Theorem logcnlem4 26609

Description: Lemma for logcn 26611. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
logcn.d	⊢ 𝐷 = (ℂ ∖ (-∞(,]0))
logcnlem.s	⊢ 𝑆 = if(𝐴 ∈ ℝ+, 𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐴)))
logcnlem.t	⊢ 𝑇 = ((abs‘𝐴) · (𝑅 / (1 + 𝑅)))
logcnlem.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐷)
logcnlem.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ+)
logcnlem.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐷)
logcnlem.l	⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) < if(𝑆 ≤ 𝑇, 𝑆, 𝑇))

Assertion

Ref	Expression
logcnlem4	⊢ (𝜑 → (abs‘((ℑ‘(log‘𝐴)) − (ℑ‘(log‘𝐵)))) < 𝑅)

Proof of Theorem logcnlem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		logcnlem.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐷)
2		logcn.d	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐷 = (ℂ ∖ (-∞(,]0))
3	2	ellogdm 26603	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐷 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ+)))
4	3	simplbi 496	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐷 → 𝐴 ∈ ℂ)
5	1, 4	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
6	2	logdmn0 26604	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐷 → 𝐴 ≠ 0)
7	1, 6	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
8	5, 7	logcld 26534	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (log‘𝐴) ∈ ℂ)
9	8	imcld 15157	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℝ)
10	9	recnd 11173	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℂ)
11		logcnlem.b	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐷)
12	2	ellogdm 26603	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐷 ↔ (𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℝ+)))
13	12	simplbi 496	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐷 → 𝐵 ∈ ℂ)
14	11, 13	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
15	2	logdmn0 26604	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐷 → 𝐵 ≠ 0)
16	11, 15	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
17	14, 16	logcld 26534	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (log‘𝐵) ∈ ℂ)
18	17	imcld 15157	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘(log‘𝐵)) ∈ ℝ)
19	18	recnd 11173	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘(log‘𝐵)) ∈ ℂ)
20	10, 19	abssubd 15418	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘((ℑ‘(log‘𝐴)) − (ℑ‘(log‘𝐵)))) = (abs‘((ℑ‘(log‘𝐵)) − (ℑ‘(log‘𝐴)))))
21	17, 8	imsubd 15179	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘((log‘𝐵) − (log‘𝐴))) = ((ℑ‘(log‘𝐵)) − (ℑ‘(log‘𝐴))))
22		efsub 16067	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((log‘𝐵) ∈ ℂ ∧ (log‘𝐴) ∈ ℂ) → (exp‘((log‘𝐵) − (log‘𝐴))) = ((exp‘(log‘𝐵)) / (exp‘(log‘𝐴))))
23	17, 8, 22	syl2anc 585	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (exp‘((log‘𝐵) − (log‘𝐴))) = ((exp‘(log‘𝐵)) / (exp‘(log‘𝐴))))
24		eflog 26540	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (exp‘(log‘𝐵)) = 𝐵)
25	14, 16, 24	syl2anc 585	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (exp‘(log‘𝐵)) = 𝐵)
26		eflog 26540	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (exp‘(log‘𝐴)) = 𝐴)
27	5, 7, 26	syl2anc 585	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (exp‘(log‘𝐴)) = 𝐴)
28	25, 27	oveq12d 7385	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((exp‘(log‘𝐵)) / (exp‘(log‘𝐴))) = (𝐵 / 𝐴))
29	23, 28	eqtrd 2772	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (exp‘((log‘𝐵) − (log‘𝐴))) = (𝐵 / 𝐴))
30	14, 5, 7	divcld 11931	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐵 / 𝐴) ∈ ℂ)
31	14, 5, 16, 7	divne0d 11947	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐵 / 𝐴) ≠ 0)
