lgamgulmlem2 - Metamath Proof Explorer

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Theorem lgamgulmlem2 27087

Description: Lemma for lgamgulm 27092. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jul-2017.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
lgamgulm.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℕ)
lgamgulm.u	⊢ 𝑈 = {𝑥 ∈ ℂ ∣ ((abs‘𝑥) ≤ 𝑅 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ₀ (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝑥 + 𝑘)))}
lgamgulm.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
lgamgulm.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑈)
lgamgulm.l	⊢ (𝜑 → (2 · 𝑅) ≤ 𝑁)

**Assertion**
Ref	Expression
lgamgulmlem2	⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐴 / 𝑁) − (log‘((𝐴 / 𝑁) + 1)))) ≤ (𝑅 · ((1 / (𝑁 − 𝑅)) − (1 / 𝑁))))

Distinct variable groups: 𝑥,𝑁 𝑥,𝑘,𝑅 𝐴,𝑘,𝑥 𝜑,𝑥 Allowed substitution hints: 𝜑(𝑘) 𝑈(𝑥,𝑘) 𝑁(𝑘)

Proof of Theorem lgamgulmlem2 Dummy variables 𝑦 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1elunit 13506	. . 3 ⊢ 1 ∈ (0[,]1)
2		0elunit 13505	. . 3 ⊢ 0 ∈ (0[,]1)
3		0red 11261	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
4		1red 11259	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
5		eqid 2734	. . . . 5 ⊢ (TopOpen‘ℂ_fld) = (TopOpen‘ℂ_fld)
6	5	subcn 24901	. . . . . 6 ⊢ − ∈ (((TopOpen‘ℂ_fld) ×_t (TopOpen‘ℂ_fld)) Cn (TopOpen‘ℂ_fld))
7	6	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → − ∈ (((TopOpen‘ℂ_fld) ×_t (TopOpen‘ℂ_fld)) Cn (TopOpen‘ℂ_fld)))
8		lgamgulm.r	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℕ)
9		lgamgulm.u	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑈 = {𝑥 ∈ ℂ ∣ ((abs‘𝑥) ≤ 𝑅 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ₀ (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝑥 + 𝑘)))}
10	8, 9	lgamgulmlem1 27086	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))
11		lgamgulm.a	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑈)
12	10, 11	sseldd 3995	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))
13	12	eldifad 3974	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
14		lgamgulm.n	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
15	14	nnred 12278	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
16	15	recnd 11286	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
17	14	nnne0d 12313	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ≠ 0)
18	13, 16, 17	divcld 12040	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝑁) ∈ ℂ)
19		unitssre 13535	. . . . . . . . 9 ⊢ (0[,]1) ⊆ ℝ
20		ax-resscn 11209	. . . . . . . . 9 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
21	19, 20	sstri 4004	. . . . . . . 8 ⊢ (0[,]1) ⊆ ℂ
22	21	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0[,]1) ⊆ ℂ)
23		ssidd 4018	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
24		cncfmptc 24951	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 / 𝑁) ∈ ℂ ∧ (0[,]1) ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐴 / 𝑁)) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ))
25	18, 22, 23, 24	syl3anc 1370	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐴 / 𝑁)) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ))
26		cncfmptid 24952	. . . . . . 7 ⊢ (((0[,]1) ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ 𝑡) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ))
27	21, 23, 26	sylancr 587	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ 𝑡) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ))
28	25, 27	mulcncf 25493	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ))
29		eqid 2734	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) = (ℂ ∖ (-∞(,]0))
30	29	logcn 26703	. . . . . . . . . 10 ⊢ (log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0))) ∈ ((ℂ ∖ (-∞(,]0))–cn→ℂ)
31	30	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0))) ∈ ((ℂ ∖ (-∞(,]0))–cn→ℂ))
32		cncff 24932	. . . . . . . . 9 ⊢ ((log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0))) ∈ ((ℂ ∖ (-∞(,]0))–cn→ℂ) → (log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0))):(ℂ ∖ (-∞(,]0))⟶ℂ)
33	31, 32	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0))):(ℂ ∖ (-∞(,]0))⟶ℂ)
34	18	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (𝐴 / 𝑁) ∈ ℂ)
35		simpr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → 𝑡 ∈ (0[,]1))
36	19, 35	sselid 3992	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → 𝑡 ∈ ℝ)
37	36	recnd 11286	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → 𝑡 ∈ ℂ)
38	34, 37	mulcld 11278	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) ∈ ℂ)
39		1cnd 11253	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → 1 ∈ ℂ)
40	38, 39	addcld 11277	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1) ∈ ℂ)
41		rere 15157	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1) ∈ ℝ → (ℜ‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) = (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))
42	41	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) ∧ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1) ∈ ℝ) → (ℜ‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) = (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))
43	40	recld 15229	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (ℜ‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) ∈ ℝ)
44	38	recld 15229	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (ℜ‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) ∈ ℝ)
45	44	recnd 11286	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (ℜ‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) ∈ ℂ)
46	45	abscld 15471	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (abs‘(ℜ‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))) ∈ ℝ)
47	38	abscld 15471	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (abs‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) ∈ ℝ)
48		1red 11259	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → 1 ∈ ℝ)
49		absrele 15343	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) ∈ ℂ → (abs‘(ℜ‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))) ≤ (abs‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)))
50	38, 49	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (abs‘(ℜ‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))) ≤ (abs‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)))
51	48	rehalfcld 12510	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (1 / 2) ∈ ℝ)
52	8	nnred 12278	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ)
53	52	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → 𝑅 ∈ ℝ)
54	14	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → 𝑁 ∈ ℕ)
55	53, 54	nndivred 12317	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (𝑅 / 𝑁) ∈ ℝ)
56	18	abscld 15471	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 / 𝑁)) ∈ ℝ)
57	56	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (abs‘(𝐴 / 𝑁)) ∈ ℝ)
58	34	absge0d 15479	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → 0 ≤ (abs‘(𝐴 / 𝑁)))
59		elicc01 13502	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑡 ∈ (0[,]1) ↔ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑡 ∧ 𝑡 ≤ 1))
60	59	simp2bi 1145	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑡 ∈ (0[,]1) → 0 ≤ 𝑡)
61	60	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → 0 ≤ 𝑡)
62	13, 16, 17	absdivd 15490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 / 𝑁)) = ((abs‘𝐴) / (abs‘𝑁)))
63	14	nnrpd 13072	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ⁺)
64	63	rpge0d 13078	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑁)
65	15, 64	absidd 15457	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑁) = 𝑁)
66	65	oveq2d 7446	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝐴) / (abs‘𝑁)) = ((abs‘𝐴) / 𝑁))
67	62, 66	eqtr2d 2775	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝐴) / 𝑁) = (abs‘(𝐴 / 𝑁)))
68	13	abscld 15471	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
69		fveq2 6906	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (abs‘𝑥) = (abs‘𝐴))
70	69	breq1d 5157	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((abs‘𝑥) ≤ 𝑅 ↔ (abs‘𝐴) ≤ 𝑅))
71		fvoveq1 7453	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (abs‘(𝑥 + 𝑘)) = (abs‘(𝐴 + 𝑘)))
72	71	breq2d 5159	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝑥 + 𝑘)) ↔ (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝐴 + 𝑘))))
73	72	ralbidv 3175	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (∀𝑘 ∈ ℕ₀ (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝑥 + 𝑘)) ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ₀ (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝐴 + 𝑘))))
