Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | 1elunit 13058 |
. . 3
⊢ 1 ∈
(0[,]1) |
2 | | 0elunit 13057 |
. . 3
⊢ 0 ∈
(0[,]1) |
3 | | 0red 10836 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → 0 ∈
ℝ) |
4 | | 1red 10834 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → 1 ∈
ℝ) |
5 | | eqid 2737 |
. . . . 5
⊢
(TopOpen‘ℂfld) =
(TopOpen‘ℂfld) |
6 | 5 | subcn 23763 |
. . . . . 6
⊢ −
∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t
(TopOpen‘ℂfld)) Cn
(TopOpen‘ℂfld)) |
7 | 6 | a1i 11 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → − ∈
(((TopOpen‘ℂfld) ×t
(TopOpen‘ℂfld)) Cn
(TopOpen‘ℂfld))) |
8 | | lgamgulm.r |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℕ) |
9 | | lgamgulm.u |
. . . . . . . . . . 11
⊢ 𝑈 = {𝑥 ∈ ℂ ∣ ((abs‘𝑥) ≤ 𝑅 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝑥 + 𝑘)))} |
10 | 8, 9 | lgamgulmlem1 25911 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ (ℂ ∖ (ℤ ∖
ℕ))) |
11 | | lgamgulm.a |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑈) |
12 | 10, 11 | sseldd 3902 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖
ℕ))) |
13 | 12 | eldifad 3878 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ) |
14 | | lgamgulm.n |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ) |
15 | 14 | nnred 11845 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ) |
16 | 15 | recnd 10861 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ) |
17 | 14 | nnne0d 11880 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → 𝑁 ≠ 0) |
18 | 13, 16, 17 | divcld 11608 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝑁) ∈ ℂ) |
19 | | unitssre 13087 |
. . . . . . . . 9
⊢ (0[,]1)
⊆ ℝ |
20 | | ax-resscn 10786 |
. . . . . . . . 9
⊢ ℝ
⊆ ℂ |
21 | 19, 20 | sstri 3910 |
. . . . . . . 8
⊢ (0[,]1)
⊆ ℂ |
22 | 21 | a1i 11 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → (0[,]1) ⊆
ℂ) |
23 | | ssidd 3924 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → ℂ ⊆
ℂ) |
24 | | cncfmptc 23809 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝐴 / 𝑁) ∈ ℂ ∧ (0[,]1) ⊆
ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐴 / 𝑁)) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ)) |
25 | 18, 22, 23, 24 | syl3anc 1373 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐴 / 𝑁)) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ)) |
26 | | cncfmptid 23810 |
. . . . . . 7
⊢ (((0[,]1)
⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ 𝑡) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ)) |
27 | 21, 23, 26 | sylancr 590 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ 𝑡) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ)) |
28 | 25, 27 | mulcncf 24343 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ)) |
29 | | eqid 2737 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (ℂ
∖ (-∞(,]0)) = (ℂ ∖ (-∞(,]0)) |
30 | 29 | logcn 25535 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (log
↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0))) ∈ ((ℂ ∖
(-∞(,]0))–cn→ℂ) |
31 | 30 | a1i 11 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → (log ↾ (ℂ
∖ (-∞(,]0))) ∈ ((ℂ ∖ (-∞(,]0))–cn→ℂ)) |
32 | | cncff 23790 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((log
↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0))) ∈ ((ℂ ∖
(-∞(,]0))–cn→ℂ)
→ (log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0))):(ℂ ∖
(-∞(,]0))⟶ℂ) |
33 | 31, 32 | syl 17 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (log ↾ (ℂ
∖ (-∞(,]0))):(ℂ ∖
(-∞(,]0))⟶ℂ) |
34 | 18 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (𝐴 / 𝑁) ∈ ℂ) |
35 | | simpr 488 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → 𝑡 ∈ (0[,]1)) |
36 | 19, 35 | sseldi 3899 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → 𝑡 ∈ ℝ) |
37 | 36 | recnd 10861 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → 𝑡 ∈ ℂ) |
38 | 34, 37 | mulcld 10853 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) ∈ ℂ) |
39 | | 1cnd 10828 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → 1 ∈
ℂ) |
40 | 38, 39 | addcld 10852 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1) ∈ ℂ) |
41 | | rere 14685 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1) ∈ ℝ →
(ℜ‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) = (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) |
42 | 41 | adantl 485 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) ∧ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1) ∈ ℝ) →
(ℜ‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) = (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) |
43 | 40 | recld 14757 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) →
(ℜ‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) ∈ ℝ) |
44 | 38 | recld 14757 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (ℜ‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) ∈ ℝ) |
45 | 44 | recnd 10861 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (ℜ‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) ∈ ℂ) |
46 | 45 | abscld 15000 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) →
(abs‘(ℜ‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))) ∈ ℝ) |
47 | 38 | abscld 15000 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (abs‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) ∈ ℝ) |
48 | | 1red 10834 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → 1 ∈
ℝ) |
49 | | absrele 14872 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) ∈ ℂ →
(abs‘(ℜ‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))) ≤ (abs‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))) |
50 | 38, 49 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) →
(abs‘(ℜ‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))) ≤ (abs‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))) |
51 | 48 | rehalfcld 12077 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (1 / 2) ∈
ℝ) |
52 | 8 | nnred 11845 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ) |
53 | 52 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → 𝑅 ∈ ℝ) |
54 | 14 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → 𝑁 ∈ ℕ) |
55 | 53, 54 | nndivred 11884 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (𝑅 / 𝑁) ∈ ℝ) |
56 | 18 | abscld 15000 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 / 𝑁)) ∈ ℝ) |
57 | 56 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (abs‘(𝐴 / 𝑁)) ∈ ℝ) |
58 | 34 | absge0d 15008 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → 0 ≤
(abs‘(𝐴 / 𝑁))) |
59 | | elicc01 13054 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (𝑡 ∈ (0[,]1) ↔ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 0 ≤
𝑡 ∧ 𝑡 ≤ 1)) |
60 | 59 | simp2bi 1148 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (𝑡 ∈ (0[,]1) → 0 ≤
𝑡) |
61 | 60 | adantl 485 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → 0 ≤ 𝑡) |
62 | 13, 16, 17 | absdivd 15019 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 / 𝑁)) = ((abs‘𝐴) / (abs‘𝑁))) |
63 | 14 | nnrpd 12626 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈
ℝ+) |
64 | 63 | rpge0d 12632 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑁) |
65 | 15, 64 | absidd 14986 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ (𝜑 → (abs‘𝑁) = 𝑁) |
66 | 65 | oveq2d 7229 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (𝜑 → ((abs‘𝐴) / (abs‘𝑁)) = ((abs‘𝐴) / 𝑁)) |
67 | 62, 66 | eqtr2d 2778 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (𝜑 → ((abs‘𝐴) / 𝑁) = (abs‘(𝐴 / 𝑁))) |
68 | 13 | abscld 15000 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) ∈
ℝ) |
69 | | fveq2 6717 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ (𝑥 = 𝐴 → (abs‘𝑥) = (abs‘𝐴)) |
70 | 69 | breq1d 5063 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((abs‘𝑥) ≤ 𝑅 ↔ (abs‘𝐴) ≤ 𝑅)) |
71 | | fvoveq1 7236 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ (𝑥 = 𝐴 → (abs‘(𝑥 + 𝑘)) = (abs‘(𝐴 + 𝑘))) |
72 | 71 | breq2d 5065 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝑥 + 𝑘)) ↔ (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝐴 + 𝑘)))) |
73 | 72 | ralbidv 3118 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ (𝑥 = 𝐴 → (∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝑥 + 𝑘)) ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝐴 + 𝑘)))) |
