MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lgamgulmlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lgamgulmlem2 25293
Description: Lemma for lgamgulm 25298. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jul-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
lgamgulm.r (𝜑𝑅 ∈ ℕ)
lgamgulm.u 𝑈 = {𝑥 ∈ ℂ ∣ ((abs‘𝑥) ≤ 𝑅 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝑥 + 𝑘)))}
lgamgulm.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
lgamgulm.a (𝜑𝐴𝑈)
lgamgulm.l (𝜑 → (2 · 𝑅) ≤ 𝑁)
Assertion
Ref Expression
lgamgulmlem2 (𝜑 → (abs‘((𝐴 / 𝑁) − (log‘((𝐴 / 𝑁) + 1)))) ≤ (𝑅 · ((1 / (𝑁𝑅)) − (1 / 𝑁))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑁   𝑥,𝑘,𝑅   𝐴,𝑘,𝑥   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝑈(𝑥,𝑘)   𝑁(𝑘)

Proof of Theorem lgamgulmlem2
Dummy variables 𝑦 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1elunit 12710 . . 3 1 ∈ (0[,]1)
2 0elunit 12709 . . 3 0 ∈ (0[,]1)
3 0red 10497 . . . 4 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
4 1red 10495 . . . 4 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
5 eqid 2797 . . . . 5 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
65subcn 23161 . . . . . 6 − ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld))
76a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → − ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
8 lgamgulm.r . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑅 ∈ ℕ)
9 lgamgulm.u . . . . . . . . . . 11 𝑈 = {𝑥 ∈ ℂ ∣ ((abs‘𝑥) ≤ 𝑅 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝑥 + 𝑘)))}
108, 9lgamgulmlem1 25292 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑈 ⊆ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))
11 lgamgulm.a . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴𝑈)
1210, 11sseldd 3896 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))
1312eldifad 3877 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
14 lgamgulm.n . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
1514nnred 11507 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
1615recnd 10522 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
1714nnne0d 11541 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ≠ 0)
1813, 16, 17divcld 11270 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴 / 𝑁) ∈ ℂ)
19 unitssre 12739 . . . . . . . . 9 (0[,]1) ⊆ ℝ
20 ax-resscn 10447 . . . . . . . . 9 ℝ ⊆ ℂ
2119, 20sstri 3904 . . . . . . . 8 (0[,]1) ⊆ ℂ
2221a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (0[,]1) ⊆ ℂ)
23 ssidd 3917 . . . . . . 7 (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
24 cncfmptc 23206 . . . . . . 7 (((𝐴 / 𝑁) ∈ ℂ ∧ (0[,]1) ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐴 / 𝑁)) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ))
2518, 22, 23, 24syl3anc 1364 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐴 / 𝑁)) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ))
26 cncfmptid 23207 . . . . . . 7 (((0[,]1) ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ 𝑡) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ))
2721, 23, 26sylancr 587 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ 𝑡) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ))
2825, 27mulcncf 23734 . . . . 5 (𝜑 → (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ))
29 eqid 2797 . . . . . . . . . . 11 (ℂ ∖ (-∞(,]0)) = (ℂ ∖ (-∞(,]0))
3029logcn 24915 . . . . . . . . . 10 (log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0))) ∈ ((ℂ ∖ (-∞(,]0))–cn→ℂ)
3130a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0))) ∈ ((ℂ ∖ (-∞(,]0))–cn→ℂ))
32 cncff 23188 . . . . . . . . 9 ((log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0))) ∈ ((ℂ ∖ (-∞(,]0))–cn→ℂ) → (log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0))):(ℂ ∖ (-∞(,]0))⟶ℂ)
3331, 32syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0))):(ℂ ∖ (-∞(,]0))⟶ℂ)
3418adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑡 ∈ (0[,]1)) → (𝐴 / 𝑁) ∈ ℂ)
35 simpr 485 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑡 ∈ (0[,]1)) → 𝑡 ∈ (0[,]1))
3619, 35sseldi 3893 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑡 ∈ (0[,]1)) → 𝑡 ∈ ℝ)
3736recnd 10522 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑡 ∈ (0[,]1)) → 𝑡 ∈ ℂ)
3834, 37mulcld 10514 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) ∈ ℂ)
39 1cnd 10489 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡 ∈ (0[,]1)) → 1 ∈ ℂ)
4038, 39addcld 10513 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 ∈ (0[,]1)) → (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1) ∈ ℂ)
41 rere 14319 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1) ∈ ℝ → (ℜ‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) = (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))
4241adantl 482 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑡 ∈ (0[,]1)) ∧ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1) ∈ ℝ) → (ℜ‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) = (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))
4340recld 14391 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑡 ∈ (0[,]1)) → (ℜ‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) ∈ ℝ)
4438recld 14391 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑡 ∈ (0[,]1)) → (ℜ‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) ∈ ℝ)
4544recnd 10522 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑡 ∈ (0[,]1)) → (ℜ‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) ∈ ℂ)
4645abscld 14634 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑡 ∈ (0[,]1)) → (abs‘(ℜ‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))) ∈ ℝ)
4738abscld 14634 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑡 ∈ (0[,]1)) → (abs‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) ∈ ℝ)
48 1red 10495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑡 ∈ (0[,]1)) → 1 ∈ ℝ)
49 absrele 14506 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) ∈ ℂ → (abs‘(ℜ‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))) ≤ (abs‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)))
5038, 49syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑡 ∈ (0[,]1)) → (abs‘(ℜ‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))) ≤ (abs‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)))
5148rehalfcld 11738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑡 ∈ (0[,]1)) → (1 / 2) ∈ ℝ)
528nnred 11507 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑𝑅 ∈ ℝ)
5352adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑡 ∈ (0[,]1)) → 𝑅 ∈ ℝ)
5414adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑡 ∈ (0[,]1)) → 𝑁 ∈ ℕ)
5553, 54nndivred 11545 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑡 ∈ (0[,]1)) → (𝑅 / 𝑁) ∈ ℝ)
5618abscld 14634 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑 → (abs‘(𝐴 / 𝑁)) ∈ ℝ)
5756adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑡 ∈ (0[,]1)) → (abs‘(𝐴 / 𝑁)) ∈ ℝ)
5834absge0d 14642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑡 ∈ (0[,]1)) → 0 ≤ (abs‘(𝐴 / 𝑁)))
59 elicc01 12708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑡 ∈ (0[,]1) ↔ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑡𝑡 ≤ 1))
6059simp2bi 1139 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑡 ∈ (0[,]1) → 0 ≤ 𝑡)
6160adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑡 ∈ (0[,]1)) → 0 ≤ 𝑡)
6213, 16, 17absdivd 14653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜑 → (abs‘(𝐴 / 𝑁)) = ((abs‘𝐴) / (abs‘𝑁)))
6314nnrpd 12283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝜑𝑁 ∈ ℝ+)
6463rpge0d 12289 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝜑 → 0 ≤ 𝑁)
6515, 64absidd 14620 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝜑 → (abs‘𝑁) = 𝑁)
6665oveq2d 7039 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜑 → ((abs‘𝐴) / (abs‘𝑁)) = ((abs‘𝐴) / 𝑁))
6762, 66eqtr2d 2834 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑 → ((abs‘𝐴) / 𝑁) = (abs‘(𝐴 / 𝑁)))
6813abscld 14634 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜑 → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
69 fveq2 6545 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑥 = 𝐴 → (abs‘𝑥) = (abs‘𝐴))
7069breq1d 4978 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑥 = 𝐴 → ((abs‘𝑥) ≤ 𝑅 ↔ (abs‘𝐴) ≤ 𝑅))
71 fvoveq1 7046 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑥 = 𝐴 → (abs‘(𝑥 + 𝑘)) = (abs‘(𝐴 + 𝑘)))