74	70, 73	anbi12d 632	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (((abs‘𝑥) ≤ 𝑅 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ₀ (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝑥 + 𝑘))) ↔ ((abs‘𝐴) ≤ 𝑅 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ₀ (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝐴 + 𝑘)))))
75	74, 9	elrab2 3697	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑈 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝐴) ≤ 𝑅 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ₀ (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝐴 + 𝑘)))))
76	75	simprbi 496	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑈 → ((abs‘𝐴) ≤ 𝑅 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ₀ (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝐴 + 𝑘))))
77	11, 76	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝐴) ≤ 𝑅 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ₀ (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝐴 + 𝑘))))
78	77	simpld 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) ≤ 𝑅)
79	68, 52, 63, 78	lediv1dd 13132	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝐴) / 𝑁) ≤ (𝑅 / 𝑁))
80	67, 79	eqbrtrrd 5171	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 / 𝑁)) ≤ (𝑅 / 𝑁))
81	80	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (abs‘(𝐴 / 𝑁)) ≤ (𝑅 / 𝑁))
82	59	simp3bi 1146	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑡 ∈ (0[,]1) → 𝑡 ≤ 1)
83	82	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → 𝑡 ≤ 1)
84	57, 55, 36, 48, 58, 61, 81, 83	lemul12ad 12207	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((abs‘(𝐴 / 𝑁)) · 𝑡) ≤ ((𝑅 / 𝑁) · 1))
85	34, 37	absmuld 15489	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (abs‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) = ((abs‘(𝐴 / 𝑁)) · (abs‘𝑡)))
86	36, 61	absidd 15457	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (abs‘𝑡) = 𝑡)
87	86	oveq2d 7446	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((abs‘(𝐴 / 𝑁)) · (abs‘𝑡)) = ((abs‘(𝐴 / 𝑁)) · 𝑡))
88	85, 87	eqtr2d 2775	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((abs‘(𝐴 / 𝑁)) · 𝑡) = (abs‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)))
89	55	recnd 11286	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (𝑅 / 𝑁) ∈ ℂ)
90	89	mulridd 11275	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((𝑅 / 𝑁) · 1) = (𝑅 / 𝑁))
91	84, 88, 90	3brtr3d 5178	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (abs‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) ≤ (𝑅 / 𝑁))
92		lgamgulm.l	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑅) ≤ 𝑁)
93		2rp 13036	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ 2 ∈ ℝ⁺
94	93	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ⁺)
95	52, 15, 94	lemuldiv2d 13124	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑅) ≤ 𝑁 ↔ 𝑅 ≤ (𝑁 / 2)))
96	92, 95	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ≤ (𝑁 / 2))
97		2cnd 12341	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
98		2ne0 12367	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ 2 ≠ 0
99	98	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝜑 → 2 ≠ 0)
100	16, 97, 99	divrecd 12043	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝜑 → (𝑁 / 2) = (𝑁 · (1 / 2)))
101	96, 100	breqtrd 5173	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ≤ (𝑁 · (1 / 2)))
102	4	rehalfcld 12510	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℝ)
103	52, 102, 63	ledivmuld 13127	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 / 𝑁) ≤ (1 / 2) ↔ 𝑅 ≤ (𝑁 · (1 / 2))))
104	101, 103	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → (𝑅 / 𝑁) ≤ (1 / 2))
105	104	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (𝑅 / 𝑁) ≤ (1 / 2))
106	47, 55, 51, 91, 105	letrd 11415	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (abs‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) ≤ (1 / 2))
107		halflt1 12481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (1 / 2) < 1
108	107	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (1 / 2) < 1)
109	47, 51, 48, 106, 108	lelttrd 11416	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (abs‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) < 1)
110	46, 47, 48, 50, 109	lelttrd 11416	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (abs‘(ℜ‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))) < 1)
111	44, 48	absltd 15464	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((abs‘(ℜ‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))) < 1 ↔ (-1 < (ℜ‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) ∧ (ℜ‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) < 1)))
112	110, 111	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (-1 < (ℜ‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) ∧ (ℜ‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) < 1))
113	112	simpld 494	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → -1 < (ℜ‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)))
114	48	renegcld 11687	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → -1 ∈ ℝ)
115	114, 44	posdifd 11847	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (-1 < (ℜ‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) ↔ 0 < ((ℜ‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) − -1)))
116	113, 115	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → 0 < ((ℜ‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) − -1))
117	45, 39	subnegd 11624	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((ℜ‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) − -1) = ((ℜ‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) + 1))
118	116, 117	breqtrd 5173	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → 0 < ((ℜ‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) + 1))
119	38, 39	readdd 15249	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (ℜ‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) = ((ℜ‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) + (ℜ‘1)))
120		re1 15189	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (ℜ‘1) = 1
121	120	oveq2i 7441	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((ℜ‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) + (ℜ‘1)) = ((ℜ‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) + 1)
122	119, 121	eqtrdi 2790	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (ℜ‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) = ((ℜ‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) + 1))
123	118, 122	breqtrrd 5175	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → 0 < (ℜ‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)))
124	43, 123	elrpd 13071	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (ℜ‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) ∈ ℝ⁺)
125	124	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) ∧ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1) ∈ ℝ) → (ℜ‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) ∈ ℝ⁺)
126	42, 125	eqeltrrd 2839	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) ∧ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1) ∈ ℝ) → (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1) ∈ ℝ⁺)
127	126	ex 412	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1) ∈ ℝ → (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1) ∈ ℝ⁺))
128	29	ellogdm 26695	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1) ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ↔ ((((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1) ∈ ℂ ∧ ((((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1) ∈ ℝ → (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1) ∈ ℝ⁺)))
129	40, 127, 128	sylanbrc 583	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1) ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))
130	33, 129	cofmpt 7151	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0))) ∘ (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))) = (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))
131	129	fvresd 6926	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) = (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)))
132	131	mpteq2dva 5247	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))) = (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))
133	130, 132	eqtrd 2774	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0))) ∘ (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))) = (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))
134	129	fmpttd 7134	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)):(0[,]1)⟶(ℂ ∖ (-∞(,]0)))
