| Step | Hyp | Ref
| Expression |
| 1 | | 1elunit 13510 |
. . 3
⊢ 1 ∈
(0[,]1) |
| 2 | | 0elunit 13509 |
. . 3
⊢ 0 ∈
(0[,]1) |
| 3 | | 0red 11264 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → 0 ∈
ℝ) |
| 4 | | 1red 11262 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → 1 ∈
ℝ) |
| 5 | | eqid 2737 |
. . . . 5
⊢
(TopOpen‘ℂfld) =
(TopOpen‘ℂfld) |
| 6 | 5 | subcn 24888 |
. . . . . 6
⊢ −
∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t
(TopOpen‘ℂfld)) Cn
(TopOpen‘ℂfld)) |
| 7 | 6 | a1i 11 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → − ∈
(((TopOpen‘ℂfld) ×t
(TopOpen‘ℂfld)) Cn
(TopOpen‘ℂfld))) |
| 8 | | lgamgulm.r |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℕ) |
| 9 | | lgamgulm.u |
. . . . . . . . . . 11
⊢ 𝑈 = {𝑥 ∈ ℂ ∣ ((abs‘𝑥) ≤ 𝑅 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝑥 + 𝑘)))} |
| 10 | 8, 9 | lgamgulmlem1 27072 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ (ℂ ∖ (ℤ ∖
ℕ))) |
| 11 | | lgamgulm.a |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑈) |
| 12 | 10, 11 | sseldd 3984 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖
ℕ))) |
| 13 | 12 | eldifad 3963 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ) |
| 14 | | lgamgulm.n |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ) |
| 15 | 14 | nnred 12281 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ) |
| 16 | 15 | recnd 11289 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ) |
| 17 | 14 | nnne0d 12316 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → 𝑁 ≠ 0) |
| 18 | 13, 16, 17 | divcld 12043 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝑁) ∈ ℂ) |
| 19 | | unitssre 13539 |
. . . . . . . . 9
⊢ (0[,]1)
⊆ ℝ |
| 20 | | ax-resscn 11212 |
. . . . . . . . 9
⊢ ℝ
⊆ ℂ |
| 21 | 19, 20 | sstri 3993 |
. . . . . . . 8
⊢ (0[,]1)
⊆ ℂ |
| 22 | 21 | a1i 11 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → (0[,]1) ⊆
ℂ) |
| 23 | | ssidd 4007 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → ℂ ⊆
ℂ) |
| 24 | | cncfmptc 24938 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝐴 / 𝑁) ∈ ℂ ∧ (0[,]1) ⊆
ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐴 / 𝑁)) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ)) |
| 25 | 18, 22, 23, 24 | syl3anc 1373 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐴 / 𝑁)) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ)) |
| 26 | | cncfmptid 24939 |
. . . . . . 7
⊢ (((0[,]1)
⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ 𝑡) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ)) |
| 27 | 21, 23, 26 | sylancr 587 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ 𝑡) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ)) |
| 28 | 25, 27 | mulcncf 25480 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ)) |
| 29 | | eqid 2737 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (ℂ
∖ (-∞(,]0)) = (ℂ ∖ (-∞(,]0)) |
| 30 | 29 | logcn 26689 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (log
↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0))) ∈ ((ℂ ∖
(-∞(,]0))–cn→ℂ) |
| 31 | 30 | a1i 11 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → (log ↾ (ℂ
∖ (-∞(,]0))) ∈ ((ℂ ∖ (-∞(,]0))–cn→ℂ)) |
| 32 | | cncff 24919 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((log
↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0))) ∈ ((ℂ ∖
(-∞(,]0))–cn→ℂ)
→ (log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0))):(ℂ ∖
(-∞(,]0))⟶ℂ) |
| 33 | 31, 32 | syl 17 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (log ↾ (ℂ
∖ (-∞(,]0))):(ℂ ∖
(-∞(,]0))⟶ℂ) |
| 34 | 18 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (𝐴 / 𝑁) ∈ ℂ) |
| 35 | | simpr 484 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → 𝑡 ∈ (0[,]1)) |
| 36 | 19, 35 | sselid 3981 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → 𝑡 ∈ ℝ) |
| 37 | 36 | recnd 11289 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → 𝑡 ∈ ℂ) |
| 38 | 34, 37 | mulcld 11281 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) ∈ ℂ) |
| 39 | | 1cnd 11256 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → 1 ∈
ℂ) |
| 40 | 38, 39 | addcld 11280 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1) ∈ ℂ) |
| 41 | | rere 15161 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1) ∈ ℝ →
(ℜ‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) = (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) |
| 42 | 41 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) ∧ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1) ∈ ℝ) →
(ℜ‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) = (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) |
| 43 | 40 | recld 15233 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) →
(ℜ‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) ∈ ℝ) |
| 44 | 38 | recld 15233 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (ℜ‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) ∈ ℝ) |
| 45 | 44 | recnd 11289 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (ℜ‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) ∈ ℂ) |
| 46 | 45 | abscld 15475 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) →
(abs‘(ℜ‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))) ∈ ℝ) |
| 47 | 38 | abscld 15475 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (abs‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) ∈ ℝ) |
| 48 | | 1red 11262 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → 1 ∈
ℝ) |
| 49 | | absrele 15347 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) ∈ ℂ →
(abs‘(ℜ‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))) ≤ (abs‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))) |
| 50 | 38, 49 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) →
(abs‘(ℜ‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))) ≤ (abs‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))) |
| 51 | 48 | rehalfcld 12513 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (1 / 2) ∈
ℝ) |
| 52 | 8 | nnred 12281 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ) |
| 53 | 52 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → 𝑅 ∈ ℝ) |
| 54 | 14 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → 𝑁 ∈ ℕ) |
| 55 | 53, 54 | nndivred 12320 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (𝑅 / 𝑁) ∈ ℝ) |
| 56 | 18 | abscld 15475 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 / 𝑁)) ∈ ℝ) |
| 57 | 56 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (abs‘(𝐴 / 𝑁)) ∈ ℝ) |
| 58 | 34 | absge0d 15483 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → 0 ≤
(abs‘(𝐴 / 𝑁))) |
| 59 | | elicc01 13506 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (𝑡 ∈ (0[,]1) ↔ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 0 ≤
𝑡 ∧ 𝑡 ≤ 1)) |
| 60 | 59 | simp2bi 1147 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (𝑡 ∈ (0[,]1) → 0 ≤
𝑡) |
| 61 | 60 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → 0 ≤ 𝑡) |
| 62 | 13, 16, 17 | absdivd 15494 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 / 𝑁)) = ((abs‘𝐴) / (abs‘𝑁))) |
| 63 | 14 | nnrpd 13075 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈
ℝ+) |
| 64 | 63 | rpge0d 13081 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑁) |
| 65 | 15, 64 | absidd 15461 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ (𝜑 → (abs‘𝑁) = 𝑁) |
| 66 | 65 | oveq2d 7447 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (𝜑 → ((abs‘𝐴) / (abs‘𝑁)) = ((abs‘𝐴) / 𝑁)) |
| 67 | 62, 66 | eqtr2d 2778 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (𝜑 → ((abs‘𝐴) / 𝑁) = (abs‘(𝐴 / 𝑁))) |
| 68 | 13 | abscld 15475 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) ∈
ℝ) |
| 69 | | fveq2 6906 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ (𝑥 = 𝐴 → (abs‘𝑥) = (abs‘𝐴)) |
| 70 | 69 | breq1d 5153 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((abs‘𝑥) ≤ 𝑅 ↔ (abs‘𝐴) ≤ 𝑅)) |
| 71 | | fvoveq1 7454 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ (𝑥 = 𝐴 → (abs‘(𝑥 + 𝑘)) = (abs‘(𝐴 + 𝑘))) |
| 72 | 71 | breq2d 5155 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝑥 + 𝑘)) ↔ (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝐴 + 𝑘)))) |
| 73 | 72 | ralbidv 3178 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ (𝑥 = 𝐴 → (∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝑥 + 𝑘)) ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝐴 + 𝑘)))) |