32	17, 8	subcld 11505	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((log‘𝐵) − (log‘𝐴)) ∈ ℂ)
33		logcnlem.s	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑆 = if(𝐴 ∈ ℝ+, 𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐴)))
34		logcnlem.t	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑇 = ((abs‘𝐴) · (𝑅 / (1 + 𝑅)))
35		logcnlem.r	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ+)
36		logcnlem.l	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) < if(𝑆 ≤ 𝑇, 𝑆, 𝑇))
37	2, 33, 34, 1, 35, 11, 36	logcnlem3 26608	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (-π < ((ℑ‘(log‘𝐵)) − (ℑ‘(log‘𝐴))) ∧ ((ℑ‘(log‘𝐵)) − (ℑ‘(log‘𝐴))) ≤ π))
38	37	simpld 494	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → -π < ((ℑ‘(log‘𝐵)) − (ℑ‘(log‘𝐴))))
39	38, 21	breqtrrd 5114	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → -π < (ℑ‘((log‘𝐵) − (log‘𝐴))))
40	37	simprd 495	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((ℑ‘(log‘𝐵)) − (ℑ‘(log‘𝐴))) ≤ π)
41	21, 40	eqbrtrd 5108	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘((log‘𝐵) − (log‘𝐴))) ≤ π)
42		ellogrn 26523	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((log‘𝐵) − (log‘𝐴)) ∈ ran log ↔ (((log‘𝐵) − (log‘𝐴)) ∈ ℂ ∧ -π < (ℑ‘((log‘𝐵) − (log‘𝐴))) ∧ (ℑ‘((log‘𝐵) − (log‘𝐴))) ≤ π))
43	32, 39, 41, 42	syl3anbrc 1345	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((log‘𝐵) − (log‘𝐴)) ∈ ran log)
44		logeftb 26547	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐵 / 𝐴) ∈ ℂ ∧ (𝐵 / 𝐴) ≠ 0 ∧ ((log‘𝐵) − (log‘𝐴)) ∈ ran log) → ((log‘(𝐵 / 𝐴)) = ((log‘𝐵) − (log‘𝐴)) ↔ (exp‘((log‘𝐵) − (log‘𝐴))) = (𝐵 / 𝐴)))
45	30, 31, 43, 44	syl3anc 1374	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((log‘(𝐵 / 𝐴)) = ((log‘𝐵) − (log‘𝐴)) ↔ (exp‘((log‘𝐵) − (log‘𝐴))) = (𝐵 / 𝐴)))
46	29, 45	mpbird 257	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (log‘(𝐵 / 𝐴)) = ((log‘𝐵) − (log‘𝐴)))
47	46	eqcomd 2743	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((log‘𝐵) − (log‘𝐴)) = (log‘(𝐵 / 𝐴)))
48	47	fveq2d 6845	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘((log‘𝐵) − (log‘𝐴))) = (ℑ‘(log‘(𝐵 / 𝐴))))
49	21, 48	eqtr3d 2774	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((ℑ‘(log‘𝐵)) − (ℑ‘(log‘𝐴))) = (ℑ‘(log‘(𝐵 / 𝐴))))
50	49	fveq2d 6845	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘((ℑ‘(log‘𝐵)) − (ℑ‘(log‘𝐴)))) = (abs‘(ℑ‘(log‘(𝐵 / 𝐴)))))
51	20, 50	eqtrd 2772	. 2 ⊢ (𝜑 → (abs‘((ℑ‘(log‘𝐴)) − (ℑ‘(log‘𝐵)))) = (abs‘(ℑ‘(log‘(𝐵 / 𝐴)))))
52	30, 31	logcld 26534	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (log‘(𝐵 / 𝐴)) ∈ ℂ)
53	52	imcld 15157	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘(log‘(𝐵 / 𝐴))) ∈ ℝ)
54	53	recnd 11173	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘(log‘(𝐵 / 𝐴))) ∈ ℂ)
55	54	abscld 15401	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘(ℑ‘(log‘(𝐵 / 𝐴)))) ∈ ℝ)
56		0red 11147	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
57		1re 11144	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℝ
58	5, 14	subcld 11505	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
59	58	abscld 15401	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ ℝ)
60	5, 7	absrpcld 15413	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) ∈ ℝ+)
61	59, 60	rerpdivcld 13017	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / (abs‘𝐴)) ∈ ℝ)
62		resubcl 11458	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / (abs‘𝐴)) ∈ ℝ) → (1 − ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / (abs‘𝐴))) ∈ ℝ)
63	57, 61, 62	sylancr 588	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (1 − ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / (abs‘𝐴))) ∈ ℝ)