135		difss 4145	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ⊆ ℂ
136	5	addcn 24900	. . . . . . . . . . 11 ⊢ + ∈ (((TopOpen‘ℂ_fld) ×_t (TopOpen‘ℂ_fld)) Cn (TopOpen‘ℂ_fld))
137	136	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → + ∈ (((TopOpen‘ℂ_fld) ×_t (TopOpen‘ℂ_fld)) Cn (TopOpen‘ℂ_fld)))
138		1cnd 11253	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
139		cncfmptc 24951	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (0[,]1) ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ 1) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ))
140	138, 22, 23, 139	syl3anc 1370	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ 1) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ))
141	5, 137, 28, 140	cncfmpt2f 24954	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ))
142		cncfcdm 24937	. . . . . . . . 9 ⊢ (((ℂ ∖ (-∞(,]0)) ⊆ ℂ ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ)) → ((𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) ∈ ((0[,]1)–cn→(ℂ ∖ (-∞(,]0))) ↔ (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)):(0[,]1)⟶(ℂ ∖ (-∞(,]0))))
143	135, 141, 142	sylancr 587	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) ∈ ((0[,]1)–cn→(ℂ ∖ (-∞(,]0))) ↔ (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)):(0[,]1)⟶(ℂ ∖ (-∞(,]0))))
144	134, 143	mpbird 257	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) ∈ ((0[,]1)–cn→(ℂ ∖ (-∞(,]0))))
145	144, 31	cncfco 24946	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0))) ∘ (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ))
146	133, 145	eqeltrrd 2839	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ))
147	5, 7, 28, 146	cncfmpt2f 24954	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) − (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)))) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ))
148	20	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
149	19	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0[,]1) ⊆ ℝ)
150	29	logdmn0 26696	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1) ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) → (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1) ≠ 0)
151	129, 150	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1) ≠ 0)
152	40, 151	logcld 26626	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) ∈ ℂ)
153	38, 152	subcld 11617	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) − (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))) ∈ ℂ)
154	5	tgioo2 24838	. . . . . . . 8 ⊢ (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t ℝ)
155		0re 11260	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℝ
156		iccntr 24856	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(0[,]1)) = (0(,)1))
157	155, 4, 156	sylancr 587	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(0[,]1)) = (0(,)1))
158	148, 149, 153, 154, 5, 157	dvmptntr 26023	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) − (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))) = (ℝ D (𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) − (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))))
159		reelprrecn 11244	. . . . . . . . 9 ⊢ ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
160	159	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
161	13	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → 𝐴 ∈ ℂ)
162	16	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → 𝑁 ∈ ℂ)
163	17	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → 𝑁 ≠ 0)
164	161, 162, 163	divcld 12040	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (𝐴 / 𝑁) ∈ ℂ)
165		ioossicc 13469	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0(,)1) ⊆ (0[,]1)
166	165	sseli 3990	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑡 ∈ (0(,)1) → 𝑡 ∈ (0[,]1))
167	166, 37	sylan2 593	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → 𝑡 ∈ ℂ)
168	164, 167	mulcld 11278	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) ∈ ℂ)
169	13	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℂ)
170	16	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 𝑁 ∈ ℂ)
171	17	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 𝑁 ≠ 0)
172	169, 170, 171	divcld 12040	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (𝐴 / 𝑁) ∈ ℂ)
173	148	sselda 3994	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 𝑡 ∈ ℂ)
174	172, 173	mulcld 11278	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) ∈ ℂ)
175		1cnd 11253	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℂ)
176	160	dvmptid 26009	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑡 ∈ ℝ ↦ 𝑡)) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ 1))
177	160, 173, 175, 176, 18	dvmptcmul 26016	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((𝐴 / 𝑁) · 1)))
178	18	mulridd 11275	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 𝑁) · 1) = (𝐴 / 𝑁))
179	178	mpteq2dv 5249	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((𝐴 / 𝑁) · 1)) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ (𝐴 / 𝑁)))
180	177, 179	eqtrd 2774	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ (𝐴 / 𝑁)))
181	165, 149	sstrid 4006	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (0(,)1) ⊆ ℝ)
182		retop 24797	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Top
183		iooretop 24801	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0(,)1) ∈ (topGen‘ran (,))
184		isopn3i 23105	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ (0(,)1) ∈ (topGen‘ran (,))) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(0(,)1)) = (0(,)1))
185	182, 183, 184	mp2an 692	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(0(,)1)) = (0(,)1)
186	185	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(0(,)1)) = (0(,)1))
187	160, 174, 172, 180, 181, 154, 5, 186	dvmptres2 26014	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))) = (𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ (𝐴 / 𝑁)))
188	166, 152	sylan2 593	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) ∈ ℂ)
189		1cnd 11253	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → 1 ∈ ℂ)
190	168, 189	addcld 11277	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1) ∈ ℂ)
191	166, 151	sylan2 593	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1) ≠ 0)
192	190, 191	reccld 12033	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) ∈ ℂ)
193	192, 164	mulcld 11278	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁)) ∈ ℂ)
194		cnelprrecn 11245	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℂ ∈ {ℝ, ℂ}
195	194	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ℂ ∈ {ℝ, ℂ})
196	166, 129	sylan2 593	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1) ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))
197		eldifi 4140	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) → 𝑦 ∈ ℂ)
198	197	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0))) → 𝑦 ∈ ℂ)
199	29	logdmn0 26696	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) → 𝑦 ≠ 0)
200	199	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0))) → 𝑦 ≠ 0)
201	198, 200	logcld 26626	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0))) → (log‘𝑦) ∈ ℂ)
202	198, 200	reccld 12033	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0))) → (1 / 𝑦) ∈ ℂ)
203	174, 175	addcld 11277	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1) ∈ ℂ)
204		0cnd 11251	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 0 ∈ ℂ)
205	160, 138	dvmptc 26010	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑡 ∈ ℝ ↦ 1)) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ 0))
206	160, 174, 172, 180, 175, 204, 205	dvmptadd 26012	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑡 ∈ ℝ ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((𝐴 / 𝑁) + 0)))
207	18	addridd 11458	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 𝑁) + 0) = (𝐴 / 𝑁))
208	207	mpteq2dv 5249	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((𝐴 / 𝑁) + 0)) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ (𝐴 / 𝑁)))
209	206, 208	eqtrd 2774	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑡 ∈ ℝ ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ (𝐴 / 𝑁)))
210	160, 203, 172, 209, 181, 154, 5, 186	dvmptres2 26014	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))) = (𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ (𝐴 / 𝑁)))
211	33	feqmptd 6976	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0))) = (𝑦 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ↦ ((log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))‘𝑦)))
