MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lgamgulmlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lgamgulmlem2 27073
Description: Lemma for lgamgulm 27078. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jul-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
lgamgulm.r (𝜑𝑅 ∈ ℕ)
lgamgulm.u 𝑈 = {𝑥 ∈ ℂ ∣ ((abs‘𝑥) ≤ 𝑅 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝑥 + 𝑘)))}
lgamgulm.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
lgamgulm.a (𝜑𝐴𝑈)
lgamgulm.l (𝜑 → (2 · 𝑅) ≤ 𝑁)
Assertion
Ref Expression
lgamgulmlem2 (𝜑 → (abs‘((𝐴 / 𝑁) − (log‘((𝐴 / 𝑁) + 1)))) ≤ (𝑅 · ((1 / (𝑁𝑅)) − (1 / 𝑁))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑁   𝑥,𝑘,𝑅   𝐴,𝑘,𝑥   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝑈(𝑥,𝑘)   𝑁(𝑘)

Proof of Theorem lgamgulmlem2
Dummy variables 𝑦 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1elunit 13510 . . 3 1 ∈ (0[,]1)
2 0elunit 13509 . . 3 0 ∈ (0[,]1)
3 0red 11264 . . . 4 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
4 1red 11262 . . . 4 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
5 eqid 2737 . . . . 5 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
65subcn 24888 . . . . . 6 − ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld))
76a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → − ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
8 lgamgulm.r . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑅 ∈ ℕ)
9 lgamgulm.u . . . . . . . . . . 11 𝑈 = {𝑥 ∈ ℂ ∣ ((abs‘𝑥) ≤ 𝑅 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝑥 + 𝑘)))}
108, 9lgamgulmlem1 27072 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑈 ⊆ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))
11 lgamgulm.a . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴𝑈)
1210, 11sseldd 3984 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))
1312eldifad 3963 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
14 lgamgulm.n . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
1514nnred 12281 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
1615recnd 11289 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
1714nnne0d 12316 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ≠ 0)
1813, 16, 17divcld 12043 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴 / 𝑁) ∈ ℂ)
19 unitssre 13539 . . . . . . . . 9 (0[,]1) ⊆ ℝ
20 ax-resscn 11212 . . . . . . . . 9 ℝ ⊆ ℂ
2119, 20sstri 3993 . . . . . . . 8 (0[,]1) ⊆ ℂ
2221a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (0[,]1) ⊆ ℂ)
23 ssidd 4007 . . . . . . 7 (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
24 cncfmptc 24938 . . . . . . 7 (((𝐴 / 𝑁) ∈ ℂ ∧ (0[,]1) ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐴 / 𝑁)) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ))
2518, 22, 23, 24syl3anc 1373 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐴 / 𝑁)) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ))
26 cncfmptid 24939 . . . . . . 7 (((0[,]1) ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ 𝑡) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ))
2721, 23, 26sylancr 587 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ 𝑡) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ))
2825, 27mulcncf 25480 . . . . 5 (𝜑 → (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ))
29 eqid 2737 . . . . . . . . . . 11 (ℂ ∖ (-∞(,]0)) = (ℂ ∖ (-∞(,]0))
3029logcn 26689 . . . . . . . . . 10 (log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0))) ∈ ((ℂ ∖ (-∞(,]0))–cn→ℂ)
3130a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0))) ∈ ((ℂ ∖ (-∞(,]0))–cn→ℂ))
32 cncff 24919 . . . . . . . . 9 ((log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0))) ∈ ((ℂ ∖ (-∞(,]0))–cn→ℂ) → (log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0))):(ℂ ∖ (-∞(,]0))⟶ℂ)
3331, 32syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0))):(ℂ ∖ (-∞(,]0))⟶ℂ)
3418adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑡 ∈ (0[,]1)) → (𝐴 / 𝑁) ∈ ℂ)
35 simpr 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑡 ∈ (0[,]1)) → 𝑡 ∈ (0[,]1))
3619, 35sselid 3981 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑡 ∈ (0[,]1)) → 𝑡 ∈ ℝ)
3736recnd 11289 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑡 ∈ (0[,]1)) → 𝑡 ∈ ℂ)
3834, 37mulcld 11281 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) ∈ ℂ)
39 1cnd 11256 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡 ∈ (0[,]1)) → 1 ∈ ℂ)
4038, 39addcld 11280 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 ∈ (0[,]1)) → (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1) ∈ ℂ)
41 rere 15161 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1) ∈ ℝ → (ℜ‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) = (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))
4241adantl 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑡 ∈ (0[,]1)) ∧ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1) ∈ ℝ) → (ℜ‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) = (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))
4340recld 15233 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑡 ∈ (0[,]1)) → (ℜ‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) ∈ ℝ)
4438recld 15233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑡 ∈ (0[,]1)) → (ℜ‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) ∈ ℝ)
4544recnd 11289 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑡 ∈ (0[,]1)) → (ℜ‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) ∈ ℂ)
4645abscld 15475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑡 ∈ (0[,]1)) → (abs‘(ℜ‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))) ∈ ℝ)
4738abscld 15475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑡 ∈ (0[,]1)) → (abs‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) ∈ ℝ)
48 1red 11262 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑡 ∈ (0[,]1)) → 1 ∈ ℝ)
49 absrele 15347 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) ∈ ℂ → (abs‘(ℜ‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))) ≤ (abs‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)))
5038, 49syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑡 ∈ (0[,]1)) → (abs‘(ℜ‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))) ≤ (abs‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)))
5148rehalfcld 12513 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑡 ∈ (0[,]1)) → (1 / 2) ∈ ℝ)
528nnred 12281 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑𝑅 ∈ ℝ)
5352adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑡 ∈ (0[,]1)) → 𝑅 ∈ ℝ)
5414adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑡 ∈ (0[,]1)) → 𝑁 ∈ ℕ)
5553, 54nndivred 12320 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑡 ∈ (0[,]1)) → (𝑅 / 𝑁) ∈ ℝ)
5618abscld 15475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑 → (abs‘(𝐴 / 𝑁)) ∈ ℝ)
5756adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑡 ∈ (0[,]1)) → (abs‘(𝐴 / 𝑁)) ∈ ℝ)
5834absge0d 15483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑡 ∈ (0[,]1)) → 0 ≤ (abs‘(𝐴 / 𝑁)))
59 elicc01 13506 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑡 ∈ (0[,]1) ↔ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑡𝑡 ≤ 1))
6059simp2bi 1147 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑡 ∈ (0[,]1) → 0 ≤ 𝑡)
6160adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑡 ∈ (0[,]1)) → 0 ≤ 𝑡)
6213, 16, 17absdivd 15494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜑 → (abs‘(𝐴 / 𝑁)) = ((abs‘𝐴) / (abs‘𝑁)))
6314nnrpd 13075 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝜑𝑁 ∈ ℝ+)
6463rpge0d 13081 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝜑 → 0 ≤ 𝑁)
6515, 64absidd 15461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝜑 → (abs‘𝑁) = 𝑁)
6665oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜑 → ((abs‘𝐴) / (abs‘𝑁)) = ((abs‘𝐴) / 𝑁))
6762, 66eqtr2d 2778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑 → ((abs‘𝐴) / 𝑁) = (abs‘(𝐴 / 𝑁)))
6813abscld 15475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜑 → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
69 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑥 = 𝐴 → (abs‘𝑥) = (abs‘𝐴))