64	30	recld 15156	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (ℜ‘(𝐵 / 𝐴)) ∈ ℝ)
65	5	abscld 15401	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
66	35	rpred 12986	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ)
67		1rp 12946	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 1 ∈ ℝ+
68		rpaddcl 12966	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((1 ∈ ℝ+ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (1 + 𝑅) ∈ ℝ+)
69	67, 35, 68	sylancr 588	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (1 + 𝑅) ∈ ℝ+)
70	66, 69	rerpdivcld 13017	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝑅 / (1 + 𝑅)) ∈ ℝ)
71	65, 70	remulcld 11175	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝐴) · (𝑅 / (1 + 𝑅))) ∈ ℝ)
72	34, 71	eqeltrid 2841	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ)
73		rpre 12951	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℝ)
74	73	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℝ)
75	5	imcld 15157	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
76	75	recnd 11173	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ)
77	76	abscld 15401	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (abs‘(ℑ‘𝐴)) ∈ ℝ)
78	77	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℝ+) → (abs‘(ℑ‘𝐴)) ∈ ℝ)
79	74, 78	ifclda 4503	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → if(𝐴 ∈ ℝ+, 𝐴, (abs‘(ℑ‘𝐴))) ∈ ℝ)
80	33, 79	eqeltrid 2841	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℝ)
81		ltmin 13146	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) < if(𝑆 ≤ 𝑇, 𝑆, 𝑇) ↔ ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) < 𝑆 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝐵)) < 𝑇)))
82	59, 80, 72, 81	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) < if(𝑆 ≤ 𝑇, 𝑆, 𝑇) ↔ ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) < 𝑆 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝐵)) < 𝑇)))
83	36, 82	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) < 𝑆 ∧ (abs‘(𝐴 − 𝐵)) < 𝑇))
84	83	simprd 495	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) < 𝑇)
85	69	rpred 12986	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (1 + 𝑅) ∈ ℝ)
86	66	ltp1d 12086	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 𝑅 < (𝑅 + 1))
87	66	recnd 11173	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℂ)
88		ax-1cn 11096	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 1 ∈ ℂ
89		addcom 11332	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑅 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑅 + 1) = (1 + 𝑅))
90	87, 88, 89	sylancl 587	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → (𝑅 + 1) = (1 + 𝑅))
91	86, 90	breqtrd 5112	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → 𝑅 < (1 + 𝑅))
92	66, 85, 91	ltled 11294	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ≤ (1 + 𝑅))
93	85	recnd 11173	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (1 + 𝑅) ∈ ℂ)
94	93	mulridd 11162	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → ((1 + 𝑅) · 1) = (1 + 𝑅))
95	92, 94	breqtrrd 5114	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ≤ ((1 + 𝑅) · 1))
96	57	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
97	66, 96, 69	ledivmuld 13039	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 / (1 + 𝑅)) ≤ 1 ↔ 𝑅 ≤ ((1 + 𝑅) · 1)))
98	95, 97	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝑅 / (1 + 𝑅)) ≤ 1)
99	70, 96, 60	lemul2d 13030	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 / (1 + 𝑅)) ≤ 1 ↔ ((abs‘𝐴) · (𝑅 / (1 + 𝑅))) ≤ ((abs‘𝐴) · 1)))
100	98, 99	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝐴) · (𝑅 / (1 + 𝑅))) ≤ ((abs‘𝐴) · 1))