| 74 | 70, 73 | anbi12d 632 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ (𝑥 = 𝐴 → (((abs‘𝑥) ≤ 𝑅 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝑥 + 𝑘))) ↔ ((abs‘𝐴) ≤ 𝑅 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝐴 + 𝑘))))) |
| 75 | 74, 9 | elrab2 3695 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ (𝐴 ∈ 𝑈 ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ ((abs‘𝐴) ≤ 𝑅 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝐴 + 𝑘))))) |
| 76 | 75 | simprbi 496 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ (𝐴 ∈ 𝑈 → ((abs‘𝐴) ≤ 𝑅 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝐴 + 𝑘)))) |
| 77 | 11, 76 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ (𝜑 → ((abs‘𝐴) ≤ 𝑅 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝐴 + 𝑘)))) |
| 78 | 77 | simpld 494 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (𝜑 → (abs‘𝐴) ≤ 𝑅) |
| 79 | 68, 52, 63, 78 | lediv1dd 13135 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (𝜑 → ((abs‘𝐴) / 𝑁) ≤ (𝑅 / 𝑁)) |
| 80 | 67, 79 | eqbrtrrd 5167 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴 / 𝑁)) ≤ (𝑅 / 𝑁)) |
| 81 | 80 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (abs‘(𝐴 / 𝑁)) ≤ (𝑅 / 𝑁)) |
| 82 | 59 | simp3bi 1148 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (𝑡 ∈ (0[,]1) → 𝑡 ≤ 1) |
| 83 | 82 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → 𝑡 ≤ 1) |
| 84 | 57, 55, 36, 48, 58, 61, 81, 83 | lemul12ad 12210 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((abs‘(𝐴 / 𝑁)) · 𝑡) ≤ ((𝑅 / 𝑁) · 1)) |
| 85 | 34, 37 | absmuld 15493 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (abs‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) = ((abs‘(𝐴 / 𝑁)) · (abs‘𝑡))) |
| 86 | 36, 61 | absidd 15461 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (abs‘𝑡) = 𝑡) |
| 87 | 86 | oveq2d 7447 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((abs‘(𝐴 / 𝑁)) · (abs‘𝑡)) = ((abs‘(𝐴 / 𝑁)) · 𝑡)) |
| 88 | 85, 87 | eqtr2d 2778 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((abs‘(𝐴 / 𝑁)) · 𝑡) = (abs‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))) |
| 89 | 55 | recnd 11289 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (𝑅 / 𝑁) ∈ ℂ) |
| 90 | 89 | mulridd 11278 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((𝑅 / 𝑁) · 1) = (𝑅 / 𝑁)) |
| 91 | 84, 88, 90 | 3brtr3d 5174 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (abs‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) ≤ (𝑅 / 𝑁)) |
| 92 | | lgamgulm.l |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (𝜑 → (2 · 𝑅) ≤ 𝑁) |
| 93 | | 2rp 13039 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ 2 ∈
ℝ+ |
| 94 | 93 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (𝜑 → 2 ∈
ℝ+) |
| 95 | 52, 15, 94 | lemuldiv2d 13127 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑅) ≤ 𝑁 ↔ 𝑅 ≤ (𝑁 / 2))) |
| 96 | 92, 95 | mpbid 232 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (𝜑 → 𝑅 ≤ (𝑁 / 2)) |
| 97 | | 2cnd 12344 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (𝜑 → 2 ∈
ℂ) |
| 98 | | 2ne0 12370 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ 2 ≠
0 |
| 99 | 98 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (𝜑 → 2 ≠ 0) |
| 100 | 16, 97, 99 | divrecd 12046 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (𝜑 → (𝑁 / 2) = (𝑁 · (1 / 2))) |
| 101 | 96, 100 | breqtrd 5169 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝜑 → 𝑅 ≤ (𝑁 · (1 / 2))) |
| 102 | 4 | rehalfcld 12513 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (𝜑 → (1 / 2) ∈
ℝ) |
| 103 | 52, 102, 63 | ledivmuld 13130 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝜑 → ((𝑅 / 𝑁) ≤ (1 / 2) ↔ 𝑅 ≤ (𝑁 · (1 / 2)))) |
| 104 | 101, 103 | mpbird 257 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝜑 → (𝑅 / 𝑁) ≤ (1 / 2)) |
| 105 | 104 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (𝑅 / 𝑁) ≤ (1 / 2)) |
| 106 | 47, 55, 51, 91, 105 | letrd 11418 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (abs‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) ≤ (1 / 2)) |
| 107 | | halflt1 12484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (1 / 2)
< 1 |
| 108 | 107 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (1 / 2) <
1) |
| 109 | 47, 51, 48, 106, 108 | lelttrd 11419 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (abs‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) < 1) |
| 110 | 46, 47, 48, 50, 109 | lelttrd 11419 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) →
(abs‘(ℜ‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))) < 1) |
| 111 | 44, 48 | absltd 15468 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) →
((abs‘(ℜ‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))) < 1 ↔ (-1 <
(ℜ‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) ∧ (ℜ‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) < 1))) |
| 112 | 110, 111 | mpbid 232 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (-1 <
(ℜ‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) ∧ (ℜ‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) < 1)) |
| 113 | 112 | simpld 494 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → -1 <
(ℜ‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))) |
| 114 | 48 | renegcld 11690 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → -1 ∈
ℝ) |
| 115 | 114, 44 | posdifd 11850 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (-1 <
(ℜ‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) ↔ 0 < ((ℜ‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) − -1))) |
| 116 | 113, 115 | mpbid 232 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → 0 <
((ℜ‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) − -1)) |
| 117 | 45, 39 | subnegd 11627 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) →
((ℜ‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) − -1) = ((ℜ‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) + 1)) |
| 118 | 116, 117 | breqtrd 5169 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → 0 <
((ℜ‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) + 1)) |
| 119 | 38, 39 | readdd 15253 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) →
(ℜ‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) = ((ℜ‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) + (ℜ‘1))) |
| 120 | | re1 15193 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
(ℜ‘1) = 1 |
| 121 | 120 | oveq2i 7442 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
((ℜ‘((𝐴 /
𝑁) · 𝑡)) + (ℜ‘1)) =
((ℜ‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) + 1) |
| 122 | 119, 121 | eqtrdi 2793 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) →
(ℜ‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) = ((ℜ‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) + 1)) |
| 123 | 118, 122 | breqtrrd 5171 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → 0 <
(ℜ‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))) |
| 124 | 43, 123 | elrpd 13074 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) →
(ℜ‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) ∈
ℝ+) |
| 125 | 124 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) ∧ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1) ∈ ℝ) →
(ℜ‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) ∈
ℝ+) |
| 126 | 42, 125 | eqeltrrd 2842 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) ∧ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1) ∈ ℝ) → (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1) ∈
ℝ+) |
| 127 | 126 | ex 412 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1) ∈ ℝ → (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1) ∈
ℝ+)) |
| 128 | 29 | ellogdm 26681 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1) ∈ (ℂ ∖
(-∞(,]0)) ↔ ((((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1) ∈ ℂ ∧ ((((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1) ∈ ℝ → (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1) ∈
ℝ+))) |
| 129 | 40, 127, 128 | sylanbrc 583 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1) ∈ (ℂ ∖
(-∞(,]0))) |
| 130 | 33, 129 | cofmpt 7152 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → ((log ↾ (ℂ
∖ (-∞(,]0))) ∘ (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))) = (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((log ↾
(ℂ ∖ (-∞(,]0)))‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)))) |
| 131 | 129 | fvresd 6926 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → ((log ↾
(ℂ ∖ (-∞(,]0)))‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) = (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))) |