7069breq1d 5153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑥 = 𝐴 → ((abs‘𝑥) ≤ 𝑅 ↔ (abs‘𝐴) ≤ 𝑅))
71 fvoveq1 7454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑥 = 𝐴 → (abs‘(𝑥 + 𝑘)) = (abs‘(𝐴 + 𝑘)))
7271breq2d 5155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑥 = 𝐴 → ((1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝑥 + 𝑘)) ↔ (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝐴 + 𝑘))))
7372ralbidv 3178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑥 = 𝐴 → (∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝑥 + 𝑘)) ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝐴 + 𝑘))))
7470, 73anbi12d 632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑥 = 𝐴 → (((abs‘𝑥) ≤ 𝑅 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝑥 + 𝑘))) ↔ ((abs‘𝐴) ≤ 𝑅 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝐴 + 𝑘)))))
7574, 9elrab2 3695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝐴𝑈 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝐴) ≤ 𝑅 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝐴 + 𝑘)))))
7675simprbi 496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝐴𝑈 → ((abs‘𝐴) ≤ 𝑅 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝐴 + 𝑘))))
7711, 76syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝜑 → ((abs‘𝐴) ≤ 𝑅 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝐴 + 𝑘))))
7877simpld 494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜑 → (abs‘𝐴) ≤ 𝑅)
7968, 52, 63, 78lediv1dd 13135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑 → ((abs‘𝐴) / 𝑁) ≤ (𝑅 / 𝑁))
8067, 79eqbrtrrd 5167 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑 → (abs‘(𝐴 / 𝑁)) ≤ (𝑅 / 𝑁))
8180adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑡 ∈ (0[,]1)) → (abs‘(𝐴 / 𝑁)) ≤ (𝑅 / 𝑁))
8259simp3bi 1148 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑡 ∈ (0[,]1) → 𝑡 ≤ 1)
8382adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑡 ∈ (0[,]1)) → 𝑡 ≤ 1)
8457, 55, 36, 48, 58, 61, 81, 83lemul12ad 12210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((abs‘(𝐴 / 𝑁)) · 𝑡) ≤ ((𝑅 / 𝑁) · 1))
8534, 37absmuld 15493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑡 ∈ (0[,]1)) → (abs‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) = ((abs‘(𝐴 / 𝑁)) · (abs‘𝑡)))
8636, 61absidd 15461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑡 ∈ (0[,]1)) → (abs‘𝑡) = 𝑡)
8786oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((abs‘(𝐴 / 𝑁)) · (abs‘𝑡)) = ((abs‘(𝐴 / 𝑁)) · 𝑡))
8885, 87eqtr2d 2778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((abs‘(𝐴 / 𝑁)) · 𝑡) = (abs‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)))
8955recnd 11289 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑡 ∈ (0[,]1)) → (𝑅 / 𝑁) ∈ ℂ)
9089mulridd 11278 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((𝑅 / 𝑁) · 1) = (𝑅 / 𝑁))
9184, 88, 903brtr3d 5174 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑡 ∈ (0[,]1)) → (abs‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) ≤ (𝑅 / 𝑁))
92 lgamgulm.l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑 → (2 · 𝑅) ≤ 𝑁)
93 2rp 13039 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2 ∈ ℝ+
9493a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜑 → 2 ∈ ℝ+)
9552, 15, 94lemuldiv2d 13127 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑 → ((2 · 𝑅) ≤ 𝑁𝑅 ≤ (𝑁 / 2)))
9692, 95mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑𝑅 ≤ (𝑁 / 2))
97 2cnd 12344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
98 2ne0 12370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2 ≠ 0
9998a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑 → 2 ≠ 0)
10016, 97, 99divrecd 12046 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑 → (𝑁 / 2) = (𝑁 · (1 / 2)))
10196, 100breqtrd 5169 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑𝑅 ≤ (𝑁 · (1 / 2)))
1024rehalfcld 12513 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℝ)
10352, 102, 63ledivmuld 13130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → ((𝑅 / 𝑁) ≤ (1 / 2) ↔ 𝑅 ≤ (𝑁 · (1 / 2))))
104101, 103mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (𝑅 / 𝑁) ≤ (1 / 2))
105104adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑡 ∈ (0[,]1)) → (𝑅 / 𝑁) ≤ (1 / 2))
10647, 55, 51, 91, 105letrd 11418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑡 ∈ (0[,]1)) → (abs‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) ≤ (1 / 2))
107 halflt1 12484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (1 / 2) < 1
108107a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑡 ∈ (0[,]1)) → (1 / 2) < 1)
10947, 51, 48, 106, 108lelttrd 11419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑡 ∈ (0[,]1)) → (abs‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) < 1)
11046, 47, 48, 50, 109lelttrd 11419 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑡 ∈ (0[,]1)) → (abs‘(ℜ‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))) < 1)
11144, 48absltd 15468 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((abs‘(ℜ‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))) < 1 ↔ (-1 < (ℜ‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) ∧ (ℜ‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) < 1)))
112110, 111mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑡 ∈ (0[,]1)) → (-1 < (ℜ‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) ∧ (ℜ‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) < 1))
113112simpld 494 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑡 ∈ (0[,]1)) → -1 < (ℜ‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)))
11448renegcld 11690 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑡 ∈ (0[,]1)) → -1 ∈ ℝ)
115114, 44posdifd 11850 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑡 ∈ (0[,]1)) → (-1 < (ℜ‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) ↔ 0 < ((ℜ‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) − -1)))
116113, 115mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑡 ∈ (0[,]1)) → 0 < ((ℜ‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) − -1))
11745, 39subnegd 11627 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((ℜ‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) − -1) = ((ℜ‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) + 1))
118116, 117breqtrd 5169 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑡 ∈ (0[,]1)) → 0 < ((ℜ‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) + 1))
11938, 39readdd 15253 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑡 ∈ (0[,]1)) → (ℜ‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) = ((ℜ‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) + (ℜ‘1)))
120 re1 15193 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (ℜ‘1) = 1
121120oveq2i 7442 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((ℜ‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) + (ℜ‘1)) = ((ℜ‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) + 1)
122119, 121eqtrdi 2793 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑡 ∈ (0[,]1)) → (ℜ‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) = ((ℜ‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) + 1))
123118, 122breqtrrd 5171 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑡 ∈ (0[,]1)) → 0 < (ℜ‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)))
12443, 123elrpd 13074 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑡 ∈ (0[,]1)) → (ℜ‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) ∈ ℝ+)
125124adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑡 ∈ (0[,]1)) ∧ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1) ∈ ℝ) → (ℜ‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) ∈ ℝ+)
12642, 125eqeltrrd 2842 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑡 ∈ (0[,]1)) ∧ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1) ∈ ℝ) → (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1) ∈ ℝ+)
127126ex 412 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1) ∈ ℝ → (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1) ∈ ℝ+))
