MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  logcnlem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem logcnlem4 26000
Description: Lemma for logcn 26002. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
logcn.d 𝐷 = (ℂ ∖ (-∞(,]0))
logcnlem.s 𝑆 = if(𝐴 ∈ ℝ+, 𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐴)))
logcnlem.t 𝑇 = ((abs‘𝐴) · (𝑅 / (1 + 𝑅)))
logcnlem.a (𝜑𝐴𝐷)
logcnlem.r (𝜑𝑅 ∈ ℝ+)
logcnlem.b (𝜑𝐵𝐷)
logcnlem.l (𝜑 → (abs‘(𝐴𝐵)) < if(𝑆𝑇, 𝑆, 𝑇))
Assertion
Ref Expression
logcnlem4 (𝜑 → (abs‘((ℑ‘(log‘𝐴)) − (ℑ‘(log‘𝐵)))) < 𝑅)

Proof of Theorem logcnlem4
StepHypRef Expression
1 logcnlem.a . . . . . . . 8 (𝜑𝐴𝐷)
2 logcn.d . . . . . . . . . 10 𝐷 = (ℂ ∖ (-∞(,]0))
32ellogdm 25994 . . . . . . . . 9 (𝐴𝐷 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ+)))
43simplbi 498 . . . . . . . 8 (𝐴𝐷𝐴 ∈ ℂ)
51, 4syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
62logdmn0 25995 . . . . . . . 8 (𝐴𝐷𝐴 ≠ 0)
71, 6syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ≠ 0)
85, 7logcld 25926 . . . . . 6 (𝜑 → (log‘𝐴) ∈ ℂ)
98imcld 15080 . . . . 5 (𝜑 → (ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℝ)
109recnd 11183 . . . 4 (𝜑 → (ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℂ)
11 logcnlem.b . . . . . . . 8 (𝜑𝐵𝐷)
122ellogdm 25994 . . . . . . . . 9 (𝐵𝐷 ↔ (𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℝ+)))
1312simplbi 498 . . . . . . . 8 (𝐵𝐷𝐵 ∈ ℂ)
1411, 13syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
152logdmn0 25995 . . . . . . . 8 (𝐵𝐷𝐵 ≠ 0)
1611, 15syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ≠ 0)
1714, 16logcld 25926 . . . . . 6 (𝜑 → (log‘𝐵) ∈ ℂ)
1817imcld 15080 . . . . 5 (𝜑 → (ℑ‘(log‘𝐵)) ∈ ℝ)
1918recnd 11183 . . . 4 (𝜑 → (ℑ‘(log‘𝐵)) ∈ ℂ)
2010, 19abssubd 15338 . . 3 (𝜑 → (abs‘((ℑ‘(log‘𝐴)) − (ℑ‘(log‘𝐵)))) = (abs‘((ℑ‘(log‘𝐵)) − (ℑ‘(log‘𝐴)))))
2117, 8imsubd 15102 . . . . 5 (𝜑 → (ℑ‘((log‘𝐵) − (log‘𝐴))) = ((ℑ‘(log‘𝐵)) − (ℑ‘(log‘𝐴))))
22 efsub 15982 . . . . . . . . . 10 (((log‘𝐵) ∈ ℂ ∧ (log‘𝐴) ∈ ℂ) → (exp‘((log‘𝐵) − (log‘𝐴))) = ((exp‘(log‘𝐵)) / (exp‘(log‘𝐴))))
2317, 8, 22syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (exp‘((log‘𝐵) − (log‘𝐴))) = ((exp‘(log‘𝐵)) / (exp‘(log‘𝐴))))
24 eflog 25932 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (exp‘(log‘𝐵)) = 𝐵)
2514, 16, 24syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (exp‘(log‘𝐵)) = 𝐵)
26 eflog 25932 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (exp‘(log‘𝐴)) = 𝐴)
275, 7, 26syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (exp‘(log‘𝐴)) = 𝐴)
2825, 27oveq12d 7375 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((exp‘(log‘𝐵)) / (exp‘(log‘𝐴))) = (𝐵 / 𝐴))
2923, 28eqtrd 2776 . . . . . . . 8 (𝜑 → (exp‘((log‘𝐵) − (log‘𝐴))) = (𝐵 / 𝐴))
3014, 5, 7divcld 11931 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐵 / 𝐴) ∈ ℂ)
3114, 5, 16, 7divne0d 11947 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐵 / 𝐴) ≠ 0)
3217, 8subcld 11512 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((log‘𝐵) − (log‘𝐴)) ∈ ℂ)
33 logcnlem.s . . . . . . . . . . . . 13 𝑆 = if(𝐴 ∈ ℝ+, 𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐴)))
