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝐴) · 1) = (abs‘𝐴))
103	100, 102	breqtrd 5133	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝐴) · (𝑅 / (1 + 𝑅))) ≤ (abs‘𝐴))
104	34, 103	eqbrtrid 5142	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ≤ (abs‘𝐴))
105	59, 72, 65, 84, 104	ltletrd 11334	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) < (abs‘𝐴))
106	105, 102	breqtrrd 5135	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) < ((abs‘𝐴) · 1))
107	59, 96, 60	ltdivmuld 13046	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / (abs‘𝐴)) < 1 ↔ (abs‘(𝐴 − 𝐵)) < ((abs‘𝐴) · 1)))
108	106, 107	mpbird 257	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / (abs‘𝐴)) < 1)
109		posdif 11671	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / (abs‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / (abs‘𝐴)) < 1 ↔ 0 < (1 − ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / (abs‘𝐴)))))
110	61, 57, 109	sylancl 586	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / (abs‘𝐴)) < 1 ↔ 0 < (1 − ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / (abs‘𝐴)))))
111	108, 110	mpbid 232	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 < (1 − ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / (abs‘𝐴))))
112	58, 5, 7	divcld 11958	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) / 𝐴) ∈ ℂ)
113	112	releabsd 15420	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (ℜ‘((𝐴 − 𝐵) / 𝐴)) ≤ (abs‘((𝐴 − 𝐵) / 𝐴)))
114	5, 14, 5, 7	divsubdird 11997	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) / 𝐴) = ((𝐴 / 𝐴) − (𝐵 / 𝐴)))
115	5, 7	dividd 11956	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐴) = 1)
116	115	oveq1d 7402	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 𝐴) − (𝐵 / 𝐴)) = (1 − (𝐵 / 𝐴)))
117	114, 116	eqtrd 2764	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) / 𝐴) = (1 − (𝐵 / 𝐴)))
118	117	fveq2d 6862	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (ℜ‘((𝐴 − 𝐵) / 𝐴)) = (ℜ‘(1 − (𝐵 / 𝐴))))
119		resub 15093	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (𝐵 / 𝐴) ∈ ℂ) → (ℜ‘(1 − (𝐵 / 𝐴))) = ((ℜ‘1) − (ℜ‘(𝐵 / 𝐴))))
120	88, 30, 119	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (ℜ‘(1 − (𝐵 / 𝐴))) = ((ℜ‘1) − (ℜ‘(𝐵 / 𝐴))))
121	118, 120	eqtrd 2764	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (ℜ‘((𝐴 − 𝐵) / 𝐴)) = ((ℜ‘1) − (ℜ‘(𝐵 / 𝐴))))
122		re1 15120	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (ℜ‘1) = 1
123	122	oveq1i 7397	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((ℜ‘1) − (ℜ‘(𝐵 / 𝐴))) = (1 − (ℜ‘(𝐵 / 𝐴)))
124	121, 123	eqtrdi 2780	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (ℜ‘((𝐴 − 𝐵) / 𝐴)) = (1 − (ℜ‘(𝐵 / 𝐴))))
125	58, 5, 7	absdivd 15424	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐴 − 𝐵) / 𝐴)) = ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / (abs‘𝐴)))
126	113, 124, 125	3brtr3d 5138	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (1 − (ℜ‘(𝐵 / 𝐴))) ≤ ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / (abs‘𝐴)))
127	96, 64, 61, 126	subled 11781	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (1 − ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / (abs‘𝐴))) ≤ (ℜ‘(𝐵 / 𝐴)))
128	56, 63, 64, 111, 127	ltletrd 11334	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 < (ℜ‘(𝐵 / 𝐴)))
129		argregt0 26519	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐵 / 𝐴) ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘(𝐵 / 𝐴))) → (ℑ‘(log‘(𝐵 / 𝐴))) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)))
130	30, 128, 129	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘(log‘(𝐵 / 𝐴))) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)))