12829ellogdm 26681 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1) ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ↔ ((((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1) ∈ ℂ ∧ ((((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1) ∈ ℝ → (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1) ∈ ℝ+)))
12940, 127, 128sylanbrc 583 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 ∈ (0[,]1)) → (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1) ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))
13033, 129cofmpt 7152 . . . . . . 7 (𝜑 → ((log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0))) ∘ (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))) = (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))
131129fvresd 6926 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) = (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)))
132131mpteq2dva 5242 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))) = (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))
133130, 132eqtrd 2777 . . . . . 6 (𝜑 → ((log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0))) ∘ (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))) = (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))
134129fmpttd 7135 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)):(0[,]1)⟶(ℂ ∖ (-∞(,]0)))
135 difss 4136 . . . . . . . . 9 (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ⊆ ℂ
1365addcn 24887 . . . . . . . . . . 11 + ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld))
137136a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → + ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
138 1cnd 11256 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
139 cncfmptc 24938 . . . . . . . . . . 11 ((1 ∈ ℂ ∧ (0[,]1) ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ 1) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ))
140138, 22, 23, 139syl3anc 1373 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ 1) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ))
1415, 137, 28, 140cncfmpt2f 24941 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ))
142 cncfcdm 24924 . . . . . . . . 9 (((ℂ ∖ (-∞(,]0)) ⊆ ℂ ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ)) → ((𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) ∈ ((0[,]1)–cn→(ℂ ∖ (-∞(,]0))) ↔ (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)):(0[,]1)⟶(ℂ ∖ (-∞(,]0))))
143135, 141, 142sylancr 587 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) ∈ ((0[,]1)–cn→(ℂ ∖ (-∞(,]0))) ↔ (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)):(0[,]1)⟶(ℂ ∖ (-∞(,]0))))
144134, 143mpbird 257 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) ∈ ((0[,]1)–cn→(ℂ ∖ (-∞(,]0))))
145144, 31cncfco 24933 . . . . . 6 (𝜑 → ((log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0))) ∘ (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ))
146133, 145eqeltrrd 2842 . . . . 5 (𝜑 → (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ))
1475, 7, 28, 146cncfmpt2f 24941 . . . 4 (𝜑 → (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) − (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)))) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ))
14820a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
14919a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → (0[,]1) ⊆ ℝ)
15029logdmn0 26682 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1) ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) → (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1) ≠ 0)
151129, 150syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡 ∈ (0[,]1)) → (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1) ≠ 0)
15240, 151logcld 26612 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 ∈ (0[,]1)) → (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) ∈ ℂ)
15338, 152subcld 11620 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 ∈ (0[,]1)) → (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) − (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))) ∈ ℂ)
154 tgioo4 24826 . . . . . . . 8 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
155 0re 11263 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℝ
156 iccntr 24843 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(0[,]1)) = (0(,)1))
157155, 4, 156sylancr 587 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(0[,]1)) = (0(,)1))
158148, 149, 153, 154, 5, 157dvmptntr 26009 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℝ D (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) − (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))) = (ℝ D (𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) − (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))))
159 reelprrecn 11247 . . . . . . . . 9 ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
160159a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
16113adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → 𝐴 ∈ ℂ)
16216adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → 𝑁 ∈ ℂ)
16317adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → 𝑁 ≠ 0)
164161, 162, 163divcld 12043 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (𝐴 / 𝑁) ∈ ℂ)
165 ioossicc 13473 . . . . . . . . . . 11 (0(,)1) ⊆ (0[,]1)
166165sseli 3979 . . . . . . . . . 10 (𝑡 ∈ (0(,)1) → 𝑡 ∈ (0[,]1))
167166, 37sylan2 593 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → 𝑡 ∈ ℂ)
168164, 167mulcld 11281 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) ∈ ℂ)
16913adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℂ)
17016adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ) → 𝑁 ∈ ℂ)
17117adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ) → 𝑁 ≠ 0)
172169, 170, 171divcld 12043 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ) → (𝐴 / 𝑁) ∈ ℂ)
173148sselda 3983 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ) → 𝑡 ∈ ℂ)
174172, 173mulcld 11281 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ) → ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) ∈ ℂ)
175 1cnd 11256 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℂ)
176160dvmptid 25995 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (ℝ D (𝑡 ∈ ℝ ↦ 𝑡)) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ 1))
177160, 173, 175, 176, 18dvmptcmul 26002 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (ℝ D (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((𝐴 / 𝑁) · 1)))
17818mulridd 11278 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐴 / 𝑁) · 1) = (𝐴 / 𝑁))
179178mpteq2dv 5244 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((𝐴 / 𝑁) · 1)) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ (𝐴 / 𝑁)))
180177, 179eqtrd 2777 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℝ D (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ (𝐴 / 𝑁)))
181165, 149sstrid 3995 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (0(,)1) ⊆ ℝ)
182 retop 24782 . . . . . . . . . . 11 (topGen‘ran (,)) ∈ Top
183 iooretop 24786 . . . . . . . . . . 11 (0(,)1) ∈ (topGen‘ran (,))
184 isopn3i 23090 . . . . . . . . . . 11 (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ (0(,)1) ∈ (topGen‘ran (,))) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(0(,)1)) = (0(,)1))
185182, 183, 184mp2an 692 . . . . . . . . . 10 ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(0(,)1)) = (0(,)1)
186185a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(0(,)1)) = (0(,)1))
187160, 174, 172, 180, 181, 154, 5, 186dvmptres2 26000 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℝ D (𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))) = (𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ (𝐴 / 𝑁)))
188166, 152sylan2 593 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) ∈ ℂ)
189 1cnd 11256 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → 1 ∈ ℂ)
190168, 189addcld 11280 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1) ∈ ℂ)
191166, 151sylan2 593 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1) ≠ 0)
192190, 191reccld 12036 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) ∈ ℂ)
193192, 164mulcld 11281 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁)) ∈ ℂ)
194 cnelprrecn 11248 . . . . . . . . . 10 ℂ ∈ {ℝ, ℂ}