34 logcnlem.t . . . . . . . . . . . . 13 𝑇 = ((abs‘𝐴) · (𝑅 / (1 + 𝑅)))
35 logcnlem.r . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑅 ∈ ℝ+)
36 logcnlem.l . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (abs‘(𝐴𝐵)) < if(𝑆𝑇, 𝑆, 𝑇))
372, 33, 34, 1, 35, 11, 36logcnlem3 25999 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (-π < ((ℑ‘(log‘𝐵)) − (ℑ‘(log‘𝐴))) ∧ ((ℑ‘(log‘𝐵)) − (ℑ‘(log‘𝐴))) ≤ π))
3837simpld 495 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → -π < ((ℑ‘(log‘𝐵)) − (ℑ‘(log‘𝐴))))
3938, 21breqtrrd 5133 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → -π < (ℑ‘((log‘𝐵) − (log‘𝐴))))
4037simprd 496 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((ℑ‘(log‘𝐵)) − (ℑ‘(log‘𝐴))) ≤ π)
4121, 40eqbrtrd 5127 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (ℑ‘((log‘𝐵) − (log‘𝐴))) ≤ π)
42 ellogrn 25915 . . . . . . . . . 10 (((log‘𝐵) − (log‘𝐴)) ∈ ran log ↔ (((log‘𝐵) − (log‘𝐴)) ∈ ℂ ∧ -π < (ℑ‘((log‘𝐵) − (log‘𝐴))) ∧ (ℑ‘((log‘𝐵) − (log‘𝐴))) ≤ π))
4332, 39, 41, 42syl3anbrc 1343 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((log‘𝐵) − (log‘𝐴)) ∈ ran log)
44 logeftb 25939 . . . . . . . . 9 (((𝐵 / 𝐴) ∈ ℂ ∧ (𝐵 / 𝐴) ≠ 0 ∧ ((log‘𝐵) − (log‘𝐴)) ∈ ran log) → ((log‘(𝐵 / 𝐴)) = ((log‘𝐵) − (log‘𝐴)) ↔ (exp‘((log‘𝐵) − (log‘𝐴))) = (𝐵 / 𝐴)))
4530, 31, 43, 44syl3anc 1371 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((log‘(𝐵 / 𝐴)) = ((log‘𝐵) − (log‘𝐴)) ↔ (exp‘((log‘𝐵) − (log‘𝐴))) = (𝐵 / 𝐴)))
4629, 45mpbird 256 . . . . . . 7 (𝜑 → (log‘(𝐵 / 𝐴)) = ((log‘𝐵) − (log‘𝐴)))
4746eqcomd 2742 . . . . . 6 (𝜑 → ((log‘𝐵) − (log‘𝐴)) = (log‘(𝐵 / 𝐴)))
4847fveq2d 6846 . . . . 5 (𝜑 → (ℑ‘((log‘𝐵) − (log‘𝐴))) = (ℑ‘(log‘(𝐵 / 𝐴))))
4921, 48eqtr3d 2778 . . . 4 (𝜑 → ((ℑ‘(log‘𝐵)) − (ℑ‘(log‘𝐴))) = (ℑ‘(log‘(𝐵 / 𝐴))))
5049fveq2d 6846 . . 3 (𝜑 → (abs‘((ℑ‘(log‘𝐵)) − (ℑ‘(log‘𝐴)))) = (abs‘(ℑ‘(log‘(𝐵 / 𝐴)))))
5120, 50eqtrd 2776 . 2 (𝜑 → (abs‘((ℑ‘(log‘𝐴)) − (ℑ‘(log‘𝐵)))) = (abs‘(ℑ‘(log‘(𝐵 / 𝐴)))))
5230, 31logcld 25926 . . . . . 6 (𝜑 → (log‘(𝐵 / 𝐴)) ∈ ℂ)
5352imcld 15080 . . . . 5 (𝜑 → (ℑ‘(log‘(𝐵 / 𝐴))) ∈ ℝ)
5453recnd 11183 . . . 4 (𝜑 → (ℑ‘(log‘(𝐵 / 𝐴))) ∈ ℂ)
5554abscld 15321 . . 3 (𝜑 → (abs‘(ℑ‘(log‘(𝐵 / 𝐴)))) ∈ ℝ)
56 0red 11158 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
57 1re 11155 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℝ
585, 14subcld 11512 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐴𝐵) ∈ ℂ)
5958abscld 15321 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (abs‘(𝐴𝐵)) ∈ ℝ)
605, 7absrpcld 15333 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (abs‘𝐴) ∈ ℝ+)
6159, 60rerpdivcld 12988 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((abs‘(𝐴𝐵)) / (abs‘𝐴)) ∈ ℝ)
62 resubcl 11465 . . . . . . . . . . 11 ((1 ∈ ℝ ∧ ((abs‘(𝐴𝐵)) / (abs‘𝐴)) ∈ ℝ) → (1 − ((abs‘(𝐴𝐵)) / (abs‘𝐴))) ∈ ℝ)
6357, 61, 62sylancr 587 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (1 − ((abs‘(𝐴𝐵)) / (abs‘𝐴))) ∈ ℝ)
6430recld 15079 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (ℜ‘(𝐵 / 𝐴)) ∈ ℝ)
655abscld 15321 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