131		cosq14gt0 26419	. . . . . . . 8 ⊢ ((ℑ‘(log‘(𝐵 / 𝐴))) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) → 0 < (cos‘(ℑ‘(log‘(𝐵 / 𝐴)))))
132	130, 131	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 < (cos‘(ℑ‘(log‘(𝐵 / 𝐴)))))
133	132	gt0ne0d 11742	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (cos‘(ℑ‘(log‘(𝐵 / 𝐴)))) ≠ 0)
134	53, 133	retancld 16113	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (tan‘(ℑ‘(log‘(𝐵 / 𝐴)))) ∈ ℝ)
135	134	recnd 11202	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (tan‘(ℑ‘(log‘(𝐵 / 𝐴)))) ∈ ℂ)
136	135	abscld 15405	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘(tan‘(ℑ‘(log‘(𝐵 / 𝐴))))) ∈ ℝ)
137		tanabsge 26415	. . . 4 ⊢ ((ℑ‘(log‘(𝐵 / 𝐴))) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) → (abs‘(ℑ‘(log‘(𝐵 / 𝐴)))) ≤ (abs‘(tan‘(ℑ‘(log‘(𝐵 / 𝐴))))))
138	130, 137	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘(ℑ‘(log‘(𝐵 / 𝐴)))) ≤ (abs‘(tan‘(ℑ‘(log‘(𝐵 / 𝐴))))))
139	128	gt0ne0d 11742	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ℜ‘(𝐵 / 𝐴)) ≠ 0)
140		tanarg 26528	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 / 𝐴) ∈ ℂ ∧ (ℜ‘(𝐵 / 𝐴)) ≠ 0) → (tan‘(ℑ‘(log‘(𝐵 / 𝐴)))) = ((ℑ‘(𝐵 / 𝐴)) / (ℜ‘(𝐵 / 𝐴))))
141	30, 139, 140	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (tan‘(ℑ‘(log‘(𝐵 / 𝐴)))) = ((ℑ‘(𝐵 / 𝐴)) / (ℜ‘(𝐵 / 𝐴))))
142	141	fveq2d 6862	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘(tan‘(ℑ‘(log‘(𝐵 / 𝐴))))) = (abs‘((ℑ‘(𝐵 / 𝐴)) / (ℜ‘(𝐵 / 𝐴)))))
143	30	imcld 15161	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘(𝐵 / 𝐴)) ∈ ℝ)
144	143	recnd 11202	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘(𝐵 / 𝐴)) ∈ ℂ)
145	64	recnd 11202	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℜ‘(𝐵 / 𝐴)) ∈ ℂ)
146	144, 145, 139	absdivd 15424	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘((ℑ‘(𝐵 / 𝐴)) / (ℜ‘(𝐵 / 𝐴)))) = ((abs‘(ℑ‘(𝐵 / 𝐴))) / (abs‘(ℜ‘(𝐵 / 𝐴)))))
147	56, 64, 128	ltled 11322	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / 𝐴)))
148	64, 147	absidd 15389	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘(ℜ‘(𝐵 / 𝐴))) = (ℜ‘(𝐵 / 𝐴)))
149	148	oveq2d 7403	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(ℑ‘(𝐵 / 𝐴))) / (abs‘(ℜ‘(𝐵 / 𝐴)))) = ((abs‘(ℑ‘(𝐵 / 𝐴))) / (ℜ‘(𝐵 / 𝐴))))
150	142, 146, 149	3eqtrd 2768	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs‘(tan‘(ℑ‘(log‘(𝐵 / 𝐴))))) = ((abs‘(ℑ‘(𝐵 / 𝐴))) / (ℜ‘(𝐵 / 𝐴))))
151	144	abscld 15405	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘(ℑ‘(𝐵 / 𝐴))) ∈ ℝ)
152	64, 66	remulcld 11204	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((ℜ‘(𝐵 / 𝐴)) · 𝑅) ∈ ℝ)
153	14, 5	subcld 11533	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℂ)
154	153, 5, 7	divcld 11958	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝐴) / 𝐴) ∈ ℂ)
155		absimle 15275	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵 − 𝐴) / 𝐴) ∈ ℂ → (abs‘(ℑ‘((𝐵 − 𝐴) / 𝐴))) ≤ (abs‘((𝐵 − 𝐴) / 𝐴)))
156	154, 155	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘(ℑ‘((𝐵 − 𝐴) / 𝐴))) ≤ (abs‘((𝐵 − 𝐴) / 𝐴)))
157	14, 5, 5, 7	divsubdird 11997	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝐴) / 𝐴) = ((𝐵 / 𝐴) − (𝐴 / 𝐴)))
158	115	oveq2d 7403	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 / 𝐴) − (𝐴 / 𝐴)) = ((𝐵 / 𝐴) − 1))
159	157, 158	eqtrd 2764	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝐴) / 𝐴) = ((𝐵 / 𝐴) − 1))
160	159	fveq2d 6862	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘((𝐵 − 𝐴) / 𝐴)) = (ℑ‘((𝐵 / 𝐴) − 1)))
161		imsub 15101	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵 / 𝐴) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (ℑ‘((𝐵 / 𝐴) − 1)) = ((ℑ‘(𝐵 / 𝐴)) − (ℑ‘1)))