195194a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ℂ ∈ {ℝ, ℂ})
196166, 129sylan2 593 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1) ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))
197 eldifi 4131 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) → 𝑦 ∈ ℂ)
198197adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0))) → 𝑦 ∈ ℂ)
19929logdmn0 26682 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) → 𝑦 ≠ 0)
200199adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0))) → 𝑦 ≠ 0)
201198, 200logcld 26612 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0))) → (log‘𝑦) ∈ ℂ)
202198, 200reccld 12036 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0))) → (1 / 𝑦) ∈ ℂ)
203174, 175addcld 11280 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ) → (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1) ∈ ℂ)
204 0cnd 11254 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ) → 0 ∈ ℂ)
205160, 138dvmptc 25996 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (ℝ D (𝑡 ∈ ℝ ↦ 1)) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ 0))
206160, 174, 172, 180, 175, 204, 205dvmptadd 25998 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (ℝ D (𝑡 ∈ ℝ ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((𝐴 / 𝑁) + 0)))
20718addridd 11461 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐴 / 𝑁) + 0) = (𝐴 / 𝑁))
208207mpteq2dv 5244 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((𝐴 / 𝑁) + 0)) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ (𝐴 / 𝑁)))
209206, 208eqtrd 2777 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (ℝ D (𝑡 ∈ ℝ ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ (𝐴 / 𝑁)))
210160, 203, 172, 209, 181, 154, 5, 186dvmptres2 26000 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℝ D (𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))) = (𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ (𝐴 / 𝑁)))
21133feqmptd 6977 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0))) = (𝑦 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ↦ ((log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))‘𝑦)))
212 fvres 6925 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) → ((log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))‘𝑦) = (log‘𝑦))
213212mpteq2ia 5245 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ↦ ((log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))‘𝑦)) = (𝑦 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ↦ (log‘𝑦))
214211, 213eqtr2di 2794 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑦 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ↦ (log‘𝑦)) = (log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0))))
215214oveq2d 7447 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (ℂ D (𝑦 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ↦ (log‘𝑦))) = (ℂ D (log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))))
21629dvlog 26693 . . . . . . . . . 10 (ℂ D (log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))) = (𝑦 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ↦ (1 / 𝑦))
217215, 216eqtrdi 2793 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℂ D (𝑦 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ↦ (log‘𝑦))) = (𝑦 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ↦ (1 / 𝑦)))
218 fveq2 6906 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1) → (log‘𝑦) = (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)))
219 oveq2 7439 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1) → (1 / 𝑦) = (1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)))
220160, 195, 196, 164, 201, 202, 210, 217, 218, 219dvmptco 26010 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℝ D (𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)))) = (𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁))))
221160, 168, 164, 187, 188, 193, 220dvmptsub 26005 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℝ D (𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) − (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))) = (𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ ((𝐴 / 𝑁) − ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁)))))
222158, 221eqtrd 2777 . . . . . 6 (𝜑 → (ℝ D (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) − (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))) = (𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ ((𝐴 / 𝑁) − ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁)))))
223222dmeqd 5916 . . . . 5 (𝜑 → dom (ℝ D (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) − (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))) = dom (𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ ((𝐴 / 𝑁) − ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁)))))
224 ovex 7464 . . . . . 6 ((𝐴 / 𝑁) − ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁))) ∈ V
225 eqid 2737 . . . . . 6 (𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ ((𝐴 / 𝑁) − ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁)))) = (𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ ((𝐴 / 𝑁) − ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁))))
226224, 225dmmpti 6712 . . . . 5 dom (𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ ((𝐴 / 𝑁) − ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁)))) = (0(,)1)
227223, 226eqtrdi 2793 . . . 4 (𝜑 → dom (ℝ D (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) − (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))) = (0(,)1))
228 2re 12340 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℝ
229228a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
230229, 52remulcld 11291 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (2 · 𝑅) ∈ ℝ)
2318nnrpd 13075 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑅 ∈ ℝ+)
23252, 231ltaddrpd 13110 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑅 < (𝑅 + 𝑅))
23352recnd 11289 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑅 ∈ ℂ)
2342332timesd 12509 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (2 · 𝑅) = (𝑅 + 𝑅))
235232, 234breqtrrd 5171 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑅 < (2 · 𝑅))
23652, 230, 15, 235, 92ltletrd 11421 . . . . . . . 8 (𝜑𝑅 < 𝑁)
237 difrp 13073 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑅 < 𝑁 ↔ (𝑁𝑅) ∈ ℝ+))
23852, 15, 237syl2anc 584 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑅 < 𝑁 ↔ (𝑁𝑅) ∈ ℝ+))
239236, 238mpbid 232 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁𝑅) ∈ ℝ+)
240239rprecred 13088 . . . . . 6 (𝜑 → (1 / (𝑁𝑅)) ∈ ℝ)
24114nnrecred 12317 . . . . . 6 (𝜑 → (1 / 𝑁) ∈ ℝ)
242240, 241resubcld 11691 . . . . 5 (𝜑 → ((1 / (𝑁𝑅)) − (1 / 𝑁)) ∈ ℝ)
24352, 242remulcld 11291 . . . 4 (𝜑 → (𝑅 · ((1 / (𝑁𝑅)) − (1 / 𝑁))) ∈ ℝ)
244222fveq1d 6908 . . . . . . 7 (𝜑 → ((ℝ D (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) − (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)))))‘𝑦) = ((𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ ((𝐴 / 𝑁) − ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁))))‘𝑦))
245244fveq2d 6910 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘((ℝ D (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) − (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)))))‘𝑦)) = (abs‘((𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ ((𝐴 / 𝑁) − ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁))))‘𝑦)))
246245adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ (0(,)1)) → (abs‘((ℝ D (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) − (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)))))‘𝑦)) = (abs‘((𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ ((𝐴 / 𝑁) − ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁))))‘𝑦)))
247 nfv 1914 . . . . . . 7 𝑡(𝜑𝑦 ∈ (0(,)1))
248 nfcv 2905 . . . . . . . . 9 𝑡abs
249 nffvmpt1 6917 . . . . . . . . 9 𝑡((𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ ((𝐴 / 𝑁) − ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁))))‘𝑦)
250248, 249nffv 6916 . . . . . . . 8 𝑡(abs‘((𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ ((𝐴 / 𝑁) − ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁))))‘𝑦))