6635rpred 12957 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑅 ∈ ℝ)
67 1rp 12919 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1 ∈ ℝ+
68 rpaddcl 12937 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((1 ∈ ℝ+𝑅 ∈ ℝ+) → (1 + 𝑅) ∈ ℝ+)
6967, 35, 68sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (1 + 𝑅) ∈ ℝ+)
7066, 69rerpdivcld 12988 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑅 / (1 + 𝑅)) ∈ ℝ)
7165, 70remulcld 11185 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((abs‘𝐴) · (𝑅 / (1 + 𝑅))) ∈ ℝ)
7234, 71eqeltrid 2842 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑇 ∈ ℝ)
73 rpre 12923 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ∈ ℝ)
7473adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝐴 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℝ)
755imcld 15080 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
7675recnd 11183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ)
7776abscld 15321 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (abs‘(ℑ‘𝐴)) ∈ ℝ)
7877adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ+) → (abs‘(ℑ‘𝐴)) ∈ ℝ)
7974, 78ifclda 4521 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → if(𝐴 ∈ ℝ+, 𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐴))) ∈ ℝ)
8033, 79eqeltrid 2842 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑆 ∈ ℝ)
81 ltmin 13113 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((abs‘(𝐴𝐵)) ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝐴𝐵)) < if(𝑆𝑇, 𝑆, 𝑇) ↔ ((abs‘(𝐴𝐵)) < 𝑆 ∧ (abs‘(𝐴𝐵)) < 𝑇)))
8259, 80, 72, 81syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((abs‘(𝐴𝐵)) < if(𝑆𝑇, 𝑆, 𝑇) ↔ ((abs‘(𝐴𝐵)) < 𝑆 ∧ (abs‘(𝐴𝐵)) < 𝑇)))
8336, 82mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((abs‘(𝐴𝐵)) < 𝑆 ∧ (abs‘(𝐴𝐵)) < 𝑇))
8483simprd 496 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (abs‘(𝐴𝐵)) < 𝑇)
8569rpred 12957 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (1 + 𝑅) ∈ ℝ)
8666ltp1d 12085 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝑅 < (𝑅 + 1))
8766recnd 11183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑𝑅 ∈ ℂ)
88 ax-1cn 11109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1 ∈ ℂ
89 addcom 11341 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑅 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑅 + 1) = (1 + 𝑅))
9087, 88, 89sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (𝑅 + 1) = (1 + 𝑅))
9186, 90breqtrd 5131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝑅 < (1 + 𝑅))
9266, 85, 91ltled 11303 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝑅 ≤ (1 + 𝑅))
9385recnd 11183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (1 + 𝑅) ∈ ℂ)
9493mulid1d 11172 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((1 + 𝑅) · 1) = (1 + 𝑅))
9592, 94breqtrrd 5133 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝑅 ≤ ((1 + 𝑅) · 1))
9657a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
9766, 96, 69ledivmuld 13010 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((𝑅 / (1 + 𝑅)) ≤ 1 ↔ 𝑅 ≤ ((1 + 𝑅) · 1)))