74 | 70, 73 | anbi12d 634 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ (𝑥 = 𝐴 → (((abs‘𝑥) ≤ 𝑅 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝑥 + 𝑘))) ↔ ((abs‘𝐴) ≤ 𝑅 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝐴 + 𝑘))))) |
75 | 74, 9 | elrab2 3605 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ (𝐴 ∈ 𝑈 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝐴) ≤ 𝑅 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝐴 + 𝑘))))) |
76 | 75 | simprbi 500 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ (𝐴 ∈ 𝑈 → ((abs‘𝐴) ≤ 𝑅 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝐴 + 𝑘)))) |
77 | 11, 76 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ (𝜑 → ((abs‘𝐴) ≤ 𝑅 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝐴 + 𝑘)))) |
78 | 77 | simpld 498 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) ≤ 𝑅) |
79 | 68, 52, 63, 78 | lediv1dd 12686 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (𝜑 → ((abs‘𝐴) / 𝑁) ≤ (𝑅 / 𝑁)) |
80 | 67, 79 | eqbrtrrd 5077 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 / 𝑁)) ≤ (𝑅 / 𝑁)) |
81 | 80 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (abs‘(𝐴 / 𝑁)) ≤ (𝑅 / 𝑁)) |
82 | 59 | simp3bi 1149 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (𝑡 ∈ (0[,]1) → 𝑡 ≤ 1) |
83 | 82 | adantl 485 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → 𝑡 ≤ 1) |
84 | 57, 55, 36, 48, 58, 61, 81, 83 | lemul12ad 11774 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((abs‘(𝐴 / 𝑁)) · 𝑡) ≤ ((𝑅 / 𝑁) · 1)) |
85 | 34, 37 | absmuld 15018 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (abs‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) = ((abs‘(𝐴 / 𝑁)) · (abs‘𝑡))) |
86 | 36, 61 | absidd 14986 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (abs‘𝑡) = 𝑡) |
87 | 86 | oveq2d 7229 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((abs‘(𝐴 / 𝑁)) · (abs‘𝑡)) = ((abs‘(𝐴 / 𝑁)) · 𝑡)) |
88 | 85, 87 | eqtr2d 2778 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((abs‘(𝐴 / 𝑁)) · 𝑡) = (abs‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))) |
89 | 55 | recnd 10861 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (𝑅 / 𝑁) ∈ ℂ) |
90 | 89 | mulid1d 10850 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((𝑅 / 𝑁) · 1) = (𝑅 / 𝑁)) |
91 | 84, 88, 90 | 3brtr3d 5084 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (abs‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) ≤ (𝑅 / 𝑁)) |
92 | | lgamgulm.l |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (𝜑 → (2 · 𝑅) ≤ 𝑁) |
93 | | 2rp 12591 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ 2 ∈
ℝ+ |
94 | 93 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (𝜑 → 2 ∈
ℝ+) |
95 | 52, 15, 94 | lemuldiv2d 12678 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑅) ≤ 𝑁 ↔ 𝑅 ≤ (𝑁 / 2))) |
96 | 92, 95 | mpbid 235 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (𝜑 → 𝑅 ≤ (𝑁 / 2)) |
97 | | 2cnd 11908 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (𝜑 → 2 ∈
ℂ) |
98 | | 2ne0 11934 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ 2 ≠
0 |
99 | 98 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (𝜑 → 2 ≠ 0) |
100 | 16, 97, 99 | divrecd 11611 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (𝜑 → (𝑁 / 2) = (𝑁 · (1 / 2))) |
101 | 96, 100 | breqtrd 5079 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝜑 → 𝑅 ≤ (𝑁 · (1 / 2))) |
102 | 4 | rehalfcld 12077 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (𝜑 → (1 / 2) ∈
ℝ) |
103 | 52, 102, 63 | ledivmuld 12681 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝜑 → ((𝑅 / 𝑁) ≤ (1 / 2) ↔ 𝑅 ≤ (𝑁 · (1 / 2)))) |
104 | 101, 103 | mpbird 260 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝜑 → (𝑅 / 𝑁) ≤ (1 / 2)) |
105 | 104 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (𝑅 / 𝑁) ≤ (1 / 2)) |
106 | 47, 55, 51, 91, 105 | letrd 10989 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (abs‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) ≤ (1 / 2)) |
107 | | halflt1 12048 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (1 / 2)
< 1 |
108 | 107 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (1 / 2) <
1) |
109 | 47, 51, 48, 106, 108 | lelttrd 10990 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (abs‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) < 1) |
110 | 46, 47, 48, 50, 109 | lelttrd 10990 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) →
(abs‘(ℜ‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))) < 1) |
111 | 44, 48 | absltd 14993 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) →
((abs‘(ℜ‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))) < 1 ↔ (-1 <
(ℜ‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) ∧ (ℜ‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) < 1))) |
112 | 110, 111 | mpbid 235 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (-1 <
(ℜ‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) ∧ (ℜ‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) < 1)) |
113 | 112 | simpld 498 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → -1 <
(ℜ‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))) |
114 | 48 | renegcld 11259 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → -1 ∈
ℝ) |
115 | 114, 44 | posdifd 11419 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (-1 <
(ℜ‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) ↔ 0 < ((ℜ‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) − -1))) |
116 | 113, 115 | mpbid 235 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → 0 <
((ℜ‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) − -1)) |
117 | 45, 39 | subnegd 11196 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) →
((ℜ‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) − -1) = ((ℜ‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) + 1)) |
118 | 116, 117 | breqtrd 5079 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → 0 <
((ℜ‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) + 1)) |
119 | 38, 39 | readdd 14777 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) →
(ℜ‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) = ((ℜ‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) + (ℜ‘1))) |
120 | | re1 14717 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
(ℜ‘1) = 1 |
121 | 120 | oveq2i 7224 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
((ℜ‘((𝐴 /
𝑁) · 𝑡)) + (ℜ‘1)) =
((ℜ‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) + 1) |
122 | 119, 121 | eqtrdi 2794 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) →
(ℜ‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) = ((ℜ‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) + 1)) |
123 | 118, 122 | breqtrrd 5081 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → 0 <
(ℜ‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))) |
124 | 43, 123 | elrpd 12625 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) →
(ℜ‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) ∈
ℝ+) |
125 | 124 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) ∧ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1) ∈ ℝ) →
(ℜ‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) ∈
ℝ+) |
126 | 42, 125 | eqeltrrd 2839 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) ∧ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1) ∈ ℝ) → (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1) ∈
ℝ+) |
127 | 126 | ex 416 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1) ∈ ℝ → (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1) ∈
ℝ+)) |
128 | 29 | ellogdm 25527 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1) ∈ (ℂ ∖
(-∞(,]0)) ↔ ((((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1) ∈ ℂ ∧ ((((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1) ∈ ℝ → (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1) ∈
ℝ+))) |
129 | 40, 127, 128 | sylanbrc 586 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1) ∈ (ℂ ∖
(-∞(,]0))) |
130 | 33, 129 | cofmpt 6947 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → ((log ↾ (ℂ
∖ (-∞(,]0))) ∘ (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))) = (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((log ↾
(ℂ ∖ (-∞(,]0)))‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)))) |
131 | 129 | fvresd 6737 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((log ↾
(ℂ ∖ (-∞(,]0)))‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) = (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))) |
