Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lpadval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lpadval 34692
Description: Value of the leftpad function. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Aug-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
lpadval.1 (𝜑𝐿 ∈ ℕ0)
lpadval.2 (𝜑𝑊 ∈ Word 𝑆)
lpadval.3 (𝜑𝐶𝑆)
Assertion
Ref Expression
lpadval (𝜑 → ((𝐶 leftpad 𝑊)‘𝐿) = (((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶}) ++ 𝑊))

Proof of Theorem lpadval
Dummy variables 𝑐 𝑙 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-lpad 34691 . . . 4 leftpad = (𝑐 ∈ V, 𝑤 ∈ V ↦ (𝑙 ∈ ℕ0 ↦ (((0..^(𝑙 − (♯‘𝑤))) × {𝑐}) ++ 𝑤)))
21a1i 11 . . 3 (𝜑 → leftpad = (𝑐 ∈ V, 𝑤 ∈ V ↦ (𝑙 ∈ ℕ0 ↦ (((0..^(𝑙 − (♯‘𝑤))) × {𝑐}) ++ 𝑤))))
3 simprr 772 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑐 = 𝐶𝑤 = 𝑊)) → 𝑤 = 𝑊)
43fveq2d 6909 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑐 = 𝐶𝑤 = 𝑊)) → (♯‘𝑤) = (♯‘𝑊))
54oveq2d 7448 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑐 = 𝐶𝑤 = 𝑊)) → (𝑙 − (♯‘𝑤)) = (𝑙 − (♯‘𝑊)))
65oveq2d 7448 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑐 = 𝐶𝑤 = 𝑊)) → (0..^(𝑙 − (♯‘𝑤))) = (0..^(𝑙 − (♯‘𝑊))))
7 simprl 770 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑐 = 𝐶𝑤 = 𝑊)) → 𝑐 = 𝐶)
87sneqd 4637 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑐 = 𝐶𝑤 = 𝑊)) → {𝑐} = {𝐶})
96, 8xpeq12d 5715 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑐 = 𝐶𝑤 = 𝑊)) → ((0..^(𝑙 − (♯‘𝑤))) × {𝑐}) = ((0..^(𝑙 − (♯‘𝑊))) × {𝐶}))
109, 3oveq12d 7450 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑐 = 𝐶𝑤 = 𝑊)) → (((0..^(𝑙 − (♯‘𝑤))) × {𝑐}) ++ 𝑤) = (((0..^(𝑙 − (♯‘𝑊))) × {𝐶}) ++ 𝑊))
1110mpteq2dv 5243 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑐 = 𝐶𝑤 = 𝑊)) → (𝑙 ∈ ℕ0 ↦ (((0..^(𝑙 − (♯‘𝑤))) × {𝑐}) ++ 𝑤)) = (𝑙 ∈ ℕ0 ↦ (((0..^(𝑙 − (♯‘𝑊))) × {𝐶}) ++ 𝑊)))
12 lpadval.3 . . . 4 (𝜑𝐶𝑆)
1312elexd 3503 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ V)
14 lpadval.2 . . . 4 (𝜑𝑊 ∈ Word 𝑆)
1514elexd 3503 . . 3 (𝜑𝑊 ∈ V)
16 nn0ex 12534 . . . . 5 0 ∈ V
1716a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ℕ0 ∈ V)
1817mptexd 7245 . . 3 (𝜑 → (𝑙 ∈ ℕ0 ↦ (((0..^(𝑙 − (♯‘𝑊))) × {𝐶}) ++ 𝑊)) ∈ V)
192, 11, 13, 15, 18ovmpod 7586 . 2 (𝜑 → (𝐶 leftpad 𝑊) = (𝑙 ∈ ℕ0 ↦ (((0..^(𝑙 − (♯‘𝑊))) × {𝐶}) ++ 𝑊)))
20 simpr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑙 = 𝐿) → 𝑙 = 𝐿)
2120oveq1d 7447 . . . . 5 ((𝜑𝑙 = 𝐿) → (𝑙 − (♯‘𝑊)) = (𝐿 − (♯‘𝑊)))
2221oveq2d 7448 . . . 4 ((𝜑𝑙 = 𝐿) → (0..^(𝑙 − (♯‘𝑊))) = (0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))))
2322xpeq1d 5713 . . 3 ((𝜑𝑙 = 𝐿) → ((0..^(𝑙 − (♯‘𝑊))) × {𝐶}) = ((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶}))
2423oveq1d 7447 . 2 ((𝜑𝑙 = 𝐿) → (((0..^(𝑙 − (♯‘𝑊))) × {𝐶}) ++ 𝑊) = (((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶}) ++ 𝑊))
25 lpadval.1 . 2 (𝜑𝐿 ∈ ℕ0)
26 ovexd 7467 . 2 (𝜑 → (((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶}) ++ 𝑊) ∈ V)
2719, 24, 25, 26fvmptd 7022 1 (𝜑 → ((𝐶 leftpad 𝑊)‘𝐿) = (((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶}) ++ 𝑊))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1539  wcel 2107  Vcvv 3479  {csn 4625  cmpt 5224   × cxp 5682  cfv 6560  (class class class)co 7432  cmpo 7434  0cc0 11156  cmin 11493  0cn0 12528  ..^cfzo 13695  chash 14370  Word cword 14553   ++ cconcat 14609   leftpad clpad 34690
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-1cn 11214  ax-addcl 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-nn 12268  df-n0 12529  df-lpad 34691
This theorem is referenced by:  lpadlen1  34695  lpadlen2  34697  lpadleft  34699  lpadright  34700
  Copyright terms: Public domain W3C validator