7271breq2d 4980 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑥 = 𝐴 → ((1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝑥 + 𝑘)) ↔ (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝐴 + 𝑘))))
7372ralbidv 3166 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑥 = 𝐴 → (∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝑥 + 𝑘)) ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝐴 + 𝑘))))
7470, 73anbi12d 630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑥 = 𝐴 → (((abs‘𝑥) ≤ 𝑅 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝑥 + 𝑘))) ↔ ((abs‘𝐴) ≤ 𝑅 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝐴 + 𝑘)))))
7574, 9elrab2 3624 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝐴𝑈 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝐴) ≤ 𝑅 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝐴 + 𝑘)))))
7675simprbi 497 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝐴𝑈 → ((abs‘𝐴) ≤ 𝑅 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝐴 + 𝑘))))
7711, 76syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝜑 → ((abs‘𝐴) ≤ 𝑅 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝐴 + 𝑘))))
7877simpld 495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜑 → (abs‘𝐴) ≤ 𝑅)
7968, 52, 63, 78lediv1dd 12343 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑 → ((abs‘𝐴) / 𝑁) ≤ (𝑅 / 𝑁))
8067, 79eqbrtrrd 4992 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑 → (abs‘(𝐴 / 𝑁)) ≤ (𝑅 / 𝑁))
8180adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑡 ∈ (0[,]1)) → (abs‘(𝐴 / 𝑁)) ≤ (𝑅 / 𝑁))
8259simp3bi 1140 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑡 ∈ (0[,]1) → 𝑡 ≤ 1)
8382adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑡 ∈ (0[,]1)) → 𝑡 ≤ 1)
8457, 55, 36, 48, 58, 61, 81, 83lemul12ad 11436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((abs‘(𝐴 / 𝑁)) · 𝑡) ≤ ((𝑅 / 𝑁) · 1))
8534, 37absmuld 14652 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑡 ∈ (0[,]1)) → (abs‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) = ((abs‘(𝐴 / 𝑁)) · (abs‘𝑡)))
8636, 61absidd 14620 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑡 ∈ (0[,]1)) → (abs‘𝑡) = 𝑡)
8786oveq2d 7039 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((abs‘(𝐴 / 𝑁)) · (abs‘𝑡)) = ((abs‘(𝐴 / 𝑁)) · 𝑡))
8885, 87eqtr2d 2834 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((abs‘(𝐴 / 𝑁)) · 𝑡) = (abs‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)))
8955recnd 10522 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑡 ∈ (0[,]1)) → (𝑅 / 𝑁) ∈ ℂ)
9089mulid1d 10511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((𝑅 / 𝑁) · 1) = (𝑅 / 𝑁))
9184, 88, 903brtr3d 4999 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑡 ∈ (0[,]1)) → (abs‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) ≤ (𝑅 / 𝑁))
92 lgamgulm.l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑 → (2 · 𝑅) ≤ 𝑁)
93 2rp 12248 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2 ∈ ℝ+
9493a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜑 → 2 ∈ ℝ+)
9552, 15, 94lemuldiv2d 12335 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑 → ((2 · 𝑅) ≤ 𝑁𝑅 ≤ (𝑁 / 2)))
9692, 95mpbid 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑𝑅 ≤ (𝑁 / 2))
97 2cnd 11569 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
98 2ne0 11595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2 ≠ 0
9998a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑 → 2 ≠ 0)
10016, 97, 99divrecd 11273 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑 → (𝑁 / 2) = (𝑁 · (1 / 2)))
10196, 100breqtrd 4994 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑𝑅 ≤ (𝑁 · (1 / 2)))
1024rehalfcld 11738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℝ)
10352, 102, 63ledivmuld 12338 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → ((𝑅 / 𝑁) ≤ (1 / 2) ↔ 𝑅 ≤ (𝑁 · (1 / 2))))
104101, 103mpbird 258 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (𝑅 / 𝑁) ≤ (1 / 2))
105104adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑡 ∈ (0[,]1)) → (𝑅 / 𝑁) ≤ (1 / 2))
10647, 55, 51, 91, 105letrd 10650 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑡 ∈ (0[,]1)) → (abs‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) ≤ (1 / 2))
107 halflt1 11709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (1 / 2) < 1
108107a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑡 ∈ (0[,]1)) → (1 / 2) < 1)
10947, 51, 48, 106, 108lelttrd 10651 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑡 ∈ (0[,]1)) → (abs‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) < 1)
11046, 47, 48, 50, 109lelttrd 10651 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑡 ∈ (0[,]1)) → (abs‘(ℜ‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))) < 1)
11144, 48absltd 14627 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((abs‘(ℜ‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))) < 1 ↔ (-1 < (ℜ‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) ∧ (ℜ‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) < 1)))
112110, 111mpbid 233 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑡 ∈ (0[,]1)) → (-1 < (ℜ‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) ∧ (ℜ‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) < 1))
113112simpld 495 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑡 ∈ (0[,]1)) → -1 < (ℜ‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)))
11448renegcld 10921 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑡 ∈ (0[,]1)) → -1 ∈ ℝ)
115114, 44posdifd 11081 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑡 ∈ (0[,]1)) → (-1 < (ℜ‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) ↔ 0 < ((ℜ‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) − -1)))
116113, 115mpbid 233 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑡 ∈ (0[,]1)) → 0 < ((ℜ‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) − -1))
11745, 39subnegd 10858 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((ℜ‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) − -1) = ((ℜ‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) + 1))
118116, 117breqtrd 4994 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑡 ∈ (0[,]1)) → 0 < ((ℜ‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) + 1))
11938, 39readdd 14411 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑡 ∈ (0[,]1)) → (ℜ‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) = ((ℜ‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) + (ℜ‘1)))
120 re1 14351 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (ℜ‘1) = 1
121120oveq2i 7034 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((ℜ‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) + (ℜ‘1)) = ((ℜ‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) + 1)
122119, 121syl6eq 2849 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑡 ∈ (0[,]1)) → (ℜ‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) = ((ℜ‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) + 1))
123118, 122breqtrrd 4996 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑡 ∈ (0[,]1)) → 0 < (ℜ‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)))
12443, 123elrpd 12282 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑡 ∈ (0[,]1)) → (ℜ‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) ∈ ℝ+)
125124adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑡 ∈ (0[,]1)) ∧ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1) ∈ ℝ) → (ℜ‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) ∈ ℝ+)
12642, 125eqeltrrd 2886 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑡 ∈ (0[,]1)) ∧ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1) ∈ ℝ) → (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1) ∈ ℝ+)
127126ex 413 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1) ∈ ℝ → (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1) ∈ ℝ+))
12829ellogdm 24907 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1) ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ↔ ((((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1) ∈ ℂ ∧ ((((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1) ∈ ℝ → (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1) ∈ ℝ+)))
12940, 127, 128sylanbrc 583 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 ∈ (0[,]1)) → (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1) ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))
13033, 129cofmpt 6764 . . . . . . 7 (𝜑 → ((log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0))) ∘ (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))) = (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))