132 | 131 | mpteq2dva 5150 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((log ↾
(ℂ ∖ (-∞(,]0)))‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))) = (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)))) |
133 | 130, 132 | eqtrd 2777 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → ((log ↾ (ℂ
∖ (-∞(,]0))) ∘ (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))) = (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)))) |
134 | 129 | fmpttd 6932 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)):(0[,]1)⟶(ℂ ∖
(-∞(,]0))) |
135 | | difss 4046 |
. . . . . . . . 9
⊢ (ℂ
∖ (-∞(,]0)) ⊆ ℂ |
136 | 5 | addcn 23762 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ + ∈
(((TopOpen‘ℂfld) ×t
(TopOpen‘ℂfld)) Cn
(TopOpen‘ℂfld)) |
137 | 136 | a1i 11 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → + ∈
(((TopOpen‘ℂfld) ×t
(TopOpen‘ℂfld)) Cn
(TopOpen‘ℂfld))) |
138 | | 1cnd 10828 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → 1 ∈
ℂ) |
139 | | cncfmptc 23809 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((1
∈ ℂ ∧ (0[,]1) ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ)
→ (𝑡 ∈ (0[,]1)
↦ 1) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ)) |
140 | 138, 22, 23, 139 | syl3anc 1373 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ 1) ∈
((0[,]1)–cn→ℂ)) |
141 | 5, 137, 28, 140 | cncfmpt2f 23812 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ)) |
142 | | cncffvrn 23795 |
. . . . . . . . 9
⊢
(((ℂ ∖ (-∞(,]0)) ⊆ ℂ ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ)) → ((𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) ∈ ((0[,]1)–cn→(ℂ ∖ (-∞(,]0))) ↔ (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)):(0[,]1)⟶(ℂ ∖
(-∞(,]0)))) |
143 | 135, 141,
142 | sylancr 590 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → ((𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) ∈ ((0[,]1)–cn→(ℂ ∖ (-∞(,]0))) ↔ (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)):(0[,]1)⟶(ℂ ∖
(-∞(,]0)))) |
144 | 134, 143 | mpbird 260 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) ∈ ((0[,]1)–cn→(ℂ ∖
(-∞(,]0)))) |
145 | 144, 31 | cncfco 23804 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → ((log ↾ (ℂ
∖ (-∞(,]0))) ∘ (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ)) |
146 | 133, 145 | eqeltrrd 2839 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ)) |
147 | 5, 7, 28, 146 | cncfmpt2f 23812 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) − (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)))) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ)) |
148 | 20 | a1i 11 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → ℝ ⊆
ℂ) |
149 | 19 | a1i 11 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (0[,]1) ⊆
ℝ) |
150 | 29 | logdmn0 25528 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1) ∈ (ℂ ∖
(-∞(,]0)) → (((𝐴
/ 𝑁) · 𝑡) + 1) ≠ 0) |
151 | 129, 150 | syl 17 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1) ≠ 0) |
152 | 40, 151 | logcld 25459 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) ∈ ℂ) |
153 | 38, 152 | subcld 11189 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) − (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))) ∈ ℂ) |
154 | 5 | tgioo2 23700 |
. . . . . . . 8
⊢
(topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld)
↾t ℝ) |
155 | | 0re 10835 |
. . . . . . . . 9
⊢ 0 ∈
ℝ |
156 | | iccntr 23718 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((0
∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((int‘(topGen‘ran
(,)))‘(0[,]1)) = (0(,)1)) |
157 | 155, 4, 156 | sylancr 590 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 →
((int‘(topGen‘ran (,)))‘(0[,]1)) = (0(,)1)) |
158 | 148, 149,
153, 154, 5, 157 | dvmptntr 24868 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) − (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))) = (ℝ D (𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) − (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)))))) |
159 | | reelprrecn 10821 |
. . . . . . . . 9
⊢ ℝ
∈ {ℝ, ℂ} |
160 | 159 | a1i 11 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → ℝ ∈ {ℝ,
ℂ}) |
161 | 13 | adantr 484 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → 𝐴 ∈ ℂ) |
162 | 16 | adantr 484 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → 𝑁 ∈ ℂ) |
163 | 17 | adantr 484 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → 𝑁 ≠ 0) |
164 | 161, 162,
163 | divcld 11608 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (𝐴 / 𝑁) ∈ ℂ) |
165 | | ioossicc 13021 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (0(,)1)
⊆ (0[,]1) |
166 | 165 | sseli 3896 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑡 ∈ (0(,)1) → 𝑡 ∈
(0[,]1)) |
167 | 166, 37 | sylan2 596 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → 𝑡 ∈ ℂ) |
168 | 164, 167 | mulcld 10853 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) ∈ ℂ) |
169 | 13 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℂ) |
170 | 16 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 𝑁 ∈ ℂ) |
171 | 17 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 𝑁 ≠ 0) |
172 | 169, 170,
171 | divcld 11608 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (𝐴 / 𝑁) ∈ ℂ) |
173 | 148 | sselda 3901 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 𝑡 ∈ ℂ) |
174 | 172, 173 | mulcld 10853 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) ∈ ℂ) |
175 | | 1cnd 10828 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 1 ∈
ℂ) |
176 | 160 | dvmptid 24854 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑡 ∈ ℝ ↦ 𝑡)) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ 1)) |
177 | 160, 173,
175, 176, 18 | dvmptcmul 24861 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((𝐴 / 𝑁) · 1))) |
178 | 18 | mulid1d 10850 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 𝑁) · 1) = (𝐴 / 𝑁)) |
179 | 178 | mpteq2dv 5151 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((𝐴 / 𝑁) · 1)) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ (𝐴 / 𝑁))) |
180 | 177, 179 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ (𝐴 / 𝑁))) |
181 | 165, 149 | sstrid 3912 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → (0(,)1) ⊆
ℝ) |
182 | | retop 23659 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
(topGen‘ran (,)) ∈ Top |
183 | | iooretop 23663 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (0(,)1)
∈ (topGen‘ran (,)) |
184 | | isopn3i 21979 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
(((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ (0(,)1) ∈
(topGen‘ran (,))) → ((int‘(topGen‘ran
(,)))‘(0(,)1)) = (0(,)1)) |
185 | 182, 183,
184 | mp2an 692 |
. . . . . . . . . 10
⊢
((int‘(topGen‘ran (,)))‘(0(,)1)) =
(0(,)1) |
186 | 185 | a1i 11 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 →
((int‘(topGen‘ran (,)))‘(0(,)1)) = (0(,)1)) |
187 | 160, 174,
172, 180, 181, 154, 5, 186 | dvmptres2 24859 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))) = (𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ (𝐴 / 𝑁))) |
188 | 166, 152 | sylan2 596 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) ∈ ℂ) |
189 | | 1cnd 10828 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → 1 ∈
ℂ) |
190 | 168, 189 | addcld 10852 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1) ∈ ℂ) |
191 | 166, 151 | sylan2 596 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1) ≠ 0) |
192 | 190, 191 | reccld 11601 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) ∈ ℂ) |
193 | 192, 164 | mulcld 10853 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁)) ∈ ℂ) |
194 | | cnelprrecn 10822 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ℂ
∈ {ℝ, ℂ} |
195 | 194 | a1i 11 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → ℂ ∈ {ℝ,
ℂ}) |
196 | 166, 129 | sylan2 596 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1) ∈ (ℂ ∖
(-∞(,]0))) |
197 | | eldifi 4041 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑦 ∈ (ℂ ∖
(-∞(,]0)) → 𝑦
∈ ℂ) |
198 | 197 | adantl 485 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))
→ 𝑦 ∈
ℂ) |
199 | 29 | logdmn0 25528 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑦 ∈ (ℂ ∖
(-∞(,]0)) → 𝑦
≠ 0) |
200 | 199 | adantl 485 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))
→ 𝑦 ≠
0) |
201 | 198, 200 | logcld 25459 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))
→ (log‘𝑦) ∈
ℂ) |