9895, 97mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑅 / (1 + 𝑅)) ≤ 1)
9970, 96, 60lemul2d 13001 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((𝑅 / (1 + 𝑅)) ≤ 1 ↔ ((abs‘𝐴) · (𝑅 / (1 + 𝑅))) ≤ ((abs‘𝐴) · 1)))
10098, 99mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((abs‘𝐴) · (𝑅 / (1 + 𝑅))) ≤ ((abs‘𝐴) · 1))
10165recnd 11183 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (abs‘𝐴) ∈ ℂ)
102101mulid1d 11172 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((abs‘𝐴) · 1) = (abs‘𝐴))
103100, 102breqtrd 5131 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((abs‘𝐴) · (𝑅 / (1 + 𝑅))) ≤ (abs‘𝐴))
10434, 103eqbrtrid 5140 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑇 ≤ (abs‘𝐴))
10559, 72, 65, 84, 104ltletrd 11315 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (abs‘(𝐴𝐵)) < (abs‘𝐴))
106105, 102breqtrrd 5133 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (abs‘(𝐴𝐵)) < ((abs‘𝐴) · 1))
10759, 96, 60ltdivmuld 13008 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((abs‘(𝐴𝐵)) / (abs‘𝐴)) < 1 ↔ (abs‘(𝐴𝐵)) < ((abs‘𝐴) · 1)))
108106, 107mpbird 256 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((abs‘(𝐴𝐵)) / (abs‘𝐴)) < 1)
109 posdif 11648 . . . . . . . . . . . 12 ((((abs‘(𝐴𝐵)) / (abs‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (((abs‘(𝐴𝐵)) / (abs‘𝐴)) < 1 ↔ 0 < (1 − ((abs‘(𝐴𝐵)) / (abs‘𝐴)))))
11061, 57, 109sylancl 586 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((abs‘(𝐴𝐵)) / (abs‘𝐴)) < 1 ↔ 0 < (1 − ((abs‘(𝐴𝐵)) / (abs‘𝐴)))))
111108, 110mpbid 231 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 < (1 − ((abs‘(𝐴𝐵)) / (abs‘𝐴))))
11258, 5, 7divcld 11931 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝐴𝐵) / 𝐴) ∈ ℂ)
113112releabsd 15336 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (ℜ‘((𝐴𝐵) / 𝐴)) ≤ (abs‘((𝐴𝐵) / 𝐴)))
1145, 14, 5, 7divsubdird 11970 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝐴𝐵) / 𝐴) = ((𝐴 / 𝐴) − (𝐵 / 𝐴)))
1155, 7dividd 11929 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝐴 / 𝐴) = 1)
116115oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝐴 / 𝐴) − (𝐵 / 𝐴)) = (1 − (𝐵 / 𝐴)))
117114, 116eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝐴𝐵) / 𝐴) = (1 − (𝐵 / 𝐴)))
118117fveq2d 6846 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (ℜ‘((𝐴𝐵) / 𝐴)) = (ℜ‘(1 − (𝐵 / 𝐴))))
119 resub 15012 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1 ∈ ℂ ∧ (𝐵 / 𝐴) ∈ ℂ) → (ℜ‘(1 − (𝐵 / 𝐴))) = ((ℜ‘1) − (ℜ‘(𝐵 / 𝐴))))
12088, 30, 119sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (ℜ‘(1 − (𝐵 / 𝐴))) = ((ℜ‘1) − (ℜ‘(𝐵 / 𝐴))))
121118, 120eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (ℜ‘((𝐴𝐵) / 𝐴)) = ((ℜ‘1) − (ℜ‘(𝐵 / 𝐴))))
122 re1 15039 . . . . . . . . . . . . . 14 (ℜ‘1) = 1
123122oveq1i 7367 . . . . . . . . . . . . 13 ((ℜ‘1) − (ℜ‘(𝐵 / 𝐴))) = (1 − (ℜ‘(𝐵 / 𝐴)))
124121, 123eqtrdi 2792 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (ℜ‘((𝐴𝐵) / 𝐴)) = (1 − (ℜ‘(𝐵 / 𝐴))))
12558, 5, 7absdivd 15340 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (abs‘((𝐴𝐵) / 𝐴)) = ((abs‘(𝐴𝐵)) / (abs‘𝐴)))
126113, 124, 1253brtr3d 5136 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (1 − (ℜ‘(𝐵 / 𝐴))) ≤ ((abs‘(𝐴𝐵)) / (abs‘𝐴)))