131129fvresd 6565 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) = (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)))
132131mpteq2dva 5062 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))) = (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))
133130, 132eqtrd 2833 . . . . . 6 (𝜑 → ((log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0))) ∘ (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))) = (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))
134129fmpttd 6749 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)):(0[,]1)⟶(ℂ ∖ (-∞(,]0)))
135 difss 4035 . . . . . . . . 9 (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ⊆ ℂ
1365addcn 23160 . . . . . . . . . . 11 + ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld))
137136a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → + ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
138 1cnd 10489 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
139 cncfmptc 23206 . . . . . . . . . . 11 ((1 ∈ ℂ ∧ (0[,]1) ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ 1) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ))
140138, 22, 23, 139syl3anc 1364 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ 1) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ))
1415, 137, 28, 140cncfmpt2f 23209 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ))
142 cncffvrn 23193 . . . . . . . . 9 (((ℂ ∖ (-∞(,]0)) ⊆ ℂ ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ)) → ((𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) ∈ ((0[,]1)–cn→(ℂ ∖ (-∞(,]0))) ↔ (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)):(0[,]1)⟶(ℂ ∖ (-∞(,]0))))
143135, 141, 142sylancr 587 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) ∈ ((0[,]1)–cn→(ℂ ∖ (-∞(,]0))) ↔ (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)):(0[,]1)⟶(ℂ ∖ (-∞(,]0))))
144134, 143mpbird 258 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) ∈ ((0[,]1)–cn→(ℂ ∖ (-∞(,]0))))
145144, 31cncfco 23202 . . . . . 6 (𝜑 → ((log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0))) ∘ (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ))
146133, 145eqeltrrd 2886 . . . . 5 (𝜑 → (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ))
1475, 7, 28, 146cncfmpt2f 23209 . . . 4 (𝜑 → (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) − (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)))) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ))
14820a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
14919a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → (0[,]1) ⊆ ℝ)
15029logdmn0 24908 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1) ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) → (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1) ≠ 0)
151129, 150syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡 ∈ (0[,]1)) → (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1) ≠ 0)
15240, 151logcld 24839 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 ∈ (0[,]1)) → (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) ∈ ℂ)
15338, 152subcld 10851 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 ∈ (0[,]1)) → (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) − (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))) ∈ ℂ)
1545tgioo2 23098 . . . . . . . 8 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
155 0re 10496 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℝ
156 iccntr 23116 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(0[,]1)) = (0(,)1))
157155, 4, 156sylancr 587 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(0[,]1)) = (0(,)1))
158148, 149, 153, 154, 5, 157dvmptntr 24255 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℝ D (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) − (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))) = (ℝ D (𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) − (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))))
159 reelprrecn 10482 . . . . . . . . 9 ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
160159a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
16113adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → 𝐴 ∈ ℂ)
16216adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → 𝑁 ∈ ℂ)
16317adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → 𝑁 ≠ 0)
164161, 162, 163divcld 11270 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (𝐴 / 𝑁) ∈ ℂ)
165 ioossicc 12676 . . . . . . . . . . 11 (0(,)1) ⊆ (0[,]1)
166165sseli 3891 . . . . . . . . . 10 (𝑡 ∈ (0(,)1) → 𝑡 ∈ (0[,]1))
167166, 37sylan2 592 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → 𝑡 ∈ ℂ)
168164, 167mulcld 10514 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) ∈ ℂ)
16913adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℂ)
17016adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ) → 𝑁 ∈ ℂ)
17117adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ) → 𝑁 ≠ 0)
172169, 170, 171divcld 11270 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ) → (𝐴 / 𝑁) ∈ ℂ)
173148sselda 3895 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ) → 𝑡 ∈ ℂ)
174172, 173mulcld 10514 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ) → ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) ∈ ℂ)
175 1cnd 10489 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℂ)
176160dvmptid 24241 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (ℝ D (𝑡 ∈ ℝ ↦ 𝑡)) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ 1))
177160, 173, 175, 176, 18dvmptcmul 24248 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (ℝ D (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((𝐴 / 𝑁) · 1)))
17818mulid1d 10511 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐴 / 𝑁) · 1) = (𝐴 / 𝑁))
179178mpteq2dv 5063 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((𝐴 / 𝑁) · 1)) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ (𝐴 / 𝑁)))
180177, 179eqtrd 2833 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℝ D (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ (𝐴 / 𝑁)))
181165, 149sstrid 3906 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (0(,)1) ⊆ ℝ)
182 retop 23057 . . . . . . . . . . 11 (topGen‘ran (,)) ∈ Top
183 iooretop 23061 . . . . . . . . . . 11 (0(,)1) ∈ (topGen‘ran (,))
184 isopn3i 21378 . . . . . . . . . . 11 (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ (0(,)1) ∈ (topGen‘ran (,))) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(0(,)1)) = (0(,)1))
185182, 183, 184mp2an 688 . . . . . . . . . 10 ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(0(,)1)) = (0(,)1)
186185a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(0(,)1)) = (0(,)1))
187160, 174, 172, 180, 181, 154, 5, 186dvmptres2 24246 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℝ D (𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))) = (𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ (𝐴 / 𝑁)))
188166, 152sylan2 592 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) ∈ ℂ)
189 1cnd 10489 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → 1 ∈ ℂ)
190168, 189addcld 10513 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1) ∈ ℂ)
191166, 151sylan2 592 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1) ≠ 0)
192190, 191reccld 11263 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) ∈ ℂ)
193192, 164mulcld 10514 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁)) ∈ ℂ)
194 cnelprrecn 10483 . . . . . . . . . 10 ℂ ∈ {ℝ, ℂ}
195194a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ℂ ∈ {ℝ, ℂ})
196166, 129sylan2 592 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1) ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))
197 eldifi 4030 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) → 𝑦 ∈ ℂ)
198197adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0))) → 𝑦 ∈ ℂ)
19929logdmn0 24908 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) → 𝑦 ≠ 0)
200199adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0))) → 𝑦 ≠ 0)
201198, 200logcld 24839 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0))) → (log‘𝑦) ∈ ℂ)
202198, 200reccld 11263 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0))) → (1 / 𝑦) ∈ ℂ)
203174, 175addcld 10513 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ) → (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1) ∈ ℂ)
204 0cnd 10487 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ) → 0 ∈ ℂ)
205160, 138dvmptc 24242 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (ℝ D (𝑡 ∈ ℝ ↦ 1)) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ 0))