202 | 198, 200 | reccld 11601 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))
→ (1 / 𝑦) ∈
ℂ) |
203 | 174, 175 | addcld 10852 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1) ∈ ℂ) |
204 | | 0cnd 10826 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 0 ∈
ℂ) |
205 | 160, 138 | dvmptc 24855 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑡 ∈ ℝ ↦ 1)) =
(𝑡 ∈ ℝ ↦
0)) |
206 | 160, 174,
172, 180, 175, 204, 205 | dvmptadd 24857 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑡 ∈ ℝ ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((𝐴 / 𝑁) + 0))) |
207 | 18 | addid1d 11032 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 𝑁) + 0) = (𝐴 / 𝑁)) |
208 | 207 | mpteq2dv 5151 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((𝐴 / 𝑁) + 0)) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ (𝐴 / 𝑁))) |
209 | 206, 208 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑡 ∈ ℝ ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ (𝐴 / 𝑁))) |
210 | 160, 203,
172, 209, 181, 154, 5, 186 | dvmptres2 24859 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))) = (𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ (𝐴 / 𝑁))) |
211 | 33 | feqmptd 6780 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → (log ↾ (ℂ
∖ (-∞(,]0))) = (𝑦 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0))
↦ ((log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))‘𝑦))) |
212 | | fvres 6736 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑦 ∈ (ℂ ∖
(-∞(,]0)) → ((log ↾ (ℂ ∖
(-∞(,]0)))‘𝑦) =
(log‘𝑦)) |
213 | 212 | mpteq2ia 5146 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑦 ∈ (ℂ ∖
(-∞(,]0)) ↦ ((log ↾ (ℂ ∖
(-∞(,]0)))‘𝑦))
= (𝑦 ∈ (ℂ
∖ (-∞(,]0)) ↦ (log‘𝑦)) |
214 | 211, 213 | eqtr2di 2795 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0))
↦ (log‘𝑦)) =
(log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))) |
215 | 214 | oveq2d 7229 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (ℂ D (𝑦 ∈ (ℂ ∖
(-∞(,]0)) ↦ (log‘𝑦))) = (ℂ D (log ↾ (ℂ
∖ (-∞(,]0))))) |
216 | 29 | dvlog 25539 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (ℂ
D (log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))) = (𝑦 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0))
↦ (1 / 𝑦)) |
217 | 215, 216 | eqtrdi 2794 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → (ℂ D (𝑦 ∈ (ℂ ∖
(-∞(,]0)) ↦ (log‘𝑦))) = (𝑦 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0))
↦ (1 / 𝑦))) |
218 | | fveq2 6717 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑦 = (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1) → (log‘𝑦) = (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))) |
219 | | oveq2 7221 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑦 = (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1) → (1 / 𝑦) = (1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))) |
220 | 160, 195,
196, 164, 201, 202, 210, 217, 218, 219 | dvmptco 24869 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑡 ∈ (0(,)1) ↦
(log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)))) = (𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁)))) |
221 | 160, 168,
164, 187, 188, 193, 220 | dvmptsub 24864 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) − (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))) = (𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ ((𝐴 / 𝑁) − ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁))))) |
222 | 158, 221 | eqtrd 2777 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) − (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))) = (𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ ((𝐴 / 𝑁) − ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁))))) |
223 | 222 | dmeqd 5774 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → dom (ℝ D (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) − (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))) = dom (𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ ((𝐴 / 𝑁) − ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁))))) |
224 | | ovex 7246 |
. . . . . 6
⊢ ((𝐴 / 𝑁) − ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁))) ∈ V |
225 | | eqid 2737 |
. . . . . 6
⊢ (𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ ((𝐴 / 𝑁) − ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁)))) = (𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ ((𝐴 / 𝑁) − ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁)))) |
226 | 224, 225 | dmmpti 6522 |
. . . . 5
⊢ dom
(𝑡 ∈ (0(,)1) ↦
((𝐴 / 𝑁) − ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁)))) = (0(,)1) |
227 | 223, 226 | eqtrdi 2794 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → dom (ℝ D (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) − (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))) = (0(,)1)) |
228 | | 2re 11904 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ 2 ∈
ℝ |
229 | 228 | a1i 11 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → 2 ∈
ℝ) |
230 | 229, 52 | remulcld 10863 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → (2 · 𝑅) ∈
ℝ) |
231 | 8 | nnrpd 12626 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈
ℝ+) |
232 | 52, 231 | ltaddrpd 12661 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → 𝑅 < (𝑅 + 𝑅)) |
233 | 52 | recnd 10861 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℂ) |
234 | 233 | 2timesd 12073 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (2 · 𝑅) = (𝑅 + 𝑅)) |
235 | 232, 234 | breqtrrd 5081 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → 𝑅 < (2 · 𝑅)) |
236 | 52, 230, 15, 235, 92 | ltletrd 10992 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → 𝑅 < 𝑁) |
237 | | difrp 12624 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑅 < 𝑁 ↔ (𝑁 − 𝑅) ∈
ℝ+)) |
238 | 52, 15, 237 | syl2anc 587 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (𝑅 < 𝑁 ↔ (𝑁 − 𝑅) ∈
ℝ+)) |
239 | 236, 238 | mpbid 235 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → (𝑁 − 𝑅) ∈
ℝ+) |
240 | 239 | rprecred 12639 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → (1 / (𝑁 − 𝑅)) ∈ ℝ) |
241 | 14 | nnrecred 11881 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → (1 / 𝑁) ∈ ℝ) |
242 | 240, 241 | resubcld 11260 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → ((1 / (𝑁 − 𝑅)) − (1 / 𝑁)) ∈ ℝ) |
243 | 52, 242 | remulcld 10863 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → (𝑅 · ((1 / (𝑁 − 𝑅)) − (1 / 𝑁))) ∈ ℝ) |
244 | 222 | fveq1d 6719 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → ((ℝ D (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) − (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)))))‘𝑦) = ((𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ ((𝐴 / 𝑁) − ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁))))‘𝑦)) |
245 | 244 | fveq2d 6721 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → (abs‘((ℝ D
(𝑡 ∈ (0[,]1) ↦
(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) − (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)))))‘𝑦)) = (abs‘((𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ ((𝐴 / 𝑁) − ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁))))‘𝑦))) |
246 | 245 | adantr 484 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (0(,)1)) → (abs‘((ℝ
D (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦
(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) − (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)))))‘𝑦)) = (abs‘((𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ ((𝐴 / 𝑁) − ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁))))‘𝑦))) |
247 | | nfv 1922 |
. . . . . . 7
⊢
Ⅎ𝑡(𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (0(,)1)) |
248 | | nfcv 2904 |
. . . . . . . . 9
⊢
Ⅎ𝑡abs |
249 | | nffvmpt1 6728 |
. . . . . . . . 9
⊢
Ⅎ𝑡((𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ ((𝐴 / 𝑁) − ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁))))‘𝑦) |
250 | 248, 249 | nffv 6727 |
. . . . . . . 8
⊢
Ⅎ𝑡(abs‘((𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ ((𝐴 / 𝑁) − ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁))))‘𝑦)) |
251 | | nfcv 2904 |
. . . . . . . 8
⊢
Ⅎ𝑡
≤ |
252 | | nfcv 2904 |
. . . . . . . 8
⊢
Ⅎ𝑡(𝑅 · ((1 / (𝑁 − 𝑅)) − (1 / 𝑁))) |
253 | 250, 251,
252 | nfbr 5100 |
. . . . . . 7
⊢
Ⅎ𝑡(abs‘((𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ ((𝐴 / 𝑁) − ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁))))‘𝑦)) ≤ (𝑅 · ((1 / (𝑁 − 𝑅)) − (1 / 𝑁))) |