| 132 | 131 | mpteq2dva 5242 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ ((log ↾
(ℂ ∖ (-∞(,]0)))‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))) = (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)))) |
| 133 | 130, 132 | eqtrd 2777 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → ((log ↾ (ℂ
∖ (-∞(,]0))) ∘ (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))) = (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)))) |
| 134 | 129 | fmpttd 7135 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)):(0[,]1)⟶(ℂ ∖
(-∞(,]0))) |
| 135 | | difss 4136 |
. . . . . . . . 9
⊢ (ℂ
∖ (-∞(,]0)) ⊆ ℂ |
| 136 | 5 | addcn 24887 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ + ∈
(((TopOpen‘ℂfld) ×t
(TopOpen‘ℂfld)) Cn
(TopOpen‘ℂfld)) |
| 137 | 136 | a1i 11 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → + ∈
(((TopOpen‘ℂfld) ×t
(TopOpen‘ℂfld)) Cn
(TopOpen‘ℂfld))) |
| 138 | | 1cnd 11256 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → 1 ∈
ℂ) |
| 139 | | cncfmptc 24938 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((1
∈ ℂ ∧ (0[,]1) ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ)
→ (𝑡 ∈ (0[,]1)
↦ 1) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ)) |
| 140 | 138, 22, 23, 139 | syl3anc 1373 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ 1) ∈
((0[,]1)–cn→ℂ)) |
| 141 | 5, 137, 28, 140 | cncfmpt2f 24941 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ)) |
| 142 | | cncfcdm 24924 |
. . . . . . . . 9
⊢
(((ℂ ∖ (-∞(,]0)) ⊆ ℂ ∧ (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ)) → ((𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) ∈ ((0[,]1)–cn→(ℂ ∖ (-∞(,]0))) ↔ (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)):(0[,]1)⟶(ℂ ∖
(-∞(,]0)))) |
| 143 | 135, 141,
142 | sylancr 587 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → ((𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) ∈ ((0[,]1)–cn→(ℂ ∖ (-∞(,]0))) ↔ (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)):(0[,]1)⟶(ℂ ∖
(-∞(,]0)))) |
| 144 | 134, 143 | mpbird 257 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) ∈ ((0[,]1)–cn→(ℂ ∖
(-∞(,]0)))) |
| 145 | 144, 31 | cncfco 24933 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → ((log ↾ (ℂ
∖ (-∞(,]0))) ∘ (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ)) |
| 146 | 133, 145 | eqeltrrd 2842 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ)) |
| 147 | 5, 7, 28, 146 | cncfmpt2f 24941 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) − (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)))) ∈ ((0[,]1)–cn→ℂ)) |
| 148 | 20 | a1i 11 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → ℝ ⊆
ℂ) |
| 149 | 19 | a1i 11 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (0[,]1) ⊆
ℝ) |
| 150 | 29 | logdmn0 26682 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1) ∈ (ℂ ∖
(-∞(,]0)) → (((𝐴
/ 𝑁) · 𝑡) + 1) ≠ 0) |
| 151 | 129, 150 | syl 17 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1) ≠ 0) |
| 152 | 40, 151 | logcld 26612 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) ∈ ℂ) |
| 153 | 38, 152 | subcld 11620 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0[,]1)) → (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) − (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))) ∈ ℂ) |
| 154 | | tgioo4 24826 |
. . . . . . . 8
⊢
(topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld)
↾t ℝ) |
| 155 | | 0re 11263 |
. . . . . . . . 9
⊢ 0 ∈
ℝ |
| 156 | | iccntr 24843 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((0
∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((int‘(topGen‘ran
(,)))‘(0[,]1)) = (0(,)1)) |
| 157 | 155, 4, 156 | sylancr 587 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 →
((int‘(topGen‘ran (,)))‘(0[,]1)) = (0(,)1)) |
| 158 | 148, 149,
153, 154, 5, 157 | dvmptntr 26009 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) − (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))) = (ℝ D (𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) − (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)))))) |
| 159 | | reelprrecn 11247 |
. . . . . . . . 9
⊢ ℝ
∈ {ℝ, ℂ} |
| 160 | 159 | a1i 11 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → ℝ ∈ {ℝ,
ℂ}) |
| 161 | 13 | adantr 480 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → 𝐴 ∈ ℂ) |
| 162 | 16 | adantr 480 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → 𝑁 ∈ ℂ) |
| 163 | 17 | adantr 480 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → 𝑁 ≠ 0) |
| 164 | 161, 162,
163 | divcld 12043 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (𝐴 / 𝑁) ∈ ℂ) |
| 165 | | ioossicc 13473 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (0(,)1)
⊆ (0[,]1) |
| 166 | 165 | sseli 3979 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑡 ∈ (0(,)1) → 𝑡 ∈
(0[,]1)) |
| 167 | 166, 37 | sylan2 593 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → 𝑡 ∈ ℂ) |
| 168 | 164, 167 | mulcld 11281 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) ∈ ℂ) |
| 169 | 13 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℂ) |
| 170 | 16 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 𝑁 ∈ ℂ) |
| 171 | 17 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 𝑁 ≠ 0) |
| 172 | 169, 170,
171 | divcld 12043 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (𝐴 / 𝑁) ∈ ℂ) |
| 173 | 148 | sselda 3983 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 𝑡 ∈ ℂ) |
| 174 | 172, 173 | mulcld 11281 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) ∈ ℂ) |
| 175 | | 1cnd 11256 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 1 ∈
ℂ) |
| 176 | 160 | dvmptid 25995 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑡 ∈ ℝ ↦ 𝑡)) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ 1)) |
| 177 | 160, 173,
175, 176, 18 | dvmptcmul 26002 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((𝐴 / 𝑁) · 1))) |
| 178 | 18 | mulridd 11278 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 𝑁) · 1) = (𝐴 / 𝑁)) |
| 179 | 178 | mpteq2dv 5244 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((𝐴 / 𝑁) · 1)) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ (𝐴 / 𝑁))) |
| 180 | 177, 179 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ (𝐴 / 𝑁))) |
| 181 | 165, 149 | sstrid 3995 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → (0(,)1) ⊆
ℝ) |
| 182 | | retop 24782 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
(topGen‘ran (,)) ∈ Top |
| 183 | | iooretop 24786 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (0(,)1)
∈ (topGen‘ran (,)) |
| 184 | | isopn3i 23090 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
(((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ (0(,)1) ∈
(topGen‘ran (,))) → ((int‘(topGen‘ran
(,)))‘(0(,)1)) = (0(,)1)) |
| 185 | 182, 183,
184 | mp2an 692 |
. . . . . . . . . 10
⊢
((int‘(topGen‘ran (,)))‘(0(,)1)) =
(0(,)1) |
| 186 | 185 | a1i 11 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 →
((int‘(topGen‘ran (,)))‘(0(,)1)) = (0(,)1)) |
| 187 | 160, 174,
172, 180, 181, 154, 5, 186 | dvmptres2 26000 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))) = (𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ (𝐴 / 𝑁))) |
| 188 | 166, 152 | sylan2 593 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) ∈ ℂ) |
| 189 | | 1cnd 11256 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → 1 ∈
ℂ) |
| 190 | 168, 189 | addcld 11280 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1) ∈ ℂ) |
| 191 | 166, 151 | sylan2 593 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1) ≠ 0) |
| 192 | 190, 191 | reccld 12036 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) ∈ ℂ) |
| 193 | 192, 164 | mulcld 11281 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁)) ∈ ℂ) |
| 194 | | cnelprrecn 11248 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ℂ
∈ {ℝ, ℂ} |
| 195 | 194 | a1i 11 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → ℂ ∈ {ℝ,
ℂ}) |
| 196 | 166, 129 | sylan2 593 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1) ∈ (ℂ ∖
(-∞(,]0))) |
| 197 | | eldifi 4131 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑦 ∈ (ℂ ∖
(-∞(,]0)) → 𝑦
∈ ℂ) |
| 198 | 197 | adantl 481 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))
→ 𝑦 ∈
ℂ) |
| 199 | 29 | logdmn0 26682 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑦 ∈ (ℂ ∖
(-∞(,]0)) → 𝑦
≠ 0) |
| 200 | 199 | adantl 481 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))
→ 𝑦 ≠
0) |