162	30, 88, 161	sylancl 586	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘((𝐵 / 𝐴) − 1)) = ((ℑ‘(𝐵 / 𝐴)) − (ℑ‘1)))
163		im1 15121	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℑ‘1) = 0
164	163	oveq2i 7398	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((ℑ‘(𝐵 / 𝐴)) − (ℑ‘1)) = ((ℑ‘(𝐵 / 𝐴)) − 0)
165	162, 164	eqtrdi 2780	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘((𝐵 / 𝐴) − 1)) = ((ℑ‘(𝐵 / 𝐴)) − 0))
166	144	subid1d 11522	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((ℑ‘(𝐵 / 𝐴)) − 0) = (ℑ‘(𝐵 / 𝐴)))
167	160, 165, 166	3eqtrrd 2769	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘(𝐵 / 𝐴)) = (ℑ‘((𝐵 − 𝐴) / 𝐴)))
168	167	fveq2d 6862	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘(ℑ‘(𝐵 / 𝐴))) = (abs‘(ℑ‘((𝐵 − 𝐴) / 𝐴))))
169	5, 14	abssubd 15422	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) = (abs‘(𝐵 − 𝐴)))
170	169	oveq1d 7402	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / (abs‘𝐴)) = ((abs‘(𝐵 − 𝐴)) / (abs‘𝐴)))
171	153, 5, 7	absdivd 15424	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐵 − 𝐴) / 𝐴)) = ((abs‘(𝐵 − 𝐴)) / (abs‘𝐴)))
172	170, 171	eqtr4d 2767	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / (abs‘𝐴)) = (abs‘((𝐵 − 𝐴) / 𝐴)))
173	156, 168, 172	3brtr4d 5139	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘(ℑ‘(𝐵 / 𝐴))) ≤ ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / (abs‘𝐴)))
174	65, 59	resubcld 11606	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝐴) − (abs‘(𝐴 − 𝐵))) ∈ ℝ)
175	174, 66	remulcld 11204	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((abs‘𝐴) − (abs‘(𝐴 − 𝐵))) · 𝑅) ∈ ℝ)
176	65, 152	remulcld 11204	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝐴) · ((ℜ‘(𝐵 / 𝐴)) · 𝑅)) ∈ ℝ)
177	59	recnd 11202	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ ℂ)
178	88	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
179	177, 178, 87	adddid 11198	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) · (1 + 𝑅)) = (((abs‘(𝐴 − 𝐵)) · 1) + ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) · 𝑅)))
180	177	mulridd 11191	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) · 1) = (abs‘(𝐴 − 𝐵)))
181	180	oveq1d 7402	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((abs‘(𝐴 − 𝐵)) · 1) + ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) · 𝑅)) = ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) + ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) · 𝑅)))
182	179, 181	eqtrd 2764	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) · (1 + 𝑅)) = ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) + ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) · 𝑅)))
183	69	rpne0d 13000	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (1 + 𝑅) ≠ 0)
184	101, 87, 93, 183	divassd 11993	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (((abs‘𝐴) · 𝑅) / (1 + 𝑅)) = ((abs‘𝐴) · (𝑅 / (1 + 𝑅))))
185	184, 34	eqtr4di 2782	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (((abs‘𝐴) · 𝑅) / (1 + 𝑅)) = 𝑇)
186	84, 185	breqtrrd 5135	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) < (((abs‘𝐴) · 𝑅) / (1 + 𝑅)))
187	65, 66	remulcld 11204	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝐴) · 𝑅) ∈ ℝ)
188	59, 187, 69	ltmuldivd 13042	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((abs‘(𝐴 − 𝐵)) · (1 + 𝑅)) < ((abs‘𝐴) · 𝑅) ↔ (abs‘(𝐴 − 𝐵)) < (((abs‘𝐴) · 𝑅) / (1 + 𝑅))))
189	186, 188	mpbird 257	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) · (1 + 𝑅)) < ((abs‘𝐴) · 𝑅))
190	182, 189	eqbrtrrd 5131	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) + ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) · 𝑅)) < ((abs‘𝐴) · 𝑅))