254 | 247, 253 | nfim 1904 |
. . . . . 6
⊢
Ⅎ𝑡((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (0(,)1)) → (abs‘((𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ ((𝐴 / 𝑁) − ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁))))‘𝑦)) ≤ (𝑅 · ((1 / (𝑁 − 𝑅)) − (1 / 𝑁)))) |
255 | | eleq1w 2820 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑡 = 𝑦 → (𝑡 ∈ (0(,)1) ↔ 𝑦 ∈ (0(,)1))) |
256 | 255 | anbi2d 632 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑡 = 𝑦 → ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) ↔ (𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (0(,)1)))) |
257 | | 2fveq3 6722 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑡 = 𝑦 → (abs‘((𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ ((𝐴 / 𝑁) − ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁))))‘𝑡)) = (abs‘((𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ ((𝐴 / 𝑁) − ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁))))‘𝑦))) |
258 | 257 | breq1d 5063 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑡 = 𝑦 → ((abs‘((𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ ((𝐴 / 𝑁) − ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁))))‘𝑡)) ≤ (𝑅 · ((1 / (𝑁 − 𝑅)) − (1 / 𝑁))) ↔ (abs‘((𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ ((𝐴 / 𝑁) − ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁))))‘𝑦)) ≤ (𝑅 · ((1 / (𝑁 − 𝑅)) − (1 / 𝑁))))) |
259 | 256, 258 | imbi12d 348 |
. . . . . 6
⊢ (𝑡 = 𝑦 → (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘((𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ ((𝐴 / 𝑁) − ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁))))‘𝑡)) ≤ (𝑅 · ((1 / (𝑁 − 𝑅)) − (1 / 𝑁)))) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (0(,)1)) → (abs‘((𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ ((𝐴 / 𝑁) − ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁))))‘𝑦)) ≤ (𝑅 · ((1 / (𝑁 − 𝑅)) − (1 / 𝑁)))))) |
260 | | simpr 488 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → 𝑡 ∈ (0(,)1)) |
261 | 225 | fvmpt2 6829 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝑡 ∈ (0(,)1) ∧ ((𝐴 / 𝑁) − ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁))) ∈ V) → ((𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ ((𝐴 / 𝑁) − ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁))))‘𝑡) = ((𝐴 / 𝑁) − ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁)))) |
262 | 260, 224,
261 | sylancl 589 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ ((𝐴 / 𝑁) − ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁))))‘𝑡) = ((𝐴 / 𝑁) − ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁)))) |
263 | 262 | fveq2d 6721 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘((𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ ((𝐴 / 𝑁) − ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁))))‘𝑡)) = (abs‘((𝐴 / 𝑁) − ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁))))) |
264 | 164, 189,
192 | subdid 11288 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝐴 / 𝑁) · (1 − (1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)))) = (((𝐴 / 𝑁) · 1) − ((𝐴 / 𝑁) · (1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))) |
265 | 164 | mulid1d 10850 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝐴 / 𝑁) · 1) = (𝐴 / 𝑁)) |
266 | 164, 192 | mulcomd 10854 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝐴 / 𝑁) · (1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))) = ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁))) |
267 | 265, 266 | oveq12d 7231 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (((𝐴 / 𝑁) · 1) − ((𝐴 / 𝑁) · (1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)))) = ((𝐴 / 𝑁) − ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁)))) |
268 | 264, 267 | eqtr2d 2778 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝐴 / 𝑁) − ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁))) = ((𝐴 / 𝑁) · (1 − (1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))) |
269 | 268 | fveq2d 6721 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘((𝐴 / 𝑁) − ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁)))) = (abs‘((𝐴 / 𝑁) · (1 − (1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)))))) |
270 | 161, 162,
163 | absdivd 15019 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘(𝐴 / 𝑁)) = ((abs‘𝐴) / (abs‘𝑁))) |
271 | 15 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → 𝑁 ∈ ℝ) |
272 | 64 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → 0 ≤ 𝑁) |
273 | 271, 272 | absidd 14986 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘𝑁) = 𝑁) |
274 | 273 | oveq2d 7229 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((abs‘𝐴) / (abs‘𝑁)) = ((abs‘𝐴) / 𝑁)) |
275 | 270, 274 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘(𝐴 / 𝑁)) = ((abs‘𝐴) / 𝑁)) |
276 | 275 | oveq1d 7228 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((abs‘(𝐴 / 𝑁)) · (abs‘(1 − (1 /
(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))) = (((abs‘𝐴) / 𝑁) · (abs‘(1 − (1 /
(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)))))) |
277 | 189, 192 | subcld 11189 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (1 − (1 /
(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))) ∈ ℂ) |
278 | 164, 277 | absmuld 15018 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘((𝐴 / 𝑁) · (1 − (1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))) = ((abs‘(𝐴 / 𝑁)) · (abs‘(1 − (1 /
(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)))))) |
279 | 68 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘𝐴) ∈
ℝ) |
280 | 279 | recnd 10861 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘𝐴) ∈
ℂ) |
281 | 277 | abscld 15000 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘(1 −
(1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)))) ∈ ℝ) |
282 | 281 | recnd 10861 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘(1 −
(1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)))) ∈ ℂ) |
283 | 280, 282,
162, 163 | div23d 11645 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (((abs‘𝐴) · (abs‘(1 −
(1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))) / 𝑁) = (((abs‘𝐴) / 𝑁) · (abs‘(1 − (1 /
(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)))))) |
284 | 276, 278,
283 | 3eqtr4d 2787 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘((𝐴 / 𝑁) · (1 − (1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))) = (((abs‘𝐴) · (abs‘(1 − (1 /
(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))) / 𝑁)) |
285 | 263, 269,
284 | 3eqtrd 2781 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘((𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ ((𝐴 / 𝑁) − ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁))))‘𝑡)) = (((abs‘𝐴) · (abs‘(1 − (1 /
(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))) / 𝑁)) |
286 | 52 | adantr 484 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → 𝑅 ∈ ℝ) |
287 | 240 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (1 / (𝑁 − 𝑅)) ∈ ℝ) |
288 | 241 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (1 / 𝑁) ∈
ℝ) |
289 | 287, 288 | resubcld 11260 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((1 / (𝑁 − 𝑅)) − (1 / 𝑁)) ∈ ℝ) |
290 | 271, 289 | remulcld 10863 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (𝑁 · ((1 / (𝑁 − 𝑅)) − (1 / 𝑁))) ∈ ℝ) |
291 | 13 | absge0d 15008 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → 0 ≤ (abs‘𝐴)) |
292 | 291 | adantr 484 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → 0 ≤
(abs‘𝐴)) |
293 | 277 | absge0d 15008 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → 0 ≤ (abs‘(1
− (1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))) |
294 | 78 | adantr 484 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘𝐴) ≤ 𝑅) |
295 | 239 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (𝑁 − 𝑅) ∈
ℝ+) |
296 | 231 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → 𝑅 ∈
ℝ+) |
297 | 295, 296 | rpdivcld 12645 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝑁 − 𝑅) / 𝑅) ∈
ℝ+) |
298 | 12 | dmgmn0 25908 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0) |
299 | 298 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → 𝐴 ≠ 0) |
300 | 161, 162,
299, 163 | divne0d 11624 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (𝐴 / 𝑁) ≠ 0) |