| 201 | 198, 200 | logcld 26612 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))
→ (log‘𝑦) ∈
ℂ) |
| 202 | 198, 200 | reccld 12036 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))
→ (1 / 𝑦) ∈
ℂ) |
| 203 | 174, 175 | addcld 11280 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1) ∈ ℂ) |
| 204 | | 0cnd 11254 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 0 ∈
ℂ) |
| 205 | 160, 138 | dvmptc 25996 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑡 ∈ ℝ ↦ 1)) =
(𝑡 ∈ ℝ ↦
0)) |
| 206 | 160, 174,
172, 180, 175, 204, 205 | dvmptadd 25998 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑡 ∈ ℝ ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((𝐴 / 𝑁) + 0))) |
| 207 | 18 | addridd 11461 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 𝑁) + 0) = (𝐴 / 𝑁)) |
| 208 | 207 | mpteq2dv 5244 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((𝐴 / 𝑁) + 0)) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ (𝐴 / 𝑁))) |
| 209 | 206, 208 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑡 ∈ ℝ ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ (𝐴 / 𝑁))) |
| 210 | 160, 203,
172, 209, 181, 154, 5, 186 | dvmptres2 26000 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))) = (𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ (𝐴 / 𝑁))) |
| 211 | 33 | feqmptd 6977 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → (log ↾ (ℂ
∖ (-∞(,]0))) = (𝑦 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0))
↦ ((log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))‘𝑦))) |
| 212 | | fvres 6925 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑦 ∈ (ℂ ∖
(-∞(,]0)) → ((log ↾ (ℂ ∖
(-∞(,]0)))‘𝑦) =
(log‘𝑦)) |
| 213 | 212 | mpteq2ia 5245 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑦 ∈ (ℂ ∖
(-∞(,]0)) ↦ ((log ↾ (ℂ ∖
(-∞(,]0)))‘𝑦))
= (𝑦 ∈ (ℂ
∖ (-∞(,]0)) ↦ (log‘𝑦)) |
| 214 | 211, 213 | eqtr2di 2794 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0))
↦ (log‘𝑦)) =
(log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))) |
| 215 | 214 | oveq2d 7447 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (ℂ D (𝑦 ∈ (ℂ ∖
(-∞(,]0)) ↦ (log‘𝑦))) = (ℂ D (log ↾ (ℂ
∖ (-∞(,]0))))) |
| 216 | 29 | dvlog 26693 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (ℂ
D (log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))) = (𝑦 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0))
↦ (1 / 𝑦)) |
| 217 | 215, 216 | eqtrdi 2793 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → (ℂ D (𝑦 ∈ (ℂ ∖
(-∞(,]0)) ↦ (log‘𝑦))) = (𝑦 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0))
↦ (1 / 𝑦))) |
| 218 | | fveq2 6906 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑦 = (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1) → (log‘𝑦) = (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))) |
| 219 | | oveq2 7439 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑦 = (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1) → (1 / 𝑦) = (1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))) |
| 220 | 160, 195,
196, 164, 201, 202, 210, 217, 218, 219 | dvmptco 26010 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑡 ∈ (0(,)1) ↦
(log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)))) = (𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁)))) |
| 221 | 160, 168,
164, 187, 188, 193, 220 | dvmptsub 26005 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) − (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))) = (𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ ((𝐴 / 𝑁) − ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁))))) |
| 222 | 158, 221 | eqtrd 2777 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) − (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))) = (𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ ((𝐴 / 𝑁) − ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁))))) |
| 223 | 222 | dmeqd 5916 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → dom (ℝ D (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) − (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))) = dom (𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ ((𝐴 / 𝑁) − ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁))))) |
| 224 | | ovex 7464 |
. . . . . 6
⊢ ((𝐴 / 𝑁) − ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁))) ∈ V |
| 225 | | eqid 2737 |
. . . . . 6
⊢ (𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ ((𝐴 / 𝑁) − ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁)))) = (𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ ((𝐴 / 𝑁) − ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁)))) |
| 226 | 224, 225 | dmmpti 6712 |
. . . . 5
⊢ dom
(𝑡 ∈ (0(,)1) ↦
((𝐴 / 𝑁) − ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁)))) = (0(,)1) |
| 227 | 223, 226 | eqtrdi 2793 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → dom (ℝ D (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) − (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))) = (0(,)1)) |
| 228 | | 2re 12340 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ 2 ∈
ℝ |
| 229 | 228 | a1i 11 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → 2 ∈
ℝ) |
| 230 | 229, 52 | remulcld 11291 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → (2 · 𝑅) ∈
ℝ) |
| 231 | 8 | nnrpd 13075 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈
ℝ+) |
| 232 | 52, 231 | ltaddrpd 13110 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → 𝑅 < (𝑅 + 𝑅)) |
| 233 | 52 | recnd 11289 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℂ) |
| 234 | 233 | 2timesd 12509 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (2 · 𝑅) = (𝑅 + 𝑅)) |
| 235 | 232, 234 | breqtrrd 5171 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → 𝑅 < (2 · 𝑅)) |
| 236 | 52, 230, 15, 235, 92 | ltletrd 11421 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → 𝑅 < 𝑁) |
| 237 | | difrp 13073 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑅 < 𝑁 ↔ (𝑁 − 𝑅) ∈
ℝ+)) |
| 238 | 52, 15, 237 | syl2anc 584 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (𝑅 < 𝑁 ↔ (𝑁 − 𝑅) ∈
ℝ+)) |
| 239 | 236, 238 | mpbid 232 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → (𝑁 − 𝑅) ∈
ℝ+) |
| 240 | 239 | rprecred 13088 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → (1 / (𝑁 − 𝑅)) ∈ ℝ) |
| 241 | 14 | nnrecred 12317 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → (1 / 𝑁) ∈ ℝ) |
| 242 | 240, 241 | resubcld 11691 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → ((1 / (𝑁 − 𝑅)) − (1 / 𝑁)) ∈ ℝ) |
| 243 | 52, 242 | remulcld 11291 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → (𝑅 · ((1 / (𝑁 − 𝑅)) − (1 / 𝑁))) ∈ ℝ) |
| 244 | 222 | fveq1d 6908 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → ((ℝ D (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) − (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)))))‘𝑦) = ((𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ ((𝐴 / 𝑁) − ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁))))‘𝑦)) |
| 245 | 244 | fveq2d 6910 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → (abs‘((ℝ D
(𝑡 ∈ (0[,]1) ↦
(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) − (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)))))‘𝑦)) = (abs‘((𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ ((𝐴 / 𝑁) − ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁))))‘𝑦))) |
| 246 | 245 | adantr 480 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (0(,)1)) → (abs‘((ℝ
D (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦
(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) − (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)))))‘𝑦)) = (abs‘((𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ ((𝐴 / 𝑁) − ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁))))‘𝑦))) |
| 247 | | nfv 1914 |
. . . . . . 7
⊢
Ⅎ𝑡(𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (0(,)1)) |
| 248 | | nfcv 2905 |
. . . . . . . . 9
⊢
Ⅎ𝑡abs |
| 249 | | nffvmpt1 6917 |
. . . . . . . . 9
⊢
Ⅎ𝑡((𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ ((𝐴 / 𝑁) − ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁))))‘𝑦) |
| 250 | 248, 249 | nffv 6916 |
. . . . . . . 8
⊢
Ⅎ𝑡(abs‘((𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ ((𝐴 / 𝑁) − ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁))))‘𝑦)) |
| 251 | | nfcv 2905 |
. . . . . . . 8
⊢
Ⅎ𝑡
≤ |
| 252 | | nfcv 2905 |
. . . . . . . 8
⊢
Ⅎ𝑡(𝑅 · ((1 / (𝑁 − 𝑅)) − (1 / 𝑁))) |
| 253 | 250, 251,
252 | nfbr 5190 |
. . . . . . 7
⊢