12796, 64, 61, 126subled 11758 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (1 − ((abs‘(𝐴𝐵)) / (abs‘𝐴))) ≤ (ℜ‘(𝐵 / 𝐴)))
12856, 63, 64, 111, 127ltletrd 11315 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 < (ℜ‘(𝐵 / 𝐴)))
129 argregt0 25965 . . . . . . . . 9 (((𝐵 / 𝐴) ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘(𝐵 / 𝐴))) → (ℑ‘(log‘(𝐵 / 𝐴))) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)))
13030, 128, 129syl2anc 584 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℑ‘(log‘(𝐵 / 𝐴))) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)))
131 cosq14gt0 25867 . . . . . . . 8 ((ℑ‘(log‘(𝐵 / 𝐴))) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) → 0 < (cos‘(ℑ‘(log‘(𝐵 / 𝐴)))))
132130, 131syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 < (cos‘(ℑ‘(log‘(𝐵 / 𝐴)))))
133132gt0ne0d 11719 . . . . . 6 (𝜑 → (cos‘(ℑ‘(log‘(𝐵 / 𝐴)))) ≠ 0)
13453, 133retancld 16027 . . . . 5 (𝜑 → (tan‘(ℑ‘(log‘(𝐵 / 𝐴)))) ∈ ℝ)
135134recnd 11183 . . . 4 (𝜑 → (tan‘(ℑ‘(log‘(𝐵 / 𝐴)))) ∈ ℂ)
136135abscld 15321 . . 3 (𝜑 → (abs‘(tan‘(ℑ‘(log‘(𝐵 / 𝐴))))) ∈ ℝ)
137 tanabsge 25863 . . . 4 ((ℑ‘(log‘(𝐵 / 𝐴))) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) → (abs‘(ℑ‘(log‘(𝐵 / 𝐴)))) ≤ (abs‘(tan‘(ℑ‘(log‘(𝐵 / 𝐴))))))
138130, 137syl 17 . . 3 (𝜑 → (abs‘(ℑ‘(log‘(𝐵 / 𝐴)))) ≤ (abs‘(tan‘(ℑ‘(log‘(𝐵 / 𝐴))))))
139128gt0ne0d 11719 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℜ‘(𝐵 / 𝐴)) ≠ 0)
140 tanarg 25974 . . . . . . 7 (((𝐵 / 𝐴) ∈ ℂ ∧ (ℜ‘(𝐵 / 𝐴)) ≠ 0) → (tan‘(ℑ‘(log‘(𝐵 / 𝐴)))) = ((ℑ‘(𝐵 / 𝐴)) / (ℜ‘(𝐵 / 𝐴))))
14130, 139, 140syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑 → (tan‘(ℑ‘(log‘(𝐵 / 𝐴)))) = ((ℑ‘(𝐵 / 𝐴)) / (ℜ‘(𝐵 / 𝐴))))
142141fveq2d 6846 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘(tan‘(ℑ‘(log‘(𝐵 / 𝐴))))) = (abs‘((ℑ‘(𝐵 / 𝐴)) / (ℜ‘(𝐵 / 𝐴)))))
14330imcld 15080 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℑ‘(𝐵 / 𝐴)) ∈ ℝ)
144143recnd 11183 . . . . . 6 (𝜑 → (ℑ‘(𝐵 / 𝐴)) ∈ ℂ)
14564recnd 11183 . . . . . 6 (𝜑 → (ℜ‘(𝐵 / 𝐴)) ∈ ℂ)
146144, 145, 139absdivd 15340 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘((ℑ‘(𝐵 / 𝐴)) / (ℜ‘(𝐵 / 𝐴)))) = ((abs‘(ℑ‘(𝐵 / 𝐴))) / (abs‘(ℜ‘(𝐵 / 𝐴)))))
14756, 64, 128ltled 11303 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / 𝐴)))
14864, 147absidd 15307 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘(ℜ‘(𝐵 / 𝐴))) = (ℜ‘(𝐵 / 𝐴)))
149148oveq2d 7373 . . . . 5 (𝜑 → ((abs‘(ℑ‘(𝐵 / 𝐴))) / (abs‘(ℜ‘(𝐵 / 𝐴)))) = ((abs‘(ℑ‘(𝐵 / 𝐴))) / (ℜ‘(𝐵 / 𝐴))))
150142, 146, 1493eqtrd 2780 . . . 4 (𝜑 → (abs‘(tan‘(ℑ‘(log‘(𝐵 / 𝐴))))) = ((abs‘(ℑ‘(𝐵 / 𝐴))) / (ℜ‘(𝐵 / 𝐴))))
151144abscld 15321 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘(ℑ‘(𝐵 / 𝐴))) ∈ ℝ)
15264, 66remulcld 11185 . . . . . 6 (𝜑 → ((ℜ‘(𝐵 / 𝐴)) · 𝑅) ∈ ℝ)
15314, 5subcld 11512 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐵𝐴) ∈ ℂ)
154153, 5, 7divcld 11931 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐵𝐴) / 𝐴) ∈ ℂ)
155 absimle 15194 . . . . . . . 8 (((𝐵𝐴) / 𝐴) ∈ ℂ → (abs‘(ℑ‘((𝐵𝐴) / 𝐴))) ≤ (abs‘((𝐵𝐴) / 𝐴)))