212		fvres 6925	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) → ((log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))‘𝑦) = (log‘𝑦))
213	212	mpteq2ia 5250	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ↦ ((log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))‘𝑦)) = (𝑦 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ↦ (log‘𝑦))
214	211, 213	eqtr2di 2791	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ↦ (log‘𝑦)) = (log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0))))
215	214	oveq2d 7446	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (ℂ D (𝑦 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ↦ (log‘𝑦))) = (ℂ D (log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))))
216	29	dvlog 26707	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℂ D (log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))) = (𝑦 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ↦ (1 / 𝑦))
217	215, 216	eqtrdi 2790	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (ℂ D (𝑦 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ↦ (log‘𝑦))) = (𝑦 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ↦ (1 / 𝑦)))
218		fveq2 6906	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1) → (log‘𝑦) = (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)))
219		oveq2 7438	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1) → (1 / 𝑦) = (1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)))
220	160, 195, 196, 164, 201, 202, 210, 217, 218, 219	dvmptco 26024	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)))) = (𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁))))
221	160, 168, 164, 187, 188, 193, 220	dvmptsub 26019	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) − (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))) = (𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ ((𝐴 / 𝑁) − ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁)))))
222	158, 221	eqtrd 2774	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) − (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))) = (𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ ((𝐴 / 𝑁) − ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁)))))
223	222	dmeqd 5918	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom (ℝ D (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) − (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))) = dom (𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ ((𝐴 / 𝑁) − ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁)))))
224		ovex 7463	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 / 𝑁) − ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁))) ∈ V
225		eqid 2734	. . . . . 6 ⊢ (𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ ((𝐴 / 𝑁) − ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁)))) = (𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ ((𝐴 / 𝑁) − ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁))))
226	224, 225	dmmpti 6712	. . . . 5 ⊢ dom (𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ ((𝐴 / 𝑁) − ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁)))) = (0(,)1)
227	223, 226	eqtrdi 2790	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom (ℝ D (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) − (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))) = (0(,)1))
228		2re 12337	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℝ
229	228	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
230	229, 52	remulcld 11288	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑅) ∈ ℝ)
231	8	nnrpd 13072	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ⁺)
232	52, 231	ltaddrpd 13107	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑅 < (𝑅 + 𝑅))
233	52	recnd 11286	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℂ)
234	233	2timesd 12506	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑅) = (𝑅 + 𝑅))
235	232, 234	breqtrrd 5175	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 < (2 · 𝑅))
236	52, 230, 15, 235, 92	ltletrd 11418	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 < 𝑁)
237		difrp 13070	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑅 < 𝑁 ↔ (𝑁 − 𝑅) ∈ ℝ⁺))
238	52, 15, 237	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑅 < 𝑁 ↔ (𝑁 − 𝑅) ∈ ℝ⁺))
239	236, 238	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 𝑅) ∈ ℝ⁺)
240	239	rprecred 13085	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1 / (𝑁 − 𝑅)) ∈ ℝ)
241	14	nnrecred 12314	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝑁) ∈ ℝ)
242	240, 241	resubcld 11688	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((1 / (𝑁 − 𝑅)) − (1 / 𝑁)) ∈ ℝ)
243	52, 242	remulcld 11288	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑅 · ((1 / (𝑁 − 𝑅)) − (1 / 𝑁))) ∈ ℝ)
244	222	fveq1d 6908	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((ℝ D (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) − (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)))))‘𝑦) = ((𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ ((𝐴 / 𝑁) − ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁))))‘𝑦))
245	244	fveq2d 6910	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs‘((ℝ D (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) − (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)))))‘𝑦)) = (abs‘((𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ ((𝐴 / 𝑁) − ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁))))‘𝑦)))
246	245	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (0(,)1)) → (abs‘((ℝ D (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) − (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)))))‘𝑦)) = (abs‘((𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ ((𝐴 / 𝑁) − ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁))))‘𝑦)))
247		nfv 1911	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑡(𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (0(,)1))
248		nfcv 2902	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑡abs
249		nffvmpt1 6917	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑡((𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ ((𝐴 / 𝑁) − ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁))))‘𝑦)
250	248, 249	nffv 6916	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑡(abs‘((𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ ((𝐴 / 𝑁) − ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁))))‘𝑦))
251		nfcv 2902	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑡 ≤
252		nfcv 2902	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑡(𝑅 · ((1 / (𝑁 − 𝑅)) − (1 / 𝑁)))
253	250, 251, 252	nfbr 5194	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑡(abs‘((𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ ((𝐴 / 𝑁) − ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁))))‘𝑦)) ≤ (𝑅 · ((1 / (𝑁 − 𝑅)) − (1 / 𝑁)))
254	247, 253	nfim 1893	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑡((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (0(,)1)) → (abs‘((𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ ((𝐴 / 𝑁) − ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁))))‘𝑦)) ≤ (𝑅 · ((1 / (𝑁 − 𝑅)) − (1 / 𝑁))))
255		eleq1w 2821	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑡 = 𝑦 → (𝑡 ∈ (0(,)1) ↔ 𝑦 ∈ (0(,)1)))
256	255	anbi2d 630	. . . . . . 7 ⊢ (𝑡 = 𝑦 → ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) ↔ (𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (0(,)1))))
257		2fveq3 6911	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑡 = 𝑦 → (abs‘((𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ ((𝐴 / 𝑁) − ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁))))‘𝑡)) = (abs‘((𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ ((𝐴 / 𝑁) − ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁))))‘𝑦)))
258	257	breq1d 5157	. . . . . . 7 ⊢ (𝑡 = 𝑦 → ((abs‘((𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ ((𝐴 / 𝑁) − ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁))))‘𝑡)) ≤ (𝑅 · ((1 / (𝑁 − 𝑅)) − (1 / 𝑁))) ↔ (abs‘((𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ ((𝐴 / 𝑁) − ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁))))‘𝑦)) ≤ (𝑅 · ((1 / (𝑁 − 𝑅)) − (1 / 𝑁)))))
259	256, 258	imbi12d 344	. . . . . 6 ⊢ (𝑡 = 𝑦 → (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘((𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ ((𝐴 / 𝑁) − ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁))))‘𝑡)) ≤ (𝑅 · ((1 / (𝑁 − 𝑅)) − (1 / 𝑁)))) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (0(,)1)) → (abs‘((𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ ((𝐴 / 𝑁) − ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁))))‘𝑦)) ≤ (𝑅 · ((1 / (𝑁 − 𝑅)) − (1 / 𝑁))))))