251 nfcv 2905 . . . . . . . 8 𝑡
252 nfcv 2905 . . . . . . . 8 𝑡(𝑅 · ((1 / (𝑁𝑅)) − (1 / 𝑁)))
253250, 251, 252nfbr 5190 . . . . . . 7 𝑡(abs‘((𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ ((𝐴 / 𝑁) − ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁))))‘𝑦)) ≤ (𝑅 · ((1 / (𝑁𝑅)) − (1 / 𝑁)))
254247, 253nfim 1896 . . . . . 6 𝑡((𝜑𝑦 ∈ (0(,)1)) → (abs‘((𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ ((𝐴 / 𝑁) − ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁))))‘𝑦)) ≤ (𝑅 · ((1 / (𝑁𝑅)) − (1 / 𝑁))))
255 eleq1w 2824 . . . . . . . 8 (𝑡 = 𝑦 → (𝑡 ∈ (0(,)1) ↔ 𝑦 ∈ (0(,)1)))
256255anbi2d 630 . . . . . . 7 (𝑡 = 𝑦 → ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) ↔ (𝜑𝑦 ∈ (0(,)1))))
257 2fveq3 6911 . . . . . . . 8 (𝑡 = 𝑦 → (abs‘((𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ ((𝐴 / 𝑁) − ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁))))‘𝑡)) = (abs‘((𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ ((𝐴 / 𝑁) − ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁))))‘𝑦)))
258257breq1d 5153 . . . . . . 7 (𝑡 = 𝑦 → ((abs‘((𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ ((𝐴 / 𝑁) − ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁))))‘𝑡)) ≤ (𝑅 · ((1 / (𝑁𝑅)) − (1 / 𝑁))) ↔ (abs‘((𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ ((𝐴 / 𝑁) − ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁))))‘𝑦)) ≤ (𝑅 · ((1 / (𝑁𝑅)) − (1 / 𝑁)))))
259256, 258imbi12d 344 . . . . . 6 (𝑡 = 𝑦 → (((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘((𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ ((𝐴 / 𝑁) − ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁))))‘𝑡)) ≤ (𝑅 · ((1 / (𝑁𝑅)) − (1 / 𝑁)))) ↔ ((𝜑𝑦 ∈ (0(,)1)) → (abs‘((𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ ((𝐴 / 𝑁) − ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁))))‘𝑦)) ≤ (𝑅 · ((1 / (𝑁𝑅)) − (1 / 𝑁))))))
260 simpr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → 𝑡 ∈ (0(,)1))
261225fvmpt2 7027 . . . . . . . . . 10 ((𝑡 ∈ (0(,)1) ∧ ((𝐴 / 𝑁) − ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁))) ∈ V) → ((𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ ((𝐴 / 𝑁) − ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁))))‘𝑡) = ((𝐴 / 𝑁) − ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁))))
262260, 224, 261sylancl 586 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ ((𝐴 / 𝑁) − ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁))))‘𝑡) = ((𝐴 / 𝑁) − ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁))))
263262fveq2d 6910 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘((𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ ((𝐴 / 𝑁) − ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁))))‘𝑡)) = (abs‘((𝐴 / 𝑁) − ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁)))))
264164, 189, 192subdid 11719 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝐴 / 𝑁) · (1 − (1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)))) = (((𝐴 / 𝑁) · 1) − ((𝐴 / 𝑁) · (1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)))))
265164mulridd 11278 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝐴 / 𝑁) · 1) = (𝐴 / 𝑁))
266164, 192mulcomd 11282 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝐴 / 𝑁) · (1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))) = ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁)))
267265, 266oveq12d 7449 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (((𝐴 / 𝑁) · 1) − ((𝐴 / 𝑁) · (1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)))) = ((𝐴 / 𝑁) − ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁))))
268264, 267eqtr2d 2778 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝐴 / 𝑁) − ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁))) = ((𝐴 / 𝑁) · (1 − (1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)))))
269268fveq2d 6910 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘((𝐴 / 𝑁) − ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁)))) = (abs‘((𝐴 / 𝑁) · (1 − (1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))))
270161, 162, 163absdivd 15494 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘(𝐴 / 𝑁)) = ((abs‘𝐴) / (abs‘𝑁)))
27115adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → 𝑁 ∈ ℝ)
27264adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → 0 ≤ 𝑁)
273271, 272absidd 15461 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘𝑁) = 𝑁)
274273oveq2d 7447 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((abs‘𝐴) / (abs‘𝑁)) = ((abs‘𝐴) / 𝑁))
275270, 274eqtrd 2777 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘(𝐴 / 𝑁)) = ((abs‘𝐴) / 𝑁))
276275oveq1d 7446 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((abs‘(𝐴 / 𝑁)) · (abs‘(1 − (1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))) = (((abs‘𝐴) / 𝑁) · (abs‘(1 − (1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))))
277189, 192subcld 11620 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (1 − (1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))) ∈ ℂ)
278164, 277absmuld 15493 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘((𝐴 / 𝑁) · (1 − (1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))) = ((abs‘(𝐴 / 𝑁)) · (abs‘(1 − (1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))))
27968adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
280279recnd 11289 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘𝐴) ∈ ℂ)
281277abscld 15475 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘(1 − (1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)))) ∈ ℝ)
282281recnd 11289 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘(1 − (1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)))) ∈ ℂ)
283280, 282, 162, 163div23d 12080 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (((abs‘𝐴) · (abs‘(1 − (1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))) / 𝑁) = (((abs‘𝐴) / 𝑁) · (abs‘(1 − (1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))))
284276, 278, 2833eqtr4d 2787 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘((𝐴 / 𝑁) · (1 − (1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))) = (((abs‘𝐴) · (abs‘(1 − (1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))) / 𝑁))
285263, 269, 2843eqtrd 2781 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘((𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ ((𝐴 / 𝑁) − ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁))))‘𝑡)) = (((abs‘𝐴) · (abs‘(1 − (1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))) / 𝑁))
28652adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → 𝑅 ∈ ℝ)
287240adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (1 / (𝑁𝑅)) ∈ ℝ)
288241adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (1 / 𝑁) ∈ ℝ)
289287, 288resubcld 11691 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((1 / (𝑁𝑅)) − (1 / 𝑁)) ∈ ℝ)
290271, 289remulcld 11291 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (𝑁 · ((1 / (𝑁𝑅)) − (1 / 𝑁))) ∈ ℝ)
29113absge0d 15483 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 ≤ (abs‘𝐴))
292291adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → 0 ≤ (abs‘𝐴))
293277absge0d 15483 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → 0 ≤ (abs‘(1 − (1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)))))
29478adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘𝐴) ≤ 𝑅)
295239adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (𝑁𝑅) ∈ ℝ+)
296231adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → 𝑅 ∈ ℝ+)
297295, 296rpdivcld 13094 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝑁𝑅) / 𝑅) ∈ ℝ+)
29812dmgmn0 27069 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝐴 ≠ 0)
299298adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → 𝐴 ≠ 0)
300161, 162, 299, 163divne0d 12059 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (𝐴 / 𝑁) ≠ 0)
301 eliooord 13446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑡 ∈ (0(,)1) → (0 < 𝑡𝑡 < 1))
302301adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (0 < 𝑡𝑡 < 1))
303302simpld 494 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → 0 < 𝑡)
304303gt0ne0d 11827 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → 𝑡 ≠ 0)