156154, 155syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (abs‘(ℑ‘((𝐵𝐴) / 𝐴))) ≤ (abs‘((𝐵𝐴) / 𝐴)))
15714, 5, 5, 7divsubdird 11970 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐵𝐴) / 𝐴) = ((𝐵 / 𝐴) − (𝐴 / 𝐴)))
158115oveq2d 7373 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐵 / 𝐴) − (𝐴 / 𝐴)) = ((𝐵 / 𝐴) − 1))
159157, 158eqtrd 2776 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐵𝐴) / 𝐴) = ((𝐵 / 𝐴) − 1))
160159fveq2d 6846 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℑ‘((𝐵𝐴) / 𝐴)) = (ℑ‘((𝐵 / 𝐴) − 1)))
161 imsub 15020 . . . . . . . . . . 11 (((𝐵 / 𝐴) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (ℑ‘((𝐵 / 𝐴) − 1)) = ((ℑ‘(𝐵 / 𝐴)) − (ℑ‘1)))
16230, 88, 161sylancl 586 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (ℑ‘((𝐵 / 𝐴) − 1)) = ((ℑ‘(𝐵 / 𝐴)) − (ℑ‘1)))
163 im1 15040 . . . . . . . . . . 11 (ℑ‘1) = 0
164163oveq2i 7368 . . . . . . . . . 10 ((ℑ‘(𝐵 / 𝐴)) − (ℑ‘1)) = ((ℑ‘(𝐵 / 𝐴)) − 0)
165162, 164eqtrdi 2792 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℑ‘((𝐵 / 𝐴) − 1)) = ((ℑ‘(𝐵 / 𝐴)) − 0))
166144subid1d 11501 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((ℑ‘(𝐵 / 𝐴)) − 0) = (ℑ‘(𝐵 / 𝐴)))
167160, 165, 1663eqtrrd 2781 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℑ‘(𝐵 / 𝐴)) = (ℑ‘((𝐵𝐴) / 𝐴)))
168167fveq2d 6846 . . . . . . 7 (𝜑 → (abs‘(ℑ‘(𝐵 / 𝐴))) = (abs‘(ℑ‘((𝐵𝐴) / 𝐴))))
1695, 14abssubd 15338 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (abs‘(𝐴𝐵)) = (abs‘(𝐵𝐴)))
170169oveq1d 7372 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((abs‘(𝐴𝐵)) / (abs‘𝐴)) = ((abs‘(𝐵𝐴)) / (abs‘𝐴)))
171153, 5, 7absdivd 15340 . . . . . . . 8 (𝜑 → (abs‘((𝐵𝐴) / 𝐴)) = ((abs‘(𝐵𝐴)) / (abs‘𝐴)))
172170, 171eqtr4d 2779 . . . . . . 7 (𝜑 → ((abs‘(𝐴𝐵)) / (abs‘𝐴)) = (abs‘((𝐵𝐴) / 𝐴)))
173156, 168, 1723brtr4d 5137 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘(ℑ‘(𝐵 / 𝐴))) ≤ ((abs‘(𝐴𝐵)) / (abs‘𝐴)))
17465, 59resubcld 11583 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((abs‘𝐴) − (abs‘(𝐴𝐵))) ∈ ℝ)
175174, 66remulcld 11185 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((abs‘𝐴) − (abs‘(𝐴𝐵))) · 𝑅) ∈ ℝ)
17665, 152remulcld 11185 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((abs‘𝐴) · ((ℜ‘(𝐵 / 𝐴)) · 𝑅)) ∈ ℝ)
17759recnd 11183 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (abs‘(𝐴𝐵)) ∈ ℂ)
17888a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
179177, 178, 87adddid 11179 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((abs‘(𝐴𝐵)) · (1 + 𝑅)) = (((abs‘(𝐴𝐵)) · 1) + ((abs‘(𝐴𝐵)) · 𝑅)))
180177mulid1d 11172 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((abs‘(𝐴𝐵)) · 1) = (abs‘(𝐴𝐵)))
181180oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((abs‘(𝐴𝐵)) · 1) + ((abs‘(𝐴𝐵)) · 𝑅)) = ((abs‘(𝐴𝐵)) + ((abs‘(𝐴𝐵)) · 𝑅)))
182179, 181eqtrd 2776 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((abs‘(𝐴𝐵)) · (1 + 𝑅)) = ((abs‘(𝐴𝐵)) + ((abs‘(𝐴𝐵)) · 𝑅)))
18369rpne0d 12962 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (1 + 𝑅) ≠ 0)
184101, 87, 93, 183divassd 11966 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((abs‘𝐴) · 𝑅) / (1 + 𝑅)) = ((abs‘𝐴) · (𝑅 / (1 + 𝑅))))