301 | | eliooord 12994 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝑡 ∈ (0(,)1) → (0 <
𝑡 ∧ 𝑡 < 1)) |
302 | 301 | adantl 485 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (0 < 𝑡 ∧ 𝑡 < 1)) |
303 | 302 | simpld 498 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → 0 < 𝑡) |
304 | 303 | gt0ne0d 11396 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → 𝑡 ≠ 0) |
305 | 164, 167,
300, 304 | mulne0d 11484 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) ≠ 0) |
306 | 168, 305 | reccld 11601 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) ∈ ℂ) |
307 | 189, 306 | addcld 10852 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (1 + (1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))) ∈ ℂ) |
308 | 168, 189,
168, 305 | divdird 11646 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1) / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) = ((((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) + (1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)))) |
309 | 168, 305 | dividd 11606 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) = 1) |
310 | 309 | oveq1d 7228 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) + (1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))) = (1 + (1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)))) |
311 | 308, 310 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1) / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) = (1 + (1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)))) |
312 | 190, 168,
191, 305 | divne0d 11624 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1) / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) ≠ 0) |
313 | 311, 312 | eqnetrrd 3009 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (1 + (1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))) ≠ 0) |
314 | 307, 313 | absrpcld 15012 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘(1 + (1 /
((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)))) ∈
ℝ+) |
315 | | 1red 10834 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → 1 ∈
ℝ) |
316 | | 0le1 11355 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ 0 ≤
1 |
317 | 316 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → 0 ≤
1) |
318 | 297 | rpred 12628 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝑁 − 𝑅) / 𝑅) ∈ ℝ) |
319 | 306 | negcld 11176 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → -(1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) ∈ ℂ) |
320 | 319 | abscld 15000 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘-(1 /
((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))) ∈ ℝ) |
321 | 320, 315 | resubcld 11260 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((abs‘-(1 /
((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))) − 1) ∈
ℝ) |
322 | 307 | abscld 15000 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘(1 + (1 /
((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)))) ∈ ℝ) |
323 | 233 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → 𝑅 ∈ ℂ) |
324 | 296 | rpne0d 12633 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → 𝑅 ≠ 0) |
325 | 162, 323,
323, 324 | divsubdird 11647 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝑁 − 𝑅) / 𝑅) = ((𝑁 / 𝑅) − (𝑅 / 𝑅))) |
326 | 323, 324 | dividd 11606 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (𝑅 / 𝑅) = 1) |
327 | 326 | oveq2d 7229 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝑁 / 𝑅) − (𝑅 / 𝑅)) = ((𝑁 / 𝑅) − 1)) |
328 | 325, 327 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝑁 − 𝑅) / 𝑅) = ((𝑁 / 𝑅) − 1)) |
329 | 271, 296 | rerpdivcld 12659 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (𝑁 / 𝑅) ∈ ℝ) |
330 | 323, 162,
324, 163 | recdivd 11625 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (1 / (𝑅 / 𝑁)) = (𝑁 / 𝑅)) |
331 | 166, 91 | sylan2 596 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) ≤ (𝑅 / 𝑁)) |
332 | 168, 305 | absrpcld 15012 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) ∈
ℝ+) |
333 | 63 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → 𝑁 ∈
ℝ+) |
334 | 296, 333 | rpdivcld 12645 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (𝑅 / 𝑁) ∈
ℝ+) |
335 | 332, 334 | lerecd 12647 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((abs‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) ≤ (𝑅 / 𝑁) ↔ (1 / (𝑅 / 𝑁)) ≤ (1 / (abs‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))))) |
336 | 331, 335 | mpbid 235 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (1 / (𝑅 / 𝑁)) ≤ (1 / (abs‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)))) |
337 | 330, 336 | eqbrtrrd 5077 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (𝑁 / 𝑅) ≤ (1 / (abs‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)))) |
338 | 306 | absnegd 15013 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘-(1 /
((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))) = (abs‘(1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)))) |
339 | 189, 168,
305 | absdivd 15019 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘(1 /
((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))) = ((abs‘1) / (abs‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)))) |
340 | | abs1 14861 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢
(abs‘1) = 1 |
341 | 340 | oveq1i 7223 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
((abs‘1) / (abs‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))) = (1 / (abs‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))) |
342 | 339, 341 | eqtrdi 2794 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘(1 /
((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))) = (1 / (abs‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)))) |
343 | 338, 342 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘-(1 /
((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))) = (1 / (abs‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)))) |
344 | 337, 343 | breqtrrd 5081 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (𝑁 / 𝑅) ≤ (abs‘-(1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)))) |
345 | 329, 320,
315, 344 | lesub1dd 11448 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝑁 / 𝑅) − 1) ≤ ((abs‘-(1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))) − 1)) |
346 | 328, 345 | eqbrtrd 5075 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝑁 − 𝑅) / 𝑅) ≤ ((abs‘-(1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))) − 1)) |
347 | 340 | oveq2i 7224 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
((abs‘-(1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))) − (abs‘1)) = ((abs‘-(1
/ ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))) − 1) |
348 | 319, 189 | abs2difd 15021 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((abs‘-(1 /
((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))) − (abs‘1)) ≤
(abs‘(-(1 / ((𝐴 /
𝑁) · 𝑡)) − 1))) |
349 | 347, 348 | eqbrtrrid 5089 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((abs‘-(1 /
((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))) − 1) ≤ (abs‘(-(1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) − 1))) |
350 | 189, 306 | addcomd 11034 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (1 + (1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))) = ((1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) + 1)) |
351 | 350 | negeqd 11072 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → -(1 + (1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))) = -((1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) + 1)) |
352 | 306, 189 | negdi2d 11203 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → -((1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) + 1) = (-(1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) − 1)) |
353 | 351, 352 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → -(1 + (1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))) = (-(1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) − 1)) |
354 | 353 | fveq2d 6721 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘-(1 + (1 /
((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)))) = (abs‘(-(1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) − 1))) |
355 | 307 | absnegd 15013 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘-(1 + (1 /