101	65	recnd 11173	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) ∈ ℂ)
102	101	mulridd 11162	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝐴) · 1) = (abs‘𝐴))
103	100, 102	breqtrd 5112	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝐴) · (𝑅 / (1 + 𝑅))) ≤ (abs‘𝐴))
104	34, 103	eqbrtrid 5121	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ≤ (abs‘𝐴))
105	59, 72, 65, 84, 104	ltletrd 11306	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) < (abs‘𝐴))
106	105, 102	breqtrrd 5114	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) < ((abs‘𝐴) · 1))
107	59, 96, 60	ltdivmuld 13037	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / (abs‘𝐴)) < 1 ↔ (abs‘(𝐴 − 𝐵)) < ((abs‘𝐴) · 1)))
108	106, 107	mpbird 257	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / (abs‘𝐴)) < 1)
109		posdif 11643	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / (abs‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / (abs‘𝐴)) < 1 ↔ 0 < (1 − ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / (abs‘𝐴)))))
110	61, 57, 109	sylancl 587	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / (abs‘𝐴)) < 1 ↔ 0 < (1 − ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / (abs‘𝐴)))))
111	108, 110	mpbid 232	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 0 < (1 − ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / (abs‘𝐴))))
112	58, 5, 7	divcld 11931	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) / 𝐴) ∈ ℂ)
113	112	releabsd 15416	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (ℜ‘((𝐴 − 𝐵) / 𝐴)) ≤ (abs‘((𝐴 − 𝐵) / 𝐴)))
114	5, 14, 5, 7	divsubdird 11970	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) / 𝐴) = ((𝐴 / 𝐴) − (𝐵 / 𝐴)))
115	5, 7	dividd 11929	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐴) = 1)
116	115	oveq1d 7382	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 𝐴) − (𝐵 / 𝐴)) = (1 − (𝐵 / 𝐴)))
117	114, 116	eqtrd 2772	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) / 𝐴) = (1 − (𝐵 / 𝐴)))
118	117	fveq2d 6845	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (ℜ‘((𝐴 − 𝐵) / 𝐴)) = (ℜ‘(1 − (𝐵 / 𝐴))))
119		resub 15089	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (𝐵 / 𝐴) ∈ ℂ) → (ℜ‘(1 − (𝐵 / 𝐴))) = ((ℜ‘1) − (ℜ‘(𝐵 / 𝐴))))
120	88, 30, 119	sylancr 588	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (ℜ‘(1 − (𝐵 / 𝐴))) = ((ℜ‘1) − (ℜ‘(𝐵 / 𝐴))))
121	118, 120	eqtrd 2772	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (ℜ‘((𝐴 − 𝐵) / 𝐴)) = ((ℜ‘1) − (ℜ‘(𝐵 / 𝐴))))
122		re1 15116	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (ℜ‘1) = 1
123	122	oveq1i 7377	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((ℜ‘1) − (ℜ‘(𝐵 / 𝐴))) = (1 − (ℜ‘(𝐵 / 𝐴)))
124	121, 123	eqtrdi 2788	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (ℜ‘((𝐴 − 𝐵) / 𝐴)) = (1 − (ℜ‘(𝐵 / 𝐴))))
125	58, 5, 7	absdivd 15420	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐴 − 𝐵) / 𝐴)) = ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / (abs‘𝐴)))
126	113, 124, 125	3brtr3d 5117	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (1 − (ℜ‘(𝐵 / 𝐴))) ≤ ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / (abs‘𝐴)))
127	96, 64, 61, 126	subled 11753	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (1 − ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / (abs‘𝐴))) ≤ (ℜ‘(𝐵 / 𝐴)))
128	56, 63, 64, 111, 127	ltletrd 11306	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 < (ℜ‘(𝐵 / 𝐴)))
129		argregt0 26574	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐵 / 𝐴) ∈ ℂ ∧ 0 < (ℜ‘(𝐵 / 𝐴))) → (ℑ‘(log‘(𝐵 / 𝐴))) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)))