185184, 34eqtr4di 2794 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((abs‘𝐴) · 𝑅) / (1 + 𝑅)) = 𝑇)
18684, 185breqtrrd 5133 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (abs‘(𝐴𝐵)) < (((abs‘𝐴) · 𝑅) / (1 + 𝑅)))
18765, 66remulcld 11185 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((abs‘𝐴) · 𝑅) ∈ ℝ)
18859, 187, 69ltmuldivd 13004 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((abs‘(𝐴𝐵)) · (1 + 𝑅)) < ((abs‘𝐴) · 𝑅) ↔ (abs‘(𝐴𝐵)) < (((abs‘𝐴) · 𝑅) / (1 + 𝑅))))
189186, 188mpbird 256 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((abs‘(𝐴𝐵)) · (1 + 𝑅)) < ((abs‘𝐴) · 𝑅))
190182, 189eqbrtrrd 5129 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((abs‘(𝐴𝐵)) + ((abs‘(𝐴𝐵)) · 𝑅)) < ((abs‘𝐴) · 𝑅))
19159, 66remulcld 11185 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((abs‘(𝐴𝐵)) · 𝑅) ∈ ℝ)
19259, 191, 187ltaddsubd 11755 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((abs‘(𝐴𝐵)) + ((abs‘(𝐴𝐵)) · 𝑅)) < ((abs‘𝐴) · 𝑅) ↔ (abs‘(𝐴𝐵)) < (((abs‘𝐴) · 𝑅) − ((abs‘(𝐴𝐵)) · 𝑅))))
193190, 192mpbid 231 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (abs‘(𝐴𝐵)) < (((abs‘𝐴) · 𝑅) − ((abs‘(𝐴𝐵)) · 𝑅)))
194101, 177, 87subdird 11612 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((abs‘𝐴) − (abs‘(𝐴𝐵))) · 𝑅) = (((abs‘𝐴) · 𝑅) − ((abs‘(𝐴𝐵)) · 𝑅)))
195193, 194breqtrrd 5133 . . . . . . . 8 (𝜑 → (abs‘(𝐴𝐵)) < (((abs‘𝐴) − (abs‘(𝐴𝐵))) · 𝑅))
19660rpne0d 12962 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (abs‘𝐴) ≠ 0)
197101, 177, 101, 196divsubdird 11970 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((abs‘𝐴) − (abs‘(𝐴𝐵))) / (abs‘𝐴)) = (((abs‘𝐴) / (abs‘𝐴)) − ((abs‘(𝐴𝐵)) / (abs‘𝐴))))
198101, 196dividd 11929 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((abs‘𝐴) / (abs‘𝐴)) = 1)
199198oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((abs‘𝐴) / (abs‘𝐴)) − ((abs‘(𝐴𝐵)) / (abs‘𝐴))) = (1 − ((abs‘(𝐴𝐵)) / (abs‘𝐴))))
200197, 199eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((abs‘𝐴) − (abs‘(𝐴𝐵))) / (abs‘𝐴)) = (1 − ((abs‘(𝐴𝐵)) / (abs‘𝐴))))
201200, 127eqbrtrd 5127 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((abs‘𝐴) − (abs‘(𝐴𝐵))) / (abs‘𝐴)) ≤ (ℜ‘(𝐵 / 𝐴)))
202174, 64, 60ledivmuld 13010 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((((abs‘𝐴) − (abs‘(𝐴𝐵))) / (abs‘𝐴)) ≤ (ℜ‘(𝐵 / 𝐴)) ↔ ((abs‘𝐴) − (abs‘(𝐴𝐵))) ≤ ((abs‘𝐴) · (ℜ‘(𝐵 / 𝐴)))))
203201, 202mpbid 231 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((abs‘𝐴) − (abs‘(𝐴𝐵))) ≤ ((abs‘𝐴) · (ℜ‘(𝐵 / 𝐴))))
20465, 64remulcld 11185 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((abs‘𝐴) · (ℜ‘(𝐵 / 𝐴))) ∈ ℝ)
205174, 204, 35lemul1d 13000 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((abs‘𝐴) − (abs‘(𝐴𝐵))) ≤ ((abs‘𝐴) · (ℜ‘(𝐵 / 𝐴))) ↔ (((abs‘𝐴) − (abs‘(𝐴𝐵))) · 𝑅) ≤ (((abs‘𝐴) · (ℜ‘(𝐵 / 𝐴))) · 𝑅)))
206203, 205mpbid 231 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((abs‘𝐴) − (abs‘(𝐴𝐵))) · 𝑅) ≤ (((abs‘𝐴) · (ℜ‘(𝐵 / 𝐴))) · 𝑅))
207101, 145, 87mulassd 11178 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((abs‘𝐴) · (ℜ‘(𝐵 / 𝐴))) · 𝑅) = ((abs‘𝐴) · ((ℜ‘(𝐵 / 𝐴)) · 𝑅)))
208206, 207breqtrd 5131 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((abs‘𝐴) − (abs‘(𝐴𝐵))) · 𝑅) ≤ ((abs‘𝐴) · ((ℜ‘(𝐵 / 𝐴)) · 𝑅)))