206160, 174, 172, 180, 175, 204, 205dvmptadd 24244 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (ℝ D (𝑡 ∈ ℝ ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((𝐴 / 𝑁) + 0)))
20718addid1d 10693 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐴 / 𝑁) + 0) = (𝐴 / 𝑁))
208207mpteq2dv 5063 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((𝐴 / 𝑁) + 0)) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ (𝐴 / 𝑁)))
209206, 208eqtrd 2833 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (ℝ D (𝑡 ∈ ℝ ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ (𝐴 / 𝑁)))
210160, 203, 172, 209, 181, 154, 5, 186dvmptres2 24246 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℝ D (𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))) = (𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ (𝐴 / 𝑁)))
21133feqmptd 6608 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0))) = (𝑦 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ↦ ((log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))‘𝑦)))
212 fvres 6564 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) → ((log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))‘𝑦) = (log‘𝑦))
213212mpteq2ia 5058 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ↦ ((log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))‘𝑦)) = (𝑦 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ↦ (log‘𝑦))
214211, 213syl6req 2850 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑦 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ↦ (log‘𝑦)) = (log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0))))
215214oveq2d 7039 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (ℂ D (𝑦 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ↦ (log‘𝑦))) = (ℂ D (log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))))
21629dvlog 24919 . . . . . . . . . 10 (ℂ D (log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))) = (𝑦 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ↦ (1 / 𝑦))
217215, 216syl6eq 2849 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℂ D (𝑦 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ↦ (log‘𝑦))) = (𝑦 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ↦ (1 / 𝑦)))
218 fveq2 6545 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1) → (log‘𝑦) = (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)))
219 oveq2 7031 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1) → (1 / 𝑦) = (1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)))
220160, 195, 196, 164, 201, 202, 210, 217, 218, 219dvmptco 24256 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℝ D (𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)))) = (𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁))))
221160, 168, 164, 187, 188, 193, 220dvmptsub 24251 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℝ D (𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) − (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))) = (𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ ((𝐴 / 𝑁) − ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁)))))
222158, 221eqtrd 2833 . . . . . 6 (𝜑 → (ℝ D (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) − (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))) = (𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ ((𝐴 / 𝑁) − ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁)))))
223222dmeqd 5667 . . . . 5 (𝜑 → dom (ℝ D (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) − (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))) = dom (𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ ((𝐴 / 𝑁) − ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁)))))
224 ovex 7055 . . . . . 6 ((𝐴 / 𝑁) − ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁))) ∈ V
225 eqid 2797 . . . . . 6 (𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ ((𝐴 / 𝑁) − ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁)))) = (𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ ((𝐴 / 𝑁) − ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁))))
226224, 225dmmpti 6367 . . . . 5 dom (𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ ((𝐴 / 𝑁) − ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁)))) = (0(,)1)
227223, 226syl6eq 2849 . . . 4 (𝜑 → dom (ℝ D (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) − (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))) = (0(,)1))
228 2re 11565 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℝ
229228a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
230229, 52remulcld 10524 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (2 · 𝑅) ∈ ℝ)
2318nnrpd 12283 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑅 ∈ ℝ+)
23252, 231ltaddrpd 12318 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑅 < (𝑅 + 𝑅))
23352recnd 10522 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑅 ∈ ℂ)
2342332timesd 11734 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (2 · 𝑅) = (𝑅 + 𝑅))
235232, 234breqtrrd 4996 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑅 < (2 · 𝑅))
23652, 230, 15, 235, 92ltletrd 10653 . . . . . . . 8 (𝜑𝑅 < 𝑁)
237 difrp 12281 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑅 < 𝑁 ↔ (𝑁𝑅) ∈ ℝ+))
23852, 15, 237syl2anc 584 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑅 < 𝑁 ↔ (𝑁𝑅) ∈ ℝ+))
239236, 238mpbid 233 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁𝑅) ∈ ℝ+)
240239rprecred 12296 . . . . . 6 (𝜑 → (1 / (𝑁𝑅)) ∈ ℝ)
24114nnrecred 11542 . . . . . 6 (𝜑 → (1 / 𝑁) ∈ ℝ)
242240, 241resubcld 10922 . . . . 5 (𝜑 → ((1 / (𝑁𝑅)) − (1 / 𝑁)) ∈ ℝ)
24352, 242remulcld 10524 . . . 4 (𝜑 → (𝑅 · ((1 / (𝑁𝑅)) − (1 / 𝑁))) ∈ ℝ)
244222fveq1d 6547 . . . . . . 7 (𝜑 → ((ℝ D (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) − (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)))))‘𝑦) = ((𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ ((𝐴 / 𝑁) − ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁))))‘𝑦))
245244fveq2d 6549 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘((ℝ D (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) − (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)))))‘𝑦)) = (abs‘((𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ ((𝐴 / 𝑁) − ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁))))‘𝑦)))
246245adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ (0(,)1)) → (abs‘((ℝ D (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) − (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)))))‘𝑦)) = (abs‘((𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ ((𝐴 / 𝑁) − ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁))))‘𝑦)))
247 nfv 1896 . . . . . . 7 𝑡(𝜑𝑦 ∈ (0(,)1))
248 nfcv 2951 . . . . . . . . 9 𝑡abs
249 nffvmpt1 6556 . . . . . . . . 9 𝑡((𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ ((𝐴 / 𝑁) − ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁))))‘𝑦)
250248, 249nffv 6555 . . . . . . . 8 𝑡(abs‘((𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ ((𝐴 / 𝑁) − ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁))))‘𝑦))
251 nfcv 2951 . . . . . . . 8 𝑡
252 nfcv 2951 . . . . . . . 8 𝑡(𝑅 · ((1 / (𝑁𝑅)) − (1 / 𝑁)))
253250, 251, 252nfbr 5015 . . . . . . 7 𝑡(abs‘((𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ ((𝐴 / 𝑁) − ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁))))‘𝑦)) ≤ (𝑅 · ((1 / (𝑁𝑅)) − (1 / 𝑁)))
254247, 253nfim 1882 . . . . . 6 𝑡((𝜑𝑦 ∈ (0(,)1)) → (abs‘((𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ ((𝐴 / 𝑁) − ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁))))‘𝑦)) ≤ (𝑅 · ((1 / (𝑁𝑅)) − (1 / 𝑁))))
255 eleq1w 2867 . . . . . . . 8 (𝑡 = 𝑦 → (𝑡 ∈ (0(,)1) ↔ 𝑦 ∈ (0(,)1)))
256255anbi2d 628 . . . . . . 7 (𝑡 = 𝑦 → ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) ↔ (𝜑𝑦 ∈ (0(,)1))))
257 2fveq3 6550 . . . . . . . 8 (𝑡 = 𝑦 → (abs‘((𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ ((𝐴 / 𝑁) − ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁))))‘𝑡)) = (abs‘((𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ ((𝐴 / 𝑁) − ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁))))‘𝑦)))
258257breq1d 4978 . . . . . . 7 (𝑡 = 𝑦 → ((abs‘((𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ ((𝐴 / 𝑁) − ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁))))‘𝑡)) ≤ (𝑅 · ((1 / (𝑁𝑅)) − (1 / 𝑁))) ↔ (abs‘((𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ ((𝐴 / 𝑁) − ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁))))‘𝑦)) ≤ (𝑅 · ((1 / (𝑁𝑅)) − (1 / 𝑁)))))
