Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lpadval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lpadval 32368
Description: Value of the leftpad function. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Aug-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
lpadval.1 (𝜑𝐿 ∈ ℕ0)
lpadval.2 (𝜑𝑊 ∈ Word 𝑆)
lpadval.3 (𝜑𝐶𝑆)
Assertion
Ref Expression
lpadval (𝜑 → ((𝐶 leftpad 𝑊)‘𝐿) = (((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶}) ++ 𝑊))

Proof of Theorem lpadval
Dummy variables 𝑐 𝑙 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-lpad 32367 . . . 4 leftpad = (𝑐 ∈ V, 𝑤 ∈ V ↦ (𝑙 ∈ ℕ0 ↦ (((0..^(𝑙 − (♯‘𝑤))) × {𝑐}) ++ 𝑤)))
21a1i 11 . . 3 (𝜑 → leftpad = (𝑐 ∈ V, 𝑤 ∈ V ↦ (𝑙 ∈ ℕ0 ↦ (((0..^(𝑙 − (♯‘𝑤))) × {𝑐}) ++ 𝑤))))
3 simprr 773 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑐 = 𝐶𝑤 = 𝑊)) → 𝑤 = 𝑊)
43fveq2d 6721 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑐 = 𝐶𝑤 = 𝑊)) → (♯‘𝑤) = (♯‘𝑊))
54oveq2d 7229 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑐 = 𝐶𝑤 = 𝑊)) → (𝑙 − (♯‘𝑤)) = (𝑙 − (♯‘𝑊)))
65oveq2d 7229 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑐 = 𝐶𝑤 = 𝑊)) → (0..^(𝑙 − (♯‘𝑤))) = (0..^(𝑙 − (♯‘𝑊))))
7 simprl 771 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑐 = 𝐶𝑤 = 𝑊)) → 𝑐 = 𝐶)
87sneqd 4553 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑐 = 𝐶𝑤 = 𝑊)) → {𝑐} = {𝐶})
96, 8xpeq12d 5582 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑐 = 𝐶𝑤 = 𝑊)) → ((0..^(𝑙 − (♯‘𝑤))) × {𝑐}) = ((0..^(𝑙 − (♯‘𝑊))) × {𝐶}))
109, 3oveq12d 7231 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑐 = 𝐶𝑤 = 𝑊)) → (((0..^(𝑙 − (♯‘𝑤))) × {𝑐}) ++ 𝑤) = (((0..^(𝑙 − (♯‘𝑊))) × {𝐶}) ++ 𝑊))
1110mpteq2dv 5151 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑐 = 𝐶𝑤 = 𝑊)) → (𝑙 ∈ ℕ0 ↦ (((0..^(𝑙 − (♯‘𝑤))) × {𝑐}) ++ 𝑤)) = (𝑙 ∈ ℕ0 ↦ (((0..^(𝑙 − (♯‘𝑊))) × {𝐶}) ++ 𝑊)))
12 lpadval.3 . . . 4 (𝜑𝐶𝑆)
1312elexd 3428 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ V)
14 lpadval.2 . . . 4 (𝜑𝑊 ∈ Word 𝑆)
1514elexd 3428 . . 3 (𝜑𝑊 ∈ V)
16 nn0ex 12096 . . . . 5 0 ∈ V
1716a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ℕ0 ∈ V)
1817mptexd 7040 . . 3 (𝜑 → (𝑙 ∈ ℕ0 ↦ (((0..^(𝑙 − (♯‘𝑊))) × {𝐶}) ++ 𝑊)) ∈ V)
192, 11, 13, 15, 18ovmpod 7361 . 2 (𝜑 → (𝐶 leftpad 𝑊) = (𝑙 ∈ ℕ0 ↦ (((0..^(𝑙 − (♯‘𝑊))) × {𝐶}) ++ 𝑊)))
20 simpr 488 . . . . . 6 ((𝜑𝑙 = 𝐿) → 𝑙 = 𝐿)
2120oveq1d 7228 . . . . 5 ((𝜑𝑙 = 𝐿) → (𝑙 − (♯‘𝑊)) = (𝐿 − (♯‘𝑊)))
2221oveq2d 7229 . . . 4 ((𝜑𝑙 = 𝐿) → (0..^(𝑙 − (♯‘𝑊))) = (0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))))
2322xpeq1d 5580 . . 3 ((𝜑𝑙 = 𝐿) → ((0..^(𝑙 − (♯‘𝑊))) × {𝐶}) = ((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶}))
2423oveq1d 7228 . 2 ((𝜑𝑙 = 𝐿) → (((0..^(𝑙 − (♯‘𝑊))) × {𝐶}) ++ 𝑊) = (((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶}) ++ 𝑊))
25 lpadval.1 . 2 (𝜑𝐿 ∈ ℕ0)
26 ovexd 7248 . 2 (𝜑 → (((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶}) ++ 𝑊) ∈ V)
2719, 24, 25, 26fvmptd 6825 1 (𝜑 → ((𝐶 leftpad 𝑊)‘𝐿) = (((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶}) ++ 𝑊))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1543  wcel 2110  Vcvv 3408  {csn 4541  cmpt 5135   × cxp 5549  cfv 6380  (class class class)co 7213  cmpo 7215  0cc0 10729  cmin 11062  0cn0 12090  ..^cfzo 13238  chash 13896  Word cword 14069   ++ cconcat 14125   leftpad clpad 32366
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-1cn 10787  ax-addcl 10789
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-nn 11831  df-n0 12091  df-lpad 32367
This theorem is referenced by:  lpadlen1  32371  lpadlen2  32373  lpadleft  32375  lpadright  32376
  Copyright terms: Public domain W3C validator