305164, 167, 300, 304mulne0d 11915 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) ≠ 0)
306168, 305reccld 12036 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) ∈ ℂ)
307189, 306addcld 11280 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (1 + (1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))) ∈ ℂ)
308168, 189, 168, 305divdird 12081 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1) / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) = ((((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) + (1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))))
309168, 305dividd 12041 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) = 1)
310309oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) + (1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))) = (1 + (1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))))
311308, 310eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1) / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) = (1 + (1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))))
312190, 168, 191, 305divne0d 12059 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1) / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) ≠ 0)
313311, 312eqnetrrd 3009 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (1 + (1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))) ≠ 0)
314307, 313absrpcld 15487 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘(1 + (1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)))) ∈ ℝ+)
315 1red 11262 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → 1 ∈ ℝ)
316 0le1 11786 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ≤ 1
317316a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → 0 ≤ 1)
318297rpred 13077 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝑁𝑅) / 𝑅) ∈ ℝ)
319306negcld 11607 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → -(1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) ∈ ℂ)
320319abscld 15475 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘-(1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))) ∈ ℝ)
321320, 315resubcld 11691 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((abs‘-(1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))) − 1) ∈ ℝ)
322307abscld 15475 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘(1 + (1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)))) ∈ ℝ)
323233adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → 𝑅 ∈ ℂ)
324296rpne0d 13082 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → 𝑅 ≠ 0)
325162, 323, 323, 324divsubdird 12082 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝑁𝑅) / 𝑅) = ((𝑁 / 𝑅) − (𝑅 / 𝑅)))
326323, 324dividd 12041 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (𝑅 / 𝑅) = 1)
327326oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝑁 / 𝑅) − (𝑅 / 𝑅)) = ((𝑁 / 𝑅) − 1))
328325, 327eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝑁𝑅) / 𝑅) = ((𝑁 / 𝑅) − 1))
329271, 296rerpdivcld 13108 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (𝑁 / 𝑅) ∈ ℝ)
330323, 162, 324, 163recdivd 12060 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (1 / (𝑅 / 𝑁)) = (𝑁 / 𝑅))
331166, 91sylan2 593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) ≤ (𝑅 / 𝑁))
332168, 305absrpcld 15487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) ∈ ℝ+)
33363adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → 𝑁 ∈ ℝ+)
334296, 333rpdivcld 13094 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (𝑅 / 𝑁) ∈ ℝ+)
335332, 334lerecd 13096 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((abs‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) ≤ (𝑅 / 𝑁) ↔ (1 / (𝑅 / 𝑁)) ≤ (1 / (abs‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)))))
336331, 335mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (1 / (𝑅 / 𝑁)) ≤ (1 / (abs‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))))
337330, 336eqbrtrrd 5167 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (𝑁 / 𝑅) ≤ (1 / (abs‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))))
338306absnegd 15488 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘-(1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))) = (abs‘(1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))))
339189, 168, 305absdivd 15494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘(1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))) = ((abs‘1) / (abs‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))))
340 abs1 15336 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (abs‘1) = 1
341340oveq1i 7441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((abs‘1) / (abs‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))) = (1 / (abs‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)))
342339, 341eqtrdi 2793 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘(1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))) = (1 / (abs‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))))
343338, 342eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘-(1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))) = (1 / (abs‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))))
344337, 343breqtrrd 5171 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (𝑁 / 𝑅) ≤ (abs‘-(1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))))
345329, 320, 315, 344lesub1dd 11879 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝑁 / 𝑅) − 1) ≤ ((abs‘-(1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))) − 1))
346328, 345eqbrtrd 5165 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝑁𝑅) / 𝑅) ≤ ((abs‘-(1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))) − 1))
347340oveq2i 7442 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((abs‘-(1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))) − (abs‘1)) = ((abs‘-(1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))) − 1)
348319, 189abs2difd 15496 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((abs‘-(1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))) − (abs‘1)) ≤ (abs‘(-(1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) − 1)))
349347, 348eqbrtrrid 5179 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((abs‘-(1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))) − 1) ≤ (abs‘(-(1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) − 1)))
350189, 306addcomd 11463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (1 + (1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))) = ((1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) + 1))
351350negeqd 11502 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → -(1 + (1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))) = -((1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) + 1))
352306, 189negdi2d 11634 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → -((1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) + 1) = (-(1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) − 1))
353351, 352eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → -(1 + (1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))) = (-(1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) − 1))
354353fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘-(1 + (1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)))) = (abs‘(-(1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) − 1)))
355307absnegd 15488 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘-(1 + (1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)))) = (abs‘(1 + (1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)))))
356354, 355eqtr3d 2779 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘(-(1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) − 1)) = (abs‘(1 + (1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)))))
357349, 356breqtrd 5169 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((abs‘-(1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))) − 1) ≤ (abs‘(1 + (1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)))))
358318, 321, 322, 346, 357letrd 11418 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝑁𝑅) / 𝑅) ≤ (abs‘(1 + (1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)))))