191	59, 66	remulcld 11204	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) · 𝑅) ∈ ℝ)
192	59, 191, 187	ltaddsubd 11778	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((abs‘(𝐴 − 𝐵)) + ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) · 𝑅)) < ((abs‘𝐴) · 𝑅) ↔ (abs‘(𝐴 − 𝐵)) < (((abs‘𝐴) · 𝑅) − ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) · 𝑅))))
193	190, 192	mpbid 232	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) < (((abs‘𝐴) · 𝑅) − ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) · 𝑅)))
194	101, 177, 87	subdird 11635	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((abs‘𝐴) − (abs‘(𝐴 − 𝐵))) · 𝑅) = (((abs‘𝐴) · 𝑅) − ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) · 𝑅)))
195	193, 194	breqtrrd 5135	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) < (((abs‘𝐴) − (abs‘(𝐴 − 𝐵))) · 𝑅))
196	60	rpne0d 13000	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) ≠ 0)
197	101, 177, 101, 196	divsubdird 11997	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (((abs‘𝐴) − (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / (abs‘𝐴)) = (((abs‘𝐴) / (abs‘𝐴)) − ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / (abs‘𝐴))))
198	101, 196	dividd 11956	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝐴) / (abs‘𝐴)) = 1)
199	198	oveq1d 7402	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (((abs‘𝐴) / (abs‘𝐴)) − ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / (abs‘𝐴))) = (1 − ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / (abs‘𝐴))))
200	197, 199	eqtrd 2764	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((abs‘𝐴) − (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / (abs‘𝐴)) = (1 − ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / (abs‘𝐴))))
201	200, 127	eqbrtrd 5129	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((abs‘𝐴) − (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / (abs‘𝐴)) ≤ (ℜ‘(𝐵 / 𝐴)))
202	174, 64, 60	ledivmuld 13048	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((((abs‘𝐴) − (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / (abs‘𝐴)) ≤ (ℜ‘(𝐵 / 𝐴)) ↔ ((abs‘𝐴) − (abs‘(𝐴 − 𝐵))) ≤ ((abs‘𝐴) · (ℜ‘(𝐵 / 𝐴)))))
203	201, 202	mpbid 232	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝐴) − (abs‘(𝐴 − 𝐵))) ≤ ((abs‘𝐴) · (ℜ‘(𝐵 / 𝐴))))
204	65, 64	remulcld 11204	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝐴) · (ℜ‘(𝐵 / 𝐴))) ∈ ℝ)
205	174, 204, 35	lemul1d 13038	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((abs‘𝐴) − (abs‘(𝐴 − 𝐵))) ≤ ((abs‘𝐴) · (ℜ‘(𝐵 / 𝐴))) ↔ (((abs‘𝐴) − (abs‘(𝐴 − 𝐵))) · 𝑅) ≤ (((abs‘𝐴) · (ℜ‘(𝐵 / 𝐴))) · 𝑅)))
206	203, 205	mpbid 232	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((abs‘𝐴) − (abs‘(𝐴 − 𝐵))) · 𝑅) ≤ (((abs‘𝐴) · (ℜ‘(𝐵 / 𝐴))) · 𝑅))
207	101, 145, 87	mulassd 11197	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((abs‘𝐴) · (ℜ‘(𝐵 / 𝐴))) · 𝑅) = ((abs‘𝐴) · ((ℜ‘(𝐵 / 𝐴)) · 𝑅)))
208	206, 207	breqtrd 5133	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((abs‘𝐴) − (abs‘(𝐴 − 𝐵))) · 𝑅) ≤ ((abs‘𝐴) · ((ℜ‘(𝐵 / 𝐴)) · 𝑅)))
209	59, 175, 176, 195, 208	ltletrd 11334	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) < ((abs‘𝐴) · ((ℜ‘(𝐵 / 𝐴)) · 𝑅)))
210	59, 152, 60	ltdivmuld 13046	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / (abs‘𝐴)) < ((ℜ‘(𝐵 / 𝐴)) · 𝑅) ↔ (abs‘(𝐴 − 𝐵)) < ((abs‘𝐴) · ((ℜ‘(𝐵 / 𝐴)) · 𝑅))))
211	209, 210	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / (abs‘𝐴)) < ((ℜ‘(𝐵 / 𝐴)) · 𝑅))
212	151, 61, 152, 173, 211	lelttrd 11332	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘(ℑ‘(𝐵 / 𝐴))) < ((ℜ‘(𝐵 / 𝐴)) · 𝑅))