Ⅎ𝑡(abs‘((𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ ((𝐴 / 𝑁) − ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁))))‘𝑦)) ≤ (𝑅 · ((1 / (𝑁 − 𝑅)) − (1 / 𝑁))) |
| 254 | 247, 253 | nfim 1896 |
. . . . . 6
⊢
Ⅎ𝑡((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (0(,)1)) → (abs‘((𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ ((𝐴 / 𝑁) − ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁))))‘𝑦)) ≤ (𝑅 · ((1 / (𝑁 − 𝑅)) − (1 / 𝑁)))) |
| 255 | | eleq1w 2824 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑡 = 𝑦 → (𝑡 ∈ (0(,)1) ↔ 𝑦 ∈ (0(,)1))) |
| 256 | 255 | anbi2d 630 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑡 = 𝑦 → ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) ↔ (𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (0(,)1)))) |
| 257 | | 2fveq3 6911 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑡 = 𝑦 → (abs‘((𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ ((𝐴 / 𝑁) − ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁))))‘𝑡)) = (abs‘((𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ ((𝐴 / 𝑁) − ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁))))‘𝑦))) |
| 258 | 257 | breq1d 5153 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑡 = 𝑦 → ((abs‘((𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ ((𝐴 / 𝑁) − ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁))))‘𝑡)) ≤ (𝑅 · ((1 / (𝑁 − 𝑅)) − (1 / 𝑁))) ↔ (abs‘((𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ ((𝐴 / 𝑁) − ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁))))‘𝑦)) ≤ (𝑅 · ((1 / (𝑁 − 𝑅)) − (1 / 𝑁))))) |
| 259 | 256, 258 | imbi12d 344 |
. . . . . 6
⊢ (𝑡 = 𝑦 → (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘((𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ ((𝐴 / 𝑁) − ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁))))‘𝑡)) ≤ (𝑅 · ((1 / (𝑁 − 𝑅)) − (1 / 𝑁)))) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (0(,)1)) → (abs‘((𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ ((𝐴 / 𝑁) − ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁))))‘𝑦)) ≤ (𝑅 · ((1 / (𝑁 − 𝑅)) − (1 / 𝑁)))))) |
| 260 | | simpr 484 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → 𝑡 ∈ (0(,)1)) |
| 261 | 225 | fvmpt2 7027 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝑡 ∈ (0(,)1) ∧ ((𝐴 / 𝑁) − ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁))) ∈ V) → ((𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ ((𝐴 / 𝑁) − ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁))))‘𝑡) = ((𝐴 / 𝑁) − ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁)))) |
| 262 | 260, 224,
261 | sylancl 586 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ ((𝐴 / 𝑁) − ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁))))‘𝑡) = ((𝐴 / 𝑁) − ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁)))) |
| 263 | 262 | fveq2d 6910 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘((𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ ((𝐴 / 𝑁) − ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁))))‘𝑡)) = (abs‘((𝐴 / 𝑁) − ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁))))) |
| 264 | 164, 189,
192 | subdid 11719 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝐴 / 𝑁) · (1 − (1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)))) = (((𝐴 / 𝑁) · 1) − ((𝐴 / 𝑁) · (1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))) |
| 265 | 164 | mulridd 11278 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝐴 / 𝑁) · 1) = (𝐴 / 𝑁)) |
| 266 | 164, 192 | mulcomd 11282 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝐴 / 𝑁) · (1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))) = ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁))) |
| 267 | 265, 266 | oveq12d 7449 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (((𝐴 / 𝑁) · 1) − ((𝐴 / 𝑁) · (1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)))) = ((𝐴 / 𝑁) − ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁)))) |
| 268 | 264, 267 | eqtr2d 2778 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝐴 / 𝑁) − ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁))) = ((𝐴 / 𝑁) · (1 − (1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))) |
| 269 | 268 | fveq2d 6910 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘((𝐴 / 𝑁) − ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁)))) = (abs‘((𝐴 / 𝑁) · (1 − (1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)))))) |
| 270 | 161, 162,
163 | absdivd 15494 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘(𝐴 / 𝑁)) = ((abs‘𝐴) / (abs‘𝑁))) |
| 271 | 15 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → 𝑁 ∈ ℝ) |
| 272 | 64 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → 0 ≤ 𝑁) |
| 273 | 271, 272 | absidd 15461 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘𝑁) = 𝑁) |
| 274 | 273 | oveq2d 7447 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((abs‘𝐴) / (abs‘𝑁)) = ((abs‘𝐴) / 𝑁)) |
| 275 | 270, 274 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘(𝐴 / 𝑁)) = ((abs‘𝐴) / 𝑁)) |
| 276 | 275 | oveq1d 7446 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((abs‘(𝐴 / 𝑁)) · (abs‘(1 − (1 /
(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))) = (((abs‘𝐴) / 𝑁) · (abs‘(1 − (1 /
(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)))))) |
| 277 | 189, 192 | subcld 11620 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (1 − (1 /
(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))) ∈ ℂ) |
| 278 | 164, 277 | absmuld 15493 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘((𝐴 / 𝑁) · (1 − (1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))) = ((abs‘(𝐴 / 𝑁)) · (abs‘(1 − (1 /
(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)))))) |
| 279 | 68 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘𝐴) ∈
ℝ) |
| 280 | 279 | recnd 11289 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘𝐴) ∈
ℂ) |
| 281 | 277 | abscld 15475 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘(1 −
(1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)))) ∈ ℝ) |
| 282 | 281 | recnd 11289 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘(1 −
(1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)))) ∈ ℂ) |
| 283 | 280, 282,
162, 163 | div23d 12080 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (((abs‘𝐴) · (abs‘(1 −
(1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))) / 𝑁) = (((abs‘𝐴) / 𝑁) · (abs‘(1 − (1 /
(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)))))) |
| 284 | 276, 278,
283 | 3eqtr4d 2787 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘((𝐴 / 𝑁) · (1 − (1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))) = (((abs‘𝐴) · (abs‘(1 − (1 /
(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))) / 𝑁)) |
| 285 | 263, 269,
284 | 3eqtrd 2781 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘((𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ ((𝐴 / 𝑁) − ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁))))‘𝑡)) = (((abs‘𝐴) · (abs‘(1 − (1 /
(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))) / 𝑁)) |
| 286 | 52 | adantr 480 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → 𝑅 ∈ ℝ) |
| 287 | 240 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (1 / (𝑁 − 𝑅)) ∈ ℝ) |
| 288 | 241 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (1 / 𝑁) ∈
ℝ) |
| 289 | 287, 288 | resubcld 11691 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((1 / (𝑁 − 𝑅)) − (1 / 𝑁)) ∈ ℝ) |
| 290 | 271, 289 | remulcld 11291 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (𝑁 · ((1 / (𝑁 − 𝑅)) − (1 / 𝑁))) ∈ ℝ) |
| 291 | 13 | absge0d 15483 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → 0 ≤ (abs‘𝐴)) |
| 292 | 291 | adantr 480 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → 0 ≤
(abs‘𝐴)) |
| 293 | 277 | absge0d 15483 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → 0 ≤ (abs‘(1
− (1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))) |
| 294 | 78 | adantr 480 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘𝐴) ≤ 𝑅) |
| 295 | 239 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (𝑁 − 𝑅) ∈
ℝ+) |
| 296 | 231 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → 𝑅 ∈
ℝ+) |
| 297 | 295, 296 | rpdivcld 13094 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝑁 − 𝑅) / 𝑅) ∈
ℝ+) |
| 298 | 12 | dmgmn0 27069 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0) |
| 299 | 298 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → 𝐴 ≠ 0) |
| 300 | 161, 162,
299, 163 | divne0d 12059 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (𝐴 / 𝑁) ≠ 0) |