260		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → 𝑡 ∈ (0(,)1))
261	225	fvmpt2 7026	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑡 ∈ (0(,)1) ∧ ((𝐴 / 𝑁) − ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁))) ∈ V) → ((𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ ((𝐴 / 𝑁) − ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁))))‘𝑡) = ((𝐴 / 𝑁) − ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁))))
262	260, 224, 261	sylancl 586	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ ((𝐴 / 𝑁) − ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁))))‘𝑡) = ((𝐴 / 𝑁) − ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁))))
263	262	fveq2d 6910	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘((𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ ((𝐴 / 𝑁) − ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁))))‘𝑡)) = (abs‘((𝐴 / 𝑁) − ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁)))))
264	164, 189, 192	subdid 11716	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝐴 / 𝑁) · (1 − (1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)))) = (((𝐴 / 𝑁) · 1) − ((𝐴 / 𝑁) · (1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)))))
265	164	mulridd 11275	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝐴 / 𝑁) · 1) = (𝐴 / 𝑁))
266	164, 192	mulcomd 11279	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝐴 / 𝑁) · (1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))) = ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁)))
267	265, 266	oveq12d 7448	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (((𝐴 / 𝑁) · 1) − ((𝐴 / 𝑁) · (1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)))) = ((𝐴 / 𝑁) − ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁))))
268	264, 267	eqtr2d 2775	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝐴 / 𝑁) − ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁))) = ((𝐴 / 𝑁) · (1 − (1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)))))
269	268	fveq2d 6910	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘((𝐴 / 𝑁) − ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁)))) = (abs‘((𝐴 / 𝑁) · (1 − (1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))))
270	161, 162, 163	absdivd 15490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘(𝐴 / 𝑁)) = ((abs‘𝐴) / (abs‘𝑁)))
271	15	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → 𝑁 ∈ ℝ)
272	64	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → 0 ≤ 𝑁)
273	271, 272	absidd 15457	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘𝑁) = 𝑁)
274	273	oveq2d 7446	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((abs‘𝐴) / (abs‘𝑁)) = ((abs‘𝐴) / 𝑁))
275	270, 274	eqtrd 2774	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘(𝐴 / 𝑁)) = ((abs‘𝐴) / 𝑁))
276	275	oveq1d 7445	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((abs‘(𝐴 / 𝑁)) · (abs‘(1 − (1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))) = (((abs‘𝐴) / 𝑁) · (abs‘(1 − (1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))))
277	189, 192	subcld 11617	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (1 − (1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))) ∈ ℂ)
278	164, 277	absmuld 15489	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘((𝐴 / 𝑁) · (1 − (1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))) = ((abs‘(𝐴 / 𝑁)) · (abs‘(1 − (1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))))
279	68	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
280	279	recnd 11286	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘𝐴) ∈ ℂ)
281	277	abscld 15471	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘(1 − (1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)))) ∈ ℝ)
282	281	recnd 11286	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘(1 − (1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)))) ∈ ℂ)
283	280, 282, 162, 163	div23d 12077	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (((abs‘𝐴) · (abs‘(1 − (1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))) / 𝑁) = (((abs‘𝐴) / 𝑁) · (abs‘(1 − (1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))))
284	276, 278, 283	3eqtr4d 2784	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘((𝐴 / 𝑁) · (1 − (1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))) = (((abs‘𝐴) · (abs‘(1 − (1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))) / 𝑁))
285	263, 269, 284	3eqtrd 2778	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘((𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ ((𝐴 / 𝑁) − ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁))))‘𝑡)) = (((abs‘𝐴) · (abs‘(1 − (1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))) / 𝑁))
286	52	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → 𝑅 ∈ ℝ)
287	240	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (1 / (𝑁 − 𝑅)) ∈ ℝ)
288	241	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (1 / 𝑁) ∈ ℝ)
289	287, 288	resubcld 11688	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((1 / (𝑁 − 𝑅)) − (1 / 𝑁)) ∈ ℝ)
290	271, 289	remulcld 11288	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (𝑁 · ((1 / (𝑁 − 𝑅)) − (1 / 𝑁))) ∈ ℝ)
291	13	absge0d 15479	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (abs‘𝐴))
292	291	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → 0 ≤ (abs‘𝐴))
293	277	absge0d 15479	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → 0 ≤ (abs‘(1 − (1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)))))
294	78	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘𝐴) ≤ 𝑅)
295	239	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (𝑁 − 𝑅) ∈ ℝ⁺)
296	231	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → 𝑅 ∈ ℝ⁺)
297	295, 296	rpdivcld 13091	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝑁 − 𝑅) / 𝑅) ∈ ℝ⁺)
298	12	dmgmn0 27083	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
299	298	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → 𝐴 ≠ 0)
300	161, 162, 299, 163	divne0d 12056	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (𝐴 / 𝑁) ≠ 0)
301		eliooord 13442	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑡 ∈ (0(,)1) → (0 < 𝑡 ∧ 𝑡 < 1))
302	301	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (0 < 𝑡 ∧ 𝑡 < 1))
303	302	simpld 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → 0 < 𝑡)
304	303	gt0ne0d 11824	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → 𝑡 ≠ 0)
305	164, 167, 300, 304	mulne0d 11912	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) ≠ 0)
306	168, 305	reccld 12033	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) ∈ ℂ)
307	189, 306	addcld 11277	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (1 + (1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))) ∈ ℂ)
308	168, 189, 168, 305	divdird 12078	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1) / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) = ((((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) + (1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))))
309	168, 305	dividd 12038	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) = 1)
310	309	oveq1d 7445	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) + (1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))) = (1 + (1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))))
311	308, 310	eqtrd 2774	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1) / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) = (1 + (1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))))
312	190, 168, 191, 305	divne0d 12056	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1) / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) ≠ 0)
313	311, 312	eqnetrrd 3006	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (1 + (1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))) ≠ 0)
314	307, 313	absrpcld 15483	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘(1 + (1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)))) ∈ ℝ⁺)
315		1red 11259	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → 1 ∈ ℝ)
316		0le1 11783	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 ≤ 1
317	316	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → 0 ≤ 1)
318	297	rpred 13074	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝑁 − 𝑅) / 𝑅) ∈ ℝ)
319	306	negcld 11604	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → -(1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) ∈ ℂ)
320	319	abscld 15471	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘-(1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))) ∈ ℝ)