259256, 258imbi12d 346 . . . . . 6 (𝑡 = 𝑦 → (((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘((𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ ((𝐴 / 𝑁) − ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁))))‘𝑡)) ≤ (𝑅 · ((1 / (𝑁𝑅)) − (1 / 𝑁)))) ↔ ((𝜑𝑦 ∈ (0(,)1)) → (abs‘((𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ ((𝐴 / 𝑁) − ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁))))‘𝑦)) ≤ (𝑅 · ((1 / (𝑁𝑅)) − (1 / 𝑁))))))
260 simpr 485 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → 𝑡 ∈ (0(,)1))
261225fvmpt2 6652 . . . . . . . . . 10 ((𝑡 ∈ (0(,)1) ∧ ((𝐴 / 𝑁) − ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁))) ∈ V) → ((𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ ((𝐴 / 𝑁) − ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁))))‘𝑡) = ((𝐴 / 𝑁) − ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁))))
262260, 224, 261sylancl 586 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ ((𝐴 / 𝑁) − ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁))))‘𝑡) = ((𝐴 / 𝑁) − ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁))))
263262fveq2d 6549 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘((𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ ((𝐴 / 𝑁) − ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁))))‘𝑡)) = (abs‘((𝐴 / 𝑁) − ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁)))))
264164, 189, 192subdid 10950 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝐴 / 𝑁) · (1 − (1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)))) = (((𝐴 / 𝑁) · 1) − ((𝐴 / 𝑁) · (1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)))))
265164mulid1d 10511 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝐴 / 𝑁) · 1) = (𝐴 / 𝑁))
266164, 192mulcomd 10515 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝐴 / 𝑁) · (1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))) = ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁)))
267265, 266oveq12d 7041 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (((𝐴 / 𝑁) · 1) − ((𝐴 / 𝑁) · (1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)))) = ((𝐴 / 𝑁) − ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁))))
268264, 267eqtr2d 2834 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝐴 / 𝑁) − ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁))) = ((𝐴 / 𝑁) · (1 − (1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)))))
269268fveq2d 6549 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘((𝐴 / 𝑁) − ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁)))) = (abs‘((𝐴 / 𝑁) · (1 − (1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))))
270161, 162, 163absdivd 14653 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘(𝐴 / 𝑁)) = ((abs‘𝐴) / (abs‘𝑁)))
27115adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → 𝑁 ∈ ℝ)
27264adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → 0 ≤ 𝑁)
273271, 272absidd 14620 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘𝑁) = 𝑁)
274273oveq2d 7039 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((abs‘𝐴) / (abs‘𝑁)) = ((abs‘𝐴) / 𝑁))
275270, 274eqtrd 2833 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘(𝐴 / 𝑁)) = ((abs‘𝐴) / 𝑁))
276275oveq1d 7038 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((abs‘(𝐴 / 𝑁)) · (abs‘(1 − (1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))) = (((abs‘𝐴) / 𝑁) · (abs‘(1 − (1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))))
277189, 192subcld 10851 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (1 − (1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))) ∈ ℂ)
278164, 277absmuld 14652 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘((𝐴 / 𝑁) · (1 − (1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))) = ((abs‘(𝐴 / 𝑁)) · (abs‘(1 − (1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))))
27968adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
280279recnd 10522 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘𝐴) ∈ ℂ)
281277abscld 14634 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘(1 − (1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)))) ∈ ℝ)
282281recnd 10522 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘(1 − (1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)))) ∈ ℂ)
283280, 282, 162, 163div23d 11307 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (((abs‘𝐴) · (abs‘(1 − (1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))) / 𝑁) = (((abs‘𝐴) / 𝑁) · (abs‘(1 − (1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))))
284276, 278, 2833eqtr4d 2843 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘((𝐴 / 𝑁) · (1 − (1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))) = (((abs‘𝐴) · (abs‘(1 − (1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))) / 𝑁))
285263, 269, 2843eqtrd 2837 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘((𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ ((𝐴 / 𝑁) − ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁))))‘𝑡)) = (((abs‘𝐴) · (abs‘(1 − (1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))) / 𝑁))
28652adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → 𝑅 ∈ ℝ)
287240adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (1 / (𝑁𝑅)) ∈ ℝ)
288241adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (1 / 𝑁) ∈ ℝ)
289287, 288resubcld 10922 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((1 / (𝑁𝑅)) − (1 / 𝑁)) ∈ ℝ)
290271, 289remulcld 10524 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (𝑁 · ((1 / (𝑁𝑅)) − (1 / 𝑁))) ∈ ℝ)
29113absge0d 14642 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 ≤ (abs‘𝐴))
292291adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → 0 ≤ (abs‘𝐴))
293277absge0d 14642 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → 0 ≤ (abs‘(1 − (1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)))))
29478adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘𝐴) ≤ 𝑅)
295239adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (𝑁𝑅) ∈ ℝ+)
296231adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → 𝑅 ∈ ℝ+)
297295, 296rpdivcld 12302 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝑁𝑅) / 𝑅) ∈ ℝ+)
29812dmgmn0 25289 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝐴 ≠ 0)
299298adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → 𝐴 ≠ 0)
300161, 162, 299, 163divne0d 11286 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (𝐴 / 𝑁) ≠ 0)
301 eliooord 12650 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑡 ∈ (0(,)1) → (0 < 𝑡𝑡 < 1))
302301adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (0 < 𝑡𝑡 < 1))
303302simpld 495 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → 0 < 𝑡)
304303gt0ne0d 11058 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → 𝑡 ≠ 0)
305164, 167, 300, 304mulne0d 11146 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) ≠ 0)
306168, 305reccld 11263 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) ∈ ℂ)
307189, 306addcld 10513 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (1 + (1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))) ∈ ℂ)
308168, 189, 168, 305divdird 11308 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1) / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) = ((((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) + (1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))))
309168, 305dividd 11268 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) = 1)
310309oveq1d 7038 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) + (1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))) = (1 + (1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))))
311308, 310eqtrd 2833 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1) / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) = (1 + (1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))))
312190, 168, 191, 305divne0d 11286 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1) / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) ≠ 0)
313311, 312eqnetrrd 3054 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (1 + (1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))) ≠ 0)
314307, 313absrpcld 14646 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘(1 + (1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)))) ∈ ℝ+)
315 1red 10495 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → 1 ∈ ℝ)
316 0le1 11017 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ≤ 1
317316a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → 0 ≤ 1)
