Theorem lpadval 34937

Description: Value of the leftpad function. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
lpadval.1	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℕ0)
lpadval.2	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Word 𝑆)
lpadval.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
lpadval	⊢ (𝜑 → ((𝐶 leftpad 𝑊)‘𝐿) = (((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶}) ++ 𝑊))

Proof of Theorem lpadval

Dummy variables 𝑐 𝑙 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-lpad 34936	. . . 4 ⊢ leftpad = (𝑐 ∈ V, 𝑤 ∈ V ↦ (𝑙 ∈ ℕ0 ↦ (((0..^(𝑙 − (♯‘𝑤))) × {𝑐}) ++ 𝑤)))
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → leftpad = (𝑐 ∈ V, 𝑤 ∈ V ↦ (𝑙 ∈ ℕ0 ↦ (((0..^(𝑙 − (♯‘𝑤))) × {𝑐}) ++ 𝑤))))
3		simprr 782	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 = 𝐶 ∧ 𝑤 = 𝑊)) → 𝑤 = 𝑊)
4	3	fveq2d 6867	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 = 𝐶 ∧ 𝑤 = 𝑊)) → (♯‘𝑤) = (♯‘𝑊))
5	4	oveq2d 7408	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 = 𝐶 ∧ 𝑤 = 𝑊)) → (𝑙 − (♯‘𝑤)) = (𝑙 − (♯‘𝑊)))
6	5	oveq2d 7408	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 = 𝐶 ∧ 𝑤 = 𝑊)) → (0..^(𝑙 − (♯‘𝑤))) = (0..^(𝑙 − (♯‘𝑊))))
7		simprl 780	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 = 𝐶 ∧ 𝑤 = 𝑊)) → 𝑐 = 𝐶)
8	7	sneqd 4593	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 = 𝐶 ∧ 𝑤 = 𝑊)) → {𝑐} = {𝐶})
9	6, 8	xpeq12d 5676	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 = 𝐶 ∧ 𝑤 = 𝑊)) → ((0..^(𝑙 − (♯‘𝑤))) × {𝑐}) = ((0..^(𝑙 − (♯‘𝑊))) × {𝐶}))
10	9, 3	oveq12d 7410	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 = 𝐶 ∧ 𝑤 = 𝑊)) → (((0..^(𝑙 − (♯‘𝑤))) × {𝑐}) ++ 𝑤) = (((0..^(𝑙 − (♯‘𝑊))) × {𝐶}) ++ 𝑊))
11	10	mpteq2dv 5193	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 = 𝐶 ∧ 𝑤 = 𝑊)) → (𝑙 ∈ ℕ0 ↦ (((0..^(𝑙 − (♯‘𝑤))) × {𝑐}) ++ 𝑤)) = (𝑙 ∈ ℕ0 ↦ (((0..^(𝑙 − (♯‘𝑊))) × {𝐶}) ++ 𝑊)))
12		lpadval.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑆)
13	12	elexd 3476	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ V)
14		lpadval.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Word 𝑆)
15	14	elexd 3476	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ V)
16		nn0ex 12484	. . . . 5 ⊢ ℕ0 ∈ V
17	16	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ℕ0 ∈ V)
18	17	mptexd 7204	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑙 ∈ ℕ0 ↦ (((0..^(𝑙 − (♯‘𝑊))) × {𝐶}) ++ 𝑊)) ∈ V)
19	2, 11, 13, 15, 18	ovmpod 7544	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 leftpad 𝑊) = (𝑙 ∈ ℕ0 ↦ (((0..^(𝑙 − (♯‘𝑊))) × {𝐶}) ++ 𝑊)))
20		simpr 488	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑙 = 𝐿) → 𝑙 = 𝐿)
21	20	oveq1d 7407	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑙 = 𝐿) → (𝑙 − (♯‘𝑊)) = (𝐿 − (♯‘𝑊)))
22	21	oveq2d 7408	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑙 = 𝐿) → (0..^(𝑙 − (♯‘𝑊))) = (0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))))
23	22	xpeq1d 5674	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑙 = 𝐿) → ((0..^(𝑙 − (♯‘𝑊))) × {𝐶}) = ((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶}))
24	23	oveq1d 7407	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑙 = 𝐿) → (((0..^(𝑙 − (♯‘𝑊))) × {𝐶}) ++ 𝑊) = (((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶}) ++ 𝑊))
25		lpadval.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℕ0)
26		ovexd 7427	. 2 ⊢ (𝜑 → (((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶}) ++ 𝑊) ∈ V)
27	19, 24, 25, 26	fvmptd 6979	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 leftpad 𝑊)‘𝐿) = (((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶}) ++ 𝑊))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  Vcvv 3453  {csn 4581   ↦ cmpt 5180   × cxp 5643  ‘cfv 6517  (class class class)co 7392   ∈ cmpo 7394  0cc0 11070   − cmin 11411  ℕ₀cn0 12478  ..^cfzo 13656  ♯chash 14340  Word cword 14523   ++ cconcat 14580   leftpad clpad 34935

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-cnex 11126  ax-1cn 11128  ax-addcl 11130

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-om 7843  df-2nd 7967  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-nn 12208  df-n0 12479  df-lpad 34936

This theorem is referenced by:  lpadlen1  34940  lpadlen2  34942  lpadleft  34944  lpadright  34945