((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)))) = (abs‘(1 + (1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))))) |
356 | 354, 355 | eqtr3d 2779 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘(-(1 /
((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) − 1)) = (abs‘(1 + (1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))))) |
357 | 349, 356 | breqtrd 5079 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((abs‘-(1 /
((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))) − 1) ≤ (abs‘(1 + (1 /
((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))))) |
358 | 318, 321,
322, 346, 357 | letrd 10989 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝑁 − 𝑅) / 𝑅) ≤ (abs‘(1 + (1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))))) |
359 | 297, 314,
315, 317, 358 | lediv2ad 12650 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (1 / (abs‘(1 +
(1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))))) ≤ (1 / ((𝑁 − 𝑅) / 𝑅))) |
360 | 16, 233 | subcld 11189 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → (𝑁 − 𝑅) ∈ ℂ) |
361 | 360 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (𝑁 − 𝑅) ∈ ℂ) |
362 | 52, 236 | gtned 10967 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜑 → 𝑁 ≠ 𝑅) |
363 | 16, 233, 362 | subne0d 11198 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → (𝑁 − 𝑅) ≠ 0) |
364 | 363 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (𝑁 − 𝑅) ≠ 0) |
365 | 361, 323,
364, 324 | recdivd 11625 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (1 / ((𝑁 − 𝑅) / 𝑅)) = (𝑅 / (𝑁 − 𝑅))) |
366 | 162, 323 | nncand 11194 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (𝑁 − (𝑁 − 𝑅)) = 𝑅) |
367 | 366 | oveq1d 7228 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝑁 − (𝑁 − 𝑅)) / (𝑁 − 𝑅)) = (𝑅 / (𝑁 − 𝑅))) |
368 | 162, 361,
361, 364 | divsubdird 11647 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝑁 − (𝑁 − 𝑅)) / (𝑁 − 𝑅)) = ((𝑁 / (𝑁 − 𝑅)) − ((𝑁 − 𝑅) / (𝑁 − 𝑅)))) |
369 | 367, 368 | eqtr3d 2779 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (𝑅 / (𝑁 − 𝑅)) = ((𝑁 / (𝑁 − 𝑅)) − ((𝑁 − 𝑅) / (𝑁 − 𝑅)))) |
370 | 361, 364 | dividd 11606 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝑁 − 𝑅) / (𝑁 − 𝑅)) = 1) |
371 | 370 | oveq2d 7229 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝑁 / (𝑁 − 𝑅)) − ((𝑁 − 𝑅) / (𝑁 − 𝑅))) = ((𝑁 / (𝑁 − 𝑅)) − 1)) |
372 | 365, 369,
371 | 3eqtrd 2781 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (1 / ((𝑁 − 𝑅) / 𝑅)) = ((𝑁 / (𝑁 − 𝑅)) − 1)) |
373 | 359, 372 | breqtrd 5079 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (1 / (abs‘(1 +
(1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))))) ≤ ((𝑁 / (𝑁 − 𝑅)) − 1)) |
374 | 190, 189,
190, 191 | divsubdird 11647 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (((((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1) − 1) / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) = (((((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1) / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) − (1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)))) |
375 | 168, 189 | pncand 11190 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1) − 1) = ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) |
376 | 375 | oveq1d 7228 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (((((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1) − 1) / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) = (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))) |
377 | 190, 191 | dividd 11606 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1) / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) = 1) |
378 | 377 | oveq1d 7228 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (((((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1) / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) − (1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))) = (1 − (1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)))) |
379 | 374, 376,
378 | 3eqtr3rd 2786 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (1 − (1 /
(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))) = (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))) |
380 | 190, 168,
191, 305 | recdivd 11625 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (1 / ((((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1) / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))) = (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))) |
381 | 311 | oveq2d 7229 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (1 / ((((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1) / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))) = (1 / (1 + (1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))))) |
382 | 379, 380,
381 | 3eqtr2d 2783 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (1 − (1 /
(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))) = (1 / (1 + (1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))))) |
383 | 382 | fveq2d 6721 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘(1 −
(1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)))) = (abs‘(1 / (1 + (1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)))))) |
384 | 189, 307,
313 | absdivd 15019 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘(1 / (1 +
(1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))))) = ((abs‘1) / (abs‘(1 + (1 /
((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)))))) |
385 | 340 | oveq1i 7223 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
((abs‘1) / (abs‘(1 + (1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))))) = (1 / (abs‘(1 + (1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))))) |
386 | 384, 385 | eqtrdi 2794 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘(1 / (1 +
(1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))))) = (1 / (abs‘(1 + (1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)))))) |
387 | 383, 386 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘(1 −
(1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)))) = (1 / (abs‘(1 + (1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)))))) |
388 | 360, 363 | reccld 11601 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → (1 / (𝑁 − 𝑅)) ∈ ℂ) |
389 | 388 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (1 / (𝑁 − 𝑅)) ∈ ℂ) |
390 | 241 | recnd 10861 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → (1 / 𝑁) ∈ ℂ) |
391 | 390 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (1 / 𝑁) ∈
ℂ) |
392 | 162, 389,
391 | subdid 11288 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (𝑁 · ((1 / (𝑁 − 𝑅)) − (1 / 𝑁))) = ((𝑁 · (1 / (𝑁 − 𝑅))) − (𝑁 · (1 / 𝑁)))) |
393 | 162, 361,
364 | divrecd 11611 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (𝑁 / (𝑁 − 𝑅)) = (𝑁 · (1 / (𝑁 − 𝑅)))) |
394 | 393 | eqcomd 2743 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (𝑁 · (1 / (𝑁 − 𝑅))) = (𝑁 / (𝑁 − 𝑅))) |
395 | 162, 163 | recidd 11603 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (𝑁 · (1 / 𝑁)) = 1) |
396 | 394, 395 | oveq12d 7231 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝑁 · (1 / (𝑁 − 𝑅))) − (𝑁 · (1 / 𝑁))) = ((𝑁 / (𝑁 − 𝑅)) − 1)) |
397 | 392, 396 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (𝑁 · ((1 / (𝑁 − 𝑅)) − (1 / 𝑁))) = ((𝑁 / (𝑁 − 𝑅)) − 1)) |
398 | 373, 387,
397 | 3brtr4d 5085 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘(1 −
(1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)))) ≤ (𝑁 · ((1 / (𝑁 − 𝑅)) − (1 / 𝑁)))) |
399 | 279, 286,
281, 290, 292, 293, 294, 398 | lemul12ad 11774 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((abs‘𝐴) · (abs‘(1 −
(1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))) ≤ (𝑅 · (𝑁 · ((1 / (𝑁 − 𝑅)) − (1 / 𝑁))))) |
400 | 242 | recnd 10861 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → ((1 / (𝑁 − 𝑅)) − (1 / 𝑁)) ∈ ℂ) |
401 | 400 | adantr 484 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((1 / (𝑁 − 𝑅)) − (1 / 𝑁)) ∈ ℂ) |
402 | 323, 162,
401 | mul12d 11041 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (𝑅 · (𝑁 · ((1 / (𝑁 − 𝑅)) − (1 / 𝑁)))) = (𝑁 · (𝑅 · ((1 / (𝑁 − 𝑅)) − (1 / 𝑁))))) |
403 | 399, 402 | breqtrd 5079 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((abs‘𝐴) · (abs‘(1 −
(1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))) ≤ (𝑁 · (𝑅 · ((1 / (𝑁 − 𝑅)) − (1 / 𝑁))))) |