318297rpred 12285 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝑁𝑅) / 𝑅) ∈ ℝ)
319306negcld 10838 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → -(1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) ∈ ℂ)
320319abscld 14634 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘-(1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))) ∈ ℝ)
321320, 315resubcld 10922 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((abs‘-(1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))) − 1) ∈ ℝ)
322307abscld 14634 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘(1 + (1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)))) ∈ ℝ)
323233adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → 𝑅 ∈ ℂ)
324296rpne0d 12290 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → 𝑅 ≠ 0)
325162, 323, 323, 324divsubdird 11309 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝑁𝑅) / 𝑅) = ((𝑁 / 𝑅) − (𝑅 / 𝑅)))
326323, 324dividd 11268 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (𝑅 / 𝑅) = 1)
327326oveq2d 7039 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝑁 / 𝑅) − (𝑅 / 𝑅)) = ((𝑁 / 𝑅) − 1))
328325, 327eqtrd 2833 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝑁𝑅) / 𝑅) = ((𝑁 / 𝑅) − 1))
329271, 296rerpdivcld 12316 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (𝑁 / 𝑅) ∈ ℝ)
330323, 162, 324, 163recdivd 11287 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (1 / (𝑅 / 𝑁)) = (𝑁 / 𝑅))
331166, 91sylan2 592 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) ≤ (𝑅 / 𝑁))
332168, 305absrpcld 14646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) ∈ ℝ+)
33363adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → 𝑁 ∈ ℝ+)
334296, 333rpdivcld 12302 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (𝑅 / 𝑁) ∈ ℝ+)
335332, 334lerecd 12304 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((abs‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) ≤ (𝑅 / 𝑁) ↔ (1 / (𝑅 / 𝑁)) ≤ (1 / (abs‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)))))
336331, 335mpbid 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (1 / (𝑅 / 𝑁)) ≤ (1 / (abs‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))))
337330, 336eqbrtrrd 4992 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (𝑁 / 𝑅) ≤ (1 / (abs‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))))
338306absnegd 14647 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘-(1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))) = (abs‘(1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))))
339189, 168, 305absdivd 14653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘(1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))) = ((abs‘1) / (abs‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))))
340 abs1 14495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (abs‘1) = 1
341340oveq1i 7033 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((abs‘1) / (abs‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))) = (1 / (abs‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)))
342339, 341syl6eq 2849 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘(1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))) = (1 / (abs‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))))
343338, 342eqtrd 2833 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘-(1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))) = (1 / (abs‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))))
344337, 343breqtrrd 4996 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (𝑁 / 𝑅) ≤ (abs‘-(1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))))
345329, 320, 315, 344lesub1dd 11110 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝑁 / 𝑅) − 1) ≤ ((abs‘-(1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))) − 1))
346328, 345eqbrtrd 4990 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝑁𝑅) / 𝑅) ≤ ((abs‘-(1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))) − 1))
347340oveq2i 7034 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((abs‘-(1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))) − (abs‘1)) = ((abs‘-(1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))) − 1)
348319, 189abs2difd 14655 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((abs‘-(1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))) − (abs‘1)) ≤ (abs‘(-(1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) − 1)))
349347, 348eqbrtrrid 5004 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((abs‘-(1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))) − 1) ≤ (abs‘(-(1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) − 1)))
350189, 306addcomd 10695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (1 + (1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))) = ((1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) + 1))
351350negeqd 10733 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → -(1 + (1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))) = -((1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) + 1))
352306, 189negdi2d 10865 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → -((1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) + 1) = (-(1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) − 1))
353351, 352eqtrd 2833 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → -(1 + (1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))) = (-(1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) − 1))
354353fveq2d 6549 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘-(1 + (1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)))) = (abs‘(-(1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) − 1)))
355307absnegd 14647 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘-(1 + (1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)))) = (abs‘(1 + (1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)))))
356354, 355eqtr3d 2835 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘(-(1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) − 1)) = (abs‘(1 + (1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)))))
357349, 356breqtrd 4994 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((abs‘-(1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))) − 1) ≤ (abs‘(1 + (1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)))))
358318, 321, 322, 346, 357letrd 10650 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝑁𝑅) / 𝑅) ≤ (abs‘(1 + (1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)))))
359297, 314, 315, 317, 358lediv2ad 12307 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (1 / (abs‘(1 + (1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))))) ≤ (1 / ((𝑁𝑅) / 𝑅)))
36016, 233subcld 10851 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑁𝑅) ∈ ℂ)
361360adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (𝑁𝑅) ∈ ℂ)
36252, 236gtned 10628 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑁𝑅)
36316, 233, 362subne0d 10860 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑁𝑅) ≠ 0)
364363adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (𝑁𝑅) ≠ 0)
365361, 323, 364, 324recdivd 11287 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (1 / ((𝑁𝑅) / 𝑅)) = (𝑅 / (𝑁𝑅)))
366162, 323nncand 10856 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (𝑁 − (𝑁𝑅)) = 𝑅)
367366oveq1d 7038 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝑁 − (𝑁𝑅)) / (𝑁𝑅)) = (𝑅 / (𝑁𝑅)))
368162, 361, 361, 364divsubdird 11309 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝑁 − (𝑁𝑅)) / (𝑁𝑅)) = ((𝑁 / (𝑁𝑅)) − ((𝑁𝑅) / (𝑁𝑅))))
369367, 368eqtr3d 2835 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (𝑅 / (𝑁𝑅)) = ((𝑁 / (𝑁𝑅)) − ((𝑁𝑅) / (𝑁𝑅))))
370361, 364dividd 11268 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝑁𝑅) / (𝑁𝑅)) = 1)
371370oveq2d 7039 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝑁 / (𝑁𝑅)) − ((𝑁𝑅) / (𝑁𝑅))) = ((𝑁 / (𝑁𝑅)) − 1))
372365, 369, 3713eqtrd 2837 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (1 / ((𝑁𝑅) / 𝑅)) = ((𝑁 / (𝑁𝑅)) − 1))
373359, 372breqtrd 4994 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (1 / (abs‘(1 + (1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))))) ≤ ((𝑁 / (𝑁𝑅)) − 1))
374190, 189, 190, 191divsubdird 11309 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (((((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1) − 1) / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) = (((((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1) / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) − (1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))
