Theorem lpadval 34341

Description: Value of the leftpad function. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
lpadval.1	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℕ0)
lpadval.2	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Word 𝑆)
lpadval.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
lpadval	⊢ (𝜑 → ((𝐶 leftpad 𝑊)‘𝐿) = (((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶}) ++ 𝑊))

Proof of Theorem lpadval

Dummy variables 𝑐 𝑙 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-lpad 34340	. . . 4 ⊢ leftpad = (𝑐 ∈ V, 𝑤 ∈ V ↦ (𝑙 ∈ ℕ0 ↦ (((0..^(𝑙 − (♯‘𝑤))) × {𝑐}) ++ 𝑤)))
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → leftpad = (𝑐 ∈ V, 𝑤 ∈ V ↦ (𝑙 ∈ ℕ0 ↦ (((0..^(𝑙 − (♯‘𝑤))) × {𝑐}) ++ 𝑤))))
3		simprr 771	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 = 𝐶 ∧ 𝑤 = 𝑊)) → 𝑤 = 𝑊)
4	3	fveq2d 6906	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 = 𝐶 ∧ 𝑤 = 𝑊)) → (♯‘𝑤) = (♯‘𝑊))
5	4	oveq2d 7442	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 = 𝐶 ∧ 𝑤 = 𝑊)) → (𝑙 − (♯‘𝑤)) = (𝑙 − (♯‘𝑊)))
6	5	oveq2d 7442	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 = 𝐶 ∧ 𝑤 = 𝑊)) → (0..^(𝑙 − (♯‘𝑤))) = (0..^(𝑙 − (♯‘𝑊))))
7		simprl 769	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 = 𝐶 ∧ 𝑤 = 𝑊)) → 𝑐 = 𝐶)
8	7	sneqd 4644	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 = 𝐶 ∧ 𝑤 = 𝑊)) → {𝑐} = {𝐶})
9	6, 8	xpeq12d 5713	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 = 𝐶 ∧ 𝑤 = 𝑊)) → ((0..^(𝑙 − (♯‘𝑤))) × {𝑐}) = ((0..^(𝑙 − (♯‘𝑊))) × {𝐶}))
10	9, 3	oveq12d 7444	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 = 𝐶 ∧ 𝑤 = 𝑊)) → (((0..^(𝑙 − (♯‘𝑤))) × {𝑐}) ++ 𝑤) = (((0..^(𝑙 − (♯‘𝑊))) × {𝐶}) ++ 𝑊))
11	10	mpteq2dv 5254	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 = 𝐶 ∧ 𝑤 = 𝑊)) → (𝑙 ∈ ℕ0 ↦ (((0..^(𝑙 − (♯‘𝑤))) × {𝑐}) ++ 𝑤)) = (𝑙 ∈ ℕ0 ↦ (((0..^(𝑙 − (♯‘𝑊))) × {𝐶}) ++ 𝑊)))
12		lpadval.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑆)
13	12	elexd 3494	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ V)
14		lpadval.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Word 𝑆)
15	14	elexd 3494	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ V)
16		nn0ex 12516	. . . . 5 ⊢ ℕ0 ∈ V
17	16	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ℕ0 ∈ V)
18	17	mptexd 7242	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑙 ∈ ℕ0 ↦ (((0..^(𝑙 − (♯‘𝑊))) × {𝐶}) ++ 𝑊)) ∈ V)
19	2, 11, 13, 15, 18	ovmpod 7579	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 leftpad 𝑊) = (𝑙 ∈ ℕ0 ↦ (((0..^(𝑙 − (♯‘𝑊))) × {𝐶}) ++ 𝑊)))
20		simpr 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑙 = 𝐿) → 𝑙 = 𝐿)
21	20	oveq1d 7441	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑙 = 𝐿) → (𝑙 − (♯‘𝑊)) = (𝐿 − (♯‘𝑊)))
22	21	oveq2d 7442	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑙 = 𝐿) → (0..^(𝑙 − (♯‘𝑊))) = (0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))))
23	22	xpeq1d 5711	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑙 = 𝐿) → ((0..^(𝑙 − (♯‘𝑊))) × {𝐶}) = ((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶}))
24	23	oveq1d 7441	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑙 = 𝐿) → (((0..^(𝑙 − (♯‘𝑊))) × {𝐶}) ++ 𝑊) = (((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶}) ++ 𝑊))
25		lpadval.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℕ0)
26		ovexd 7461	. 2 ⊢ (𝜑 → (((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶}) ++ 𝑊) ∈ V)
27	19, 24, 25, 26	fvmptd 7017	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 leftpad 𝑊)‘𝐿) = (((0..^(𝐿 − (♯‘𝑊))) × {𝐶}) ++ 𝑊))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3473  {csn 4632   ↦ cmpt 5235   × cxp 5680  ‘cfv 6553  (class class class)co 7426   ∈ cmpo 7428  0cc0 11146   − cmin 11482  ℕ₀cn0 12510  ..^cfzo 13667  ♯chash 14329  Word cword 14504   ++ cconcat 14560   leftpad clpad 34339

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-1cn 11204  ax-addcl 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-nn 12251  df-n0 12511  df-lpad 34340

This theorem is referenced by:  lpadlen1  34344  lpadlen2  34346  lpadleft  34348  lpadright  34349