20959, 175, 176, 195, 208ltletrd 11315 . . . . . . 7 (𝜑 → (abs‘(𝐴𝐵)) < ((abs‘𝐴) · ((ℜ‘(𝐵 / 𝐴)) · 𝑅)))
21059, 152, 60ltdivmuld 13008 . . . . . . 7 (𝜑 → (((abs‘(𝐴𝐵)) / (abs‘𝐴)) < ((ℜ‘(𝐵 / 𝐴)) · 𝑅) ↔ (abs‘(𝐴𝐵)) < ((abs‘𝐴) · ((ℜ‘(𝐵 / 𝐴)) · 𝑅))))
211209, 210mpbird 256 . . . . . 6 (𝜑 → ((abs‘(𝐴𝐵)) / (abs‘𝐴)) < ((ℜ‘(𝐵 / 𝐴)) · 𝑅))
212151, 61, 152, 173, 211lelttrd 11313 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘(ℑ‘(𝐵 / 𝐴))) < ((ℜ‘(𝐵 / 𝐴)) · 𝑅))
213 ltdivmul 12030 . . . . . 6 (((abs‘(ℑ‘(𝐵 / 𝐴))) ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ ∧ ((ℜ‘(𝐵 / 𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 < (ℜ‘(𝐵 / 𝐴)))) → (((abs‘(ℑ‘(𝐵 / 𝐴))) / (ℜ‘(𝐵 / 𝐴))) < 𝑅 ↔ (abs‘(ℑ‘(𝐵 / 𝐴))) < ((ℜ‘(𝐵 / 𝐴)) · 𝑅)))
214151, 66, 64, 128, 213syl112anc 1374 . . . . 5 (𝜑 → (((abs‘(ℑ‘(𝐵 / 𝐴))) / (ℜ‘(𝐵 / 𝐴))) < 𝑅 ↔ (abs‘(ℑ‘(𝐵 / 𝐴))) < ((ℜ‘(𝐵 / 𝐴)) · 𝑅)))
215212, 214mpbird 256 . . . 4 (𝜑 → ((abs‘(ℑ‘(𝐵 / 𝐴))) / (ℜ‘(𝐵 / 𝐴))) < 𝑅)
216150, 215eqbrtrd 5127 . . 3 (𝜑 → (abs‘(tan‘(ℑ‘(log‘(𝐵 / 𝐴))))) < 𝑅)
21755, 136, 66, 138, 216lelttrd 11313 . 2 (𝜑 → (abs‘(ℑ‘(log‘(𝐵 / 𝐴)))) < 𝑅)
21851, 217eqbrtrd 5127 1 (𝜑 → (abs‘((ℑ‘(log‘𝐴)) − (ℑ‘(log‘𝐵)))) < 𝑅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  cdif 3907  ifcif 4486   class class class wbr 5105  ran crn 5634  cfv 6496  (class class class)co 7357  cc 11049  cr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056  -∞cmnf 11187   < clt 11189  cle 11190  cmin 11385  -cneg 11386   / cdiv 11812  2c2 12208  +crp 12915  (,)cioo 13264  (,]cioc 13265  cre 14982  cim 14983  abscabs 15119  expce 15944  cosccos 15947  tanctan 15948  πcpi 15949  logclog 25910
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130  ax-mulf 11131
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ioo 13268  df-ioc 13269  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-mod 13775  df-seq 13907  df-exp 13968  df-fac 14174  df-bc 14203  df-hash 14231  df-shft 14952  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-limsup 15353  df-clim 15370  df-rlim 15371  df-sum 15571  df-ef 15950  df-sin 15952  df-cos 15953  df-tan 15954  df-pi 15955  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-hom 17157  df-cco 17158  df-rest 17304  df-topn 17305  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-topgen 17325  df-pt 17326  df-prds 17329  df-xrs 17384  df-qtop 17389  df-imas 17390  df-xps 17392  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-submnd 18602  df-mulg 18873  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-fbas 20793  df-fg 20794  df-cnfld 20797  df-top 22243  df-topon 22260  df-topsp 22282  df-bases 22296  df-cld 22370  df-ntr 22371  df-cls 22372  df-nei 22449  df-lp 22487  df-perf 22488  df-cn 22578  df-cnp 22579  df-haus 22666  df-tx 22913  df-hmeo 23106  df-fil 23197  df-fm 23289  df-flim 23290  df-flf 23291  df-xms 23673  df-ms 23674  df-tms 23675  df-cncf 24241  df-limc 25230  df-dv 25231  df-log 25912
This theorem is referenced by:  logcnlem5  26001
  Copyright terms: Public domain W3C validator