213		ltdivmul 12058	. . . . . 6 ⊢ (((abs‘(ℑ‘(𝐵 / 𝐴))) ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ ∧ ((ℜ‘(𝐵 / 𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 < (ℜ‘(𝐵 / 𝐴)))) → (((abs‘(ℑ‘(𝐵 / 𝐴))) / (ℜ‘(𝐵 / 𝐴))) < 𝑅 ↔ (abs‘(ℑ‘(𝐵 / 𝐴))) < ((ℜ‘(𝐵 / 𝐴)) · 𝑅)))
214	151, 66, 64, 128, 213	syl112anc 1376	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((abs‘(ℑ‘(𝐵 / 𝐴))) / (ℜ‘(𝐵 / 𝐴))) < 𝑅 ↔ (abs‘(ℑ‘(𝐵 / 𝐴))) < ((ℜ‘(𝐵 / 𝐴)) · 𝑅)))
215	212, 214	mpbird 257	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(ℑ‘(𝐵 / 𝐴))) / (ℜ‘(𝐵 / 𝐴))) < 𝑅)
216	150, 215	eqbrtrd 5129	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘(tan‘(ℑ‘(log‘(𝐵 / 𝐴))))) < 𝑅)
217	55, 136, 66, 138, 216	lelttrd 11332	. 2 ⊢ (𝜑 → (abs‘(ℑ‘(log‘(𝐵 / 𝐴)))) < 𝑅)
218	51, 217	eqbrtrd 5129	1 ⊢ (𝜑 → (abs‘((ℑ‘(log‘𝐴)) − (ℑ‘(log‘𝐵)))) < 𝑅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925   ∖ cdif 3911  ifcif 4488   class class class wbr 5107  ran crn 5639  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  ℂcc 11066  ℝcr 11067  0cc0 11068  1c1 11069   + caddc 11071   · cmul 11073  -∞cmnf 11206   < clt 11208   ≤ cle 11209   − cmin 11405  -cneg 11406   / cdiv 11835  2c2 12241  ℝ⁺crp 12951  (,)cioo 13306  (,]cioc 13307  ℜcre 15063  ℑcim 15064  abscabs 15200  expce 16027  cosccos 16030  tanctan 16031  πcpi 16032  logclog 26463

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-inf2 9594  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145  ax-pre-sup 11146  ax-addf 11147

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-se 5592  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-isom 6520  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-of 7653  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-supp 8140  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-2o 8435  df-er 8671  df-map 8801  df-pm 8802  df-ixp 8871  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-fsupp 9313  df-fi 9362  df-sup 9393  df-inf 9394  df-oi 9463  df-card 9892  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-4 12251  df-5 12252  df-6 12253  df-7 12254  df-8 12255  df-9 12256  df-n0 12443  df-z 12530  df-dec 12650  df-uz 12794  df-q 12908  df-rp 12952  df-xneg 13072  df-xadd 13073  df-xmul 13074  df-ioo 13310  df-ioc 13311  df-ico 13312  df-icc 13313  df-fz 13469  df-fzo 13616  df-fl 13754  df-mod 13832  df-seq 13967  df-exp 14027  df-fac 14239  df-bc 14268  df-hash 14296  df-shft 15033  df-cj 15065  df-re 15066  df-im 15067  df-sqrt 15201  df-abs 15202  df-limsup 15437  df-clim 15454  df-rlim 15455  df-sum 15653  df-ef 16033  df-sin 16035  df-cos 16036  df-tan 16037  df-pi 16038  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-starv 17235  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-ip 17238  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-unif 17243  df-hom 17244  df-cco 17245  df-rest 17385  df-topn 17386  df-0g 17404  df-gsum 17405  df-topgen 17406  df-pt 17407  df-prds 17410  df-xrs 17465  df-qtop 17470  df-imas 17471  df-xps 17473  df-mre 17547  df-mrc 17548  df-acs 17550  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-submnd 18711  df-mulg 19000  df-cntz 19249  df-cmn 19712  df-psmet 21256  df-xmet 21257  df-met 21258  df-bl 21259  df-mopn 21260  df-fbas 21261  df-fg 21262  df-cnfld 21265  df-top 22781  df-topon 22798  df-topsp 22820  df-bases 22833  df-cld 22906  df-ntr 22907  df-cls 22908  df-nei 22985  df-lp 23023  df-perf 23024  df-cn 23114  df-cnp 23115  df-haus 23202  df-tx 23449  df-hmeo 23642  df-fil 23733  df-fm 23825  df-flim 23826  df-flf 23827  df-xms 24208  df-ms 24209  df-tms 24210  df-cncf 24771  df-limc 25767  df-dv 25768  df-log 26465

This theorem is referenced by:  logcnlem5  26555