Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lpadval Structured version   Visualization version   GIF version

 Description: Value of the leftpad function. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Aug-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
Assertion
Ref Expression
lpadval (𝜑 → ((𝐶 leftpad 𝑊)‘𝐿) = (((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶}) ++ 𝑊))

Dummy variables 𝑐 𝑙 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-lpad 32122 . . . 4 leftpad = (𝑐 ∈ V, 𝑤 ∈ V ↦ (𝑙 ∈ ℕ0 ↦ (((0..^(𝑙 − (♯‘𝑤))) × {𝑐}) ++ 𝑤)))
21a1i 11 . . 3 (𝜑 → leftpad = (𝑐 ∈ V, 𝑤 ∈ V ↦ (𝑙 ∈ ℕ0 ↦ (((0..^(𝑙 − (♯‘𝑤))) × {𝑐}) ++ 𝑤))))
3 simprr 772 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑐 = 𝐶𝑤 = 𝑊)) → 𝑤 = 𝑊)
43fveq2d 6659 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑐 = 𝐶𝑤 = 𝑊)) → (♯‘𝑤) = (♯‘𝑊))
54oveq2d 7161 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑐 = 𝐶𝑤 = 𝑊)) → (𝑙 − (♯‘𝑤)) = (𝑙 − (♯‘𝑊)))
65oveq2d 7161 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑐 = 𝐶𝑤 = 𝑊)) → (0..^(𝑙 − (♯‘𝑤))) = (0..^(𝑙 − (♯‘𝑊))))
7 simprl 770 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑐 = 𝐶𝑤 = 𝑊)) → 𝑐 = 𝐶)
87sneqd 4540 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑐 = 𝐶𝑤 = 𝑊)) → {𝑐} = {𝐶})
96, 8xpeq12d 5554 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑐 = 𝐶𝑤 = 𝑊)) → ((0..^(𝑙 − (♯‘𝑤))) × {𝑐}) = ((0..^(𝑙 − (♯‘𝑊))) × {𝐶}))
109, 3oveq12d 7163 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑐 = 𝐶𝑤 = 𝑊)) → (((0..^(𝑙 − (♯‘𝑤))) × {𝑐}) ++ 𝑤) = (((0..^(𝑙 − (♯‘𝑊))) × {𝐶}) ++ 𝑊))
1110mpteq2dv 5130 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑐 = 𝐶𝑤 = 𝑊)) → (𝑙 ∈ ℕ0 ↦ (((0..^(𝑙 − (♯‘𝑤))) × {𝑐}) ++ 𝑤)) = (𝑙 ∈ ℕ0 ↦ (((0..^(𝑙 − (♯‘𝑊))) × {𝐶}) ++ 𝑊)))
12 lpadval.3 . . . 4 (𝜑𝐶𝑆)
1312elexd 3462 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ V)
14 lpadval.2 . . . 4 (𝜑𝑊 ∈ Word 𝑆)
1514elexd 3462 . . 3 (𝜑𝑊 ∈ V)
16 nn0ex 11909 . . . . 5 0 ∈ V
1716a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ℕ0 ∈ V)
1817mptexd 6974 . . 3 (𝜑 → (𝑙 ∈ ℕ0 ↦ (((0..^(𝑙 − (♯‘𝑊))) × {𝐶}) ++ 𝑊)) ∈ V)
192, 11, 13, 15, 18ovmpod 7292 . 2 (𝜑 → (𝐶 leftpad 𝑊) = (𝑙 ∈ ℕ0 ↦ (((0..^(𝑙 − (♯‘𝑊))) × {𝐶}) ++ 𝑊)))
20 simpr 488 . . . . . 6 ((𝜑𝑙 = 𝐿) → 𝑙 = 𝐿)
2120oveq1d 7160 . . . . 5 ((𝜑𝑙 = 𝐿) → (𝑙 − (♯‘𝑊)) = (𝐿 − (♯‘𝑊)))
2221oveq2d 7161 . . . 4 ((𝜑𝑙 = 𝐿) → (0..^(𝑙 − (♯‘𝑊))) = (0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))))
2322xpeq1d 5552 . . 3 ((𝜑𝑙 = 𝐿) → ((0..^(𝑙 − (♯‘𝑊))) × {𝐶}) = ((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶}))
2423oveq1d 7160 . 2 ((𝜑𝑙 = 𝐿) → (((0..^(𝑙 − (♯‘𝑊))) × {𝐶}) ++ 𝑊) = (((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶}) ++ 𝑊))
25 lpadval.1 . 2 (𝜑𝐿 ∈ ℕ0)
26 ovexd 7180 . 2 (𝜑 → (((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶}) ++ 𝑊) ∈ V)
2719, 24, 25, 26fvmptd 6762 1 (𝜑 → ((𝐶 leftpad 𝑊)‘𝐿) = (((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶}) ++ 𝑊))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  Vcvv 3442  {csn 4528   ↦ cmpt 5114   × cxp 5521  ‘cfv 6332  (class class class)co 7145   ∈ cmpo 7147  0cc0 10544   − cmin 10877  ℕ0cn0 11903  ..^cfzo 13048  ♯chash 13706  Word cword 13877   ++ cconcat 13933   leftpad clpad 32121 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5158  ax-sep 5171  ax-nul 5178  ax-pr 5299  ax-un 7454  ax-cnex 10600  ax-1cn 10602  ax-addcl 10604 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3444  df-sbc 3723  df-csb 3831  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4805  df-iun 4887  df-br 5035  df-opab 5097  df-mpt 5115  df-tr 5141  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6123  df-ord 6169  df-on 6170  df-lim 6171  df-suc 6172  df-iota 6291  df-fun 6334  df-fn 6335  df-f 6336  df-f1 6337  df-fo 6338  df-f1o 6339  df-fv 6340  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7574  df-wrecs 7948  df-recs 8009  df-rdg 8047  df-nn 11644  df-n0 11904  df-lpad 32122 This theorem is referenced by:  lpadlen1  32126  lpadlen2  32128  lpadleft  32130  lpadright  32131
 Copyright terms: Public domain W3C validator