| 301 | | eliooord 13446 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝑡 ∈ (0(,)1) → (0 <
𝑡 ∧ 𝑡 < 1)) |
| 302 | 301 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (0 < 𝑡 ∧ 𝑡 < 1)) |
| 303 | 302 | simpld 494 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → 0 < 𝑡) |
| 304 | 303 | gt0ne0d 11827 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → 𝑡 ≠ 0) |
| 305 | 164, 167,
300, 304 | mulne0d 11915 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) ≠ 0) |
| 306 | 168, 305 | reccld 12036 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) ∈ ℂ) |
| 307 | 189, 306 | addcld 11280 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (1 + (1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))) ∈ ℂ) |
| 308 | 168, 189,
168, 305 | divdird 12081 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1) / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) = ((((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) + (1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)))) |
| 309 | 168, 305 | dividd 12041 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) = 1) |
| 310 | 309 | oveq1d 7446 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) + (1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))) = (1 + (1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)))) |
| 311 | 308, 310 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1) / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) = (1 + (1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)))) |
| 312 | 190, 168,
191, 305 | divne0d 12059 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1) / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) ≠ 0) |
| 313 | 311, 312 | eqnetrrd 3009 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (1 + (1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))) ≠ 0) |
| 314 | 307, 313 | absrpcld 15487 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘(1 + (1 /
((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)))) ∈
ℝ+) |
| 315 | | 1red 11262 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → 1 ∈
ℝ) |
| 316 | | 0le1 11786 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ 0 ≤
1 |
| 317 | 316 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → 0 ≤
1) |
| 318 | 297 | rpred 13077 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝑁 − 𝑅) / 𝑅) ∈ ℝ) |
| 319 | 306 | negcld 11607 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → -(1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) ∈ ℂ) |
| 320 | 319 | abscld 15475 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘-(1 /
((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))) ∈ ℝ) |
| 321 | 320, 315 | resubcld 11691 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((abs‘-(1 /
((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))) − 1) ∈
ℝ) |
| 322 | 307 | abscld 15475 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘(1 + (1 /
((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)))) ∈ ℝ) |
| 323 | 233 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → 𝑅 ∈ ℂ) |
| 324 | 296 | rpne0d 13082 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → 𝑅 ≠ 0) |
| 325 | 162, 323,
323, 324 | divsubdird 12082 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝑁 − 𝑅) / 𝑅) = ((𝑁 / 𝑅) − (𝑅 / 𝑅))) |
| 326 | 323, 324 | dividd 12041 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (𝑅 / 𝑅) = 1) |
| 327 | 326 | oveq2d 7447 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝑁 / 𝑅) − (𝑅 / 𝑅)) = ((𝑁 / 𝑅) − 1)) |
| 328 | 325, 327 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝑁 − 𝑅) / 𝑅) = ((𝑁 / 𝑅) − 1)) |
| 329 | 271, 296 | rerpdivcld 13108 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (𝑁 / 𝑅) ∈ ℝ) |
| 330 | 323, 162,
324, 163 | recdivd 12060 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (1 / (𝑅 / 𝑁)) = (𝑁 / 𝑅)) |
| 331 | 166, 91 | sylan2 593 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) ≤ (𝑅 / 𝑁)) |
| 332 | 168, 305 | absrpcld 15487 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) ∈
ℝ+) |
| 333 | 63 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → 𝑁 ∈
ℝ+) |
| 334 | 296, 333 | rpdivcld 13094 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (𝑅 / 𝑁) ∈
ℝ+) |
| 335 | 332, 334 | lerecd 13096 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((abs‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) ≤ (𝑅 / 𝑁) ↔ (1 / (𝑅 / 𝑁)) ≤ (1 / (abs‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))))) |
| 336 | 331, 335 | mpbid 232 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (1 / (𝑅 / 𝑁)) ≤ (1 / (abs‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)))) |
| 337 | 330, 336 | eqbrtrrd 5167 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (𝑁 / 𝑅) ≤ (1 / (abs‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)))) |
| 338 | 306 | absnegd 15488 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘-(1 /
((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))) = (abs‘(1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)))) |
| 339 | 189, 168,
305 | absdivd 15494 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘(1 /
((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))) = ((abs‘1) / (abs‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)))) |
| 340 | | abs1 15336 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢
(abs‘1) = 1 |
| 341 | 340 | oveq1i 7441 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
((abs‘1) / (abs‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))) = (1 / (abs‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))) |
| 342 | 339, 341 | eqtrdi 2793 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘(1 /
((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))) = (1 / (abs‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)))) |
| 343 | 338, 342 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘-(1 /
((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))) = (1 / (abs‘((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)))) |
| 344 | 337, 343 | breqtrrd 5171 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (𝑁 / 𝑅) ≤ (abs‘-(1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)))) |
| 345 | 329, 320,
315, 344 | lesub1dd 11879 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝑁 / 𝑅) − 1) ≤ ((abs‘-(1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))) − 1)) |
| 346 | 328, 345 | eqbrtrd 5165 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝑁 − 𝑅) / 𝑅) ≤ ((abs‘-(1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))) − 1)) |
| 347 | 340 | oveq2i 7442 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
((abs‘-(1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))) − (abs‘1)) = ((abs‘-(1
/ ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))) − 1) |
| 348 | 319, 189 | abs2difd 15496 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((abs‘-(1 /
((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))) − (abs‘1)) ≤
(abs‘(-(1 / ((𝐴 /
𝑁) · 𝑡)) − 1))) |
| 349 | 347, 348 | eqbrtrrid 5179 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((abs‘-(1 /
((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))) − 1) ≤ (abs‘(-(1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) − 1))) |
| 350 | 189, 306 | addcomd 11463 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (1 + (1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))) = ((1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) + 1)) |
| 351 | 350 | negeqd 11502 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → -(1 + (1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))) = -((1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) + 1)) |
| 352 | 306, 189 | negdi2d 11634 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → -((1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) + 1) = (-(1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) − 1)) |
| 353 | 351, 352 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → -(1 + (1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))) = (-(1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) − 1)) |
| 354 | 353 | fveq2d 6910 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘-(1 + (1 /
((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)))) = (abs‘(-(1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) − 1))) |
| 355 | 307 | absnegd 15488 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘-(1 + (1 /