375168, 189pncand 10852 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1) − 1) = ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))
376375oveq1d 7038 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (((((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1) − 1) / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) = (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)))
377190, 191dividd 11268 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1) / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) = 1)
378377oveq1d 7038 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (((((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1) / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) − (1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))) = (1 − (1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))
379374, 376, 3783eqtr3rd 2842 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (1 − (1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))) = (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)))
380190, 168, 191, 305recdivd 11287 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (1 / ((((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1) / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))) = (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)))
381311oveq2d 7039 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (1 / ((((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1) / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))) = (1 / (1 + (1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)))))
382379, 380, 3813eqtr2d 2839 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (1 − (1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))) = (1 / (1 + (1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)))))
383382fveq2d 6549 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘(1 − (1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)))) = (abs‘(1 / (1 + (1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))))))
384189, 307, 313absdivd 14653 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘(1 / (1 + (1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))))) = ((abs‘1) / (abs‘(1 + (1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))))))
385340oveq1i 7033 . . . . . . . . . . . . 13 ((abs‘1) / (abs‘(1 + (1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))))) = (1 / (abs‘(1 + (1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)))))
386384, 385syl6eq 2849 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘(1 / (1 + (1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))))) = (1 / (abs‘(1 + (1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))))))
387383, 386eqtrd 2833 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘(1 − (1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)))) = (1 / (abs‘(1 + (1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))))))
388360, 363reccld 11263 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (1 / (𝑁𝑅)) ∈ ℂ)
389388adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (1 / (𝑁𝑅)) ∈ ℂ)
390241recnd 10522 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (1 / 𝑁) ∈ ℂ)
391390adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (1 / 𝑁) ∈ ℂ)
392162, 389, 391subdid 10950 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (𝑁 · ((1 / (𝑁𝑅)) − (1 / 𝑁))) = ((𝑁 · (1 / (𝑁𝑅))) − (𝑁 · (1 / 𝑁))))
393162, 361, 364divrecd 11273 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (𝑁 / (𝑁𝑅)) = (𝑁 · (1 / (𝑁𝑅))))
394393eqcomd 2803 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (𝑁 · (1 / (𝑁𝑅))) = (𝑁 / (𝑁𝑅)))
395162, 163recidd 11265 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (𝑁 · (1 / 𝑁)) = 1)
396394, 395oveq12d 7041 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝑁 · (1 / (𝑁𝑅))) − (𝑁 · (1 / 𝑁))) = ((𝑁 / (𝑁𝑅)) − 1))
397392, 396eqtrd 2833 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (𝑁 · ((1 / (𝑁𝑅)) − (1 / 𝑁))) = ((𝑁 / (𝑁𝑅)) − 1))
398373, 387, 3973brtr4d 5000 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘(1 − (1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)))) ≤ (𝑁 · ((1 / (𝑁𝑅)) − (1 / 𝑁))))
399279, 286, 281, 290, 292, 293, 294, 398lemul12ad 11436 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((abs‘𝐴) · (abs‘(1 − (1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))) ≤ (𝑅 · (𝑁 · ((1 / (𝑁𝑅)) − (1 / 𝑁)))))
400242recnd 10522 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((1 / (𝑁𝑅)) − (1 / 𝑁)) ∈ ℂ)
401400adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((1 / (𝑁𝑅)) − (1 / 𝑁)) ∈ ℂ)
402323, 162, 401mul12d 10702 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (𝑅 · (𝑁 · ((1 / (𝑁𝑅)) − (1 / 𝑁)))) = (𝑁 · (𝑅 · ((1 / (𝑁𝑅)) − (1 / 𝑁)))))
403399, 402breqtrd 4994 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((abs‘𝐴) · (abs‘(1 − (1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))) ≤ (𝑁 · (𝑅 · ((1 / (𝑁𝑅)) − (1 / 𝑁)))))
404279, 281remulcld 10524 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((abs‘𝐴) · (abs‘(1 − (1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))) ∈ ℝ)
405243adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (𝑅 · ((1 / (𝑁𝑅)) − (1 / 𝑁))) ∈ ℝ)
406404, 405, 333ledivmuld 12338 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((((abs‘𝐴) · (abs‘(1 − (1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))) / 𝑁) ≤ (𝑅 · ((1 / (𝑁𝑅)) − (1 / 𝑁))) ↔ ((abs‘𝐴) · (abs‘(1 − (1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))) ≤ (𝑁 · (𝑅 · ((1 / (𝑁𝑅)) − (1 / 𝑁))))))
407403, 406mpbird 258 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (((abs‘𝐴) · (abs‘(1 − (1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))) / 𝑁) ≤ (𝑅 · ((1 / (𝑁𝑅)) − (1 / 𝑁))))
408285, 407eqbrtrd 4990 . . . . . 6 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘((𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ ((𝐴 / 𝑁) − ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁))))‘𝑡)) ≤ (𝑅 · ((1 / (𝑁𝑅)) − (1 / 𝑁))))
409254, 259, 408chvar 2371 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ (0(,)1)) → (abs‘((𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ ((𝐴 / 𝑁) − ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁))))‘𝑦)) ≤ (𝑅 · ((1 / (𝑁𝑅)) − (1 / 𝑁))))
410246, 409eqbrtrd 4990 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ (0(,)1)) → (abs‘((ℝ D (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) − (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)))))‘𝑦)) ≤ (𝑅 · ((1 / (𝑁𝑅)) − (1 / 𝑁))))
4113, 4, 147, 227, 243, 410dvlip 24277 . . 3 ((𝜑 ∧ (1 ∈ (0[,]1) ∧ 0 ∈ (0[,]1))) → (abs‘(((𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) − (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))‘1) − ((𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) − (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))‘0))) ≤ ((𝑅 · ((1 / (𝑁𝑅)) − (1 / 𝑁))) · (abs‘(1 − 0))))
4121, 2, 411mpanr12 701 . 2 (𝜑 → (abs‘(((𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) − (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))‘1) − ((𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) − (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))‘0))) ≤ ((𝑅 · ((1 / (𝑁𝑅)) − (1 / 𝑁))) · (abs‘(1 − 0))))
413 eqidd 2798 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) − (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)))) = (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) − (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)))))
414 oveq2 7031 . . . . . . . 8 (𝑡 = 1 → ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) = ((𝐴 / 𝑁) · 1))
415414, 178sylan9eqr 2855 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡 = 1) → ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) = (𝐴 / 𝑁))
416415fvoveq1d 7045 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡 = 1) → (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) = (log‘((𝐴 / 𝑁) + 1)))
417415, 416oveq12d 7041 . . . . . 6 ((𝜑𝑡 = 1) → (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) − (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))) = ((𝐴 / 𝑁) − (log‘((𝐴 / 𝑁) + 1))))
4181a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → 1 ∈ (0[,]1))
419 ovexd 7057 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴 / 𝑁) − (log‘((𝐴 / 𝑁) + 1))) ∈ V)
420413, 417, 418, 419fvmptd 6648 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) − (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))‘1) = ((𝐴 / 𝑁) − (log‘((𝐴 / 𝑁) + 1))))