321	320, 315	resubcld 11688	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((abs‘-(1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))) − 1) ∈ ℝ)
322	307	abscld 15471	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘(1 + (1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)))) ∈ ℝ)
323	233	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → 𝑅 ∈ ℂ)
324	296	rpne0d 13079	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → 𝑅 ≠ 0)
325	162, 323, 323, 324	divsubdird 12079	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝑁 − 𝑅) / 𝑅) = ((𝑁 / 𝑅) − (𝑅 / 𝑅)))
326	323, 324	dividd 12038	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (𝑅 / 𝑅) = 1)
327	326	oveq2d 7446	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝑁 / 𝑅) − (𝑅 / 𝑅)) = ((𝑁 / 𝑅) − 1))
328	325, 327	eqtrd 2774	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝑁 − 𝑅) / 𝑅) = ((𝑁 / 𝑅) − 1))
329	271, 296	rerpdivcld 13105	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (𝑁 / 𝑅) ∈ ℝ)
330	323, 162, 324, 163	recdivd 12057	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (1 / (𝑅 / 𝑁)) = (𝑁 / 𝑅))
331	166, 91	sylan2 593	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) ≤ (𝑅 / 𝑁))
332	168, 305	absrpcld 15483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) ∈ ℝ⁺)
333	63	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → 𝑁 ∈ ℝ⁺)
334	296, 333	rpdivcld 13091	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (𝑅 / 𝑁) ∈ ℝ⁺)
335	332, 334	lerecd 13093	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((abs‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) ≤ (𝑅 / 𝑁) ↔ (1 / (𝑅 / 𝑁)) ≤ (1 / (abs‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)))))
336	331, 335	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (1 / (𝑅 / 𝑁)) ≤ (1 / (abs‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))))
337	330, 336	eqbrtrrd 5171	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (𝑁 / 𝑅) ≤ (1 / (abs‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))))
338	306	absnegd 15484	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘-(1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))) = (abs‘(1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))))
339	189, 168, 305	absdivd 15490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘(1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))) = ((abs‘1) / (abs‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))))
340		abs1 15332	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (abs‘1) = 1
341	340	oveq1i 7440	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((abs‘1) / (abs‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))) = (1 / (abs‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)))
342	339, 341	eqtrdi 2790	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘(1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))) = (1 / (abs‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))))
343	338, 342	eqtrd 2774	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘-(1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))) = (1 / (abs‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))))
344	337, 343	breqtrrd 5175	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (𝑁 / 𝑅) ≤ (abs‘-(1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))))
345	329, 320, 315, 344	lesub1dd 11876	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝑁 / 𝑅) − 1) ≤ ((abs‘-(1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))) − 1))
346	328, 345	eqbrtrd 5169	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝑁 − 𝑅) / 𝑅) ≤ ((abs‘-(1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))) − 1))
347	340	oveq2i 7441	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((abs‘-(1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))) − (abs‘1)) = ((abs‘-(1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))) − 1)
348	319, 189	abs2difd 15492	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((abs‘-(1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))) − (abs‘1)) ≤ (abs‘(-(1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) − 1)))
349	347, 348	eqbrtrrid 5183	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((abs‘-(1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))) − 1) ≤ (abs‘(-(1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) − 1)))
350	189, 306	addcomd 11460	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (1 + (1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))) = ((1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) + 1))
351	350	negeqd 11499	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → -(1 + (1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))) = -((1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) + 1))
352	306, 189	negdi2d 11631	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → -((1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) + 1) = (-(1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) − 1))
353	351, 352	eqtrd 2774	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → -(1 + (1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))) = (-(1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) − 1))
354	353	fveq2d 6910	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘-(1 + (1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)))) = (abs‘(-(1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) − 1)))
355	307	absnegd 15484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘-(1 + (1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)))) = (abs‘(1 + (1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)))))
356	354, 355	eqtr3d 2776	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘(-(1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) − 1)) = (abs‘(1 + (1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)))))
357	349, 356	breqtrd 5173	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((abs‘-(1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))) − 1) ≤ (abs‘(1 + (1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)))))
358	318, 321, 322, 346, 357	letrd 11415	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝑁 − 𝑅) / 𝑅) ≤ (abs‘(1 + (1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)))))
359	297, 314, 315, 317, 358	lediv2ad 13096	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (1 / (abs‘(1 + (1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))))) ≤ (1 / ((𝑁 − 𝑅) / 𝑅)))
360	16, 233	subcld 11617	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 𝑅) ∈ ℂ)
361	360	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (𝑁 − 𝑅) ∈ ℂ)
362	52, 236	gtned 11393	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ≠ 𝑅)
363	16, 233, 362	subne0d 11626	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 𝑅) ≠ 0)
364	363	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (𝑁 − 𝑅) ≠ 0)
365	361, 323, 364, 324	recdivd 12057	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (1 / ((𝑁 − 𝑅) / 𝑅)) = (𝑅 / (𝑁 − 𝑅)))
366	162, 323	nncand 11622	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (𝑁 − (𝑁 − 𝑅)) = 𝑅)
367	366	oveq1d 7445	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝑁 − (𝑁 − 𝑅)) / (𝑁 − 𝑅)) = (𝑅 / (𝑁 − 𝑅)))
368	162, 361, 361, 364	divsubdird 12079	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝑁 − (𝑁 − 𝑅)) / (𝑁 − 𝑅)) = ((𝑁 / (𝑁 − 𝑅)) − ((𝑁 − 𝑅) / (𝑁 − 𝑅))))
369	367, 368	eqtr3d 2776	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (𝑅 / (𝑁 − 𝑅)) = ((𝑁 / (𝑁 − 𝑅)) − ((𝑁 − 𝑅) / (𝑁 − 𝑅))))
370	361, 364	dividd 12038	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝑁 − 𝑅) / (𝑁 − 𝑅)) = 1)
371	370	oveq2d 7446	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝑁 / (𝑁 − 𝑅)) − ((𝑁 − 𝑅) / (𝑁 − 𝑅))) = ((𝑁 / (𝑁 − 𝑅)) − 1))
372	365, 369, 371	3eqtrd 2778	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (1 / ((𝑁 − 𝑅) / 𝑅)) = ((𝑁 / (𝑁 − 𝑅)) − 1))
373	359, 372	breqtrd 5173	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (1 / (abs‘(1 + (1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))))) ≤ ((𝑁 / (𝑁 − 𝑅)) − 1))
374	190, 189, 190, 191	divsubdird 12079	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (((((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1) − 1) / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) = (((((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1) / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) − (1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))
375	168, 189	pncand 11618	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1) − 1) = ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))