130	30, 128, 129	syl2anc 585	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘(log‘(𝐵 / 𝐴))) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)))
131		cosq14gt0 26474	. . . . . . . 8 ⊢ ((ℑ‘(log‘(𝐵 / 𝐴))) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) → 0 < (cos‘(ℑ‘(log‘(𝐵 / 𝐴)))))
132	130, 131	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 < (cos‘(ℑ‘(log‘(𝐵 / 𝐴)))))
133	132	gt0ne0d 11714	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (cos‘(ℑ‘(log‘(𝐵 / 𝐴)))) ≠ 0)
134	53, 133	retancld 16112	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (tan‘(ℑ‘(log‘(𝐵 / 𝐴)))) ∈ ℝ)
135	134	recnd 11173	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (tan‘(ℑ‘(log‘(𝐵 / 𝐴)))) ∈ ℂ)
136	135	abscld 15401	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘(tan‘(ℑ‘(log‘(𝐵 / 𝐴))))) ∈ ℝ)
137		tanabsge 26470	. . . 4 ⊢ ((ℑ‘(log‘(𝐵 / 𝐴))) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) → (abs‘(ℑ‘(log‘(𝐵 / 𝐴)))) ≤ (abs‘(tan‘(ℑ‘(log‘(𝐵 / 𝐴))))))
138	130, 137	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘(ℑ‘(log‘(𝐵 / 𝐴)))) ≤ (abs‘(tan‘(ℑ‘(log‘(𝐵 / 𝐴))))))
139	128	gt0ne0d 11714	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ℜ‘(𝐵 / 𝐴)) ≠ 0)
140		tanarg 26583	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 / 𝐴) ∈ ℂ ∧ (ℜ‘(𝐵 / 𝐴)) ≠ 0) → (tan‘(ℑ‘(log‘(𝐵 / 𝐴)))) = ((ℑ‘(𝐵 / 𝐴)) / (ℜ‘(𝐵 / 𝐴))))
141	30, 139, 140	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (tan‘(ℑ‘(log‘(𝐵 / 𝐴)))) = ((ℑ‘(𝐵 / 𝐴)) / (ℜ‘(𝐵 / 𝐴))))
142	141	fveq2d 6845	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘(tan‘(ℑ‘(log‘(𝐵 / 𝐴))))) = (abs‘((ℑ‘(𝐵 / 𝐴)) / (ℜ‘(𝐵 / 𝐴)))))
143	30	imcld 15157	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘(𝐵 / 𝐴)) ∈ ℝ)
144	143	recnd 11173	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘(𝐵 / 𝐴)) ∈ ℂ)
145	64	recnd 11173	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℜ‘(𝐵 / 𝐴)) ∈ ℂ)
146	144, 145, 139	absdivd 15420	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘((ℑ‘(𝐵 / 𝐴)) / (ℜ‘(𝐵 / 𝐴)))) = ((abs‘(ℑ‘(𝐵 / 𝐴))) / (abs‘(ℜ‘(𝐵 / 𝐴)))))
147	56, 64, 128	ltled 11294	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (ℜ‘(𝐵 / 𝐴)))
148	64, 147	absidd 15385	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘(ℜ‘(𝐵 / 𝐴))) = (ℜ‘(𝐵 / 𝐴)))
149	148	oveq2d 7383	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(ℑ‘(𝐵 / 𝐴))) / (abs‘(ℜ‘(𝐵 / 𝐴)))) = ((abs‘(ℑ‘(𝐵 / 𝐴))) / (ℜ‘(𝐵 / 𝐴))))
150	142, 146, 149	3eqtrd 2776	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (abs‘(tan‘(ℑ‘(log‘(𝐵 / 𝐴))))) = ((abs‘(ℑ‘(𝐵 / 𝐴))) / (ℜ‘(𝐵 / 𝐴))))
151	144	abscld 15401	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘(ℑ‘(𝐵 / 𝐴))) ∈ ℝ)
152	64, 66	remulcld 11175	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((ℜ‘(𝐵 / 𝐴)) · 𝑅) ∈ ℝ)
153	14, 5	subcld 11505	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℂ)
154	153, 5, 7	divcld 11931	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝐴) / 𝐴) ∈ ℂ)
155		absimle 15271	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵 − 𝐴) / 𝐴) ∈ ℂ → (abs‘(ℑ‘((𝐵 − 𝐴) / 𝐴))) ≤ (abs‘((𝐵 − 𝐴) / 𝐴)))
156	154, 155	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘(ℑ‘((𝐵 − 𝐴) / 𝐴))) ≤ (abs‘((𝐵 − 𝐴) / 𝐴)))
157	14, 5, 5, 7	divsubdird 11970	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝐴) / 𝐴) = ((𝐵 / 𝐴) − (𝐴 / 𝐴)))
158	115	oveq2d 7383	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 / 𝐴) − (𝐴 / 𝐴)) = ((𝐵 / 𝐴) − 1))
159	157, 158	eqtrd 2772	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝐴) / 𝐴) = ((𝐵 / 𝐴) − 1))
160	159	fveq2d 6845	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘((𝐵 − 𝐴) / 𝐴)) = (ℑ‘((𝐵 / 𝐴) − 1)))
161		imsub 15097	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵 / 𝐴) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (ℑ‘((𝐵 / 𝐴) − 1)) = ((ℑ‘(𝐵 / 𝐴)) − (ℑ‘1)))