359297, 314, 315, 317, 358lediv2ad 13099 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (1 / (abs‘(1 + (1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))))) ≤ (1 / ((𝑁𝑅) / 𝑅)))
36016, 233subcld 11620 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑁𝑅) ∈ ℂ)
361360adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (𝑁𝑅) ∈ ℂ)
36252, 236gtned 11396 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑁𝑅)
36316, 233, 362subne0d 11629 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑁𝑅) ≠ 0)
364363adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (𝑁𝑅) ≠ 0)
365361, 323, 364, 324recdivd 12060 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (1 / ((𝑁𝑅) / 𝑅)) = (𝑅 / (𝑁𝑅)))
366162, 323nncand 11625 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (𝑁 − (𝑁𝑅)) = 𝑅)
367366oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝑁 − (𝑁𝑅)) / (𝑁𝑅)) = (𝑅 / (𝑁𝑅)))
368162, 361, 361, 364divsubdird 12082 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝑁 − (𝑁𝑅)) / (𝑁𝑅)) = ((𝑁 / (𝑁𝑅)) − ((𝑁𝑅) / (𝑁𝑅))))
369367, 368eqtr3d 2779 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (𝑅 / (𝑁𝑅)) = ((𝑁 / (𝑁𝑅)) − ((𝑁𝑅) / (𝑁𝑅))))
370361, 364dividd 12041 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝑁𝑅) / (𝑁𝑅)) = 1)
371370oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝑁 / (𝑁𝑅)) − ((𝑁𝑅) / (𝑁𝑅))) = ((𝑁 / (𝑁𝑅)) − 1))
372365, 369, 3713eqtrd 2781 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (1 / ((𝑁𝑅) / 𝑅)) = ((𝑁 / (𝑁𝑅)) − 1))
373359, 372breqtrd 5169 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (1 / (abs‘(1 + (1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))))) ≤ ((𝑁 / (𝑁𝑅)) − 1))
374190, 189, 190, 191divsubdird 12082 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (((((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1) − 1) / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) = (((((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1) / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) − (1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))
375168, 189pncand 11621 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1) − 1) = ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))
376375oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (((((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1) − 1) / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) = (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)))
377190, 191dividd 12041 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1) / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) = 1)
378377oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (((((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1) / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) − (1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))) = (1 − (1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))
379374, 376, 3783eqtr3rd 2786 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (1 − (1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))) = (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)))
380190, 168, 191, 305recdivd 12060 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (1 / ((((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1) / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))) = (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)))
381311oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (1 / ((((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1) / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))) = (1 / (1 + (1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)))))
382379, 380, 3813eqtr2d 2783 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (1 − (1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))) = (1 / (1 + (1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)))))
383382fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘(1 − (1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)))) = (abs‘(1 / (1 + (1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))))))
384189, 307, 313absdivd 15494 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘(1 / (1 + (1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))))) = ((abs‘1) / (abs‘(1 + (1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))))))
385340oveq1i 7441 . . . . . . . . . . . . 13 ((abs‘1) / (abs‘(1 + (1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))))) = (1 / (abs‘(1 + (1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)))))
386384, 385eqtrdi 2793 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘(1 / (1 + (1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))))) = (1 / (abs‘(1 + (1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))))))
387383, 386eqtrd 2777 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘(1 − (1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)))) = (1 / (abs‘(1 + (1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))))))
388360, 363reccld 12036 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (1 / (𝑁𝑅)) ∈ ℂ)
389388adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (1 / (𝑁𝑅)) ∈ ℂ)
390241recnd 11289 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (1 / 𝑁) ∈ ℂ)
391390adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (1 / 𝑁) ∈ ℂ)
392162, 389, 391subdid 11719 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (𝑁 · ((1 / (𝑁𝑅)) − (1 / 𝑁))) = ((𝑁 · (1 / (𝑁𝑅))) − (𝑁 · (1 / 𝑁))))
393162, 361, 364divrecd 12046 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (𝑁 / (𝑁𝑅)) = (𝑁 · (1 / (𝑁𝑅))))
394393eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (𝑁 · (1 / (𝑁𝑅))) = (𝑁 / (𝑁𝑅)))
395162, 163recidd 12038 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (𝑁 · (1 / 𝑁)) = 1)
396394, 395oveq12d 7449 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝑁 · (1 / (𝑁𝑅))) − (𝑁 · (1 / 𝑁))) = ((𝑁 / (𝑁𝑅)) − 1))
397392, 396eqtrd 2777 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (𝑁 · ((1 / (𝑁𝑅)) − (1 / 𝑁))) = ((𝑁 / (𝑁𝑅)) − 1))
398373, 387, 3973brtr4d 5175 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘(1 − (1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)))) ≤ (𝑁 · ((1 / (𝑁𝑅)) − (1 / 𝑁))))
399279, 286, 281, 290, 292, 293, 294, 398lemul12ad 12210 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((abs‘𝐴) · (abs‘(1 − (1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))) ≤ (𝑅 · (𝑁 · ((1 / (𝑁𝑅)) − (1 / 𝑁)))))
400242recnd 11289 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((1 / (𝑁𝑅)) − (1 / 𝑁)) ∈ ℂ)
401400adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((1 / (𝑁𝑅)) − (1 / 𝑁)) ∈ ℂ)
402323, 162, 401mul12d 11470 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (𝑅 · (𝑁 · ((1 / (𝑁𝑅)) − (1 / 𝑁)))) = (𝑁 · (𝑅 · ((1 / (𝑁𝑅)) − (1 / 𝑁)))))
403399, 402breqtrd 5169 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((abs‘𝐴) · (abs‘(1 − (1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))) ≤ (𝑁 · (𝑅 · ((1 / (𝑁𝑅)) − (1 / 𝑁)))))
404279, 281remulcld 11291 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((abs‘𝐴) · (abs‘(1 − (1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))) ∈ ℝ)
405243adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (𝑅 · ((1 / (𝑁𝑅)) − (1 / 𝑁))) ∈ ℝ)
406404, 405, 333ledivmuld 13130 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((((abs‘𝐴) · (abs‘(1 − (1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))) / 𝑁) ≤ (𝑅 · ((1 / (𝑁𝑅)) − (1 / 𝑁))) ↔ ((abs‘𝐴) · (abs‘(1 − (1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))) ≤ (𝑁 · (𝑅 · ((1 / (𝑁𝑅)) − (1 / 𝑁))))))
407403, 406mpbird 257 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (((abs‘𝐴) · (abs‘(1 − (1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))) / 𝑁) ≤ (𝑅 · ((1 / (𝑁𝑅)) − (1 / 𝑁))))
408285, 407eqbrtrd 5165 . . . . . 6 ((𝜑𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘((𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ ((𝐴 / 𝑁) − ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁))))‘𝑡)) ≤ (𝑅 · ((1 / (𝑁𝑅)) − (1 / 𝑁))))