376	375	oveq1d 7445	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (((((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1) − 1) / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) = (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)))
377	190, 191	dividd 12038	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1) / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) = 1)
378	377	oveq1d 7445	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (((((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1) / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) − (1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))) = (1 − (1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))
379	374, 376, 378	3eqtr3rd 2783	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (1 − (1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))) = (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)))
380	190, 168, 191, 305	recdivd 12057	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (1 / ((((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1) / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))) = (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)))
381	311	oveq2d 7446	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (1 / ((((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1) / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))) = (1 / (1 + (1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)))))
382	379, 380, 381	3eqtr2d 2780	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (1 − (1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))) = (1 / (1 + (1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)))))
383	382	fveq2d 6910	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘(1 − (1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)))) = (abs‘(1 / (1 + (1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))))))
384	189, 307, 313	absdivd 15490	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘(1 / (1 + (1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))))) = ((abs‘1) / (abs‘(1 + (1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))))))
385	340	oveq1i 7440	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((abs‘1) / (abs‘(1 + (1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))))) = (1 / (abs‘(1 + (1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)))))
386	384, 385	eqtrdi 2790	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘(1 / (1 + (1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))))) = (1 / (abs‘(1 + (1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))))))
387	383, 386	eqtrd 2774	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘(1 − (1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)))) = (1 / (abs‘(1 + (1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))))))
388	360, 363	reccld 12033	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (1 / (𝑁 − 𝑅)) ∈ ℂ)
389	388	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (1 / (𝑁 − 𝑅)) ∈ ℂ)
390	241	recnd 11286	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝑁) ∈ ℂ)
391	390	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (1 / 𝑁) ∈ ℂ)
392	162, 389, 391	subdid 11716	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (𝑁 · ((1 / (𝑁 − 𝑅)) − (1 / 𝑁))) = ((𝑁 · (1 / (𝑁 − 𝑅))) − (𝑁 · (1 / 𝑁))))
393	162, 361, 364	divrecd 12043	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (𝑁 / (𝑁 − 𝑅)) = (𝑁 · (1 / (𝑁 − 𝑅))))
394	393	eqcomd 2740	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (𝑁 · (1 / (𝑁 − 𝑅))) = (𝑁 / (𝑁 − 𝑅)))
395	162, 163	recidd 12035	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (𝑁 · (1 / 𝑁)) = 1)
396	394, 395	oveq12d 7448	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝑁 · (1 / (𝑁 − 𝑅))) − (𝑁 · (1 / 𝑁))) = ((𝑁 / (𝑁 − 𝑅)) − 1))
397	392, 396	eqtrd 2774	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (𝑁 · ((1 / (𝑁 − 𝑅)) − (1 / 𝑁))) = ((𝑁 / (𝑁 − 𝑅)) − 1))
398	373, 387, 397	3brtr4d 5179	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘(1 − (1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)))) ≤ (𝑁 · ((1 / (𝑁 − 𝑅)) − (1 / 𝑁))))
399	279, 286, 281, 290, 292, 293, 294, 398	lemul12ad 12207	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((abs‘𝐴) · (abs‘(1 − (1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))) ≤ (𝑅 · (𝑁 · ((1 / (𝑁 − 𝑅)) − (1 / 𝑁)))))
400	242	recnd 11286	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((1 / (𝑁 − 𝑅)) − (1 / 𝑁)) ∈ ℂ)
401	400	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((1 / (𝑁 − 𝑅)) − (1 / 𝑁)) ∈ ℂ)
402	323, 162, 401	mul12d 11467	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (𝑅 · (𝑁 · ((1 / (𝑁 − 𝑅)) − (1 / 𝑁)))) = (𝑁 · (𝑅 · ((1 / (𝑁 − 𝑅)) − (1 / 𝑁)))))
403	399, 402	breqtrd 5173	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((abs‘𝐴) · (abs‘(1 − (1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))) ≤ (𝑁 · (𝑅 · ((1 / (𝑁 − 𝑅)) − (1 / 𝑁)))))
404	279, 281	remulcld 11288	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((abs‘𝐴) · (abs‘(1 − (1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))) ∈ ℝ)
405	243	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (𝑅 · ((1 / (𝑁 − 𝑅)) − (1 / 𝑁))) ∈ ℝ)
406	404, 405, 333	ledivmuld 13127	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((((abs‘𝐴) · (abs‘(1 − (1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))) / 𝑁) ≤ (𝑅 · ((1 / (𝑁 − 𝑅)) − (1 / 𝑁))) ↔ ((abs‘𝐴) · (abs‘(1 − (1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))) ≤ (𝑁 · (𝑅 · ((1 / (𝑁 − 𝑅)) − (1 / 𝑁))))))
407	403, 406	mpbird 257	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (((abs‘𝐴) · (abs‘(1 − (1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))) / 𝑁) ≤ (𝑅 · ((1 / (𝑁 − 𝑅)) − (1 / 𝑁))))
408	285, 407	eqbrtrd 5169	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘((𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ ((𝐴 / 𝑁) − ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁))))‘𝑡)) ≤ (𝑅 · ((1 / (𝑁 − 𝑅)) − (1 / 𝑁))))
409	254, 259, 408	chvarfv 2237	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (0(,)1)) → (abs‘((𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ ((𝐴 / 𝑁) − ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁))))‘𝑦)) ≤ (𝑅 · ((1 / (𝑁 − 𝑅)) − (1 / 𝑁))))
410	246, 409	eqbrtrd 5169	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (0(,)1)) → (abs‘((ℝ D (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) − (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)))))‘𝑦)) ≤ (𝑅 · ((1 / (𝑁 − 𝑅)) − (1 / 𝑁))))
411	3, 4, 147, 227, 243, 410	dvlip 26046	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (1 ∈ (0[,]1) ∧ 0 ∈ (0[,]1))) → (abs‘(((𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) − (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))‘1) − ((𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) − (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))‘0))) ≤ ((𝑅 · ((1 / (𝑁 − 𝑅)) − (1 / 𝑁))) · (abs‘(1 − 0))))
412	1, 2, 411	mpanr12 705	. 2 ⊢ (𝜑 → (abs‘(((𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) − (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))‘1) − ((𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) − (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))‘0))) ≤ ((𝑅 · ((1 / (𝑁 − 𝑅)) − (1 / 𝑁))) · (abs‘(1 − 0))))
413		eqidd 2735	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) − (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)))) = (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) − (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)))))
414		oveq2 7438	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑡 = 1 → ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) = ((𝐴 / 𝑁) · 1))
415	414, 178	sylan9eqr 2796	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 = 1) → ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) = (𝐴 / 𝑁))
416	415	fvoveq1d 7452	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 = 1) → (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) = (log‘((𝐴 / 𝑁) + 1)))
417	415, 416	oveq12d 7448	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 = 1) → (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) − (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))) = ((𝐴 / 𝑁) − (log‘((𝐴 / 𝑁) + 1))))
418	1	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ (0[,]1))
419		ovexd 7465	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 𝑁) − (log‘((𝐴 / 𝑁) + 1))) ∈ V)
420	413, 417, 418, 419	fvmptd 7022	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) − (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))‘1) = ((𝐴 / 𝑁) − (log‘((𝐴 / 𝑁) + 1))))