162	30, 88, 161	sylancl 587	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘((𝐵 / 𝐴) − 1)) = ((ℑ‘(𝐵 / 𝐴)) − (ℑ‘1)))
163		im1 15117	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℑ‘1) = 0
164	163	oveq2i 7378	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((ℑ‘(𝐵 / 𝐴)) − (ℑ‘1)) = ((ℑ‘(𝐵 / 𝐴)) − 0)
165	162, 164	eqtrdi 2788	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘((𝐵 / 𝐴) − 1)) = ((ℑ‘(𝐵 / 𝐴)) − 0))
166	144	subid1d 11494	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((ℑ‘(𝐵 / 𝐴)) − 0) = (ℑ‘(𝐵 / 𝐴)))
167	160, 165, 166	3eqtrrd 2777	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘(𝐵 / 𝐴)) = (ℑ‘((𝐵 − 𝐴) / 𝐴)))
168	167	fveq2d 6845	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘(ℑ‘(𝐵 / 𝐴))) = (abs‘(ℑ‘((𝐵 − 𝐴) / 𝐴))))
169	5, 14	abssubd 15418	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) = (abs‘(𝐵 − 𝐴)))
170	169	oveq1d 7382	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / (abs‘𝐴)) = ((abs‘(𝐵 − 𝐴)) / (abs‘𝐴)))
171	153, 5, 7	absdivd 15420	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐵 − 𝐴) / 𝐴)) = ((abs‘(𝐵 − 𝐴)) / (abs‘𝐴)))
172	170, 171	eqtr4d 2775	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / (abs‘𝐴)) = (abs‘((𝐵 − 𝐴) / 𝐴)))
173	156, 168, 172	3brtr4d 5118	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘(ℑ‘(𝐵 / 𝐴))) ≤ ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / (abs‘𝐴)))
174	65, 59	resubcld 11578	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝐴) − (abs‘(𝐴 − 𝐵))) ∈ ℝ)
175	174, 66	remulcld 11175	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((abs‘𝐴) − (abs‘(𝐴 − 𝐵))) · 𝑅) ∈ ℝ)
176	65, 152	remulcld 11175	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝐴) · ((ℜ‘(𝐵 / 𝐴)) · 𝑅)) ∈ ℝ)
177	59	recnd 11173	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) ∈ ℂ)
178	88	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
179	177, 178, 87	adddid 11169	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) · (1 + 𝑅)) = (((abs‘(𝐴 − 𝐵)) · 1) + ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) · 𝑅)))
180	177	mulridd 11162	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) · 1) = (abs‘(𝐴 − 𝐵)))
181	180	oveq1d 7382	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((abs‘(𝐴 − 𝐵)) · 1) + ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) · 𝑅)) = ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) + ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) · 𝑅)))
182	179, 181	eqtrd 2772	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) · (1 + 𝑅)) = ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) + ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) · 𝑅)))
183	69	rpne0d 12991	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (1 + 𝑅) ≠ 0)
184	101, 87, 93, 183	divassd 11966	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (((abs‘𝐴) · 𝑅) / (1 + 𝑅)) = ((abs‘𝐴) · (𝑅 / (1 + 𝑅))))
185	184, 34	eqtr4di 2790	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (((abs‘𝐴) · 𝑅) / (1 + 𝑅)) = 𝑇)
186	84, 185	breqtrrd 5114	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) < (((abs‘𝐴) · 𝑅) / (1 + 𝑅)))
187	65, 66	remulcld 11175	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝐴) · 𝑅) ∈ ℝ)
188	59, 187, 69	ltmuldivd 13033	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((abs‘(𝐴 − 𝐵)) · (1 + 𝑅)) < ((abs‘𝐴) · 𝑅) ↔ (abs‘(𝐴 − 𝐵)) < (((abs‘𝐴) · 𝑅) / (1 + 𝑅))))
189	186, 188	mpbird 257	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) · (1 + 𝑅)) < ((abs‘𝐴) · 𝑅))
190	182, 189	eqbrtrrd 5110	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) + ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) · 𝑅)) < ((abs‘𝐴) · 𝑅))