((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)))) = (abs‘(1 + (1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))))) |
| 356 | 354, 355 | eqtr3d 2779 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘(-(1 /
((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) − 1)) = (abs‘(1 + (1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))))) |
| 357 | 349, 356 | breqtrd 5169 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((abs‘-(1 /
((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))) − 1) ≤ (abs‘(1 + (1 /
((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))))) |
| 358 | 318, 321,
322, 346, 357 | letrd 11418 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝑁 − 𝑅) / 𝑅) ≤ (abs‘(1 + (1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))))) |
| 359 | 297, 314,
315, 317, 358 | lediv2ad 13099 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (1 / (abs‘(1 +
(1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))))) ≤ (1 / ((𝑁 − 𝑅) / 𝑅))) |
| 360 | 16, 233 | subcld 11620 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → (𝑁 − 𝑅) ∈ ℂ) |
| 361 | 360 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (𝑁 − 𝑅) ∈ ℂ) |
| 362 | 52, 236 | gtned 11396 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜑 → 𝑁 ≠ 𝑅) |
| 363 | 16, 233, 362 | subne0d 11629 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → (𝑁 − 𝑅) ≠ 0) |
| 364 | 363 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (𝑁 − 𝑅) ≠ 0) |
| 365 | 361, 323,
364, 324 | recdivd 12060 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (1 / ((𝑁 − 𝑅) / 𝑅)) = (𝑅 / (𝑁 − 𝑅))) |
| 366 | 162, 323 | nncand 11625 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (𝑁 − (𝑁 − 𝑅)) = 𝑅) |
| 367 | 366 | oveq1d 7446 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝑁 − (𝑁 − 𝑅)) / (𝑁 − 𝑅)) = (𝑅 / (𝑁 − 𝑅))) |
| 368 | 162, 361,
361, 364 | divsubdird 12082 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝑁 − (𝑁 − 𝑅)) / (𝑁 − 𝑅)) = ((𝑁 / (𝑁 − 𝑅)) − ((𝑁 − 𝑅) / (𝑁 − 𝑅)))) |
| 369 | 367, 368 | eqtr3d 2779 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (𝑅 / (𝑁 − 𝑅)) = ((𝑁 / (𝑁 − 𝑅)) − ((𝑁 − 𝑅) / (𝑁 − 𝑅)))) |
| 370 | 361, 364 | dividd 12041 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝑁 − 𝑅) / (𝑁 − 𝑅)) = 1) |
| 371 | 370 | oveq2d 7447 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝑁 / (𝑁 − 𝑅)) − ((𝑁 − 𝑅) / (𝑁 − 𝑅))) = ((𝑁 / (𝑁 − 𝑅)) − 1)) |
| 372 | 365, 369,
371 | 3eqtrd 2781 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (1 / ((𝑁 − 𝑅) / 𝑅)) = ((𝑁 / (𝑁 − 𝑅)) − 1)) |
| 373 | 359, 372 | breqtrd 5169 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (1 / (abs‘(1 +
(1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))))) ≤ ((𝑁 / (𝑁 − 𝑅)) − 1)) |
| 374 | 190, 189,
190, 191 | divsubdird 12082 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (((((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1) − 1) / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) = (((((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1) / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) − (1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)))) |
| 375 | 168, 189 | pncand 11621 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1) − 1) = ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)) |
| 376 | 375 | oveq1d 7446 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (((((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1) − 1) / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) = (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))) |
| 377 | 190, 191 | dividd 12041 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1) / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) = 1) |
| 378 | 377 | oveq1d 7446 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (((((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1) / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) − (1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))) = (1 − (1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)))) |
| 379 | 374, 376,
378 | 3eqtr3rd 2786 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (1 − (1 /
(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))) = (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))) |
| 380 | 190, 168,
191, 305 | recdivd 12060 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (1 / ((((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1) / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))) = (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))) |
| 381 | 311 | oveq2d 7447 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (1 / ((((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1) / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))) = (1 / (1 + (1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))))) |
| 382 | 379, 380,
381 | 3eqtr2d 2783 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (1 − (1 /
(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))) = (1 / (1 + (1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))))) |
| 383 | 382 | fveq2d 6910 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘(1 −
(1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)))) = (abs‘(1 / (1 + (1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)))))) |
| 384 | 189, 307,
313 | absdivd 15494 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘(1 / (1 +
(1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))))) = ((abs‘1) / (abs‘(1 + (1 /
((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)))))) |
| 385 | 340 | oveq1i 7441 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
((abs‘1) / (abs‘(1 + (1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))))) = (1 / (abs‘(1 + (1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))))) |
| 386 | 384, 385 | eqtrdi 2793 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘(1 / (1 +
(1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡))))) = (1 / (abs‘(1 + (1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)))))) |
| 387 | 383, 386 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘(1 −
(1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)))) = (1 / (abs‘(1 + (1 / ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡)))))) |
| 388 | 360, 363 | reccld 12036 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → (1 / (𝑁 − 𝑅)) ∈ ℂ) |
| 389 | 388 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (1 / (𝑁 − 𝑅)) ∈ ℂ) |
| 390 | 241 | recnd 11289 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → (1 / 𝑁) ∈ ℂ) |
| 391 | 390 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (1 / 𝑁) ∈
ℂ) |
| 392 | 162, 389,
391 | subdid 11719 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (𝑁 · ((1 / (𝑁 − 𝑅)) − (1 / 𝑁))) = ((𝑁 · (1 / (𝑁 − 𝑅))) − (𝑁 · (1 / 𝑁)))) |
| 393 | 162, 361,
364 | divrecd 12046 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (𝑁 / (𝑁 − 𝑅)) = (𝑁 · (1 / (𝑁 − 𝑅)))) |
| 394 | 393 | eqcomd 2743 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (𝑁 · (1 / (𝑁 − 𝑅))) = (𝑁 / (𝑁 − 𝑅))) |
| 395 | 162, 163 | recidd 12038 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (𝑁 · (1 / 𝑁)) = 1) |
| 396 | 394, 395 | oveq12d 7449 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((𝑁 · (1 / (𝑁 − 𝑅))) − (𝑁 · (1 / 𝑁))) = ((𝑁 / (𝑁 − 𝑅)) − 1)) |
| 397 | 392, 396 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (𝑁 · ((1 / (𝑁 − 𝑅)) − (1 / 𝑁))) = ((𝑁 / (𝑁 − 𝑅)) − 1)) |
| 398 | 373, 387,
397 | 3brtr4d 5175 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘(1 −
(1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)))) ≤ (𝑁 · ((1 / (𝑁 − 𝑅)) − (1 / 𝑁)))) |
| 399 | 279, 286,
281, 290, 292, 293, 294, 398 | lemul12ad 12210 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((abs‘𝐴) · (abs‘(1 −
(1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))) ≤ (𝑅 · (𝑁 · ((1 / (𝑁 − 𝑅)) − (1 / 𝑁))))) |
| 400 | 242 | recnd 11289 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → ((1 / (𝑁 − 𝑅)) − (1 / 𝑁)) ∈ ℂ) |
| 401 | 400 | adantr 480 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((1 / (𝑁 − 𝑅)) − (1 / 𝑁)) ∈ ℂ) |
| 402 | 323, 162,
401 | mul12d 11470 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (𝑅 · (𝑁 · ((1 / (𝑁 − 𝑅)) − (1 / 𝑁)))) = (𝑁 · (𝑅 · ((1 / (𝑁 − 𝑅)) − (1 / 𝑁))))) |
| 403 | 399, 402 | breqtrd 5169 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((abs‘𝐴) · (abs‘(1 −
(1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))) ≤ (𝑁 · (𝑅 · ((1 / (𝑁 − 𝑅)) − (1 / 𝑁))))) |
