Theorem lpadval 34713

Description: Value of the leftpad function. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
lpadval.1	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℕ0)
lpadval.2	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Word 𝑆)
lpadval.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
lpadval	⊢ (𝜑 → ((𝐶 leftpad 𝑊)‘𝐿) = (((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶}) ++ 𝑊))

Proof of Theorem lpadval

Dummy variables 𝑐 𝑙 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-lpad 34712	. . . 4 ⊢ leftpad = (𝑐 ∈ V, 𝑤 ∈ V ↦ (𝑙 ∈ ℕ0 ↦ (((0..^(𝑙 − (♯‘𝑤))) × {𝑐}) ++ 𝑤)))
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → leftpad = (𝑐 ∈ V, 𝑤 ∈ V ↦ (𝑙 ∈ ℕ0 ↦ (((0..^(𝑙 − (♯‘𝑤))) × {𝑐}) ++ 𝑤))))
3		simprr 772	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 = 𝐶 ∧ 𝑤 = 𝑊)) → 𝑤 = 𝑊)
4	3	fveq2d 6885	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 = 𝐶 ∧ 𝑤 = 𝑊)) → (♯‘𝑤) = (♯‘𝑊))
5	4	oveq2d 7426	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 = 𝐶 ∧ 𝑤 = 𝑊)) → (𝑙 − (♯‘𝑤)) = (𝑙 − (♯‘𝑊)))
6	5	oveq2d 7426	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 = 𝐶 ∧ 𝑤 = 𝑊)) → (0..^(𝑙 − (♯‘𝑤))) = (0..^(𝑙 − (♯‘𝑊))))
7		simprl 770	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 = 𝐶 ∧ 𝑤 = 𝑊)) → 𝑐 = 𝐶)
8	7	sneqd 4618	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 = 𝐶 ∧ 𝑤 = 𝑊)) → {𝑐} = {𝐶})
9	6, 8	xpeq12d 5690	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 = 𝐶 ∧ 𝑤 = 𝑊)) → ((0..^(𝑙 − (♯‘𝑤))) × {𝑐}) = ((0..^(𝑙 − (♯‘𝑊))) × {𝐶}))
10	9, 3	oveq12d 7428	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 = 𝐶 ∧ 𝑤 = 𝑊)) → (((0..^(𝑙 − (♯‘𝑤))) × {𝑐}) ++ 𝑤) = (((0..^(𝑙 − (♯‘𝑊))) × {𝐶}) ++ 𝑊))
11	10	mpteq2dv 5220	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 = 𝐶 ∧ 𝑤 = 𝑊)) → (𝑙 ∈ ℕ0 ↦ (((0..^(𝑙 − (♯‘𝑤))) × {𝑐}) ++ 𝑤)) = (𝑙 ∈ ℕ0 ↦ (((0..^(𝑙 − (♯‘𝑊))) × {𝐶}) ++ 𝑊)))
12		lpadval.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑆)
13	12	elexd 3488	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ V)
14		lpadval.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Word 𝑆)
15	14	elexd 3488	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ V)
16		nn0ex 12512	. . . . 5 ⊢ ℕ0 ∈ V
17	16	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ℕ0 ∈ V)
18	17	mptexd 7221	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑙 ∈ ℕ0 ↦ (((0..^(𝑙 − (♯‘𝑊))) × {𝐶}) ++ 𝑊)) ∈ V)
19	2, 11, 13, 15, 18	ovmpod 7564	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 leftpad 𝑊) = (𝑙 ∈ ℕ0 ↦ (((0..^(𝑙 − (♯‘𝑊))) × {𝐶}) ++ 𝑊)))
20		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑙 = 𝐿) → 𝑙 = 𝐿)
21	20	oveq1d 7425	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑙 = 𝐿) → (𝑙 − (♯‘𝑊)) = (𝐿 − (♯‘𝑊)))
22	21	oveq2d 7426	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑙 = 𝐿) → (0..^(𝑙 − (♯‘𝑊))) = (0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))))
23	22	xpeq1d 5688	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑙 = 𝐿) → ((0..^(𝑙 − (♯‘𝑊))) × {𝐶}) = ((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶}))
24	23	oveq1d 7425	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑙 = 𝐿) → (((0..^(𝑙 − (♯‘𝑊))) × {𝐶}) ++ 𝑊) = (((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶}) ++ 𝑊))
25		lpadval.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℕ0)
26		ovexd 7445	. 2 ⊢ (𝜑 → (((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶}) ++ 𝑊) ∈ V)
27	19, 24, 25, 26	fvmptd 6998	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 leftpad 𝑊)‘𝐿) = (((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶}) ++ 𝑊))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3464  {csn 4606   ↦ cmpt 5206   × cxp 5657  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410   ∈ cmpo 7412  0cc0 11134   − cmin 11471  ℕ₀cn0 12506  ..^cfzo 13676  ♯chash 14353  Word cword 14536   ++ cconcat 14593   leftpad clpad 34711

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-1cn 11192  ax-addcl 11194

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-nn 12246  df-n0 12507  df-lpad 34712

This theorem is referenced by:  lpadlen1  34716  lpadlen2  34718  lpadleft  34720  lpadright  34721