191	59, 66	remulcld 11175	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) · 𝑅) ∈ ℝ)
192	59, 191, 187	ltaddsubd 11750	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((abs‘(𝐴 − 𝐵)) + ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) · 𝑅)) < ((abs‘𝐴) · 𝑅) ↔ (abs‘(𝐴 − 𝐵)) < (((abs‘𝐴) · 𝑅) − ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) · 𝑅))))
193	190, 192	mpbid 232	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) < (((abs‘𝐴) · 𝑅) − ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) · 𝑅)))
194	101, 177, 87	subdird 11607	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((abs‘𝐴) − (abs‘(𝐴 − 𝐵))) · 𝑅) = (((abs‘𝐴) · 𝑅) − ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) · 𝑅)))
195	193, 194	breqtrrd 5114	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) < (((abs‘𝐴) − (abs‘(𝐴 − 𝐵))) · 𝑅))
196	60	rpne0d 12991	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) ≠ 0)
197	101, 177, 101, 196	divsubdird 11970	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (((abs‘𝐴) − (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / (abs‘𝐴)) = (((abs‘𝐴) / (abs‘𝐴)) − ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / (abs‘𝐴))))
198	101, 196	dividd 11929	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝐴) / (abs‘𝐴)) = 1)
199	198	oveq1d 7382	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (((abs‘𝐴) / (abs‘𝐴)) − ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / (abs‘𝐴))) = (1 − ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / (abs‘𝐴))))
200	197, 199	eqtrd 2772	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((abs‘𝐴) − (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / (abs‘𝐴)) = (1 − ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / (abs‘𝐴))))
201	200, 127	eqbrtrd 5108	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((abs‘𝐴) − (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / (abs‘𝐴)) ≤ (ℜ‘(𝐵 / 𝐴)))
202	174, 64, 60	ledivmuld 13039	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((((abs‘𝐴) − (abs‘(𝐴 − 𝐵))) / (abs‘𝐴)) ≤ (ℜ‘(𝐵 / 𝐴)) ↔ ((abs‘𝐴) − (abs‘(𝐴 − 𝐵))) ≤ ((abs‘𝐴) · (ℜ‘(𝐵 / 𝐴)))))
203	201, 202	mpbid 232	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝐴) − (abs‘(𝐴 − 𝐵))) ≤ ((abs‘𝐴) · (ℜ‘(𝐵 / 𝐴))))
204	65, 64	remulcld 11175	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝐴) · (ℜ‘(𝐵 / 𝐴))) ∈ ℝ)
205	174, 204, 35	lemul1d 13029	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((abs‘𝐴) − (abs‘(𝐴 − 𝐵))) ≤ ((abs‘𝐴) · (ℜ‘(𝐵 / 𝐴))) ↔ (((abs‘𝐴) − (abs‘(𝐴 − 𝐵))) · 𝑅) ≤ (((abs‘𝐴) · (ℜ‘(𝐵 / 𝐴))) · 𝑅)))
206	203, 205	mpbid 232	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((abs‘𝐴) − (abs‘(𝐴 − 𝐵))) · 𝑅) ≤ (((abs‘𝐴) · (ℜ‘(𝐵 / 𝐴))) · 𝑅))
207	101, 145, 87	mulassd 11168	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((abs‘𝐴) · (ℜ‘(𝐵 / 𝐴))) · 𝑅) = ((abs‘𝐴) · ((ℜ‘(𝐵 / 𝐴)) · 𝑅)))
208	206, 207	breqtrd 5112	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((abs‘𝐴) − (abs‘(𝐴 − 𝐵))) · 𝑅) ≤ ((abs‘𝐴) · ((ℜ‘(𝐵 / 𝐴)) · 𝑅)))
209	59, 175, 176, 195, 208	ltletrd 11306	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 − 𝐵)) < ((abs‘𝐴) · ((ℜ‘(𝐵 / 𝐴)) · 𝑅)))
210	59, 152, 60	ltdivmuld 13037	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / (abs‘𝐴)) < ((ℜ‘(𝐵 / 𝐴)) · 𝑅) ↔ (abs‘(𝐴 − 𝐵)) < ((abs‘𝐴) · ((ℜ‘(𝐵 / 𝐴)) · 𝑅))))
211	209, 210	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(𝐴 − 𝐵)) / (abs‘𝐴)) < ((ℜ‘(𝐵 / 𝐴)) · 𝑅))
212	151, 61, 152, 173, 211	lelttrd 11304	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (abs‘(ℑ‘(𝐵 / 𝐴))) < ((ℜ‘(𝐵 / 𝐴)) · 𝑅))