421 oveq2 7031 . . . . . . . . 9 (𝑡 = 0 → ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) = ((𝐴 / 𝑁) · 0))
42218mul01d 10692 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐴 / 𝑁) · 0) = 0)
423421, 422sylan9eqr 2855 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 = 0) → ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) = 0)
424423oveq1d 7038 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑡 = 0) → (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1) = (0 + 1))
425 0p1e1 11613 . . . . . . . . . . 11 (0 + 1) = 1
426424, 425syl6eq 2849 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡 = 0) → (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1) = 1)
427426fveq2d 6549 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 = 0) → (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) = (log‘1))
428 log1 24854 . . . . . . . . 9 (log‘1) = 0
429427, 428syl6eq 2849 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 = 0) → (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) = 0)
430423, 429oveq12d 7041 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡 = 0) → (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) − (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))) = (0 − 0))
431 0m0e0 11611 . . . . . . 7 (0 − 0) = 0
432430, 431syl6eq 2849 . . . . . 6 ((𝜑𝑡 = 0) → (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) − (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))) = 0)
4332a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ∈ (0[,]1))
434413, 432, 433, 433fvmptd 6648 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) − (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))‘0) = 0)
435420, 434oveq12d 7041 . . . 4 (𝜑 → (((𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) − (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))‘1) − ((𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) − (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))‘0)) = (((𝐴 / 𝑁) − (log‘((𝐴 / 𝑁) + 1))) − 0))
43618, 138addcld 10513 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐴 / 𝑁) + 1) ∈ ℂ)
43712, 14dmgmdivn0 25291 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐴 / 𝑁) + 1) ≠ 0)
438436, 437logcld 24839 . . . . . 6 (𝜑 → (log‘((𝐴 / 𝑁) + 1)) ∈ ℂ)
43918, 438subcld 10851 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴 / 𝑁) − (log‘((𝐴 / 𝑁) + 1))) ∈ ℂ)
440439subid1d 10840 . . . 4 (𝜑 → (((𝐴 / 𝑁) − (log‘((𝐴 / 𝑁) + 1))) − 0) = ((𝐴 / 𝑁) − (log‘((𝐴 / 𝑁) + 1))))
441435, 440eqtr2d 2834 . . 3 (𝜑 → ((𝐴 / 𝑁) − (log‘((𝐴 / 𝑁) + 1))) = (((𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) − (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))‘1) − ((𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) − (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))‘0)))
442441fveq2d 6549 . 2 (𝜑 → (abs‘((𝐴 / 𝑁) − (log‘((𝐴 / 𝑁) + 1)))) = (abs‘(((𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) − (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))‘1) − ((𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) − (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))‘0))))
443 1m0e1 11612 . . . . . 6 (1 − 0) = 1
444443fveq2i 6548 . . . . 5 (abs‘(1 − 0)) = (abs‘1)
445444, 340eqtri 2821 . . . 4 (abs‘(1 − 0)) = 1
446445oveq2i 7034 . . 3 ((𝑅 · ((1 / (𝑁𝑅)) − (1 / 𝑁))) · (abs‘(1 − 0))) = ((𝑅 · ((1 / (𝑁𝑅)) − (1 / 𝑁))) · 1)
447233, 400mulcld 10514 . . . 4 (𝜑 → (𝑅 · ((1 / (𝑁𝑅)) − (1 / 𝑁))) ∈ ℂ)
448447mulid1d 10511 . . 3 (𝜑 → ((𝑅 · ((1 / (𝑁𝑅)) − (1 / 𝑁))) · 1) = (𝑅 · ((1 / (𝑁𝑅)) − (1 / 𝑁))))
449446, 448syl5req 2846 . 2 (𝜑 → (𝑅 · ((1 / (𝑁𝑅)) − (1 / 𝑁))) = ((𝑅 · ((1 / (𝑁𝑅)) − (1 / 𝑁))) · (abs‘(1 − 0))))
450412, 442, 4493brtr4d 5000 1 (𝜑 → (abs‘((𝐴 / 𝑁) − (log‘((𝐴 / 𝑁) + 1)))) ≤ (𝑅 · ((1 / (𝑁𝑅)) − (1 / 𝑁))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1525  wcel 2083  wne 2986  wral 3107  {crab 3111  Vcvv 3440  cdif 3862  wss 3865  {cpr 4480   class class class wbr 4968  cmpt 5047  dom cdm 5450  ran crn 5451  cres 5452  ccom 5454  wf 6228  cfv 6232  (class class class)co 7023  cc 10388  cr 10389  0cc0 10390  1c1 10391   + caddc 10393   · cmul 10395  -∞cmnf 10526   < clt 10528  cle 10529  cmin 10723  -cneg 10724   / cdiv 11151  cn 11492  2c2 11546  0cn0 11751  cz 11835  +crp 12243  (,)cioo 12592  (,]cioc 12593  [,]cicc 12595  cre 14294  abscabs 14431  TopOpenctopn 16528  topGenctg 16544  fldccnfld 20231  Topctop 21189  intcnt 21313   Cn ccn 21520   ×t ctx 21856  cnccncf 23171   D cdv 24148  logclog 24823
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1781  ax-4 1795  ax-5 1892  ax-6 1951  ax-7 1996  ax-8 2085  ax-9 2093  ax-10 2114  ax-11 2128  ax-12 2143  ax-13 2346  ax-ext 2771  ax-rep 5088  ax-sep 5101  ax-nul 5108  ax-pow 5164  ax-pr 5228  ax-un 7326  ax-inf2 8957  ax-cnex 10446  ax-resscn 10447  ax-1cn 10448  ax-icn 10449  ax-addcl 10450  ax-addrcl 10451  ax-mulcl 10452  ax-mulrcl 10453  ax-mulcom 10454  ax-addass 10455  ax-mulass 10456  ax-distr 10457  ax-i2m1 10458  ax-1ne0 10459  ax-1rid 10460  ax-rnegex 10461  ax-rrecex 10462  ax-cnre 10463  ax-pre-lttri 10464  ax-pre-lttrn 10465  ax-pre-ltadd 10466  ax-pre-mulgt0 10467  ax-pre-sup 10468  ax-addf 10469  ax-mulf 10470
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1528  df-fal 1538  df-ex 1766  df-nf 1770  df-sb 2045  df-mo 2578  df-eu 2614  df-clab 2778  df-cleq 2790  df-clel 2865  df-nfc 2937  df-ne 2987  df-nel 3093  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rmo 3115  df-rab 3116  df-v 3442  df-sbc 3712  df-csb 3818  df-dif 3868  df-un 3870  df-in 3872  df-ss 3880  df-pss 3882  df-nul 4218  df-if 4388  df-pw 4461  df-sn 4479  df-pr 4481  df-tp 4483  df-op 4485  df-uni 4752  df-int 4789  df-iun 4833  df-iin 4834  df-br 4969  df-opab 5031  df-mpt 5048  df-tr 5071  df-id 5355  df-eprel 5360  df-po 5369  df-so 5370  df-fr 5409  df-se 5410  df-we 5411  df-xp 5456  df-rel 5457  df-cnv 5458  df-co 5459  df-dm 5460  df-rn 5461  df-res 5462  df-ima 5463  df-pred 6030  df-ord 6076  df-on 6077  df-lim 6078  df-suc 6079  df-iota 6196  df-fun 6234  df-fn 6235  df-f 6236  df-f1 6237  df-fo 6238  df-f1o 6239  df-fv 6240  df-isom 6241  df-riota 6984  df-ov 7026  df-oprab 7027  df-mpo 7028  df-of 7274  df-om 7444  df-1st 7552  df-2nd 7553  df-supp 7689  df-wrecs 7805  df-recs 7867  df-rdg 7905  df-1o 7960  df-2o 7961  df-oadd 7964  df-er 8146  df-map 8265  df-pm 8266  df-ixp 8318  df-en 8365  df-dom 8366  df-sdom 8367  df-fin 8368  df-fsupp 8687  df-fi 8728  df-sup 8759  df-inf 8760  df-oi 8827  df-card 9221  df-pnf 10530  df-mnf 10531  df-xr 10532  df-ltxr 10533  df-le 10534  df-sub 10725  df-neg 10726  df-div 11152  df-nn 11493  df-2 11554  df-3 11555  df-4 11556  df-5 11557  df-6 11558  df-7 11559  df-8 11560  df-9 11561  df-n0 11752  df-z 11836  df-dec 11953  df-uz 12098  df-q 12202  df-rp 12244  df-xneg 12361  df-xadd 12362  df-xmul 12363  df-ioo 12596  df-ioc 12597  df-ico 12598  df-icc 12599  df-fz 12747  df-fzo 12888  df-fl 13016  df-mod 13092  df-seq 13224  df-exp 13284  df-fac 13488  df-bc 13517  df-hash 13545  df-shft 14264  df-cj 14296  df-re 14297  df-im 14298  df-sqrt 14432  df-abs 14433  df-limsup 14666  df-clim 14683  df-rlim 14684  df-sum 14881  df-ef 15258  df-sin 15260  df-cos 15261  df-tan 15262  df-pi 15263  df-struct 16318  df-ndx 16319  df-slot 16320  df-base 16322  df-sets 16323  df-ress 16324  df-plusg 16411  df-mulr 16412  df-starv 16413  df-sca 16414  df-vsca 16415  df-ip 16416  df-tset 16417  df-ple 16418  df-ds 16420  df-unif 16421  df-hom 16422  df-cco 16423  df-rest 16529  df-topn 16530  df-0g 16548  df-gsum 16549  df-topgen 16550  df-pt 16551  df-prds 16554  df-xrs 16608  df-qtop 16613  df-imas 16614  df-xps 16616  df-mre 16690  df-mrc 16691  df-acs 16693  df-mgm 17685  df-sgrp 17727  df-mnd 17738  df-submnd 17779  df-mulg 17986  df-cntz 18192  df-cmn 18639  df-psmet 20223  df-xmet 20224  df-met 20225  df-bl 20226  df-mopn 20227  df-fbas 20228  df-fg 20229  df-cnfld 20232  df-top 21190  df-topon 21207  df-topsp 21229  df-bases 21242  df-cld 21315  df-ntr 21316  df-cls 21317  df-nei 21394  df-lp 21432  df-perf 21433  df-cn 21523  df-cnp 21524  df-haus 21611  df-cmp 21683  df-tx 21858  df-hmeo 22051  df-fil 22142  df-fm 22234  df-flim 22235  df-flf 22236  df-xms 22617  df-ms 22618  df-tms 22619  df-cncf 23173  df-limc 24151  df-dv 24152  df-log 24825
This theorem is referenced by:  lgamgulmlem3  25294
  Copyright terms: Public domain W3C validator