421		oveq2 7438	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑡 = 0 → ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) = ((𝐴 / 𝑁) · 0))
422	18	mul01d 11457	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 𝑁) · 0) = 0)
423	421, 422	sylan9eqr 2796	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 = 0) → ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) = 0)
424	423	oveq1d 7445	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 = 0) → (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1) = (0 + 1))
425		0p1e1 12385	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 + 1) = 1
426	424, 425	eqtrdi 2790	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 = 0) → (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1) = 1)
427	426	fveq2d 6910	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 = 0) → (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) = (log‘1))
428		log1 26641	. . . . . . . . 9 ⊢ (log‘1) = 0
429	427, 428	eqtrdi 2790	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 = 0) → (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) = 0)
430	423, 429	oveq12d 7448	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 = 0) → (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) − (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))) = (0 − 0))
431		0m0e0 12383	. . . . . . 7 ⊢ (0 − 0) = 0
432	430, 431	eqtrdi 2790	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 = 0) → (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) − (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))) = 0)
433	2	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (0[,]1))
434	413, 432, 433, 433	fvmptd 7022	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) − (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))‘0) = 0)
435	420, 434	oveq12d 7448	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) − (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))‘1) − ((𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) − (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))‘0)) = (((𝐴 / 𝑁) − (log‘((𝐴 / 𝑁) + 1))) − 0))
436	18, 138	addcld 11277	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 𝑁) + 1) ∈ ℂ)
437	12, 14	dmgmdivn0 27085	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 𝑁) + 1) ≠ 0)
438	436, 437	logcld 26626	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (log‘((𝐴 / 𝑁) + 1)) ∈ ℂ)
439	18, 438	subcld 11617	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 𝑁) − (log‘((𝐴 / 𝑁) + 1))) ∈ ℂ)
440	439	subid1d 11606	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 / 𝑁) − (log‘((𝐴 / 𝑁) + 1))) − 0) = ((𝐴 / 𝑁) − (log‘((𝐴 / 𝑁) + 1))))
441	435, 440	eqtr2d 2775	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 𝑁) − (log‘((𝐴 / 𝑁) + 1))) = (((𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) − (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))‘1) − ((𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) − (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))‘0)))
442	441	fveq2d 6910	. 2 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐴 / 𝑁) − (log‘((𝐴 / 𝑁) + 1)))) = (abs‘(((𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) − (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))‘1) − ((𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) − (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))‘0))))
443		1m0e1 12384	. . . . . 6 ⊢ (1 − 0) = 1
444	443	fveq2i 6909	. . . . 5 ⊢ (abs‘(1 − 0)) = (abs‘1)
445	444, 340	eqtri 2762	. . . 4 ⊢ (abs‘(1 − 0)) = 1
446	445	oveq2i 7441	. . 3 ⊢ ((𝑅 · ((1 / (𝑁 − 𝑅)) − (1 / 𝑁))) · (abs‘(1 − 0))) = ((𝑅 · ((1 / (𝑁 − 𝑅)) − (1 / 𝑁))) · 1)
447	233, 400	mulcld 11278	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑅 · ((1 / (𝑁 − 𝑅)) − (1 / 𝑁))) ∈ ℂ)
448	447	mulridd 11275	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 · ((1 / (𝑁 − 𝑅)) − (1 / 𝑁))) · 1) = (𝑅 · ((1 / (𝑁 − 𝑅)) − (1 / 𝑁))))
449	446, 448	eqtr2id 2787	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑅 · ((1 / (𝑁 − 𝑅)) − (1 / 𝑁))) = ((𝑅 · ((1 / (𝑁 − 𝑅)) − (1 / 𝑁))) · (abs‘(1 − 0))))
450	412, 442, 449	3brtr4d 5179	1 ⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐴 / 𝑁) − (log‘((𝐴 / 𝑁) + 1)))) ≤ (𝑅 · ((1 / (𝑁 − 𝑅)) − (1 / 𝑁))))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 206 ∧ wa 395 = wceq 1536 ∈ wcel 2105 ≠ wne 2937 ∀wral 3058 {crab 3432 Vcvv 3477 ∖ cdif 3959 ⊆ wss 3962 {cpr 4632 class class class wbr 5147 ↦ cmpt 5230 dom cdm 5688 ran crn 5689 ↾ cres 5690 ∘ ccom 5692 ⟶wf 6558 ‘cfv 6562 (class class class)co 7430 ℂcc 11150 ℝcr 11151 0cc0 11152 1c1 11153 + caddc 11155 · cmul 11157 -∞cmnf 11290 < clt 11292 ≤ cle 11293 − cmin 11489 -cneg 11490 / cdiv 11917 ℕcn 12263 2c2 12318 ℕ₀cn0 12523 ℤcz 12610 ℝ⁺crp 13031 (,)cioo 13383 (,]cioc 13384 [,]cicc 13386 ℜcre 15132 abscabs 15269 TopOpenctopn 17467 topGenctg 17483 ℂ_fldccnfld 21381 Topctop 22914 intcnt 23040 Cn ccn 23247 ×_t ctx 23583 –cn→ccncf 24915 D cdv 25912 logclog 26610

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1791 ax-4 1805 ax-5 1907 ax-6 1964 ax-7 2004 ax-8 2107 ax-9 2115 ax-10 2138 ax-11 2154 ax-12 2174 ax-ext 2705 ax-rep 5284 ax-sep 5301 ax-nul 5311 ax-pow 5370 ax-pr 5437 ax-un 7753 ax-inf2 9678 ax-cnex 11208 ax-resscn 11209 ax-1cn 11210 ax-icn 11211 ax-addcl 11212 ax-addrcl 11213 ax-mulcl 11214 ax-mulrcl 11215 ax-mulcom 11216 ax-addass 11217 ax-mulass 11218 ax-distr 11219 ax-i2m1 11220 ax-1ne0 11221 ax-1rid 11222 ax-rnegex 11223 ax-rrecex 11224 ax-cnre 11225 ax-pre-lttri 11226 ax-pre-lttrn 11227 ax-pre-ltadd 11228 ax-pre-mulgt0 11229 ax-pre-sup 11230 ax-addf 11231

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 848 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1539 df-fal 1549 df-ex 1776 df-nf 1780 df-sb 2062 df-mo 2537 df-eu 2566 df-clab 2712 df-cleq 2726 df-clel 2813 df-nfc 2889 df-ne 2938 df-nel 3044 df-ral 3059 df-rex 3068 df-rmo 3377 df-reu 3378 df-rab 3433 df-v 3479 df-sbc 3791 df-csb 3908 df-dif 3965 df-un 3967 df-in 3969 df-ss 3979 df-pss 3982 df-nul 4339 df-if 4531 df-pw 4606 df-sn 4631 df-pr 4633 df-tp 4635 df-op 4637 df-uni 4912 df-int 4951 df-iun 4997 df-iin 4998 df-br 5148 df-opab 5210 df-mpt 5231 df-tr 5265 df-id 5582 df-eprel 5588 df-po 5596 df-so 5597 df-fr 5640 df-se 5641 df-we 5642 df-xp 5694 df-rel 5695 df-cnv 5696 df-co 5697 df-dm 5698 df-rn 5699 df-res 5700 df-ima 5701 df-pred 6322 df-ord 6388 df-on 6389 df-lim 6390 df-suc 6391 df-iota 6515 df-fun 6564 df-fn 6565 df-f 6566 df-f1 6567 df-fo 6568 df-f1o 6569 df-fv 6570 df-isom 6571 df-riota 7387 df-ov 7433 df-oprab 7434 df-mpo 7435 df-of 7696 df-om 7887 df-1st 8012 df-2nd 8013 df-supp 8184 df-frecs 8304 df-wrecs 8335 df-recs 8409 df-rdg 8448 df-1o 8504 df-2o 8505 df-er 8743 df-map 8866 df-pm 8867 df-ixp 8936 df-en 8984 df-dom 8985 df-sdom 8986 df-fin 8987 df-fsupp 9399 df-fi 9448 df-sup 9479 df-inf 9480 df-oi 9547 df-card 9976 df-pnf 11294 df-mnf 11295 df-xr 11296 df-ltxr 11297 df-le 11298 df-sub 11491 df-neg 11492 df-div 11918 df-nn 12264 df-2 12326 df-3 12327 df-4 12328 df-5 12329 df-6 12330 df-7 12331 df-8 12332 df-9 12333 df-n0 12524 df-z 12611 df-dec 12731 df-uz 12876 df-q 12988 df-rp 13032 df-xneg 13151 df-xadd 13152 df-xmul 13153 df-ioo 13387 df-ioc 13388 df-ico 13389 df-icc 13390 df-fz 13544 df-fzo 13691 df-fl 13828 df-mod 13906 df-seq 14039 df-exp 14099 df-fac 14309 df-bc 14338 df-hash 14366 df-shft 15102 df-cj 15134 df-re 15135 df-im 15136 df-sqrt 15270 df-abs 15271 df-limsup 15503 df-clim 15520 df-rlim 15521 df-sum 15719 df-ef 16099 df-sin 16101 df-cos 16102 df-tan 16103 df-pi 16104 df-struct 17180 df-sets 17197 df-slot 17215 df-ndx 17227 df-base 17245 df-ress 17274 df-plusg 17310 df-mulr 17311 df-starv 17312 df-sca 17313 df-vsca 17314 df-ip 17315 df-tset 17316 df-ple 17317 df-ds 17319 df-unif 17320 df-hom 17321 df-cco 17322 df-rest 17468 df-topn 17469 df-0g 17487 df-gsum 17488 df-topgen 17489 df-pt 17490 df-prds 17493 df-xrs 17548 df-qtop 17553 df-imas 17554 df-xps 17556 df-mre 17630 df-mrc 17631 df-acs 17633 df-mgm 18665 df-sgrp 18744 df-mnd 18760 df-submnd 18809 df-mulg 19098 df-cntz 19347 df-cmn 19814 df-psmet 21373 df-xmet 21374 df-met 21375 df-bl 21376 df-mopn 21377 df-fbas 21378 df-fg 21379 df-cnfld 21382 df-top 22915 df-topon 22932 df-topsp 22954 df-bases 22968 df-cld 23042 df-ntr 23043 df-cls 23044 df-nei 23121 df-lp 23159 df-perf 23160 df-cn 23250 df-cnp 23251 df-haus 23338 df-cmp 23410 df-tx 23585 df-hmeo 23778 df-fil 23869 df-fm 23961 df-flim 23962 df-flf 23963 df-xms 24345 df-ms 24346 df-tms 24347 df-cncf 24917 df-limc 25915 df-dv 25916 df-log 26612

This theorem is referenced by: lgamgulmlem3 27088

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