409254, 259, 408chvarfv 2240 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ (0(,)1)) → (abs‘((𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ ((𝐴 / 𝑁) − ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁))))‘𝑦)) ≤ (𝑅 · ((1 / (𝑁𝑅)) − (1 / 𝑁))))
410246, 409eqbrtrd 5165 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ (0(,)1)) → (abs‘((ℝ D (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) − (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)))))‘𝑦)) ≤ (𝑅 · ((1 / (𝑁𝑅)) − (1 / 𝑁))))
4113, 4, 147, 227, 243, 410dvlip 26032 . . 3 ((𝜑 ∧ (1 ∈ (0[,]1) ∧ 0 ∈ (0[,]1))) → (abs‘(((𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) − (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))‘1) − ((𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) − (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))‘0))) ≤ ((𝑅 · ((1 / (𝑁𝑅)) − (1 / 𝑁))) · (abs‘(1 − 0))))
4121, 2, 411mpanr12 705 . 2 (𝜑 → (abs‘(((𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) − (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))‘1) − ((𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) − (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))‘0))) ≤ ((𝑅 · ((1 / (𝑁𝑅)) − (1 / 𝑁))) · (abs‘(1 − 0))))
413 eqidd 2738 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) − (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)))) = (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) − (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)))))
414 oveq2 7439 . . . . . . . 8 (𝑡 = 1 → ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) = ((𝐴 / 𝑁) · 1))
415414, 178sylan9eqr 2799 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡 = 1) → ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) = (𝐴 / 𝑁))
416415fvoveq1d 7453 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡 = 1) → (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) = (log‘((𝐴 / 𝑁) + 1)))
417415, 416oveq12d 7449 . . . . . 6 ((𝜑𝑡 = 1) → (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) − (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))) = ((𝐴 / 𝑁) − (log‘((𝐴 / 𝑁) + 1))))
4181a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → 1 ∈ (0[,]1))
419 ovexd 7466 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴 / 𝑁) − (log‘((𝐴 / 𝑁) + 1))) ∈ V)
420413, 417, 418, 419fvmptd 7023 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) − (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))‘1) = ((𝐴 / 𝑁) − (log‘((𝐴 / 𝑁) + 1))))
421 oveq2 7439 . . . . . . . . 9 (𝑡 = 0 → ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) = ((𝐴 / 𝑁) · 0))
42218mul01d 11460 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐴 / 𝑁) · 0) = 0)
423421, 422sylan9eqr 2799 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 = 0) → ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) = 0)
424423oveq1d 7446 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑡 = 0) → (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1) = (0 + 1))
425 0p1e1 12388 . . . . . . . . . . 11 (0 + 1) = 1
426424, 425eqtrdi 2793 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡 = 0) → (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1) = 1)
427426fveq2d 6910 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 = 0) → (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) = (log‘1))
428 log1 26627 . . . . . . . . 9 (log‘1) = 0
429427, 428eqtrdi 2793 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 = 0) → (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) = 0)
430423, 429oveq12d 7449 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡 = 0) → (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) − (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))) = (0 − 0))
431 0m0e0 12386 . . . . . . 7 (0 − 0) = 0
432430, 431eqtrdi 2793 . . . . . 6 ((𝜑𝑡 = 0) → (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) − (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))) = 0)
4332a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ∈ (0[,]1))
434413, 432, 433, 433fvmptd 7023 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) − (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))‘0) = 0)
435420, 434oveq12d 7449 . . . 4 (𝜑 → (((𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) − (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))‘1) − ((𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) − (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))‘0)) = (((𝐴 / 𝑁) − (log‘((𝐴 / 𝑁) + 1))) − 0))
43618, 138addcld 11280 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐴 / 𝑁) + 1) ∈ ℂ)
43712, 14dmgmdivn0 27071 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐴 / 𝑁) + 1) ≠ 0)
438436, 437logcld 26612 . . . . . 6 (𝜑 → (log‘((𝐴 / 𝑁) + 1)) ∈ ℂ)
43918, 438subcld 11620 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴 / 𝑁) − (log‘((𝐴 / 𝑁) + 1))) ∈ ℂ)
440439subid1d 11609 . . . 4 (𝜑 → (((𝐴 / 𝑁) − (log‘((𝐴 / 𝑁) + 1))) − 0) = ((𝐴 / 𝑁) − (log‘((𝐴 / 𝑁) + 1))))
441435, 440eqtr2d 2778 . . 3 (𝜑 → ((𝐴 / 𝑁) − (log‘((𝐴 / 𝑁) + 1))) = (((𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) − (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))‘1) − ((𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) − (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))‘0)))
442441fveq2d 6910 . 2 (𝜑 → (abs‘((𝐴 / 𝑁) − (log‘((𝐴 / 𝑁) + 1)))) = (abs‘(((𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) − (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))‘1) − ((𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) − (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))‘0))))
443 1m0e1 12387 . . . . . 6 (1 − 0) = 1
444443fveq2i 6909 . . . . 5 (abs‘(1 − 0)) = (abs‘1)
445444, 340eqtri 2765 . . . 4 (abs‘(1 − 0)) = 1
446445oveq2i 7442 . . 3 ((𝑅 · ((1 / (𝑁𝑅)) − (1 / 𝑁))) · (abs‘(1 − 0))) = ((𝑅 · ((1 / (𝑁𝑅)) − (1 / 𝑁))) · 1)
447233, 400mulcld 11281 . . . 4 (𝜑 → (𝑅 · ((1 / (𝑁𝑅)) − (1 / 𝑁))) ∈ ℂ)
448447mulridd 11278 . . 3 (𝜑 → ((𝑅 · ((1 / (𝑁𝑅)) − (1 / 𝑁))) · 1) = (𝑅 · ((1 / (𝑁𝑅)) − (1 / 𝑁))))
449446, 448eqtr2id 2790 . 2 (𝜑 → (𝑅 · ((1 / (𝑁𝑅)) − (1 / 𝑁))) = ((𝑅 · ((1 / (𝑁𝑅)) − (1 / 𝑁))) · (abs‘(1 − 0))))
450412, 442, 4493brtr4d 5175 1 (𝜑 → (abs‘((𝐴 / 𝑁) − (log‘((𝐴 / 𝑁) + 1)))) ≤ (𝑅 · ((1 / (𝑁𝑅)) − (1 / 𝑁))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  wral 3061  {crab 3436  Vcvv 3480  cdif 3948  wss 3951  {cpr 4628   class class class wbr 5143  cmpt 5225  dom cdm 5685  ran crn 5686  cres 5687  ccom 5689  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  cc 11153  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160  -∞cmnf 11293   < clt 11295  cle 11296  cmin 11492  -cneg 11493   / cdiv 11920  cn 12266  2c2 12321  0cn0 12526  cz 12613  +crp 13034  (,)cioo 13387  (,]cioc 13388  [,]cicc 13390  cre 15136  abscabs 15273  TopOpenctopn 17466  topGenctg 17482  fldccnfld 21364  Topctop 22899  intcnt 23025   Cn ccn 23232   ×t ctx 23568  cnccncf 24902   D cdv 25898  logclog 26596
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ioo 13391  df-ioc 13392  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14043  df-exp 14103  df-fac 14313  df-bc 14342  df-hash 14370  df-shft 15106  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-limsup 15507  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-sum 15723  df-ef 16103  df-sin 16105  df-cos 16106  df-tan 16107  df-pi 16108  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17467  df-topn 17468  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-topgen 17488  df-pt 17489  df-prds 17492  df-xrs 17547  df-qtop 17552  df-imas 17553  df-xps 17555  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-mulg 19086  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-fbas 21361  df-fg 21362  df-cnfld 21365  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-cld 23027  df-ntr 23028  df-cls 23029  df-nei 23106  df-lp 23144  df-perf 23145  df-cn 23235  df-cnp 23236  df-haus 23323  df-cmp 23395  df-tx 23570  df-hmeo 23763  df-fil 23854  df-fm 23946  df-flim 23947  df-flf 23948  df-xms 24330  df-ms 24331  df-tms 24332  df-cncf 24904  df-limc 25901  df-dv 25902  df-log 26598
This theorem is referenced by:  lgamgulmlem3  27074
  Copyright terms: Public domain W3C validator