Theorem lpadval 34820

Description: Value of the leftpad function. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
lpadval.1	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℕ0)
lpadval.2	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Word 𝑆)
lpadval.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
lpadval	⊢ (𝜑 → ((𝐶 leftpad 𝑊)‘𝐿) = (((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶}) ++ 𝑊))

Proof of Theorem lpadval

Dummy variables 𝑐 𝑙 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-lpad 34819	. . . 4 ⊢ leftpad = (𝑐 ∈ V, 𝑤 ∈ V ↦ (𝑙 ∈ ℕ0 ↦ (((0..^(𝑙 − (♯‘𝑤))) × {𝑐}) ++ 𝑤)))
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → leftpad = (𝑐 ∈ V, 𝑤 ∈ V ↦ (𝑙 ∈ ℕ0 ↦ (((0..^(𝑙 − (♯‘𝑤))) × {𝑐}) ++ 𝑤))))
3		simprr 773	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 = 𝐶 ∧ 𝑤 = 𝑊)) → 𝑤 = 𝑊)
4	3	fveq2d 6844	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 = 𝐶 ∧ 𝑤 = 𝑊)) → (♯‘𝑤) = (♯‘𝑊))
5	4	oveq2d 7383	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 = 𝐶 ∧ 𝑤 = 𝑊)) → (𝑙 − (♯‘𝑤)) = (𝑙 − (♯‘𝑊)))
6	5	oveq2d 7383	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 = 𝐶 ∧ 𝑤 = 𝑊)) → (0..^(𝑙 − (♯‘𝑤))) = (0..^(𝑙 − (♯‘𝑊))))
7		simprl 771	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 = 𝐶 ∧ 𝑤 = 𝑊)) → 𝑐 = 𝐶)
8	7	sneqd 4579	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 = 𝐶 ∧ 𝑤 = 𝑊)) → {𝑐} = {𝐶})
9	6, 8	xpeq12d 5662	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 = 𝐶 ∧ 𝑤 = 𝑊)) → ((0..^(𝑙 − (♯‘𝑤))) × {𝑐}) = ((0..^(𝑙 − (♯‘𝑊))) × {𝐶}))
10	9, 3	oveq12d 7385	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 = 𝐶 ∧ 𝑤 = 𝑊)) → (((0..^(𝑙 − (♯‘𝑤))) × {𝑐}) ++ 𝑤) = (((0..^(𝑙 − (♯‘𝑊))) × {𝐶}) ++ 𝑊))
11	10	mpteq2dv 5179	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 = 𝐶 ∧ 𝑤 = 𝑊)) → (𝑙 ∈ ℕ0 ↦ (((0..^(𝑙 − (♯‘𝑤))) × {𝑐}) ++ 𝑤)) = (𝑙 ∈ ℕ0 ↦ (((0..^(𝑙 − (♯‘𝑊))) × {𝐶}) ++ 𝑊)))
12		lpadval.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑆)
13	12	elexd 3453	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ V)
14		lpadval.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Word 𝑆)
15	14	elexd 3453	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ V)
16		nn0ex 12443	. . . . 5 ⊢ ℕ0 ∈ V
17	16	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ℕ0 ∈ V)
18	17	mptexd 7179	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑙 ∈ ℕ0 ↦ (((0..^(𝑙 − (♯‘𝑊))) × {𝐶}) ++ 𝑊)) ∈ V)
19	2, 11, 13, 15, 18	ovmpod 7519	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 leftpad 𝑊) = (𝑙 ∈ ℕ0 ↦ (((0..^(𝑙 − (♯‘𝑊))) × {𝐶}) ++ 𝑊)))
20		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑙 = 𝐿) → 𝑙 = 𝐿)
21	20	oveq1d 7382	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑙 = 𝐿) → (𝑙 − (♯‘𝑊)) = (𝐿 − (♯‘𝑊)))
22	21	oveq2d 7383	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑙 = 𝐿) → (0..^(𝑙 − (♯‘𝑊))) = (0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))))
23	22	xpeq1d 5660	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑙 = 𝐿) → ((0..^(𝑙 − (♯‘𝑊))) × {𝐶}) = ((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶}))
24	23	oveq1d 7382	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑙 = 𝐿) → (((0..^(𝑙 − (♯‘𝑊))) × {𝐶}) ++ 𝑊) = (((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶}) ++ 𝑊))
25		lpadval.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℕ0)
26		ovexd 7402	. 2 ⊢ (𝜑 → (((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶}) ++ 𝑊) ∈ V)
27	19, 24, 25, 26	fvmptd 6955	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 leftpad 𝑊)‘𝐿) = (((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶}) ++ 𝑊))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3429  {csn 4567   ↦ cmpt 5166   × cxp 5629  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367   ∈ cmpo 7369  0cc0 11038   − cmin 11377  ℕ₀cn0 12437  ..^cfzo 13608  ♯chash 14292  Word cword 14475   ++ cconcat 14532   leftpad clpad 34818

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-1cn 11096  ax-addcl 11098

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-nn 12175  df-n0 12438  df-lpad 34819

This theorem is referenced by:  lpadlen1  34823  lpadlen2  34825  lpadleft  34827  lpadright  34828