404 | 279, 281 | remulcld 10863 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((abs‘𝐴) · (abs‘(1 −
(1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))) ∈ ℝ) |
405 | 243 | adantr 484 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (𝑅 · ((1 / (𝑁 − 𝑅)) − (1 / 𝑁))) ∈ ℝ) |
406 | 404, 405,
333 | ledivmuld 12681 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((((abs‘𝐴) · (abs‘(1 −
(1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))) / 𝑁) ≤ (𝑅 · ((1 / (𝑁 − 𝑅)) − (1 / 𝑁))) ↔ ((abs‘𝐴) · (abs‘(1 − (1 /
(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))) ≤ (𝑁 · (𝑅 · ((1 / (𝑁 − 𝑅)) − (1 / 𝑁)))))) |
407 | 403, 406 | mpbird 260 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (((abs‘𝐴) · (abs‘(1 −
(1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))) / 𝑁) ≤ (𝑅 · ((1 / (𝑁 − 𝑅)) − (1 / 𝑁)))) |
408 | 285, 407 | eqbrtrd 5075 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘((𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ ((𝐴 / 𝑁) − ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁))))‘𝑡)) ≤ (𝑅 · ((1 / (𝑁 − 𝑅)) − (1 / 𝑁)))) |
409 | 254, 259,
408 | chvarfv 2238 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (0(,)1)) → (abs‘((𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ ((𝐴 / 𝑁) − ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁))))‘𝑦)) ≤ (𝑅 · ((1 / (𝑁 − 𝑅)) − (1 / 𝑁)))) |
410 | 246, 409 | eqbrtrd 5075 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (0(,)1)) → (abs‘((ℝ
D (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦
(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) − (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)))))‘𝑦)) ≤ (𝑅 · ((1 / (𝑁 − 𝑅)) − (1 / 𝑁)))) |
411 | 3, 4, 147, 227, 243, 410 | dvlip 24890 |
. . 3
⊢ ((𝜑 ∧ (1 ∈ (0[,]1) ∧ 0
∈ (0[,]1))) → (abs‘(((𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) − (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))‘1) − ((𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) − (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))‘0))) ≤ ((𝑅 · ((1 / (𝑁 − 𝑅)) − (1 / 𝑁))) · (abs‘(1 −
0)))) |
412 | 1, 2, 411 | mpanr12 705 |
. 2
⊢ (𝜑 → (abs‘(((𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) − (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))‘1) − ((𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) − (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))‘0))) ≤ ((𝑅 · ((1 / (𝑁 − 𝑅)) − (1 / 𝑁))) · (abs‘(1 −
0)))) |
413 | | eqidd 2738 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) − (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)))) = (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) − (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))) |
414 | | oveq2 7221 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑡 = 1 → ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) = ((𝐴 / 𝑁) · 1)) |
415 | 414, 178 | sylan9eqr 2800 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 = 1) → ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) = (𝐴 / 𝑁)) |
416 | 415 | fvoveq1d 7235 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 = 1) → (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) = (log‘((𝐴 / 𝑁) + 1))) |
417 | 415, 416 | oveq12d 7231 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 = 1) → (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) − (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))) = ((𝐴 / 𝑁) − (log‘((𝐴 / 𝑁) + 1)))) |
418 | 1 | a1i 11 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → 1 ∈
(0[,]1)) |
419 | | ovexd 7248 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 𝑁) − (log‘((𝐴 / 𝑁) + 1))) ∈ V) |
420 | 413, 417,
418, 419 | fvmptd 6825 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → ((𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) − (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))‘1) = ((𝐴 / 𝑁) − (log‘((𝐴 / 𝑁) + 1)))) |
421 | | oveq2 7221 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑡 = 0 → ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) = ((𝐴 / 𝑁) · 0)) |
422 | 18 | mul01d 11031 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 𝑁) · 0) = 0) |
423 | 421, 422 | sylan9eqr 2800 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 = 0) → ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) = 0) |
424 | 423 | oveq1d 7228 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 = 0) → (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1) = (0 + 1)) |
425 | | 0p1e1 11952 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (0 + 1) =
1 |
426 | 424, 425 | eqtrdi 2794 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 = 0) → (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1) = 1) |
427 | 426 | fveq2d 6721 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 = 0) → (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) = (log‘1)) |
428 | | log1 25474 |
. . . . . . . . 9
⊢
(log‘1) = 0 |
429 | 427, 428 | eqtrdi 2794 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 = 0) → (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) = 0) |
430 | 423, 429 | oveq12d 7231 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 = 0) → (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) − (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))) = (0 − 0)) |
431 | | 0m0e0 11950 |
. . . . . . 7
⊢ (0
− 0) = 0 |
432 | 430, 431 | eqtrdi 2794 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 = 0) → (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) − (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))) = 0) |
433 | 2 | a1i 11 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → 0 ∈
(0[,]1)) |
434 | 413, 432,
433, 433 | fvmptd 6825 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → ((𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) − (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))‘0) = 0) |
435 | 420, 434 | oveq12d 7231 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → (((𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) − (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))‘1) − ((𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) − (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))‘0)) = (((𝐴 / 𝑁) − (log‘((𝐴 / 𝑁) + 1))) − 0)) |
436 | 18, 138 | addcld 10852 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 𝑁) + 1) ∈ ℂ) |
437 | 12, 14 | dmgmdivn0 25910 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 𝑁) + 1) ≠ 0) |
438 | 436, 437 | logcld 25459 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → (log‘((𝐴 / 𝑁) + 1)) ∈ ℂ) |
439 | 18, 438 | subcld 11189 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 𝑁) − (log‘((𝐴 / 𝑁) + 1))) ∈ ℂ) |
440 | 439 | subid1d 11178 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → (((𝐴 / 𝑁) − (log‘((𝐴 / 𝑁) + 1))) − 0) = ((𝐴 / 𝑁) − (log‘((𝐴 / 𝑁) + 1)))) |
441 | 435, 440 | eqtr2d 2778 |
. . 3
⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 𝑁) − (log‘((𝐴 / 𝑁) + 1))) = (((𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) − (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))‘1) − ((𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) − (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))‘0))) |
442 | 441 | fveq2d 6721 |
. 2
⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐴 / 𝑁) − (log‘((𝐴 / 𝑁) + 1)))) = (abs‘(((𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) − (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))‘1) − ((𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) − (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))‘0)))) |
443 | | 1m0e1 11951 |
. . . . . 6
⊢ (1
− 0) = 1 |
444 | 443 | fveq2i 6720 |
. . . . 5
⊢
(abs‘(1 − 0)) = (abs‘1) |
445 | 444, 340 | eqtri 2765 |
. . . 4
⊢
(abs‘(1 − 0)) = 1 |
446 | 445 | oveq2i 7224 |
. . 3
⊢ ((𝑅 · ((1 / (𝑁 − 𝑅)) − (1 / 𝑁))) · (abs‘(1 − 0))) =
((𝑅 · ((1 / (𝑁 − 𝑅)) − (1 / 𝑁))) · 1) |
447 | 233, 400 | mulcld 10853 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → (𝑅 · ((1 / (𝑁 − 𝑅)) − (1 / 𝑁))) ∈ ℂ) |
448 | 447 | mulid1d 10850 |
. . 3
⊢ (𝜑 → ((𝑅 · ((1 / (𝑁 − 𝑅)) − (1 / 𝑁))) · 1) = (𝑅 · ((1 / (𝑁 − 𝑅)) − (1 / 𝑁)))) |
449 | 446, 448 | eqtr2id 2791 |
. 2
⊢ (𝜑 → (𝑅 · ((1 / (𝑁 − 𝑅)) − (1 / 𝑁))) = ((𝑅 · ((1 / (𝑁 − 𝑅)) − (1 / 𝑁))) · (abs‘(1 −
0)))) |
450 | 412, 442,
449 | 3brtr4d 5085 |
1
⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐴 / 𝑁) − (log‘((𝐴 / 𝑁) + 1)))) ≤ (𝑅 · ((1 / (𝑁 − 𝑅)) − (1 / 𝑁)))) |