| 404 | 279, 281 | remulcld 11291 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((abs‘𝐴) · (abs‘(1 −
(1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))) ∈ ℝ) |
| 405 | 243 | adantr 480 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (𝑅 · ((1 / (𝑁 − 𝑅)) − (1 / 𝑁))) ∈ ℝ) |
| 406 | 404, 405,
333 | ledivmuld 13130 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → ((((abs‘𝐴) · (abs‘(1 −
(1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))) / 𝑁) ≤ (𝑅 · ((1 / (𝑁 − 𝑅)) − (1 / 𝑁))) ↔ ((abs‘𝐴) · (abs‘(1 − (1 /
(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))) ≤ (𝑁 · (𝑅 · ((1 / (𝑁 − 𝑅)) − (1 / 𝑁)))))) |
| 407 | 403, 406 | mpbird 257 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (((abs‘𝐴) · (abs‘(1 −
(1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))) / 𝑁) ≤ (𝑅 · ((1 / (𝑁 − 𝑅)) − (1 / 𝑁)))) |
| 408 | 285, 407 | eqbrtrd 5165 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (0(,)1)) → (abs‘((𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ ((𝐴 / 𝑁) − ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁))))‘𝑡)) ≤ (𝑅 · ((1 / (𝑁 − 𝑅)) − (1 / 𝑁)))) |
| 409 | 254, 259,
408 | chvarfv 2240 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (0(,)1)) → (abs‘((𝑡 ∈ (0(,)1) ↦ ((𝐴 / 𝑁) − ((1 / (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) · (𝐴 / 𝑁))))‘𝑦)) ≤ (𝑅 · ((1 / (𝑁 − 𝑅)) − (1 / 𝑁)))) |
| 410 | 246, 409 | eqbrtrd 5165 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (0(,)1)) → (abs‘((ℝ
D (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦
(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) − (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)))))‘𝑦)) ≤ (𝑅 · ((1 / (𝑁 − 𝑅)) − (1 / 𝑁)))) |
| 411 | 3, 4, 147, 227, 243, 410 | dvlip 26032 |
. . 3
⊢ ((𝜑 ∧ (1 ∈ (0[,]1) ∧ 0
∈ (0[,]1))) → (abs‘(((𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) − (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))‘1) − ((𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) − (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))‘0))) ≤ ((𝑅 · ((1 / (𝑁 − 𝑅)) − (1 / 𝑁))) · (abs‘(1 −
0)))) |
| 412 | 1, 2, 411 | mpanr12 705 |
. 2
⊢ (𝜑 → (abs‘(((𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) − (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))‘1) − ((𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) − (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))‘0))) ≤ ((𝑅 · ((1 / (𝑁 − 𝑅)) − (1 / 𝑁))) · (abs‘(1 −
0)))) |
| 413 | | eqidd 2738 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) − (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)))) = (𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) − (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))) |
| 414 | | oveq2 7439 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑡 = 1 → ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) = ((𝐴 / 𝑁) · 1)) |
| 415 | 414, 178 | sylan9eqr 2799 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 = 1) → ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) = (𝐴 / 𝑁)) |
| 416 | 415 | fvoveq1d 7453 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 = 1) → (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) = (log‘((𝐴 / 𝑁) + 1))) |
| 417 | 415, 416 | oveq12d 7449 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 = 1) → (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) − (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))) = ((𝐴 / 𝑁) − (log‘((𝐴 / 𝑁) + 1)))) |
| 418 | 1 | a1i 11 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → 1 ∈
(0[,]1)) |
| 419 | | ovexd 7466 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 𝑁) − (log‘((𝐴 / 𝑁) + 1))) ∈ V) |
| 420 | 413, 417,
418, 419 | fvmptd 7023 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → ((𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) − (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))‘1) = ((𝐴 / 𝑁) − (log‘((𝐴 / 𝑁) + 1)))) |
| 421 | | oveq2 7439 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑡 = 0 → ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) = ((𝐴 / 𝑁) · 0)) |
| 422 | 18 | mul01d 11460 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 𝑁) · 0) = 0) |
| 423 | 421, 422 | sylan9eqr 2799 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 = 0) → ((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) = 0) |
| 424 | 423 | oveq1d 7446 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 = 0) → (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1) = (0 + 1)) |
| 425 | | 0p1e1 12388 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (0 + 1) =
1 |
| 426 | 424, 425 | eqtrdi 2793 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 = 0) → (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1) = 1) |
| 427 | 426 | fveq2d 6910 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 = 0) → (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) = (log‘1)) |
| 428 | | log1 26627 |
. . . . . . . . 9
⊢
(log‘1) = 0 |
| 429 | 427, 428 | eqtrdi 2793 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 = 0) → (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1)) = 0) |
| 430 | 423, 429 | oveq12d 7449 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 = 0) → (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) − (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))) = (0 − 0)) |
| 431 | | 0m0e0 12386 |
. . . . . . 7
⊢ (0
− 0) = 0 |
| 432 | 430, 431 | eqtrdi 2793 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 = 0) → (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) − (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))) = 0) |
| 433 | 2 | a1i 11 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → 0 ∈
(0[,]1)) |
| 434 | 413, 432,
433, 433 | fvmptd 7023 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → ((𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) − (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))‘0) = 0) |
| 435 | 420, 434 | oveq12d 7449 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → (((𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) − (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))‘1) − ((𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) − (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))‘0)) = (((𝐴 / 𝑁) − (log‘((𝐴 / 𝑁) + 1))) − 0)) |
| 436 | 18, 138 | addcld 11280 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 𝑁) + 1) ∈ ℂ) |
| 437 | 12, 14 | dmgmdivn0 27071 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 𝑁) + 1) ≠ 0) |
| 438 | 436, 437 | logcld 26612 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → (log‘((𝐴 / 𝑁) + 1)) ∈ ℂ) |
| 439 | 18, 438 | subcld 11620 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 𝑁) − (log‘((𝐴 / 𝑁) + 1))) ∈ ℂ) |
| 440 | 439 | subid1d 11609 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → (((𝐴 / 𝑁) − (log‘((𝐴 / 𝑁) + 1))) − 0) = ((𝐴 / 𝑁) − (log‘((𝐴 / 𝑁) + 1)))) |
| 441 | 435, 440 | eqtr2d 2778 |
. . 3
⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 𝑁) − (log‘((𝐴 / 𝑁) + 1))) = (((𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) − (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))‘1) − ((𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) − (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))‘0))) |
| 442 | 441 | fveq2d 6910 |
. 2
⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐴 / 𝑁) − (log‘((𝐴 / 𝑁) + 1)))) = (abs‘(((𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) − (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))‘1) − ((𝑡 ∈ (0[,]1) ↦ (((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) − (log‘(((𝐴 / 𝑁) · 𝑡) + 1))))‘0)))) |
| 443 | | 1m0e1 12387 |
. . . . . 6
⊢ (1
− 0) = 1 |
| 444 | 443 | fveq2i 6909 |
. . . . 5
⊢
(abs‘(1 − 0)) = (abs‘1) |
| 445 | 444, 340 | eqtri 2765 |
. . . 4
⊢
(abs‘(1 − 0)) = 1 |
| 446 | 445 | oveq2i 7442 |
. . 3
⊢ ((𝑅 · ((1 / (𝑁 − 𝑅)) − (1 / 𝑁))) · (abs‘(1 − 0))) =
((𝑅 · ((1 / (𝑁 − 𝑅)) − (1 / 𝑁))) · 1) |
| 447 | 233, 400 | mulcld 11281 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → (𝑅 · ((1 / (𝑁 − 𝑅)) − (1 / 𝑁))) ∈ ℂ) |
| 448 | 447 | mulridd 11278 |
. . 3
⊢ (𝜑 → ((𝑅 · ((1 / (𝑁 − 𝑅)) − (1 / 𝑁))) · 1) = (𝑅 · ((1 / (𝑁 − 𝑅)) − (1 / 𝑁)))) |
| 449 | 446, 448 | eqtr2id 2790 |
. 2
⊢ (𝜑 → (𝑅 · ((1 / (𝑁 − 𝑅)) − (1 / 𝑁))) = ((𝑅 · ((1 / (𝑁 − 𝑅)) − (1 / 𝑁))) · (abs‘(1 −
0)))) |
| 450 | 412, 442,
449 | 3brtr4d 5175 |
1
⊢ (𝜑 → (abs‘((𝐴 / 𝑁) − (log‘((𝐴 / 𝑁) + 1)))) ≤ (𝑅 · ((1 / (𝑁 − 𝑅)) − (1 / 𝑁)))) |