213		ltdivmul 12031	. . . . . 6 ⊢ (((abs‘(ℑ‘(𝐵 / 𝐴))) ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ ∧ ((ℜ‘(𝐵 / 𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 < (ℜ‘(𝐵 / 𝐴)))) → (((abs‘(ℑ‘(𝐵 / 𝐴))) / (ℜ‘(𝐵 / 𝐴))) < 𝑅 ↔ (abs‘(ℑ‘(𝐵 / 𝐴))) < ((ℜ‘(𝐵 / 𝐴)) · 𝑅)))
214	151, 66, 64, 128, 213	syl112anc 1377	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((abs‘(ℑ‘(𝐵 / 𝐴))) / (ℜ‘(𝐵 / 𝐴))) < 𝑅 ↔ (abs‘(ℑ‘(𝐵 / 𝐴))) < ((ℜ‘(𝐵 / 𝐴)) · 𝑅)))
215	212, 214	mpbird 257	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((abs‘(ℑ‘(𝐵 / 𝐴))) / (ℜ‘(𝐵 / 𝐴))) < 𝑅)
216	150, 215	eqbrtrd 5108	. . 3 ⊢ (𝜑 → (abs‘(tan‘(ℑ‘(log‘(𝐵 / 𝐴))))) < 𝑅)
217	55, 136, 66, 138, 216	lelttrd 11304	. 2 ⊢ (𝜑 → (abs‘(ℑ‘(log‘(𝐵 / 𝐴)))) < 𝑅)
218	51, 217	eqbrtrd 5108	1 ⊢ (𝜑 → (abs‘((ℑ‘(log‘𝐴)) − (ℑ‘(log‘𝐵)))) < 𝑅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933   ∖ cdif 3887  ifcif 4467   class class class wbr 5086  ran crn 5632  ‘cfv 6499  (class class class)co 7367  ℂcc 11036  ℝcr 11037  0cc0 11038  1c1 11039   + caddc 11041   · cmul 11043  -∞cmnf 11177   < clt 11179   ≤ cle 11180   − cmin 11377  -cneg 11378   / cdiv 11807  2c2 12236  ℝ⁺crp 12942  (,)cioo 13298  (,]cioc 13299  ℜcre 15059  ℑcim 15060  abscabs 15196  expce 16026  cosccos 16029  tanctan 16030  πcpi 16031  logclog 26518

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5308  ax-pr 5376  ax-un 7689  ax-inf2 9562  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116  ax-addf 11117

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6266  df-ord 6327  df-on 6328  df-lim 6329  df-suc 6330  df-iota 6455  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-isom 6508  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-of 7631  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-supp 8111  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-2o 8406  df-er 8643  df-map 8775  df-pm 8776  df-ixp 8846  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-fsupp 9275  df-fi 9324  df-sup 9355  df-inf 9356  df-oi 9425  df-card 9863  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-7 12249  df-8 12250  df-9 12251  df-n0 12438  df-z 12525  df-dec 12645  df-uz 12789  df-q 12899  df-rp 12943  df-xneg 13063  df-xadd 13064  df-xmul 13065  df-ioo 13302  df-ioc 13303  df-ico 13304  df-icc 13305  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-fl 13751  df-mod 13829  df-seq 13964  df-exp 14024  df-fac 14236  df-bc 14265  df-hash 14293  df-shft 15029  df-cj 15061  df-re 15062  df-im 15063  df-sqrt 15197  df-abs 15198  df-limsup 15433  df-clim 15450  df-rlim 15451  df-sum 15649  df-ef 16032  df-sin 16034  df-cos 16035  df-tan 16036  df-pi 16037  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-starv 17235  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-ip 17238  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-unif 17243  df-hom 17244  df-cco 17245  df-rest 17385  df-topn 17386  df-0g 17404  df-gsum 17405  df-topgen 17406  df-pt 17407  df-prds 17410  df-xrs 17466  df-qtop 17471  df-imas 17472  df-xps 17474  df-mre 17548  df-mrc 17549  df-acs 17551  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-submnd 18752  df-mulg 19044  df-cntz 19292  df-cmn 19757  df-psmet 21344  df-xmet 21345  df-met 21346  df-bl 21347  df-mopn 21348  df-fbas 21349  df-fg 21350  df-cnfld 21353  df-top 22859  df-topon 22876  df-topsp 22898  df-bases 22911  df-cld 22984  df-ntr 22985  df-cls 22986  df-nei 23063  df-lp 23101  df-perf 23102  df-cn 23192  df-cnp 23193  df-haus 23280  df-tx 23527  df-hmeo 23720  df-fil 23811  df-fm 23903  df-flim 23904  df-flf 23905  df-xms 24285  df-ms 24286  df-tms 24287  df-cncf 24845  df-limc 25833  df-dv 25834  df-log 26520

This theorem is referenced by:  logcnlem5  26610